略谈添加辅助线的原理和技巧
略谈辅助线的添加原理与技巧
几何问题是困扰学生的一大难题，尤其是需要添加辅助线的几何
问题．科学、准确地引导学生添加每一条辅助线，能帮助学生揭开辅
助线的神秘面纱，攻克几何难题．
1．把握基本图形是科学添加辅助线的前提
（1）把握基本图形的特征.
初中几何问题是由有限的几种基本图形演绎而来．学生只有熟悉
了基本图形组成的线条及其条件和结论的特征，把握了基本图形的总
体轮廓，就能在解决几何问题时联想到科学合理的辅助线．
一个定理、概念就有一个基本图形．在概念和定理的教学中教师
不必过于追究文字的描述，而应突出其基本图形的特征，把定理的条
件和结论直观地表述在图形中，使之成为一个整体，成为基本图形的
符号标志，通过观察图形，培养学生的视觉美感．教师还可以给基本
图形取一个直观的名字，便于学生记忆，如双垂图（如图1）、角平
分线图（如图2）、垂直平分线图（如图3）等等，也有利于学生把握
基本图形的特征．
图 1 图 2 图3
（2）关注基本图形的变形.
几何定理和概念描述的是具有某些共同属性的几何图形所具有
的共同的性质．组成这些图形的线条和基本条件相同，但线条的位置
和长度却千变万化．在概念和定理教学中，
图 4 图5
教师要对基本图形的位置和形状进行各种变式训练．如遇到涉及角的
图形要画出锐角、直角、钝角的各种变式让学生辨认，不断变换角度
大小、几何元素间的相互位置，对一个基本图形作翻折、旋转等变化，
让学生从各个角度去认识图形，提高学生对图形的欣赏、鉴别能力．如
图4就是三合一图的三种不同形状，各种形状还可以变化出各种不同
位置的图形．
（3）学会几何图形的分解.
几何图形由若干基本图形组成．把一个几何图形分解为基本图形
是解决几何问题的关键．在分析过程中，可用不同颜色的笔勾画出基
本图形，也可把基本图形从复杂图形中抽出来，如图5可分解为角平
分线图（图6（1））、等腰三角形图（图6（2））、双垂图（图6（3））
三个基本图形．
（1）（2）（3）
图6
2．捕捉辅助线的信号是快捷添加辅助线的思维起点
学生添加辅助线往往是盲目的、试探性的．究竟从哪里入手添加
辅助线才既快捷又准确？
（1）从题设入手添加辅助线
题设是添加辅助线的第一信号来源．为了应用已知条件，必须把
条件涉及的几何元素归到基本图形中，如果基本图形不全，就要添加
辅助线，构成完整的基本图形．
例1 如图7，△ABC中，M是BC的中点，AD是∠A的平分线，BD⊥AD，垂足为D，AB=12，AC=18，求DM的长．
图7 图8 分析：本题有非常明显的图形特征：AD是∠A的平分线，BD⊥AD，
自然联想起三合一图，从而延长BD，与AC相交于点N．这条辅助线
的思维起点就是题目中的题设条件．
从题设出发添加辅助线的情况很多，如在梯形中已知两腰的关系，可以平移腰；在圆中已知直径，可以作出直径所对的圆周角等．
（2）从结论入手添加辅助线
结论是添加辅助线的第二信号来源．通过添加辅助线可以把结论
涉及的几何元素还原到基本图形中，或者让基本图形显现出来．
例2 如图8，△ABC 中，∠B =2∠C ，AD 为BC 边上的高，点E
为BC 的中点，求证：1
2
DE AB ．
（1） （2）
图9
分析：本题常用的辅助线有两种：取AC 的中点G 点，连结EG 、
DG （如图9（1））；取AB 的中点F ，连结EF 、DF （如图9（2）），添加
这两种辅助线的出发点都来自题目的结论．
例3 如图10，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，
∠EAF =45°,求证：EF =BE +DF ．
图10 图11
分析：本题的常规辅助线是延长CB 到点G ，使BG =FD ，这样添加
的出发点就是题目的结论：EF =BE +DF ．根据题目结论涉及的线段或角
寻找基本图形，通过添加辅助线让这些几何元素归位“回家”是一般
的思考模式．
（3）两者兼顾，才是科学的选择.
