高中数学竞赛赛题精选(带)
高中数学竞赛赛题精选
一、选择题（共12题）
1．定义在R 上的函数()y f x =的值域为［m,n ］,则)1(-=x f y 的值域为（ ） A ．［m,n ］
B ．［m-1,n-1］
C ．［)1(),1(--n f m f ］
D ．无法确定
解：当函数的图像左右平移时，不改变函数的值域.故应选A.
2．设等差数列{n a }满足13853a a =，且n S a ,01>为其前n 项之和，则)(*∈N n S n 中最大的是( ) A. 10S B. 11S C. 20S D. 21S 解：设等差数列的公差为d,由题意知3(1a +7d)=5(1a +12d),即d=-39
2
1a , ∴n a = 1a +( n-1)d= 1a -3921a (n-1)= 1a (3941-39
2
n),欲使)(*∈N n S n 最大，只须n a ≥0，即n ≤20.故应选C.
3．方程log 2x=3cosx 共有（ ）组解． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
解：画出函数y=log 2x 和y=3cosx 的图像，研究其交点情况可知共有3组解．应选C ．
4．已知关于x 的一元二次方程()
02122=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（
）
Ａ．11<<-a Ｂ．1-a Ｃ．12<<-a
Ｄ．2-a
解：令f(x)= ()
2122-+-+a x a x ，其图像开口向上，由题意知f(1)＜0，即 ()
211122-+?-+a a ＜0，
整理得022<-+a a ，解之得12<<-a ，应选C ．
5．已知βα,为锐角，,cos ,sin y x ==βα5
3
)cos(-=β+α，则y 与x 的函数关系为（ ） A ．1)x 53( x 54x 153y 2<<+--= B ．1)x (0 x 54
x 153y 2<<+--= C ．)5
3x (0 x 54x 153y 2<<---
=
D ．1)x (0 x 5
4
x 153y 2<<---
= []x
x y 5
4153sin )sin(cos )cos()(cos cos 2
+-?-=?+++=-+==α
βααβααβαβ解： 而)1,0(∈y 154153
02<+
-?-<∴x x ， 得)1,5
3
(∈x .故应选A. 6．函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2?
?-???
?
，则
b a
-的最大值是（ ）
A. π
B. π2
C.
3
4π
D. 35π
解：如右图，要使函数sin y x =在定义域[],a b 上，值域
为
11,2??
-????
，则b a -的最大值是74()663πππ--=.故应选C. 7．设锐角θ使关于x 的方程x 2+4x cos θ+cot θ=0有重根，则θ的弧度数为 ( )
A ．π6
B ．π12或5π12
C ．π6或5π12
D ．π12
解：由方程有重根，故1
4?=4cos 2θ－cot θ=0，
∵ 0<θ<π2，?2sin2θ=1，?θ=π12或5π
12．选B ．
8．已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ≠?，则b 的取值范围是
( )
A ．[－62，62]
B ．(－62，62)
C ．(－233，233]
D ．[－233，23
3] 解：点(0，b )在椭圆内或椭圆上，?2b 2≤3，?b ∈[－62，6
2]．选A ． 9．不等式log 2x －1+1
2log 12
x 3+2>0的解集为
A ．[2，3)
B ．(2，3]
C ．[2，4)
D ．(2，4]
解：令log 2x=t ≥1时，t －1>3
2t －2．t ∈[1，2)，?x ∈[2，4)，选C ．
10．设点O 在?ABC 的内部，且有+2+3=，则?ABC 的面积与?AOC 的面积的比为
( )
A ．2
B ．32
C ．3
D ．5
3
解：如图，设?AOC=S ，则?OC 1D=3S ，?OB 1D=?OB 1C 1=3S ，?AOB=?OBD=1.5S ．?OBC=0.5S ，??ABC=3S ．选C ．
11．设三位数n=，若以a ，b ，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，
则这样的三位数n 有( )
A ．45个
B ．81个
C ．165个
D ．216个 解：⑴等边三角形共9个；
⑵ 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a ，b )，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，b 即可取156+9=165种数．选C ． 12．顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长为 ( ) A ．53 B ．253 C ．63 D ．263 解：AB ⊥OB ，?PB ⊥AB ，?AB ⊥面POB ，?面PAB ⊥面POB ． OH ⊥PB ，?OH ⊥面PAB ，?OH ⊥HC ，OH ⊥PC ， 又，PC ⊥OC ，?PC ⊥面OCH ．?PC 是三棱锥P －OCH 的高．PC=OC=2． 而?OCH 的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形)． 当OH=2时，由PO=22，知∠OPB=30?，OB=PO tan30?=26 3． 又解：连线如图，由C 为PA 中点，故V O －PBC =1 2V B －AOP ， 而V O －PHC ∶V O －PBC =PH PB =PO 2PB 2(PO 2 =PH ·PB )． 记PO=OA=22=R ，∠AOB=α，则 V P —AOB =16R 3sin αcos α=112R 3sin2α，V B －PCO =1 24R 3sin2α． PO 2PB 2=R 2R 2+R 2cos 2α=11+cos 2α=23+cos2α．?V O －PHC =sin2α3+cos2α?112R 3． 1 A B P O H C ∴ 令y=sin2α3+cos2α，y '=2cos2α(3+cos2α)－(－2sin2α)sin2α(3+cos2α)2=0，得cos2α=－13，?cos α=3 3， ∴ OB=26 3，选D ． 二、填空题（共10题） 13. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差为 解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . 由题设得?? ?-=+=+，，545101010511d a d a 即 ???-=+=+， ， 1922211d a d a 解之得1-=d . 14. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点 (28)，，则b a +等于 4 . 解：由题设知 log (2)1log (8)2a a b b +=?? +=?，， 化简得 2 (2)(8). b a b a +=??