第37讲 数列的求和(解析版)
第37讲：数列的求和
一、课程标准
1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式及倒序相加求和、错位相减求和法．
2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决与前n 项和相关的问题.
二、基础知识回顾 1．公式法
(1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d
2. 推导方法：倒序相加法．
(2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝????
?
na 1，q ＝1，a 1(1－q n
)1－q ，q ≠1.
推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)
2； ②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法
(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．
(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．
(4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 3、常见的裂项技巧
①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. ②1n (n ＋2)＝12????1
n －1n ＋2.
③1(2n －1)(2n ＋1)＝12????1
2n －1－12n ＋1. ④1
n ＋n ＋1＝n ＋1－n .
⑤1n (n ＋1)(n ＋2)＝12????1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2).
三、自主热身、归纳总结
1、数列112，314，518，71
16，…的前n 项和为(C )
A . 2n －1＋12n
B . n 2
＋1－1
2n C . n 2
＋1－12n D . n 2＋1－1
2n －1
【答案】C
【解析】 S n ＝(1＋3＋5＋…＋2n －1)＋12＋14＋18＋…＋12n ＝n 2
＋1－1
2n .故选C .
2、数列{a n }的通项公式为a n ＝1
n ＋n －1，若该数列的前k 项之和等于9，则k ＝( )
A ．80
B ．81
C ．79
D ．82
【答案】B
【解析】 a n ＝1
n ＋n －1＝n －n －1， 故S n ＝n ，令S k ＝k ＝9，解得k ＝81，故选B.
3、若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )
A ．15 B.12 C ．－12 D ．－15
【答案】A
【解析】a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝－1＋4－7＋10－13＋16－19＋22－25＋28 ＝5×3＝15，故选A.
4、数列{a n }的通项公式为a n ＝n cos n π
2，其前n 项和为S n ，则S 2 020＝________. 【答案】1 010
【解析】因为数列a n ＝n cos n π
2呈周期性变化，观察此数列规律如下：a 1＝0，a 2＝－2，a 3＝0，a 4＝4.
故S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2. a 5＝0，a 6＝－6，a 7＝0，a 8＝8， 故a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，∴周期T ＝4. ∴S 2 020＝2 020
4×2＝1 010.
5、(一题两空)(2020·安徽太和模拟)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，a n ＋1＋S n S n ＋1＝0，则S n ＝________，数列{}S n S n ＋1的前n 项和为________． 【答案】1n n n ＋1
【解析】∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＋S n S n ＋1＝0，∴S n ＋1－S n ＋S n S n ＋1＝0，∴1
S n ＋1－1
S n ＝1.
又∵1S 1＝1a 1＝1，∴?????
?
1S n 是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴1S n ＝n ，∴S n ＝1n .∴S n S n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1
n ＋1， ∴T n ＝????1－12＋????
12－13＋…＋????1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.
6、(2020·郑州模拟)数列{a n }满足：a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *
，都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1
a 3＋…
＋1
a 2 018＝( )
A.2 017
2 018 B.2 0182 019 C.4 0342 018 D.4 0362 019
【答案】D
【解析】因为a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，
所以a n ＋1＝a n ＋n ＋1，即a n ＋1－a n ＝n ＋1， 用累加法可得a n ＝a 1＋(n －1)(n ＋2)2＝n (n ＋1)
2， 所以1a n ＝2n (n ＋1)＝2????1
n －1n ＋1， 所以1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 018
＝2????????1－12＋????12－13＋…＋????1
2 018－12 019
＝4 0362 019. 四、例题选讲 题型一 公式法
例1、(2019通州、海门、启东期末）设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4，则它的前5项和S 5＝________． 【答案】62
【解析】设公比为q ，因为a 1＝2，a 3＝a 2＋4，所以2q 2＝2q ＋4，解得q ＝2或q ＝－1，因为{a n }为正项数列，所以q ＝2，所以S 5＝2（1－25）
1－2＝62.
变式1、(2019镇江期末） 设S n 是等比数列{a n }的前n 项的和，若a 6a 3＝－12，则S 6
S 3＝________． 【答案】 1
2
【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，则q 3
＝a 6a 3＝－12.易得S 6＝S 3(1＋q 3)，所以S 6S 3＝1＋q 3
＝1－12＝1
2.
变式2、(2019苏锡常镇调研）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若622a a =，则12
8
S S ＝ ． 【答案】.3
7
【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为622a a =，所以2422a q a =，故24
=q ．由于1≠q ，故
.372121)(1)(1111)1(1)1(2
3243481281121812=--=--=--=----=q q q q q
q a q q a S S 方法总结：若一个数列为等差数列或者等比数列则运用求和公式：①等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .②等比数列的前n 项和公式(Ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；(Ⅰ)当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q
1－q . 考点二 利用“分组求和法”求和
例2、求和S n ＝1＋????1＋12＋????
1＋12＋14＋…＋????1＋12＋14＋…＋12n －1.
【解析】 原式中通项为a n ＝????1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－????12n
1－12
＝2????1－12n
∴S n
＝2????
????1－12＋????1－122
＋…????1－12n
＝2????
??n －12????1－1
2n
1－12＝12
n －1＋2n －2.