从题设入手添加辅助线方便进行综合推理，但不一定就能完成推
理；从结论入手添加辅助线易于进行逆向分析，但不一定就能完成证
明．二者兼顾，才是科学的选择．
例4 如图11，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＋∠B ＝90°，M 、
N 分别是DC 、AB 的中点．求证:()12
MN AB CD =- ．
（1） （2）
（3）
图12
分析：本题若从已知条件出发，第一方案就是延长AD 和BC ，构
建直角三角形（如图12（1）），可是这样对处理()12
MN AB CD =-是
不明朗的；第二个方案就是平移梯形的腰（如图12（2）），集中聚
拢∠A 和∠B ，也形成了AB CD -，可是此方案没有联系题目中的中点
条件．所以需要同时平移梯形的腰AD 、BC （如图12（3）），这样既
能考虑题设条件，也能兼顾结论．
例5 如图13，M 为正方形ABCD 边AB 的中点，E 是AB 延长线上
的一点，MN DM ⊥，且交CBE ∠的平分线于N ．求证：MD MN =．
图13
分析：在本题的解答过程中，大部分学生过点N 作NF BE ⊥，然
后证明△DAM ≌△MFN ，最终没能成功．原因是这条辅助线没有利用题
设中的中点条件．如果取AD 的中点G ，连接MG ，这样就能两者兼顾，
从而顺利解决问题．
3. 掌握辅助线的添加原则是合理添加辅助线的依据
（1）难点优先
添加辅助线可以化繁为简，化难为易，所以优先处理题中繁难的
式子，可以将其抽象出基本图形．
例6 如图14（1），△ABC 中，AB =AC ，D 为△ABC 外一点，且
∠ABD =60°，1
902
ADB BDC ∠=?-∠，求证：AB =BD +CD ．
图14（1） 图14（2） 图15（1） 图15（2）
分析：本题添加辅助线有两个难点：一是1902
ADB BDC ∠=?-∠，
二是AB =BD +CD ．基于“难点优先”的原则，想到了作这样的辅助线：
延长AD 和延长BD 至点E ，使DE =CD 这样的辅助线（如图14（2））．
（2）结论优先 添加辅助线的最终目的是证明结论，从题设出发添加辅助线往
往有多种可能，并不是每一条都能很快得到命题的结论，故通常优先考虑根据结论添加辅助线．
例7如图15（1），BC为半圆O的直径，F是半圆上异于B、C 的一点，A是BF的中点，AD⊥BC垂足为D，与BF相交于点E．求证：BE·BF＝BD·BC．
分析：本题若从题设出发，考虑添加的辅助线就是由直径构建直径所对的圆周角，可连结AB、AC或连结FC，但是选择连结AB、AC 并不能出现与结论有关的线段．考虑到构造与结论BE·BF＝BD·BC 有关的线段比例关系，我们可选择连结FC（如图15（2））．
（3）能不分就不分
有些辅助线添加后，会把图中的线段或角分割成几部分，这样对线段或角的处理就比较麻烦，一般的原则是“能不分就不分”．再谈前面例3的辅助线作法，一些学生会试作AG⊥EF（如图16），然后试图证明BE=EG,DF=GF．看上去这是个不错的选择，可是难以证明．这是因为辅助线AG把∠EAF分成了两部分，不便于应用条件∠EAF=45°．
图16 图17
图18
再看例4中图12（2） 的辅助线，正是因为把线段MN 分成了两条线段，而这两条线段又不能独立处理，所以证明就难以进行．
（4）能“天然”不“人为”
辅助线具有构造图形的功能，常见的有构造线段或角的和差倍分、新的三角形、直角三角形、等腰三角形等．这些构造有些是人为得，有些是通过作平行线、作垂线或直接延长相交而得（姑且称之为“天然”）．通常情况下，我们能“天然”不“人为”．
例8 如图17，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 、F 分别为腰AB 和腰CD 的中点，求证：EF ∥BC ，()12EF BC AD =+．
分析：本题的难点是对BC AD +的处理，若延长BC 到点G ，使得CG =AD ， “人为”形成BC AD +，也是可以证明的．但这时候必须证明A 、F 、G 三点共线，学生要么不会证明，要么就不证明．所以本题还是延长AF 、BC 相交于点G ，“天然”形成BC AD +，比较易于问题的解决．
4. 吃透辅助线的灵魂实质，应对千变万化的几何问题
例9 如图18，△ABC 的角平分线AD 交BC 边于D ，E 为BC 上一点，且DE=DC ，过E 点作EF ∥AB 交AD 于点F ,求证：EF=AC ．
本题辅助线的作法：延长AD 到点G ，使DG =AD ，连结EG ； 或延长AD 到点H ，使DH =DF ，连结CH ．
图19 图20
图21
例10 如图19，M 、N 分别为正方形ABCD 的边AD 和AB 的中点，连结CM 、DN 相交于点P ，连结BP ，求证：BP=BC ．
本题辅助线的作法：延长DN ，交CB 的延长线于点Q ．
例11 如图20，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 、F 分别为对角线AC 、BD 的中点，求证：EF ∥BC ，()12
EF BC AD =-． 本题辅助线的作法：连结DF 并延长，与BC 相交于G 点．
这几个问题的图形各不相同，添加的线条和添加的方式也不一样，研究发现所构建的基本图形一样（如图21）．从本质上来说属于“倍长中线”．“倍长中线”是一种较为常见的添加辅助线的方法，其作法是遇到中线就延长．可是这几个问题中，没有涉及中线，甚至没有三角形，学生根本想不到“倍长中线”．其实，“倍长中线”的实质是利用中点构建全等三角形．这几个几何图形中都应用了中点条件构建全等三角形，只是添加的部位或添加的方式不同．学生掌握了“倍长中线”的实质，就能正确添加辅助线．任何一种辅助线不可能是单一的，添加的部位和叙述方式也许不一样，但构建基本图形的实质是一致的．
几何问题和几何图形是千变万化的，所以怎样添加辅助线也就成为了一道难题．辅助线最科学的添加方法既要与各个原则不发生冲突，
又要考虑图形的合理性，也就是美感．只有合理的才是最美的．
初中数学证明题常见辅助线作法规律.
