浅谈在初等数论的数学思想方法与如何在教学中体现

本科毕业论文

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院系：网络教育学院

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毕业时间：20 年2月

原创承诺书

我承诺所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作

及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方

外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。若本论文及

资料与以上承诺内容不符，本人愿意承担一切责任。

毕业论文作者签名：___________________

日期：年月日

目录

摘要..........................................................................................I Abstract (Ⅱ)

引言(导言\绪论) (Ⅲ)

一、整体化思想方法 (1)

（一）同余理论的定义的提出就是整体化思想的的体现 (1)

（二）什么是整体化思想方法 (2)

（三）案例分析解题过程中整体化数学思想方法 (2)

（四）在数学教学工作中应该注意的问题 (3)

二、配对思想方法 (4)

（一）Wilson定理证明过程蕴涵了“配对思想方法” (4)

（二）什么是配对数学思想方法 (4)

（三）初等数论中有许多配对的情形存在 (4)

（四）在数学教学工作中应该注意的问题 (4)

三、化归思想方法 (5)

（一）初等数论解题过程中反映“化归”思想方法的内容 (5)

（二）什么是化归数学思想方法 (5)

（三）案例分析“化归”在解题过程中的具体表现 (5)

(四) 教学过程中应注意的问题 (8)

参考文献 (9)

致谢 (10)

摘要（内容要手写）

摘要：初等数论貌似简单，但真正掌握并非易事，它的内容严谨简洁，方法奇巧多变，蕴含了丰富的数学思想方法，其数学思想方法又往往隐含在数学知识形成和问题解决的过程中。下文我将例谈初等数论解题过程中所反映出来的整体化、配对、化归等三大数学思想方法。教师要注重在基础知识的教学中进行渗透,在解题教学中进行提炼和深化。

关键词：数学思想方法整体化配对化归数学教学

Abstract (内容要手写)

Abstract:The primary theory of numbers apparents simply, but grasps is not the easy matter truly, its content rigorous succinct, method marvelous changeable, has contained the rich mathematics thinking method, its mathematics thinking method often conceals, in mathematics knowledge forms with in the question solution process. As follows I the example discussed in the primary theory of numbers problem solving process reflects integration, pair, reduction and so on three big mathematics thinking method. The teacher wants to pay great attention in the elementary knowledge teaching to carry on the seepage, carries on the refinement and the deepening in the problem solving teaching.

Key words:Mathematics thinking method Integration Pair Reduction Mathematics teaching

浅谈在初等数论的数学思想方法与如何在教学中体现

引言

当今的数学教学的目的不仅要求学生掌握好数学的基础知识和基本技能，还要求发展学生的能力，培养他们良好的个性品质和学习习惯。在实现教学目的的过程中，数学思想方法对于打好“双基”和加深对知识的理解，培养学生的思维能力有着独到的优势，它是学生形成良好认知结构的纽带，是由知识转化为能力的桥梁。因此，在数学教学中，教师重视数学思想方法的渗透，注重对学生进行数学思想方法的培养。

“那什么是数学思想方法？”————数学思想是指人们对数学理论和内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动；数学方法是指某一数学活动过程的途径、程序、手段，它具有过程性、层次性和可操作性等特点。数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段。实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。

学习过初等数论的教师们都知道：初等数论以整除和同余理论为基础，主要研究整数性质和不定方程。初等数论貌似简单，但真正掌握并非易事，它的内容严谨简洁，方法奇巧多变，蕴含了丰富的数学思想方法，其数学思想方法又往往隐含在数学知识形成和问题解决的过程中。下文我将例谈初等数论解题过程中所反映出来的整体化、配对、化归等三大数学思想方法。

一、整体化思想方法

同余理论是初等数论的核心，有着理论比较容易学习，题目却比较难做的特点，这就 需要我们挖掘数学思想方法————整体化思想，可以使我们更好地理解同余理论中的定义、定理及其解答整除问题、定理证明等初等数论的问题。

