《控制工程基础》课程作业习题(含解答)
第一章概论
本章要求学生了解控制系统的基本概念、研究对象及任务，了解系统的信息传递、反馈和反馈控制的概念及控制系统的分类，开环控制与闭环控制的区别；闭环控制系统的基本原理和组成环节。学会将简单系统原理图抽象成职能方块图。
例1 例图1-1a 为晶体管直流稳压电源电路图。试画出其系统方块图。
例图1-1a 晶体管稳压电源电路图
解：在抽象出闭环系统方块图时，首先要抓住比较点，搞清比较的是什么量；对于恒值系统，要明确基准是什么量；还应当清楚输入和输出量是什么。对于本题，可画出方块图如例图1-1b。
例图1-1b 晶体管稳压电源方块图
本题直流稳压电源的基准是稳压管的电压，输出电压通过
R和4R分压后与稳压管的电
3
压
U比较，如果输出电压偏高，则经3R和4R分压后电压也偏高，使与之相连的晶体管基极w
电流增大，集电极电流随之增大，降在
R两端的电压也相应增加，于是输出电压相应减小。
c
反之，如果输出电压偏低，则通过类似的过程使输出电压增大，以达到稳压的作用。
例2 例图1-2a为一种简单液压系统工作原理图。其中，X为输入位移，Y为输出位移，试画出该系统的职能方块图。
解：该系统是一种阀控液压油缸。当阀向左移动时，高压油从左端进入动力油缸，推动动力活塞向右移动；当阀向右移动时，高压油则从右端进入动力油缸，推动动力活塞向左移动；当阀的位置居中时，动力活塞也就停止移动。因此，阀的位移，即B点的位移是该系统的比较点。当X向左时,B点亦向左，而高压油使Y向右，将B点拉回到原来的中点，堵住了高压油，Y的运动也随之停下；当X向右时,其运动完全类似，只是运动方向相反。由此可画出如例图1-2b的职能方块图。
例图1-2a 简单液压系统
例图1-2b 职能方块图
1．在给出的几种答案里，选择出正确的答案。
（1）以同等精度元件组成的开环系统和闭环系统，其精度比较为_______ （A ）开环高； （B ）闭环高； （C ）相差不多； （D ）一样高。 （2）系统的输出信号对控制作用的影响 （A ）开环有； （B ）闭环有； (C ）都没有； （D ）都有。 （3）对于系统抗干扰能力
（A ）开环强； （B ）闭环强； （C ）都强； （D ）都不强。 （4）作为系统
(A ）开环不振荡； （B ）闭环不振荡； （C ）开环一定振荡； （D ）闭环一定振荡。 2．试比较开环控制系统和闭环控制系统的优缺点。 3. 举出五个身边控制系统的例子，试用职能方块图说明其基本原理，并指出是开环还是闭环控制。
4．函数记录仪是一种自动记录电压信号的设备，其原理如题图1-4所示。其中记录笔与电位器M R 的电刷机构联结。因此，由电位器0R 和M R 组成桥式线路的输出电压p u 与记录
笔位移是成正比的。当有输入信号r u 时，在放大器输入端得到偏差电压p r u u u -=∆，经放大后驱动伺服电动机，并通过齿轮系及绳轮带动记录笔移动，同时使偏差电压减小，直至p r u u =时，电机停止转动。这时记录笔的位移L 就代表了输入信号的大小。若输入信号随时间连续变化，则记录笔便跟随并描绘出信号随时间变化的曲线。试说明系统的输入量、输出量和被控对象，并画出该系统的职能方块图。
题图1-4 函数记录仪原理图
5．题图1-5（a ）和（b ）是两种类型的水位自动控制系统，试画出它们的职能方块图，说明自动控制水位的过程，指出两者的区别。
题图1-5 水位自动控制系统
6．题图1-6表示角速度控制系统原理图，试画出其职能方块图。
题图1-6角速度控制系统
第二章 控制系统的动态数学模型
本章要求学生熟练掌握拉氏变换方法，明确拉氏变换是分析研究线性动态系统的有力工具，通过拉氏变换将时域的微分方程变换为复数域的代数方程，掌握拉氏变换的定义，并用定义求常用函数的拉氏变换，会查拉氏变换表，掌握拉氏变换的重要性质及其应用，掌握用部分分式法求拉氏反变换的方法以及了解用拉氏变换求解线性微分方程的方法。明确为了分析、研究机电控制系统的动态特性，进而对它们进行控制，首先是会建立系统的数学模型，明确数学模型的含义，对于线性定常系统，能够列写其微分方程，会求其传递函数，会画其函数方块图，并掌握方块图的变换及化简方法。了解信号流图及梅逊公式的应用，以及数学模型、传递函数、方块图和信号流程图之间的关系。
例1 对于例图2-1所示函数， （1）写出其时域表达式；
（2）求出其对应的拉氏变换象函数
t
例图2-1
解：方法一：
()()()()()() --⋅+-⋅--⋅+-⋅-=41231221211211t t t t t t g
()()
()
s
s s s s s s s s
s s s e s e e e s s e e e e s
s e s e s e s e s s s G ------------+-=
+⋅-=+-+--=-+-+-=
11112112
122221324321
方法二：
根据周期函数拉氏变换性质，有
()()[](
)()(
)(
)
()
s
s s s
s s s
s st
s
e s e e s
e e e e
s
e dt e t e s G ----------+-=
-⋅-+=
+-⋅-=
-⨯--=
⎰1111
111
12111112111
2
222
21
例2 试求例图2-2a 所示力学模型的传递函数。其中，()t x i 为输入位移，()t x o 为输出位移，1k 和2k 为弹性刚度，1D 和2D 为粘性阻尼系数。
解： 粘性阻尼系数为D 的阻尼筒可等效为弹性刚度为D s 的弹性元件。并联弹簧的弹性刚度等于各弹簧弹性刚度之和，而串联弹簧弹性刚度的倒数等于各弹簧弹性刚度的倒数之和，因此，例图2-2a 所示力学模型的函数方块图可画成例图2-2b 的形式。
例图2-2a 弹簧-阻尼系统
例图2-2b 系统方块图 根据例图2-2b 的函数方块图，则
()()111122
2111221212
1
221111221111+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++=
+⋅+⋅++⋅+⋅=s k D k D k D s k k D D s
k D s D k s D k s D k s D k s D k s D k s X s X i o
例3 试求例图2-3
所示电路网络的传递函数。其中，()t u o 为输出电压，()t u i 为输入电压，1R 和2R 为电阻，1C 和2C 为电容。
例图2-3 无源电路网络
解： 如例图2-3，设电流()t i 1和()t i 2为中间变量，根据基尔霍夫定律，可列出如下方程组
()()()()()
