18、第18章_勾股定理单元综合测试题(一)及答案
第18章“勾股定理”综合测试题（一）
（温馨提示：满分100+50分 时间100分钟）
基础巩固
一、选择题（每题5分，满分30分）
1．如图1，从电线杆离地面5m 处向地面拉一条长13m 的缆绳，则这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部 【 】．
（A ）6m （B ）8m （C ）10m （D ）12m
2. 小明用火柴棒摆直角三角形，已知他摆两条直角边分别用了6根和8根火柴棒，他摆完这个直角三角形共用火柴棒 【 】．
（A ）20根 （B ）14根
（C ）24根 （D ）30根
3.如图2，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是 【 】．
（A ）直角三角形 (B )锐角三角形 (C )钝角三角形 (D )以上答案都不对
4.如图3，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积为
【 】
（A ）4 (B ) 6 (C ) 16 (D ) 55
5. 已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1
2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有 【 】
（A ）② (B ) ①② (C ) ①③ (D ) ②③
6. 已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为 【 】．
（A ）12 （B ）7＋7 （C ）12或7＋7 （D ）以上都不对
二、填空题(每小题5分，共30分)
7．若一个直角三角形三边长是三个连续的自然数，则这个三角形的周长是 ．
8. 传说,古埃及人曾用＂拉绳”的方法画直角,现有一根长24厘米的绳子,请你利用它拉出一个周长为24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为_______厘
图 3 图
2 图1
米,______厘米,________厘米,其中的道理是______________________.
9. 如图4，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达点B 200m ，结果他在水中实际游了520m ，求该河流的宽度为_________m ．
10. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，c =20，a ∶b =3∶4，则a =_________，b =________．
11. 如图5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面1S =258
π，22S π=，则3S 是
12. 在长方形纸片ABCD 中，AD ＝4㎝，AB ＝10㎝，按如图6方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则DE ＝ ㎝.
三、解答题(共40分)
13．（12分）如图7，每个小方格都是边长为1的正方形.
（1）求图中格点四边形ABCD 的周长；
（2）求∠ADC 的度数.
14. （14分）如图8，在四边形ABCD 中，∠B =90°，AB =8，BC =6，CD =24，AD =26，求四边形ABCD 的面积．
图
7 图 5 图 6 图4
15. （14分）如图9，小刚准备测量一条河的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5米远的水
底，竹竿高出水面0.5米，再把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐；请计算并推断河水的深度为几米？
拓展创新（满分50分）
一、选择题（每题6分，满分12分） 1．若△ABC 的三边a ，b ，c 满足222
338102426a b c a b c +++=++，则此三角形为
【 】．
（A ）锐角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）直角三角形 （D ）不能确定
2．国庆期间，小华与同学到“花鼓灯嘉年华”去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A 处出发先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东拐，仅走了1千米，就找到了宝藏，则门口A 到藏宝点B 的直线距离是【 】．
（A ）20千米 （B ）14千米 （C ）11千米 （D ）10千米
二、填空题(每小题6分，共12分)
3.如图2，甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt △ABC 中，若直角边AC ＝6，BC ＝6，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是
______________. 图9 图8
4.如图3，一只蚂蚁从点A 沿圆柱表面爬到点B ，如果圆柱的高为8cm ，圆柱的底面半径为
6
cm
，那么最短的路线长是 .
