椭圆及其标准方程
8.1椭圆及其标准方程
青海昆仑中学李庆
一、概述：
“椭圆及其标准方程”一节课是人教版《高中数学》第二册（上）的重要内容。共三课时完成，本节为第一课时。重点为椭圆的定义和标准方程，难点为椭圆标准方程的推导。高中数学学科课程标准对椭圆的定义和标准方程达到“掌握”的层次，即在对有关概念有理性的认识，能用自己的语言进行叙述和解释，了解它们与其他知识联系的基础上，通过训练形成技能，并能作简单的应用。通过本节学习，学生一方面认识到一般椭圆与圆的区别与联系，另一方面学生类比椭圆的研究过程和方法，为学习双曲线、抛物线奠定基础。
二、教学目标分析：
（一）知识与技能：
1.观察椭圆的形成过程,探索椭圆的定义。
2.能够动手模仿实验，演绎归纳出椭圆的定义。
3.复习曲线的方程的求解方法，探索并写出椭圆的标准方程的推导过程。
4。通过练习及例题的解决，能正确运用椭圆的定义及标准方程解题。
（二）过程与方法：
1.通过观察彗星的运行轨道,感知椭圆的形状.
2.通过分组动手实验的过程，发现椭圆的定义,提升探索知识的能力。
3.模仿求曲线的方程的方法,能够根据椭圆的定义,写出椭圆的标准方程的推导过程,学会对知
识的迁移。
4.通过对例题和练习的解决,理解和掌握椭圆的定义及标准方程.
5.通过对椭圆定义及标准方程的推导过程的总结，学会对数学定义的抽象概括.
(三)情感态度与价值观：
1.感受椭圆定义的探索过程，形成良好的思维品质。
2.通过椭圆标准方程的推导,形成大胆创新、敢于求异学习品质。
3.通过分组讨论，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。形成良好的与人合作的
交往品质。
三、学习者特征分析：
本节课的学习者特征分析主要是根据文理科分班的期末统考成绩和教师对学生经过一学期的教学实践而做出的：
1.学生是青海昆仑中学高二年级的学生.
2.班级容量较大，女生多男生少.对事物的观察认真、仔细,但动手操作实验能力较弱。
3.猜想演绎推理和归纳的能力较弱,运用已知知识探索未知知识的意识较弱。
4.思维的广阔性、敏捷性、结密性、灵活性也比较欠缺。
5.自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步加强和引导。
6.已经学习了圆的标准方程，对圆锥曲线的初步有了一定的了解，可类比圆的研究过程和方法学习椭圆的定义及其标准方程。
7.对电脑多媒体的辅助教学比较熟悉,也比较感兴趣.。
四、教学策略选择与设计
（1）演示实验策略：学生通过观察演示实验，促进思维的深层次加工,提高课堂参与度；
（2）模仿激趣策略：通过自己与同桌协作模仿教师的演示实验，归纳总结椭圆的定义，有效激发学生学习的兴趣和求知欲，创设宽松活泼的课堂教学气氛，维持学生学习的动机；
（3）情境迁移策略：在完成课标要求的基础上，通过设置与椭圆的定义及标准方程与紧密联系的问题情境，巩固提高学生运用椭圆的定义及标准方程解决问题的能力。
彗星
太阳P
F 2
F 1五、教学资源与工具设计
教学资源与工具包括两个方面：一是为支持教师教的资源；二是支持学生学习的资源和工具，包括学习的环境、多媒体教学资源、特定的参考资料、参考网址、认知工具以及其他需要特别说明的传统媒体。
如果是其他专题性学习、研究性学习方面的课程，可能还需要描述需要的人力支持及可获得情况。
六、教学过程
一、复习引入：
1．1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月
中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测
3000年后,它还将光临地球上空 1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文
现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运
行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长
（说明椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用，指出研究椭圆的重要性和必要性，从而导入本节课的主题）
2．ppt 演示彗星运行的轨道:学生观察。
3.学生两人一组操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在课桌上的21,F F 两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉紧，使笔尖在课桌上慢慢移动，就可以画出一个椭圆 问题：（1）轨迹上的点是怎么来的？
（2）在这个运动过程中，什么是不变的？
二、讲解新课： 1 椭圆定义：
平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定
点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：
（1）两个定点---两点间距离确定
（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定
思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（→线段） 在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→圆） 由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫) 2.根据定义推导椭圆标准方程：
取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴
设),(y x P 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c 2（0>c ）.
则)0,(),0,(21c F c F -，又设M 与21,F F 距离之和等于a 2(c a 22>)（常数）
{}a PF PF P P 221=+=∴
P
y
221)(y c x PF ++= 又，
a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴，
化简，得 )()(22222222c a a y a x c a -=+-，
由定义c a 22>,02
2>-∴c a
令2
22b c a =-∴代入，得 222222b a y a x b =+，
两边同除2
2
b a 得 122
22=+b
y a x
此即为椭圆的标准方程
它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程 其中
222b c a +=
注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程
如果椭圆的焦点在y 轴上（选取方式不同，调换y x ,轴）焦点则变成
),0(),,0(21c F c F -,只要将方程122
22=+b
y a x 中的y x ,调换，即可得
122
22=+b
x a y ，也是椭圆的标准方程 理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在
12222=+b y a x 与122
22=+b x a y 这两个标准方程中，都有0>>b a 的要求，如方程),0,0(12
2n m n m n y m x ≠>>=+就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式1=+b y a x 类比，如122
22=+b
y a x 中，由于b a >，所以在x 轴上的“截距”更大，因而焦
点在x 轴上(即看2
2,y x 分母的大小)
三、讲解范例：
例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离 之和等于10；
P
F 2F 1
x
O y
⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-
,2
5） 解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为
122
22=+b
y a x )0(>>b a
9
454
,582,10222222=-=-=∴==∴==c a b c a c a
所以所求椭圆标准方程为
19
252
2=+y x ⑵ 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为
12
2
22=+b x a y )0(>>b a 由椭圆的定义知，
22)22
5()23(2++-=a ＋22)225
()23(-+-
102
1
1023+=
102= 10=∴a 又2=c
6410222=-=-=∴c a b
所以所求标准方程为
16
102
2=+x y 另法：∵ 42
222-=-=a c a b
∴可设所求方程14
2
2
22=-+a x a y ，后将点（23-,25）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程
点评：题（１）根据定义求 若将焦点改为(0,-4)、（0，4）其结果如何；
题（２）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程 四、课堂练习：
1 椭圆
19
252
2=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ）
A.5
B.6
C.4
D.10
2.椭圆
1169
252
2=+y x 的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0)
3.已知椭圆的方程为
1822
2=+m
y x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（ ） A.228m - B.2m -22 C.282-m D.222-m 4.1,6==c a ,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是
参考答案：
1.A
2.C
3.A
4.
