高中数学 第3章 圆锥曲线与方程检测题A 北师大版选修2

【成才之路】2014-2015学年高中数学 第3章 圆锥曲线与方程检测

题A 北师大版选修2-1

时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知双曲线x 2a 2－y 2

5

＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )

A ．31414

B ．324

C ．32

D ．43

[答案] C

[解析] 本题考查了双曲线的标准方程、焦点和离心率问题． 由双曲线的右焦点(3,0)知c ＝3，即c 2

＝9， 又c 2

＝a 2

＋b 2

，∴9＝a 2

＋5，即a 2

＝4，a ＝2.

∴离心率e ＝c a ＝3

2

.

关于双曲线标准方程的问题，首要的是判定好a 2

和b 2

，若所给方程为x 2a －y 2

5

＝1，很多

同学易出现把a 和5分别当成实半轴长和虚半轴长的错误．

2．已知椭圆x 210－m ＋y 2

m －2＝1，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于( )

A ．4

B ．5

C ．7

D ．8

[答案] D

[解析] 由题意，得m －2>10－m ，且10－m >0，于是6

，得m ＝8.

3．(2013·四川文，5)抛物线y 2

＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( ) A ．2 3 B ．2 C ． 3 D ．1

[答案] D

[解析] 由y 2

＝8x 可得其焦点坐标(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d ＝|2－3×0|12

＋－3

2

＝1.

4．若抛物线y 2

＝4x 上一点P 到焦点F 的距离是10，则P 点坐标为( )

A ．(9,6)

B ．(9，±6)

C ．(6,9)

D ．(6，±9)

[答案] B

[解析] ∵y 2

＝4x ，∴抛物线的焦点为(1,0)，准线为x ＝－1， 又∵P 到F 的距离为10，设P (x ，y )， ∴x ＋

p

2＝10，即x ＋1＝10，∴x ＝9.

∴y 2

＝36，y ＝±6，∴P 点坐标为(9，±6)．

5．如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点，若M ，

O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )

A ．3

B ．2

C ． 3

D ． 2

[答案] B

[解析] 本题考查了椭圆与双曲线中离心率e 的求法．设椭圆长轴长为2a ，则双曲线

实半轴长为2a 4＝a 2，所以离心率的比值e 1e 2＝c a

2

c

a

＝2.

对于圆锥曲线要熟练掌握椭圆和双曲线的异同点．

6．(2014·长春市期末调研)经过双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的右焦点，倾斜角为60°

的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率为( )

A ．2

B ． 3

C ． 2

D ． 5

[答案] A

[解析] 由条件知，双曲线的渐近线与此直线平行，

∴b a

＝tan60°＝3，∴b ＝3a ，代入a 2＋b 2＝c 2中得4a 2＝c 2，∴e 2

＝4，∵e>1，∴e ＝2，故选A.

7．若直线y ＝2(x －1)与椭圆x 25＋y 2

4

＝1交于A ，B 两点，则|AB |＝( )

A ．53

B ．

53 C ．553

D ．

33

[答案] C

[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝2x －1x 25＋y

2

4

＝1消去y 整理得3x 2

－5x ＝0，

∴x 1＝0，x 2＝53，∴y 1＝－2，y 2＝4

3.

∴|AB |＝

x 1－x 2

2

＋y 1－y 22

＝

5

3

5. 8．(2014·江西文)过双曲线C ：x 2a 2－y 2

b

2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线

相交于A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A 、O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线

C 的方程为( )

A ．x 24－y 2

12＝1

B ．x 27－y 29＝1

C ．x 28－y 28＝1

D ．x 2

12－y 2

4

＝1 [答案] A

[解析] 如图设双曲线的右焦点F ，右顶点B ，设渐近线OA 方程为y ＝b a

x (也可设为y ＝－b a

x )，

由题意知，以F 的半径的圆过点O ，A ， ∴|FA |＝|FO |＝r ＝4.

∵AB ⊥x 轴，A 为AB 与渐近线y ＝b a

x 的交点， ∴可求得A 点坐标为A (a ，b )．

∴在Rt △ABO 中，|OA |2

＝OB 2

＋AB 2

＝a 2

＋b 2

＝c ＝|OF |＝4，

∴在△OAF 为等边三角形且边长为4，B 为OF 的中点，从而解得|OB |＝a ＝2，|AB |＝b

＝23，

∴双曲线的方程为x 24－y 2

12

＝1，故选A.