（一）同余理论的定义的提出就是整体化思想的的体现

定义1．(同余)设 m 是给定的正整数，a,b 是任意整数，如果整数 m ︱(a-b)，则称a 与b 关于模 m 同余，记为 a ≡ b （mod m ）

由带余除法可知，整数 a ，b 对模 m 同余的充分与必要条件是a 和 b 被 m 除后所得的最小非负余数相等，设a=mq+r(0?r ?m)，则由同余的性质 a ≡ b ≡ r(mod m )。因此对于全体整数，我们除以同一个整数 m ，得到的余数为0，1，2，…，m-1，共有m 种情况，即对于模m ，我们可以将整数集分成m 个集合：

0K ={ x ︱x ≡0(mod m),x ∈Z}

1K ={ x ︱x ≡1(mod m),x ∈Z}

… …

1-m K ={ x ︱x ≡m-1(mod m),x ∈Z}

从而有如下定义：

定义2．(剩余类)设m 是正整数，把全体整数按对模m 的余数分成m 类，相应的m 个集合记为0K ，1K ，…1-m K 其中r K ={qm+r ︱q ∈Z ，0?r

以下是几条常数性质：

（1）Z =

m r r K <≤0，且 φ=j i K K （i ≠j ）；

（2）每一个整数仅在0K ，1K ，…1-m K 的一个里；

（3）对于任意a ，b ∈Z ，则a ，b ∈r K 的充要条件是a ≡b （mod m ）。

定义3．（完全剩余系) 设0K ，1K ，…1-m K 为模m 的全部剩余类，从每个r K 中任取一个r a ，得m 个数0a ，1a ，…1-m a 组成的集合，叫做模m 的一个完全剩余系。

由此说明，我们可以把一个无限的整数集按指定的整数m 为模分为m 个剩余，在模m 的一个完全剩余系内考查整数的特征。

定义4．（简化剩余系）在模m 的一个完全剩余系中，与m 互质的数的全体称为模m 的一个简化剩余系。

简化剩余系中的个数与原来所取的完全剩余系无关，它是由m 唯一确定的，而且模m 的简化剩余系中数的个数恰好就是不大于m 且与m 互质的自然数的个数,因此定义

)(m ?=s={1,2,…m-1}中和m 互质的数的个数，)(m ?称为欧拉(Euler)函数。这是数论中的非常重要的一个函数，显然)1(?=l ，而对于m > 1，)(m ?就是1，2，…，m-1中与m 互素的数的个数，比如说p 是素数，则有)(p ?=P 一1。

素数问题、互质问题一直是初等数论的重要内容，有了此定义，给定任一整数m ，只需把所有与m 互质的数看成一个整体，用一组 )(m ?个的m 的简化剩余系为代表，在这个整体中去寻求要考察的与m 互质的整数的特征。

（二）什么是整体化思想方法

整体化思想方法就是把单个对象始终放在整体对象构成的系统中加以考察，通过系统对象之间的整体联系或整体特征，寻求原问题的解决途径。

（三）案例分析解题过程中整体化数学思想方法

例1 n 2+1能被5整除的一切正整数 n 。

分析解答：本题实际上求满足n 2≡-1（mod 5）的所有正整数 n ，

易知22≡4≡-1（mod 5）

∴)12(22

+k ≡1（mod 5）（k ∈Z ） 即242+k ≡-1（mod 5） （k ∈Z ）

因此可知当 n=4k+2 （k ∈Z ）时，满足题意，则又需分析以模为4的完全剩余系中除{ n=4k+2，k ∈Z }外，，是否有满足题意的整数，因此进一步验证：

（1）当n=4k ，k ∈Z 时，122)2(24≡≡k k （mod 5）

（2）当n=4k+1，k ∈Z 时，2222

414≡?≡+k k （mod 5） （3）当n=4k+3，k ∈Z 时，322434≡≡+k k （mod 5）

综上所述，只有当n=4k+2，（k ∈Z ）时，12+n 能被5整除。

本题首先将整数问题化为同余问题，在整数集中寻求满足题意的某类整数n ；找出后又需再将n 又回归整数集，在模为4的完全剩余类寻求是否有其他的整数满足题意。

例2 证明Euler 定理：设m 是大于1的正整数，a 是任意整数，且(a ，m)=1，则)(m a

?≡1(mod

m)。

证明：取模m 的一个简化剩余系)(21,m x x x ? ，由于（a ，m ）=1，故{)(21,,m ax ax ax ? }也是模m 的简化剩余系，因此)(21m ax ax ax ? ≡)(21m x x x ? （mod m ），即 )(21)(m m x x x a ?? ≡)(21m x x x ? （mod m ） （*）

由于（)(21,,,m x x x ? ，m ）=1，所以由式（*）得出)(m a ?≡1(mod m)。证毕

注，Euler 定理的证明虽然十分简单，但它体现了从以上的证明过程知道，Euler 定理的证明依赖于模m 的简化剩余系的整体性质：“若)(21,m x x x ? 是模m 的简化剩余系，（a ，m ）

=1，则)(21,,m ax ax ax ? 也是模m 的简化剩余系，且模m 的任一简化剩余系中所有数的乘积关于模m 同余”。类似地，设m a a a ,,,21 为模m 的完全剩余系，则i a 与且只与某一个i(1?i ?m)同余，由此可得到完全剩余系的整体性质：∑∑===m

i k m i k i i a

11（mod m ） （k ∈N ）。利用模m 的完全剩余系(或简化剩余系)的整体性质，就可以另辟蹊径，获得巧妙简捷的解(证)题效果。

（四）在数学教学工作中应该注意的问题

前面我们都是研究初等数论中反映出来的整体化数学思想方法，其实整体化数学思想方法在数学教学的各个阶段各个领域都有体现。对整体化思想方法的掌握和运用,不仅能有效地解决数学问题,而且有利于发展学生的思维能力、培养学生的辨证唯物主义观点、提高学生的数学素养,特别是促进学生对数学知识本质的认识和理解有着重要作用。

1．注重在基础知识的教学中进行有效地渗透

学生对整体化思想方法的领会不仅依赖于他们对知识整体结构的把握,而且还依赖于他们的思维习惯。因为“数学是一个整体,不同的分支之间存在着实质性联系”;所以,在数学教学中要经常地引导学生把所学新的知识放到已有知识结构中去认识和理解,探讨其地位、作用和前后联系,特别是知识之间的内在联系,从而构建知识的立体结构,并逐步理解和掌握学科的基本结构。如:学习“不等式”,教师要有意识地引导学生把“方程”、“不等式”、“函数”作为一个整体去建构新知识,当学生形成“方程的根即为函数的图象与x 轴交点的横坐标”、“不等式的解即为函数图象在x 轴上方(或下方)的部分所对应点的横坐标”等认识时,就形成了相应的知识链,就能从整体去把握、去应用。

同时,教师还要经常引导学生对所学知识进行总结和反思,使所学知识系统化和条理化,促进知识的内化、深化和升华,从而形成“有生命的、有灵魂的整体的知识。”并创建适时的运用环境,使学生在运用的过程中去感悟、去领会,逐步地形成一种意识、一种习惯———从整体去理解和掌握知识,从整体去把握条件和结论,从整体去分析和解决问题。

2.注重在解题教学中进行提炼和深化

数学思想方法是数学中的理性认识,是数学基础知识和数学方法的本质,是数学中高度抽象、概括的内容,它蕴含于运用数学方法分析、处理和解决数学问题的过程之中。因此,要通过引导学生运用数学整体化思想方法来解决数学问题,并在这个过程中进行提炼和深化。