初中数学证明题常见辅助线作法规律 初中数学证明题常见辅助线作法记忆歌诀；及几何规律汇编；人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，；初中几何常见辅助线作法歌诀；人说几何很困难，难点就在辅助线；辅助线，如何添？把握定理和概念；还要刻苦加钻研，找出规律凭经验；三角形；图中有角平分线，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称以后关系现；角平分线平行线，等腰三角形来添；角平分线加垂线，三线合一试试 初中数学证明题常见辅助线作法记忆歌诀 及几何规律汇编 人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。 初中几何常见辅助线作法歌诀 人说几何很困难，难点就在辅助线。 辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 三角形
图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。圆
半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。
初中几何辅助线技巧秘籍
初中几何辅助线技巧大全 一初中几何常见辅助线口诀 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为△和□。 平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。 上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 圆形 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。 注意点 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。 二 由角平分线想到的辅助线 口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地 去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。 如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 图1-1 O A B D E F C A D E
三角形添加辅助线技巧(带答案)
三角形添加辅助线技巧 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线 （一）作平行线 作平行线,构造全等三角形 1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D点在AB边上，E在AC边的延长线上，DE交BC于点F，BD=CE，求证：DF=EF. 由D点作BC的平行线交AC于G 因为DG∥BC，所以三角形ADG为等腰三角形，则：AD=AG 因为AB=AC，所以：BD=(AB-AD)=(AC-AG)=CG。 那么C为三角形DEG的边EG上的中点，DG∥BC 根据中位线定理，则有：F为ED的中点，即：DF=EF。得证 （二）作垂线 遇角平分线,在平分线上找点作角两边的垂线,利用角平分线的性质,通过三角形全等求解 2、如图，已知OP平分∠AOB，C，D分别在OA、OB上，若∠PCO+∠PDO=180°， 求证：PC=PD. O A B C P D 证明：过P做PE垂直于OA于E,过P做PF垂直于OB为F 3、已知：如图，在△ABC中，AB=2AC，∠1=∠2，AD=BD，求证：CD⊥AC. F B C A D E
2 1D A C B 证明：过D 作DM ⊥AB ，垂足为M, 因为AD=BD,所以AM=BM=AB/2(三线合一)， 因为AB=2AC,所以AC=AM, 因为AD 平分∠BAC ，所以∠1=∠2， 在△ADC 和△ADM 中,AC=AM,∠2=∠1,AD 为公共边， 所以△ADC ≌△ADM,所以∠ACD=∠ADM=90,即:CD ⊥AC (三)倍长中线, 构造中位线 相等线段的倍长也等,借助中点作平行线,构造中位线,利用中位线的性质求解 4、已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF. F D A B C E 延长AD 交BM 于M 点 因为D 为BC 的中点,所以ABMC 为平行四边形 所以BM=AC,因为BE=AC 所以BE=BM,所以角BEM=角BME 因为BM//AC,所以角CAM=角BME=角BEM 因为角BEM=角AEF(对等角),所以AF=EF 5、如图，已知：AD 是△ABC 的中线，且CD=AB ，AE 是△ABD 的中线，求证：AC=2AE.