三、解答题(共26分)
5. （12分）小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板如图4
位置摆放，A 、B 、D 在同一直线上，EF ∥AD ，∠A =∠EDF =90°，∠C =45°，∠E =60°，量得DE =8，试求BD 的长．
6．（14分）如图5，A 、B 两座城市相距100千米，现计划要在两座城市之间修筑一条高等
级公路（即线段AB ）．经测量，森林保护区中心P 点在A 城市的北偏东30°方向，B 城市的北偏西45°方向上．已知森林保护区的范围在以P 为圆心，50千米为半径的圆形区域内．请问：计划修筑的这条高等级公路会不会穿越森林保护区？为什么？
参考答案
基础巩固
1．D 2．C 3．A 4．C 5．D 6．C 7．12 8． 6 8 10 勾股
图
5 图
4 图
2 A B
图
3 图1
定理（222+=a b c ） 9．480 10. 12 16 11．98π 12．295
13．（1）四边形周长为：ADC 的度数为90．
15．若假设竹竿长x 米，则水深（x －0.5）米，由题意得，
2221.5(0.5)x x =+-，解之得， 2.5x =．所以水深2.5－0.5=2米．
拓展创新
一、选择题
1.C
2.D
二、填空题
3. 76
4. 10cm
三、解答题
∵∠C =45°，∴∠MFB =∠B =45°，
∴FM =BM =BD =DM －BM =12-
100x +=，1)x =， ∴PD 50(363.450=≈>. ∴不会穿过保护区．
第18章[1].勾股定理知识点与常见题型总结
第18章 勾股定理复习 一．知识归纳 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：， 4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD 22 1 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为2 2 1422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=
方法三：1()()2 S a b a b = +?+梯形，2 112S 222ADE ABE S S ab c ??=+=? + 梯形，化简得证 a b c c b a E D C B A ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在A B C ?中，90C ∠=? ，则c = b = ，a = ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2 2 2 2 ,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） ７．勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求
勾股定理单元检测题及参考答案
E C D B F A 《勾股定理》单元检测题 （满分：100分 时间：60分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（ ） A ．32cm B ．42cm C ．52cm D ．62cm （1题图） （2题图） 2．如图，正方形ABCD 的边长为1，则正方形ACEF 的面积为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3．三角形的三边长a ，b ，c 满足()2 22a b c ab +=+，则这个三角形是（ ） A ．等边三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．锐角三角形 4．已知直角三角形的斜边长为10，两直角边的比为3∶4，则较短直角边的长为（ ） A ．3 B ．6 C ．8 D ．5 5．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记为a ，b ，c ，由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是（ ） A ．∠A +∠ B =∠ C B ．∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3 C ．222a c b =- D ．a ∶b ∶c =3∶4∶6 6．若直角三角形的三边长为6，8，m ，则2m 的值为（ ） A ．10 B ．100 C ． 28 D ．100或28 7．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =9，BC =12，则点C 到斜边AB 的距离是（ ） A ． 36 5 B ． 12 5 C ．9 D ．6 1cm 4cm 3cm
B 169 25 C B A 4cm 2cm 5cm P Q 8．如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，以AC 为直径的圆恰好过点B ．若AB =8，BC =6，则阴影部分的面积是（ ） A ．100π24- B ．100π48- C ．25π24- D ．25π48- 9．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 10．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三、股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC =90°，AB =3，AC =4，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在长方形KLMJ 的边上，则长方形KLMJ 的面积为（ ） A ．90 B ．100 C ．110 D ．121 二、填空题（每小题4分，共20分） 11．如图，字母B 所代表的正方形的面积为 ． （11题图） （14题图） （15题图） 12．等腰△ABC 的腰长AB 为10 cm ，底边BC 为16 cm ，则底边上的高为 ． 13．一艘轮船以16 km/h 的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以30 km/h 的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距_______ km ． 14．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小 ③' ④' ④ ③ ②'② ①
八年级数学下册学习探究诊断第十八章勾股定理全章测试
