工程数学基础教程课后习题答案

.

工程数学基础

习题解答

习 题 一

A

一、判断题

1.√；，

2.√；

3.×；

4.×；

5.×；

6.×；

7.×；

8.√；

9.√；10.×.

二、填空题

1.;C C A B

2.111(){1,2,3,4},(){,,},(){,,},(){1,4},(){2,3};f f a b e f A a b e f B f b --=====D R

3.满;

4.2sup =

E ,3inf -=E ; 5.0; 6.0; 7. n ; 8.Y .

B

1.证 ()y f A B ∀∈⋂,x A B ∃∈⋂使得)(x f y =.由x A B ∈⋂,得x A ∈,且x B ∈故()()y f x f A =∈且()y f B ∈,即()()y f A f B ∈⋂,因此()()()f A B f A f B ⋂⊂⋂.

当f 是单射时,只需证明()()()f A f B f A B ⋂⊂⋂即可： ()()(),y f A f B f ∀∈⋂⊂R f 由是单射知,().

(),(),1X y f x y f A y f B x ∃=∈∈∈使得且

,,()(),x A x B x A B y f x f A B ∴∈∈∈⋂=∈⋂且即从而故()()()f A f B f A B ⋂⊂⋂.

是可能的，例如,

2:,[2, 0],[1, 3],[1, 0].f x

x A B A B =-=-⋂=-取则()([1,0])[0, 1], f A B f ⋂=-=于是而

[][]()()0, 4[0, 9]0, 4.f A f B ⋂=⋂=从而有 .

2. 证（1）n ∀∈,有)2 ,2(12 ,12][-⊂-+-n n ,故 ∞

=-⊂-+-1)2 ,2(12 12][n n ,n .

另一方面,)2 ,2(-∈∀x ,k ∃∈

,使][12 ,12k k x -+-∈,故 ∞

=-+-∈1

][12 12n n ,n x ,于是

⊂

-)2 ,2( ∞

=-+-1

][12 12n n

,n .

因此, ∞

=-+-=

-1

][12 ,12)2 ,2(n n

n .

（2）n ∀∈,有)12 ,12(]2 ,2[n n +--⊂-,故 ∞

=+--⊂-1)12 ,12(]2 ,2[n n n .

另一方面,对任意]2 ,2[-∉x ,即2>x ,k ∃∈

,使得212>+>k

x ,即

)12 ,12(k k x +--∉,从而 ∞=+--∉1)12 ,12(n n n x ，故 ∞

=-⊂+--1

]2,2[)12 ,12(n n n .

因此,

∞

=+-

-=

-1

)1

2,12(]2,2[n n

n . 3. sup ,sup ,sup ,.A A A μμμμ''===证设且要证唯一只需证明即可

sup ,,,sup ,,;.inf .

A A A A A μμμμμμμμμμ'''=≤=''≤= 因为是最小上界而是的上界故又因为是最小上界而是

的上界故因此 类似地可以证明是唯一的 4. 证 设{}D Y αα∈是线性空间X 的一族子空间,要证D Y X αα∈⋂也是的线性子空间.显然D Y αα∈⋂≠∅，z 只需证明.D Y X αα∈⋂对的线性运算是封闭的事实上，,D

x y Y αα∈∀∈⋂及,λ∀∈,从而对每一个D ∈α,有,x y Y α∈,故x y Y α+∈,x Y αλ∈.于是,D x y Y αα∈+∈⋂,D x Y ααλ∈∈⋂.因此,D

Y αα∈⋂是X 的线性子空间. 5. ,,,W f g W λ∀∈∀∈证显然包含零多项式故非空；又及，有

()(0)()(0)(0)(0)(0)(0)[(0)(0)][(0)(0)]000,f g f g f g f g f f g g '''''+++=+++=+++=+=即

;()(0)()(0)(0)(0)[(0)(0)]00,.

f g W f f f f f f f W λλλλλλλ'''+∈+=+=+==∈即

[0, 1].n W P 所以,是的线性子空间

1111021121001121 [0, 1],(),()2.(0)(0)0,0,,()(1).

n n n n n n n n n n n f W P f x a x a x a x a f x na x a x a f f a a a a f x a x a x a x a x -----'∀∈⊂=++++=+++'+=+==-=++++-设则由

得即故

23(1,,,,),dim .n x x x x W W n -=由上可知,是的一个基故

6. 1(1),(0)0.()0,0.T T T x T T x -⇒===“”:因为是线性的故有于是,若则由存在知是单射,从而有 1T T -⇐“”:要证存在,只需证明是单射：

121212121212,,((),()()()0,0,,.