()()()[]()()[]⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
+++==-=⎰
⎰
221212212111
1
1R t i t i dt t i t i C t u t i R t u t u t i R dt t i C o o i 消去中间变量()t i 1和()t i 2，得
()()()()()()()
()t u dt t du C R C R dt t u d C C R R t u dt t du C R C R C R dt t u d C C R R i i i o o o +++=++++2
2112
221212122112
22
121 令初始条件为零，将上式进行拉氏变换，得
()()()()()()()()
s U s sU C R C R s U s C C R R s U s sU C R C R C R s U s C C R R i i i o o o +++=++++22112212121221122121 由此，可得出系统传递函数为
()()()()1
1
21221122121221122121+++++++=
s C R C R C R s C C R R s C R C R s C C R R s U s U i o 例4 试求例图2-4所示有源电路网络的传递函数。其中，()t u i 为输入电压，()t u o 为
输出电压。
例图2-4 有源电路网络
解： 如例图
2-4，设2R 、4R 和5R 中间点的电位为中间变量()t u A 。按照复阻抗的概念，电容C 上的复阻抗为
Cs
1
。 根据运算放大器的特性以及基尔霍夫定律，可列出如下方程组 ()()()()()()⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
+
+-=--=Cs R s U R s U s U R s U R s U R s U A o A A A i 14522
1
消去中间变量()s U A ，可得
()()1
1
45
25
45242152+++++⋅
+-=Cs R Cs R R R R R R R R R R R s U s U i o 例5 如例图2-5所示系统，()t u i 为输入电压，)(t i o 为输出电流，试写出系统状态空间表达式。
例图2-5 电路网络 解：该系统可表示为
)(t u i
)(t u
)
(t i o L
C
)
(t i L 2R
R 1
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
=--++=+=dt
(t)
c du C (t)i (t)o i (t)]R i (t)o [i (t)u (t)o i R (t)i u dt (t)di L (t)o i R (t)i u L
2L C L 11
则
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++-+-=+++++-=(t)i u )R C(R (t)c u )R C(R (t)i )R C(R R dt
(t)c du (t)
i u )R L(R R (t)c u )R L(R R (t)i )R L(R R R dt (t)di 22L 2222L 22L 11111111111
(t)i u )
2R (R (t)c u )
2R (R (t)i )
2R (R 2R (t)o i L ++
+-
+=
1111
1
可表示为
i u )R C(R )R L(R R c u i )R C(R )
R C(R R )R L(R R )
R L(R R R c u i 222L 22222L ⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡
⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-
+-++-
=1111111
1111 i u )
R (R c u i )R (R )R (R R o i 2L 22
2
+++-
+=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡1111
1
1．试求下列函数的拉氏变换 （1）()()()()()t t t t t f 1254⋅+++=δ （2）()()t t t f 135sin ⋅⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+
=π （3）()⎩⎨
⎧><≤≤=π
πt t t t
t f ,000sin
（4）()()t e t t t f t
16132cos 45⋅+⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-⋅⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝
⎛-
=-ππ （5）()()
()()2164152-+++=t t t t t f δ （6）()⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛
-
=4143sin 6ππt t t f （7）()()()t t t e t f t 18sin 25.08cos 6⋅+=-
（8）()()()()()⎪⎭
⎫
⎝⎛
-⋅⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-
+++⋅+=-6123sin 32715220ππδt t t t t t e t f t 2．试求下列函数的拉氏反变换
（1）()()()
321
+++=s s s s F
（2）()4
1
2
+=
s s F （3）()5
22+-=s s s
s F
（4）()1
-=-s e s F s
（5）()()()2
12++=s s s
s F
（6）()4
42++=
s s s F
（7）()9
1
2++=
s s s F 3．用拉氏变换法解下列微分方程。
（1） ()()()186
2
2=++t x dt t dx dt
t x d ，其中()()0,100
===t dt
t dx x
（2） ()()210=+t x dt
t dx ，其中()00=x
（3）
()()300100=+t x dt t dx ，其中()500
==t dt
t dx
4．对于题图2-4所示的曲线，求其拉氏变换。
题图2-4
