第七讲 坐标系中的几何问题
中考数学重难点专题讲座
第七讲坐标系中的几何问题
【例1】2010,石景山,一模已知:
如图1,等边的边长为,一边在轴上且,交轴于点,过点作∥交于点.
(1)直接写出点的坐标;
(2)若直线将四边形的面积两等分,求的值;
(3)如图2,过点的抛物线与轴交于点,为线段上的一个动点,过轴
上一点作的垂线,垂足为,直线交轴于点,当点在线段上运动时,现给出两个结论:
①②,其中有且只有一个结论是正确的,请你判断哪个结论正确,并证明.
【思路分析】很多同学一看到这种题干又长条件又多又复杂的代几综合压轴题就觉得头皮发麻,稍微看看不太会做就失去了攻克它的信心。在这种时候要慢慢将题目拆解,条分缕析提出每一个条件,然后一步一步来。第一问不难,C点纵坐标直接用tg60°来算,七分中的两分就到手了。第二问看似较难,但是实际上考生需要知道“过四边形对角线交点的任意直线都将四边形面积平分”这一定理就轻松解决了,这个定理的证明不难,有兴趣同学可以自己证一下加深印象。由于EFAB还是一个等腰梯形,所以对角线交点非常好算,四分到手。最后三分收起来有点麻烦,不过稍微认真点画图,不难猜出①式成立。抛物线倒是好求,因
为要证的是角度相等,所以大家应该想到全等或者相似三角形,过D做一条垂线就发现图中有多个全等关系,下面就忘记抛物线吧,单独将三角形拆出来当成一个纯粹的几何题去证明就很简单了。至此,一道看起来很难的压轴大题的7分就成功落入囊中了。
【解析】解:
(1);.
(2)过点作于,交于点,取的中点.
∵是等边三角形,.
∴.
在中,.
∴.
∴.
∵∥交于,.
∴.
∵直线将四边形的面积两等分.
∴直线必过点.
∴,∴
(3)正确结论:①.
证明:可求得过的抛物线解析式为∴.
∵.
∴.
由题意.
又∵
∴
∴≌
∴,
∴
过点作于
∴
∴
由题意可知∥
∴
∴
∴
即:.
【例2】2010,怀柔,一模
如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线与x正半轴交于点A,与y轴交于
点B,过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC.现有两动点P、Q分别从O、C 两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F.设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒)
(1)求A,B,C三点的坐标;
(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程;
(3)当0<t<时,△PQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由;
(4)当t 时,△PQF为等腰三角形?
【思路分析】近年来这种问动点运动到何处时图像变成特殊图形的题目非常流行,所以大家
需要对各种特殊图形的判定性质非常熟悉。本题一样一步步拆开来做,第一问送分,给出的抛物线表达式很好因式分解。注意平行于X轴的直线交抛物线的两个点一定是关于对称轴对称的。第二问就在于当四边形PQCA为平行四边形的时候题中已知条件有何关系。在运动中,QC和PA始终是平行的,根据平行四边形的判定性质,只要QC=PA时候即可。第三问求△PQF是否为定值,因为三角形的一条高就是Q到X轴的距离,而运动中这个距离是固定的,所以只需看PF是否为定值即可。根据相似三角形建立比例关系发现OP=AF,得解。第四问因为已经知道PF为一个定值,所以只需PQ=PF=18即可,P点(4t,0)Q (8-t,-10),F(18+4t,0)两点间距离公式分类讨论即可.本道题是09年黄冈原题,第四问原本是作为解答题来出的本来是3分,但是本题作为1分的填空,考生只要大概猜出应该是FP=FQ就可以。实际考试中如果碰到这么麻烦的,如果没时间的话笔者个人建议放弃这一分去检查其他的.毕竟得到这一分的时间都可以把选择填空仔细过一遍了.
【解析】解:
(1) ,令得,
∴或∴;在中,令得即
;
由于BC∥OA,故点C的纵坐标为-10,由得或
即于是,
(2) 若四边形PQCA为平行四边形,由于QC∥PA.故只要QC=PA即可
∵
∴得
(3) 设点P运动秒,则,,说明P在线段OA上,且不与点O、A重合,
由于QC∥OP知△QDC∽△PDO,故
∴
∴
又点Q到直线PF的距离
∴
∴△PQF的面积总为90
(4) 由上知,,。构造直角三角形后易得
,
①若FP=PQ,即,故,
∵∴∴
②若QP=QF,即,无的满足条件;′
③若PQ=PF,即,得,∴
都不满足,故无的满足方程;
综上所述:当时,△PQR是等腰三角形。
【例3】2010,延庆,一模
如图,已知抛物线:的顶点为,与轴相交于、两点(点在点的左边),点的横坐标是.
(1)求点坐标及的值;
(2)如图(1),抛物线与抛物线关于轴对称,将抛物线向右平移,平移后的抛物线记为,的顶点为,当点、关于点成中心对称时,求的解析式;(3)如图(2),点是轴正半轴上一点,将抛物线绕点旋转后得到抛物线.抛物线的顶点为,与轴相交于、两点(点在点的左边),当以点、、
为顶点的三角形是直角三角形时,求点的坐标.
