高中数学_椭圆及标准方程教学设计学情分析教材分析课后反思

2.1.1椭圆及其标准方程（一）

一、教材分析

本节课是新课标人教版选修1-1第二章《圆锥曲线方程》的第一节课，主要学习椭圆的定义和标准方程.它是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识.这一节课是在高一学完圆及其标准方程的基础上，将研究曲线的方法拓展到椭圆，又是继续学习椭圆的几何性质的基础；同时还为后面学习双曲线和抛物线作好准备.因此本节内容起到一个承上启下的重要作用.

二、学情分析

1.在学习本节内容以前，学生已经学习了直线和圆的方程，初步了解了用坐标法求曲线的方程及其基本步骤，经历了动手实验、观察分析、归纳概括、建立模型的基本过程，这为进一步学习椭圆及其标准方程奠定了基础。

2.经过两年的高中学习，学生的计算能力、分析解决问题的能力、归纳概括能力、建模能力都有了明显提高，使得进一步探究学习本节内容成为可能。但是，在本节课的学习过程中，椭圆定义的归纳概括、方程的推导化简对学生是一个考验，可能会有一部分学生探究学习受阻，教师要适时加以点拨指导。

三、教学目标分析

根据教学大纲的要求，教材的具体内容和学生的认知心理，确定教学目标如下：

1、知识与技能目标：理解椭圆的定义及有关概念；明确椭圆的标准方程的形式，能区分椭圆的焦点在X轴与Y轴上的不同；掌握椭圆的标准方程的概念，能够根据给定的条件求椭圆的标准方程.

2、过程与方法：通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力，注重掌握运用解析法研究几何的一般方法，注重动手能力、探索能力的培养。

3、情感态度与价值观：通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神，同时培养学生运动、变化和对立统一的观点.以“嫦娥1号”月球探测卫星的运动轨迹的视频演示，引入新课，激发学生学习数学的兴趣，增强学生的数学应用意识、创新意识，扩展学生的数学视野，并让学生受到爱国主义思想的教育，使之逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值.

四、学情分析与学法指导

学情分析：在学生已学习了圆的定义及其标准方程和掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念之后，学习椭圆定义及其标准方程，符合学生的认知规律，学生有能力学好本节内容. 学法指导：改变学生的学习方式是高中课改追求的基本理念。遵循以学生为主体，教师为主导，发展为主旨的现代教育原则。本设计笔者采用了以问题的提出、问题的解决为主线，始

终在学生知识的“最近发展区”设置问题；以学生主动探索、积极参与、共同交流与协作为主体，在教师的引导下，学生“跳一跳”就能摘得果实；于问题的分析和解决中实现知识的建构和发展.通过不断探究、发现，让学生的学习过程成为心灵愉悦的主动过程，使师生的生命力在课堂上得到充分的发挥.

五、教学重点、难点及其解决办法

教学重点：椭圆的定义及椭圆标准方程，用待定系数法和定义法求曲线方程. 解决办法：采用了循序渐进、逐层推进的方法. 教学难点：椭圆标准方程的建立和推导.

解决办法：为突破难点，在设计中通过课堂精心设问.

①教师问：化简含有根号的式子时，我们通常有什么方法？ ②教师问：对于本式是直接平方好呢还是恰当整理后再平方？ 六、教学方法与教学手段

教学方法：为了使学生更主动地参加到课堂教学中，培养他们的能力，发展他们的“最近发展区”，以及为了实现本课的教学目标，本课采用探究式教学法即教师通过“问题诱导→实验探究→探索结果”， 引导学生“直接观察——归纳抽象——总结规律”的一种研究性教学方法. 使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力. 教学手段：多媒体辅助教学、动手实验.

教学准备:课件（包括PPT 课件、视频、几何画板课件）、准备几副画椭圆工具（每副包括一块木板、两颗图钉、一根细绳，一张白纸）.