135
362
2=+x y 五、小结 ：本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点: ①椭圆的定义中, 022>>c a ；
②椭圆的标准方程中,焦点的位置看x ,y 的分母大小来确定； ③a 、b 、c 的几何意义 六、课后作业：
分层作业：必做题（1）课本P 106.练习1 、2、3、4
（2）选做题:
1。已知E 、 F 是14
22
=+y x 椭圆的两个焦点，P 是椭圆上的动点，则EF PE .的最大值是( ) A. 1 B 2 C 3 D 4
2.设椭圆1C 的方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x ，曲线2C 的方程为x y 1=，且曲线1C 与2C 在第一象
限内只有一个公共点P,
(1)试用a 表示点P 的坐标
(2)设A 、B 是椭圆1C 的两个焦点，当a 变化时，求∆ABP 的面积函数S(a)的值域。 课后回顾与反思：
课堂上要注重学生的实际操作，包括椭圆的形成以及椭圆标准方程的推导，这对加深学生对椭
圆的定义以及a ，b ，c 的理解，有着相当重要的意义。此外，椭圆标准方程的推导，也可使学生进一步掌握求曲线的一般方法，渗透数形结合和等价转化思想，提高运用直角坐标系法解决几何问题的能力，真正能使学生通过自主的思考形成自己独立的观点。
开始
问题情景1 ppt
动手模仿实验问题1 问题2
指导ppt
探究椭圆的
定义
指导ppt
推导椭圆的标
准方程
应用指导ppt
是否达到教学目标
练习指导ppt
小结指导ppt
结束
解析几何专题1椭圆方程知识点及椭圆标准方程
高考数学-椭圆知识点 一、椭圆的定义： （1）第一定义:平面内与两定点F2距离和等于常数2a （大于）的点的轨迹叫做椭圆 （2）第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e,当0 e 1时，点的轨迹是椭圆?椭圆上一点到焦点的距离可以转化为到准线的距离? 椭圆定义的表达式：PF, PF22a 2a F,F20 ;M P| PF, PF22a, 2a F,F20 . 二、椭圆方程 1?椭圆的标准方程： 2 2 2 2 焦点在x轴:冷占1a b 0 ；焦点在y轴:吿x21 a b 0 . a b a b a是长半轴长，b是短半轴长，即焦点在长轴所在的数轴上，且满足a2 b2 c2. 2. Ax2 By2 CA、B、C均不为零，且AB表示椭圆的条件为： Ax2 By2. x2y21 C C，C C . A ~B 所以只有A、B、C同号，且A B时，方程表示椭圆； 当 C C时，椭圆的焦点在x轴上； A B 当 C C时，椭圆的焦点在y轴上. A B 2 2 三、椭圆的几何性质（以笃笃1a b 0为例） a b 1. 有限性：x a, y b说明椭圆位于直线x a和y b所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题.
2. 对称性:关于原点、x轴、y轴对称。 3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个：A a,0、A2 a,0、B“ 0, b、B2 0,b .
4. 长轴、短轴、焦距： A .A 2叫椭圆的长轴，A A 2a, a 是长半轴长; B 1B 2叫椭圆的短轴，BB 2 2b,b 是短半轴长. F 1F 2叫椭圆的焦距；为2c. 5. 离心率 （1） 椭圆焦距与长轴的比e - a 2 2 2 （2） Rt OB 2F 2, B 2F 2 OB 2 OF 2 ，即a 2 b 2 c 2.这是椭圆的特征三角形，并且 cos OF 2B 2的值是椭圆的离心率. （3） 椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关 .当e 接近于1时，c 越 接近于 a ，从而 b .a 2 c 2越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0，从而b 、、a 2 c 2 越大，椭圆越接近 圆。 7.设F i 、F 2为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，当P 、F 「F 2三点不在同一直线上时, P 、Fp F 2构成了一个三角形一一焦点三角形.依椭圆的定义知：|PF 1 |PF 2 2a,|F 1F 』2c. 6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦） 2b 2 a
椭圆及其标准方程