解答本题关键是要找出A 与O 、B 、F 连线的几何关系．

9．将两个顶点在抛物线y 2

＝2px (p >0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则( )

A ．n ＝0

B ．n ＝1

C ．n ＝2

D ．n ≥3

[答案] C

[解析] 如图所示，根据抛物线定义，另外两顶点的横坐标必定相等，故关于x 轴对称，要使三角形为正三角形，需过焦点作斜率为33

和－

3

3

的直线，则△ABF 和△CDF 满足条件，综上可知n ＝2. 10．点P 在椭圆7x 2

＋4y 2

＝28上，则点P 到直线3x －2y －16＝0的距离的最大值为( ) A ．121313

B ．161313

C ．241313

D ．281313

[答案] C

[解析] 利用数形结合法，设与已知直线平行且与椭圆相切的直线为l ：y ＝3

2x ＋b ，与

椭圆方程联立消一元后，令Δ＝0可求得b ＝±4，然后求直线l 与3x －2y －16＝0的距离即得所求的最大值．

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)

11．椭圆x 24＋y 2

3＝1的两焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，使∠F 1PF 2＝90°的点P 有________

个．

[答案] 0

[解析] 设a >b >0，c ＝a 2

－b 2

，以O 为圆心，以c 为半径画圆；当c b 时，椭圆与圆有四个交点，此时满足条件的点有这四个点，这里a 2

＝4，b 2＝3，∴c ＝1，b ＝3，因此这样的点P 不存在．

12．在△ABC 中，已知|BC |＝8，则满足|sin C －sin B |＝1

2sin A 的动点A 的轨迹方程是

________．

[答案]

x 2

4

－

y 2

12

＝1(y ≠0) [解析] 由正弦定理得：

||AB |－|AC ||＝4<|BC |，据定义可得．

A 点的轨迹为双曲线(除掉顶点)

由题意知2a ＝4，∴a 2

＝4

2c ＝8，∴c 2

＝16，∴b 2

＝c 2

－a 2

＝12， ∴方程为x 24－y 2

12

＝1(y ≠0)．

13．椭圆C 1：x 24＋y 2

3

＝1的左准线是l ，左、右焦点分别是F 1、F 2，抛物线C 2的准线也是

l ，一个焦点为F 2，C 1与C 2的一个交点为P ，则|PF 2|的值等于________．

[答案] 8

3

[解析] P 是椭圆上的点，则|PF 2|e 1＝|PF 2|

1

2＝2|PF 2|＝P 到椭圆右准线的距离，P 是抛物

线上的点，

则|PF 2|＝P 到左准线l 的距离，

∴|PF 2|＋2|PF 2|＝2·a 2c ＝8，∴|PF 2|＝8

3

.

14．已知抛物线y 2

＝4x 与直线y ＝2x －4交于A 、B 两点，如果在该抛物线上存在点C ，使得OA →＋OB →＝λOC →

(O 为坐标原点)，则实数λ＝________.

[答案] 1

5

[解析] 把y ＝2x －4代入y 2

＝4x 中消去y 得，x 2

－5x ＋4＝0，∴x ＝4或1，∴两交点

A (4,4)，

B (1，－2)．

设点C ⎝ ⎛⎭

⎪⎫y 2

34，y 3，因为OA →＋OB →＝λOC →，

所以(5,2)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2

34，y 3，所以⎩⎪⎨

⎪⎧

λ4y 23＝5λy 3＝2

，得λ＝1

5

.

15．(2013·辽宁理，15)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直

线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝4

5，则C 的离心率e

＝________.

[答案] 5

7

[解析] 本题考查椭圆的几何性质，解三角形问题． 在△ABF 中，由余弦定理得，

cos ∠ABF ＝|AB |2

＋|BF |2

－|AF |2

2|AB |·|BF |

，∴|BF |2

－16|BF |＋64＝0，∴|BF |＝8，设右焦点为

F 1，

因为直线过原点，∴|BF 1|＝|AF |＝6， ∴2a ＝|BF |＋|BF 1|＝14，∴a ＝7， ∵O 为Rt △ABF 斜边AB 的中点， ∴|OF |＝12|AB |＝5，∴c ＝5，∴e ＝5

7

.

三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．已知中心在坐标原点的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程；

(2)若平行于OA 的直线l 与椭圆有公共点，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围．

[解析] (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1，代入点A (2,3)，4a 2＋9a 2－4

＝1，解得a 2

＝16.

∴椭圆方程为x 216＋y 2

12

＝1.

(2)设直线l 的方程y ＝32x ＋b ，代入x 2

16＋y

2

12＝1，

得3x 2

＋3bx ＋b 2

－12＝0，Δ＝(3b )2

－12(b 2

－12)≥0， ∴－43≤b ≤4 3.

17．已知圆C ：x 2

＋(y －3)2

＝9，过原点作圆C 的弦OP ，求OP 中点Q 的轨迹方程． [分析] 关键是寻找Q 点满足的几何条件，可以考虑圆的几何性质，如CQ ⊥OP ，还可考虑Q 是OP 的中点．

[解析] 解法一：(直接法)

如图，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°. 设Q (x ，y )，由题意，得|OQ |2

＋|QC |2

＝|OC |2

， 即x 2

＋y 2

＋[x 2

＋(y －3)2

]＝9， 所以x 2

＋(y －32)2＝94(去掉原点)．

解法二：(定义法)

如图所示，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°，则Q 在以OC 为直径的圆上，故Q

点的轨迹方程为x 2

＋(y －32)2＝94

(去掉原点)．

解法三：(代入法)

设P (x 1，y 1)，Q (x ，y )，由题意得，

⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝x

12，y ＝y 1

2，

即⎩

⎪⎨

⎪⎧

x 1＝2x ，

y 1＝2y .