+=?， 解之得 1131a b =??=?，； 22 24.a b =-??=-?， （舍去）. 故a b +等于4. 15．已知函数()y f x =的图象如图，则满足222 21 ()(lg(620))021 x x f f x x x x --?-+≤-+的 x 的取值范围为 [21)x ∈-， ． 解： 因为 ()() 22lg 620lg (3)11lg111x x x -+=-+≥>，所以 ()2lg 6200x x -+<. 于是，由图象可知， 2111x x +≤-，即 2 01 x x +≤-，解得 21x -≤<. 故x 的取值范围为 [21)x ∈-，． 16．圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 2 ． 解：原式变形为|3|)1()3(22+-=-++y x y x ，即= 2 | 3|2 +-y x ．所以动点),(y x 到定点(31)-，的距离与它到直线03=+-y x 的距离 之比为2．故此动点轨迹为双曲线，离心率为2． 17．在ABC ?中，已知3tan =B ，3 2 2sin = C ，63=AC ，则ABC ?的面积为 ABC S ?= 解：在ABC ?中，由3tan =B 得?=60B ．由正弦定理得sin 8sin AC C AB B ?= =． 因为?>60322arcsin ，所以角C 可取锐角或钝角，从而3 1 cos ±=C ． sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+= sin 2 ABC AC AB S A ??= = 18. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有 且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 021≤<- a 或 12 1 <≤a . 解：由a a <2得10<++ax x 对于任何x ∈R 成立，得 04162<-=?a ，即2 1 21<<- a ．因为命题P 、Q 有且仅有一个成立，故实数 a 的取值范围是 021≤<- a 或 12 1 <≤a ． 19.22cos 75cos 15cos75cos15++?o o o o 的值是 ． 解：22cos 75cos 15cos75cos15++?o o o o =cos275°+sin275°+sin15°·cos15° =1+°30sin 21=5 4 20.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2f =，且对任意的x R ∈，都有1 ()2 f x '< ，则不等式22log 3 (log )2 x f x +> 的解集为 ． 解：令g ﹙x ﹚=2f ﹙x ﹚－x ，由f '(x ) <1/2得，2f '(x ) -1<0，即'g ﹙x ﹚<0，g(x)在R 上为减函数，且 g(1)=2f(1)-1=3，不等式f(log2X)>2log 2X 化为2f(log2X)—log2X≥3，即g(log2X)>g(1),由g(x)的单调性得：log2X<1,解得，0 21.圆O 的方程为2 2 1x y +=，(1,0)A ，在圆O 上取一个动点B ，设点P 满足()AP OB R λλ=∈u u u r u u u r 且1AP AB ?=u u u r u u u r ．则P 点的轨迹方程为 ． 解：设P(x,y), AB =λOB (λ?R)得B(k(x —1)，ky)，（λ= k 1 ）。将坐标代入AP .AB =1可得 k= 2 2)1(y x x +- ① 又点B 在圆x 2+y 2=1上，则 k 2(x-1)2+k 2y 2=1 ② 由①②消去k 得y 2=2x-1 22.12100l l l L 、、 、为100条共面且不同的直线，若其中编号为*4()k k N ∈的直线互相平行，编号为41k -的直线都过定点A ．则这100条直线的交点个数最多为 ． 解：100条直线任意两条的组合有C 2100，其中编号为4k （k ?N *）的直线互相平行，编号为4k —1的直线都过 定点A ，所以这100条直线的交点个数最多为 C 2100 —C 225—C 225 +1=4351 23.过正四面体1234A A A A 的四个顶点分别作四个相互平行的平面1234αααα、、、，若每相邻两个平面间的距离都为1，则该四面体的体积为 ． 解：如图：将四面体补成一个正方体，E 1 , F 1 分别是A 1B 1 , C 1 D 1 的中点 ，面EF 1D 1D 和面BB 1F 1F 是两个平行平面，它们的距离是1. 设正方体的棱长为a, A 1M=MN=1 , 则A 1E 1= 2 a ， D 1E 1=211211E A D A += 2 5a. 由A 1D 1 *A 1E 1 =A 1M 1*D 1E 1 得a=5. 所以，四面体的体积为V=a 3—4× 6 1a 3 =355. 三、解答题（共3题） 24．在锐角三角形ABC 中，AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ，以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于 F 、 G 两点，FG 与A H 相交于点K ，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK 的长． 解：∵ BC=25，BD=20，BE=7， ∴ CE=24，CD=15． ∵ AC ·BD=CE ·AB ，? AC=6 5AB ， ① ∵ BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，?B 、E 、D 、C 共圆， ?AC (AC －15)=AB (AB －7)，?65AB (6 5AB －15)=AB (AB －18)， ∴ AB=25，AC=30．?AE=18，AD=15． ∴ DE=1 2AC=15． 延长AH 交BC 于P ， 则AP ⊥BC ． ∴ AP ·BC=AC ·BD ，?AP=24． 连DF ，则DF ⊥AB ， ∵ AE=DE ，DF ⊥AB ．?AF=1 2AE=9． ∵ D 、E 、F 、G 共圆，?∠AFG=∠ADE=∠ABC ，??AFG ∽?ABC ， ∴ AK AP =AF AB ，?AK=9?2425=21625． 25．在平面直角坐标系XOY 中，y 轴正半轴上的点列{A n }与曲线y=2x (x ≥0)上的点列{B n }满足 |OA n |=|OB n |=1 n ，直线A n B n 在x 轴上的截距为a n ，点B n 的横坐标为b n ，n ∈N *． ⑴ 证明a n >a n +1>4，n ∈N *； ⑵ 证明有n 0∈N *，使得对?n >n 0，都有b 2b 1+b 3b 2+…+b n b n －1+b n +1 b n 解：⑴ 点A n (0，1n )，B n (b n ，2b n )?由|OA n |=|OB n |，?b n 2+2b n =(1 n )2，?b n =1+(1 n )2－1(b n >0)． ∴ 0 2n 2．