5. 某系统微分方程为()()()()t x dt
t dx t y dt t dy i i o o 3223+=+，已知()()
000==--x y o ，当输人为1（t ）时，输出的终值和初值各为多少？ 6. 化简下列方块图,并确定其传递函数。 (1)
题图2-6（1）(2)
题图2-6（2）(3)
题图2-6（3）(4)
题图2-6（4）7. 对于题图2-7所示的系统
（1）求()s
X
o 和()s
X
i1
之间的闭环传递函数；
（2）求()s
X
o 和()s
X
i2
之间的闭环传递函数。
题图2-7
8
．对于题图2-8所示的系统，分别求出()()()()()()()
()
s X s X s X s X s X s X s X s X i o i o i o i o 12212211,,,。
题图2-8
9．试求题图2-9所示机械系统的传递函数
题图2-9
10．试求题图2-10所示无源电路网络传递函数。
D1
D2
D1
D
D
D
D1D
D 1
D2
D1
D2D1
D1
D1
D1
题图2-10
11．试求题图2-11所示有源电路网络的传递函数。
题图2-11
12．试求题图2-12所示机械系统的传递函数
题图2-12
13．证明题图2-13中（a）与（b）表示的系统是相似系统（即证明两个系统的传递函数具有相似的形式）。
D
D1 D2
（a ） (b)
题图2-13
14． 如题图2-14所示系统，其中弹簧为非线性弹簧，弹簧刚度为()t F ky i o
,2
为输入外力，()t y o 为输出位移，f 为阻尼系数，试用增量方程表示线性化后的系统微分方程关系式。
题图2-14
15．如题图2-15所示系统，试求
（1）以()s X i 为输入，分别以Xo （s ），Y （s ），B （s ），E （s ）为输出的传递函数； （2）以N(s)为输入，分别以Xo （s ），Y （s ），B （s ），E （s ）为输出的传递函数。
题图2-15
D2
D1
D
16. 对于如题图
2-16所示的系统，试求()
()
s U s N i o 和()()s M s N c o ，其中Mc （s ）为负载力矩的象函数，()s N o 为转速的象函数。
题图2-16
17. 试求函数f （t ）为如下形式的拉氏变换，f （t ）为单位脉冲函数即δ（t ）的导数。
()()()[]()
2
000
21121lim
0t t t t t t t f t -+--=
→
18. 试画出题图2-18系统的方块图，并求出其传递函数。其中()t f i 为输入力，()t x o 为输出位移。
题图2-18
19. 某机械系统如题图2-19所示，其中，1M 和2M 为质量块的质量，21,D D 和3D 分别为质量块1M 、质量块2M 和基础之间，质量块之间的粘性阻尼系数。()t f i 是输入外力，()t y 1和()t y 2分别为两质量块1M 和2M 的位移。试求()()()s F s Y s G i 11=
和()()
()
s F s Y s G i 22=。 D2
D1
fi(t)
题图2-19
20．如题图2-20，ω是角速度，t 是时间变量，其中，
试求()()s F s F 21、和()s F 3。
题图2-20
21．对于如题图2-21所示系统，D 为粘性阻尼系数。试求 （1）从作用力()t f 1到位移()t x 2的传递函数； （2）从作用力()t f 2到位移()t x 1的传递函数； （3）从作用力()t f 1到位移()t x 1的传递函数； （4）从作用力()t f 2到位移()t x 2的传递函数。
ωt 0
D3
D1D2
fi(t)
题图2-21
22． 试求题图2-22所示的各种波形所表示的函数的拉氏变换。
题图2-22
23. 试求下列卷积。
（1）1*1 （2）t*t
（3）t
e t *
（4）t t sin *
24. 试求题图2-24所示机械系统的作用力f （t ）与位移x （t ）之间关系的传递函数。
D
f 1(t)
f 2(t)
题图2-24 25．题图2-25所示f（t）为输入力，系统的弹簧刚度为k，轴的转动惯量为J, 阻尼系数为D, 系统的输出为轴的转角θ（t），轴的半径为r，求系统的传递函数。
题图2-25
26. 试求题图2-26所示系统的传递函数。
题图2-26
D D
第三章 时域瞬态响应分析
时域分析是重要的分析方法之一。本章要求学生了解系统在外加作用激励下，根据所描述系统的数学模型，求出系统的输出量随时间变化的规律，并由此确定系统的性能，了解系统的时间响应及其组成；掌握脉冲响应函数等概念，掌握一阶、二阶系统的典型时间响应和高阶系统的时间响应以及主导极点的概念，尤其应熟练掌握一阶及二阶系统的阶跃响应和脉冲响应的有关内容。
例
1 某系统如例图3-1所示，试求其无阻尼自振角频率n ω，阻尼比ζ，超调量p M ，
峰值时间p t 调整时间s t （进入±5%的误差带）。
例图3-1
解： 对于例图3-1所示系统，首先应求出其传递函数，化成标准形式，然后可用公式求出各项特征量及瞬态响应指标。
()()()()
()152.02550245010002.04501001450100
2
2+⨯⨯+=++=⋅+++=s s s s s s s s s X s X i o 所以 ()()
()s t s t e
e M s rad n
s n p p n 752
.02.03
3
03.162
.012.01%
7.522
.0/2.051
2
2
2.012
.012
2
=⨯=
≈
≈-=
-=≈=====
-⨯-
--
ςωπςωπςωπς
πς
例2 设单位反馈系统的开环传递函数为
()21
2s
s s G +=
试求该系统单位阶跃响应和单位脉冲响应。
解: 欲求系统响应，可先求出系统的闭环传递函数，然后求出输出变量的象函数，拉氏反变换即得相应的时域瞬态响应。
()
()
()22
2
1121211
2++=+++=s s s
s s s s X s X i o 1．当单位阶跃输入时，()()t t x i 1=，则
()()()()()()()1
1
1111112122+-++=⋅++=⋅==
s s s s s s s X s X s X s X s
s X i i o o i
所以 ()()[]
()t e te t x t t o 11⋅-+=--
2. 线性定常系统对输入信号导数的响应，可通过把系统对输入信号响应求导得
出。当单位脉冲输入时，
()()()[]dt
t d t t x i 1=
=δ 则 ()()[]
()()
()t te e t dt
e te d t x t t t