第一节 椭圆 1．椭圆的定义 (1) 第一定义：|)|2(2||||2121F F a a PF PF >=+ （21,F F 为焦点，c F F 2||21=为焦距） 注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是 ． ②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在． （2）第二定义： )10(,||<<=e e d PF 注：第二定义中焦点与准线应对应 2．椭圆的标准方程（中心在原点，对称轴为坐标原点）(1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：1 2 22 2=+b y a x ，其中( > >0，且= 2 a ) (2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是 1 2 22 2=+b x a y ，其中a ，b 满足： ． 说明：（1）焦点在22,y x 分母大的对应的坐标轴上； （2）222c b a +=及c b a ,,的几何意义 （3）标准方程的统一形式：),0,0(12 2 n m n m ny mx ≠>>=+ 适用于焦点位置未知的情形 （4）参数方程：?? ?==θ θ sin cos b y a x 3．椭圆的几何性质(对1 2 22 2=+ b y a x ,a > b >0进行讨论) (1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤ (2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ． (3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ； (4) 离心率：=e ( 与 的比)，∈e ，e 越接近1，椭圆越 ；e 越接近0，椭圆越接近于 ． (5) 椭圆的准线方程为 ．【课前预习】 1．若方程 11 32 2 =-+ -k y k x 为焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是_______________ 2．已知椭圆的长轴长是8，离心率是4 3，则此椭圆的标准方程是_____________ 3．若椭圆 12 2 2 =+ m y x 的离心率为2 1，则实数=m ______ 4．已知21,F F 为椭圆14 2 2 =+y x 的左、右焦点，弦AB 过1F ，则AB F 2?的周长为______8 5．已知椭圆 12 16 2 2 y x + =1的左、右焦点分别为F 1、F 2，M 是椭圆上一点，N 是MF 1的中点，若6||2=MF ，则 |ON|的长等于 .1 【例题讲解】 例1：根据下列条件求椭圆方程 （1）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P （3，0），求椭圆的方程； （2）中心在原点的椭圆，一条准线方程为5=y ，且它的离心率5 5= e ； （3）已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为5 3 4和 5 3 2，过P 作长轴的垂 线恰好过椭圆的一个焦点；
椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程 学科：数学 教学内容：椭圆及其标准方程 【基础知识精讲】 1.椭圆的定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 注意：定义中的常数用2a 表示，｜F 1F 2｜用2c 表示，当2a ＞2c ＞0时，轨迹为椭圆，当2a=2c 时，轨迹为线段F 1F 2；当2a ＜2c 时，无轨迹.如此，椭圆轨迹一定要有2a ＞2c 这一条件.另外，应用定义来求椭圆方程或解题时，往往比较简便. 2.椭圆的标准方程 当焦点在x 轴上时：22a x +22 b y =1(a ＞b ＞0) 当焦点在y 轴上时：22a y +22 b x =1(a ＞b ＞0) 注意：(1)三个量之间的关系：a 2 =b 2 +c 2 (2)由x 2,y 2的分母大小确定焦点在哪条坐标轴上，x 2的分母大，焦点就在x 轴上，y 2 的分母大，焦点就在y 轴上. (3)在方程Ax 2+By 2 =C 中，只有A 、B 、C 同号时，才可能表示椭圆方程. (4)当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有标准形式. 本节学习方法： 1.求椭圆方程常用待定系数法，定义法，参数法，轨迹法等. 2.利用椭圆的定义和标准方程解决有关问题，一样都转化成某些数值的确定，而这些数值的确定可通过列方程，解方程去解决. 【重点难点解析】 同学们学习“椭圆”应与学习“圆”一样，遵循渐近性，逻辑性.注重数形结合，要紧把握椭圆的定义及其标准方程，需要大伙儿学习本节时，先复习求曲线方程的方法，进行反复的再摸索，再分析再明白得. 例1 求与椭圆92x +4 2 y =1共焦点，且过点M(3，-2)的椭圆方程. 解法一：(待定系数法)由已知椭圆方程92x +42y =1得C 2 =9-4=5，且焦点在x 轴上，设 所求椭圆方程为22a x +5 22 a y =1 又∵点M(3，-2)在椭圆上
