高等工程数学课后习题答案

第六章

7、设X 1，X 2，…X n 为总体X~N （μ，σ2

）的样本，求E[

2

1

)

(x x n

i i

-∑=]，D[

2

1

)(∑=-n

i i

x x ]。

解：E[2

1

)(x x n

i i -∑=]=（n-1)E[

11

-n 2

1

)

(x x n

i i

-∑=]=(n-1)σ

2

因为

)1(~)(22

1

2

--∑=n X x x

n

i i

σ

所以 D[

2

1

)(∑=-n

i i

x x ]=

])([

2

1

2

σ

∑=-n

i i

x x

D =σ22（n-1)

8、设X 1，X 2，…X 5为总体X~N （0，1）的样本，

（1）试确定常数c 1、d 1，使得)(~)()(2254312211n x x x d x x c χ++++并求出n ；

（2）试确定常数c 2、d 2，使得),(~)()

(2

54322

2212n m F x x x d x x c +++。

解：（1）2

1

2

)(1x x n S n i i -=∑=且总体为X~N （0，1），所以c 1=21，d 1=31

因为2χ分布具有可加性，即若X i ~2

χ（i=1，……k ），且各样本相互独立，则

)(~1

2

1

∑∑==k

i i k

i i

n x

χ，所以n=2。

（2）因为)2,0(~21N x x +，)3,0(~)(543N x x x ++，

)1,0(~2

2

1N x x +， )1,0(~3

5

43N x x x ++且相互独立， 所以221]2[

x x ++2

543]3

[x x x ++)2(~2χ 因为)2(~2

2

221

χx x +，

)1(~3

)(22

543χx x x ++ 所以)1,2(~)

(2)

(32

5432

221F x x x x x +++，所以)1,2(,2322F d c =

10、设X 1，X 2，…X n ，X n+1为总体X~N （μ，σ2）的样本的容量为n+1的样本，

)(1

1

~,1221x x n s x n x i n i i --==∑=试证：

（1）)1(~~1ˆ

1---=+n t s

x

x n n T n （2）)1,

0(~21σn n N x x n +-+ （3）)1,0(~2

1σn

n N x x -- 证明：（1）因为),(~),1(~~)1(),,(~2

12222σμχσ

σμN x n s n n N x n +-- 所以)1,0(~1

),1,

0(~121N n

n x

x n n N x x n n +-+-++σ

σ 所以)1(~)

1(~)1(1221---+-+n t n s

n n n x x n σσ

，即)1(~~1ˆ1---=+n t s x x n n T n （2）因为),(~),,

(~212

σμσμN x n

N x n + 所以)1,

0(~2

1σn

n N x x n +-+ （3）因为∑∑==--=-=-n

i i n i i x n x n n x n x x x 2

1111111，

011)(1)(1)11(22121=--=--=--∑∑∑===n

i n i i n i i n n n x E n x E n n x n x n n E μμ

2

2

2

2221121

)1()11(σσσn

n n

n n x n x n n D n

i n i i -=

+-=--∑∑== 所以)1,0(~2

1σn

n N x x --

15、设X 1，X 2，…X n ，1为总体X 的样本，如果X 具有下列密度函数（其中参数均未知）试分别求这些参数的矩估计量与极大似然估计量。

（1）⎩⎨⎧≤>=-0

,00

,),(2x x e x x λλλϕ 0>λ （2）⎪⎩

⎪⎨⎧≤>--2,02,1),()

2(x x e

x x βββϕ 0>β

解：（1）λ

λλ2

)(0

2=

=

⎰

-dx xe x X E x

x ，所以λ的矩估计量是：x

2

ˆ=λ

似然函数∏∏=-

-=∑==

=n

i x i n

x i

n

i n

i i

i

e

x e

x x L 1

21

21

)()(λλλλ

对数似然函数∑∏==-+=n

i i

n i i x

x n L 1

1

)ln(

ln 2)(ln λλλ

02)(ln 1=-=∑=n

i i x n L d d λλλ，所以λ的极大似然估计是：x

2ˆ=λ

（2）2)()

2(2

+==

--

⎰

ββ

β

dx e

x

X E x x

，所以β的矩估计量是2ˆ-=x β

似然函数：∑

==

=--

---=∏n

i i i x n x n

i i

e

e

x L 1

2

)

2(1

)(β

β

ββ

β

对数似然函数：∑

=--

-=n

i i x n L 1

2

ln )(ln β

ββ

02)(ln 12=-+-=∑=n i i x n L d d β

βββ，所以β的极大似然估计是：2ˆ-=x β 18、设总体X~N （μ，σ2），X 1，X 2，…X n ，为X 的样本

（1）求k ，使得统计量∑=-=n

i i x x k

12

2

1)(ˆˆσ是2σ的无偏估计，

（2）求c ，使得统计量∑-=+-=11

21

2

1)(ˆˆn i i i x x

c

σ是2σ的无偏估计。

解：（1）由于nk x A x n x k x x k n i n

i i i ∙-=-=-=∑∑==)()()(ˆ2

221

1

2

2

2

σ

而22

2

2

2

2

22)]([)()(,)(μσμσμ+=

+=+==n

X E x D x E A E

所以222

2

22

22

)1()()()()ˆ(σμσμσσ

=-=--+=-=k n n

nk x E A E E

所以1

1-=

n k （2）21211212)()()]([)()(σ=+=-+-=-++++i i i i i i i i x D x D x x E x x D x x E

所以2

22

1

12)1()(σ-=-∑=+n c x x E c i i i ，故当11)1(22-=-=n n c 时，2

1

11)(i n i i x x c -∑-=+是2σ的

无偏估计。

21、设总体X 服从二项分布B （N ，P ），X 1，X 2，…X n ，为其样本，求参数P 的最小方差无偏估计。 解

：

)