t o 1211⋅-=⋅-+=----
例3 设一单位反馈控制系统的开环传递函数为
()()
6.01
4.0++=s s s s G
试求系统对单位阶跃输入的响应，并求其上升时间和最大超调量。
解： 求解系统的阶跃响应可用例2的思路。这里需要注意，由于求出的系统传递函数不是典型的二阶振荡环节，其分子存在微分作用，因此采用欠阻尼二阶系统公式求其上升时间和最大超调量将引起较大误差，故宜按定义求其值。
()()()()
11
4.06.014.016.01
4.02+++=+++
++=s s s s s s s s s s X s X i o
当()()t t x i 1=时，
()()()()()222232123153211
1114.01⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⋅+++=⋅=
=
s s s s s s s s X s X s X s X s
s X i i o o i 进行拉氏反变换，得
()()t t t e t x t o 123sin 15323cos 12/⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=- 求其上升时间，即求首次到达稳态值的时间，则有
控制工程基础习题答案-清华大学出版社-沈艳-孙锐主编
控制工程基础习题答案 第一章 1-1 试比较开环控制系统和闭环控制系统的优缺点？（略） 1-2 日常生活中有许多闭环和开环控制系统。试举几个具体例子，并说明它们的工作原理，画出结构方框图。（略） 1-3 图1.14是液面自动控制系统的两种原理示意图。在运行中，希望液面高度H 0维持不变。 1．试说明各系统的工作原理。 2．画出各系统的方框图，并说明被控对象、给定值、被控量和干扰信号是什么? 图1.14 液位自动控制系统 解：()a 工作原理：出水量2θ与进水量一致，系统处于平衡状态，液位高度保持在0H 。当出水量大于进水量，液位降低，浮子下沉，通过连杆使阀门1L 开大，使得进水量增大，液位逐渐回升；当出水量小于进水量，液位升高，浮子上升，通过连杆使阀门1关小，液位逐渐降低。 其中被控对象是水槽，给定值是液面高度希望值0H 。被控量是液面实际高度，干扰量是出水量2θ。 ()b 工作原理：出水量与进水量一致系统处于平衡状态，电位器滑动头位于中间位置，液面 为给定高度0H 。当出水量大于（小于）进水量，浮子下沉（上浮）带动电位器滑动头向上（下）移动，电位器输出一正（负）电压，使电动机正（反）转，通过减速器开大（关小）阀门1L ，使进水量增大（减小），液面高度升高（降低），当液面高度为0H 时，电位器滑动头处于中间位置，输出电压为零，电动机不转，系统又处于平衡状态。 其中被控对象是水槽，给定值为液面高度希望值0H ，被控量是液面实际高度，干扰量是出水量2θ。 ()a ，()b 系统结构图如下图
1-4 若将图1.14(a )系统结构改为图1.15。试说明其工作原理。并与图1.14(a )比较有何 不同?对系统工作有何影响? 解：若将1-17()a 系统结构图改为1-18，系统变成了正反馈，当出水量与进水量一致，液面高度为给定值0H 。当出水量大于进水量，液面位降低，浮子下称，通过连杆使阀门1关小，进水量越来越小，液面高度不能保持给定高度0H ，同样当出水量小于进水量，浮子上浮，液位升高，使阀门1开大，进水量增大，液位越来越高，不可能维持在给定高度0H 1-5 图1.16是控制导弹发射架方位的电位器式随动系统原理图。图中电位器1P 、2P 并联后跨接到同一电源0E 的两端，其滑臂分别与输入轴和输出轴相联结，组成方位角的给定元件和测量反馈元件。输入轴由手轮操纵；输出轴则由直流电动机经减速后带动，电动机采用电枢控制的方式工作。试分析系统的工作原理，指出系统的被控对象、被控量和给定量，画出系统的方框图。 图1.16 导弹发射架方位角控制系统原理图 题解 1-3（a ）系统方框图 题解1-3（b ）系统方框图 图 1.15 题1-4图
《控制工程基础》课程作业习题(含解答)
第一章概论 本章要求学生了解控制系统的基本概念、研究对象及任务，了解系统的信息传递、反馈和反馈控制的概念及控制系统的分类，开环控制与闭环控制的区别；闭环控制系统的基本原理和组成环节。学会将简单系统原理图抽象成职能方块图。 例1 例图1-1a 为晶体管直流稳压电源电路图。试画出其系统方块图。 例图1-1a 晶体管稳压电源电路图 解：在抽象出闭环系统方块图时，首先要抓住比较点，搞清比较的是什么量；对于恒值系统，要明确基准是什么量；还应当清楚输入和输出量是什么。对于本题，可画出方块图如例图1-1b。 例图1-1b 晶体管稳压电源方块图 本题直流稳压电源的基准是稳压管的电压，输出电压通过 R和4R分压后与稳压管的电 3 压 U比较，如果输出电压偏高，则经3R和4R分压后电压也偏高，使与之相连的晶体管基极w 电流增大，集电极电流随之增大，降在 R两端的电压也相应增加，于是输出电压相应减小。 c 反之，如果输出电压偏低，则通过类似的过程使输出电压增大，以达到稳压的作用。 例2 例图1-2a为一种简单液压系统工作原理图。其中，X为输入位移，Y为输出位移，试画出该系统的职能方块图。 解：该系统是一种阀控液压油缸。当阀向左移动时，高压油从左端进入动力油缸，推动动力活塞向右移动；当阀向右移动时，高压油则从右端进入动力油缸，推动动力活塞向左移动；当阀的位置居中时，动力活塞也就停止移动。因此，阀的位移，即B点的位移是该系统的比较点。当X向左时,B点亦向左，而高压油使Y向右，将B点拉回到原来的中点，堵住了高压油，Y的运动也随之停下；当X向右时,其运动完全类似，只是运动方向相反。由此可画出如例图1-2b的职能方块图。
控制工程基础第三版习题答案_清华大学出版社