(1)在数学教学中,要经常地引导学生面对数学问题,从整体去分析、从整体去思考、从整体去把握,大胆猜想、合理联想。

(2)在数学教学中,要经常地引导学生用运动的、变化的、联系的、发展的眼光,全面地认识问题、分析问题、处理问题。

(3)在数学教学中,要经常地引导学生对问题的条件和结论进行周密地思考、深层次地分析和本质性地探究,全面地、准确地把握他们的内在联系。

(4)在数学教学中,要经常地引导学生认识数学美、揭示数学美、创造数学美,并从数学美的角度处理数学问题。

总之,整体化思想方法既是解决数学问题的思维方法,又是认识客观事物的规律的思想方法;应该将其贯穿于我们数学教学过程的始终,让学生从整体的角度理解数学的思想和精神,从整体的角度掌握和运用数学的知识和方法,从整体的角度分析和解决问题,从而提高学生的数学素养。

二、配对思想方法

（一）Wilson 定理证明过程蕴涵了“配对思想方法”

Wilson 定理：设P 是素数，则(p-1)!≡-l(mod p)．

证明 p=2时结论显然成立。设P 是奇素数时，对每一个整数a(0＜a ＜p )，存在惟一的整数a ′（0＜a ′＜p ），使得a ·a ′≡l(mod p)；如果a=a ′ ，则2a ≡l(mod p)，这时a=l 或a=p-1，除此之外，剩下P-3的个数{2，3，…，p-2}按关系式a ·a ′≡l(mod p)可配成2

3

-p 对，于是有 2· 3…(p-2)≡1(mod p)，故(P-1)!≡1·2·3…(P-2)·(P-1)≡(p-1)≡-l(mod p)。

（二）什么是配对数学思想方法

配对的思想方法就是将整体对象中的满足某种特性的对象进行组合配对，再利用配对后的特性解决原问题。

（三）初等数论中有许多配对的情形存在

①若(a,m)=1,则(m-a,m)=1,即a 与m- a 同属于模m 的简化剩余系;

②若d 是正整数n 的正因数, 则d 与d

n 同为正整数n 的正因数; ③若p≡1(mod 4), 则r 与p-r 同为模p 的平方剩余或同为平方非剩余。

例3 若p 为素数， p≡1(mod 4)，证明

0)(11=?∑-=p r p r r ，其中（p r ）是r 对模p 的Legendre 符号。

证明：∵p≡1(mod 4)，∴（p 1-）=1，于是可推出（p r p -）=（p

r ）， 由此可知，r 与p-r 同为平方剩余或同为平方非剩余。令p=4n+1，则对模P 而言有2n 个平 方剩余及2n 个平方非剩余。根据这一点，对任一r ，(1?r ?p-1)，将r 与P-r 配成一对，则2n 个平方剩余可配成n 对，2n 个平方非剩余也可配成n 对，故0)()(1

1=-+=?∑-=np np p r r p r 。 （四）在数学教学工作中应该注意的问题

配对思想方法，在当今数学教学中常常容易被忽视其思想地位。那是因为配对思想方法有着它特有的特点：在数学知识的不同阶段不同领域，它有着各自不同的表现形式。当它看作是通过把局部补成整体的一种方法时，这时我们可以说它是一种整体化数学思想的变形；当它看作两个集合之间建立对应关系的方法时，它成了对应思想方法的主要具体表现形式；当它看作是促进问题的转化手段时，这时我们又说它是实现化归思想方法的具体手段。这就进一步说明配对思想方法是一个开放的思想系统，它往往和其他的数学思想方法交错在一起，它不是独立存在的。

那么我们在数学教学中如何实施配对思想方法的渗透就成了教育工作者值得重视的问题。配对数学思想方法在教学中渗透的主要方法：①在设计问题中要蕴含。②在知识发生、形成过程中要揭示③在例题教学中要突出④在解题训练中要运用⑤在总结知识的同时要总结提炼配对思想方法。

配对思想方法的主要教学应分三个阶段：（1）突出教学活动。数学教学是数学活动的教学，只有突出数学理论的形成过程，暴露数学家的思维过程，引导学生参与数学的“发现”，

学生才能获得“活”的知识。所以在数学教学中，我们要注重向学生展现配对数学思想的产生、应用和发展的过程，这样才能使学生了解其本质。（2）强调配对数学思想方法的提炼。由于数学知识是逐步深化的，导致了知识发展的各个阶段所反映出配对数学思想方法的不同的层次性。所以随着学生数学知识水平的提高，我们要引导他们对反映不同层次的配对数学思想方法的内容进行提炼。 提炼的目的也是为了完备配对数学思想的系统性，提高学生的思维能力的层次（3）加强配对数学思想方法的指导。解决问题是学生学习数学的主要方式，也是教师的重要教学手段。突出配对数学思想在解题中的指导作用，展现其应用过程，也是为了加强其思想的渗透。