)

,(ln ()(2

2p p x f E p I ∂∂-=此时X 的概率函数为：

2

222)

1(),(ln ,1),(ln ,)

1(),(p x

N p x p p x f p x N p x p p x f p p p x f x

N x

x

N C ----=∂∂---=∂∂-=- )

1()1()1()()1()()1(]))1([(

)(22222

222p p N p p p Np X D p p N p X E p p N p p pN x E p I -=

--=-=--=--=所以P 的无偏估计的方差下界是

nN p p )1(-，若以样本均值x 作为P 的估计，显然N

x

是P 的无偏估计，所以N

x

p

=ˆ是P 的最小方差无偏估计。 23、求X~N （μ，σ2），σ2已知，问需抽取容量n 为多大的样本才能使μ得置信度为α-1的置信区间长度不大于L ？

解：μ的置信度为α-1的置信区间为)(2

1n

x σ

μ

α

-

±，区间长度为n

σ

μ

α

2

12-

，

由22

12

1)2(

2αα

μσ

σ

μ

--

>⇒

第七章

025

.0975.0-116845.289055

.293.417)1(}

{

}{1.0)16(9

93.417)1()(:,3,,ˆ

),1(~ 4.93}.{s 9055.2:,9:,0~82

975.02

2

2

2122

2

9055

.2002

2

2

112020012

22212

2

2

22

2

22120217212

20

2====⨯=

-=>===⇒<⨯-=≤⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧<=∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧<===-<===-==βχσχ

σβαχχα

σσχσχχσβασσσβ

σαασσ故）（，又

得不真接受故有

得为真拒绝）（为：根据题意可知，拒绝域为检验统计量

即。和求犯两类错误的概率的拒绝域为）的样本，假设（为总体，，、设nS n k k nS p H H p n k k nS p H H p k nS x x x x W nS n nS W H H N X X X X o n o o

10、从甲、乙两煤矿各取若干样品，得其含碳率（%）为：

甲 24.3 20.8 23.7 21.3 17.4 乙

18.2

16.9

20.2

16.7

18.2

假定含碳率服从正态分布，且2221σσ=，问甲、乙两煤矿的含碳率有无显著差异（α=0.05）？ 的含碳率无明显差异。

，即认为甲、乙两煤矿接受下知，在显著水平故由而由观测值可算得：或拒绝域：，检验法，得拒绝域为：采用：假设：解：依题意，要求检验0975.02/1975.0025.02/22212/122

2

12/22212

5

1

222

5121212

2

2112221001.06.976.3104.0,6.9)4,4()4,4(104

.06

.91

)4,4(1)4,4()1,1(79.3977.1505

.7~~

)

1,1(~~)1,1(~~977

.1)(41~,505.7)(41~08.185.21:,H F F F F n m F S S n m F S S n m F S S X Xi S X Xi S X X F H H =<<=====

=--==

-->--<=-==-===≠=--∑∑ασσσσαααα

19、观察得两样本值如下： A

20.54

27.33

29.16

21.34

24.41

20.98

29.95

17.38

B 26.27 25.09 21.85 23.39 28.41 22.60 24.64 13.62

问两样本是否来自同一个总体（05.0=α）？ 解：检验假设：)()(:),()(:211210x F x F H x F x F H ≠= 其

中

)

(),(21x F x F 分别为A 、B 的分布函数，因为

0)8()(3)3,5min(),min(05.0==>==-+S n S n n α

故接受0H ,即来自同一个总体。 22、某药治疗效果如下 年龄 疗效 儿童 成年

老年 ∙i n

显著 58 38 32 128 一般 28 44 45 117 较差

23 18 14 55 j n ∙

109

100

91

300

解：题r=s=q=3,且91,100,109,55,117,128321321======∙∙∙∙∙∙n n n n n n 由此算得检验统计量的观测值为：

91

128)3009112832(100128)30010012838(109128)30010912858([3002

222⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-

⨯=χ10055)

3001005518(10955)3001095523(91117)3009111745(100117)30010011744(109117)30010911728(2

2222⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-+91

55)

300915514(2

⨯⨯-+

=300⨯（0.0095+0.0017+0.004+0.017+0.0021+0.0085+0.0015+0.0020+0.0014）=14.31 而31.14507.15)8()1)(1)(1(222

95.01=>==----χχχ

α

q s r

所以接受0H ，即与年龄有关。

第八章

6、设有线性模型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=+=且相互独立),0(~,,2223

213

2132

2121

11σεεεεββεββεβN y y y 其中221,,σββ是未知参数，试求：

（1）21,ββ的最小二乘估计2

1ˆ,ˆββ； （2）试导出假设0H ：021==ββ的检验统计量。

解：（1）记⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321y y y Y ，210121-=X ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21βββ，⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=321εεεε

则原线性模型可表示为⎩⎨⎧==+=4

2

)(,0)(I D E X Y σεεε

β从而2,1ββ的最小二乘估计是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-323211211265105301)(ˆˆˆy y y y y Y X X X T T βββ 所以)2(5

1ˆ),2(61ˆ2

323211

y y y y y -=++=ββ

习题5

设有线性模型错误！未找到引用源。 其中错误！未找到引用源。

（1） 试求错误！未找到引用源。

（2） 证明：错误！未找到引用源。充要条件是错误！未找到引用源。 解（1）

X=错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 Y=X 错误！未找到引用源。 E(错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

= 错误！未

找到引用源。

令A=（错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。= 错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

(2) 错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。