第二章 2-1 解： （1）: )](12[)](1[)](5[)]()4[()(t L t t L t L t t L S F ?+?++=δδ S S S S 215215022++=+++= （2）: ) 25(25 3)(2 ++= s s S F （3）: 1 1)(2++=-s e S F s π （4）: )}(1)6 (1)]6(2cos 4{[)(5t e t t L S F t ?+-?- =-π π 5 1 44512426 226 +++=+++= --S s Se S s Se s s π π （5）: S e S e S F s s 226600)(--+=+++= （6）: )]4 (1)90453cos(6[)(π - ?--=t t L S F 9 636)]4(1)4(3cos 6[24 224 +=+=-?-=--S Se S Se t t L S S π πππ （7）: )](18sin 25.0)(18cos [)(66t t e t t e L S F t t ?+?=-- 100 128 8)6(28)6(62 2222+++=++++++= S S S S S S （8）: 9 9)20(52022)(26 2++ ++++=-s e s s S F s π 2-2 解： （1）: )(1)2()3 2 21( )(321t e e S S L t f t t ?+-=+++-=--- （2）: )(12sin 2 1 )(t t t f ?= （3）: )(1)2sin 2 1 2(cos )(t t t e t f t ?+= （4）: )1(1)1 ( )(11 -?=-=---t e S e L t f t s 2t t t ---
控制工程基础习题解答2
控制工程基础习题解答 第二章 2-1．试求下列函数的拉氏变换，假定当t<0时，f(t)=0。 (1).()()t t f 3cos 15-= 解：()[]()[]9 553cos 152 +-=-=s s s t L t f L (2). ()t e t f t 10cos 5.0-= 解：()[][ ] ()100 5.05 .010cos 2 5.0+++= =-s s t e L t f L t (3). ()?? ? ? ?+ =35sin πt t f 解：()[]() 252355cos 235sin 2135sin 2 ++=?? ????+=????????? ??+=s s t t L t L t f L π 2-2．试求下列函数的拉氏反变换。 (1).()() 11+= s s s F 解：()[]()??????++=???? ?? +=---11121 111s k s k L s s L s F L ()10111==? ?? ???+=s s s s k ()()111112-=-=+?? ????+=s s s s k ()[]t e s s L s F L ----=?? ????+-=111111 (2).()()() 321 +++= s s s s F 解：()[]()()? ?????+++=???? ?? +++=---3232121 111s k s k L s s s L s F L
()()()122321 1-=-=+??????+++=s s s s s k ()()()233321 2=-=+?? ????+++=s s s s s k ()[]t t e e s s L s F L 231123221-----=?? ????+++-= (3).()()() 2 222 52 2+++++=s s s s s s F 解：()[]()()??????+++++=?? ????+++++=---222222252321 1221 1 s s k s k s k L s s s s s L s F L ()() ()2222222 52 21-=-=+?? ????+++++=s s s s s s s k ()( ) () 3 3 313312 22222 513223222232==-=---=-+---=++?? ????+++++=--=+k k j j j jk k k j s s s s s s s s j s k s k ()[]()()t e e s s s L s s s s L s F L t t cos 32111322223322221211 -----+-=?? ????+++++-=??????+++++- = 2-3．用拉氏变换法解下列微分方程 （1）()()()()t t x dt t dx dt t x d 1862 2=++，其中 ()()00,10===t dt t dx x 解：对方程两边求拉氏变换，得：
控制工程基础习题解答3
第三章 3-2．假设温度计可用1/（Ts+1）传递函数描述其特性。现用该温度计测量某容器中的水温，发现经1min 后才能指示出实际水温的96%，问： （1）. 该温度计的指示从实际水温的10%变化到90%所需的时间是多少？ （2）. 如果给该容器加热，使容器内水温以0.1℃/s 的速度均匀上升，当定义误 差e(t)=r(t)-c(t)时，温度计的稳态指示误差有多大？ 解： （1）. 设实际水温为T r ，温度计原来处于T 0=0度，当温度计放入水中时，相当 于输入一阶跃值为T r -T 0=T r 的阶跃函数，温度计的时间响应函数为： ()()???? ? ?--=-T t r e T T t c 10 ()()??? ? ? ? -==--T t r r e T t c T T t c 10 根据题意可得：T e 60196.0--= 即可得：T=18.64(s)，()??? ? ? ?-=-T t r e T t c 1 10%所需的时间为64.18111.0t e - -=，()s t 96.11=。 90%所需的时间为64 .18119.0t e - -=，()s t 92.422=。 所以可得该温度计的指示从实际水温的10%变化到90%所需的时间（上升时间）是 ()s t t t r 96.4012=-= （2）. 由题可知系统为一阶系统，故系统稳定，为求当r(t)=0.1t 时的稳态误 差，由一阶系统的时间响应分析可知，单位斜坡响应的稳态误差为T ，所以 稳态指示误差：()C T t e t 864.11.0lim =?=∞ → （将1/（Ts+1）转化为开环传递函数为1/（Ts ）时的单位反馈系统，则可见此时系统的误差为e(t)=r(t)-c(t)。根据 系统为I 型，可得稳态速度误差系数为Kv=K=1/T ，得当输入信号为 r(t)=0.1t 时的稳态误差为 C T K e v ssv 864.11.01 1.0=?=? =） 3-5．某控制系统如图3-24所示，已知K=125， 试求： （1）. 系统阶次，类型。
吉大《控制工程基础》习题答案
一、单选题 1。离散系统闭环脉冲传递函数的极点p k=—1，则动态响应为______。 •A。单向脉冲序列 •B。双向发散脉冲序列 •C. 双向等幅脉冲序列 •D。双向收敛脉冲序列答案C 2.系统的开环传递函数为,则实轴上的根轨迹为（） •A。（—2，—1）和（0，∞） •B. （-∞，—2)和（—1,0) •C. （0，1）和（2，∞） •D。(-∞，0)和（1,2） 答案D 3。下列串联校正装置的传递函数中,能在ωc=1处提供最大相位超前角的是（ )。 •A. •B. •C. •D。 答案B 4。超前校正装置频率特性为,其最大超前相位角为（) •A。
•B. •C。 •D。 答案A 5。在系统中串联PD调节器,以下那一种说法是错误的（）•A。是一种相位超前校正装置 •B。能影响系统开环幅频特性的高频段 •C。使系统的稳定性能得到改善 •D。使系统的稳态精度得到改善 •答案D 6。闭环离散系统的输出C（z）______。 •A. •B. •C. •D。 答案B 7。已知串联校正装置的传递函数为，则它是（). •A. 相位迟后校正； •B. 迟后超前校正； •C。相位超前校正；
•D。Ａ、Ｂ、Ｃ都不是 答案C 8.相位超前校正装置的奈氏曲线为(） •A。圆 •B。上半圆 •C。下半圆 •D。45°弧线 答案B 9.在系统对输入信号的时域响应中，其调整时间的长短是与(）指标密切相关。 •A. 允许的峰值时间 •B. 允许的超调量 •C。允许的上升时间 •D. 允许的稳态误差 答案D 10。下列串联校正装置的传递函数中,能在ωc=1处提供最大相位超前角的是：_ _____ •A. •B。 •C。 •D。 答案A
控制工程基础第4版孔祥东课后习题答案
控制工程基础第4版孔祥东课后习题答案 第一章控制系统概述 1. 在控制系统中，反馈是什么？ 在控制系统中，反馈是指从输出端采集到的信息再反馈给 输入端，用于校正系统输出与期望输出之间的误差。通过反馈，控制系统可以对输出进行调整，以达到期望的控制效果。 2. 什么是开环和闭环系统？ 开环系统是指输出不会对系统的输入产生反馈影响的系统。开环系统的控制过程是单向的，只能由输入来决定输出。 闭环系统是指输出会对系统的输入产生反馈影响的系统。 闭环系统的控制过程是双向的，可以通过输出的反馈来调整输入。 3. 开环控制和闭环控制有什么区别？ 开环控制和闭环控制的区别在于是否存在输出的反馈。开 环控制没有输出的反馈，输入和输出之间的关系是固定的，依赖于系统的数学模型。闭环控制有输出的反馈，可以不断根据输出的反馈信息来调整输入，使输出更接近期望值。
开环控制的优点是简单、快速，但容易受到外界干扰的影响，稳定性较差。闭环控制可以更精确地控制输出，具有较好的稳定性和鲁棒性。 4. 什么是控制对象和控制器？ 控制对象是指需要控制的物理系统或过程，它是待控制的主体。控制对象可以是机械系统、电气系统、化工过程等等。 控制器是指用来控制控制对象的设备或算法。控制器可以根据输入和反馈信息来计算出适当的输出，以实现对控制对象的控制。 5. 什么是开环传递函数和闭环传递函数？ 开环传递函数是指在开环控制下，从控制器的输入到控制对象输出之间的传递函数关系。它反映了输入和输出之间的数学关系。 闭环传递函数是指在闭环控制下，从控制器的输入到控制对象输出之间的传递函数关系。闭环传递函数考虑了输出的反馈，更准确地描述了控制系统的动态特性。
控制工程基础复习题及答案
一、选择题 1. 在阶跃函数输入作用下，阻尼比（ A ）的二阶系统，其响应具有等幅振荡性。 A ．ζ＝0 B. ζ>1 C. ζ＝1 D. 0<ζ<1 2.典型二阶振荡系统的（ C ）时间可由响应曲线的包络线近似求出。 A 、峰值 ； B 、延时 ； C 、调整 ； D 、上升 3. cos2t 的拉普拉斯变换式是（ C ） A. S 1 B. 442+S C.42+S S D. 21S 4. 控制系统的稳态误差反映了系统的〔 B 〕 A. 快速性 B. 稳态性能 C. 稳定性 D. 动态性能 5. 对于典型二阶系统，在欠阻尼状态下，如果增加阻尼比ξ的数值，则其动态性能指标中的最大超调量将〔 D 〕 A. 增加 B. 不变 C. 不一定 D. 减少 6.已知系统的开环传递函数为: G(S)H(S) = K(τS+1)/[(T 1S+1)(T 2S+1)(T 3S 2+2ζT 3S+1)]，则它的对数幅频特性渐近线在ω趋于无穷大处的斜率为（ C ）（单位均为dB/十倍频程）。 A 、-20 ； B 、-40 ； C 、-60 ； D 、-80 7.已知系统的频率特性为G （j ω）=K(1+j0.5ω)/[(1+j0.3ω)(1+j0.8ω)]，其相频特性∠G （j ω）为（ A ）。 A. arctg0.5ω – arctg0.3ω – arctg0.8ω B. -arctg0.5ω – arctg0.3ω – arctg0.8ω C. -arctg0.5ω + arctg0.3ω + arctg0.8ω D.arctg0.5ω + arctg0.3ω + arctg0.8ω 8.对于典型二阶系统，当阻尼比不变时，如果增加无阻尼振荡频率ωn 的数值，则其动态性能指标中的调整时间ts( B )。 A 、增加； B 、减少 ； C 、不变 ； D 、不定 9. 为提高某二阶欠阻尼系统相对稳定性，可（C ） A 加大n ω B 减小n ω C 加大ζ D 减小ζ 10.某系统开环传递函数为 1)s(10s 100 G(S)+=，稳态误差为零，则输入可能是（A ） A. 1(t) B t ·1(t) C. 1(t)2t 2⋅ D. )(1)sin(t t ⋅ω 11．系统的传递函数完全决定于系统的如下因素： ( A ) (A) 结构和参数 (B) 输入信号 (C) 输出信号 (D) 扰动信号 12．控制系统的闭环传递函数为。则其开环传递函数为： (B ) 13．某单位反馈系统开环传递函数，当输入为单位加速度函数时，系统稳态误差为： ( B ) （A ）0 （B ）0.01 （C ）∝（D ）100 14．线性定常控制系统的单位阶跃响应的类型完全决定于系统的： ( )
《控制工程基础》习题集(含答案)
《控制工程基础》习题集（含答案） 《控制工程基础》习题集 (1) 第一部分单项选择题 (2) 第二部分填空题 (15) 第三部分简答题 (17) 第四部分计算应用题 (22) 《控制工程基础》习题解答 (30) 第一部分单项选择题 (30) 第二部分填空题 (30) 第三部分简答题 (31) 第四部分计算应用题 (40)