初中数学辅助线的添加方法
初中数学辅助线的添加方法 一、添辅助线有二种情况 1、按定义添辅助线： 如证明二直线垂直可延长使它们，相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。2、按基本图形添辅助线： 每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下： （1）平行线是个基本图形： 当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线 （2）等腰三角形是个简单的基本图形： 当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。 （3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形： 出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。 （4）直角三角形斜边上中线基本图形： 出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。 （5）三角形中位线基本图形：
几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。 （6）全等三角形： 全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线 （7）相似三角形： 相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。 （8）特殊角直角三角形： 当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为1：1：√2；30度角直角三角形三边比为1：2：√3进行证明 （9）半圆上的圆周角： 出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角；出现90度的圆周角则添它所对弦---直径；平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等组成一样。 二、基本图形的辅助线的画法
数学常见辅助线做法与小结
几何最难的地方就是辅助线的添加了，但是对于添加辅助线，还是有规律可循的，下面可小编给大家整理了一些常见的添加辅助线的方法，掌握了对你一定有帮助！ 1 三角形中常见辅助线的添加 1. 与角平分线有关的 （1）可向两边作垂线。 （2）可作平行线，构造等腰三角形 （3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形 2. 与线段长度相关的 （1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可 （2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可 （3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。 （4）遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。
3. 与等腰等边三角形相关的 （1）考虑三线合一 （2）旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60 ° 2 四边形中常见辅助线的添加 特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线。下面介绍一些辅助线的添加方法。 1. 和平行四边形有关的辅助线作法 平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形。 （1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形 （2）利用两组对边平行构造平行四边形 （3）利用对角线互相平分构造平行四边形 2. 与矩形有辅助线作法 （1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题
梯形中添加辅助线的六种常用技巧
梯形中添加辅助线的六种常用技巧 浙江唐伟锋 梯形是不同于平行四边形的一类特殊四边形， 解决梯形问题的基本思路是通过添加辅助 线，将梯形进行割补、拼接转化为三角形、平行四边形问题进行解决。一般而言，梯形中添 加辅助线的常用技巧主要有以下几种—— 一、平移一腰 从梯形的一个顶点作一腰的平行线， 将梯形转化为平行四边形和三角形， 从而利用平行 四边形的性质，将分散的条件集中到三角形中去，使问题顺利得解。 例1、如图①，梯形 ABCD 中AD // BC , AD=2cm , BC=7cm , AB=4cm ，求CD 的取值范围。 解：过点D 作DE // AB 交BC 于E , ?/ AD // BC , DE // AB ???四边形ABED 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） /? DE=AB=4cm , BE=AD=2cm ? EC=BC — BE=7 — 2=5cm 在厶DEC 中，EC — DE v CD v EC + DE （三角形两边之和大于第三边，两边之差小于 第三边） ? 1cm v CD v 9cm 。 、延长两腰 将梯形的两腰延长，使之交于一点，把梯形转化为大、小两个 三角形，从而利用特殊三角形的有关性质解决梯形问题。 例2、如图②，已知梯形 ABCD 中，AD // BC , / B= / C ,求证: 图② 梯形ABCD 是等腰梯形。 图① E
证明：延长BA 、CD ，使它们交于 E 点, ?/ AD // BC ???/ EAD= / B ,/ EDA= / C （两直线平行，同位角相等） 又??? B= / C ???/ EAD= / EDA ? EA=ED , EB=EC （等角对等边） ? AB=DC ?梯形ABCD 是等腰梯形（两腰相等的梯形是等腰梯形） 三、平移对角线 从梯形上底的一个顶点向梯形外作一对角线的平行线， 与下底延长线相交构成平行四边 形和一特殊三角形（直角三角形、等腰三角形等） 。 例3、如图③，已知梯形 ABCD 中，AD=1. 5cm, BC=3.5cm,对角线 AC 丄BD ，且BD=3cm , AC=4cm ，求梯形 ABCD 的面积。 解：过点D 作DE // AC 交BC 延长线于E ?/ AD // BC , DE // AC ?四边形 ACED 是平行四边形（两组对边分别平行的四 边形是平行四边形） ? CE=AD=1 . 5cm, DE=AC=4cm ???AC 丄 BD ? DE 丄 BD BC ） h 2（CE BC ） h -BE h （h 为梯形的高） 1 1 6cm 2 BD DE 3 4 2 2 四、作高线 梯形 ABCD = -（AD 2
三角形中做辅助线的技巧及典型例题
三角形中做辅助线的技巧 口诀： 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 一、由角平分线想到的辅助线 口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ， 则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等 创造了条件。 如图1-2，AB2AC2AC3 CAC 。 3．已知：如图2-5, ∠BAC=∠CAD,AB>A D ，CE ⊥AB ， AE=21 （AB+AD ）.求证：∠D+∠B=180。 4.已知：如图2-6,在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BC B 图2-3 C
上的点，∠FAE=∠DAE 。求证：AF=AD+CF 。 已知：如图2-7，在Rt △ABC 中，∠ACB=90,CD ⊥AB ，垂 足为 D ，A E 平分∠CAB 交CD 于 F ，过F 作FH 21 证：BD=2CE 。 分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线， 可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。 例3．已知：如图3-3在△ABC 中，AD 、AE 分别∠BAC 的内、 外角平分线，过顶点B 作BFAD ，交AD 连结FC 并延长交AE 于M 。 求证：AM=ME 。 分析：由AD 、AE 是∠BAC ⊥AF ，从而有BF 21212121已知，如图，∠C=2BC 。求证：△ABC 是直角三角形。 2．已知：如图，AB=2AC ，∠1=∠2，证：DC ⊥AC 3．已知CE 、AD 是△ABC 的角平分线，∠4．已知：如图在△ABC 中，∠A=90°，二、 由线段和差想到的辅助线 口诀： 线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。 遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法： 1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。 1 2 A C D B C A B A B D 1 2 图3-2 B C
第四讲------三角形中辅助线的常见的添加方法
第四讲-------常用的辅助线的方法 知识点一： 三角形问题添加辅助线方法 1）、方法1：三角形中线--------------中线加倍。 含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结 论恰当的转移，很容易地解决了问题。 2）、方法2：含有平分线------------构造全等三角形。 常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等 三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。 3）、 方法3：证明两线段相等，可通过 构成全等三角形； 利用关于平分线段的一些定理； 转化到同一三角形中，证明角相等； 4）、 方法4：证明一条线段与另一条线段之和等于第三条线段-----------常 采用截长法或补短法。 截长法是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而 另一部分等于第二条线段。 三角形中作辅助线的常用方法举例 一．倍长中线 1：已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图5-2， 求证EF ＝2AD 。 A B C D E F 2 5 图
二、截长补短法作辅助线。 在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠ACB ＝2∠B ，求证：AB ＝AC ＋CD 。 三、延长已知边构造三角形： 例如：如图7-1：已知AC ＝BD ，AD ⊥AC 于A ，BC ⊥BD 于B ， 求证：AD ＝BC 练习 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD 的长。 A D C B E 12 A B C D E 1 7 图O
初中几何题：二倍角问题辅助线的添加规律
初中几何题：二倍角问题辅助线的添加规律 一些几何题中常含有一个角是另一个角的二倍的条件，处理这类问题常用如下的方法添加辅助线： （1）作二倍角的平分线，构成等腰三角形. 如下图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，作∠ABC的角平分线交AC 于点D，则∠DBC=∠C，△DBC是等腰三角形. （2）延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形，利用等腰三角形的性质证题. 如下图，在△ABC中，∠B=2∠C，可延长CB到D，使BD=AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形. 【典例】已知，如下图所示，在△ABC中，∠C=2∠A，AC=2BC，求证：∠B=90°.