x x X T x T x T x x T x T x x x x x T ∀∈=-=-=-==当)即时由条件得即故是单射 1112121211221122(2),,,,,s.t.,,(),().y y Y x x X y Tx y Tx x T y x T y λλ--∀∈∀∈∃∈====及即于是有

1111111221122112211221122(+)[()()][()]()(),T y y T T x T x T T x x x x T y T y λλλλλλλλλλ-----=+=+=+=+

1:.T Y X -→故是线性的

7. 22

22

:,.B A σ⨯⨯→

解首先验证是线性的然后求其在即下的矩阵

22

1212,,,,X X k k σ⨯∀∈

∀∈由的定义，有 1

0010

000,

,

,

0001

00

1()B ⎡⎤

⎡⎤⎡⎤

⎡⎤

=⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

1122011221012021122(+)(+)+()+(),k X k X A k X k X k A X k A X k X k X σσσ===

22

22

:

.σ⨯⨯→故是线性的

1112

21

22

1

00

10

00

0,,,0

00

01

00

1E E E E B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

====⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦

⎣⎦

⎣⎦

关键是求基元的像在基下的坐标：

()()()1111122122111

0000000,00,T

a

b a

c

d c

E aE E cE E E a c σσ⎡⎤⎡⎤

⎡⎤

===+++=⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

即

()()()1211122122120

10

00000,00,T

a

b a c

d c E E aE E cE E a c σσ⎡⎤⎡⎤

⎡⎤

===+++=⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

即

()()()21111221222100010000,00,T a

b b

c

d d E bE E dE E E b d σσ⎡⎤⎡⎤

⎡⎤

===+++=⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

即

()()()2211122122200

00

10

00,00,T

a

b b c

d d E E bE E dE E b d σσ⎡⎤⎡⎤⎡⎤

===+++=⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

即 000

0.0000a

b

a b A c d c d ⎡⎤

⎢⎥⎢

⎥∴=⎢⎥

⎢⎥

⎣⎦

习 题 二

A

一、判断题

1.√；

2.×；

3.√；

4.√；

5.×；

6.√；

7.×；

8.×；

9.√；10.√；11.×；12.×.

二、填空题

1.x ；

2.n ；

3.2,(1),i,i λλλλ-+-；

4. 1,1λλ-+；

5.200004014⎡⎤⎢⎥-⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

；6.200020012⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；7.O ； 8.O ；9.1λ-；10.6.

三、单项选择题

1.(d)；

2. (b)；

3. (b)；

4. (d)；

5. (a).

B

1.解

（1）E A λ-()[]

−−−→−⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----=-+212]3,2[]2,1[020012

201200120012λλλλλλλ ()[]()[]()[]

()[]222311322132232)2(00)2(10001020)2(10201

-⋅+-⋅-⋅--⋅+−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----−−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----λλλλλλλλ ()[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣

⎡-−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---⋅3123)2(11)2(0001

000

1λλ, 3123()()1, ()(2).d d d λλλλ∴===-

（2）E A λ-[][]()[]

−−→−⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡------−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡------=+

-λλλλλλλ13123,1111111111111

()[][]

3211222311111011010011012λλλλλλλλλλ+⋅-⎡⎤⎣⎦+----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+--−−−→+−−−→⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥-------⎣⎦⎣⎦

[]

()[]⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡-++−−−→−⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣⎡-++---⋅-+)2)(1(11)2)(1(0001011117312λλλλλλλλ, 1()1d λ∴=,1)(2+=λλd ,)2)(1()(3-+=λλλd .

（3）E A λ-⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡+---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎣⎡+---=5234

0100010012345100010001λλλλλλ

λλ

⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++---→5423001001000

12

λλλλλ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡+++--→54320010001000123

2λλ

λλλλ

⎥

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣

⎡++++→5432111234λλλλ, 12()()()1d d d λλλ∴===,5432)(2

3

4

4++++=λλλλλd .

（4）[]1,2310013

0041001400712117217616

71E A λλλλλλλλλ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥-=−−→⎢⎥⎢⎥--------⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦ ()[]()()()21122314162131113001

000021000(1)0004210(4)210611106111λλλλλλλλλλλλλλ+-+⎡⎤⎣⎦

-+-⎡⎤⎣⎦

+⋅-⎡⎤⎣⎦⋅-⎡⎤⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥−−−−→−−−−→⎢⎥⎢⎥-----+--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦

[]()22

43232

10001

0000(1)000(1)0

0062106

2

1061010

10(1)0λλλλλλλλ+⋅⎡⎤⎣⎦+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥

−−−→−−−−→⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦

()()()2

4

21[4()]

[24(1)]

10

[246]

[41]

[342]2

2100

01

000(1)0(1)0000

010********(1)(1)01001

01010

λλλλλλ-⋅-⋅-+⋅-⋅-+⋅-⎡⎤⎡⎤⎢

⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥

⎢⎥−−−→−−−−→⎢⎥-⎢⎥⎢

⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣

⎦

[][]24

2,4(2)

3,4[32]10

4100010

0(1)0100011

1

0(1)λλλ-+⋅⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢

⎥−−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

, 123()()()1d d d λλλ∴===,4

4)1()(-=λλd .

2. 解 (1)∵4

det ()(2)A λλ=-+，∴4

4)2()(+=λλD ,又∵010

212101

00≠-=++λλ,

∴1)(3=λD ,从而1)()(21==λλD D .于是不变因子为1)()()(321===λλλd d d ,

44)2()(+=λλd ；初等因子组为4)2(+λ. (2)2

21

001

00

10010()0

0000()0

00

()B λα

λα

λαλαλλαλαλα

λα++⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥++⎢

⎥⎢⎥

≅≅⎢⎥⎢⎥+-+⎢⎥⎢⎥

+-+⎣⎦⎣⎦

⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢

⎢

⎢⎣

⎡++≅22)()(11αλαλ, 故不变因子为 1)()(21==λλd d ,2

3)()(αλλ+=d ,2

4)()(αλλ+=d ; 初等因子组为 2

2)(,)(αλαλ++.

(3)显然3

13()1,det ()(1)()D C D λλλλ==+=,而

2

(1)(5)

08(1)

adj ()3(1)(1)6(1)2(1)

0(1)(3)C λλλλλλλλλλ+++⎡⎤

⎢⎥=+++⎢

⎥⎢⎥-++-⎣⎦

， ∴1)(2+=λλD .

因此2321)1()(,1)(,1)(+=+==λλλλλd d d ; 初等因子组:2

)1(,1++λλ.

（4）由第1题（4）知1)()()(321===λλλd d d ,4

4)1()(+=λλd .

也可这样解：由行列式的Laplace 展开定理得

43

1

21

det ()(1)411D λλλλλλ

----=

⋅

=-+，

故4

4)1()(-=λλD ;又)(λD 的左下角的三阶子式372471

672170

142+-=---+λλλλ

与)(4λD 是互质的,所以1)(3=λD ,从而1)()(12==λλD D .

因此4

4321)1()(,1)()(,1)(-====λλλλλd d d d ;初等因子组:4

)1(-λ.

3.解（1）∵1

2

020(1)(1)(2)2

11E A λλλλλλλ---=

-=+--+，∴1~12A J ⎡⎤

⎢⎥

=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦.

（2）∵E A λ-6

11123034371230343104252

373

-+-+-=-++-+-=--+--=

λλλλλλλλλλλλ 6

11

1

2

3036411022-+-+++----=λλλλλλλ

)i )(i )(1(123+--=-+-=λλλλλλ，

∴~A J ⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣

⎡-=i i 1

. （3）∵[]1,231001300410014007121172117616171E A λλλλλλλλλ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥

-=→⎢⎥⎢⎥

--------⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

[][][])1(12)1(13)6(14+⋅+-⋅+⋅+−−−→−λ⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡--------λλλλλλλλλλ2

2

22

)1()

1(0100

000)1(0000111

60124000)1(00031

⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢

⎢

⎢⎣

⎡--→22)1()1(11λλ, ∴初等因子组为2

)1(-λ,2

)1(-λ,于是⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11011J ，⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=11012J ,故

1

2111111J

J J ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣

⎦⎢⎥

⎣⎦

. （4）0

0010

01E A λλλλ⎡⎤

⎢⎥-⎢

⎥

⎢

⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

,()det()n n

D E A λλλ=-=,又有一个1-n 阶子式

0)1(1

111≠-=----n λ

λ

λ

,∴1)()(11===-λλD D n ，故

1)()()(121====-λλλn d d d ,n n d λλ=)(;初等因子组为n λ,所以

010~1

1

0A J ⎡⎤

⎢⎥⎢

⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

. (事实上，

A 本身就是一个Jordan 块)

4.解（1）由第1题（2）知1)(1+=λλϕ,2)2)(1()(2

2--=-+=λλλλλϕ,所以

1

2100~002011C

A C C -⎡⎤⎡⎤⎢

⎥==⎢⎥⎢⎥⎣

⎦⎢⎥⎣⎦

. （2）由第1题（3）知5432)

(234++++=λλλλλϕ，故B 的有理标准是

0005100401030

012C -⎡⎤⎢⎥-⎢

⎥=⎢⎥

-⎢⎥

-⎣⎦

.