七、教学过程

(一) 创设情景，提出课题

提出问题:2007年10月24日是全中国人感到骄傲和自豪的日子,这一天在中国发生了什么震惊世人的事件？中国人终于实现了什么梦想？请问嫦娥1号月球探测卫星的运行轨道是什么？

创设情景:情境1: 视频演示我国2007年10月24日发射嫦娥1号探月卫星运行的轨迹,并用几何画板演示行星运行轨迹.

情境2:生活中,你见过哪些类似椭圆的图形或物体? (教师用多媒体演示)

学生思考：椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？ （二）实验探究，形成概念

1、动手实验：学生分组动手画出椭圆. 实验探究：

(1)固定一条细绳的两端,用笔尖将细绳拉紧并运动,在纸上你得到了怎样的图形? (2)如果调整1F 、2F 的相对位置,细绳的长度不变,猜想你的椭圆会发生怎样的变化? 思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹？ 2、 引导学生概括椭圆定义

椭圆定义：平面内与两个定点1F 、2F 距离的和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫

M 2F 1

F

椭圆.

教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距. 深化概念: (通过flash 动态演示加深学生对椭圆定义的理解)

注：1、平面内.

2、若||||||2121F F PF PF >+，则点P 的轨迹为椭圆; 若|F F ||PF ||PF |2121=+，则点P 的轨迹为线段; 若|F F ||PF ||PF |2121<+, 则点P 的轨迹不存在. 思考：焦点为1F 、2F 椭圆上任一点M ，有什么性质？ 令椭圆上任一点M ，则有)22(22121F F c a a MF MF =>=+

（三）研讨探究，推导方程

1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程:

(1)求曲线方程的一般步骤是什么？ (2)建立坐标系的一般原则有哪些？

学生围绕两问思考、讨论可得：求曲线方程的一般步骤——建系设点、写出点集、列出方程、化简方程、证明（可省略）；建系的一般原则为：使已知点的坐标和曲线的方程尽可能简单，即原点取在定点或定线段的中点，坐标轴取在定直线上或图形的对称轴上，充分利用图形的对称性.

[设置依据]让学生明确思维的目的，通过复习旧知，为下一步学习搭桥铺路. 2、研讨探究

问题：如图已知焦点为1F 、2F 的椭圆，且21F F =2c,对椭圆上任一点M ，有

a MF MF 221=+，尝试推导椭圆的方程。

思考:怎样建立坐标系，才能使求出的椭圆方程最为简单？ 通过前面知识的回忆，学生思考、相互交流，很容易选定下列两种方案，由各组学生自己完成设点、列式、化简.

方案一 方案二

M

2

F

1F

(1)建系设点：以两定点1F 、2F 的连线为x 轴，以线段1F 、2F 的垂直平分线为y 轴，建立坐标系，如图1

设M (x ，y )为椭圆上任意一点，| F 1、F 2 |=2c (c >0) ，则有F 1（－c 、0）、F 2 (c 、0)，又设M 与F 1、M 与F 2的距离的和等于常数)0(2>a a .

[设置依据]因为正确选取坐标系是解析几何解题的基本技巧之一，故设计目的是为了着重培养学生这方面的能力.

(2)写出点集：让学生利用两点的距离公式，根据椭圆定义列出：

{}

a MF MF M P 221=+=

(3)列出方程：a y c x y c x 2)()(2222=+-+++

到此为止，学生以为椭圆的方程已求出，此时教师可以指出:为了更进一步利用方程探讨椭圆的其他性质需要尽量简化方程形式，使数量关系更加明朗化.

(4)化简方程：学生对含有两个根式之和的等式进行化简有一定困难，教师可采用以下方法突破难点：首先让学生明确，含根号的等式化简的目的就是要去掉根号，变无理式为有理式；其次复习含有一个根式的等式的化简方法——将根式放在等式的一边，其它项移到等式另一边，两边平方可去掉根号；有了这一基础，可启发学生，化简含两个根式之和的等式，只要将两个根式分别放在等号两边，其中一边只含一个根式，平方一次后即可转化为只含一个根式的化简问题.

教师引导学生化简，得到)()(2

2

2

2

2

2

2

2

c a a y a x c a -=+-，指出：此方程形式还不够简捷，还有变形的必要.

思考：观察图形能找出图形中a 、c 所表示的线段及其关系吗？

先简化.0,,2

2

2

2

>-∴>-c a c a c a 令),0(2

2

2

>=-b b c a 则方程变为

222222b a y a x b =+，联想到直线截距式方程，两边同时除以22b a 得

)0(122

22>>=+b a b

y a x 教师指出方程)0(122

22>>=+b a b

y a x 叫做椭圆的标准方程.此时椭圆的焦点在x 轴上，

)0,(1c F -、),(2o c F ，这里222b a c -=.

(5)证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点，一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，此步可以省略.如有特殊情况，应给出说明.

另外步骤(2)也可省略，直接列出曲线的方程.

[设置依据]再一次体现解析几何的基本思想，即用代数方法研究几何问题.在解决解析几何问题中，熟练运用代数变形技巧是十分重要的，学生常因运算能力不强而功亏一篑，故在此，教师不失时机地加强了运算技能的训练.

按方案一建立坐标系，师生研讨探究得到椭圆标准方程:

)0(122

22>>=+b a b

y a x ，其中)0(222>-=b c a b ；

如图２,如果焦点F 1、F 2在y 轴上，并且点O 与线段F 1、F 2 的中点重合，a 、b 、c 的

意义同上，椭圆的方程形式又如何呢？

学生相互讨论、交流，合情猜想，动手验证可得：)0(122

22>>=+b a b

y a x

指出：方程)0(122

22>>=+b a b

x a y 叫做椭圆的标准方程.此时椭圆的焦点在y 轴上，焦

点是),0(1c F -、),,0(2c F ，这里222b a c -=

选定方案二建立坐标系，由学生完成方程化简过程，可得出22a y +22

b x =1，同样也有

)0(222>=-b b c a

教师指出：我们所得的两个方程22a x +22b y =1和22a

y +22

b x =1（0>>b a ）都是椭圆的标

准方程。（建系过程通过几何画板动态演示）

[设置依据] 该问的设置，一方面是为了得出焦点在y 轴上的椭圆的标准方程；另一方面通过学生的猜想，充分发挥学生的直觉思维和数学悟性.调动了学生学习的主动性和积极性，通过动手验证，培养了学生严谨的学习作风和类比的能力. （四）归纳概括，方程特征

1、 观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳

（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴； （2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1； （3）椭圆标准方程中三个参数c b a ,,关系：222c a b -=)0(>>b a ； （4）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定； （5）求椭圆标准方程时，可运用待定系数法求出b a ,的值.

为了让学生加深对椭圆的两种标准方程的理解，下面举例，巩固练习. （五）例题研讨，变式精析

例题1、判断下列椭圆焦点在哪个轴上，并求焦点坐标。

2438)3(22=+y x

练习：判断下列椭圆焦点在哪个轴上，并求焦点坐标。

1441625)4(142)3(116925)2(11228)1(22222222=+=+=+=+y x y x y x y x

例题2、根据下列条件求椭圆的标准方程

1,3轴上，焦点在)1(==

b a x

3,5轴上，焦点在)2(=

=

b a y

（3）两个焦点的坐标分别为（-3,0）,（3,0）,椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于8；

（4）两个焦点的坐标分别为（0,-4）,（0,4）,并且椭圆经过点5,3(-

）

. 练习：

12436)1(22=+y x 136

24)2(22=+y x

轴上；焦点在轴上焦点在y c b x c a ,3,2)2(;

,17,5)1(===

=

（3）焦点坐标为(-5,0)和(5,0)，椭圆上一点与两焦点的距离的和是26.

（4）);5,6(，且经过点)32,0(和)32,

0(焦点坐标为--

（六） 小结提问

1、本节课学习的主要知识是什么?你学会了哪些数学思想与方法? 椭圆的定义

2

（七）布置作业：

1、课本p46 A 组 1. 2 . （1）、 （2）、 （3）.