【思路分析】出题人比较仁慈,上来就直接给出抛物线顶点式,再将B(1,0)代入,第一问轻松拿分。第二问直接求出M坐标,然后设顶点式,继续代入点B即可。第三问则需要设出N,然后分别将NP,PF,NF三个线段的距离表示出来,然后切记分情况讨论直角的可能性。计算量比较大,务必细心。
【解析】
解:
⑴由抛物线:得
顶点的为
∵点在抛物线上
∴
解得,
⑵连接,作轴于,作轴于
∵点、关于点成中心对称
∴过点,且
∴
∴,
∴顶点的坐标为
抛物线由关于轴对称得到,抛物线由平移得到
∴抛物线的表达式为
⑶
∵抛物线由绕点轴上的点旋转得到
∴顶点、关于点成中心对称
由⑵得点的纵坐标为
设点坐标为
作轴于,作轴于
作于
∵旋转中心在轴上
∴
∴,点坐标为
坐标为,坐标为,
根据勾股定理得
①当时,,解得,∴点坐标为
②当时,,解得,∴点坐标为
③∵,∴
综上所得,当点坐标为或时,以点、、为顶点的三角形是直角三角形.
【例4】2010,房山,一模
如图,在平面直角坐标系中,直线l1:交轴、轴于、两点,点
是线段上一动点,点是线段的三等分点.
(1)求点的坐标;
(2)连接,将绕点旋转,得到.
①当时,连结、,若过原点的直线将四边形分成面积相等的两个四边形,确定此直线的解析式;
②过点作轴于,当点的坐标为何值时,由点、、、构成的四边形为梯形?
【思路分析】本题计算方面不是很繁琐,但是对图形的构造能力提出了要求,也是一道比较典型的动点移动导致特殊图形出现的题目。第一问自不必说,第二问第一小问和前面例题是一样的,也是要把握过四边形对角线交点的直线一定平分该四边形面积这一定理。求出交点就意味着知道了直线.第二小问较为麻烦,因为C点有两种可能,H在C点的左右又是两种可能,所以需要分类讨论去求解.只要利用好梯形两底平行这一性质就可以了.
【解析】
(1)根据题意:,
∵是线段的三等分点
∴或
(2)①如图,过点作轴于点,则.
∵.
∴
∴
∴
∵点在直线上
∴-
∵是由绕点旋转得到的
∴
∴无论是、点,四边形是平行四边形且为对称中心
∴所求的直线必过点.
∴直线的解析式为:
②当时,
第一种情况:在点左侧,若四边形是梯形∵与不平行
∴∥
此时
第二种情况:在点右侧,若四边形是梯形∵与不平行
∴
∵是线段的中点
∴是线段的中点
∴
由,.
∴
∴点的横坐标为
∴
当时,同理可得
第一种情况:在点左侧时,-
第二种情况:在点右侧时,-
综上所述,所求M点的坐标为:,,或.
【例5】通州,2010,一模
在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A、B两点,(点A在点B左侧).与y轴交于点C,顶点为D,直线CD与x轴交于点E.
(1)请你画出此抛物线,并求A、B、C、D四点的坐标.
(2)将直线CD向左平移两个单位,与抛物线交于点F(不与A、B两点重合),请你求出F点坐标.
(3)在点B、点F之间的抛物线上有一点P,使△PBF的面积最大,求此时P点坐标及△PBF的最大面积.
(4)若平行于x轴的直线与抛物线交于G、H两点,以GH为直径的圆与x轴相切,求该
圆半径.
【思路分析】本题看似错综复杂,尤其最后第四问的图像画出来又乱又挤,稍微没画好就会让人头大无比。但是不用慌,一步步来慢慢做。抛物线表达式很好分解,第一问轻松写出四个点。第二问向左平移,C到对称轴的距离刚好是1,所以移动两个距离以后就到了关于对称轴对称的点上,所以F直接写出为(-2,-3)第三问看似棘手,但是只要将△PBF拆解成以Y轴上的线段为公共边的两个小三角形就会很轻松了。将P点设出来然后列方程求解即可。最后一问要分GH在X轴上方和下方两种情况,分类讨论。不过做到最后一步相信同学们的图已经画的乱七八糟了,因为和前面的问题没有太大关系,所以建议大家画两个图分开来看。
【解析】
.解:
(1).
(2)
(3)过点作轴的平行线与交于点,与轴交于点,易得,直线解析式为.
设,则,
∴
的最大值是.
当取最大值时的面积最大
的面积的最大值为.
(4)如图,①当直线在轴上方时,设圆的半径为,则,代入抛物线的表达式,解得.
②当直线在轴下方时,设圆的半径为,则,代入抛物线的表达式,解得
∴圆的半径为或..
