线面垂直判定经典证明题

线面垂直判定

1、已知：如图，PA⊥AB，PA⊥AC。

求证：PA⊥平面ABC。

2、已知：如图，PA⊥AB，BC⊥平面PAC。

求证：PA⊥BC。

3、如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC。

求证：VB⊥AC

4、在正方体ABCD-EFGH中，O为底面ABCD中心。

求证：BD⊥平面AEGC

5、如图，AB是圆O的直径，PA⊥AC, PA⊥AB,

求证：BC⊥平面PAC

6、如图，AD ⊥BD, AD ⊥DC,AD=BD=CD,∠BAC=60°

求证： BD ⊥平面ADC

7、.如图所示，P A ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.

(1)求证：MN ∥平面P AD . (2)求证：MN ⊥CD . (3)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD .

8、已知：如图，P 是棱形ABCD 所在平面外一点，且PA=PC 求证：AC PBD ⊥平面

9、已知四面体ABCD 中，CD BD AC AB ==,,平面⊥ABC 平面BCD ,E 为棱BC 的中点。（1）求证：⊥AE 平面BCD ; （2）求证：BC AD ⊥;

10、三棱锥A-BCD中，AB=1，BC=2，BD=AC=3

AD=2，求证：AB⊥平面BCD

11、在四棱锥S-ABCD中，SD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形

求证：AC⊥平面SBD

12、如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，求证：AB⊥

平面ADE；

13、三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，H是△ABC的垂心

求证:PH⊥底面ABC

A B

_A _P

14、正方体ABCD-A1B1C1D1中，

求证：A1C⊥平面BC1D.

15、S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,

求证AB⊥BC

16、如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，

∠ACB＝90°，AA1＝2，D是A1B1中点．

求证C1D⊥平面A1B；

_A_B _C

线面垂直习题精选

. . . . . 线面垂直的证明中的找线技巧 ◆ 通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直 1 如图1，在正方体 1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1A O ⊥平面MBD ．证明：连结MO ，1A M ，∵DB ⊥ 1A A ，DB ⊥AC ，1A A AC A =， ∴DB ⊥平面 11A ACC ，而1 AO ?平面11A ACC ∴DB ⊥1A O ．设正方体棱长为a ，则22132A O a =，2 234MO a =．在Rt △11A C M 中，2 21 94 A M a =．∵22211A O MO A M +=，∴1AO OM ⊥． ∵OM ∩DB =O ，∴ 1A O ⊥平面MBD ．评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明． ◆ 利用面面垂直寻求线面垂直 2 如图2，P 是△ABC 所在平面外的一点，且PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥平面PAC ．证明：在平面PAC 作AD ⊥PC 交PC 于D ．因为平面PAC ⊥平面PBC ，且两平面交于PC ， AD ?平面PAC ，且AD ⊥PC ，由面面垂直的性质，得AD ⊥平面PBC ．又∵BC ?平面PBC ， ∴AD ⊥BC ． ∵PA ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ，∴PA ⊥BC ． ∵AD ∩PA =A ，∴BC ⊥平面PAC ．（另外还可证BC 分别与相交直线AD ，AC 垂直，从而得到BC ⊥平面PAC ）．评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直?线面垂直?线线垂直．一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直???→←???判定性质线面垂直???→←??? 判定性质面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明． 3 如图１所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过 A 且垂直于SC 的平面分别交S B S C S D ，，于 E F G ，，．求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．证明：∵SA ⊥平面ABCD ， ∴SA BC ⊥．∵AB BC ⊥，∴BC ⊥平面SAB ．又∵AE ?平面SAB ，∴BC AE ⊥．∵SC ⊥平面AEFG ，∴SC AE ⊥．∴AE ⊥平面SBC ．∴AE SB ⊥．同理可证AG SD ⊥．评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化． 4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ．证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵ AC BC =，∴CF AB ⊥． ∵AD BD =，∴DF AB ⊥．又CF DF F =，∴AB ⊥平面CDF ． ∵CD ?平面CDF ，∴CD AB ⊥．又CD BE ⊥，BE AB B =， ∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥． ∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E =， ∴ AH ⊥平面BCD ．

线面垂直--经典练习题(精选.)