5.解 由J 立即可知A 的初等因子组为2

)1(-λ,2-λ,2

)2(-λ,于是不变因子为

1)()()(321===λλλd d d ,()24-=λλd ,225)2()1()(--=λλλd .即2)(1-=λλϕ，

412136)(2

342+-+-=λλλλλϕ，故20

000000040

100120010130

00

16C ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

.

6.解 （1）7

447

44

()4

8

1

099

41

8

4

18

f E A λλλλλλλλλ----=-=-+=

++++

2)9)(9(7

1

4

9

0847

+-=++--=

λλλλλ.

因为24

41644(9)(9)4171 4114117411A E A E O ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+=---=⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦

,所以最小多项式为)9)(9()(+-=λλλm .

（2）32310

()det()0

132(2)(1)23

D E B λ

λλλ

λλλλλ

-=-=-=--=-+--,∵有一个二阶

子式

011

01≠=--λ

,∴1)()(21==λλD D .

因此,2

3)1)(2()()(+-==λλλλd m . （3）对E C λ-施行初等变换得其Smith 标准形

23()diag(1, 1, 1,(3),(3))S λλλ=--，

∴3

5)3()()(-==λλλd m .

7.证 若A 可对角化,则A 的最小多项式)(λm 无重零点,必要性得证. 若A 有一个无重零点的零化多项式)(λϕ,则因为)(deg )(deg λϕλ≤m ,故)(λm 也无重零点,由定理2.16知A 可对角化.

8. 证 (1) 22A A E +=,22A A E O +-=,∴)1)(2(2)(2

+-=-+=λλλλλϕ是A 的一个无重零点的零化多项式,故A 可对角化. (2)

m

A E =,∴1-m

λ是A 的零化多项式,其零点2i e

k m

k πλ=(0,1,,1)k m =-是互不

相同的,故A 可对角化.

习 题 三

A

一、判断题

1.√；

2.√；

3.√；

4.√；

5.√；

6.√；

7.√；

8.×；

9.√；10.×；11.√；12.√；13.×； 14.× 15.√；16.√；17.√；18.√；19.√；20.×；21.√；22√；.23.×；24.√；25.√.

二、填空题

1.0；

2.0y ；

3.(

)T

111,,

,2n

；4. 12

；5.Banach ；6.1；7.3；

8.1

5,2F

A A A

∞==+=；

9.3.

三、单项选择题

1.(c)；

2. (c)；

3. (b)；

4. (a)；

5. (b);

6.(c).

B

1. 证 仅验证三角不等式,其余是显然的.

设T

n ),,(1ξξ =x ,T n ),,(1ηη =y 是

n

中的任意两个元素.

∑∑∑∑====+=+=+≤+=+n i n

i n

i i n

i i i i i i 1

1

1

111

1)(y x y x ηξηξηξ；

i n

i i n

i i i n

i i n

i ηξηξηξ≤≤≤≤≤≤≤≤∞+≤+≤+=+11111max max }{max max y x

∞∞+=y x .

2. 证 因为[],, x y C a b ∀∈及∈

∀α,有

(N 1) t t x x b

a

d )( 1

⎰=0≥,显然若0=x ,即0)(≡t x ,则01=x ;反之,若01=x ,即

0d )( =⎰

t t x b

a

,则由)(t x 的连续性,知0)(≡t x ,即0=x ;

(N 2) 1

1

d )(d )(x t t x t t x x

b

a b a

αααα===⎰⎰;

(N 3) t t y t t x t t y t x y

x b

a

b a

b a

d )(d )(d )()(1

⎰⎰⎰+≤+=+11y x +=;

所以1 ⋅是[], C a b 上的范数.

3.解

121i 1i 22,max{1,i ,1i}x x x ∞=+-++===-+= 4.解

1max{101,210,i 11i }max{2,3,22max{12i ,011,101i }max{4,2,1 4.

A A ∞=++-++-+-+-===++-++--++-==

5.证 (1)lim ,lim ,.n n n n x x X x y Y x y →∞→∞

=∈=∈=设又只需证明即可 {}

0lim lim lim lim lim 000,0,0,.

n n n n n n n n n n n x y x y x x x y x x x y x x x y x y x y x y →∞→∞

→∞

→∞

→∞

≤-=-=-+-≤-+-=-+-=+=∴-=-==故即

122lim ,1,,1,1, 1. max{,,

,,1},,().

n n n n n n N n n x x X N n N x x x x x x x x M x x x x n x M x ε→∞

=∈=∃∈>-≤-≤-≤≤+=+∀∈≤ （）设则对使得当时,恒有从而有

即取则，有故有界

6.证 设x 是,()n X x X x 中任意一点是中收敛于的任一序列.