变式1、数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋1
2n ，…的前n 项和S n 的值等于________． 【答案】n 2
＋1－1
2n .
【解析】：S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋????12＋14＋1
8＋…＋12n ＝n 2＋12???
?
??
1－????12n
1－1
2＝n 2
＋1－1
2n .
变式2、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n
2，n ∈N *.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 【解析】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)
2＝n . a 1＝1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n .
记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )． 记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ， 则A ＝2(1－22n )
1－2＝22n ＋1－2，
B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.
变式3、设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *满足2S n ＝a n (a n ＋1)，且a n ≠0. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设c n ＝????
?a n ＋1，n 为奇数，3×2a n －1＋1，n 为偶数，
求数列{c n }的前2n 项和T 2n . 【解析】 (1)∵2S n ＝a n ()a n ＋1，当n ≥2时，2S n －1＝a n －1(a n －1＋1)，
以上两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1，
即a n ＋a n －1＝()a n ＋a n －1()a n －a n －1，
又当n ＝1时，由2S 1＝a 1()a 1＋1及a 1≠0得a 1＝1， ∵a n ≠0，∴当n ≥2时，有a n －a n －1＝1或a n ＋a n －1＝0.
①当a n －a n －1＝1时，数列{a n }是等差数列，其通项公式为a n ＝n (n ∈N *)； ②当a n ＋a n －1＝0时，a n ＝(－1)n －1.(n ∈N *)．
(2)①当a n ＝n ，得c n ＝?
????n ＋1，n 为奇数，
3×2n －1＋1，n 为偶数， ∴T 2n ＝(2＋4＋…＋2n )＋()21
＋23
＋…＋2
2n －1
＋n ＝n (n ＋1)＋3×2（22n －1）
4－1
＋n ＝n 2＋2n －2＋22n ＋1； ②当a n ＝(－1)
n －1
时，得到c n ＝????
?－1，n 为奇数，7，n 为偶数，
∴T 2n ＝n (－1＋7)＝6n .
方法总结：数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n 项和的数列求和． 考点三 裂项相消法求和
例3、(2018南通、扬州、泰州、淮安三调） 设数列{}a n 满足a 1＝1，(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1(n ∈N *)，则
(a k a k ＋1)的值为________． 【答案】. 100
101
【解析】因为(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1，所以a n －a n ＋1－a n a n ＋1＝0，从而1
a n ＋1－1a n ＝1，即数列?????
?
1a n 是以1为首项，
1为公差的等差数列，所以1a n ＝1＋n －1＝n ，所以a n ＝1n ，故a n ＋1a n ＝1(n ＋1)n ＝1n －1
n ＋1，因此 (a k a k ＋
1)＝????1－12＋????12－13＋…＋????1
100－1101＝1－1101＝100101.
变式1、(2019·湖南省湘东六校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝S n －1＋1(n ≥2，n ∈N )，且a 1＝1.
(1)求数列{a n }的通项公式a n ；
(2)记b n ＝1
a n ·a n ＋1，求数列{
b n }的前n 项和T n .
【解析】 (1)由已知有S n －S n －1＝1(n ≥2，n ∈N )，∴数列{S n }为等差数列，又S 1＝a 1＝1，∴S n ＝n ，
即S n ＝n 2.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 又a 1＝1也满足上式，∴a n ＝2n －1. (2)由(1)知，b n ＝1
(2n －1)(2n ＋1) ＝12????1
2n －1－12n ＋1，
∴T n ＝12????????1－13＋????13－15＋…＋????1
2n －1－12n ＋1＝12????1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 变式2、已知数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，且满足4S n ＝(a n ＋1)2.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝1
a n .a n ＋1，求数列{
b n }的前n 项和T n 及T n 的最小值．
【解析】 (1)∵(a n ＋1)2＝4S n ，∴S n ＝（a n ＋1）24，S n ＋1＝（a n ＋1＋1）2
4， ∴S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝（a n ＋1＋1）2－（a n ＋1）24
， 即4a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2
n ＋2a n ＋1－2a n ，
∴2(a n ＋1＋a n )＝(a n ＋1＋a n )·(a n ＋1－a n )．∵a n ＋1＋a n ≠0，∴a n ＋1－a n ＝2，即{a n }是公差为2的等差数列，由(a 1＋1)2＝4a 1，解得a 1＝1，∴a n ＝2n －1.
(2)由(1)知b n ＝1
（2n －1）（2n ＋1）＝ 12????1
2n －1－12n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝ 12????1－13＋13－1
5＋…＋12n －1－12n ＋1＝ 12????1－12n ＋1＝12－12（2n ＋1）＝n 2n ＋1.
∵T n ＋1－T n ＝12－12（2n ＋3）－????
12－12（2n ＋1）＝ 12（2n ＋1）－12（2n ＋3）＝1
（2n ＋1）（2n ＋3）＞0， ∴T n ＋1>T n ，∴数列{}T n 为递增数列， ∴T n 的最小值为T 1＝1
3.
变式3、已知函数f (x )＝x α
的图象过点(4,2)，令a n ＝1
f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2
020＝(
)
A. 2 019－1
B. 2 020－1
C. 2 021－1
D. 2 021＋1
【答案】 C
【解析】 由f (4)＝2，可得4α
＝2，解得α＝1
2，
则f (x )＝x .