高二椭圆知识点总结
椭圆 一．椭圆及其标准方程 1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数 () 212F F a >的点的轨 迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a ，2a ＞|F1F2|=2c}； 这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。 （ 2 12F F a =时为线段21F F ， 2 12F F a <无轨迹）。 2．标准方程： 222c a b =- ①焦点在x 轴上：122 2 2=+b y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F （±c ，0） ②焦点在y 轴上：122 2 2=+b x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F （0, ±c ） 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：22 1 x y m n += 或者 mx2+ny2=1 二．椭圆的简单几何性质： 1.范围 （1）椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0） 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b （2）椭圆122 2 2=+b x a y （a ＞b ＞0） 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a 2.对称性 椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点 （1）椭圆的顶点：A1（-a ，0），A2（a ，0），B1（0，-b ），B2（0，b ） （2）线段A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4．离心率 （1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比22c a ，即a c 称为椭圆的离心率， 记作e （10< 圆锥曲线与方程 椭 圆 知识点 一．椭圆及其标准方程 1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1，F 2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|=2c}； 这里两个定点F 1，F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。 （212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。 2．标准方程： 2 22c a b =- ①焦点在x 轴上：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F （±c ，0） ②焦点在y 轴上：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F （0, ±c ） 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：22 1x y m n + = 或者 mx 2+ny 2=1 二．椭圆的简单几何性质： 1.范围 （1）椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0） 横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b （2）椭圆122 22=+b x a y （a ＞b ＞0） 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a 2.对称性 椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点 （1）椭圆的顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ） （2）线段A 1A 2，B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭 椭圆及其标准方程 1.椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于｜F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 注意：定义中的常数用2a表示，｜F1F2｜用2c表示，当2a＞2c＞0时，轨迹为椭圆，当2a=2c 时，轨迹为线段F1F2；当2a＜2c时，无轨迹.