()

():,lim ()();:,lim ()().lim()()()(),:.

n n n n n n n f X Y Y f x f x g Y Z Z g f x g f x g f x g f x g f X Z x →∞

→∞

→∞

→=→==∴→ 由连续知在中有又由连续知在中有即在点处连续

,:.x X g f X Z ∈→由的任意性知是连续映射

7. 证 由于()n x 和()n y 都是X 中的Cauchy 序列，则0>∀ε,12,N N ∃∈,使得

当1,N m n >时，2ε<-m n x x ； 当2,N m n >时，2

ε<-m n y y .

令},m ax {21N N N =,则当N n m >,时,有

)()( m m n n m m n n y x y x y x y x ---≤---

εεε=+<-+≤2

2m n m n y y x x ,

这表明()n n x y -是

中Cauchy 的序列,由

的完备性知,数列()n n x y -收敛.

100001

1101

01

010121 (1)[0, 1],0,[0, 1],()0,max ()()0,

(N ).

d(())d(())

[0, 1],,max ()max

max ()max ,

d d (N ). ,[0,d

x d d

d

x x x x d f C f x f x f f x f x f x f x f C f f x f x f

x x f g C λλλλλλλ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤∀∈≠∃∈>≥≥>⋅∀∈∀∈=+=+=⋅∀∈8.证且即使得故即满足即满足01

01

0101010d(()())

1],max ()()max

d d ()dg() max ()()max d d max ()max d

x x x x x f x g x f g

f x

g x x

f x x f x

g x x x f x ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤++=++⎡⎤

≤⎡+⎤++⎢⎥⎣⎦⎣⎦

≤+1010101

0101

0131d ()dg()

()max max

d d d ()

dg()

max ()max

max ()max ,

d d (N ).

,[0, 1].

x x x d

d x x x x d d f x x g x x x f x x f x g x f g x x C ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤++⎡⎤⎡⎤

=+++=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⋅⋅即满足 所以是上的范数

(2):D ]1 ,0[1

C ]1 ,0[C →显然是线性的.因为1[0, 1]f C ∀∈,有

11

0101d ()d ()

max

max ()max ,d d d

x x t f x f x Df f x f x x

≤≤≤≤≤≤=≤+=

故D 是有界的. 9. 证 由于 ⋅是

n n

⨯上的方阵范数,故,n n

A B ⨯∀∈

及α∀∈

,有

(1)1*

0A

S AS -=≥,并且11*0A S AS S AS O A O --==⇔=⇔=;

(2)11

**A S AS O S AS A αααα--====;

(3)()11111

*A B S A B S S AS S BS S AS S BS -----+=+=+≤+**A B =+;

(4)111

*()()AB S ABS S AS S BS ---==11

*

*S AS S BS A

B --≤=;

因此,* ⋅是

n n

⨯上的方阵范数.

10. 2;F A 解 21

i

()det(),()0;i

1

f E A A λλλλρλ--=-=

=∴=-+

H H

H 21i 1i 22i 22i

,(4),()4,i 1i 12i 22i 22.

A A E A A A A A λλλλρλ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==-==-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴=

11. 证 显然

A λ≤.∵λ是可逆阵A 的特征值,则λ

1是1A -特征值,故11A λ-≤,即

11A

λ-≥. ∴11A A λ-≤≤.

12.证 要证0(),x T ∈N 只需证明00.Tx =

()0()(),0.lim ,,n n n

n x T Tx n x

x T →∞

⊂=∀∈

=由知于是当且是有界线性算子时有N

0(lim )lim ()lim00,n n n n n Tx T x T x →∞

→∞

→∞

====

故0().x T ∈N

习 题 四

A

一、判断题

1.×；

2.√；

3.√；

4.×；

5.√；

6.√；

7.×；

8.×.

二、填空题

1.2

2

13e e 00

1

cos x x x x ⎡⎤⎢

⎥⎣⎦

；2.222(1)t

E t -+；3.1；4. 3e t ；5.22222

222e e e e e e t

t t t t

t t t t ------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

； 6.⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-t t t 2cos 2cos cos ；7.1； 8.3e -. B

1. sin cos d ()

,d cos sin t

t A t t t

t -⎡⎤

=⎢⎥--⎣⎦

解 []22d d det ()cos sin 0d d A t t t t t =+=⎡⎤⎣

⎦,

22sin cos d ()

det(

)sin cos 1.d cos sin t t A t t t t t t

-==+=-- 2. 2

2

13e e 0 ().0

1

cos x x x f x ⎡⎤'=⎢

⎥⎣⎦

解x

3. 1 1 0 0 1

1 1

0 0 0 1

1

0 0e d e d e 1

1 ()d d

2d 11.sin d cos d 1cos1sin1t t

t t t A t t t t t t t t t ⎡⎤-⎡⎤⎰⎰⎢⎥⎢⎥==⎰⎰⎰⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥-⎰⎰⎣⎦⎣⎦解 4. 证明（1）d d d d d d ()()()()d d d d d d T T T T T f x x x x Ax Ax x Ax Ax x A t t t t t t

==+=+

d d d d d ()2;d d d d d T T T T T T T T x x x x x x A x A x A x A x A t t t t t

=+=+=.

（2）d d d d d d ()()2.

d d d d d d T T T T T T T x x x x x x x x x x x x t t t t t t

=+=+=

5. 证（1）若lim k k A A →∞=,则2lim 0k k A A →∞

-=. ∵22

2

()T T

T

k k k A A

A A A A -=-=-(可以证明[1]222

2

H T A A A A ===)，

∴2

lim 0T T

k k A A →∞-=,即lim T T

k k A A →∞

=. 同理可证lim k k A A →∞

=,由上已证的结果立即可得lim H H k k A A →∞

=.

（2）0

00()lim ()lim ()N

N

T

k

T k

k T

k k k N N k k k c A c A c A ∞

→∞→∞=====∑∑∑0

lim()N

k T

k N k c A →∞

==∑ 0

(lim )N k T k N k c A →∞

==∑0

()k T

k k c A ∞

==∑ 6. 证 令()3

2

00

det()1

1

1201

1

3

E A λλλλλ--=---=-=--得A 的全部特征值均为 2. 于是13B A =的所有特征值都是3

2,故()213B ρ=<,因此lim k k B O →∞=.

7. 证 方法一: 当0=t 时,显然成立,故设0≠t .记010100t t A t ⎡⎤⎡⎤

==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦

. 22det()(i )(i )E A t t t λλλλ-=+=-+，t i 1=λ,t i 2-=λ.

对t i 1=λ,解方程(i )0tE A x -=可得11i x ⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

；对t i 2-=λ解方程(i )0

tE A x --=得21i x ⎡⎤

=⎢⎥-⎣⎦

.

令11i i P ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦

,则P 可逆且1

1/2i /21/2i /2P --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.

所以01i 10i i 1i 111/2i /2e 0e

e diag(e ,e )i i 1/2i /20

e t

t A

t

t

t P P ⎡⎤

⎢⎥---⎣⎦

--⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢

⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

⎣⎦

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡+---+=----t t t t t t t t t t t t cos sin sin cos )e e (21)e e (i 21)e e (i 21)e e (2

1i i i i i i i i .

方法二：记0110B ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦

,

21

det()11E B λλλλ--==+,{}()i,i B σ=-.B 的最小多项式1)(2+=λλϕ,2)(deg =λϕ. 故设01e ()()tB a t E a t B =+.

∵λ

t e 与λ)()(10t a t a +在()B σ上的值相等,即

⎩⎨⎧=-=+-t

t t a t a t a t a i 10

i 10e )(i )(e )(i )(, ∴t t a t t cos 2e e )(i i 0=+=-，t t a t

t sin i

2e e )(i i 1=-=-.

因此0110cos sin e

cos sin sin cos t t t tE tB t t ⎡⎤

⎢⎥-⎣⎦

⎡⎤

=+=⎢⎥-⎣⎦

.

8. 2e

Jordan ,e e e .e e e 2

t

tA

t

t t t

t A t t t ------⎡⎤

⎢⎥⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

解是块 9. 解 22

14det()02

(2)(1)0

3

1

E A λλλλλλ----=

-=----.

∵(2)()A E A E O --≠,∴A 的最小多项式)1()2()(2

--=λλλϕ.3)(deg =λϕ，故

设2

012()()()()()f At a t E a t A a t A T At =++=. 由()f t λ与()T t λ在{}()1,2A σ=上的值相

等,于是

(1)对()e At

f At =有

⎪⎩

⎪⎨⎧=+=++=++t

t

t

t t a t a t a t a t a t a t a t a 2212210210e )(4)(e )(4)(2)(e )()()(,解得⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+-=+-=t t t t t t t t t t t a t t a t t a 222221220e e e )(e 3e 4e 4)(e 2e 3e 4)(

所以22100e (4e 3e 2e )010001tA t t t t ⎡⎤⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-+-+130020412)e 3e 4e 4(22t t t t

⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+19004012164)e e e (22t t t t ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣⎡+-+-+-=t

t

t t t t t t t t

t e e 3e 300e 0

e 4e 4e 13e 12e 12e 222222

(2)对()sin()f At At =有

0120121

2()()()sin ()2()4()sin 2()4()cos 2a t a t a t t a t a t a t t a t a t t t ++=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩，解得⎪⎩⎪