所以a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1
n ＋1＋n ＝n ＋1－n ，
所以S 2 020＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 020＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 021－ 2 020)＝2 021－1.
方法总结：常见题型有（1）数列的通项公式形如a n ＝1n n ＋k 时，可转化为a n ＝1k ????1
n －1n ＋k ，此类数列适合使用裂项相消法求和．
（2）数列的通项公式形如a n ＝1n ＋k ＋n 时，可转化为a n ＝1
k (n ＋k －n )，此类数列适合使用裂项相消法求和．
考点四 错位相减法求和
例4、(2019南京调研）已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝21，S 4＋b 4＝30.
(1) 求数列{a n }和{b n }的通项公式；
(2) 记c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．
【解析】(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .
由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d .(3分)
由条件a 4＋b 4＝21，S 4＋b 4＝30，得方程组????? 2＋3d ＋2q 3＝21，8＋6d ＋2q 3
＝30，解得???
??
d ＝1，
q ＝2.
所以a n ＝n ＋1，b n ＝2n ，n ∈N *.(7分) (2) 由题意知c n ＝(n ＋1)×2n . 记T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n .
则T n ＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋n ×2n －1＋ (n ＋1)×2n ，
2T n ＝2×22＋3×23＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ＋(n ＋1)2n ＋1，
所以－T n ＝2×2＋(22＋23＋…＋2n )－(n ＋1)×2n ＋1，(11分) 即T n ＝n ·2n ＋
1，n ∈N *.(14分)
变式1、(2019·郑州市第二次质量检测)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n >0，前n 项和为S n ，若a n ＝S n ＋S n －1(n ∈N *，且n ≥2)．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)记c n ＝a n ·2a n ，求数列{c n }的前n 项和T n . 【解析】(1)在数列{a n }中，a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，①
∵a n ＝S n ＋S n －1 ②，且a n >0， ∴①÷②得S n －S n －1＝1(n ≥2)，
∴数列{}S n 是以S 1＝a 1＝1为首项，公差为1的等差数列， ∴S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，∴S n ＝n 2.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 当n ＝1时，a 1＝1，也满足上式， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.
(2)由(1)知，a n ＝2n －1，∴c n ＝(2n －1)×22n －1， 则T n ＝1×2＋3×23＋5×25＋…＋(2n －1)×22n －1，
4T n ＝1×23＋3×25＋5×27＋…＋(2n －3)×22n －1＋(2n －1)×22n ＋1，
两式相减得，－3T n ＝2＋2(23
＋25
＋…＋22n －1)－(2n －1)×22n ＋1＝2＋2×8(1－22n －2)
1－4
－(2n －1)22n ＋1 ＝－103＋????
53－2n 22n ＋1，
∴T n ＝(6n －5)22n ＋
1＋10
9
. 变式2、设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d ＞1时，记c n ＝a n
b n ，求数列{
c n }的前n 项和T n .
解析：(1)由题意得????? 10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即????? 2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得????
?
a 1＝1，d ＝2或?????
a 1＝9，
d ＝29.
故?
????
a n ＝2n －1，
b n ＝2n －1或???
??
a n
＝1
9(2n ＋79)，
b n
＝9·????29n －1
.
(2)由d ＞1，知a n ＝2n －1，b n ＝2
n －1
，故c n ＝2n －1
2n －1，于是
T n ＝1＋32＋522＋723＋9
24＋…＋2n －12n －1， ① 12T n ＝12＋322＋523＋724＋9
25
＋…＋2n －12n . ②
①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －
2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，故T n ＝6－2n ＋32n －1.
方法总结：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.。特别注意错位相减法的步骤。
五、优化提升与真题演练
1、【2018年高考全国I 卷理数】记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =___________．
【答案】63-
【解析】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+，两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以?1为首项，以2为公比的等比数列，所以
(
)66126312
S --=
=--，故答案是63-.
2、【2019年高考全国III 卷理数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则
10
5
S S =___________． 【答案】4
【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,
因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，
所以
105S S =1111109
1010024542552
a d a a a d ?+
==?+． 3、【2019年高考全国I 卷理数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若2
1461
3
a a a ==，，则S 5=___________．
【答案】
121
3
【解析】设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a =
=，所以32511
(),33
q q =又0q ≠， 所以3,q =所以
55
151
(13)(1)12131133
a q S q --===
--． 4、【2020年山东卷】将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________． 【答案】232n n -
【解析】因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列， 所以{}n a 的前n 项和为2(1)
16322
n n n n n -?+?=-， 故答案为：232n n -.
5、【2020年全国1卷】.设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项． （1）求{}n a 的公比；
（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．
【答案】（1）2-；（2）1(13)(2)9
n
n n S -+-=
. 【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，1a 为23,a a 的等差中项，
212312,0,20a a a a q q =+≠∴+-=，
1,2q q ≠∴=-；
（2）设{}
n na 前n 项和为n S ，1
11,(2)
n n a a -==-，
21112(2)3(2)(2)n n S n -=?+?-+?-+
+-，①
23121(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=?-+?-+?-+
--+-，②
①-②得，2
131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-+
+---
1(2)1(13)(2)(2)1(2)3n n n n n ---+-=--=--， 1(13)(2)9
n
n n S -+-∴=
. 6、【2020年全国3卷】设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-． （1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．
【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-?+.