第十八章勾股定理全章测试 一、填空题 1．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．2．若等边三角形的边长为2，则它的面积为______． 3．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是10cm2，则其中最大的正方形的边长为______cm． 3题图 4．如图，B，C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A到岸边BC的距离是______米． 4题图 5．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE ⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到三边AB，AC 和BC的距离分别等于______cm． 5题图 6．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝______． 6题图 7．△ABC中，AB＝AC＝13，若AB边上的高CD＝5，则BC＝______． 8．如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．
8题图 二、选择题 9．下列三角形中，是直角三角形的是( ) (A)三角形的三边满足关系a ＋b ＝c (B)三角形的三边比为1∶2∶3 (C)三角形的一边等于另一边的一半 (D)三角形的三边为9，40，41 10．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境， 已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要( )． 10题图 (A)450a 元 (B)225a 元 (C)150a 元 (D)300a 元 11．如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形 ABCD 的面积为8，则BE ＝( )． (A)2 (B)3 (C)22 (D)32 12．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝13，CD ＝6，则AC ＋BC 等于 ( )． (A)5 (B)135 (C)1313 (D)59
2017年沪科版八年级下《第18章勾股定理》单元测试卷含答案
第18章勾股定理单元测试卷 一、选择题(每题3分,共30分) 1.以下列各组数据为边长的三角形中,是直角三角形的是() A.,, B.5,4,8 C.,2,1 D.,3, 2.直角三角形的一条直角边长是另一条直角边长的,斜边长为10,则它的面积为() A.10 B.15 C.20 D.30 3.在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,若∠B=90°,则() A.b2=a2+c2 B.c2+b2=a2 C.a2+b2=c2 D.a+b=c 4.如果将长为6 cm,宽为5 cm的长方形纸片折叠一次,那么这条折痕的长不可能是() A.8 cm B.5cm C.5.5 cm D.1 cm 5.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是() A. B. C. D. 6.如图,每个小正方形的边长都为1,则△ABC的三边a,b,c的大小关系是()
A.a 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a , b，斜边为C ,那么a2+ b2=c2 2.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下： 1 方法一： 4 S A +S正方形EFGH =S：E方形ABCD, 4x-ab +(b-a) =c 2 方法二: 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 1 2 2 S=4X-ab +c =2ab +c 2 大正方形面积为S =(a +b)2 =a2+2ab +b2 1 1 1 S弟形=2(a +b) (a +b) , S弟形=2S 丛DE+S心BE =2 ，化简得证 勾股定理总复习 ，化简可证. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 所以a2+b2 2 =c 方法三: b a 3. 勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形 4. 勾股定理的应用 ① 已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在 朋BC 中，N C =90。，贝y C = J a 2 +b 2 , b= J c 2 —a 2 , a = J c 2 -b 2 ② 知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③ 可运用勾股定理解决一些实际问题 5. 勾股定理的逆定理 如果三角形三边长 a , b , c 满足a 2 + b 2 =c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中 c 为斜边 6 .勾股数 ① 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 时，称a , b , c 为一组勾股数 ② 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 3,4,5 ; 6,8,10 ; 5,12,13 ; 7,24,25等 ③ 用含字母的代数式表示 n 组勾股数： 2 2 n -1,2n,n +1 （n >2, n 为正整数）; 2 2 2n +1,2n +2n,2n +2n +1 （ n 为正整数） 2 2 2 _____________________________________ -n ,2mn, m +n （ m:>n, m , n 为正整数） 过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题 的解决. 常见图形： a 2 +b 2 =c 2 中，a , b , c 为正整数 m 2 7. 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问 题?在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什 么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线） 用勾股定理进行求解. 8. 勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中， 勾股定理的应用 ，构造直角三角形，以便正确使 是密不可分的一个整体.通常既要通 A 八年级下册第十八章《勾股定理》水平测试（1）一、试试你的身手（每小题3分，共24分） 1．三角形的三边满足a2＝b2＋c2，这个三角形是三角形，它的最大边是．2．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝24，CA＝7，AB＝． 3．在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是． 4．