且b n 递减，?n 2b n =n (n 2+1－n )= n n 2+1+n =11+(1n )2+1 单调增． ∴ 0 12．?令t n =1n b n >2且t n 单调减． 由截距式方程知，b n a n +2b n 1n =1，(1－2n 2b n =n 2b n 2) 24 18 7 25 20 15 E F B C D A G H K P ∴ a n =b n 1－n 2b n =b n (1+n 2b n )1－2n 2 b n =1+n 2b n n 2b n =(1n b n )2+2(1n b n )=t n 2+2t n =(t n +22)2－12≥(2+22)2－1 2=4． 且由于t n 单调减，知a n 单调减，即a n >a n+1>4成立． 亦可由1n 2b n =b n +2．1 n b n =b n +2，得 a n =b n +2+2b n +2，． ∴ 由b n 递减知a n 递减，且a n >0+2+2?2=4． ⑵ 即证n ∑k=1 (1－b k +1 b k )>2004． 1－b k +1b k =b k －b k +1b k = 1+(1k )2－ 1+(1k +1)2 1+(1 k )2－1 =k 2 ((1k )2－(1k +1)2) 1+(1k )2+11+(1k )2+ 1+(1k +1)2 ≥2k +1(k +1)21+(1k )2+1 21+(1 k )2 >2k +1(k +1)2?12>1k +2． ∴n ∑k=1(1－b k +1b k )>n ∑k=11k +2>(13+14)+(15+16+17+18)+…+>12+12+1 2+…． 只要n 足够大，就有n ∑k=1(1－b k +1 b k )>2004成立． 26．对于整数n ≥4，求出最小的整数f (n )，使得对于任何正整数m ，集合{m ，m +1，…，m+n －1}的任一个f (n )元子集中，均至少有3个两两互素的元素． 解：⑴ 当n ≥4时，对集合M (m ，n )={m ，m +1，…，m+n －1}， 当m 为奇数时，m ，m +1，m +2互质，当m 为偶数时，m +1，m +2，m +3互质．即M 的子集M 中存在3个两两互质的元素，故f (n )存在且f (n )≤n ． ① 取集合T n ={t |2|t 或3|t ，t ≤n +1}，则T 为M (2，n )={2，3，…，n +1}的一个子集，且其中任3个数无不能两两互质．故f (n )≥card (T )+1． 但card(T )=[n+12]+[n+13]－[n+16]．故f (n )≥[n+12]+[n+13]－[n+1 6]+1． ② 由①与②得，f (4)=4，f (5)=5．5≤f (6)≤6，6≤f (7)≤7，7≤f (8)≤8，8≤f (9)≤9． 现计算f (6)，取M={m ，m +1，…，m +5}，若取其中任意5个数，当这5个数中有3个奇数时，这3个奇数互质；当这3个数中有3个偶数k ，k +2，k +4(k 0(mod 2))时，其中至多有1个被5整除，必有1个被3整除，故至少有1个不能被3与5整除，此数与另两个奇数两两互质．故f (6)=5． 而M (m ，n +1)=M (m ，n )∪{m +n }，故f (n +1)≤f (n )+1． ③ ∴ f (7)=6，f (8)=7，f (9)=8． ∴ 对于4≤n ≤9，f (n )= [n+12]+[n+13]－[n+1 6]+1成立． ④ 设对于n ≤k ，④成立，当n=k +1时，由于 M (m ，k +1)=M (m ，k －5)∪{m +k －5，m +k －4，…，m +k }． 在{m +k －5，m +k －4，…，m +k }中，能被2或3整除的数恰有4个，即使这4个数全部取出，只要在前面的M (m ，k －5)中取出f (n )个数就必有3个两两互质的数．于是 当n ≥4时，f (n +6)≤f (n )+4=f (n )+f (6)－1． 故f (k +1)≤f (k －5)+f (6)－1=[k+22]+[k+23]－[k+2 6]+1， 比较②，知对于n=k +1，命题成立． ∴对于任意n ∈N *，n ≥4，f (n )= [n+12]+[n+13]－[n+1 6]+1成立． 又可分段写出结果： f (n )= 4k +1，(n=6k ， k ∈N *)，4k +2，(n=6k +1，k ∈N *)，4k +3，(n=6k +2，k ∈N *)，4k +4，(n=6k +3，k ∈N *)，4k +4，(n=6k +4，k ∈N *)，4k +5，(n=6k +5，k ∈N *)． 高中数学竞赛模拟试题一 一 试 （考试时间：80分钟 满分100分） 一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是 。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数 是 。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是 。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是 。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最 小值为 。 二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。 （1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值； （2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二 试 （考试时间：150分钟 总分：200分） 一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相 切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的 延长线交于P 点。 求证：直线PA 与BC 垂直。 二、（本题50分）正实数z y x ,,，满 足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。 。 O 2 No.31 高中数学联赛模拟试卷 1、已知0 a b, x a b b, y b b a,则 x, y 的大小关系是. 2、设a b c , n N ，且 1 1 c n 恒成立，则 n 的最大值为 a b b a c 3、对于m 1 的一切实数 m ，使不等式 2 x 1 m(x2 1) 都成立的实数x 的取值范围是 4 、已知 f x log sin x, 0, ，设 a f sin cos ， b f sin cos ， 2 2 c f sin 2 ，那么 a、b、 c的大小关系是 cos sin 5、不等式4x 2 2 3 x 2000 . 的解集是 1999 6、函数f x x 2 2x 2 2 x 1 的最小值为 2x 7、若a,b,n R ，且a b n ，则 1 1 1 1 的最小值是. a b 8、若3x2 xy 3y 2 20 ，则 8x 2 23y 2的最大值是． 9、设n N ，求 | n 1949 | | n 1950 | | n 2001 |的最小值． 