思路一：要证∠B=90°，可设法证∠B等于某个直角.由∠C=2∠A，可联想作∠C的角平分线CE，则△ACE是等腰三角形，如果作这个等腰三角形底边上的高ED，则出现直角，再证∠B=∠CDE 即可. 【证法一】如下图，作∠C的平分线CE交AB于点E，过E作ED ⊥AC于D. 则∠ACE=∠A，∴AE=CE.∵ED⊥AC，∴CD=1/2AC. ∵AC=2BC，∴CD=CB. 则可证得△CDE≌△CBE. 即∠B=∠CDE=90°. 思路二：作∠C的平分线CD，将△CDA沿CD翻折过来，得△CDE.要证∠ABC=90°，需证CD=ED，BC=BE.
【证法二】如下图，作∠C的平分线CD，延长CB到E，使CE=AC，∴AC=BC+BE. ∵AC=2BC，∴BC=BE. 在△ACD和△ECD中，AC=EC，∠ACD=∠ECD，CD=CD，∴△ACD ≌△ECD. ∴∠A=∠E，又∠DCB=∠DCA=∠A， ∴∠E=∠DCB. ∴DC=DE. ∴∠ABC=90°. 思路三：延长AC到D，使CD=BC，连接BD，则△CBD和△ABD 都是等腰三角形，由条件AC=2BC，可联想到取AC的中点E，连接BE，则∠DBE=90°.要证∠ABC=90°，只需证∠ABE=∠DBC. 【证法三】延长AC到D，使CD=CB，连接BD.取AC的中点E，连接BE，如下图
[全]初中几何辅助线添加技巧
初中几何辅助线添加技巧 许多初学者虽然知道辅助线的重要，但是，总不得法，常以侥幸心理盲目乱试，找不到适当的辅助线，问题不得解决。其主要原因是没有理解题意，不明白所增添的辅助线的作用，从而无从做起。下面分享初中常见的几种辅助线。 截长补短法是三角形全等证明中的一种常见辅助线做法，截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。
一般来说，出现以下几种情况需要考虑截长补短。当出现上面提到的证明两条线段的数量关系，三条或四条线段之间的和、差关系时，我们可以使用截长补短法来进行辅助线的添加； 当题目条件中出现这种数量关系时，也可以使用截长补短法进行添辅助线；碰到证明两角相加等于180°的题型其实也可以使用截长补短法。
中点是几何图形中比较特殊的点，图形中出现中点，我们学过哪些图形的性质与中点有关？（1）等腰三角形三线合一；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）8字型全等图形。 所以，当我们看到图形中有中点这一条件，我们就可以开始联想了。看到中点，除了平分一条线段之外，我们还能联想到什么呢？中点又与三角形的中位线息息相关；中点还可以与中心对称相联系.解答中点问题的关键是通过联想恰当地添加辅助线，如作倍长中线、作直角三角形斜边上的中线、构造三角形中位线、构造中心对称图形等。
圆是初中数学的重点和难点，所以关于圆相关的辅助线也是重点掌握的对象。遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连接过弦的端点的半径；遇到有直径时，常常添加（画）直径所对的圆周角；遇到90度的圆周角时，常常连接两条弦没有公共点的另一端点；遇到弦时，常常联结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连接圆周上一点和弦的两个端点；遇到有切线时，常常添加过切点的半径（联结圆心和切点）。遇到证明某一直线是圆的切线时：（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段；（2）若直线过圆上的某一点，则联结这点和圆心（即作半径）。辅助线的添加是几何解题的关键和难点，是学生学习数学常用的手段，进行几何解题时，准确的添加辅助线可以使问题迎刃而解。
相似三角形添加辅助线的方法举例有答案新
相似三角形添加辅助线的方法举例 例1： 已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证： BC 2 ＝2CD ·AC ． 例2．已知梯形ABCD 中，BC AD //，AD BC 3=，E 是腰AB 上的一点，连结CE （1）如果AB CE ⊥ ，CD AB =，AE BE 3=，求B ∠的度数； （2）设BC E ?和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ，且2132S S =，试求 AE BE 的值 例3．如图4-1，已知平行四边ABCD 中，E 是AB 的中点， AD AF 31= ，连E 、F 交AC 于G ．求AG ：AC 的值． 例4、如图4—5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，则AF ：AE=___________. 例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为AB 延长线上一点，OE 交BC 于F ，若AB=a ，BC=b ，BE=c ，求BF 的长． 例6、已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：CD BD AC AB = ． 相似三角形添加辅助线的方法举例答案 例1： 已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证： BC 2 ＝2CD ·AC ． 分析：欲证 BC 2＝2CD ·AC ，只需证 BC AC CD BC = 2．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似．由“2”所放的位置不同，证法也不同． 证法一（构造2CD ）：如图，在AC 截取DE ＝DC ， ∵BD ⊥AC 于D ， ∴BD 是线段CE 的垂直平分线， ∴BC=BE ，∴∠C=∠BEC ， 又∵ AB ＝AC ， ∴∠C=∠ABC ． ∴ △BCE ∽△ACB ． ∴ BC AC CE BC =， ∴BC AC CD BC =2 ∴BC 2 ＝2CD ·AC ． 证法二（构造2AC ）：如图，在CA 的延长线上截取AE ＝AC ，连结BE ， ∵ AB ＝AC ， ∴ AB ＝AC=AE ． ∴∠EBC=90°， 又∵BD ⊥AC ． ∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°， B C B C E B C