如图1所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是cm2． 5．如图2，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝60c m，CA＝80c m，一只蜗牛从C点出发，以每分钟20c m的速度沿CA→AB→BC的路径再回到C点，需要分钟的时间． 6．已知x、y为正数，且｜x2-4｜+(y2-16)2＝0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为． 7．在布置新年联欢会的会场时，小虎准备把同学们做的拉花用上，他搬来了一架高为2.5米的梯子，要想把拉花挂在高2.4米的墙上（设梯子上端要到达或超过挂拉花的高度才能挂上），小虎应把梯子的底端放在距离墙米处． 8．如图3是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直 角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三 角形的两直角边分别为和．（注：两直角边长均为整数） 二、相信你的选择（每小题3分，共24分） 1．下列各组数为勾股数的是（） A．6，12，13 B．3，4，7 C．4，7.5，8.5 D．8，15，16 2．要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物5m，顶端离地面12m，则梯子的长度为（） A．12m B．13m C．14m D．15m 3．直角三角形两直角边边长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为（）A．10cm B．3cm C．4cm D．5cm 4．若将直角三角形的两直角边同时扩大2倍，则斜边扩大为原来的（） A．2倍B．3倍C．4倍D．5倍 5．下列说法中，不正确的是（） A．三个角的度数之比为1∶3∶4的三角形是直角三角形 B．三个角的度数之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形 C．三边长度之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形 D．三边长度之比为9∶40∶41的三角形是直角三角形 6．三角形的三边长满足关系：(a+b)2=c2+2ab，则这个三角形是（） A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形 第十七章勾股定理单元测试题 一、相信你的选择 1、如图,在Rt △AB Ｃ中,∠B ＝9０°,BC ＝1５，AC ＝17,以AB 为直径作半圆,则此半圆的面积为（ )． A.16π B ．１2π Ｃ.1０π D ．８π 2、已知直角三角形两边的长为３和4，则此三角形的周长为（ )． A ．12 B ．7＋7 Ｃ．12或7＋7 D ．以上都不对 3、如图，梯子AB 靠在墙上,梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m ，梯子的顶端Ｂ到地面的距 离为7m,现将梯子的底端A 向外移动到A ′,使梯子的底端A ′到墙根Ｏ的距离等于3m.同时 梯子的顶端B 下降至B ′,那么ＢB ′（ ）. A.小于1m B ．大于1m C ．等于1m D ．小于或等于1m 4、将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm,高８c ｍ的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子 露在杯子外面的长度为h cm ，则h 的取值范围是( )． A ．h ≤１７ｃm B ．B.h ≥8ｃm C ．１５cm ≤h ≤1６cm Ｄ.７c ｍ≤ｈ≤16cm 二、试试你的身手 5、在Rt △AB Ｃ中，∠C =90°，且2a =3b ，c ＝２13，则a ＝＿____,b =_____． 6、如图，矩形零件上两孔中心A 、B 的距离是_____(精确到个位). 7、如图，△ABC 中，AC =6，A Ｂ＝BC ＝5，则BC 边上的高AD ＝__＿_＿＿. 8、某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要 元. 三、挑战你的技能 9、如图,设四边形AB ＣD 是边长为１的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ＡCEF ,再以对角线AE 为边作第三个正方形ＡEGH ,如此下去． (1)记正方形ＡB ＣＤ的边长为a １＝1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a 2,ａ3， a 4,……,a n ,请求出a 2,a 3,a ４的值； （2)根据以上规律写出ａn 的表达式. 150o 20米30米 第十八章目录 一、勾股定理 (2) 考向1：勾股定理的直接用法 (3) 考向2：勾股定理的构造应用 (3) 考向3：用勾股定理求两点之间的距离问题 (4) 考向4：用勾股定理求最短问题 (4) 考向5：利用勾股定理作长为n的线段 (5) 二、勾股定理的逆定理 (6) 考向6：利用勾股定理逆定理判断垂直 (7) 考向7：勾股定理和逆定理并用 (7) 考向8：旋转问题 (7) 考向9：折叠问题 (8) 第十八章勾股定理知识点总结与典型例题 一、勾股定理 1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即：如果直角三角形 的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222 a b c += 2、要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b ，a ） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 3、勾股定理的证明： 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：（课本P72） 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b - 1 - S 3S 2 S 1 C B A D C A 人教版八年级勾股定理测试题 （总分：120分，考试时间：60分钟） 考号 班级___________ 姓名_____________. 一、选择题（每小题3分，共24分） 1、下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A ：4，5，6 B ：1，1 C ：6，8，11 D ：5，12，23 2、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（ ） A ：26 B ：18 C ：20 D ：21 3. 将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形 ( ) A. 可能是锐角三角形 B. 不可能是直角三角形 C. 