1 1 L 1 10、求s 1 ，则 s 的整数部分 2 3 106 11、圆周上写着红蓝两色的数。已知，每个红色数等于两侧相邻数之和，每个蓝色数等于两侧相邻数之和的一半。证明，所有红色数之和等于0。（俄罗斯） 12、设a, b, c R ，求证：a2 b2 c2 a b c ． b c c a a b 2 （第二届“友谊杯”国际数学竞赛题） 乌鲁木齐市高级中学数学竞赛培训题 2 参考答案 1、解法 1 x a b b a ， y b b a a . a b b b b a 0 a b, a b b b b a, x y . 解法 2 x a b b b b a x y b b a a b ， a b b a, 1, x y . b y 解法 3 1 1 1 1 a b b b b a x y a b b b b a a a a b b a 1 1 0, x y . = a 0, x y 解法 4 原问题等价于比较 a b b a 与 2 b 的大小 . 由 x 2 y 2 ( x y) 2 , 得 2 （ a b b a )2 2(a b b a) 4b ， a b b a 2 b . a b b a , a b b a 2 b , x y . 解法 5 如图 1，在函数 y x 的图象上取三个不同的 y C 点 A （ b a ， b a ）、B （ b ， b ）、C （ a b ， a b ）. B 由图象，显然有 k BC k AB ，即 a b b b b a ， A (a b) b b (b a) 即 a b b b b a ，亦即 x y . O b-a b b+a x a 图 1 解法 6 令 f (t) a t t ， f (t ) 单 a t t 调递减，而 b b a ， f (b) f (b a) ，即 a b b b b a ， x y . 2、解法 1 原式 a c a c n ． n a c a c ．而 a c a c a b b c a b b c min a b b c a b b c b c a b 2 + b c a b 4 ，且当 b c a b ，即 a c 2b a b b c a b b c a b b c 时取等号． a c a c 4 ． n 4．故选 C ． a b b c min 2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，共64分． 1.设集合{1,2,3,,99}A = ，{2}B x x A =∈，{2}B x x A =∈，则B C 的元素个数 . 解析：因为{1,2,3,,99}A = ，所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ，共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析：过点P 作平面α的垂线，这垂足为O ，则点Q 的轨迹是以O 为圆心，分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 . 解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有6 6720A =种不同的排法，要使 abc def +为偶数，abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. （1）若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形； （2）若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形； 共有648种情形.综上所述，abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. （间接法）“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”， abc def +是偶数分成两种情况：“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”，每 P O M N α 2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（3） 姓名_______ 一、填空题，每题8分 1.设1 sin cos 2 +=x x ，则33sin cos +=x x 2.设i 为虚数单位，化简20162016(1)(1)++-=i i 3.已知等差数列121000,,a a a 的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则1=a 4. 集合 [][][]{}{}231,2,,100++∈x x x x R 共有 个元素，其中[]x 表示不超过x 的 最大整数。 5.若关于x 的方程2=x x ae 有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是 6. 在如图所示的单位正方体1111-ABCD A BC D 中，设 O 为正方体的中心，点,M N 分别在棱111,A D CC 上，112 ,23 ==A M CN ,则四面体1OMNB 的体积等于 7. 已知抛物线P 以椭圆E 的中心为焦点，P 经过E 的两个焦点，并且P 与E 恰有三个交点，则E 得离心率等于 二、简答题 8.已知数列{}n a 满足211012 2391,5,2-----===n n n n a a a a a a ，2≥n 。用数学归纳法证明： 223+=-n n a 9.证明：对任意的实数,,a b c ≥并 求等号成立的充分必要条件。 10.求满足1≤-≤n m m n mn 的所有正整数对(,)m n 2017年高中数学竞赛模拟试卷（3）答案 一、 填空题，每题8分 1.设1 sin cos 2 += x x ，则33sin cos +=x x 解答：由1sin cos 2+= x x ，可得112s i n c o s 4+=x x ，故3 sin cos 8 =-x x ，从而33sin cos +=x x 221311 (sin cos )(sin cos sin cos )(1)2816 +-+= +=x x x x x x 2.设i 为虚数单位，化简20162016(1)(1)++-=i i 解答：由2(1)2+=i i ，可得2016 1(1)2+=i ，同理可得20161(1)2-=i 故 201620161009(1)(1)2++-=i i 3.已知等差数列121000,, a a a 的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则1=a 解答：设等差数列的公差为d ，则有11004950100+=a d ，1100949501000+=a d 解得 10.505=a 4. 集合 [][][]{}{}231,2,,100++∈x x x x R 共有 个元素，其中[]x 表示不超过x 的 最大整数。 解答：设[][][]()23=++f x x x x 则有(1)()6+=+f x f x ，当01≤ 1988年全国高中数学联赛试题 第一试(10月16日上午8∶00——9∶30) 一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)： 1．设有三个函数，第一个是y=φ(x )，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象及第二个函数的图象关于x +y=0对称，那么，第三个函数是( ) A ．y=－φ(x ) B ．y=－φ(－x ) C ．y=－φ－1(x ) D ．y=－φ－ 1(－x ) 2．已知原点在椭圆k 2x 2+y 2－4kx +2ky +k 2－1=0的内部，那么参数k 的取值范围是( ) A ．|k |>1 B ．|k |≠1 C ．－1 2015年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分 1.设,a b 为不相等的实数，若二次函数2()f x x ax b =++满足()()f a f b =，则(2)f 的值为 2.若实数α满足cos tan αα=，则41cos sin αα +的值为 3.已知复数数列{}n z 满足111,1(1,2,3,)n n z z z ni n +==++=，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则2015z 的值为 4.在矩形ABCD 中，2,1AB AD ==,边DC （包含点,D C ）上的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足DP BQ =,则向量PA 与向量PQ 的数量积PA PQ ?的最小值为 5.在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为 6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{}(,)(36)(36)0K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为 7.设ω为正实数，若存在,(2)a b a b ππ≤<≤，使得sin sin 2a b ωω+=，则ω的取值范围是 8.对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤，若,,a b b c c d ><>，则称abcd 为P 类数，若 ,,a b b c c d <><，则称abcd 为Q 类数，用(),()N P N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数，则 ()()N P N Q -的值为 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 9.（本题满分16分）若实数,,a b c 满足242,424a b c a b c +=+=，求c 的最小值. 10.（本题满分20分）设1234,,,a a a a 是4个有理数，使得 {}311424,2,,,1,328i j a a i j ??≤<≤=----???? ，求1234a a a a +++的值. 11.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，12,F F 分别是椭圆2 212 x y +=的左、右焦点，设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆交于两个不同的点,A B ，焦点2F 到直线l 的距离为d ，如果直线11,,AF l BF 的斜率依次成等差数列，求d 的取值范围. 全国高中数学联合竞赛试题（校模拟） 第 一 试 时间：10月16日 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1、设锐角θ使关于x 的方程2 4cos cot 0x x θθ++=有重根，则θ的弧度数为（ ） A. 6 π B. 512 12 or π π C. 56 12 or π π D. 12 π 2、已知2 2 {(,)|23},{(,)|}M x y x y N x y y mx b =+===+。若对所有 ,m R M N ∈≠? 均有，则b 的取值范围是（ ） A. ???? B. ? ?? C. (,33 - D. ???? 3、 312 1 log 202x +>的解集为（ ） A. [2,3) B. (2,3] C. [2,4) D. (2,4] 4、设O 点在ABC ?内部，且有230OA OB OC ++= ，则ABC ?的面积与AOC ?的面积 的比为（ ） A. 2 B. 32 C. 3 D. 53 5、设三位数n abc =，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n 有（ ） A. 45个 B. 81个 C. 165个 D. 216个 6、顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆的圆心，AB OB ⊥，垂足为B ，OH PB ⊥，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长是（ ） A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7、在平面直角坐标系xoy 中，函数()sin cos (0)f x a ax ax a =+>在一个最小正周期长的 区间上的图像与函数()g x = ________________。 8、设函数:,(0)1f R R f →=满足，且对任意,,x y R ∈都有 (1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+，则()f x =_____________________。 2011年全国高中数学联赛模拟试题一 一试 一．填空题（每小题8分，共64分） 1．函数2 54()2x x f x x -+=-在(,2)-∞上的最小值是 ． 2. 函数x x x x y cos sin 1cos sin ++= 的值域是 ． 3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。则使不等式a ?2b +10>0成立的事件发生的概率等于 ． 4．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1 (1) n n n S a n n -+=+，1,2,n =，则通项n a = ． 5.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>与直线1x y +=交于M,N 两点,且OM ON ⊥,(O 为 原点),当椭圆的离心率]2 e ∈时,椭圆长轴长的取值范围是 ． 6．函数 y =的最大值是 ． 7．在平面直角坐标系中，定义点()11,y x P 、()22,y x Q 之间的“直角距离”为 . ),(2121y y x x Q P d -+-=若()y x C ,到点()3,1A 、()9,6B 的“直角距离”相等，其 中实数x 、y 满足100≤≤x 、100≤≤y ，则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和 为 ． 