第一部分 单项选择题 1.闭环控制系统的主反馈取自【 】 A.给定输入端 B.干扰输入端 C.控制器输出端 D.系统输出端 2.不同属性的物理系统可以有形式相同的【 】 A.数学模型 B.被控对象 C.被控参量 D.结构参数 3.闭环控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)，其中H(s)是反馈传递函数，则系统的误差信号为【 】 A.X i (s )－H (s)X 0(s ) B.X i (s )－X 0(s ) C.X or (s )－X 0(s ) D.X or (s )－H (s )X 0(s ) 3-1闭环控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)，其中H(s)是反馈传递函数，则系统的偏差信号为【 】 A.X i (s )－H (s)X 0(s ) B.X i (s )－X 0(s ) C.X or (s )－X 0(s ) D.X or (s )－H (s )X 0(s ) 4.微分环节使系统【 】 A.输出提前 B.输出滞后 C.输出大于输入 D.输出小于输入 5.当输入量发生突变时，惯性环节的输出量不能突变，只能按【 】 A.正弦曲线变化 B.指数曲线变化 C.斜坡曲线变化 D.加速度曲线变化 6.PID 调节器的微分部分可以【 】 A.提高系统的快速响应性 B.提高系统的稳态性 C.降低系统的快速响应性 D.降低系统的稳态性 6－1.PID 调节器的微分部分可以【 】 A.提高系统的稳定性 B.提高系统的稳态性 C.降低系统的稳定性 D.降低系统的稳态性 7.闭环系统前向传递函数是【 】 A.输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比 B.输入信号的拉氏变换与输出信号的拉氏变换之比 C.输出信号的拉氏变换与误差信号的拉氏变换之比 D.误差信号的拉氏变换与输出信号的拉氏变换之比 8.一阶系统的时间常数为T ，其脉冲响应为【 】 A.T t e --1 B.T t Te T t -+- C.T t e T -1 D.T t Te T -+ 8－1.一阶系统的时间常数为T ，其单位阶跃响应为【 】 A.T t e --1 B.T t Te T t -+- C.T t e T -1 D.T t Te T -+ 8－2.一阶系统的时间常数为T ，其单位斜坡响应为【 】
控制工程基础习题答案
控制工程基础习题解答 第一章 1-5．图1-10为张力控制系统。当送料速度在短时间内突然变化时，试说明该控制系统的作用情况。画出该控制系统的框图。 由图可知，通过张紧轮将张力转为角位移，通过测量角位移即可获得当前张力的大小。 当送料速度发生变化时，使系统张力发生改变，角位移相应变化，通过测量元件获得当前实际的角位移，和标准张力时角位移的给定值进行比较，得到它们的偏差。根据偏差的大小调节电动机的转速，使偏差减小达到张力控制的目的。 框图如图所示。 1-8．图1-13为自动防空火力随动控制系统示意图及原理图。试说明该控制系统的作用情况。 题1-5 框图 电动机 给定值 角位移 误差 张力 - 转速 位移 张紧轮 滚轮 输送带 转速 测量轮 测量元件 角位移 角位移 （电压等） 放大 电压 测量 元件 > 电动机 角位移 给定值 电动机 图1-10 题1-5图
该系统由两个自动控制系统串联而成：跟踪控制系统和瞄准控制系统，由跟踪控制系统 获得目标的方位角和仰角，经过计算机进行弹道计算后给出火炮瞄准命令作为瞄准系统的给定值，瞄准系统控制火炮的水平旋转和垂直旋转实现瞄准。 跟踪控制系统根据敏感元件的输出获得对目标的跟踪误差，由此调整视线方向，保持敏感元件的最大输出，使视线始终对准目标，实现自动跟踪的功能。 瞄准系统分别由仰角伺服控制系统和方向角伺服控制系统并联组成，根据计算机给出的火炮瞄准命令，和仰角测量装置或水平方向角测量装置获得的火炮实际方位角比较，获得瞄准误差，通过定位伺服机构调整火炮瞄准的角度，实现火炮自动瞄准的功能。 控制工程基础习题解答 第二章 2-2．试求下列函数的拉氏变换，假定当t<0时，f(t)=0。 (3). ()t e t f t 10cos 5.0-= 解：()[][ ] ()100 5.05 .010cos 2 5.0+++= =-s s t e L t f L t (5). ()⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛+ =35sin πt t f 图1-13 题1-8图 敏感 元件 定位伺服机构 （方位和仰角） 计算机指挥仪 目标 方向 跟踪环路 跟踪 误差 瞄准环路 火炮方向 火炮瞄准 命令 - - 视线 瞄准 误差 伺服机构（控制绕垂直轴转动） 伺服机构（控制仰角） 视线 敏感元件 计算机 指挥仪
《控制工程基础3》的作业
1、[单选题]开环控制系统在其控制器和被控对象间只有（）。 A反馈作用 B前馈作用 C正向作用 D反向作用 参考答案: C 2、[单选题]闭环控制系统必须通过（）。 A输入量前馈参与控制 B干扰量前馈参与控制 C输出量反馈到输入端参与控制 D输出量局部反馈参与控制 参考答案: C 3、[单选题]一般情况下开环控制系统是（）。 A不稳定系统 B稳定系统 C时域系统 D频域系统 参考答案: B 4、[单选题]输出量对系统的控制作用没有影响的控制系统是（）。A开环控制系统 B闭环控制系统 C反馈控制系统 D非线性控制系统 参考答案: A 5、[单选题]若反馈信号与原系统输入信号的方向相反则为（）。A局部反馈 B主反馈 C正反馈 D负反馈 参考答案: D 6、[单选题]自动控制系统的反馈环节中一般具有（）。 A给定元件 B检测元件 C放大元件 D执行元件 参考答案: B 7、[单选题]闭环系统在其控制器和被控对象之间有（）。 A反馈作用 B前馈作用 C正向作用 D反向作用 参考答案: D 8、[单选题]随动系统要求系统的输出信号能跟随（）。 A反馈信号
C输入信号 D模拟信号 参考答案: C 9、[单选题]自动控制系统的控制调节过程是以偏差消除（）。 A偏差的过程 B输入量的过程 C干扰量的过程 D稳态量的过程 参考答案: A 10、[单选题]闭环控制系统除具有开环控制系统所有的环节外，还必须有()。A给定环节 B比较环节 C放大环节 D执行环节 参考答案: B 1[单选题]不同属性的物理系统可以有形式相同的（） A传递函数 B反函数 C正弦函数 D余弦函数 参考答案: A 2[单选题]满足叠加原理的系统是（） A定常系统 B非定常系统 C线性系统 D非线性系统 参考答案: C 3[单选题]闭环控制系统除具有开环控制系统所有的环节外，还必须有()。 A给定环节 B比较环节 C放大环节 D执行环节 参考答案: B 4[单选题]惯性环节不能立即复现（） A反馈信号 B输入信号
控制工程基础习题集
第一部份：单选题 1•自动控制系统的反馈环节中必需具有[b ] 久给定元件 b.检测元件 c.放大元件 d.执行元件 2.在直流电动机的电枢回路中，以电流为输出，电压为输入，二者之间的传递函数是[a ] a.比例环节 b.积分环节 c.惯性环节 d.微分环节 3.若是系统不稳固，则系统 [a ] 久不能工作b.能够工作，但稳态误差专门大 c.能够工作，但过渡进程时刻很长 d.能够正常工作 4.在转速、电流双闭环调速系统中，速度调节器通常采用[E ] 调节器。 a.比例 b.比例积分 c.比例微分 d.比例积分微分 5.单位阶跃函数l(t)的拉氏变换式口1(切为[B ]： a. S b.丄 c. — d. S2 S S2 6.在直流电动机的电枢回路中，以电流为输出，电压为输入，二者之间的传递函数是[A ]