2、探究椭圆标准方程的其它推导方法.

3、思考题：已知直线l 经过椭圆C

的一个焦点1F ,且与椭圆C 交于A 、B 两点，求2ABF ∆

的周长.

情分析

1.在学习本节内容以前，学生已经学习了直线和圆的方程，初步了解了用坐标法求曲线的方程及其基本步骤，经历了动手实验、观察分析、归纳概括、建立模型的基本过程，这为进一步学习椭圆及其标准方程奠定了基础。

2.经过两年的高中学习，学生的计算能力、分析解决问题的能力、归纳概括能力、建模能力都有了明显提高，使得进一步探究学习本节内容成为可能。但是，在本节课的学习过程中，椭圆定义的归纳概括、方程的推导化简对学生是一个考验，可能会有一部分学生探究学习受阻，教师要适时加以点拨指导。

效果分析

教材分析

圆锥曲线是高中数学中十分重要的内容，它的许多几何性质在日常生活、生产和科学技术中都有着广泛的应用。本节是《圆锥曲线与方程》的第一节课，主要学习椭圆的定义和标准方程。它是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识，原因如下：

第一，在教材结构上，本节内容起到一个承上启下的重要作用。前面学生用坐标法研究了直线和圆，而对椭圆概念与方程的研究是坐标法的深入，也适用于对双曲线和抛物线的学习，更是解决圆锥曲线问题的一种有效方法。

第二，对椭圆定义与方程的研究，将曲线与方程对应起来，体现了函数与方程、数与形结合的重要思想。而这种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习。

第三，对椭圆定义与方程的探究过程，使学生经历了观察、猜测、实验、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，加强了运算能力，提高了他们提出问题、分析问题、解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础。

评测练习

1、求下列方程表示的椭圆的焦点坐标

（1）

2212812x y += （2）22

4912525

x y +=

（3）2

2

241x y += （4）22

2516144x y +=

2、 写出下列条件下的椭圆的标准方程：

（1）1a b ==，焦点在x 轴上；

（2）5,a c ==y 轴上；

（3）3,b =经过点（0，-4），焦点在y 轴上；

（4）焦点为(0,(0,-和，且经过点(

课后反思

本节课的重点是椭圆的定义及标准方程的推导，难点是标准方程推导过程中的建系过程和方程化简过程。

在椭圆定义的教学中我充分运用多媒体演示及课堂学生的动手试验来引出椭圆定义，形象直观，利于学生接受。

标准方程的推导是本节的难点，为突破这一难点，我采用启发式教学。师生一起共同完成推导过程。

例题的处理采取讲练结合的教学方法，锻炼了学生的解题能力。

本节课教学设计符合学生实际，教学过程循序渐进，很好地完成了教学任务，但也小有遗憾，本节的教学遗憾之处是课堂气氛不够活跃，未能兼顾到成绩较差同学。

课标分析

在必修课程学习平面解析几何初步的基础上，在本模块中，学生将学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想。课程标准对本节的定位是掌握椭圆的定义及标准方程。根据课程标准的对本章和本节课的要求对椭圆定义与方程的研究，本节课的教学应该将曲线与方程对应起来，体现了函数与方程、数与形结合的重要思想。而这种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习。为此确定以下教学目标。

（1）、知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，通过对椭圆标准方程的探求，熟悉求曲线方程的一般方法。

（2）、能力目标：通过对椭圆的认识及其方程的推导，培养学生的分析、探究、抽象、概括等逻辑思维能力，加强用坐标法解决圆锥曲线问题的能力。

（3）、情感目标：通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣，提高学生审美情趣，培养学生勇于探索的精神。

教学目标确立的依据：知识的学习和能力的培养是同步的，本课在教学中要学生同桌合作画椭圆，通过画去探究椭圆的条件、归纳椭圆的定义，符合新课程所追求的"以知识为载体、注重学生的能力、良好的意志品质及合作学习的精神培养"的一个重要教学理念。