8．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 ． 二.解答题（共56分） 9.（16分） 已知定义在R 上的函数()f x 满足：5 (1)2 f =，且对于任意实数x y 、，总有()()()()f x f y f x y f x y =++-成立. （1）若数列{}n a 满足2(1)()(1,2,3, )n a f n f n n =+-=，求数列{}n a 的通项公式； （2）若对于任意非零实数y ，总有()2f y >.设有理数12,x x 满足12||||x x <，判断1() f x 和2()f x 的大小关系，并证明你的结论. 最新高中数学奥数竞赛竞赛试题 总分200分 一、选择题（50分） 1、已知i 是虚数单位，则复数 122 i i +-=（ ） A i B i - C 4355i -- D 4355 i -+ 2、下列函数中，既是奇函数，又是在区间(,)-∞+∞上单调递增的函数是（ ） A 2y x x =+ B 2sin y x x =+ C 3y x x =+ D tan y x = 3、已知,a b r r 均为单位向量，其夹角为θ，则命题:1p a b ->r r 是命题5:[,)26 q ππ θ∈的 （ ） A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 非充分非必要条件 4、已知集合{}{}|12,|21P x x M x a x a = ≤≤=-≤≤+，若P M P =I ，则实 数a 的取值范围是（ ） A (,1]-∞ B [1,)+∞ C [1,1]- D [1,)-+∞ 5、函数3sin()cos()226 y x x ππ = ++-的最大值是（ ） A 134 B 134 C 132 D 13 6、如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（ ） A A B SA ⊥ B B C P 平面SAD C BC 与SA 所成的角等于A D 与SC 所成的角 D SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 7、程序框图如图所示，若 22(),()log f x x g x x ==，输入x 的 值为0.25，则输出的结果是（ ） A 0.24 B 2- C 2 D 0.25- 8、设,i j r r 分别表示平面直角坐标系,x y 轴上的单位向量，且 模拟试题一 2010年全国高中数学联赛模拟试题 一 试 一、填空题（每小题８分，共６４分） 1．方程错误！未找到引用源。 2．如图，在错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，则m+2n 的值为 错误！未找到引用源。 ３．错误！未找到引用源。 4．单位正方体错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。这八个面截这个单位正方体，则含正方体中心的那一部分的体积为 . ５．设数列错误！未找到引用源。 6．已知实数x ，y ，z 满足xyz=32，x+y+z=4，则|x|+|y|+|z|的最小值为错误！未找到引用源。 7．若错误！未找到引用源。 8．空间有100个点，任4点不共面，用若干条线段连结这些点，如果不存在三角形，最多 可连错误！未找到引用源。条线段． 二、解答题（共５６分） 9．（16分）设错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。之和为21，第2项、第3项、第4项之和为33． （1）求数列错误！未找到引用源。的通项公式； （2）设集合错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。， 求证：错误！未找到引用源。． 10．（20分）过抛物线错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。的距离均不为整数． 11．（20分）已知二次函数错误！未找到引用源。有两个非整数实根，且两根不在相邻两整数之间．试求a ， b 满足的条件，使得一定存在整数k ，有错误！未找到引用源。成立． 二 试 一．（40分）如图，已知错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。求证：错误！未找到引用源。 N D C A M B P E F A 二．（40分）设错误！未找到引用源。． 三. （50分）已知n 个四元集合错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。，试求n 的最大值．这里错误！未找到引用源。 四．（50分）设错误！未找到引用源。为正整数错误！未找到引用源。 的二进制表示数的各位数字之和，错误！未找到引用源。为数列错误！未找到引用源。的前n 项和. 若存在无穷多个正整数n ，满足错误！未找到引用源。，且m 错误！未找到引用源。，则称错误！未找到引用源。是“好数”.试问： （1）2，3，5是否都是好数？ （2）错误！未找到引用源。是否都是好数？ 模拟试题二 全国高中数学联赛模拟试题 江苏省盐城中学 陈健 第一试 一、填空题：（每小题7分，共计56分） 1. 若函数)(x f y =图象经过点（2，4），则)22(x f y -=的反函数必过点__________ 2. a 、b 、c 是从集合{ }54321，，，，中任意选取的3个不重复的数，则c ab +为奇数的概率为___________ 3. 已知数列{}n a 的通项公式是1 )1(1)1(2 244++++++=n n n n a n ，则数列{}n a 的前n 项和n S =_____ 4. 抛物线2 8 1x y - =的准线与y 轴交于点A ，过A 作直线交抛物线于点M 、N ，点B 在抛物线对称轴上，且MN MN BM ⊥+ )2 (，则OB 的取值范围是____________ 5. 已知,R αβ∈，直线 1sin sin sin cos x y αβαβ+=++与1cos sin cos cos x y αβαβ +=++ 的交点在直线y x =-上，则cos sin c in s s o ααββ+++= 6. 如图，四面体ABCD 中，ADB ?为等腰直角三角形， 090=∠ADB ，1=AD ，且0 60=∠=∠ADC BDC ， 则异面直线AB 与CD 的距离为______________ 7. 已知点)2,2(A 、),(y x P ，且y x ,满足 A B C D 全国高中数学联赛试题 及解答 集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN] 2000年全国高中数学联合竞赛试卷 （10月15日上午8:009:40） 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．设全集是实数，若A={x|≤0}，B={x|10=10x}，则A∩R B是() (A){2}(B){1}(C){x|x≤2}(D) 2．设sin＞0，cos＜0，且sin＞cos，则的取值范围是() (A)(2k+，2k+)，k Z(B)(+，+)，k Z (C)(2k+，2k+)，k Z(D)(2k+，2k+)∪(2k+，2k+)，k Z 3．