仍然是直角三角形 D. 可能是钝角三角形 4、△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，AB ＝8，BC ＝15，CA ＝17，则下列结论不正确的是（ ） A ：△ABC 是直角三角形，且AC 为斜边 B ：△ABC 是直角三角形，且∠ABC ＝90° C ：△ABC 的面积是60 D ：△ABC 是直角三角形，且∠A ＝60° 5 ） A ： ：6、已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足 2(6)10 a c -+-=，则三角形的形状是（ ） A ：底与边不相等的等腰三角形 B ：等边三角形 C ：钝角三角形 D ：直角三角形 7、一艘轮船以16海里∕小时的速度从港口A 出发向东北方向航行，同时另一轮船以12海里∕小时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口3小时后，则两船相距（ ） A ：36 海里 B ：48 海里 C ：60海里 D ：84海里 8、若ABC ?中，13,15AB cm AC cm ==，高AD=12,则BC 的长为（ ） A ：14 B ：4 C ：14或4 D ：以上都不对 二、填空题（每小题3分，共24分） 9、木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm ，宽为60cm ，对角线为100cm ，则这个桌面 （填“合格”或“不合格”）； 10、如图所示，以直角三角形ABC 的三边向外作正方形，其面积分别为123 ,,S S S ,且 1234,8,S S S === 则 ； 11、将长为10米的梯子斜靠在墙上，若梯子的上端到梯子的底端的 距离为6米，则梯子的底端到墙的底端的距离为 米。 12、如图， 90,4,3,12C ABD AC BC BD ? ∠=∠====,则AD= ； 13、若三角形的三边满足::5:12:13a b c =，则这个三角形中最大的角为 ； 14、已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm 、8cm ，那么这个直角三角形斜边上的高为 ； 15、写出一组全是偶数的勾股数是 ； 16、如图，已知一根长8m 的竹杆在离地3m 处断裂，竹杆顶部抵着地面，此时， 顶部距底部有 m ； 三、解答题 17、（ 4分）如图，为修通铁路凿通隧道AC ，量出∠A=40°∠B ＝50°，AB ＝5公里，BC ＝4公里，若每天凿隧道0.3公里，问几天才能把隧道AB 凿通？ 八年级下册第18章.勾股定理知识点与常见题型总结 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 a b c c b a E D C B A ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） ７．勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体 勾股定理 课堂学习检测 一、填空题 1．如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么______＝c2；这一定理在我国被称为______． 2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边． (1)若a＝5，b＝12，则c＝______； (2)若c＝41，a＝40，则b＝______； (3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝______，b＝______； (4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝______，c＝______． 3．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为______． 4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______． 5．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______． 二、选择题 6．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )． (A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算 7．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )． 2 (A)4 (B)6 (C)8 (D)10 8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )． (A)150cm2 (B)200cm2 (C)225cm2(D)无法计算 三、解答题 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c． (1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b； (2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积； (3)若c－a＝4，b＝16，求a、c； (4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高h c； (5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c． 综合、运用、诊断 一、选择题 10．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )． (A)1个(B)2个 (C)3个(D)4个 二、填空题 11．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______． 12．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______． 三、解答题 13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC 的长． 初中数学试卷 第十八章 勾股定理 18.1 勾股定理（1） 知识领航 1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角 三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 2．关于勾股定理的证明方法有很多．赵爽的证法是一种面积证法，其中的依据是图形经过 割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变．“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲。正因为此，这个图案被选为2002年在北京召开的世界数学家大会的会徽。 e 线聚焦 【例】 如图所示，可以利用两个全等的直角三角形拼出一个梯形．借助这个图形，你能用面积法来验证勾股定理吗？ 分析：面积法验证勾股定理关键是要找到一些特殊图形 (如直角三角形，正方形，梯形)的面积之和等于另一些特殊 图形的面积，从而达到验证的目的． 解：此图可以这样理解，有三个Rt △其面积分别为21ab ，21ab 和21c 2．还有一个直角梯形，其面积为2 1(a ＋b )(a ＋b )． 由图形可知：21 (a ＋b )(a ＋b )＝ 21ab ＋21ab ＋2 1c 2 整理得(a ＋b )2 ＝2ab ＋c 2， a 2＋b 2＋2ab ＝2ab ＋c 2， ∴ a 2＋b 2＝c 2 . 由此得到勾股定理． 这正是美国第20任总统茄菲尔德证明勾股定理的方法． 双基淘宝 仔细读题，一定要选择最佳答案哟！ 1. 下列说法正确的是（ ） A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2 B.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2 C.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，ο90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2 D.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，ο90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2 2. △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ） 勾股定理单元测试题 一、选择题 1、下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A ：4，5，6 B ：1，1 ：6，8，11 D ：5，12，23 2、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（ ） A ：26 B ：18 C ：20 D ：21 3、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ） A ：3 B ：4 C ：5 D ：7 4、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝45°,c ＝10，则a 的长为（ ） A ：5 B ：10 C ：25 D ：5 5、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ） A 、 、、3 6、若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（ ） A 、6 B 、7 C 、8 D 、9 7、已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ， AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合， 折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A 、3cm 2 B 、4cm 2 C 、6cm 2 D 、12cm 2 8、若△ABC 中，13,15AB cm AC cm ==，高AD=12,则BC 的长为（ ） A 、14 B 、4 C 、14或4 D 、以上都不对 二、填空题 1、若一个三角形的三边满足2 2 2 c a b -=，则这个三角形是 。 2、木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm ，宽为60cm ，对角线为100cm ，则这个桌面 。（填“合格”或“不合格” ） 3、直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________。 第十八章 勾股定理 时间：90分钟总分：100分 班 级. 姓名 分数. 一选择题（每题 3分，共30分） 1. 一直角三角形的斜边长比一直角边长大 另一直角边长为 A 、 4 、10 、12 2.如图中字母 A 所代表的正方形的面积为 A 、 4 、16 、64 3.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, A 、钝角三角形 、直角三角形 得到的三角形是 C 、锐角三角形 、等腰三角形 4.一直角三角形的一条直角边长是 7cm 另一条直角边与斜边长的和是 49cm 则斜边的 长为（） A 、 18cm B 、 20cm 、24cm 、25cm 5.在△ ABC 中, AB=12cm BC=16cm, AC=20cm 则^ ABC 的面积是 2 A 、96cm 2 B 、 120cm 2 2 C 、160cm 2 D 、 200cm 6.若直角三角形中，有两边长是 12和5，则第三边长的平方为（ A . 132 132 或 119 C . 13 或 15 D . 15 7?适合下列条件的△ ABC 中，直角三角形的个数为（ 1 1 ① a U ，b =1，c 1 —；② a =6,/ A=450; ③/ 5 A=32\/ B=5g ; ④ a =7,b =24,c =25; ⑤ a =2,b =2,c = 4 A 、2 个 B &如图：有一圆柱, 在圆柱下底面的 它的高等于 A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与 点处的食物，需要爬行的最短路程大约（ C 8cm ，底面直径等于 4cm (兀=3) A 相对的 B B （8题 图） A 、 10cm 、12cm 、19m 、20cm 9?直角三角形有一条直角边长为 13,另外两条边长都是自然数，则周长为（ ). A . 182 B . 183 C 184 D . 185 第18章“勾股定理”综合测试题（一） （温馨提示：满分100+50分 时间100分钟） 基础巩固 一、选择题（每题5分，满分30分） 1．如图1，从电线杆离地面5m 处向地面拉一条长13m 的缆绳，则这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部 【 】． （A ）6m （B ）8m （C ）10m （D ）12m 2. 小明用火柴棒摆直角三角形，已知他摆两条直角边分别用了6根和8根火柴棒，他摆完这个直角三角形共用火柴棒 【 】． （A ）20根 （B ）14根 （C ）24根 （D ）30根 3.如图2，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是 【 】． （A ）直角三角形 (B )锐角三角形 (C )钝角三角形 (D )以上答案都不对 4.如图3，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积为 【 】 （A ）4 (B ) 6 (C ) 16 (D ) 55 5. 