1.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90BCD ∠=?，AB CD ∥，又1AB BC PC ===，2PB =，2CD =，AB PC ⊥． (Ⅰ)求证：PC ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求PA 与平面ABCD 所成角的大小； (Ⅲ)求二面角B PD C --的大小． 2.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，且AB CD ∥，90BAD ∠=?，2PA AD DC ===，4AB =． (Ⅰ)求证：BC PC ⊥； (Ⅱ)求PB 与平面PAC 所成角的正弦值； (Ⅲ)求点A 到平面PBC 的距离． 3.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB CD ∥，1AB AD ==，12D D CD ==，AB AD ⊥．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面1D DB ；（Ⅱ）求1D B 与平面11D DCC 所成角的大小．

9.如图，在三棱锥P －ABC 中，△PAC 和△PBC 是边长为2的等边三角形，AB ＝2，O 是AB 中点． (1)在棱PA 上求一点M ，使得OM ∥平面PBC ； (2)求证：平面PAB ⊥平面ABC . 10.如图所示,三棱锥V -ABC 中,AH ⊥侧面VBC ,且H 是△VBC 的垂心，BE 是VC 边上的高. 求证:VC ⊥AB ; 11.如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，1AB BB =，1AC ⊥平面D BD A ,1为AC 的中点．（1）求证：//1C B 平面BD A 1；（2）求证：⊥11C B 平面11A ABB ；提示：11A C 中点和1B A 连 D A C B S E F G A 1 B 1 C 1 A B C D

线面垂直面面垂直知识点总结经典例题及解析高考题练习及答案第次补课

直线、平面垂直的判定与性质【知识梳理】一、直线与平面垂直的判定与性质 1、直线与平面垂直（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。（2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，记作.//a b b a αα? ?⊥?⊥? （3）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。即,//a b a b αα⊥⊥?. 由定义知：直线垂直于平面内的任意直线。 2、直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角或者直角叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，该直线与平面所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，则此直线与平面所成的角是0 0的角。 3、二面角的平面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。如果记棱为l ，那么两个面分别为αβ、的二面角记作l αβ--.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则两射线所构成的角叫做叫做二面角的平面角。其作用是衡量二面角的大小；范围：0 0180θ≤≤. 二、平面与平面垂直的判定与性质 1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直. 2、判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。简述为“线面垂直，则面面垂直”，记作 l l βαβα⊥? ?⊥??? . 3、性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，记作l m m m l αβαββα⊥??=? ?⊥??? ?⊥? I . 【经典例题】【例1】（2012浙江文）设l 是直线,a,β是两个不同的平面（） A ．若l ∥a,l ∥β,则a ∥β B ．若l ∥a,l ⊥β,则a ⊥β C ．若a ⊥β,l ⊥a,则l ⊥β D ．若a ⊥β, l ∥a,则l ⊥β 【答案】B

线面垂直习题精选

线面垂直的证明中的找线技巧 ◆ 通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直 1 如图1，在正方体1111ABCD A B C D - 中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1A O ⊥平面MBD ．证明：连结MO ，1A M ，∵DB ⊥ 1A A ，DB ⊥AC ，1A A AC A =， ∴DB ⊥平面 11A ACC ，而1 AO ?平面11A ACC ∴DB ⊥1A O ．设正方体棱长为a ，则22132A O a =，2 234MO a =．在Rt △11A C M 中，2 21 94 A M a =．∵22211A O MO A M +=，∴1AO OM ⊥． ∵OM ∩DB =O ，∴ 1A O ⊥平面MBD ．评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明． ◆ 利用面面垂直寻求线面垂直 2 如图2，P 是△ABC 所在平面外的一点，且PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥平面PAC ．证明：在平面PAC 内作AD ⊥PC 交PC 于D ．因为平面PAC ⊥平面PBC ，且两平面交于PC ， AD ?平面PAC ，且AD ⊥PC ，由面面垂直的性质，得AD ⊥平面PBC ．又∵BC ?平面PBC ， ∴ AD ⊥BC ． ∵PA ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ，∴PA ⊥BC ． ∵AD ∩PA =A ，∴BC ⊥平面PAC ．（另外还可证BC 分别与相交直线AD ，AC 垂直，从而得到BC ⊥平面PAC ）．评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直?线面垂直?线线垂直．一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直???→←???判定性质线面垂直???→←??? 判定性质面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明． 3 如图１所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过 A 且垂直于SC 的平面分别交S B S C S D ，，于 E F G ，，．求证：AE SB ⊥， AG SD ⊥．证明：∵SA ⊥平面ABCD ， ∴SA BC ⊥．∵AB BC ⊥，∴BC ⊥平面SAB ．又∵AE ?平面SAB ，∴BC AE ⊥．∵SC ⊥平面AEFG ，∴SC AE ⊥．∴AE ⊥平面SBC ．∴AE SB ⊥．同理可证AG SD ⊥．评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化． 4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ．证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵AC BC =，∴CF AB ⊥． ∵AD BD =，∴DF AB ⊥．又CF DF F =，∴AB ⊥平面CDF ． ∵CD ?平面CDF ，∴CD AB ⊥．又CD BE ⊥，BE AB B =， ∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥． ∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E =， ∴ AH ⊥平面BCD ．