已知点A为双曲线x2y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是() (A)(B)(C)3(D)6 4．给定正数p，q，a，b，c，其中pq，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx22ax+c=0() (A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根 5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是() (A)(B)(C)(D) 6．设ω=cos+i sin，则以，3，7，9为根的方程是() (A)x4+x3+x2+x+1=0(B)x4x3+x2x+1=0 (C)x4x3x2+x+1=0(D)x4+x3+x2x1=0 二．填空题（本题满分54分，每小题9分） 1．arcsin(sin2000)=__________． 2．设a n是(3)n的展开式中x项的系数(n=2，3，4，…)，则(++… +))=________. 3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________. 4．在椭圆+=1(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________. 5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________. 6．如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}； (2)ab，bc，cd，da； (3)a是a，b，c，d中的最小值， 那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________ 三、解答题(本题满分60分，每小题20分) 1．设S n=1+2+3+…+n，n N*，求f(n)=的最大值． 数学奥林匹克高中训练题 第一试 一、填空题（每小题8份，共64分） 1.函数3 ()2731x x f x +=-+在区间[0,3]上的最小值为_____. 2.在数列{}n a 中,11 3 a = ,且12[]n n n a a a +=-,则20092010a a +=_____. 3.若集合{|61,}A x x n n N ==-∈,{|83,}B x x n n N ==+∈,则A B 中小于2010的元素个数为_____. 4.若方程sin (1)cos 2n x n x n ++=+在π< 高中数学竞赛试题 一选择题(每题5分,满分60分) 1. 如果a,b,c 都是实数，那么P ∶ac<0,是q ∶关于x 的方程ax 2 +bx+c=0有一个正根和一个 负根的（ ） （A ）必要而不充分条件 （B ）充要条件 （C ）充分而不必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 2. 某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（ ）。 （A ） 100 5 .03?克 （B ）(1－0.5%)3克 （C ）0.925克 （D ）100125.0克 3. 由甲城市到乙城市t 分钟的电话费由函数g (t )=1.06×(0.75[t ]+1)给出，其中t >0，[t ]表示 大于或等于t 的最小整数，则从甲城市到乙城市5.5分钟的电话费为（ ）。 （A ）5.83元 （B ）5.25元 （C ）5.56元 （D ）5.04元 4. 已知函数 >0， 则 的值 A 、一定大于零 B 、一定小于零 C 、等于零 D 、正负都有可能 5. 已知数列3，7，11，15，…则113是它的（ ） （A ）第23项 （B ）第24项 （C ）第19项 （D ）第25项 6. 已知等差数列}{n a 的公差不为零，}{n a 中的部分项 ,,,,,321n k k k k a a a a 构成等比数 列，其中,17,5,1321===k k k 则n k k k k ++++ 321等于（ ） (A) 13--n n (B) 13-+n n (C) 13+-n n (D)都不对 7. 已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4 π = x 处取得最小 值，则函数)4 3( x f y -=π 是（ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 8. 如果 A A tan 1tan 1+-= 4+5，那么cot （A +4 π ）的值等于 ( ) A -4-5 B 4+5 C - 5 41+ D 5 41+ 9. 已知︱︱=1，︱︱=3,?=0,点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，设 =m +n (m 、n ∈R )，则 n m 等于 高中数学竞赛模拟试题（一） 一、选择题： 1.设集合}5,4,3,2,1{},1,0,2{=-=N M ，映射N M f →:使得对任意的M x ∈，都有 )()(x xf x f x ++是奇数，则这样的映射f 的个数是 （ A ） （A ）45 （B ）27 （C ）15 （D ）11 提示：当2-=x 时，)2(2)()(---=++f x xf x f x 为奇数，则)2(-f 可取1、3、5，有3种取法；当0=x 时，)0()()(f x xf x f x =++为奇数，则)0(f 可取1、3、5，有3种取法；当1=x 时，)1(21)()(f x xf x f x +=++为奇数，则)1(f 可取1、2、3、4、5，有5种取法。由乘法原理知共有45533=??个映射。 2.设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知0)()2(=-?-+，则△ABC 的形状是 （ A ） （A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）等腰直角三角形 （D ）等边三角形 提示：+=++=-+22. 3.设函数x b ax x g x x f + ==)(,ln )(，它们的图象在x 轴上的公共点处有公切线，则当1>x 时，)(x f 与)(x g 的大小关系是 （ B ） （A ）)()(x g x f >（B ）)()(x g x f <（C ）)()(x g x f =（D ）)(x f 与)(x g 的大小不确定 提示：)(x f 与)(x g 的图象在x 轴上有公共点)0,1(，∴0,0)1(=+=b a g 即. ∵x x f 1)('= ,2')(x b a x g -=,由题意1,1)1()1(' '=-==b a g f 即,∴.21,21==b a 令)2121(ln )()()(x x x x g x f x F --=-=,则0)11 (2121211)(22'≤--=--=x x x x F ∴)(x F 在其定义域内单调递减.