第四讲------三角形中辅助线的常见的添加方法
第四讲----- 常用的辅助线的方法 知识点一：三角形问题添加辅助线方法 1）、方法1：三角形中线---------- 中线加倍。 含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当 的转移，很容易地解决了问题。 2）、方法2：含有平分线-------- 构造全等三角形。 常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角 形，从而利用全等三角形的知识解决问题。 3）、方法3：证明两线段相等，可通过 构成全等三角形； 利用关于平分线段的一些定理； 转化到同一三角形中，证明角相等； 4）、方法4:证明一条线段与另一条线段之和等于第三条线段-------------- 常 采用截长法或补短法。 截长法是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部 分等于第二条线段。 三角形中作辅助线的常用方法举例 一?倍长中线 1:已知△ ABC AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角 三角形，如图5-2，求证EF= 2AD。 F 图5
、截长补短法作辅助线 在厶 ABC 中，AD 平分/ BAC , / AC 吐2/B ,求证：AB = AC + CDb 三、延长已知边构造三角形： 例如：如图7-1 :已知AC = BD, AD 丄AC 于A , BCL BD 于B, 练习 如图，在梯形 ABCD 中，AD//BC ,/ B=50°,Z C=80°, AD=2, BC=5,求 CD 的 长。 四、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。 例如：如图 8-1： AB// CD, AD // BC 求证：AB=CD 求证：AD = BC 图8- C
(完整)八年级数学上几何证明中的辅助线添加方法
八年级数学（上）几何证明中的辅助线添加方法 数学组 田茂松 八年级数学的几何题，有部分题需要做出辅助线才能完成。有的时候，做不出恰当的辅助线，或者做不出辅助线，就没有办法完成该题的解答。为了能够更好的让学生在做几何题时得心应手，现在将八年级数学中几何题的辅助线添加方法总结如下。 常见辅助线的作法有以下几种： 1.遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 2.遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3.遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4.过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5.截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6.特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。 常见辅助线的作法举例： 例1 如图1,//AB CD ，//AD BC . 求证：AD BC =. 分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。 证明：连接AC （或BD ） ∵//AB CD , //AD BC （已知） ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 （两直线平行，内错角相等） 在ABC ?与CDA ?中 ?????∠=∠=∠=∠)(43) ()(21已证公共边已证CA AC ∴ABC ?≌CDA ?（ASA ） ∴AD BC =（全等三角形对应边相等） 例2 如图2,在Rt ABC ?中，AB AC =，90BAC ∠=?，12∠=∠，CE BD ⊥的延长于E .求证：2BD CE =. 分析：要证2BD CE =，想到要构造线段2CE ，同时CE 与ABC ∠的平分线垂直，想到要将其延长。 证明：分别延长BA ，CE 交于点F . ∵BE CF ⊥ （已知） ∴90BEF BEC ∠=∠=?（垂直的定义） 在BEF ?与BEC ?中， ?????∠=∠=∠=∠)()()(21已证公共边已知BEC BEF BE BE A B C D 1234图1 D A E F 12图2
初中数学之二倍角问题辅助线的添加规律知识点
初中数学之二倍角问题辅助线的添加规律知识点 一些几何题中常含有一个角是另一个角的二倍的条件，处理这类问题常用如下的方法添加辅助线： （1）作二倍角的平分线，构成等腰三角形。 如下图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，作∠ABC的角平分线交AC于点D，则∠DBC=∠C，△DBC是等腰三角形。 （2）延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形，利用等腰三角形的性质证题。 如下图，在△ABC中，∠B=2∠C，可延长CB到D，使BD=AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形。 【典例】已知，如下图所示，在△ABC中，∠C=2∠A，AC=2BC，求证：∠B=90°.