线面平行与垂直的证明题精选

线面平行和垂直的证明 1：如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中. （1）求证：AC ⊥平面B 1BDD 1；（2）求三棱锥B-ACB 1体积． 2：如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心， PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．求证：（1）PA∥平面BDE ；（2）平面PAC ⊥平面BDE ． 3：如图：在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中， ∠ABC = 90°，SA ⊥面ABCD ，SA = AB = BC = 1， 2 1 = AD ．（Ⅰ）求四棱锥S —ABCD 的体积；（Ⅱ）证明：平面SBC ⊥平面SCD . 4：已知多面体ABCDFE 中，四边形ABCD 为矩形，AB ∥EF ，AF ⊥BF ，平面ABEF ⊥平面ABCD ， O 、M 分别为AB 、FC 的中点，且AB = 2，AD = EF = 1. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面FBC ；（Ⅱ）求证：OM ∥平面DAF . 5：．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，E 是P C 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F ．（1）证明 P A //平面EDB ；（2）证明PB ⊥平面EFD ； 6：已知正方形ABCD 和正方形ABEF 所在的平面相交于AB ，点M ，N 分别在AC 和BF 上，且AM=FN. 求证：MN ‖平面BCE. 7：如图，正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为a （1）求证：直线//1B A 平面1ACD （2）求证：平面1ACD ⊥平面D BD 1； 8：如图，已知△ABC 是正三角形，EA 、CD 都垂直于平面ABC ，且EA=AB=2a,DC=a,F 是BE 的中点， D 1 C 1 B 1 A 1 C D B A D A B C O E P A B C D P E F B C D E F N M F E D C A M

立体几何证明垂直专项含练习题及答案

立体几何证明------垂直一.复习引入 1.空间两条直线的位置关系有：_________,_________,_________三种。 2.（公理4）平行于同一条直线的两条直线互相_________. 3.直线与平面的位置关系有_____________,_____________,_____________三种。 4.直线与平面平行判定定理:如果_________的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 5.直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么_________________________. 6.两个平面的位置关系:_________,_________. 7.判定定理1：如果一个平面内有_____________直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 8.线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面________. 9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行. 10.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都_____于另一个平面. 二．知识点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定定义判定语言描述如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥α一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 图形条件b为平面α内的任一直线，而l对这一直线总有l⊥αl⊥m，l⊥n，m∩n＝B，mα，nα 结论l⊥αl⊥α 要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线” 不同（线线垂直线面垂直）性质语言描述一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线垂直于同一个平面的两条直线平行.

线面垂直判定经典证明题

线面垂直判定 1、已知：如图，PA⊥AB，PA⊥AC。求证：PA⊥平面ABC。 2、已知：如图，PA⊥AB，BC⊥平面PAC。求证：PA⊥BC。 3、如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC。求证：VB⊥AC 4、在正方体ABCD-EFGH中，O为底面ABCD中心。求证：BD⊥平面AEGC 5、如图，AB是圆O的直径，PA⊥AC, PA⊥AB, 求证：BC⊥平面PAC

6、如图，AD ⊥BD, AD ⊥DC,AD=BD=CD,∠BAC=60° 求证： BD ⊥平面ADC 7、.如图所示，P A ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. (1)求证：MN ∥平面P AD . (2)求证：MN ⊥CD . (3)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD . 8、已知：如图，P 是棱形ABCD 所在平面外一点，且PA=PC 求证：AC PBD ⊥平面 9、已知四面体ABCD 中，CD BD AC AB ==,,平面⊥ABC 平面BCD ,E 为棱BC 的中点。（1）求证：⊥AE 平面BCD ; （2）求证：BC AD ⊥; _ A _ D _ C _ B P C B A E D

10、三棱锥A-BCD中，AB=1，BC=2，BD=AC=3 AD=2，求证：AB⊥平面BCD 11、在四棱锥S-ABCD中，SD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形求证：AC⊥平面SBD 12、如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，求证：AB⊥ 平面ADE； 13、三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，H是△ABC的垂心求证:PH⊥底面ABC A B C D E _A _P _C _E _H _B

线线垂直、线面垂直、面面垂直的习题及答案

线线垂直、线面垂直、面面垂直部分习及答案 1．在四面体ABCD 中，△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形． (1)求证：BC ⊥AD ； 2如图，在三棱锥S —ABC 中，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC ．（1）求证：AB ⊥BC ； 3.如图，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PA ⊥底面ABCD ，E 为AB 的中点，且PA=AB ．（1）求证：平面PCE ⊥平面PCD ；（2）求点A 到平面PCE 的距离． 4. 如图2-4-2所示，三棱锥S —ABC 中，SB=AB ，SC=AC ，作AD ⊥BC 于D ，SH ⊥AD 于H ，求证：SH ⊥平面ABC. (第1题)

5. 如图所示，已知Rt△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC. 6. 证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D A C 7. 如图所示，直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=1，，侧棱，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M. 求证：CD⊥平面BDM.

8.在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD． 9. 如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC． 10.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB． (1)求证：平面EDB⊥平面EBC； (2)求二面角E－DB－C的正切值. 11：已知直线PA垂直于圆O所在的平面，A为垂足，AB为圆O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。求证：平面PAC 平面PBC。

线面垂直证明题训练

线面垂直证明题训练https://www.360docs.net/doc/4c10196775.html,work Information Technology Company.2020YEAR

A B C P E F 线面垂直的证明方法总结：直线垂直于平面内的两条相交直线；利用面面垂直的性质；利用勾股定理逆定理； 1．如图①所示，在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是边G 1G 2、G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体(如图②使G 1、G 2、G 3三点重合于一点G)，则下列结论中成立的有________(填序号)． ①SG ⊥面EFG ； ②SD ⊥面EFG ； ③EF ⊥面ＳＧＤ； ④GD ⊥面SEF ． 2．PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，则下列关系正确的是________(填序号)． ①PA ⊥BC ；②BC ⊥平面PAC ；③AC ⊥PB ；④PC ⊥BC ． 3．以AB 为直径的圆在平面α内，α⊥PA 于A ，C 在圆上，连PB 、PC 过A 作AE ⊥PB 于E ，AF ⊥PC 于F ，指出图中所有线面垂直并逐一证明。 4．如图，A A 1是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径， C 是底面圆周上异于B A,的任意一点，求证：AC A 1平面⊥BC ； 5．已知，如图正方体1111D C B A ABCD -中，求证：111A D B C A 平面⊥ 三垂线定理的运用 6．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 的中点，在平面B 1BDD 1中，过B 1作B 1H ⊥D 1O ，垂足为H ，求证：B 1H ⊥平面ACD 1。 7．已知正方形ABCD 的边长为1，．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使1AC =，得到三棱锥 A —BCD ，如图所示．求证：AO BCD ⊥平面； A B C D A 1 B 1 C 1 D 1

线面垂直与面面垂直典型例题

线面垂直与面面垂直基础要点 1、若直线a 与平面,αβ所成的角相等，则平面α与β的位置关系是（ B ） A 、//αβ B 、α不一定平行于β C 、α不平行于β D 、以上结论都不正确 2、在斜三棱柱111ABC A B C -,90BAC ∠=o ,又1BC AC ⊥,过1C 作1C H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则H 一定在（ B ） A 、直线AC 上 B 、直线AB 上 C 、直线BC 上 D 、△ABC 的内部 3、如图示，平面α⊥平面β，,,A B AB αβ∈∈与两平面,αβ所成的角分别为4π和6 π，过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为,A B ''，则:AB A ''=（ A ） A 、2:1 B 、3:1 C 、3:2 D 、4:3 4、如图示，直三棱柱11ABB DCC -中，190,ABB AB ∠==o , 12,1BC CC ==DC 上有一动点P ，则△1APC 周长的最小值是 5.已知长方体1111D C B A ABCD -中，21==AB A A , 若棱AB 上存在点P ，使得PC P D ⊥1,则棱AD 长的取值范围是。题型一：直线、平面垂直的应用 1.（2014，江苏卷）如图，在三棱锥P-ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点. 已知,685PA AC PA BC DF ⊥===，，. 求证：(1) PA DEF P 平面；(2) BDE ABC ⊥平面平面 . 证明： (1) 因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，线面垂直线线垂直面面垂直 B` A` B A α β C D 1 B 1 C B 1 1 D A D B A

线面垂直与面面垂直垂直练习题

2.3线面垂直和面面垂直线面垂直专题练习一、定理填空： 1.直线和平面垂直如果一条直线和，就说这条直线和这个平面垂直. 2.线面垂直判定定理和性质定理线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 判定定理1：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么判定定理2：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么 . 线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行. 性质定理1：垂直于同一条直线的两个平面互相平行。二、精选习题： 1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题： ①M b M a b a ⊥????⊥// ②b a M b M a //????⊥⊥ ③????⊥⊥b a M a b ∥M ④?? ??⊥b a M a //b ⊥M . 其中正确的命题是 ( ) A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④ 2.如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点.现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P .那么，在四面体P —DEF 中，必有 ( ) A.DP ⊥平面PEF B.DM ⊥平面PEF C.PM ⊥平面DEF D.PF ⊥平面DEF 3.设a 、b 是异面直线，下列命题正确的是 ( ) A.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交 B.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直 C.过a 一定可以作一个平面与b 垂直 D.过a 一定可以作一个平面与b 平行 4.如果直线l ,m 与平面α,β,γ满足:l =β∩γ,l ∥α,m ?α和m ⊥γ,那么必有 ( ) A.α⊥γ且l ⊥m B.α⊥γ且m ∥β C.m ∥β且l ⊥m D.α∥β且α⊥γ 5.有三个命题： ①垂直于同一个平面的两条直线平行； ②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直； ③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直其中正确命题的个数为 ( )A.0 B.1 C.2 D.3 6.设l 、m 为直线，α为平面，且l ⊥α，给出下列命题 ① 若m ⊥α，则m ∥l ；②若m ⊥l ，则m ∥α；③若m ∥α，则m ⊥l ；④若m ∥l ，则m ⊥α，第3题图

直线、平面垂直的判定及其性质-练习题1(答案)

】直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题 1、“直线l垂直于平面内的无数条直线”是“l⊥”的（） A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 2、如果一条直线l与平面的一条垂线垂直，那么直线l与平面的位置关系是（） A、l B、l⊥ C、l∥ D、l或l∥ 3、若两直线a⊥b，且a⊥平面，则b与的位置关系是（） A、相交 B、b∥ C、b D、b∥，或b · 4、a∥α，则a平行于α内的( ) A、一条确定的直线 B、任意一条直线 C、所有直线 D、无数多条平行线 5、如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的 ( ) A、一条直线不相交 B、两条直线不相交 C、无数条直线不相交 D、任意一条直线都不相交 6、若直线l上有两点P、Q到平面α的距离相等，则直线l与平面α的位置关系是( ) A、平行 B、相交 — C、平行或相交 D、平行、相交或在平面α内二、填空题 7、过直线外一点作直线的垂线有条；垂面有个；平行线有条；平行平面有个. 8、过平面外一点作该平面的垂线有条；垂面有个；平行线有条；平行平面有个. 9、过一点可作________个平面与已知平面垂直. . 10、过平面α的一条斜线可作_________个平面与平面α垂直.

11、过平面α的一条平行线可作_________个平面与平面α垂直. 三、解答题（ 12、求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 13、过一点和已知平面垂直的直线只有一条 ] 14、有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂一条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上）,C D，如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么 > 15、已知直线l⊥平面α，垂足为A，直线AP⊥l 求证：AP在α内

线面垂直证明题训练

线面垂直的证明方法总结：直线垂直于平面内的两条相交直线；利用面面垂直的性质；利用勾股定理逆定理； 1. 如图①所示，在正方形 SGGG 中，E 、F 分别是边GG 2、G2G 的中点，D 是EF 的中点，现沿 SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体（如图②使G 、G 、G 3三点重合于一点 G ）,则下列结论中成立的有 ①SGL 面EFG ②SDL 面EFG ③EF 丄面SGD; ④GDL 面SEF. 2. PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面， C 为圆上异于A, B 的任一点，则下列关系正确的是 ①PAL BC;②BC 丄平面 PAC ③AC 丄PB;④PC 丄BC 内，PA 于A , C 在圆上，连PB PC 过A 作AE L PB 于E , AF L PC 于F ,指出图中所有线面 &如图，在四面体 SABC 中, SA=SB=SC Z ASC=90，/ ASB=/ BSC=60，若 0 为 AC 中点，求证： BO 平面 SAC 3.以AB 为直径的圆在平面垂直并逐一证明。 4?如图，是圆柱的母线, 求证：BC 平面A 1AC ; AB 是圆柱底面圆的直径, C 是底面圆周上异于代B 的任意一点, 5 .已知，如图正方体 ABCD 三垂线定理的运用 A 1 B 1 C 1 D 1 中，求证：A i C 平面A B 1D 1 6 .正方体 ABCD-ABQD 中，0是AC 的中点，在平面 B 1BDD 中，过B 1作BH L DO,垂足为 H, 求证：B 1H 丄平面ACD 。 7 ?已知正方形ABCD 勺边长为1, ADA O .将正方形 ABCD 沿对角线BD 折起，使AC A — BCD 如图所示.求证：A0平面BCD ； IA _______ （填序号）. （填序号）.

线面垂直经典例题及练习题-

立体几何 1．P 点在则ABC ?所在的平面外，O 点是P 点在平面ABC 内的射影，PA 、PB 、PC 两两垂直，则D 点是则ABC ? （ B ） (A)重心 (B) 垂心 (C)内心 (D)外心 2．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是（ A ） (A)都平行 (B) 都相交 (C) 在两个平面内 (D)至少与其中一个平行 3．若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两平面的位置关系是（ A ） (A)平行 (B) 相交 (C)平行或相交 (D)垂直 4．在空间，下述命题正确的是（ B ） (A)若直线//a 平面M ，直线b a ⊥，则直线⊥b 平面M (B)若平面M //平面N ，则平面M 内任意直线a //平面N (C)若平面M 与N 的交线为a ，平面M 内的直线a b ⊥，则N b ⊥ (D)若平面N 的两条直线都平行平面M ，则平面N //平面M 5．a 、b 表示两条直线，α、β、γ表示三个平面，下列命题中错误的是（A ） (A),,αα??b a 且ββ//,//b a ，则βα// (B)a 、b 是异面直线，则存在唯一的平面与a 、 b 等距 (C) ,,,b a b a ⊥?⊥βα则βα// (D),,,//,βαβγγα⊥⊥⊥b a 则b a ⊥ 6.直线l //平面α，αβ⊥，则l 与平面β的位置关系是（ D ） (A) l β? (B) //l β (C) l β与相交 (D ) 以上三种情况均有可能 7．已知直线l ⊥平面α，直线m ?平面β，有以下四个命题：①//l m αβ?⊥② //l m αβ⊥?③//l m αβ?⊥④//l m αβ⊥?，其中正确的是（D ） (A) ①② (B) ②④ (C) ③④ (D) ①③ 8．αβγδ，，，是四个不同的平面，且αγβγαδβδ⊥⊥⊥⊥，，，，则（ B ） (A) ////αβγδ或 (B) ////αβγδ且 (C) 四个平面中可能任意两个都不平行 (D) 四个平面中至多有一对平面平行 9．已知平面α和平面β相交，a 是α内的一条直线，则（ D ） (A) 在β内一定存在与a 平行的直线 (B) 在β内一定存在与a 垂直的直线 (C) 在β内一定不存在与a 平行的直线 (D) 在β内一定不存在与a 垂直的直线 10．已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面，垂足为A ，连PB PC PD AC BD ，，、，，则互相垂直的平面有（ C ） (A) 5对 (B) 6对 (C) 7对 (D) 8对

线面平行、垂直练习题

线面、面面平行和垂直的判定和性质班别：姓名： 1、在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11B D 的中点，F 是1BC 的中点，求证：11//EF ABB A 平面 2、正方体中1111D C B A ABCD -中，M ，N ，E ，F 分别是棱11B A ，11D A ，11C B ， 11D C 的中点。求证：平面AMN ∥平面EFDB 。 F E D 1 C 1 D B 1 A

3．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边 60,2,DAB AB AD PD ∠==⊥o 底面ABCD ，证明：PA BD ⊥ 4．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形, PA ⊥平面ABCD , 点 F 为PC 的中点. （Ⅰ）求证://PA 平面BDF ; （Ⅱ）求证:平面PAC ⊥平面BDF . A F P D C B

5、如图，P 为ABC ?所在平面外一点，PA ┴面BAC ，90,ABC ∠=o AE ┴PB 于E ，AF ┴PC 于F ，求证：（1）BC ┴面PAB ，（2）AE ┴面PBC ，（3）PC ┴面AEF 。 6. 如图，棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中， (1)求证：AC ⊥平面B 1D 1DB; (2)求三棱锥B-ACB 1体积． A C D 1 C 1 B 1 A 1 C D B A

7.如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点。求证：（1）PA ∥平面BDE ；（2）BD ⊥平面PAC 8、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 A E D B C

线面垂直与面面垂直垂直练习题精编版

~ 线面垂直和面面垂直线面垂直专题练习一、定理填空： 1.直线和平面垂直如果一条直线和，就说这条直线和这个平面垂直. 2.线面垂直判定定理和性质定理线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. ` 判定定理1：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么判定定理2：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么 . 线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行. 性质定理1：垂直于同一条直线的两个平面互相平行。二、精选习题： 1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题： ① M b M a b a ⊥????⊥// ②b a M b M a //????⊥⊥ ③????⊥⊥b a M a b ∥M ④?? ?? ⊥b a M a //b ⊥M . … 其中正确的命题是 ( ) A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④ 2.如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点.现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P .那么，在四面体P —DEF 中，必有 ( ) ` ⊥平面PEF ⊥平面PEF ⊥平面DEF ⊥平面DEF 3.设a 、b 是异面直线，下列命题正确的是 ( ) A.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交 B.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直】第3题图

C.过a一定可以作一个平面与b垂直 D.过a一定可以作一个平面与b平行 4.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,m α和m⊥γ,那么必有 ( ) A.α⊥γ且l⊥m B.α⊥γ且m∥β ∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥γ 5.有三个命题： ①垂直于同一个平面的两条直线平行； ②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直； ③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直、其中正确命题的个数为 ( ) .1 C 6.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题 ①若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α，其中真命题．．．的序号是 ( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 7.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的高. 求证:VC⊥AB; ~ 8.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点. (1)求证：MN∥平面PAD. % (2)求证：MN⊥CD. (3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD. \ 9.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M．

线面垂直练习题及答案

线面垂直练习题及答案线面垂直的证明中的找线技巧通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直 M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：1 如图1，在正方体ABCD?A1BC11D1中，AO?平面MBD． 1 A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A?AC?A， ∴DB⊥平面A?平面A1ACC1 ∴DB⊥AO1ACC1，而AO1． 1 323222 设正方体棱长为a，则A1O?a，MO?a． 2492222 AM?a．∵AO 在Rt△AC中，，∴AOM?OM?MO2?AM111111 4 ∩DB=O，∴ AO1⊥平面MBD．证明：连结MO， ? ．∵OM 评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．利用面面垂直寻求线面垂直如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．

因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC， AD?平面PAC，且AD⊥PC，由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC．又∵BC?平面PBC ， ∴ AD⊥ BC． ∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC．∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．．评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直?线面垂直?线线垂直．判定性质判定性质 ????线面垂直???????面面垂直．这三者一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直????? 之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当