由∵0)1(=F ,∴当1>x 时,0)( 2021高一数学竞赛试题 一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1.已知 , 为集合I的非空真子集，且 , 不相等，若，则 A. B. C. D. 2.与直线的斜率相等，且过点-4,3的直线方程为 A. = 32 B. =32 C. =32 D. =-32 3. 已知过点和的直线的斜率为1，则实数的值为 A.1 B.2 C.1或4 D.1或2 4. 已知圆锥的表面积为6 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为 A. B.2 C. D. 5. 在空间中，给出下面四个命题，则其中正确命题的个数为 ①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直; ②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α∥β; ③若直线l与平面内的无数条直线垂直，则l⊥α; ④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两平行线; A.3 B.2 C.1 D.0 6. 已知函数定义域是，则函数的定义域是 A. B. C. D. 7. 直线在同一坐标系中的图形大致是图中的 8. 设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为，体积为，若它们的侧面积相等且，则的值是 A. B. C. D. 9.设函数，如果，则的取值范围是 A. 或 B. C. D. 或 10.已知函数没有零点，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 11.定义在R上的偶函数满足：对任意的，有 .则 A. B. C. D. 12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各个面中，直角三角形的个数是 A.1 B.2 C.3 D. 第Ⅱ卷非选择题，共90分 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.. 13.已知增函数，且，则的零点的个数为 14. 已知在定义域上是增函数，则的取值范围是 15. 直线恒过定点 16. 高为的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为 三、解答题17题10,其余每题12分 17.已知一个空间组合体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，请说出该组合体由哪些几何体组成，并且求出该组合体的表面积和体积 18.已知偶函数的定义域为 ,且在上是增函数，试比较与的大小。 19. 已知方程 + +6- =0 . 1求该方程表示一条直线的条件; 2当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在?求出这时的直线方程; 3已知方程表示的直线在轴上的截距为 -3，求实数的值; 全国高中数学联赛模拟试题（九） 新人教A 版 第一试 一、选择题：（每小题6分，共36分） 1、已知n 、s 是整数．若不论n 是什么整数，方程x 2-8nx +7s =0没有整数解，则所有这样的数s 的集合是 （A ）奇数集 （B ）所有形如6k +1的数集 （C ）偶数集 （D ）所有形如4k +3的数集 2、某个货场有1997辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4辆车装货总数为34箱．为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是 （A ）16966 （B ）16975 （C ）16984 （D ）17009 3、非常数数列{a i }满足02121=+-++i i i i a a a a ，且11-+≠i i a a ，i =0,1,2,…,n ．对于给定的自然数n ，a 1=a n +1=1，则∑-=1 0n i i a 等于 （A ）2 （B ）-1 （C ）1 （D ）0 4、已知、是方程ax 2 +bx +c =0（a 、b 、c 为实数）的两根，且是虚数， β α2 是实数，则∑=??? ? ??5985 1k k βα的值是 （A ）1 （B ）2 （C ）0 （D ）3i 5、已知 a + b + c =abc ，()()()()()()ab b a ac c a bc c b A 2 2 2 2 2 2 111111--+--+--= ，则A 的值是 （A ）3 （B ）-3 （C ）4 （D ）-4 6、对x i ∈{1,2,…,n }，i =1,2,…,n ，有()2 11 += ∑=n n x n i i ，x 1x 2…x n =n ！，使x 1,x 2,…,x n ，一定是1,2,…,n 的一个排列的最大数n 是 （A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）9 浙江省高中数学竞赛试题及答案 一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1.集合{,11P x x R x =∈-<}，{,1},Q x x R x a =∈-≤且P Q ?=?,则实数a 取值范围为（ ） A. 3a ≥ B. 1a ≤-. C. 1a ≤-或 3a ≥ D. 13a -≤≤ 2.若,,R αβ∈ 则90αβ+=是sin sin 1αβ+>的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知等比数列{a n }：,31=a 且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（ ） A. D. 4. 已知复数(,,z x yi x y R i =+∈为虚数单位），且2 8z i =，则z =（ ） A.22z i =+ B. 22z i =-- C. 22,z i =-+或22z i =- D. 22,z i =+或22z i =-- 5. 已知直线AB 与抛物线2 4y x =交于,A B 两点，M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足 00min{}C A C B CA CB ?=?，则下列一定成立的是（ ） 。 A. 0C M AB ⊥ B. 0,C M l ⊥其中l 是抛物线过0C 的切线 C. 00C A C B ⊥ D. 01 2 C M AB = 6. 某程序框图如下，当E =0.96时，则输出的K=（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 25 , 7. 若三位数abc 被7整除，且,,a b c 成公差非零的等差数列，则这样的整数共有（ ）个。 A.4 B. 6 C. 7 D 8 8. 已知一个立体图形的三视图如下，则该立体的体积为（ ）。 A.高中数学竞赛模拟试题一汇总
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