三、化归思想方法

（一）初等数论解题过程中反映“化归”思想方法的内容

合数模同余方程f （x ）≡0(mod m)的求解方法，求解步骤是：

①将模m 进行标准素因数分解),2,1;1(2121k i p p p m i k k ???=≥???=αααα； ②将同余方程f （x ）≡0(mod m)等价化归为求解素数幂模同余方程组

)(mod 0)(i i p x f α≡（1?i ?k ，1≥i α）；

③求解方程)(mod 0)(i i p x f α≡，相应得到i T 个解

)(mod ,,,21i

i T i i i i p a a a x α???≡ （i=1，2，…k ） ④利用孙子定理求解同余方程组 )(mod 1111αp a x j ≡

… （1?i j ?i T ；i=1，…，k ）

)(mod k k k kj p a x α≡

由此求得f （x ）≡0(mod m)的1T ·2T ·…·k T 个解。

注意到，合数模同余方程f （x ）≡0(mod m)的解法蕴含着丰富的化归思想，是化归思想方法的一个典型应用。比如，对于合数模同余方程求解问题，首先，利用同余方程性质和算术基本定理化归为素数幂模的方程组问题；其次，对于每一个素数幂模同余方程通过降次化归为素数模的同余方程的求解；最终，化归为可用孙子定理求解的一元同余方程组问题。

（二）什么是化归数学思想方法

众所周知，化归是一种重要的思维手段，化归是指问题之间的相互转化，或者将问题的一种形式转换成另一种形式，或者把复杂问题转化成较简单问题，将陌生问题转化为已经解决问题或熟悉问题。通过恰当的化归转换(等价或不等价)不仅能够顺利地解决原问题，而且有助于培养学生科学的思维习惯。

（三）案例分析“化归”在解题过程中的具体表现

“初等数论”中的化归思维方法主要有：变形化归、分割化归、映射化归等方法。下面就从这三个方面简单分析：

1．变形化归法

（1）整除问题化归为带余除法问题

在初等数论中，带余数除法、最大公约数性质是整除理论的重要工具。

整除：设a ，b ∈Z ，b ≠0，如果存在q ∈Z ，使得a=bq ，则称a 被b 整除，记作：b ︱a 。 带余数除法：设 a ，b 是两个给定的整数，b ≠O ，则存在惟一的整数对g ，r ，使得a=bq+r ，（0?r ＜︱b ︱）。一般地，整数的整除不一定能实施，而其带余数除法却具有普遍意义，因此，整除问题往往通过“b ︱a ? a=bq+r ，（0?r ＜︱b ︱）中的r=0”化归为带余数除法问题。

例1 若i a (1?i ?n)是不全为零的整数，0y 是集合A={y ︱y=

∑=n i i i x a 1，i x ∈Z ，1?i ?n }中的最小正数，则对于任何y ∈A ，有y y 0。

证明：令∑==n i i i

x a y 1'0，（'i x ∈Z ，1?i ?n ）则对于任意y ∈A ，由带余数除法存在相

应的整数对00,r q 使得,0,0000y r r qy y <≤+=若000y r <<，则

∑=∈-=-=n

i i i i A qx x a qy y r 1'00)(

这与0y 是A 中的最小正数矛盾。故00=r ，由此知y y 0 。

由例1可知，在直接证明整除问题较为困难时，将其变形化归为带余数除法问题，证明过程更简单，起到殊途同归的效果，在初等数论中整除问题化归为带余除法问题的例子俯拾即是。

（2）整除问题与同余问题的相互化归

同余是初等数论所特有的概念、思想和方法。人们常有这样的疑问，前面已经有了整除概念，为什么还要建立同余概念呢？我们看看同余概念的来龙去脉就明白了。

同余：设i i i r m q a +≡（2,1,0,,,=<≤∈∈+i m r Z m Z r q i i i ），若21r r =，则称1a 同余于2a 模m ，记作)(mod 21m a a ≡。由此得到同余与整除的关系：“)()(mod b a m m b a -?≡”，即“?≡)(mod m b a 存在k ∈Z ，使得a=km+b 成立”。因此，数a 被m 整除等价于数b 被m 整除，其中的不完全商k 不起作用，换言之，数a 被m 整除的问题就可以化归为数b 是否被m 整除的问题来解决。而带余数除法中余数b 的值可以人为控制，使它满足某种条件(如：b

例2 设n ?1,b 的素因数都大于n ，证明对任意正整数a 必有：

n!a(a+b)(a+2b)…(a+(n-1)b) (1)

证明：由题设条件易知：(b,n!)=1，所以存在整数b ′ 使得：b ′·b ≡l(mod n!), ∴)2)(()('b a b a a b n ++…(a+(n-1)b)≡ab ′(a b ′+ bb ′)(a b ′+2b b ′)…(a b ′+(n-1)b b ′)≡a b ′(a b ′+1)(a b ′+2)…(a b ′+(n-1))≡0(mod n!)

注意到上式最后一个表达式是n 个连续相邻整数之积，由整除性质知它是n!的倍数，从而有)2)(()('b a b a a b n ++…(a+(n-1)b) ≡0(mod n!)，又易证：(n b )(',n!)=1，故结论(1)成立。

例2说明有时整除问题化归为同余问题解决，思路更清晰，自然，计算更简洁。初等数论中同余问题化归为整除问题的例题也是屡见不鲜，此处从略。

(3) 不定方程问题化归为同余方程问题

从历史上来看，不定方程问题的求解是推动数论发展的最主要课题。有的不定方程问题直接求解或证明比较困难。因而常常化归为同余问题解决。

例3 证明不定方程：03222=+-xy x 无整数解。

证明：若原方程有整数解(x,y,z)，则 342-±=y y x ,

∵(mod5)4,1,02≡y ，∴(mod5)1,04≡y ,从而

(mod5)3,234≡-y (2)

又x ∈Z ，故34-y 必为完全平方数。设243w y =-，w ∈Z,

但(mod5)4,1,02≡w ，与式(2)矛盾。故原不定方程无整数解。

例3说明不定方程问题化归为同余问题求解往往能出奇制胜，化难为易。

2. 分割化归法

分割化归法的基本思想是：将所要考虑的问题按其可能和需要分割为若干部分，使得分割后的每一部分有较好的性质或容易研究求解，由此再求得原问题的解。在初等数论中，分割思维方法常常出现。

如：算术基本定理“任一大于1的整数m 可以惟一分解成素因数的乘积。

即i i k p k i p p p m k ,,,2,1,0,...2121???=>=αααα为不同的素数”。这样关于正整数的问题就可以归结为素数问题来研究。因而，算术基本定理是数论理论的重要基石。

又如：利用带余数除法，按照被m 除所得的余数将所有的整数分成m 类，由此产生模m 的剩余类、完全(既约)剩余系的概念。这就使得许多关于全体整数的问题可以化归为对有限个模m 的剩余类来研究，而模m 的剩余类又化归为模m 的完全(既约)剩余系的研究。

考察如下的定理：“设,,21m m …,k m 是k 个两两互素的正整数21m m m ?=…k m ，m=i i m M ,l ?i ?k 后，则++=2211x M x M x …k k x M +过模m 的完全(既约)剩余系的充分必要条件是k x x x ,,,21???，分别过模k m m m ???,,21的完全(既约)剩余系。

注意到此定理的作用在于把一个大数模m 的完全(既约)剩余系分割化归为两两互素的小

数模i m (i =l ，2，…，k)的完全(既约)剩余系的整系数线性组合，从而使我们能更清楚地认识模m 的完全(既约)剩余系的结构。

再者，同余方程 f(x)≡0(mod m)可以化归为与之等价的同余方程组f(x)≡0(mod i m )，1?i ?k 其中m=1m …k m ，(i m ,j m )=l ，l ?i ，j ?k,i ≠j 再利用孙子定理求得原同余方程的解，从而使运算相对简化。限于篇幅，具体实例从略。

3. 映射化归法

初等数论中许多问题的解决，往往不是对个体元素性质的把握，而是从元素整体的性质去分析，寻求整体元素间的一种内在的必然联系。这就用到映射化归的基本思想：在直接处理某问题较困难时，可以引进适当的映射(或对应)，把该问题及其关系结构映射化归为与它有一一对应关系且易于考察的新问题及新关系结构，通过对新问题及其关系结构的研究，求得原问题的结果。在初等数论中，利用映射化归解题屡见不鲜，著名的Euler 定理的证明就是映射化归的典型实例。

例4(Euler 定理)设m ∈+Z ,(a,m)=l ，则)(m a ?≡1(mod m)。()(m ?为Euler 函数，下同) 证明：设{)(21,m x x x ? }是模m 的一个简化剩余系，则{)(21,,m ax ax ax ? }也是模m 的一个简化剩余系，因此)(21m ax ax ax ? ≡)(21m x x x ? （mod m ） (3) 由于（)(21,,,m x x x ? ，m ）=1，所以由（3）得出)(m a ?≡1(mod m)。

注意到Euler 定理的证明过程中，首先利用条件（a,m)=1，将模m 的一个简化剩余系{)(21,m x x x ? }映射到模的另一个简化剩余系{)(21,,m ax ax ax ? },再根据任何两个简化剩余系之积关于模m 同余这个性质证得定理的结论。

(四)教学过程中应注意的问题

1．注重化归思维方法相互渗透与综合应用

以上探讨的仅仅是“初等数论”中主要的化归思维方法。在数学的解题过程中，还有其它的化归思维方法，在此不一一赘述。有些化归思维方法是双向的，例如：同余方程与不定方程、同余问题与整除问题可以相互化归，但是由于化归的目的是使得问题趋于简化，化归方向一般是由难化易，由未知化为已知，由复杂化为简单，因此，一般情形下整除问题和不定方程问题常化归为同余问题来解决。值得注意的是，各种化归思维方法并不是互相独立、互不联系的，相反数学中许多问题的解决往往是多种化归思维方法相互交织、渗透、综合应用的结果。

2．注重培养学生解题思维的灵活性

在初等数论解题中，化归思维对于解决某些问题取得了很好的效果，但是如果我们在研究数学问题时一味地寻找旧的模式和解题经验进行化归，就容易阻碍新方法和新思维的产生，这对发展学生的创新意识将产生消极的影响。因此，“化归”在数学理论研究以及数学教学中也是集保守与创新于一体。这就需要我们在利用“化归”时注意它的“双重身份”，引导学生面对新的数学问题应灵活地运用各种思想方法，切忌生搬硬套。

1、（著作）作者：王丹华杨海文刘咏梅，《初等数论》，北京航空航天大学出版社，2008年3月

2、（著作）作者：闵嗣鹤严士键，《初等数论》，高等教育出版社，2003年7月

3、（著作）作者：冯克诚，《中学教师新概念教学百科——⑥中学课堂思想方法与思维训练手册上》，中国致公出版社，2000年10月

4、（论文）作者：王丹华杨海文，《初等数论中蕴涵的数学思想方法》，井冈山学院学报（自然科学），2007年2月，第28卷第2期

在我这篇关于“浅谈在初等数论的数学思想方法与如何在教学中体现”毕业论文完成之际，我特别要感谢的是华南师范的刘岩老师，在我对这个课题研究和论文的撰写过程中，他不辞辛苦，无私的对我提供指导和帮助，从选定课题到论文完成，他多次对我们进行指导，每个标点符号的错误他都给予指出，在此，我向刘岩老师表达我诚挚的谢意！