这样，椭圆轨迹一定要有2a＞2c这一条件.另外，应用定义来求椭圆方程或解题时，往往比较简便. 2.椭圆的标准方程 当焦点在x轴上时：+ =1(a＞b＞0) 当焦点在y轴上时：+ =1(a＞b＞0) 注意：(1)三个量之间的关系：a2=b2+c2 (2)由x2,y2的分母大小确定焦点在哪条坐标轴上，x2的分母大，焦点就在x轴上，y2的分母大，焦点就在y轴上. (3)在方程Ax2+By2=C中，只有A、B、C同号时，才可能表示椭圆方程. (4)当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有标准形式. 典型例题 例1 求与椭圆+ =1共焦点，且过点M(3，-2)的椭圆方程. 解法一：(待定系数法)由已知椭圆方程+ =1得C2=9-4=5，且焦点在x轴上，设所 求椭圆方程为+ =1 又∵点M(3，-2)在椭圆上 ∴+ =1，得a4-18a2+45=0 ∴a2=15或a2=3＜5=C2(舍) ∴所求椭圆方程为+ =1 解法二：(定义法)椭圆两焦点为F1(- ，0)，F2( ，0)，点M(3，-2)到这两个焦点距离之和是2a，即 2a=｜M1F1｜+｜M1F2｜= + =2 ∴a2=15 b2=a2-c2=15-5=10 ∴所求椭圆方程为+ =1 例2 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1( ，1)，P2(- ， - )，求椭圆的方程. 解：设椭圆方程为mx2+ny2=1,(m＞0，n＞0) 由题意有 解得m= ，n= ∴所求椭圆方程为+ =1 说明：设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0，n＞0)可免讨论焦点的位置，而且计算简便. 例3 已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程. 解：设两个焦点为F1F2，且｜PF1｜= ，｜PF2｜= 由椭圆定义知2a=｜PF1｜+｜PF2｜=2 ∴a= 而｜PF1｜＞｜PF2｜知PF2与焦点所在的对称轴垂直. ∴Rt△PF2F1中，sin∠PF1F2= = ∴∠PF1F2= 2C=｜PF1｜cos = ∴b2=a2-c2= 故所求方程为+ y2=1或x2+ =1 椭圆及其标准方程 椭圆是数学中的一个重要概念，指的是平面上一组点，到两个固定 点（称为焦点）的距离之和是常数的点的集合。它是圆锥曲线之一， 在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛应用。本文将介绍椭圆及 其标准方程。 一、椭圆 椭圆是一个常出现于生活中的几何形状，比如篮球、鸡蛋等，都是椭 圆形状。在代数学中，一个在平面内有两个固定焦点F1和F2的点P，使得PF1+PF2=2a（a>0），则称这个点P在以F1和F2为焦点、2a为 长轴的椭圆上。椭圆也可以看成一个斜着的圆，所以我们也可以称其 为“斜圆”。 二、标准方程 椭圆的标准方程表示为： （x^2/a^2）+（y^2/b^2）=1 其中，a和b分别代表长轴和短轴的长度。这个方程的中心在坐标系原点，椭圆的形状和位置通过a和b的取值来确定。如果a>b，那么椭圆 的长轴与x轴平行；如果b>a，那么椭圆的长轴与y轴平行；如果a=b，那么椭圆就是一个圆。 三、椭圆的性质 1. 椭圆中任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度2a。 2. 椭圆中心为坐标系原点O，且椭圆的长轴与x轴夹角为α，则椭圆上任何一点P(x,y)的斜率为k=tan(α±β)或k=tan(β-α)，其中β为焦点在椭圆中心连线与x轴正半轴的夹角。 3. 椭圆上任意一条弦都不超过椭圆的长轴长度2a。 4. 椭圆的离心率e满足e=c/a，其中c为两个焦点之间的距离。 4. 椭圆的离心率大小决定了椭圆的胖瘦。当离心率越小，椭圆越圆；当离心率越大，椭圆越瘦长。 五、应用 椭圆在数学、物理、工程中都有广泛应用。比如说，在天文学中，行星绕太阳运动的轨迹就是一个椭圆；在航空、航天中，椭圆形状的轨道是探测器、卫星等航天器的常用轨道；在通讯中，椭圆抛物线天线是一种常用的天线，特点是既可以做发射天线，也可以做接收天线。 结语：椭圆是一种非常有趣的几何图形，它具有很多独特的性质和应 椭圆的标准方程 椭圆是一条平面曲线，定义为到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹。这两个定点被称为焦点，2a被称为长轴的长度。离心率e定义为焦距与长轴的比值e=c/a（其中c是焦点到椭圆中心的距离）。 椭圆的标准方程是x²/a² + y²/b² = 1，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度。椭圆的中心是坐标原点(0, 0)。 对于此标准方程，我们可以观察到以下特点： 1. 横轴和纵轴：椭圆的两个坐标轴分别是横轴和纵轴。横轴的长度是2a，纵轴的长度是2b。 