思路一：要证∠B=90°，可设法证∠B等于某个直角.由∠C=2∠A，可联想作∠C的角平分线CE，则△ACE是等腰三角形，如果作这个等腰三角形底边上的高ED，则出现直角，再证∠B=∠CDE即可。 【证法一】如下图，作∠C的平分线CE交AB于点E，过E 作ED⊥AC于D。 则∠ACE=∠A，∴AE=CE.∵ED⊥AC，∴CD=1/2AC. ∵AC=2BC，∴CD=CB. 则可证得△CDE≌△CBE. 即∠B=∠CDE=90°. 思路二：作∠C的平分线CD，将△CDA沿CD翻折过来，得△CDE.要证∠ABC=90°，需证CD=ED，BC=BE.
【证法二】如下图，作∠C的平分线CD，延长CB到E，使CE=AC，∴AC=BC+BE. ∵AC=2BC，∴BC=BE. 在△ACD和△ECD中，AC=EC，∠ACD=∠ECD，CD=CD，∴△ACD≌△ECD. ∴∠A=∠E，又∠DCB=∠DCA=∠A， ∴∠E=∠DCB. ∴DC=DE. ∴∠ABC=90°. 思路三：延长AC到D，使CD=BC，连接BD，则△CBD和△ABD都是等腰三角形，由条件AC=2BC，可联想到取AC的中点E，连接BE，则∠DBE=90°.要证∠ABC=90°，只需证∠ABE=∠DBC. 【证法三】延长AC到D，使CD=CB，连接BD.取AC的中点E，连接BE，如下图
全等三角形中常见辅助线的添加方法
全等三角形中常见辅助线的添加方法举例 一． 有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。 例：如图1：已知AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE ＋CF ＞EF 。 二、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍 此线段，构造全等三角形。 例：：如图2：AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE ＋CF ＞EF 三、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造 全等三角形。 例：如图3：AD 为 △ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD 。 图3 练习：已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4， 求证EF ＝2AD 。 A B C D E F N 1 图1234 2 图A B C D E F M 123 4A B C D E A B C D E F 4 图
四、截长补短法作辅助线。 例如：已知如图5：在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任一点。 求证：AB －AC ＞PB －PC 。 五、延长已知边构造三角形： 例如：如图6：已知AC ＝BD ，AD ⊥AC 于A ，BC ⊥BD 于B ， 求证：AD ＝BC 六、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如：如图8：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∠1＝∠2，CE ⊥BD 的延长于E 。求证：BD ＝2CE 7 七、连接已知点，构造全等三角形。 例如：已知：如图9；AC 、BD 相交于O 点，且AB ＝DC ，AC ＝BD ，求证：∠A ＝∠D 。 八、取线段中点构造全等三有形。 例如：如图10：AB ＝DC ，∠A ＝∠D 求证：∠ABC ＝∠DCB 。 A B C D N M P 5图12A B C D E 6 图O D B A 110 图O 10图D C B A M N
几何中常见的辅助线添加方法
几何专题——辅助线 平面几何是初中教学的重要组成部分，它的基础知识在生产实践和科学研究中有着广泛的应用，又是继续学习数学和其他学科的基础，但许多初中生对几何证实题感到困难，尤其是对需要添加辅助线的证实题，往往束手无策。 一、辅助线的定义： 为了证实的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线。 二、几种常用的辅助线：连结、作平行线、作垂线、延长等 注意：1）添加辅助线是手段，而不是目的，它是沟通已知和未知的桥梁，不能见到题目，就无目的地添加辅助线。一则没用、二则辅助线越多，图形越乱，反而妨碍思考问题。 2）添加辅助线时，一条辅助线只能提供一个条件 三、正确添加辅助线歌 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证实有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证实是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆假如碰到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证实题目少困难。 辅助线，是虚线，画图注重勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时把握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。几何证题难不难，关键常在辅助线； 知中点、作中线，中线处长加倍看；底角倍半角分线，有时也作处长线； 线段和差及倍分，延长截取证全等；公共角、公共边，隐含条件须挖掘； 全等图形多变换，旋转平移加折叠；中位线、常相连，出现平行就好办； 四边形、对角线，比例相似平行线；梯形问题好解决，平移腰、作高线； 两腰处长义一点，亦可平移对角线；正余弦、正余切，有了直角就方便； 非凡角、非凡边，作出垂线就解决；实际问题莫要慌，数学建模帮你忙； 圆中问题也不难，下面我们慢慢谈；弦心距、要垂弦，碰到直径周角连； 切点圆心紧相连，切线常把半径添；两圆相切公共线，两圆相交公共弦； 切割线，连结弦，两圆三圆连心线；基本图形要熟练，复杂图形多分解；以上规律属一般，灵活应用才方便。