【总结】通过以上五道一模真题,我们发现这类问题虽然看起来十分复杂,但是只要一问一问研究慢慢分析,总能拿到不错的分数。将几何图形添进坐标系大多情况下是和抛物线有关,所以首先需要同学们对抛物线的各种性质熟练掌握,尤其是借助抛物线的对称性,有的时候解题会十分方便。无论题目中的图形是三角形,梯形以及平行四边形或者圆,只要认清各种图形的一般性质如何在题中体现就可以了。例如等腰/边三角形大多和相似以及线段长度有关,梯形要抓住平行,平行四边形要看平行且相等,圆形就要看半径和题目中的条件有何关系。还需要掌握平分三角形/四边形/圆形面积的直线分别都一定过哪些点。总之,再难的问题都是由一个个小问题组成的,就算最后一两问没有时间思考拿不了全分,至少要将前面容易的分数拿到手,这部分分数其实还不少。像例2最后一问那种情况,该放弃时候果断放弃,不要为1分的题失去了大量检查的时间。
第二部分发散思考
【思考1】2009,北京
. 如图,在平面直角坐标系中,三个顶点的坐标分别为,,
,延长AC到点D,使CD=,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E. (1)求D点的坐标;
(2)作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF,若过B点的直线将四
边形CDFE分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式;
(3)设G为y轴上一点,点P从直线与y轴的交点出发,先沿y轴到达
G点,再沿GA到达A点,若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍,试确定G点的位置,使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。(要求:简述确定G点位置的方法,但不要求证明)
【思路分析】在一模真题部分我们谈到的是直线分四边形面积相等,但是这道去年中考原题则是分周长相等。周长是由很多个线段组成的,所以分周长相等只需要研究哪些线段之和相等就可以了。所以自然想到去证明全等三角形。第三问虽然不要求证明,但是只需设出速度,利用相似三角形去建立关系,还是不难证明的,有余力的同学可以试试.
【思考2】2009,西城,一模
已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,直线与x轴、y轴的交点分别为A、
B,将∠OBA对折,使点O的对应点H落在直线AB上,折痕交x轴于点C.
(1)直接写出点C的坐标,并求过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)若抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T,Q为线段BT上一点,直接写出的取值范围.
【思路分析】第二问有两个思路,第一个是看已知四边形的线
段是否平行且相等,角是否符合平行四边形的条件。另一个是
看假如有平行四边形,那么构成平行四边形的点P是否在BC
上。从这两个思路出发,列出方程等式即可求解。第三问根据
抛物线的对称性来看三点共线,继而看出最大值和最小值分别
是多少。
【思考3】2009,朝阳,一模
抛物线与x轴交于A(-1,0)、B两点,与y轴交于点C(0,-3),抛物线顶点为M,连接AC并延长AC交抛物线对称轴于点Q,且点Q到x轴的距离为6.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)在抛物线上找一点D,使得DC与AC垂直,求出点D的坐标;
(3)抛物线对称轴上是否存在一点P,使得S△PAM=3S△ACM,若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
【思路分析】
第一问要算的比较多,设直线以后求解析式,看出抛物线对称轴为x=1,然后设顶点式解个二元方程组即可.第二问利用三角形相似求出点N坐标,然后联立抛物线与直线CN即可求出点D.第三问考验对图形的理解,如果能巧妙的将△ACM的面积看成是四边形ACEM减去△AME,那么就会发现四边形ACEM刚好也是△AOC和梯形OCEM之和,于是可以求出PM的距离,然后分类讨论PM的位置即可求解.
【思考4】2009,崇文,一模
如图,抛物线,与轴交于点,且
.
(1)求抛物线的解析式;
(2)探究坐标轴上是否存在点,使得以点为顶点的三角形为直角三角形?若存在,求出点坐标,若不存在,请说明理由;
(3)直线交轴于点,为抛物线顶点.若,
的值
【思路分析】本题虽然没有明确给出坐标,但是表达式中暗含了X=0时Y=-3,于是C点得出,然后利用给定的等式关系写出A,B去求解析式。第二问中,因为AC是固定的,所以构成的直角三角形根据P的不同有三种类型。注意分类讨论。第三问则是少见的计算角度问题,但是实际上也是用线段去看角度的相等。最方便就是利用正切值构建比例关系,发现∠CBE=∠DBO,于是所求角度差就变成了求∠OBC。
第三部分思考题解析
【思考1解析】
解:
(1)∵,,
∴.
设与轴交于点.
由可得.
又,
∴.
∴,.
同理可得.
∴.
∴点的坐标为.
(2)由(1)可得点的坐标为.
由,可得轴所在直线是线段的垂直平分线.
∴点关于直线的对称点在轴上.
∴与互相垂直平分.
∴.
∴四边形为菱形,且点为其对称中心.作直线.
设与分别交于点、点.可证.
∴.
∵,
∴.
∵,
∴.
∴直线将四边形分成周长相等的两个四边形.
由点,点在直线上,可得直线的解析式为
.
(3)确定点位置的方法:过点作于点.则与轴的交点为所求的
点.
由,可得,
∴.
在中,.
∴点的坐标为.(或点的位置为线段的中点)
【思考2解析】
解:(1)点C的坐标为.
∵点A、B的坐标分别为,
∴可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为.
将代入抛物线的解析式,得.
∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为.
(2)可得抛物线的对称轴为,顶点D的坐标为,设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G.直线BC的解析式为.
设点P的坐标为.
解法一:如图8,作OP∥AD交直线BC于点P,连结AP,作PM⊥x轴于点M.
∵OP∥AD,
∴∠POM=∠GAD,tan∠POM=tan∠GAD.
∴,即.
解得. 经检验是原方程的解.
此时点P的坐标为.
但此时,OM<GA.
∵
∴OP<AD,即四边形的对边OP与AD平行但不相等,
∴直线BC上不存在符合条件的点P.
解法二:如图9,取OA的中点E,作点D关于点E的对称点P,作PN⊥x轴于点N. 则∠PEO=∠DEA,PE=DE.可得△PEN≌△DEG .
由,可得E点的坐标为.
NE=EG=,ON=OE-NE=,NP=DG=.
∴点P的坐标为.
∵x=时,,
∴点P不在直线BC上.∴直线BC上不存在符合条件的点P
第七讲坐标系中的几何问题(包含答案)
中考数学重难点专题讲座 第七讲 坐标系中的几何问题 【前言】 前面六讲我们研究了几何综合题及代数综合题的各种方面,相信很多同学都已经掌握了。但是中考中,最难的问题往往都是几何和代数混杂在一起的,一方面涉及函数,坐标系,计算量很大,另一方面也有各种几何图形的性质体现。所以往往这类问题都会在最后两道题出现,而且基本都是以多个小问构成。此类问题也是失分最高的,往往起到拉开分数档次的关键作用。作为想在中考数学当中拿高分甚至满分的同学,这类问题一定要重视。此后的两讲我们分别从坐标系中的几何以及动态几何中的函数两个角度出发,去彻底攻克此类问题。 第一部分 真题精讲 【例1】2010,石景山,一模 已知:如图1,等边ABC ?的边长为x 轴上且() 10A ,AC 交y 轴于点E ,过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F . (1)直接写出点B C 、的坐标; (2)若直线()10y kx k =-≠将四边形EABF 的面积两等分,求k 的值; (3)如图2,过点A B C 、、的抛物线与y 轴交于点D ,M 为线段OB 上的一个动点,过x 轴上一点()2,0G -作DM 的垂线,垂足为H ,直线GH 交y 轴于点N ,当M 点在线段 OB 上运动时,现给出两个结论: 。 ① GNM CDM ∠=∠ ②MGN DCM ∠=∠,其中有且只有一个结论是正确的,请你判 断哪个结论正确,并证明.
图2 图1 【思路分析】 很多同学一看到这种题干又长条件又多又复杂的代几综合压轴题就觉得头皮发麻,稍微看看不太会做就失去了攻克它的信心。在这种时候要慢慢将题目拆解,条分缕析提出每一个条件,然后一步一步来。第一问不难,C 点纵坐标直接用tg60°来算,七分中的两分就到手了。第二问看似较难,但是实际上考生需要知道“过四边形对角线交点的任意直线都将四边形面积平分”这一定理就轻松解决了,这个定理的证明不难,有兴趣同学可以自己证一下加深印象。由于EFAB 还是一个等腰梯形,所以对角线交点非常好算,四分到手。最后三分收起来有点麻烦,不过稍微认真点画图,不难猜出①式成立。抛物线倒是好求,因为要证的是角度相等,所以大家应该想到全等或者相似三角形,过D 做一条垂线就发现图中有多个全等关系,下面就忘记抛物线吧,单独将三角形拆出来当成一个纯粹的几何题去证明就很简单了。至此,一道看起来很难的压轴大题的7分就成功落入囊中了。 【解析】解:(1 )() 10B ;()13C ,. (2)过点C 作CP AB ⊥于P ,交EF 于点Q ,取PQ 的中点R . ∵ABC ? 是等边三角形,() 10A . ∴60EAO ∠=? . 在Rt EOA ?中,90EOA ∠=?. ∴( tan 6013EO AO =??=-= ∴(0,3E . … ∵EF ∥AB 交BC 于F ,()13C , .
平面图形与立体图形的认识
【几何图形】 从实物中抽象出来的各种图形,包括立体图形和平面图形。 立体图形分为柱体,锥体,球体 多面体:围城棱柱和棱锥的面都是平的面,像这样的立体图形叫做多面体 欧拉公式:定点数+面数-棱数=2 练习: 1.下面几何体中,不是多面体的是() A球体 B 三棱锥 C 三棱柱D四棱柱 2.下列判断正确的是 A长方形是多面体B柱体是多面体 C圆锥是多面体D棱柱、棱锥都是多面体 3、将半圆绕它的直径旋转一周形成的几何体是() A、圆柱 B、圆锥 C、球 D、正方体 【点、线、面、体】 (1)几何图形的组成 点:线和线相交的地方是点,它是几何图形中最基本的图形。 线:面和面相交的地方是线,分为直线和曲线。 面:包围着体的是面,分为平面和曲面。 体:几何体也简称体。 (2)点动成线,线动成面,面动成体。 例、右侧这个几何体的名称是_______;它由_______个面组成;它有_______个顶点;经过每个顶点有_______条边。 解答:五棱柱,7,10,3 【直线】 1、概念:一根拉得很紧的线,就给我们以直线的形象,直线是直的,并且是向两方无限延伸的。 2、直线的性质 (1)直线公理:经过两个点有一条直线,并且只有一条直线。它可以简单地说成:过两点有且只有一条直线。 (2)过一点的直线有无数条。 (3)直线是是向两方面无限延伸的,无端点,不可度量,不能比较大小。 (4)直线上有无穷多个点。 (5)两条不同的直线至多有一个公共点。 3、表示:一条直线可以用一个小写字母表示;或者用两个大写字母表示 练习: 1.经过一点,有______条直线;经过两点有_____条直线,并且______条直线. 2、我们在用玩具枪瞄准时,总是用一只眼对准准星和目标,用数学知识解释为__________________. 【射线】 直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。
中考数学难点分类讲解 第七讲 坐标系中的几何问题
中考数学难点分类讲解 第七讲 坐标系中的几何问题 第七讲 坐标系中的几何问题 【前言】 前面六讲我们研究了几何综合题及代数综合题的各种方面,相信很多同学都已经掌握了。但是中考中,最难的问题往往都是几何和代数混杂在一起的,一方面涉及函数,坐标系,计算量很大,另一方面也有各种几何图形的性质体现。所以往往这类问题都会在最后两道题出现,而且基本都是以多个小问构成。此类问题也是失分最高的,往往起到拉开分数档次的关键作用。作为想在中考数学当中拿高分甚至满分的同学,这类问题一定要重视。此后的两讲我们分别从坐标系中的几何以及动态几何中的函数两个角度出发,去彻底攻克此类问题。 第一部分 真题精讲 【例1】2010,石景山,一模 已知:如图1,等边ABC ? 的边长为x 轴上且() 10A ,AC 交y 轴于点E ,过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F . (1)直接写出点B C 、的坐标; (2)若直线()10y kx k =-≠将四边形EABF 的面积两等分,求k 的值; (3)如图2,过点A B C 、、的抛物线与y 轴交于点D ,M 为线段OB 上的一个动点,过x 轴上一点()2,0G -作DM 的垂线,垂足为H ,直线GH 交y 轴于点N ,当M 点在线段 OB 上运动时,现给出两个结论: ① GNM CDM ∠=∠ ②MGN DCM ∠=∠,其中有且只有一个结论是正确的,请你判断哪个结论正确,并证明. 图2 图1
【思路分析】 很多同学一看到这种题干又长条件又多又复杂的代几综合压轴题就觉得头皮发麻,稍微看看不太会做就失去了攻克它的信心。在这种时候要慢慢将题目拆解,条分缕析提出每一个条件,然后一步一步来。第一问不难,C 点纵坐标直接用tg60°来算,七分中的两分就到手了。第二问看似较难,但是实际上考生需要知道“过四边形对角线交点的任意直线都将四边形面积平分”这一定理就轻松解决了,这个定理的证明不难,有兴趣同学可以自己证一下加深印象。由于EFAB 还是一个等腰梯形,所以对角线交点非常好算,四分到手。最后三分收起来有点麻烦,不过稍微认真点画图,不难猜出①式成立。抛物线倒是好求,因为要证的是角度相等,所以大家应该想到全等或者相似三角形,过D 做一条垂线就发现图中有多个全等关系,下面就忘记抛物线吧,单独将三角形拆出来当成一个纯粹的几何题去证明就很简单了。至此,一道看起来很难的压轴大题的7分就成功落入囊中了。 【解析】解:(1)() 10B ;()13C ,. (2)过点C 作CP AB ⊥于P ,交EF 于点Q ,取PQ 的中点R . ∵ABC ?是等边三角形,() 10A . ∴60EAO ∠=? . 在Rt EOA ?中,90EOA ∠=?. ∴(tan 6013EO AO =??=-= ∴(0,3E . ∵EF ∥AB 交BC 于F ,()13C , . ∴1R ? ?? . (就是四边形对角线的中点,横坐标自然和C 一样,纵坐标就是E 的纵坐标的一半) ∵直线1y kx =-将四边形EABF 的面积两等分. ∴直线1y kx =-必过点1R ? ?? . ∴1k -= ,∴k
平面直角坐标系中如何求几何图形的面积
图1 图2 图3 平面直角坐标系中如何求几何图形的面积 一、 求三角形的面积 1、有一边在坐标轴上或平行于坐标轴 例1:如图1,平面直角坐标系中,△ABC 的顶点坐标分别为(-3,0)、(0,3)、(0,-1),你 能求出三角形ABC 的面积吗 2、无边在坐标轴上或平行于坐标轴 例2:如图2,平面直角坐标系中,已知点A (-3,-1)、B (1,3)、C (2,-3),你能求出三角形ABC 的面积吗 归纳:求三角形面积的关键是确定某条边及这条边上的高,如果在坐标系中,某个三角形中有一条边在坐标轴上或平行于坐标轴,则根据这条边的两个顶点的坐标易求出这边的长,根据这条边的相对的顶点可求出他的高。 二、求四边形的面积 例3:如图3,你能求出四边形ABCD 的面积吗 分析:四边形ABCD 是不规则的四边形,面积不能直接求出,我们可以利用分割或补形来求。
归纳:会将图形转化为有边与坐标轴平行的图形进行计算。 怎样确定点的坐标 一、 象限点 解决有关象限点问题的关键是熟记各象限的符号特征,由第一到底四象限点的符号特征分别为(+,+)、 (-,+)、(-,-)、(+,-)。 例1:已知点M (a 3-9,1-a )在第三象限,且它的坐标都是整数,则a =( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、0 二、轴上的点 解决有关轴上点问题的关键是把握“0”的特征,x 轴上点的纵坐标为0,可记为(x ,0);y 轴上点的横坐标为0,可记为(0,y );原点可记为(0,0)。 例2:点P (m+3,m+1)在直角坐标系的x 轴上,则P 点的坐标为( ) A 、(0,-2) B 、(2,0) C 、(4,0) D 、(0,-4) 三、象限角平分线上的点 所谓象限角平分线上的点,就是各象限坐标轴夹角平分线上的点。解决这类问题的关键是掌握“y x =”的特征,一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等,可记为(x ,x );二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数,可记为(x ,-x )。 例3:已知点Q (8,4m 22 2++++m m m )在第一象限的角平分线上,则m=_________. 四、对称点 对称点的横、纵坐标之间有很密切的关系,点P (a ,b )关于x 轴对称的点的坐标上(a ,-b );关于y 轴对称的点的坐标是(-a ,b );关于原点对称的点的坐标是(-a ,-b );关于一、三象限角平分线对称的点的坐标是(b ,a );关于二、四象限角平分线对称的点的坐标是(-b,-a ). 例4:点(-1,4)关于原点对称的点的坐标是( ) A 、(-1,-4) B 、(1,-4) C 、(1,4) D 、(4,-1) 五、平行于坐标轴的直线上的点 平行于x 轴的直线上点的纵坐标相同,平行于y 轴的直线上点的横坐标相同。 例5:点A(4,y)和点B (x ,-3),过A 、B 的直线平 行于x 轴,且AB=5,则x=____,y=_____.
平面图形与立体图形教案
4.1几何图形 4.1.1立体图形与平面图形 【教学目标】 1、能从实物图形中抽取出几何图形;能在生活中寻找出相应的几何图形;会认识常见的平面几何图形和立体几何图形。 2、通过实物抽取几何图形的体验,培养自己的几何图形感,能用几何图形描述生活中的物体。 3、通过对多彩多姿的图形世界体验,激发自己对几何学习的兴趣,也体会学习的快乐。 【教学重难点】 1.重点: (1)掌握立体图形与平面图形的关系,学会它们之间的相互转化;?初步建立空间观念. (2)理解几何图形是从实物图形中抽象出来的。 (3)从实际出发,用直观的形式,让学生感受图形的丰富多彩,激发学生学习的兴趣. 2.难点: (1)立体图形与平面图形之间的互相转化. (2)从现实情境中,抽象概括出几何图形 【教具准备】 长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等几何体模型,墨水瓶包装盒(每个学生都准备一个),及多媒体教学设备和课本图4.1-5的教学幻灯片.
【教学过程】 一、引入新课 由多媒体展示美丽的图形世界 在同学们所观看中,有哪些是我们熟悉的几何图形? 二、新授 1.学生在回顾刚才所看到的图片,充分发表自己的意见,?并通过小组交流,补充自己的意见,积累小组活动经验. 2.指定一名学生回答问题,并能正确说出这些几何图形的名称. 学生回答:有圆柱、长方体、正方体等等. 教师活动:纠正学生所说几何图形名称中的错误,并出示相应的几何体模型让学生观察它们的特征. 3.立体图形的概念. (1)长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等都是立体图形. (2)学生活动:看课本图4.1-3后学生思考:这些物体给我们什么样的立体图形的形象?(棱柱和棱锥) (3)用多媒体放映课本4.1-4的幻灯片 (4)提出问题:在这个幻灯片中,包含哪些简单的平面图形? (5)探索解决问题的方法. ①学生进行小组交流,教师对各小组进行指导,通过交流,得出问题的答案. ②学生回答:包含的平面图形有长方形、圆、正方形、多边形和三角形等.4.平面图形的概念.
平面直角坐标系中的几何综合题
2015年七年级下学期期末备考之《平面直角坐标系中几何综合 题》 2015-06-15一.解答题(共17小题) 1.(2015春?玉环县期中)如图在平面直角坐标系中,A(a,0),B(b,0),(﹣1,2).且|2a+b+1|+=0. (1)求a、b的值; (2)①在y轴的正半轴上存在一点M,使S△COM=S△ABC,求点M的坐标.(标注:三角形ABC 的面积表示为S△ABC) ②在坐标轴的其他位置是否存在点M,使S△COM=S△ABC仍成立若存在,请直接写出符合条件的点M的坐标. 2.(2015春?汕头校级期中)如图,在下面直角坐标系中,已知A(0,a),B(b,0),C (3,c)三点,其中a、b、c满足关系式:|a﹣2|+(b﹣3)2+=0. (1)求a、b、c的值; (2)如果在第二象限内有一点P(m,),请用含m的式子表示四边形ABOP的面积;(3)在(2)的条件下,是否存在负整数m,使四边形ABOP的面积不小于△AOP面积的两倍若存在,求出所有满足条件的点P的坐标,若不存在,请说明理由.