2. 长轴和短轴：横轴被称为长轴，纵轴被称为短轴。长轴的长度是2a，短轴的长度是2b。 3. 焦点：焦点F1的坐标为(-c, 0)，焦点F2的坐标为(c, 0)。 4. 弦：弦是椭圆上连接两点的线段，它通过椭圆的中心，并且与椭圆的两个轴相交。 5. 半焦距：半焦距是焦点到椭圆中心的距离，它等于c。 6. 离心率：离心率是焦距与长轴的比值，即e = c/a。 7. 原点对称性：椭圆关于坐标原点(0, 0)对称。 椭圆的标准方程可以用来进行椭圆的参数化描述。将x = a·cosθ和y = b·sinθ带入标准方程后，可以得到椭圆的参数方程： x = a·cosθ y = b·sinθ 椭圆的面积可以通过积分得到。由于椭圆是一个闭合曲线，它的面积是可求的。椭圆的面积计算公式为： S = π·a·b 椭圆的标准方程还可以与其他几何图形相联系。当短轴等于长轴时，椭圆会变成一个圆。当离心率接近于1时，椭圆会变成一个非常扁平的形状，接近于一个线段。当离心率等于1时，椭圆将变成一个抛物线。 椭圆的标准方程是描述椭圆几何性质的重要工具。通过这个方程，我们可以了解椭圆的形状、焦点、轴长以及其他相关参数。它在数学、物理学和工程学中都有广泛的应用，例如天体运动的描述、电子轨道的模拟以及机械和电子设备的设计等领域。 椭圆及其标准方程 1. 引言 在解析几何中，椭圆是一个经典的几何形状。它具有许多有趣的性质和特征， 可以由不同的方法来描述和定义。本文将介绍椭圆的基本概念，以及椭圆的标准方程。 2. 椭圆的定义 椭圆是一个平面上的几何图形，其定义为到两个定点（称为焦点）的距离之和 等于常数的点的集合。通过这个定义，我们可以得出椭圆的基本特征：焦点、两个定点之间的距离之和（称为焦距）和常数。 3. 椭圆的标准方程 椭圆的标准方程可以通过坐标系中的焦点、焦距和常数来描述。以椭圆的中心 为坐标原点，椭圆的主轴为坐标轴，我们可以得到椭圆的标准方程如下：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1 其中，a和b分别代表椭圆在x轴和y轴上的半径长度。在这个标准方程中， 焦点位于原点的右侧和左侧。 4. 椭圆的性质 椭圆具有许多有趣的性质，下面我们将介绍几个重要的性质： 4.1 长短轴 椭圆上两条互相垂直的轴分别被称为长轴和短轴。长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。 4.2 焦点和直径 椭圆上的焦点是椭圆的两个定点，它们与椭圆上的任意一点的距离之和为常数。直径是通过椭圆中心且垂直于椭圆的长轴的线段。 4.3 离心率 椭圆的离心率是一个描述椭圆形状的量。它定义为椭圆焦距和长轴长度之比的 绝对值。离心率的取值范围在0到1之间，且离心率为0时表示圆形，离心率为 1时表示一条直线。 4.4 对称性 椭圆具有关于x轴和y轴的对称性。即当(x, y)在椭圆上时，(-x, y)、(x, -y)、(-x, -y)也都在椭圆上。 5. 椭圆的图形绘制 通过椭圆的标准方程，我们可以得到椭圆在坐标系中的图形。根据椭圆的标准方程，我们可以得到椭圆上任意一点的坐标，从而绘制出椭圆的图形。 6. 结论 椭圆是一个经典的几何形状，具有许多有趣的性质和特征。通过标准方程，我们可以准确地描述和绘制椭圆的图形。椭圆在数学和工程学科中具有广泛的应用，深入理解椭圆的概念和性质将有助于我们更好地应用和理解相关的知识。 椭圆相关公式总结大全 以下是椭圆的一些常见相关公式： 1. 椭圆的标准方程：$\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1$ - $a$：椭圆的半长轴 - $b$：椭圆的半短轴 2. 椭圆的离心率公式：$e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ - $e$：椭圆的离心率 3. 椭圆的焦点公式：$c = \sqrt{a^2 - b^2}$ - $c$：椭圆的焦点到中心的距离 4. 椭圆的焦半径公式：$r = \frac{a^2}{c}$ - $r$：椭圆上任意一点到焦点的距离和到直径的距离之和 5. 椭圆的面积公式：$A = \pi \cdot a \cdot b$ 6. 椭圆的周长公式（近似）：$C \approx 2 \pi \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$ 7. 椭圆的直径公式： - 横直径：$d_1 = 2a$ - 纵直径：$d_2 = 2b$ 8. 椭圆的焦点坐标公式： - 焦点$F_1$：$(c, 0)$ - 焦点$F_2$：$(-c, 0)$ 9. 椭圆的顶点坐标公式： - 顶点$V_1$：$(a, 0)$ - 顶点$V_2$：$(-a, 0)$ - 顶点$V_3$：$(0, b)$ - 顶点$V_4$：$(0, -b)$ 10. 椭圆的参数方程： - $x = a \cdot \cos(\theta)$ - $y = b \cdot \sin(\theta)$ - 其中，$\theta$为参数化角度，$0 \leq \theta \leq 2\pi$ 这些是椭圆的一些常见相关公式，希望对你有帮助！ 