已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1 2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有 【 】 （A ）② (B ) ①② (C ) ①③ (D ) ②③ 6. 已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为 【 】． （A ）12 （B ）7＋7 （C ）12或7＋7 （D ）以上都不对 二、填空题(每小题5分，共30分) 7．若一个直角三角形三边长是三个连续的自然数，则这个三角形的周长是 ． 8. 传说,古埃及人曾用＂拉绳”的方法画直角,现有一根长24厘米的绳子,请你利用它拉出一个周长为24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为_______厘 图 3 图 2 图1 勾股定理同步练习题 1．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是32cm ，则另一条直角边的长是（ ） A . 4cm B . 34cm C . 6cm D . 36cm 2．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 33 3．一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动( ) A . 9分米 B . 15分米 C . 5分米 D . 8分米 4． 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条 “路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草． 5. 在△ABC 中，∠C ＝90°，（1）已知 a ＝2.4，b ＝3.2，则c ＝ ；（2）已知c ＝17，b ＝15，则△ABC 面积等于 ；（3）已知∠A ＝45°，c ＝18，则a ＝ . 6. 一个矩形的抽斗长为24cm ，宽为7cm ,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是 ． 7. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12cm ，S △ABC ＝30cm 2，则AB ＝ . 8. 等腰△ABC 的腰长AB ＝10cm ，底BC 为16cm ，则底边上的高为 ，面积为 . 9. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ． 10．一天，小明买了一张底面是边长为260cm 的正方形，厚30cm 的床垫回家．到了家门口，才发现门口只有242cm 高，宽100cm ．你认为小明能拿进屋吗？ ． 11．如图，你能计算出各直角三角形中未知边的长吗？ 12．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m ,长13m ，宽2m 的楼道上铺地毯,已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一 下，铺完这个楼道至少需要多少元钱? 13．有一只小鸟在一棵高4m 的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高20m 的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它 立刻以4m/s 的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？ 14．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km /h .如图，一辆小汽车在一条城 市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？ 15．将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm ， 在无风的天气里，彩旗自然下垂，如右图. 求 5m 13m 第4题图 观测点 第十八章勾股定理 18．1 勾股定理（一） 学习目标： 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，会用勾股定理进行简单计算； 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力； 3．了解我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就。 学习重点：勾股定理的内容及证明。 学习难点：勾股定理的证明。 导学过程： 一、回顾旧知、导入新课 1、在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠ B= ； 2、Rt△ABC的三条边a、b、c之间有什么数量关系？ 二、新课探究 ㈠、独立思考，解决问题 据说2500多年以前，毕达哥拉斯在朋友家的地板上发现并证明了勾股定理，让我们一起来重温当年的科学家之路吧。 背景：（1）初步观察；（2）从面积角度观察图形。 问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？ ㈡、师生探究，合作交流 1．探究活动一： 探究等腰直角三角形的情况 观察图1并填写：（图中每个小方格代表一个单位面积） A的面积 （单位面积） B的面积 （单位面积） C的面积 （单位面积） 左图 右图 c b a B A C 思考： ⑴你能发现三个正方形A 、B 、C 的面积之间有什么关系？ ⑵你能用直角三角形的直角边a,b,斜边c 来表示上图中正方形A,B,C 的面积吗？ ⑶你能发现等腰直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？ 2．探究活动二： 由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？ 观察图2并填写：（图中每个小方格代表一个单位面积） 思考：你能发现三个正方形 A 、 B 、 C 的面积之间有什么关系？你能发现一般直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？ 勾股定理： 。 数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方称为毕达哥拉斯定理） 勾股定理的证明 方法1：利用“赵爽弦图”证明 A 的面积 （单位面积） B 的面积 （单位面积） C 的面积 （单位面积） 左图 右图 弦股 勾第十八章勾股定理总复习
第18章勾股定理复习题易错题
勾股定理单元测试题及答案
第十八章勾股定理知识点总结与典型例题
新人教版勾股定理单元测试题
人教版八年级下册数学 专题：第18章.勾股定理知识点与常见题型总结
勾股定理全章练习题含答案
人教版八年级数学下册第十八章 勾股定理
勾股定理单元测试题(含答案)
第十八章勾股定理
18、第18章_勾股定理单元综合测试题(一)及答案
勾股定理练习题附答案(免费)
第十八章勾股定理