⎨⎧+-=-+-=+-=t

t t t t a t t t t t a t t t t t a 2cos 2sin sin )(2cos 32sin 4sin 4)(2cos 22sin 3sin 4)(210. ∴2

012sin()()()()At a t E a t A a t A =++

sin 212sin 12sin 213cos 24sin 4sin 20sin 2003sin 3sin 2sin t t t t t t t t t t t -+-+⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦

（注）可利用(1)的结果求(2)（或cos()At ）：在(1)中分别以t i 和t i -替代t 得i e tA 和i e

tA

-，

再由公式i i i i e e e e sin()(cos())2i 2

tA tA tA tA

At At ---+=

=或即得. 10. 解 210det()0

1

(+1)01+2

E A λ

λλ

λλλ-==-()A A E O -≠且,故A 的最小多项式

2()(1)φλλλ=+，3)(deg =λϕ，故设2

012()()()()()f At a t E a t A a t A T At =++=,即

012100010001()()010()001()012001012023f At a t a t a t -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥

=+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦

012021212012()()()0()()()2()0()2()()2()3()a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t -⎡⎤⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦

. 由()f t λ与()T t λ在A 上的谱值相等,于是

(1)对()e At

f At =有

00121

2()1

()()()e ()2()e t

t

a t a t a t a t a t a t t --=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩,解得012()1()22e e ()1e e t t t t a t a t t a t t ----=⎧⎪=--⎨⎪=--⎩

012021212012()()()e 0()()()2()0()2()()2()3()122e e 1e e 0e e e 0e e e At t t t t t t t

t t t

a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t t t t t t t -----------⎡⎤

⎢⎥∴=--+⎢⎥

⎢⎥--+⎣⎦-++-+⎡⎤⎢⎥

=+-⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦

. (2)对()sin()f At At =有

00121

2()0

()()()sin ()2()cos a t a t a t a t t a t a t t t =⎧⎪

-+=-⎨⎪-=⎩，解得012

()0()2sin cos ()sin cos a t a t t t t a t t t t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩.

012021212012()()()sin()0()()()2()0()2()()2()3()a t a t a t At a t a t a t a t a t a t a t a t a t -⎡⎤

⎢⎥∴=--+⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦

02sin cos sin cos 0sin cos cos 0cos sin cos t t t t t t t t t t t t t t t t -+-⎡⎤

⎢⎥=-+-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦

11.tr 2i 332i det(e )e e e .A A +-===解

12. 解 此处775885050A --⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,122()()()()x t x t x t x t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,321C ⎡⎤

⎢⎥

=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

.

因为7

75

det()88

5(5)(5)(15),deg ()3,0

5

E A λλλλλλϕλλ

+--=

+=-++=

故设2

012e ()()()()At a t E a t A a t A T At =++=.

由t

λe 与)(t T λ在(){5,5,15}A σ=--上的值相同,得方程组

⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++--t

t

t t a t a t a t a t a t a t a t a t a 15210

52105210e )(225)(15)( e )(25)(5)( e )(25 )(5 )(,

解得 ⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=-+=-----

)e e 2(e )( )e (e )( )e 6e (3e )(155520012

5510

1

11555810t t t t t t t t

t a t a t a ;于是 0121775105800e ()1()885()12014501050404025At a t a t a t --⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+---+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣

⎡++--+-+-+-+---+--++=---------------t t t

t t t t t t t t t t t

t t t t t t t t t t 551555155555155515555515551555e 5e 5e 2e e 3e 24e e 2e 5e 5e 6e e 3e

64e 2e e 5e 5e 4e e 3e 44e e 210

1. 所以,解为 55155515551517e 9e 4e 1()e 17e 9e 6e 1017e 9e 2e t t t At t t t t t t

x t C ------++⎡⎤

⎢

⎥==--+⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦

,即

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+-=+--=++=------

)e 2e 9e 17(101)()e 6e 9e 17(101

)(

)e 49e e 17(101)(155531555215551t

t t t t t t t t t x t x t x .

习 题 五

A

一、判断题

1.√；

2.×；

3.√；

4.√；

5.√；

6.×；

7.√；

8.√；

9.×；10.√；11.√；12.×；13.√；

14.√ 15.√.

二、填空题

1.0；

2.{}0；

3.span A ；

4.1；

5.3；

6.O ；

7.123()1,()1,()(1)(2)d d d λλλλλλ==-=--；

8.实；

9.0; 10.1

;11.1,a b c ===.

三、单项选择题

1.(d)；

2. (c)；

3. (c).

B

1.证 121212(1)(,,

,),(,,

,),(,,

,),,T T T n

n n n x y z ξξξηηηςςςλμ∀===∈

∀∈及，有

11

1

1

(I ),(),,;n

n

n

k k k k k k k k k k k k k x y z k k k x z y z λμλξμηςλξςμηςλμ===<+>=+=+=<>+<>∑∑∑

21

1

(I ),,;n n

k k k k k k k k x y k k y x ξηηξ==<>===<>∑∑

231

221

(I ),0, ,=01,2,

,,=01,2,

,,00;

n

k k k n

k k

k k k x x k x x k k n k n x ξξξξ==<>=≥<>=⇔∀=⇔∀==⇔=∑∑且

有有

,.n

k <⋅⋅>故是

上的一种内积

(2),,,,n n

ij ij ij A a B b C c λμ⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤∀===∈

∀∈⎣⎦⎣⎦⎣⎦及,有

111

11

11

(I ),(),,;

n

n

n

n

n

n

ij ij ij ij ij ij ij i j i j i j A B C a b c a c b c A C B C λμλμλμλμ======<+>=+=+=<>+<>∑∑∑∑∑∑211

11

11

(I ),,;n

n

n

n

n

n

ij ij ij ij ij ij i j i j i j A B a b a b a b B A ======<>====<>∑∑∑∑∑∑

2

311

11

2

2

11

(I ),0, ,0,1,2,

,,00;

n n n n

ij ij ij i j i j n

n

ij

ij

ij i j A A a a a A A a i j n a a A O ======<>==≥<>==⇔∀===⇔=∑∑∑∑∑∑且

有即

,.n n

⨯<⋅⋅>故是

上的一种内积1

2

211.n

n

ij F i j A a A ==⎛⎫

>== ⎪⎝⎭

∑∑

2. 证 右端) , ,(4

1>--<->++<=y x y x y x y x

><+><+><+><=y y x y y x x x ,,,,(4

1

),,,,><-><+><+><-y y x y y x x x 1(4,)4

x y =<>=左端.

3.证 （1）若⊥

∈B x ,则B y ∈∀皆有y x ⊥,由假设B A ⊂,于是对每一个A y ∈皆有y x ⊥,即⊥∈A x ,故⊥

⊥⊂A B .

（2）若A x ∈,则⊥

∈∀A y 皆有y x ⊥,故⊥

⊥∈)(A x ,于是⊥

⊥⊂)(A A .

4.解 显然123.det 20,det 110,det 380,.A A A A A =>=>=>∴是实对称矩阵正定其余略.

5. 证 “⇒”: 若n n

A ⨯∈

正定,则det det 0n A A =>,故A 非奇异.

“⇐”: 若A 非奇异,则1

det 0n

i i A λ==≠∏,从而),,2,1(0n i i =≠λ. 又因为A 半正定,

故有0≥i λ,于是),,2,1(0n i i =>λ,所以A 是正定的.

6.证 先验证2A 是Hermite 矩阵.

22222

()()(),Hermite .

H H H H H H H H H H H A A AA AA A A AA A AA A AA AA AAA A A A A ======∴是

矩阵

再证2A 是正定的.

12222 ,,

Hermite 0(1,2,

,).

0(1,2,

,),.

n i i i A n A i n A i n A λλλλλλ∈≠=>=设是的个特征值,由是矩阵且可逆知,且从而的所有特征值故是正定矩阵

7. 解 （1）令3i 1

i 02010E A λ

λλλλλ

---==-=-得01=λ,22=

λ,23-=λ,由此判定A

不是正定的.

对01=λ解方程组0Ax -=,即⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---000i 0100i 1i 0321ξξξ,亦即⎩⎨⎧==+ 00i 1

32ξξξ,

得⎩⎨⎧==321i 0

ξξξ. 若取13=ξ,则有10

i 1x ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

=. 对22=

λ

解)0A x -=

可得2i 1x ⎢⎥⎢⎥⎣⎦

=-.

对23-=λ

解()0A x -=可得⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡--=1i 23x .

由于1x ,2x ,3x 分别对应于A 的不同特征值,故彼此正交.将它们单位化,得

10i 1/α⎡⎤⎢⎢⎢⎣=

，2i /21/2α⎡⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦

=-

，3i /21/2α⎡⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦-=-.

令[

]12301/,,i i /2

i /21/2

1/2U ααα⎡-⎢

==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

,01/i /21/2i /21/2H U ⎡-⎢

=⎢⎥⎢⎥

-⎢⎥⎣⎦

，

则0

H U AU ⎡⎤⎢

⎥

=⎢

⎥⎢⎣.