平面几何辅助线添加技法总结与例题详细讲解
第一讲 注意添加平行线证题 在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁. 添加平行线证题,一般有如下四种情况. 1 为了改变角的位置 大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要. 例1 设P 、Q 为线段BC 上两点,且BP ＝CQ , A 为BC 外一动点(如图1).当点A 运动到使 ∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形？试 证明你的结论. 答： 当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形. 证明：如图1,分别过点P 、B 作AC 、AQ 的平行线得交点D .连结DA . 在△DBP ＝∠AQC 中,显然∠DBP ＝∠AQC ,∠DPB ＝∠C . 由BP ＝CQ ,可知 △DBP ≌△AQC . 有DP ＝AC ,∠BDP ＝∠QAC . 于是,DA ∥BP ,∠BAP ＝∠BDP . 则A 、D 、B 、P 四点共圆,且四边形ADBP 为等腰梯形.故AB ＝DP . 所以AB ＝AC . 这里,通过作平行线,将∠QAC “平推”到∠BDP 的位置.由于A 、D 、B 、P 四点共圆,使证明很顺畅. 例2 如图2,四边形ABCD 为平行四边形, ∠BAF ＝∠BCE .求证：∠EBA ＝∠ADE . 证明：如图2,分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线,得交点P ,连PE . 由AB CD ,易知△PBA ≌△ECD .有 PA ＝ED ,PB ＝EC . 显然,四边形PBCE 、PADE 均为平行四边形.有 ∠BCE ＝∠BPE ,∠APE ＝∠ADE . 由∠BAF ＝∠BCE ,可知 ∠BAF ＝∠BPE . 有P 、B 、A 、E 四点共圆. 于是,∠EBA ＝∠APE . 所以,∠EBA ＝∠ADE . 这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P 、B 、A 、E 四点共圆,紧密联系起来.∠APE 成为∠EBA 与∠ADE 相等的媒介,证法很巧妙. 2 为了改变线段的位置 利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题. 例3 在△ABC 中,BD 、CE 为角平分线,P 为ED 上任意一点.过P 分别作AC 、AB 、BC 的垂线,M 、N 、Q 为垂足.求证： PM ＋PN ＝PQ . ∥＝A D B P Q 图1P E D G A B F C 图2
梯形中添加辅助线的六种常用技巧
梯形中添加辅助线的六种常 用技巧 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
梯形中添加辅助线的六种常用技巧 浙江唐伟锋 梯形是不同于平行四边形的一类特殊四边形，解决梯形问题的基本思路是通过添加辅助线，将梯形进行割补、拼接转化为三角形、平行四边形问题进行解决。一般而言，梯形中添加辅助线的常用技巧主要有以下几种—— 一、平移一腰 从梯形的一个顶点作一腰的平行线，将梯形转化为平行四边形和三角形，从而利用平行四边形的性质，将分散的条件集中到三角形中去，使问题顺利得解。 例1、如图①，梯形ABCD中AD∥BC，AD=2cm ，BC=7cm，AB=4cm，求CD的取值范围。 解：过点D作DE∥AB交BC于E， ∵AD∥BC，DE∥AB ∴四边形ABED是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） ∴DE=AB=4cm，BE=AD=2cm ∴EC=BC－BE=7－2=5cm 在△DEC中，EC－DE＜CD＜EC＋DE（三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） ∴1cm＜CD＜9cm。 二、延长两腰 将梯形的两腰延长，使之交于一点，把梯形转化为 大、小两个三角形，从而利用特殊三角形的有关性质解决 梯形问题。 例2、如图②，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠
C ，求证：梯形ABC D 是等腰梯形。 证明：延长BA 、CD ，使它们交于E 点， ∵AD ∥BC ∴∠EAD=∠B ，∠EDA=∠C （两直线平行，同位角相等） 又∵B=∠C ∴∠EAD=∠EDA ∴EA=ED ，EB=EC （等角对等边） ∴AB=DC ∴梯形ABCD 是等腰梯形（两腰相等的梯形是等腰梯形）。 三、平移对角线 从梯形上底的一个顶点向梯形外作一对角线的平行线，与下底延长线相交构成平行四边形和一特殊三角形（直角三角形、等腰三角形等）。 例3、如图③，已知梯形ABCD 中，AD=，BC=，对角线AC ⊥BD ，且BD=3cm ，AC=4cm ，求梯形ABCD 的面积。 解：过点D 作DE ∥AC 交BC 延长线于E ∵AD ∥BC ，DE ∥AC ∴四边形ACED 是平行四边形（两组对边分别平 行的四边形是平行四边形） ∴CE=AD=，DE=AC=4cm ∵AC ⊥BD ∴DE ⊥BD ∴S 梯形ABCD =111()()222 AD BC h CE BC h BE h +?=+?=?（h 为梯形的高） 211346cm 22 BD DE =?=??= 。