A.比例环节 B.积分环节 C.惯性环节 D.微分环节 7.若是系统不稳固，则系统[A] A.不能工作E•能够工作，但稳态误差专门大 C.能够工作，但过渡迸程时刻很长 D.能够正常工作 8.已知串联校正网络（最小相位环节）的渐近对数幅频特性如下图所示。试判断该环节的相位特性是［A ］: A.相位超前 B.相位滞后 C.相位滞后一超前 D.相位超前一滞后 9.在转速、电流双闭环调速系统中，速度调节器通常采用［B ］调节器。 A.比例 E.比例积分 C.比例微分 D.比例积分微分 10.已知某环节的幅相频率特性曲线如下图所示，试判定它是何种环节［惯性环节］： no '(1/2J0)G>-0 % %z 1 \i i i i i i i 1
X. I i i 、、I 、i 、 11.P1调节器是一种（a ）校正装置。 A.相位超前B相位滞后 C.相位滞后一超前 D.相位超前一滞后
控制工程基础第三版课后习题答案
控制工程基础第三版课后习题答案【篇一：控制工程基础第三版习题答案_清华大学出版 社董景新】………………………………………………………………1 第二 章 (4) 第三章 (2) 1 第四章 (3) 4 第五章 (4) 1 第六章 (4) 7 第七章 (6) 1 c第一章 1-1 解：（1）b （2） b （3）b （4）a 1-2 解： 1-3 解：（1）自行车打气如图1-1所示职能方块图，为闭环系统。图1-1 （2）普通电烙铁的职能方块图如图1-2所示，为开环系统。 图1-2 （3）车玩具的职能方块图如图1-3所示，为开环系统。 图1-3 （4）船自动舵的职能方块图如图1-4所示，为闭环系统。 图1-4 （5）灯自动开关的职能方块图如图1-5所示，为开环系统。 图1-5 1-4 解：系统输入量：被记录的电压信号u2 系统输出量：记录笔的位移l 被控对象：记录笔
（b）：对于（b）图所示的系统，控制水位的过程与图（a）系统 中浮球的位置通过杠杆机构操纵双向触点电开关，两个触点电机正、反转，电机的正、反转对应阀门的开大、开小，系统由于使用了电机，系统的反应加快，其职能方块图如下图所示： 1-6：试画出实验室用恒温箱职能方块图。 解：根据一般实验室用恒温箱的工作原理图，画出其职能方块图如下： （注：1-5中有部分文学是根据上下文理解的，因为原版中缺失；1- 6为类似书中原体，不是 原体，请注意！） 第二章 2-1 解： （1）: f(s)?l[(4t)?(t)]?l[5?(t)]?l[t?1(t)]?l[2?1(t)] ?0?5?1s2?2s?5?12s2? s （2）: f(s)? s?5 2(s2?25) 3）: f(s)?1?e??s （s2?1 （4）: f(s)?l{[4cos2(t? ? )]?1(t?? 66 )?e?5t?1(t)} ??6 s?? 6 s ? 4se14s2?2 2?s?5?se1 s2 ?4?s?5 e?2se?2s （5）: f(s)?0?0?6?s?6?s （6）: f(s)?l[6cos(3t?45? ?90? )?1(t? ?
自动控制工程基础作业参考完整答案
自动控制工程基础作业答案 作业一 1.1 指出下列系统中哪些属开环控制，哪些属闭环控制: (1) 家用电冰箱(2) 家用空调(3) 家用洗衣机 (4) 抽水马桶(5) 普通车床(6) 电饭煲 (7) 多速电风扇(8) 调光台灯 解：（1）、（2）属闭环控制。（3）、（4）、（5）、（6）、（7）、（8）属开环控制。 1.2 组成自动控制系统的主要环节有哪些？它们各有什么特点? 起什么作用？ 解：组成自动控制系统的主要环节如下： (1) 给定元件：由它调节给定信号，以调节输出量的大小。 (2) 检测元件：由它检测输出量的大小，并反馈到输入端。 (3) 比较环节：在此处，反馈信号与给定信号进行叠加，信号的极性以“+”或“-”表示。 (4) 放大元件：由于偏差信号一般很小，因此要经过电压放大及功率放大，以驱动执行元件。 (5) 执行元件：驱动被控制对象的环节。 (6) 控制对象：亦称被调对象。 (7) 反馈环节：由它将输出量引出，再回送到控制部分。一般的闭环系统中，反馈环节包括检测、分压、滤波等单元。 1.3 图1-1表示的是一角速度控制系统原理图。离心调速器的轴由内燃发动机通过减速齿轮获得角速度为w的转动，旋转的飞锤产生的离心力被弹簧力抵消，所要求的速度w由弹簧预紧力调准。 （1）当w突然变化时，试说明控制系统的作用情况。 （2）试画出其原理方框图。
图1-1 角速度控制系统原理图 解：（1）发动机无外来扰动时，离心调速器的旋转角速度基本为一定值，此时，离心调速器与减压比例控制器处于相对平衡状态；当发动机受外来扰动，如负载的变化，使w 上升，此时离心调速器的滑套产生向上的位移e ，杠杠a 、b 的作用使液压比例控制器的控制滑阀阀芯上移，从而打开通道1，使高压油通过该通道流入动力活塞的上部，迫使动力活塞下移，并通过活塞杆使发动机油门关小，使w 下降，以保证角速度w 恒定。当下降到一定值，即e 下降到一定值时，减压滑阀又恢复到原位，从而保证了转速w 的恒定。 （2）其方框图如下图所示 图1-2 角速度控制系统原理方框图 作业二 2.1 试建立图2—1所示电网络的动态微分方程，并求其传递函数 解：（a ）根据克希荷夫定律有 ⎪⎩⎪⎨⎧ =+=⎰) 2( )()1()(1)(iR t u t u idt C t u o o r 由（1）式可得， ))()((dt t du dt t du C i o r -= 代入（2）式可得， )) ()(()(dt t du dt t du RC t u o r o -= 整理后得系统微分方程： dt t du RC t u dt t du RC r o o )()()(=+ 经拉氏变换后，得 )()()(s RCsU s U s RCsU r o o =+ R 2 C )(a) R 1R 0 u r (t u c (t ) (b) ＋ －u r (t ) R 1 R 2 C u c (t ) ＋ －u r (t ) ＋－ R 1 ＋ － u c (t )(c)(d) C 1 C u r (t ) u c (t ) (a)＋－ R ' R 0C 0 u r (t ) ＋ － u (t )＋ － u r (t )＋ － (c)