又因为x 2

1＋(y 1－3)2

＝9， 所以4x 2

＋4(y －32)2＝9，

即x 2

＋(y －32)2＝94

(去掉原点)．

18．(2014·云南景洪市一中期末)设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2

＋y 2

b

2＝1(0

焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．

(1)求|AB |.

(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．

[解析] (1)求椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝4

3.

(2)l 的方程式为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2

，

设A (x 1，y 1)，B (x 1，y 1)，则A 、B 两点坐标满足方程组⎩

⎪⎨⎪

⎧

y ＝x ＋c ，x 2＋y 2

b 2＝1，

消去y 化简得(1＋b 2

)x 2

＋2cx ＋1－2b 2

＝0. 则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b

2

1＋b

2.

因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|， 即4

3＝2|x 2－x 1|. 则89＝(x 1＋x 2)2

－4x 1x 2 ＝41－b

2

1＋b

2

2－

41－2b

2

1＋b

2

＝8b 4

1＋b

2， 解得b ＝

22

.

19．已知抛物线C ：y 2

＝4x 的焦点为F ，过点K (－1,0)的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .

(1)证明：点F 在直线BD 上； (2)设FA →·FB →＝8

9

，求直线l 的方程．

[解析] 设直线l 与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则点D 的坐标为(x 1，－y 1)，由题意得l 的方程为x ＝my －1(m ≠0)．

(1)证明：将x ＝my －1代入y 2

＝4x 并整理，得y 2

－4my ＋4＝0， 从而y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4. ①

直线BD 的方程为y －y 2＝

y 2＋y 1

x 2－x 1

·(x －x 2)， 即y －y 2＝4y 2－y 1·(x －y 2

2

4)．

令y ＝0，得x ＝

y 1y 2

4

＝1.

所以点F (1,0)在直线BD 上． (2)由①，知

x 1＋x 2＝(my 1－1)＋(my 2－1)＝4m 2－2， x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝1.

因为FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →

＝(x 2－1，y 2)，

所以FA →·FB →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4＝8－4m 2

， 故8－4m 2

＝89，解得m ＝±43

.

所以l 的方程为3x ＋4y ＋3＝0,3x －4y ＋3＝0.

20．(2014·新课标Ⅰ理)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3

2，

F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为

23

3

，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；

(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． [解析] (1)设F (c,0)， 由条件知，2c ＝23

3，得c ＝ 3.

又c a ＝

32

，所以a ＝2，b 2－a 2－c 2

＝1.

故E 的方程为x 2

4＋y 2

＝1.

(2)当l ⊥x 轴时不合题意，

故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 将y ＝kx －2代入x 2

4＋y 2

＝1得

(1＋4k 2

)x 2

－16kx ＋12＋0. 当Δ＝16(4k 2

－3)>0， 即k 2

>34时，x 1,2＝8k ±24k 2

－34k 2

＋1

从而|PQ |＝k 2

＋1|x 1－x 2|

＝k 2＋1·4k 2－34k 2

＋1

. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝

2

k 2＋1

，

所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2

－3

4k 2

＋1. 设4k 2

－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝

4t t 2

＋4＝4

t ＋

4

t

. 因为t ＋4

t

≥4，当且仅当t ＝2，

即k ＝±

7

2

时等号成立，且满足Δ>0. 此时S △OPQ max ＝1，

所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为

y ＝

72x －2或y ＝－7

2

x －2. 21．已知椭圆C 1：x 2

4＋y 2

＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．

(1)求椭圆C 2的方程；

(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →

，求直线AB 的方程．

[解析] (1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 2

4

＝1(a >2)，

其离心率为32，故a 2

－4a ＝3

2

，则a ＝4，

故椭圆C 2的方程为y 216＋x 2

4

＝1.

(2)解法一：设A ，B 两点的坐标分别为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB →＝2OA →

及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上， 因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .

将y ＝kx 代入x 2

4＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2

＝4，

所以x 2

A ＝41＋4k

2，

将y ＝kx 代入y 216＋x 2

4＝1中，得(4＋k 2)x 2

＝16，

所以x 2

B ＝164＋k 2，

又由OB →＝2OA →得x 2B ＝4x 2

A ， 即

164＋k 2＝161＋4k

2， 解得k ＝±1，

故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .

解法二：设A ，B 两点的坐标分别为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB →＝2OA →

及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上， 因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .

将y ＝kx 代入x 2

4＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2

＝4，

所以x 2

A ＝41＋4k

2，

由OB →＝2OA →得x 2B ＝161＋4k 2，y 2

B ＝16k 2

1＋4k 2，

将x 2

B ，y 2

B 代入y 216＋x 2

4＝1中，得4＋k

2

1＋4k

2＝1，

即4＋k 2＝1＋4k 2

，解得k ＝±1. 故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .