第36讲数列求和(讲)(原卷版)

第36讲数列求和（讲）

思维导图

知识梳理1．公式法

(1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d

推导方法：倒序相加法．

(2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝????

na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.

推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)

2；

②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法

(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．

(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．

(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．

(4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．

[常用结论]

常见的裂项技巧 ①1n (n ＋1)＝1n －1

n ＋1.

②1n (n ＋2)＝12?

???1

n －1n ＋2.

③1(2n －1)(2n ＋1)＝12????1

2n －1－12n ＋1.

④1

n ＋n ＋1

＝n ＋1－n .

⑤1n (n ＋1)(n ＋2)＝1

???1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2).

题型归纳题型1 分组转化求和

【例1-1】（2020春?昆明期末）已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，12a =，且1a ，2a ，4a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设2n a n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n S ．

【跟踪训练1-1】（2020春?保定期末）已知数列{}n a 、{}n b 满足：1n n n a a b +=+，{2}n b +为等比数列，且12b =，24a =，310a =．

（1）试判断数列{}n b 是否为等差数列，并说明理由；

（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．

【跟踪训练1-2】（2020春?永州期末）已知等差数列{}n a ，等比数列{}n b 满足：113a b ==，4212a b ==．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．

【名师指导】

1．分组转化求和

数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n 项和的数列求和．

2．分组转化法求和的常见类型

题型2 裂项相消法求和

【例2-1】（2020春?黔南州期末）已知等差数列{}

a满足

a=，

a a

+=．

（1）求{}

a的通项公式；

（2）设

n n

a a

=，求数列{}

b的前n项和

S．

【跟踪训练2-1】（2020?安宁区校级模拟）已知21

S n n a

=+++是一个等差数列的前n项和，对于函数2

()

f x x ax

=-，若数列

()

f n

的前n项和为

T，则

2020

T的值为()

A．

2021

2022

B．

2018

2019

C．

2019

2020

D．

2020

2021

【跟踪训练2-2】（2020春?成都期末）数列{}

a的前n项和为

S，若

(1)

n n

，则

(

S=) A．1B．

100

C．

D．

100

【名师指导】

1.基本步骤

2.裂项原则

一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止.

3.消项规律

消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.

题型3 错位相减法求和

【例3-1】（2020春?柳林县期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，41

(*)3

n n S n N -=∈．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设2log n b =1{}n n b a +的前n 项和n T ．

【跟踪训练3-1】（2020春?黄冈期末）已知数列{}n a 满足24a =，12(2)n n a a n -=+，已知数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足1n n S b =-．

（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅰ）求数列{}n n a b 的前n 项和．

【跟踪训练3-2】（2020春?成都期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，530S =，756S =；各项均为正数的等比数列{}n b 满足1213b b =，23127

b b =．

（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．

【名师指导】

错位相减法求数列{a n }的前n 项和

(1)适用条件

若{a n }是公差为d (d ≠0)的等差数列，{b n }是公比为q (q ≠1)的等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和S n . (2)基本步骤

(3)注意事项

①在写出S n 与qS n 的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出S n －qS n ； ②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号．

高考数学考点31数列求和必刷题理

考点31 数列求和 1．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡（1623----1662）是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。右图的表在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，这又是我国数学史上的一个伟大成就。如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，则此数列前16项和为（） A．B．C．D．【答案】C 2．对于函数，部分与的对应关系如下表：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 7 5 9 6 1 8 2 4 数列满足：，且对于任意，点都在函数的图象上，则（） A．7554 B．7549 C．7546 D．7539 【答案】A 3．已知是等差数列，，，，。（1）求数列的通项公式；（2）若单调递增，且的前项和，求的最小值。【答案】（1）见解析；（2）11 【解析】（1）设公差为，，，因为，得，解得或，

当时，,，当时，,，（2）若单调递增, 则，, ，由不等式解得（且），所以的最小值为11. 4．已知等差数列的公差为，且关于的不等式的解集为， (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列前项和. 【答案】（1），即. （2） 5．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n＋1＝(λ＋1)S n＋1(n∈N*，λ≠－2)，且3a1，4a2，a3＋13成等差数列．

(1)求数列{a n}的通项公式； (2)若数列{b n}满足a n b n＝log4a n＋1，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n<. 【答案】（1）；（2）证明见解析。

三年级下册数学试题-奥数专题讲练：第2讲数列求和精英篇(解析版)全国通用

第二讲数列求和知识导航德国有一位世界著名的数学家叫高斯（公元1777年-1855年）。他上小学的时候，老师出了一个题目，1+2+…+99+100＝？小高斯看了看，又想了想，很快说出结果是5050。同学们，你们知道他是怎么算出来的吗？原来小高斯在认真审题的基础上，发现题目的特点。像高斯的老师所出的题目那样，按一定次序排列的一列数叫做数列。数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项；……，最后一个数叫末项。如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，就称这个数列为等差数列。后项与前项的差叫做这个数列的公差。如：1，2，3，4，…是等差数列，公差为1； 2，4，6，8，…是等差数列，公差为2； 5，10，15，20，…是等差数列，公差为5。进一步，小高斯发现了这样的关系：1+100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101，…，50＋51＝101。一共有多少个101呢？100个数，每两个数是一对，共有50个101。所以： 1＋2＋3＋…＋98+99+100 ＝101×50 即，和= (100＋1)×(100÷2)＝101×50＝5050 这道题目，我们还可以这样理解：即，和= (100＋1)×100÷2＝101×50＝5050 由高斯的巧算可得出等差数列的求和公式：总和＝(首项+末项)×项数÷2 这样，由于高斯发现了巧算的方法，所以他最先得出了正确的答案。因此，同学们要想算得正确、迅速，方法合理、灵活，不仅要掌握数与运算的定律、性质，而且要善于观察，认真审题，注意发现题目的

例题精讲【例1】找找下面的数列有多少项？（1）2、4、6、8、……、86、98、100 （2）3、4、5、6、……、76、77、78 （3）4、7、10、13、……、40、43、46 （4）2、6、10、14、18、……、82、86 分析：（1）我们都知道：1、2、3、4、5、6、7、8、……、95、96、97、98、99、100 这个数列是100项，现在不妨这样去看：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）、……、（95、96）、（97、98）、（99、100），让它们两两一结合，奇数在每一组的第1位，偶数在第2位，而且每组里偶数比奇数大，小朋友们一看就知道，共有100÷2=50组，每组把偶数找出来，那么原数列就有50项了。（2）连续的自然数列，3、4、5、6、7、8、9、10……，对应的是这个数列的第1、2、3、4、5、6、7、8、……，发现它的项数比对应数字小2，所以78是第76项，那么这个数列就有76项。对于连续的自然数列，它们的项数是：末项—首项+ 1 。（3）配组：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46、47、48），注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有48-4+1=45项，每组3个数，所以共45÷3=15组，原数列有15组。当然，我们还可以有其他的配组方法。（4）22项．对于一个等差数列的求和，在许多时候我们不知道的往往是这个数列的项数。这种找项数的方法在学生学习了求项数公式后，也许稍显麻烦，但它的思路很重要，对于以后学习数论知识有较多的帮助。希望教师能帮助孩子牢固掌握。【例2】计算下列各题：（1）2＋4＋6＋…＋96＋98＋100 （2）2＋5+8+…＋23+26＋29 分析：（1）这是一个公差为2的等差数列，首项是2，末项是100，项数为50。所以：2+4+6＋…+96＋98+100＝(2+100)×50÷2＝2550 （2）这是一个公差为3，首项为2，末项为29，项数是10的等差数列。所以：2＋5＋8＋…+23+26＋29＝(2+29)×10÷2＝155 其实在这里，我们还有一个找项数的公式。那么让我们一起从等差数列的特性来找找吧！【例3】你能找出几个等差数列的特征？从你的结果中，你能找到等差数列求项数的公式么？分析：我们都知道，所谓等差数列就是：从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，那么我们可以得

文科数学2010-2018高考真题分类专题六数列第十七讲递推数列与数列求和答案

专题六数列第十七讲递推数列与数列求和答案部分 1．C 【解析】∵113 n n a a +=-，∴{}n a 是等比数列又243a =-，∴14a =，∴()1010101413313113 S -????-- ? ? ?????==-+ ，故选C ． 2．D 【解析】【法1】有题设知 21a a -=1，① 32a a +=3 ② 43a a -=5 ③ 54a a +=7，65a a -=9， 76a a +=11，87a a -=13，98a a +=15，109a a -=17，1110a a +=19，121121a a -=， …… ∴②－①得13a a +=2，③+②得42a a +=8，同理可得57a a +=2，68a a +=24，911a a +=2，1012a a +=40，…， ∴13a a +，57a a +，911a a +，…，是各项均为2的常数列，24a a +，68a a +，1012a a +，… 是首项为8，公差为16的等差数列， ∴{n a }的前60项和为1 1521581615142 ?+?+???=1830. 【法2】可证明： 14142434443424241616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+ 11234151514 1010151618302 b a a a a S ?=+++=?=?+ ?= 【法3】不妨设11a =，得23572,1a a a a ====???=，466,10a a ==，所以当n 为奇数时，1n a =，当n 为偶数时，构成以2a 为首项，以4为公差的等差数列，所以得 601830S = 3．A 【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论；法二：12349103a a a a a a +=+=???=+=，故1210a a a ++???+=3515?=．故选A. 4．6【解析】∵112,2n n a a a +==，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，

小学奥数数列求和巧妙求和含答案

第16讲巧妙求和一、知识要点某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。二、精讲精练【例题1】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。这本书共有多少页？【思路导航】根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11.因此可以很快得解：（30＋60）×11÷2=495（页）想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？练习1： 1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。这批零件共有多少个？ 2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？ 3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？【例题2】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？【思路导航】开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。所以，至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。练习2： 1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？ 2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了？ 3.有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？

2021-2022年高三数学第一轮复习单元讲座第30讲数列求和及数列实际问题教案新人教版

2021年高三数学第一轮复习单元讲座第30讲数列求和及数列实际问题教案新人教版一．课标要求： 1．探索并掌握一些基本的数列求前n项和的方法； 2．能在具体的问题情境中，发现数列的数列的通项和递推关系，并能用有关等差、等比数列知识解决相应的实际问题。二．命题走向数列求和和数列综合及实际问题在高考中占有重要的地位，一般情况下都是出一道解答题，解答题大多以数列为工具，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用逆推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法，这些题目都考察考生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，它们都属于中、高档题目。有关命题趋势： 1．数列是一种特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的有效工具，三者的综合题是对基础和能力的双重检验，在三者交汇处设计试题，特别是代数推理题是高考的重点； 2．数列推理题是将继续成为数列命题的一个亮点，这是由于此类题目能突出考察学生的逻辑思维能力，能区分学生思维的严谨性、灵敏程度、灵活程度；

3．数列与新的章节知识结合的特点有可能加强，如与解析几何的结合等； 4．有关数列的应用问题也一直备受关注。预测xx 年高考对本将的考察为： 1．可能为一道考察关于数列的推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题； 2．也可能为一道知识交汇题是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题上等联系的综合题，以及数列、数学归纳法等有机结合。三．要点精讲 1．数列求通项与和（1）数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n = 。（2）求通项常用方法 ①作新数列法。作等差数列与等比数列； ②累差叠加法。最基本的形式是：a n =(a n －a n －1)+(a n －1+a n －2)+…+(a 2－a 1)+a 1； ③归纳、猜想法。（3）数列前n 项和 ①重要公式：1+2+…+n=n(n+1)； 12+22+…+n 2 =n(n+1)(2n+1)； 13+23+…+n 3=(1+2+…+n)2=n 2(n+1)2 ； ②等差数列中，S m+n =S m +S n +mnd ； ③等比数列中，S m+n =S n +q n S m =S m +q m S n ； ④裂项求和将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：)1 1(1))((1C An B An B C C An B An a n +-+-=++= 、=－、n ·n ！=(n+1)! －n!、C n －1r －1 =C n r －C n －1r 、=－等。 ⑤错项相消法对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n 项和，常用错项相消法。, 其中是等差数列，是等比数列，记n n n n n c b c b c b c b S ++?++=--112211，则 1211n n n n n qS b c b c b c -+=+??++，… ⑥并项求和把数列的某些项放在一起先求和，然后再求S n 。数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 ⑦通项分解法：

(完整word版)数列求和的各种方法

数列求和的方法教学目标 1．熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式． 2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法． 3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题．教学内容知识梳理 1．求数列的前n 项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前n 项和公式 S n ＝ ()21n a a n +＝na 1＋()d n n 2 1-. ②等比数列的前n 项和公式 (Ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1； (Ⅱ)当q ≠1时，S n ＝() q q a n --111＝a 1－a n q 1－q . ③常见的数列的前n 项和：， 1+3+5+……+(2n －1)= ，等 (2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法这是推导等差数列前n 项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和． (5)错位相减法这是推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，主要用于求{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }和{b n }分别是等差数列和等比数列． (6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 123+++……+n= (1)2 n n +2 n 2222123+++……+n =(1)(21)6n n n ++3333 123+++……+n =2 (1)2n n +??????

第2讲数列求和及简单应用(教案)

第2讲数列求和及简单应用高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现转化与化归的思想. 热点一分组转化求和有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．例1 (2017届安徽省合肥市模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝24，S 7＝63. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若2(1)n a n n n b a =+-?，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵{a n }为等差数列， ∴??? S 4 ＝4a 1 ＋4×3 2 d ＝24，S 7 ＝7a 1 ＋7×6 2 d ＝63?????? a 1＝3，d ＝2 ?a n ＝2n ＋1. (2)∵2(1)n a n n n b a =+-? ＝22n ＋1＋(－1)n ·(2n ＋1) ＝2·4n ＋(－1)n ·(2n ＋1)， ∴T n ＝2(41 ＋42 ＋ (4) )＋[－3＋5－7＋9－…＋(－1)n (2n ＋1)]＝8(4n －1) 3 ＋G n ，当n ＝2k (k ∈N *)时，G n ＝2×n 2＝n ， ∴T n ＝8(4n －1)3＋n ，当n ＝2k －1(k ∈N *)时， G n ＝2×n －1 2－(2n ＋1)＝－n －2， ∴T n ＝8(4n －1)3 －n －2，

∴T n ＝??? ?? 8(4n －1) 3 ＋n ，n ＝2k ，k ∈N *，8(4n －1)3－n －2，n ＝2k －1，k ∈N * . 思维升华在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n 进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式．跟踪演练1 (2017届北京市朝阳区二模)已知数列{a n }是首项a 1＝13，公比q ＝1 3 的等比数列．设 13 2log 1()n n b a n *=-∈N ． (1)求证：数列{b n }为等差数列； (2)设c n ＝a n ＋b 2n ，求数列{c n }的前n 项和T n . (1)证明由已知得a n ＝13·????13n －1＝????13n ，所以13 12log ()121(N )3 n n b n n * =-=-∈，则b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－1－2n ＋1＝2. 所以数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列． (2)解由(1)知，b 2n ＝4n －1，则数列{b 2n }是以3为首项，4为公差的等差数列． c n ＝a n ＋b 2n ＝????13n ＋4n －1，则T n ＝13＋1 9＋…＋????13n ＋3＋7＋…＋(4n －1) ＝13×????1－????13n 1－13＋(3＋4n －1)·n 2. 即T n ＝2n 2＋n ＋12－12·????13n (n ∈N * )．热点二错位相减法求和错位相减法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列．

考点25 数列求和及综合应用

考点25 数列求和及综合应用一、选择题 1. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ12）设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n =1,2,3,…若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n 2，则（） A 、{S n }为递减数列 B 、{S n }为递增数列错误！未找到引用源。 C 、{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列 D 、{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列【解析】选B.因为n n a a =+1，21n n n a c b += +，2 1n n n a b c +=+，所以1a a n =，++1n b = +1n c 2n n a c +2 n n a b ++ 1)(21 )(21a c b a c b n n n n n ++=++= ++1n b )2(2 1 2111a c b a c n n n -+= -+，注意到1112a c b =+，所以12a c b n n =+. 于是n n n C B A ?中，边长1a C B n n =为定值，另两边的长度之和为12a c b n n =+为定值. 因为-+1n b = +1n c 2n n a c +2n n a b +- )(21 n n c b --=，所以)()2 1 (111c b c b n n n --=--，当+∞→n 时，有0→-n n c b ，即n n c b →，于是n n n C B A ?的边n n C B 的高n h 随n 增大而增大，于是其面积n n n n n h a h C B S 12 1||21==为递增数列. 二、填空题 2.（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ14）若数列}{n a 的前n 项和3 132+=n n a S ，则 }{n a 的通项公式是=n a _________

高中数学数列求和常见的7种方法

数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x

由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21 资料来源QQ 群697373867 关注微信公众号：高中“数学教研室”回复任意内容获取资料 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1 }的通项之积

2018年高考数学二轮复习专题三数列第2讲数列的求和及综合应用课时规范练(文科) Word版含答案

第2讲数列的求和及综合应用一、选择题 1．已知数列112，314，518，71 16，…，则其前n 项和S n 为( )(导学号 55410114) A ．n 2 ＋1－12n B ．n 2 ＋2－12n C ．n 2 ＋1－ 12 n －1 D ．n 2 ＋2－12 n －1 解析：a n ＝(2n －1)＋1 2 n ，所以S n ＝n （1＋2n －1）2＋12? ? ?? ?1－12n 1－12＝n 2＋1－1 2 n . 答案：A 2．(2017·浙江卷)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋ S 6>2S 5”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：由S 4＋S 6－2S 5＝S 6－S 5－(S 5－S 4)＝a 6－a 5＝d ，当d ＞0时，则S 4＋S 6－2S 5＞0，即S 4＋S 6＞2S 5. 反之，S 4＋S 6＞2S 5，可得d ＞0. 所以“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的充要条件．答案：C 3．(2017·东北三省四市二模)已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( ) A ．9 B ．15 C ．18 D ．30 解析：因为a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，所以数列{a n }是公差为2的等差数列．所以a n ＝－5＋2(n －1)＝2n －7. 数列{a n }的前n 项和S n ＝ n （－5＋2n －7） 2 ＝n 2 －6n .

