全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题(高二级)新人教A版

2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案

（高二年级）

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）

1．函数741

)(2

+++=

x x x x f

的值域为． 2．已知1sin 2sin 322=+βα，1)cos (sin 2)cos (sin 322=+-+ββαα，则=+)(2cos βα1

3

-

． 3．已知数列}{n a 满足：1a 为正整数，

?????+=+,

,13,,21

为奇数为偶数n n n n n a a a a a 如果29321=++a a a ，则=1a 5 ．

4．设集合}12,,3,2,1{ =S ，},,{321a a a A =是S 的子集，且满足321a a a <<，523≤-a a ，那么满足条件的子集A 的个数为 185 ．

5．过原点O 的直线l 与椭圆C ：)0(122

22>>=+b a b

y a x 交于N M ,两点，P 是椭圆C 上异

于N M ,的任一点．若直线PN PM ,的斜率之积为31

-，则椭圆C

6．在△ABC 中，2==BC AB ，3=AC ．设O 是△ABC 的内心，若q p +=，则

q p

的值为32

． 7．在长方体1111D C B A ABCD -中，已知p AB C B AC ===11,2,1，则长方体的体积最大

时，p

． 8．设][x 表示不超过x 的最大整数，则2012

1

20122[]2k

k k +=+=∑ 2012 ． 二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）

9．已知正项数列}{n a

=11a =，

28a =，求}{n a 的通项公式．

解 在已知等式两边同时除以1+n n a a ，得3141112++=+

+++n

n n n a a

a a ， 所以

11)=． ------------------------------------------4分

令111

++=+n

n n a a b ,则n n b b b 4,411==+，即数列}{n b 是以1b ＝4为首项,4为公比的等比数

列

，所以

n

n n b b 4411=?=-.

------------------------------------------8分

所

以

n n

n a a 4111

=++

+,即

n

n n a a ]1)14[(21--=+.

------------------------------------------12分

于是，当1>n 时,

22221121]1)14[(]1)14[(]1)14[(-------?--=--=n n n n n n a a a

∏∏-=--=---=

--==1

1

21

1

1

12

1

]1)14

[(]1)14

[(n k k n k k a ，

因此,

????

?≥--==∏

-=-.2,]1)14[(,1,

11

1

21n n a n k k n ------------------------------------------16分

10．已知正实数b a ,满足122=+b a ，且333)1(1++=++b a m b a ，求m 的取值范围． 解 令cos ,sin a b θθ==，02

π

θ<<

，则

3

2233

3

)

1sin (cos 1)sin sin cos )(cos sin (cos )1sin (cos 1sin cos ++++-+=++++=θθθθθθθθθθθθm ．----------------------------------------5分

令

θ

θsin cos +=x ，则 ]2,1()4

sin(2∈+

=π

θx ，且

2

1

sin cos 2-=x θθ．------------------------------10分 于是

21)1(23)1(22)

1(22)1(232)1(1

)211(2

23332-+=+-=+-+=+-+=++--=x x x x x x x x x x x x m ． ------------------------------15分

因为函数2

1

)1(23)(-+=

x x f 在]2,1(上单调递减，所以)1()2(f m f <≤．

又2

423)2(,41)1(-==

f f ，所以

)41

,2423[

-∈m ． --------------------------------------20分

11．已知点),(n m E 为抛物线)0(22>=p px y 内一定点，过E 作斜率分别为21,k k 的两条直线交抛物线于D C B A ,,,，且N M ,分别是线段CD AB ,的中点．

（1）当0=n 且121-=?k k 时，求△EMN 的面积的最小值； （2）若λ=+21k k （λλ,0≠为常数），证明：直线MN 过定点．

解 AB 所在直线的方程为m n y t x +-=)(1，其中1

11

k t =

，代入px y 22=中，得 2112220y pt y pt n pm -+-=，

设1122(,),(,)A x y B x y ，则有1212pt y y =+，从而

1211211(2)2(22)2x x t y y n m t pt n m +=+-+=-+．

则2

111(,)M pt nt m pt -+．

CD 所在直线的方程为m n y t x +-=)(2，

其中2

21k t =，同理可得2

222(,)N pt nt m pt -+． ------------------------------------------5分

（1）当0=n 时，(,0)E m ，211(,)M pt m pt +，2

22(,)N pt m pt +，2111||||t pt EM +=，

2

221||||t pt EN +=．

又121-=?k k ，故121-=?t t ，于是△EMN 的面积

2

21211||||||222p S EM EN p t t =?==

2

22

p p ≥=， 当且仅当1||||21==t t 时等号成立． 所

以

，

△

EMN

的面积的最小值为

2

p .

------------------------------------------10分

（2）p

n

t t t t n t t p t t p k MN -

+=

----=

)(1)

()()(21212

22

121，

MN 所在直线的方程为]([)(112

1211m nt pt x p

n t t pt y +--?-

+=

-，

即m x t pt p

n

t t y -=--

+2121)(． ------------------------------------------15分

又λ=+=

+21211

1t t k k ，

即λ2121t t t t +=，代入上式，得1212()t t n y t t p x m p λ

++--?=-， 即 m p

ny

x p y t t -+=-+))((21λ．

当0=-λp y 时，有0=-+m p ny x ，即??

???

-==λλn m x p y 为方程的一组解，

所以直线MN 恒过定点

),(λ

λp

n m -

． ------------------------------------------20分