3.(2015春?鄂城区期中)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为A(a,0),B(b,0),且a、b满足a=+﹣1,现同时将点A,B分别向上平移2个单位,再向右平移1个单位,分别得到点A,B的对应点C,D,连接AC,BD,CD. (1)求点C,D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC. (2)在y轴上是否存在一点P,连接PA,PB,使S△PAB=S四边形ABDC若存在这样一点,求出点P 的坐标;若不存在,试说明理由. (3)点P是线段BD上的一个动点,连接PC,PO,当点P在BD上移动时(不与B,D重合)的值是否发生变化,并说明理由. 4.(2014春?富顺县校级期末)在平面直角坐标系中,A(a,0),B(b,0),C(﹣1,2)(见图1),且|2a+b+1|+=0 (1)求a、b的值; (2)①在x轴的正半轴上存在一点M,使△COM的面积=△ABC的面积,求出点M的坐标; ②在坐标轴的其它位置是否存在点M,使△COM的面积=△ABC的面积仍然成立若存在,请直接写出符合条件的点M的坐标;
高中数学平面直角坐标系下的图形变换及常用方法
高中数学平面直角坐标系下的图形变换及常用方法 摘要:高中数学新教材中介绍了基本函数图像,如指数函数,对数函数等图像等。而在更多的数学问题中,需要将这些基本图像通过适当的图形变换方式转化成其他的图像,要让学生理解并掌握图形变换方法。 高中数学研究的对象可分为两大部分,一部分是数,一部分是形,高中生是最需要培养的能力之一就是作图解图能力,就是根据给定图形能否提炼出更多有用信息;反之,根据已知条件能否画出准确图形。图是数学的生命线,能不能用图支撑思维活动是学好初等数学的关键之一;函数图像也是研究函数性质、方程、不等式的重要工具。 提高学生在数学知识的学习中对图形、图像的认知水平,是中学数学教学的主要任务之一,教师在教学过程中应该确立以下教学目标:一方面,要求学生通过对数学教材中基本的图形和图象的学习,建立起关于图形、图象较为系统的知识结构;培养和提高学生认识、研究和解决有关图形和图像问题的能力。为达到这一目标,教师应在教学中让学生理解并掌握图形变换的思想及其常用变换方法。 函数图形的变换,其实质是用图像形式表示的一个函数变化到另一个函数。与之对应的两个函数的解析式之间有何关系?这就是函数图像变换与解析式变换之间的一种动态的对应关系。在更多的数学问题中,需要将这些基本图像通过适当的图形变换方式转化成其它图像,要让学生理解并掌握图像变换方法。 常用的图形变换方法包括以下三种:缩放法、对称性法、平移法。 1.图形变换中的缩放法 缩放法也是图形变换中的基本方法,是蒋某基本图形进行放大或缩小,从而产生新图形的过程。若某曲线的方程F (x ,y )=0可化为f (ax ,by )=0(a ,b 不同时为0)的形式,那么F (x ,y )=0的曲线可由f (x ,y )=0的曲线上所有点的横坐标变为原来的1/a 倍,同时将纵坐标变为原来的1/b 倍后而得。 (1)函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩(01a <<)为原来的a 倍得到; (2)函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵 坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩(01a <<)为原来的1a 倍得到. ①y=f(x)ω?→x y=f(ω x );② y=f(x)ω?→y y=ωf(x). 缩放法的典型应用是在高中数学课本(三角函数部分)介绍函数)s i n (?ω+=x A y 的图像的相关知识时,课本重点分析了由函数y=sinx 的图像通
八年级坐标与几何综合题压轴题
八年级坐标与几何综合 题压轴题 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
2701,直线AB; y=x-b 分别与x 轴y 轴交于A(6,0), B 两点,过点B 的直线交x 轴负半轴 于C , OB ;OC=3:1。 (1) 求直线BC 的解析式。 (2) 直线EF :y=kx —k (k ≠0).交AB 于E ,交BC 于F ,交x 轴于D ,是否存在这 样的直线EF 使得S △EBD=S △FBD 若存在求出k 的值,若不存在,说明理由。 (3) 如图2,P 为A 点右侧x 轴上的一动点,以P 为直角顶点 BP 为腰,在第一 象限内作 等腰直角三角形△BPQ ,连接QA 并延长交y 轴于点K 当P 点运动 时,K 点的位置是否发生变化 如果不变求出它的坐标,如果变化,说明理由。 2702,如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=67 x+7与X 轴,Y 轴分别交与点A,C.点B 为x 轴正半轴上一点,且△ABC的面积为70。 (1) 求直线BC 的解析式。 (2) 动点P 从A 出发沿线段AB 向点B 以每秒2个单位的速度运动,同时点Q 从点 C 出发沿射线CO 以每秒1个单位的速度匀速运动,当点P 停止运动时点Q 也停止运动。连接PO,PC,设△ABC的面积为S ,点P,Q 的运动时间为t(秒),求 S 与t 的函数关系式,并直接写出自变量的取值范围。 (3) 在(2)的条件下,在直线BC 上是否存在点D ,连接DP,DO.使得△DPQ 是以PQ 为直角边的等腰直角三角形,若存在求出t 值,若不存在,说明理由。 2703.在平面直角坐标系中,直线y=x-4与X 轴,Y 轴分别交于A ,D 两点,AB ⊥AD ,交y 轴于点B 。 (1)求直线AB 的解析式。 (2)点P 为X 轴上一动点,PC ⊥PB ,交直线AD 于点C ,设 △PAC 的面积为S ,点P 的横坐标为t ,求S 与t 的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围。 (3)在(2)的条件下,当S=时,求t 的值。 2704,在平面直角坐标系中,正比例函数y=x 的图像上有一点P (点P 在第一象 限),点A 为Y轴上的一动点,PB⊥PA,交X轴正半轴与点B,PH⊥X轴。垂足为H。 (1),当点A在Y轴正半轴时,如图1,线段OA,OB,PH,之间的数量关系是______________________。 (2)当点A在Y轴负半轴时,如图2,求证;OB-OA=2PH. (3)在(2)的条件下,连接AB,过点P作PC⊥AB于点C,交X轴于点D,当∠OBP=30°,BD=8时,求线段OA的长。 2805,如图,在平面直角坐标系中,函数y=-x+32与Y 轴,X 轴分别交于点A ,B 两点, (1)求直线AB 的长。 (2)点P是AB 上的一动点,点C 在X 轴的正半轴上,且PO=PC ,若PA :PB=1:2,时求直线PC 的解析式。
平面直角坐标系与几何图形相结合
平面直角坐标系与几何图形相结合 扣庄乡陈官营中学田海凤 教学目标: (一)知识与技能:使学生进一步复习勾股定理、等腰三角形和平面直角坐标系的基础知识,通过知识的相互联系发展学生的基本技能,发展学生思维的灵活性. (二)过程与方法:通过学生的自主学习,合作探究等活动,让学生去感受和体会思考问题的正确的思路和方法,建立知识间的相互联系. (三)情感态度与价值观:体会事物间的相互作用和相互联系. 重点:掌握基础知识发展学生的基本技能 难点:提高学生的解决问题的能力 教学方法:自主探究、合作学习. 教学手段:小篇子 教学过程: 一、复习回顾 1.在R t△ABC中,∠C=90°a=3,b=4,则C=___ 2.如图1,等腰△ABC中,AB=AC,∠B=46°,BC=4,AD⊥BC (1)∠C=______° (2)∠BAD=______° (3)BD=______. 3. 等腰△ABC中∠B=60°,则△ABC是____三角形. BC=4,AD⊥BC,则AD=_____ 4.点A(1,-4),则点A在第______象限 5.点B(-1,-2),则点B关于x轴的对称点B′的坐标为_______;则点B关于y轴的对称点B〞的坐标为________;点B关于原点的对称点的坐标为_________;点B到x轴的距离是_______;点B到y轴的距离是_________ 二、例题讲解 等边△ABC中AB=AC=BC=6,请建一个适当的平面直角坐标系,求个点坐标。 教师总结:在坐标轴上只要有线段长就能求点的坐标,有坐标就会知道一些线段长,当点不在坐标轴上时,过点做两坐标轴的垂线,利用勾股定理也能求点的坐标。 变形:如图9,等边△ABC两个顶点的坐A(-4,0),B(2,0) (1)求点C的坐标; (2)求△ABC的面积 变形:如图8,在平面直角坐标系中,Rt△CDO的直角边OD在x轴、的正半轴上,且CD=2,OD=1,将△CDO沿x轴向左平移1个单位再把所得图像绕点O按逆时针旋转90°得到Rt△AOB,,
用坐标系解立体几何常见方法
建立空间直角坐标系,解立体几高考题 立体几重点、热点: 求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等. 常用公式: 1 、求线段的长度: 222z y x AB ++==()()()2 12212212z z y y x x -+-+-= 2、求P 点到平面α的距离: PN = ,(N 为垂足,M 为斜足,n 为平面α的法向量) 3、求直线l 与平面α所成的角:|||||sin |n PM ?= θ(l PM ?,α∈M ,n 为α的法向量) 4、求两异面直线AB 与CD 的夹角:cos = θ 5、求二面角的平面角θ:|||||cos |21n n ?= θ,( 1n ,2n 为二面角的两个面的法向量) 6、求二面角的平面角θ:S S 射影 = θ cos ,(射影面积法) 7、求法向量:①找;②求:设b a , 为平面α的任意两个向量,)1,,(y x n =为α的法向量, 则由程组?????=?=?0 n b n a ,可求得法向量n .