数列求和与综合(讲义)

数列求和与综合（讲义）知识点睛一、数列求和 1．公式法：（1）等差数列前n 项和公式；（2）等比数列前n 项和公式． 2．错位相减法：适用于形如{}n n a b ?的数列，其中{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比q ≠1的等比数列．方法：设1122n n n S a b a b a b =+++… ① 则12231 n n n qS a b a b a b +=+++… ② ①-②得：11231(1)()n n n n q S a b d b b b a b +-=++++-…，转化为公式法求和． 3．裂项相消法：把数列的通项拆分为两项之差，使之在求和时产生前后相互抵消的项的求和方法．常见类型有：（1） 1111 ()()n n k k n n k =-++；（2） 21 111()4122121 n n n =---+；（31 k =；（4）1 log (1)log (1)log a a a n n n +=+-． 4．其他方法：（1）分解法：分解为基本数列求和，比如数列{}n n a b +，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．（2）分组法：分为若干组整体求和，经常分为偶数项之和与奇数项之和，比如通项公式为(1)n n a n =-的数列{}n a ．（3）倒序相加法：把求和式倒序后两和式相加，适用于具有对称性质的数列求和．二、数列综合 1. 已知n S 求n a 的三个步骤：（1）先利用11a S =，求出1a ；

（2）用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系式，利用1(2)n n n a S S n -=-≥求出当2n ≥时n a 的表达式；（3）对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n ≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与2n ≥两段来写，即 11 1 2n n n a n a S S n -=?=?-?≥，，． 2. 非等差或等比数列的转化：（1 ）转化为1{} n a 2 {}n a 、1{}n n a a +-等形式的等差、等比数列；（2）形如1=(010)n n a pa q p q ++≠≠，，的数列，转化为等比数列，设1+=()n n a p a λλ++，可解得= 1 q p λ-，则数列{}n a λ+为等比数列；（3）形如11=(010)n n n a pa qp p q +++≠≠，，的数列，转化为等差数列，两端同时除以1n p +，即得11n n n n a a q p p ++-=，则数列{}n n a p 为等差数列．精讲精练 1. 在数列{}n a 中，1(1)n a n n = +，若它的前n 项和为2 014 2 015 ，则项数n 为（） A ．2 013 B ．2 014 C ．2 015 D ．2 016

高考数学总复习第五章数列31数列求和课时作业文

作业 31 数列求和 1．(2017·北京卷)已知等差数列{a n } 和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1. 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 2＋a 4＝10，所以2a 1＋4d ＝10，解得d ＝2，所以a n ＝2n －1. (2)设等比数列{b n }的公比为q ，因为b 2b 4＝a 5，所以b 1qb 1q 3＝9，解得q 2＝3，所以b 2n －1＝b 1q 2n －2＝3n －1. 从而b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12 . 2．(2018·四川成都市高中毕业第一次诊断)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2a n ＋4. (1)证明：数列{a n ＋4}是等比数列； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n . 解析：(1)证明：∵a 1＝－2，∴a 1＋4＝2. ∵a n ＋1＝2a n ＋4，∴a n ＋1＋4＝2a n ＋8＝2(a n ＋4)， ∴a n ＋1＋4a n ＋4 ＝2， ∴{a n ＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)，可知a n ＋4＝2n ，∴a n ＝2n －4. 当n ＝1时，a 1＝－2<0，∴S 1＝|a 1|＝2；当n ≥2时，a n ≥0. ∴S n ＝－a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋(－4)＋…＋(2n －4)＝2＋＋…＋2n －4(n －1)＝ 21－2n 1－2 －4(n －1)＝2n ＋1－4n ＋2. 又当n ＝1时，上式也满足． ∴当n ∈N *时，S n ＝2n ＋1－4n ＋2. 3．(2018·西安质检)等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，前n 项和为S n ；数列{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝6，b 2＋S 3＝8. (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式； (2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n . 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，{b n }的公比为q ，则a n ＝1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1. 依题意有? ???? q 2＋d ＝6q ＋3＋3d ＝8，解得????? d ＝1q ＝2，或????? d ＝－43q ＝9 (舍去)．故a n ＝n ，b n ＝2n －1. (2)由(1)知S n ＝1＋2＋…＋n ＝12 n (n ＋1)， 1S n ＝2n n ＋1＝2(1n －1n ＋1 )，