线面垂直证明题训练

A B C P E F 线面垂直的证明方法总结:直线垂直于平面内的两条相交直线;利用面面垂直的性质;利用勾股定理逆定理; 1.如图①所示,在正方形SG 1G 2G 3中,E 、F 分别就是边G 1G 2、G 2G 3的中点,D 就是EF 的中点,现沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体(如图②使G 1、G 2、G 3三点重合于一点G),则下列结论中成立的有________(填序号). ①SG ⊥面EFG; ②SD ⊥面EFG; ③EF ⊥面ＳＧＤ; ④GD ⊥面SEF. 2.PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面,C 为圆上异于A,B 的任一点,则下列关系正确的就是________(填序号). ①PA ⊥BC;②BC ⊥平面PAC;③AC ⊥PB;④PC ⊥BC. 3.以AB 为直径的圆在平面α内,α⊥PA 于A,C 在圆上,连PB 、PC 过A 作AE ⊥PB 于E,AF ⊥PC 于F,指出图中所有线面垂直并逐一证明。 4.如图,A A 1就是圆柱的母线,AB 就是圆柱底面圆的直径, C 就是底面圆周上异于B A,的任意一点, 求证:AC A 1平面⊥BC ; 5.已知,如图正方体1111D C B A ABCD -中,求证:111A D B C A 平面⊥ 三垂线定理的运用 6.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 就是AC 的中点,在平面B 1BDD 1中,过B 1作B 1H ⊥D 1O,垂足为H, 求证:B 1H ⊥平面ACD 1。 7.已知正方形ABCD 的边长为1,.将正方形ABCD 沿对角线BD 折起,使1AC =,得到三棱锥 A —BCD ,如图所示.求证:AO BCD ⊥平面; 8.如图,在四面体SABC 中,SA=SB=SC,∠ASC=90°,∠ASB=∠BSC=60°,若O 为AC 中点,求证:SAC 平面⊥BO 9.如图,在正方体1111D C B A ABCD -中,M 为棱1CC 的中点,AC 交BD 于点O , 求证BDM 1平面⊥O A 10.在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 就是正方形, 侧面PAD ⊥底面ABCD 、求证:DC ⊥平面PAD 12、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD 。证明:AB ⊥平面VAD 线线垂直 1、如图所示,PA ⊥矩形ABCD 所在平面,M 、N 分别就是AB 、PC 的中点、求证:MN ⊥CD 、 2.如图,一四边形ABCD 的对边AB 与CD 、AD 与BC 都互相垂直,证明:AC 与BD 也互相垂直. 3、已知四面体ABCD 中,CD BD AC AB ==,,平面⊥ABC 平面BCD ,E 为棱BC 的中点。求证:BC AD ⊥ 4、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ?∠=,2,4AB AD ==将CBD ?沿BD 折起到EBD ?的位置, 使平面EDB ⊥平面ABD 。求证:AB DE ⊥ 5、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB ⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、 6.如图,边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面,BC=22,M 为BC 的中点。证明:AM ⊥PM; 7.P 为△ABC 所在平面外一点,且PA 、PB 、PC 两两垂直,则下列命题: ①PA ⊥BC;②PB ⊥AC;③PC ⊥AB;④AB ⊥BC.其中的就是 8、如图,在直四棱柱A 1B 1C 1D 1-ABCD 中,当底面四边形ABCD 满足条件时,有A 1C ⊥B 1D 1.(注:填上您认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形.) 9.如图,已知SA,SB,SC 就是由一点S 引出的不共面的三条射线,∠ASC=∠ASB=45°, ∠BSC=60°,∠SAB=90°,求证:AB ⊥SC. A B C D A 1 B 1 C 1 D 1

线面垂直练习题

例1如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面, 平面 ? 变式训练已知点P为平面ABC外一点，PA丄BC , PC丄AB，求证：PB丄AC. 例2 如图9,在正方体ABCD —A i B i C i D i中，求直线A i B和平面A i B i CD所成的角. 解：已知a// b, a丄a求证: b丄 a. 那么另一条也垂直于同一个

变式训练如图10,四面体A —BCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面DBC所成的角的正弦值. C 图10 例3如图11(1)，在直四已知 AB // DC. (1)求证：D1C 丄AC1； (2)设E是DC上一点， A1BD, 并说明理由? 棱柱ABCD —A1B1C1D1 中， DC=DD 1=2AD=2AB，AD 丄DC，试确定E的位置，使D1E //平面

D 变式训练如图12,在正方体ABCD —A i B i C i D i, G为CC i的中点, O为底面ABCD的中心. 求证：A i O丄平面GBD.

图12 1、如图，已知a 、b 是两条相互垂直的异面直线，线段 AB 与两异面直线线段AB 的长为定值 m ,定长为n (n >m )的线段PQ 的两个端点分别在 N 分别是AB 、PQ 的中点. b 垂直且相交， b 上移动，M 、

求证： (1)AB 丄MN ; (2)MN的长是定值 2、如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC —A i B i C i中, AC=3 , AB=5 , BC=4,AA i=4,点D 是AB 的中点. (1)求证：AC 丄BC i； (2)求证：AC i// 平面CDB i;