【解析】（1）由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，
由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+， 证明如下：
当1n =时，13a =成立； 假设n k =时，21k a k =+成立.
那么1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立. 则对任意的*n N ∈，都有21n a n =+成立； （2）由（1）可知，2(21)2n
n
n a n ?=+?
231325272(21)2(21)2n n n S n n -=?+?+?++-?++?，① 23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=?+?+?+
+-?++?，②
由①-②得：()2
3
162222(21)2n n n S n +-=+?++
+-+?
()21121262(21)212
n n n -+-=+?
-+??-1
(12)2
2n n +=-?-，
即1
(21)22n n S n +=-?+.
高考数学考点31数列求和必刷题理
考点31 数列求和 1．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡（1623----1662）是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。右图的表在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，这又是我国数学史上的一个伟大成就。如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，则此数列前16项和为（） A．B．C．D． 【答案】C 2．对于函数，部分与的对应关系如下表：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 7 5 9 6 1 8 2 4 数列满足：，且对于任意，点都在函数的图象上，则 （） A．7554 B．7549 C．7546 D．7539 【答案】A 3．已知是等差数列，，，，。 （1）求数列的通项公式； （2）若单调递增，且的前项和，求的最小值。 【答案】（1）见解析；（2）11 【解析】（1）设公差为，， ， 因为，得， 解得或，
当时，,， 当时，,， （2）若单调递增, 则，, ， 由不等式解得（且）， 所以的最小值为11. 4．已知等差数列的公差为，且关于的不等式的解集为， (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列前项和. 【答案】（1），即. （2） 5．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n＋1＝(λ＋1)S n＋1(n∈N*，λ≠－2)，且3a1，4a2，a3＋13成等差数列．
(1)求数列{a n}的通项公式； (2)若数列{b n}满足a n b n＝log4a n＋1，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n<. 【答案】（1）；（2）证明见解析。
三年级下册数学试题-奥数专题讲练：第2讲 数列求和精英篇(解析版)全国通用
第二讲数列求和 知识导航 德国有一位世界著名的数学家叫高斯（公元1777年-1855年）。他上小学的时候，老师出了一个题目，1+2+…+99+100＝？小高斯看了看，又想了想，很快说出结果是5050。同学们，你们知道他是怎么算出来的吗？ 原来小高斯在认真审题的基础上，发现题目的特点。像高斯的老师所出的题目那样，按一定次序排列的一列数叫做数列。数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项；……，最后一个数叫末项。如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，就称这个数列为等差数列。后项与前项的差叫做这个数列的公差。 如：1，2，3，4，…是等差数列，公差为1； 2，4，6，8，…是等差数列，公差为2； 5，10，15，20，…是等差数列，公差为5。 进一步，小高斯发现了这样的关系：1+100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101，…，50＋51＝101。一共有多少个101呢？100个数，每两个数是一对，共有50个101。 所以： 1＋2＋3＋…＋98+99+100 ＝101×50 即，和= (100＋1)×(100÷2)＝101×50＝5050 这道题目，我们还可以这样理解： 即，和= (100＋1)×100÷2＝101×50＝5050 由高斯的巧算可得出等差数列的求和公式：总和＝(首项+末项)×项数÷2 这样，由于高斯发现了巧算的方法，所以他最先得出了正确的答案。因此，同学们要想算得正确、迅速，方法合理、灵活，不仅要掌握数与运算的定律、性质，而且要善于观察，认真审题，注意发现题目的
例题精讲 【例1】找找下面的数列有多少项？ （1）2、4、6、8、……、86、98、100 （2）3、4、5、6、……、76、77、78 （3）4、7、10、13、……、40、43、46 （4）2、6、10、14、18、……、82、86 分析：（1）我们都知道：1、2、3、4、5、6、7、8、……、95、96、97、98、99、100 这个数列是100项，现在不妨这样去看：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）、……、（95、96）、（97、98）、（99、100），让它们两两一结合，奇数在每一组的第1位，偶数在第2位，而且每组里偶数比奇数大，小朋友们一看就知道，共有100÷2=50组，每组把偶数找出来，那么原数列就有50项了。 （2）连续的自然数列，3、4、5、6、7、8、9、10……，对应的是这个数列的第1、2、3、4、5、6、7、8、……，发现它的项数比对应数字小2，所以78是第76项，那么这个数列就有76项。对于连续的自然数列，它们的项数是：末项—首项+ 1 。 （3）配组：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46、47、48），注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有48-4+1=45项，每组3个数，所以共45÷3=15组，原数列有15组。当然，我们还可以有其他的配组方法。 （4）22项． 对于一个等差数列的求和，在许多时候我们不知道的往往是这个数列的项数。这种找项数的方法在学生学习了求项数公式后，也许稍显麻烦，但它的思路很重要，对于以后学习数论知识有较多的帮助。希望教师能帮助孩子牢固掌握。 【例2】计算下列各题： （1）2＋4＋6＋…＋96＋98＋100 （2）2＋5+8+…＋23+26＋29 分析：（1）这是一个公差为2的等差数列，首项是2，末项是100，项数为50。 所以：2+4+6＋…+96＋98+100＝(2+100)×50÷2＝2550 （2）这是一个公差为3，首项为2，末项为29，项数是10的等差数列。 所以：2＋5＋8＋…+23+26＋29＝(2+29)×10÷2＝155 其实在这里，我们还有一个找项数的公式。那么让我们一起从等差数列的特性来找找吧！ 【例3】你能找出几个等差数列的特征？从你的结果中，你能找到等差数列求项数的公式么？ 分析：我们都知道，所谓等差数列就是：从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，那么我们可以得
【高考数学专题突破】《专题三第讲数列求和及综合应用学案》(解析版)
第2讲 数列求和及综合应用 数列求和问题(综合型) [典型例题] 命题角度一 公式法求和 等差、等比数列的前n 项和 (1)等差数列：S n ＝na 1＋ n （n －1）2 d (d 为公差)或S n ＝n （a 1＋a n ） 2 . (2)等比数列：S n ＝???? ?na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1其中(q 为公比)． 4类特殊数列的前n 项和 (1)1＋2＋3＋…＋n ＝1 2n (n ＋1)． (2)1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2 . (3)12＋22＋32＋…＋n 2 ＝16n (n ＋1)(2n ＋1)． (4)13＋23＋33＋…＋n 3＝14 n 2(n ＋1)2 . 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n 2a n ＋3 ，n ∈N * .
(1)求证：数列???? ?? 1a n 为等差数列； (2)设T 2n ＝ 1 a 1a 2－ 1 a 2a 3＋ 1 a 3a 4－ 1 a 4a 5 ＋…＋ 1 a 2n －1a 2n － 1 a 2n a 2n ＋1 ，求T 2n . 【解】 (1)证明：由a n ＋1＝3a n 2a n ＋3，得1a n ＋1＝2a n ＋33a n ＝1a n ＋2 3 ， 所以 1 a n ＋1－1a n ＝23. 又a 1＝1，则1a 1＝1，所以数列???? ??1a n 是首项为1，公差为2 3的等差数列． (2)设b n ＝ 1 a 2n －1a 2n － 1 a 2n a 2n ＋1 ＝? ??? ?1a 2n －1－1a 2n ＋11a 2n ， 由(1)得，数列???? ??1a n 是公差为2 3的等差数列， 所以 1 a 2n －1 － 1 a 2n ＋1＝－43，即 b n ＝? ????1a 2n －1－1a 2n ＋11a 2n ＝－43×1a 2n ， 所以b n ＋1－b n ＝－43? ????1a 2n ＋2－1a 2n ＝－43×43＝－16 9. 又b 1＝－43×1a 2＝－43×? ????1a 1＋23＝－20 9 ， 所以数列{b n }是首项为－209，公差为－16 9的等差数列， 所以T 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－ 209n ＋n （n －1）2×? ?? ??－169＝－49(2n 2 ＋3n )． 求解此类题需过“三关”：第一关，定义关，即会利用等差数列或等比数列的定义，判断所给的数列是等差数列还是等比数列；第二关，应用关，即会应用等差(比)数列的前n 项和公式来求解，需掌握等差数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝ n （a 1＋a n ） 2 或S n ＝na 1＋ n （n －1） 2d ；等比数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝?????na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1；第三关，运算关，认真运算，此类题将迎刃而解． 命题角度二 分组转化法求和 将一个数列分成若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数列等)，然后分别求和．也可先根据通项公式的特征，将其分解为可以直接求和的一些数列的和，再分组求和，即把一个通项拆成几个通项求和的形式，方便求和． 已知等差数列{a n }的首项为a ，公差为d ，n ∈N * ，且不等式ax 2 －3x ＋2<0的解集为(1，
文科数学2010-2018高考真题分类专题六 数列 第十七讲 递推数列与数列求和答案
专题六数列 第十七讲 递推数列与数列求和 答案部分 1．C 【解析】∵113 n n a a +=-，∴{}n a 是等比数列 又243a =-，∴14a =，∴()1010101413313113 S -????-- ? ? ?????==-+ ，故选C ． 2．D 【解析】【法1】有题设知 21a a -=1，① 32a a +=3 ② 43a a -=5 ③ 54a a +=7，65a a -=9， 76a a +=11，87a a -=13，98a a +=15，109a a -=17，1110a a +=19，121121a a -=， …… ∴②－①得13a a +=2，③+②得42a a +=8，同理可得57a a +=2，68a a +=24，911a a +=2，1012a a +=40，…， ∴13a a +，57a a +，911a a +，…，是各项均为2的常数列，24a a +，68a a +，1012a a +，… 是首项为8，公差为16的等差数列， ∴{n a }的前60项和为1 1521581615142 ?+?+???=1830. 【法2】可证明： 14142434443424241616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+ 11234151514 1010151618302 b a a a a S ?=+++=?=?+ ?= 【法3】不妨设11a =，得23572,1a a a a ====???=，466,10a a ==，所以当n 为奇数时，1n a =，当n 为偶数时，构成以2a 为首项，以4为公差的等差数列，所以得 601830S = 3．A 【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论； 法二：12349103a a a a a a +=+=???=+=，故1210a a a ++???+=3515?=．故选A. 4．6【解析】∵112,2n n a a a +==，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，
第四节 数列求和
第四节 数列求和 高考概览：1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法． [知识梳理] 1．公式法与分组求和法 (1)公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和 ①等差数列的前n 项和公式： S n ＝n (a 1＋a n )2 ＝na 1＋n (n －1)2d . ②等比数列的前n 项和公式： S n ＝????? na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. (2)分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 2．倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法 如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的． (2)并项求和法 在一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 3．裂项相消法 把数列的每一项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以出现有规律的相互抵消，从而求得其和．
4．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的． [辨识巧记] 1．三个裂项公式 (1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1 . (2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12? ?? ??12n －1－12n ＋1. (3)1 n ＋n ＋1＝n ＋1－n . 2．两个注意点 (1)应用裂项相消法时，应注意消项的规律具有对称性，即前面剩第几项则后面剩倒数第几项． (2)应用错位相减法时，应注意相减后符号的变化和所构成的等比数列的项数． [双基自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q .( ) (2)当n ≥2时，1n 2－1＝12? ?? ??1n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( ) (4)若数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1是首项为1，公比为3的等 比数列，则数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －12.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋
2021-2022年高三数学第一轮复习单元讲座 第30讲 数列求和及数列实际问题教案 新人教版
2021年高三数学第一轮复习单元讲座第30讲数列求和及数列实际问 题教案新人教版 一．课标要求： 1．探索并掌握一些基本的数列求前n项和的方法； 2．能在具体的问题情境中，发现数列的数列的通项和递推关系，并能用有关等差、等比数列知识解决相应的实际问题。 二．命题走向 数列求和和数列综合及实际问题在高考中占有重要的地位，一般情况下都是出一道解答题，解答题大多以数列为工具，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用逆推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法，这些题目都考察考生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，它们都属于中、高档题目。 有关命题趋势： 1．数列是一种特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的有效工具，三者的综合题是对基础和能力的双重检验，在三者交汇处设计试题，特别是代数推理题是高考的重点； 2．数列推理题是将继续成为数列命题的一个亮点，这是由于此类题目能突出考察学生的逻辑思维能力，能区分学生思维的严谨性、灵敏程度、灵活程度；
3．数列与新的章节知识结合的特点有可能加强，如与解析几何的结合等； 4．有关数列的应用问题也一直备受关注。 预测xx 年高考对本将的考察为： 1．可能为一道考察关于数列的推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题； 2．也可能为一道知识交汇题是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题上等联系的综合题，以及数列、数学归纳法等有机结合。 三．要点精讲 1．数列求通项与和 （1）数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n = 。 （2）求通项常用方法 ①作新数列法。作等差数列与等比数列； ②累差叠加法。最基本的形式是：a n =(a n －a n －1)+(a n －1+a n －2)+…+(a 2－a 1)+a 1； ③归纳、猜想法。 （3）数列前n 项和 ①重要公式：1+2+…+n=n(n+1)； 12+22+…+n 2 =n(n+1)(2n+1)； 13+23+…+n 3=(1+2+…+n)2=n 2(n+1)2 ； ②等差数列中，S m+n =S m +S n +mnd ； ③等比数列中，S m+n =S n +q n S m =S m +q m S n ； ④裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：)1 1(1))((1C An B An B C C An B An a n +-+-=++= 、=－、n ·n ！=(n+1)! －n!、C n －1r －1 =C n r －C n －1r 、=－等。 ⑤错项相消法 对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n 项和，常用错项相消法。, 其中是等差数列， 是等比数列，记n n n n n c b c b c b c b S ++?++=--112211，则 1211n n n n n qS b c b c b c -+=+??++，… ⑥并项求和 把数列的某些项放在一起先求和，然后再求S n 。 数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 ⑦通项分解法：
2017届高三数学一轮复习第六篇数列第4节数列求和及综合应用基丛点练理
第4节数列求和及综合应用 知识点、方法题号公式法、并项法、分组法求和1,2,6 裂项相消法求和3,10,11, 13 错位相减法求和4,9 数列的综合应用5,8,12,14 数列的实际应用7 1.数列{1+2n-1}的前n项和为( C ) (A)1+2n(B)2+2n (C)n+2n-1 (D)n+2+2n 解析:由题意令a n=1+2n-1, 所以S n=n+=n+2n-1,故选C. 2.数列{a n}的前n项和为S n,已知S n=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则S17等于( A ) (A)9 (B)8 (C)17 (D)16 解析:S17=(1-2)+(3-4)+…+(15-16)+17 =-1×8+17 =9. 故选A. 3.(2015鞍山校级四模)数列{a n}的前n项和为S n,若a n=,则S5等于( B ) (A)1 (B) (C) (D) 解析:因为a n=-, 所以S n=(1-)+(-)+…+(-)=1-=. 所以S5=.故选B. 4.S n=+++…+等于( B ) (A) (B) (C)(D) 解析:由S n=+++…+,①
得S n=++…++,② ①-②得, S n=+++…+- =-, 所以S n=. 5.(2015郑州二模)已知等比数列{a n}的首项为,公比为-,其前n项和为S n,则S n的最大值为( D ) (A) (B) (C) (D) 解析:因为等比数列{a n}的首项为,公比为-, 所以S n==1-(-)n, 当n取偶数时,S n=1-()n<1; 当n取奇数时,S n=1+()n≤1+=. 所以S n的最大值为.故选D. 6.(2016宁夏石嘴山高三联考)在数列{a n}中,a1=1,a2=2,且a n+2-a n=1+(-1)n(n∈N*),则a1+a2+…+a51= . 解析:因为数列{a n}中,a1=1,a2=2,且a n+2-a n=1+(-1)n(n∈N*), 所以a3-a1=0, a5-a3=0, … a51-a49=0, 所以a1=a3=a5=…=a51=1. 由a4-a2=2,得a4=2+a2=4, 同理可得a6=6,a8=8,…,a50=50. 所以a1+a2+a3+…+a51 =(a1+a3+a5+…+a51)+(a2+a4+…+a50) =26+ =676. 答案:676 7.现有一根n节的竹竿,自上而下每节的长度依次构成等差数列,最上面一节长为10 cm,最下面的三节长度之和为114 cm,第6节的长度是首节与末节长度的等比中项,则n= . 解析:设自上而下每节竹竿的长度构成的等差数列为{a n},
(完整word版)数列求和的各种方法
数列求和的方法 教学目标 1．熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式． 2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法． 3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题． 教学内容 知识梳理 1．求数列的前n 项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前n 项和公式 S n ＝ ()21n a a n +＝na 1＋()d n n 2 1-. ②等比数列的前n 项和公式 (Ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1； (Ⅱ)当q ≠1时，S n ＝() q q a n --111＝a 1－a n q 1－q . ③常见的数列的前n 项和：， 1+3+5+……+(2n －1)= ，等 (2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法 这是推导等差数列前n 项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式 可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和． (5)错位相减法 这是推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，主要用于求{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }和{b n }分别是等差数列和等比数列． (6)并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 123+++……+n= (1)2 n n +2 n 2222123+++……+n =(1)(21)6n n n ++3333 123+++……+n =2 (1)2n n +??????
第2讲 数列求和及简单应用(教案)
第2讲 数列求和及简单应用 高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现转化与化归的思想. 热点一 分组转化求和 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并． 例1 (2017届安徽省合肥市模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝24，S 7＝63. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若2(1)n a n n n b a =+-?，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵{a n }为等差数列， ∴??? S 4 ＝4a 1 ＋4×3 2 d ＝24，S 7 ＝7a 1 ＋7×6 2 d ＝63?????? a 1＝3，d ＝2 ?a n ＝2n ＋1. (2)∵2(1)n a n n n b a =+-? ＝22n ＋1＋(－1)n ·(2n ＋1) ＝2·4n ＋(－1)n ·(2n ＋1)， ∴T n ＝2(41 ＋42 ＋ (4) )＋[－3＋5－7＋9－…＋(－1)n (2n ＋1)]＝8(4n －1) 3 ＋G n ， 当n ＝2k (k ∈N *)时，G n ＝2×n 2＝n ， ∴T n ＝8(4n －1)3＋n ， 当n ＝2k －1(k ∈N *)时， G n ＝2×n －1 2－(2n ＋1)＝－n －2， ∴T n ＝8(4n －1)3 －n －2，
∴T n ＝??? ?? 8(4n －1) 3 ＋n ，n ＝2k ，k ∈N *，8(4n －1)3－n －2，n ＝2k －1，k ∈N * . 思维升华 在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n 进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式． 跟踪演练1 (2017届北京市朝阳区二模)已知数列{a n }是首项a 1＝13，公比q ＝1 3 的等比数列．设 13 2log 1()n n b a n *=-∈N ． (1)求证：数列{b n }为等差数列； (2)设c n ＝a n ＋b 2n ，求数列{c n }的前n 项和T n . (1)证明 由已知得a n ＝13·????13n －1＝????13n ， 所以13 12log ()121(N )3 n n b n n * =-=-∈， 则b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－1－2n ＋1＝2. 所以数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列． (2)解 由(1)知，b 2n ＝4n －1， 则数列{b 2n }是以3为首项，4为公差的等差数列． c n ＝a n ＋b 2n ＝????13n ＋4n －1， 则T n ＝13＋1 9＋…＋????13n ＋3＋7＋…＋(4n －1) ＝13×????1－????13n 1－13＋(3＋4n －1)·n 2. 即T n ＝2n 2＋n ＋12－12·????13n (n ∈N * )． 热点二 错位相减法求和 错位相减法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列．
2021高三数学北师大版(理)一轮教师用书：第6章 第4节 数列求和
第四节 数列求和 [最新考纲] 1.掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法． 1．公式法 (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1 ＋n (n －1)2d ； (2)等比数列的前n 项和公式： S n ＝??? na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n ) 1－q ，q ≠1. 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律)，从而求得前n 项和．裂项时常用的三种变形： ①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1 ； ②1(2n －1)(2n ＋1)＝ 12? ????1 2n －1－12n ＋1； ③ 1n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n . (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解． (4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． (5)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．
例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知等差数列{a n }的公差为d ，则有1a n a n ＋1＝1d ? ????1 a n －1a n ＋1.( ) (2)当n ≥2时， 1n 2－1＝ 12? ?? ??1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( ) (4) 利用倒序相加法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23° ＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 二、教材改编 1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5等于( ) A.1 B.56 C.16 D.130 B [∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1 ， ∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝5 6.] 2．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( ) A ．2n ＋n 2－1 B ．2n ＋1＋n 2－1 C ．2n ＋1＋n 2－2 D ．2n ＋n －2 C [S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋...＋(2n ＋2n －1)＝(2＋22＋ (2) )＋2(1＋2＋3＋…＋n )－n ＝2(1－2n )1－2 ＋2×n (n ＋1) 2－n ＝2(2n －1)＋n 2＋n －n ＝2n ＋1＋n 2－2.]
高中数学 数列求和常见的7种方法
数列求和的基本方法和技巧 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x
由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21 资料来源QQ 群697373867 关注微信公众号：高中“数学教研室”回复任意内容获取资料 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1 }的通项之积
5-4第四节 数列求和练习题(2015年高考总复习)
第四节 数列求和 时间：45分钟 分值：75分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝ ? ???? 2a n (n 为奇数)，a n ＋1 (n 为正偶数)，则其前6项之和是( ) A ．16 B ．20 C ．33 D ．120 解析 ∵a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，∴S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33. 答案 C 2．数列{a n }的通项公式是a n ＝1 n ＋n ＋1 ，若前n 项和为10， 则项数n 为( ) A ．120 B ．99 C ．11 D ．121 解析 由a n ＝n ＋1－n (n ＋n ＋1)(n ＋1－n )＝ n ＋1－n ， 得a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝10，即n ＋1－1＝10，即n ＋1＝11，解得n ＋1＝121，n ＝120. 答案 A 3．若数列{a n }的通项为a n ＝4n －1，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，n ∈N * ，则数列{b n }的前n 项和是( ) A ．n 2 B ．n (n ＋1)
C ．n (n ＋2) D ．n (2n ＋1) 解析 a 1＋a 2＋…＋a n ＝(4×1－1)＋(4×2－1)＋…＋(4n －1)＝4(1＋2＋…＋n )－n ＝2n (n ＋1)－n ＝2n 2＋n ， ∴b n ＝2n ＋1， b 1＋b 2＋…＋b n ＝(2×1＋1)＋(2×2＋1)＋…＋(2n ＋1) ＝n 2＋2n ＝n (n ＋2)． 答案 C 4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝( ) A ．66 B ．65 C ．61 D ．56 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝n 2－4n ＋2－[(n －1)2－4(n －1)＋2]＝2n －5. 即a 2＝－1，a 3＝1，a 4＝3，…，a 10＝15. 得|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝1＋1＋8(1＋15)2＝2＋64＝66. 答案 A 5．(2014·潍坊模拟)已知a n ＝? ?? ??13n ，把数列{a n }的各项排列成如下 的三角形状，记A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则A (10,12)＝( ) a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 …
高考数学总复习第五章数列31数列求和课时作业文
作业 31 数列求和 1．(2017·北京卷)已知等差数列{a n } 和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1. 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 2＋a 4＝10，所以2a 1＋4d ＝10， 解得d ＝2，所以a n ＝2n －1. (2)设等比数列{b n }的公比为q ， 因为b 2b 4＝a 5，所以b 1qb 1q 3＝9，解得q 2＝3， 所以b 2n －1＝b 1q 2n －2＝3n －1. 从而b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12 . 2．(2018·四川成都市高中毕业第一次诊断)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2a n ＋4. (1)证明：数列{a n ＋4}是等比数列； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n . 解析：(1)证明：∵a 1＝－2，∴a 1＋4＝2. ∵a n ＋1＝2a n ＋4，∴a n ＋1＋4＝2a n ＋8＝2(a n ＋4)， ∴a n ＋1＋4a n ＋4 ＝2， ∴{a n ＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)，可知a n ＋4＝2n ，∴a n ＝2n －4. 当n ＝1时，a 1＝－2<0，∴S 1＝|a 1|＝2； 当n ≥2时，a n ≥0. ∴S n ＝－a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋(－4)＋…＋(2n －4)＝2＋＋…＋2n －4(n －1)＝ 21－2n 1－2 －4(n －1)＝2n ＋1－4n ＋2. 又当n ＝1时，上式也满足． ∴当n ∈N *时，S n ＝2n ＋1－4n ＋2. 3．(2018·西安质检)等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，前n 项和为S n ；数列{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝6，b 2＋S 3＝8. (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式； (2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n . 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，{b n }的公比为q ， 则a n ＝1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1. 依题意有? ???? q 2＋d ＝6q ＋3＋3d ＝8， 解得????? d ＝1q ＝2，或????? d ＝－43q ＝9 (舍去)． 故a n ＝n ，b n ＝2n －1. (2)由(1)知S n ＝1＋2＋…＋n ＝12 n (n ＋1)， 1S n ＝2n n ＋1＝2(1n －1n ＋1 )，