椭圆定义及标准方程 椭圆定义及标准方程 椭圆是一种广为人知的几何图形，可以用来描述天文学、宇航学、力学等领域的许多轨迹。它的特点是自身的短轴大于长轴，形态有点像一个橄榄果，因此也称为橄榄式椭圆。在几何上，椭圆可以通过标准方程的形式来定义。 首先，我们需要明确椭圆的结构，即椭圆的焦点、长轴和短轴。焦点是椭圆周围的两个特殊点，椭圆的点都在连接焦点的线段对称；长轴是椭圆主要轴线，从一个焦点到另一个焦点的距离；短轴就是椭圆的副轴，它是从一个焦点到圆周上任意一点的距离。椭圆的标准方程都是指圆心坐标为(0, 0)的情况，即椭圆的圆心也是其中心点O。 根据椭圆的结构，可以推出椭圆的标准方程： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$是长轴长度，$b$是短轴长度。若要表示一般性的椭圆，需要使用一般性的椭圆方程：$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$，其中$x_0, y_0$是椭圆中心点的坐标。可以通过改变$x_0, y_0$的值，将椭圆移动到任意位置。 在代数形式中，椭圆的标准方程可以定义为： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，而一般性的椭圆方程为：$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$。 总结，椭圆可以用标准方程来定义。如果椭圆的圆心为(0, 0)，那么标准方程就是$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，如果椭圆的圆 心不在原点，则一般性的椭圆方程为：$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$。椭圆的定义和标准方程对于理解和记忆椭圆有至关重要的作用，因此需要用心去学习。 学科：数学 教学内容：椭圆及其标准方程 【基础知识精讲】 1.椭圆的定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 注意：定义中的常数用2a 表示，｜F 1F 2｜用2c 表示，当2a ＞2c ＞0时，轨迹为椭圆，当2a=2c 时，轨迹为线段F 1F 2；当2a ＜2c 时，无轨迹.这样，椭圆轨迹一定要有2a ＞2c 这一条件.另外，应用定义来求椭圆方程或解题时，往往比较简便. 2.椭圆的标准方程 当焦点在x 轴上时：22a x +22 b y =1(a ＞b ＞0) 当焦点在y 轴上时：22a y +22 b x =1(a ＞b ＞0) 注意：(1)三个量之间的关系：a 2 =b 2 +c 2 (2)由x 2,y 2的分母大小确定焦点在哪条坐标轴上，x 2的分母大，焦点就在x 轴上，y 2 的分母大，焦点就在y 轴上. (3)在方程Ax 2+By 2 =C 中，只有A 、B 、C 同号时，才可能表示椭圆方程. (4)当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有标准形式. 本节学习方法： 1.求椭圆方程常用待定系数法，定义法，参数法，轨迹法等. 2.利用椭圆的定义和标准方程解决有关问题，一般都转化成某些数值的确定，而这些数值的确定可通过列方程，解方程去解决. 【重点难点解析】 同学们学习“椭圆”应与学习“圆”一样，遵循渐近性，逻辑性.注重数形结合，主要掌握椭圆的定义及其标准方程，需要大家学习本节时，先复习求曲线方程的方法，进行反复的再思考，再分析再理解. 例1 求与椭圆92x +4 2 y =1共焦点，且过点M(3，-2)的椭圆方程. 解法一：(待定系数法)由已知椭圆方程92x +4 2y =1得C 2 =9-4=5，且焦点在x 轴上，设所求椭圆方 程为22a x +5 22 -a y =1 又∵点M(3，-2)在椭圆上 ∴ 29a +5 42 -a =1，得a 4-18a 2 +45=0 ∴a 2 =15或a 2 =3＜5=C 2 (舍) ∴所求椭圆方程为152x +10 2 y =1 解法二：(定义法)椭圆两焦点为F 1(-5，0)，F 2(5，0)，点M(3，-2)到这两个焦点距离之和是2a ，即 2a=｜M 1F 1｜+｜M 1F 2｜=4)53(2++ +4)53(2 +-=215 ∴a 2 =15 b 2 =a 2 -c 2 =15-5=10椭圆知识点总结
椭圆及其标准方程
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椭圆的标准方程
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椭圆定义及标准方程
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