第5讲同余的概念和性质
第5讲同余的概念和性质
解题思路：理解并熟记同余的性质，运用同余性质把数化小、化易。
同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为： a≡b（modm）.
性质1：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a≡c（mod m），（传递性）。
★性质2：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m），（可加减性）。
★性质3：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡bd（mod m）（可乘性）。
性质4：若a≡b（mod m），那么a n≡b n（mod m），（其中n为自然数）。
性质5：若ac≡bc（mod m），（c，m）=1，那么a≡b（mod m），（记号（c，m）表示c与m的最大公约数）。
例1 判定288和214对于模37是否同余，74与20呢
例2 求乘积418×814×1616除以13所得的余数。
例3 求14389除以7的余数。
例4 四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，…，这样一直进行下去.请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列
十位，…上的数码，再设M=0a ＋0a ＋…＋n a ，求证：N ≡M （mod 9）
例6 求自然数1002＋1013＋1024的个位数字。
习题
1.验证对于任意整数a 、b ，式子a ≡b （mod1）成立，并说出它的含义。
2.已知自然数a 、b 、c ，其中c ≥3，a 除以c 余1，b 除以c 余2，则ab 除以c 余多少
年的六月一日是星期二，这一年的十月一日是星期几
4.求＋被7除的余数。
5.所有自然数如下图排列.问300位于哪个字母下面
6. 数，被13除余多少
7.求1993100的个位数字.
第五讲同余的概念和性质
你会解答下面的问题吗
问题1：今天是星期日，再过15天就是“六·一”儿童节了，问“六·一”儿童节是星期几
这个问题并不难答.因为，一个星期有7天，而15÷7=2…1，即15＝7×2+1，所以“六·一”儿童节是星期一。
问题2：1993年的元旦是星期五，1994年的元旦是星期几
这个问题也难不倒我们.因为，1993年有365天，而365=7×52+1，所以1994年的元旦应该是星期六。
问题1、2的实质是求用7去除某一总的天数后所得的余数.在日常生活中，时常要注意两个整数用某一固定的自然数去除，所得的余数问题.这样就产生了“同余”的概念.如问题1、2中的15与365除以7后，余数都是1，那么我们就说15与365对于模7同余。
同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：
a≡b（modm）. （*）
上式可读作：
a同余于b，模m。
同余式（*）意味着（我们假设a≥b）：
a-b=mk，k是整数，即m｜（a-b）.
例如：①15≡365（mod7），因为365-15=350=7×50。
②56≡20（mod9），因为56-20=36＝9×4。
③90≡0（mod10），因为90-0＝90=10×9。
由例③我们得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为：a≡0（modm）。
例如，表示a是一个偶数，可以写
a≡0（mod 2）
表示b是一个奇数，可以写
b≡1（mod 2）
补充定义：若m（a-b），就说a、b对模m不同余，用式子表示是：
a b（modm）
我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似.同余式有如下一些性质（其中a、b、c、d是整数，而m是自然数）。
性质1：a≡a（mod m），（反身性）
这个性质很显然.因为a-a=0=m·0。
性质2：若a≡b（mod m），那么b≡a（mod m），（对称性）。
性质3：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a≡c（mod m），（传递性）。
性质4：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m），（可加减性）。
性质5：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡bd（mod m）（可乘性）。
性质6：若a≡b（mod m），那么a n≡b n（mod m），（其中n为自然数）。
性质7：若ac≡bc（mod m），（c，m）=1，那么a≡b（mod m），（记号（c，m）表示c与m的最大公约数）。
注意同余式性质7的条件（c，m）＝1，否则像普通等式一样，两边约去，就是错的。
例如6≡10（mod 4），而35（mod 4），因为（2，4）≠1。
请你自己举些例子验证上面的性质。
同余是研究自然数的性质的基本概念，是可除性的符号语言。
例1 判定288和214对于模37是否同余，74与20呢
解：∵288-214=74=37×2。
∴288≡214（mod37）。
∵74-20=54，而3754，
∴7420（mod37）。
例2 求乘积418×814×1616除以13所得的余数。
分析若先求乘积，再求余数，计算量太大.利用同余的性质可以使“大数化小”，减少计算量。
解：∵418≡2（mod13），
814≡8（mod13），1616≡4（mod13），
∴根据同余的性质5可得：
418×814×1616≡2×8×4≡64≡12（mod13）。
答：乘积418×814×1616除以13余数是12。
例3 求14389除以7的余数。
分析同余的性质能使“大数化小”，凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小.这道题先把底数在同余意义下变小，然后从低次幂入手，重复平方，找找有什么规律。
解法1：∵143≡3（mod7）
∴14389≡389（mod 7）
∵89＝64+16+8+1
而32≡2（mod 7），
34≡4（mod7），
38≡16≡2（mod 7），
316≡4（mod 7），
332≡16≡2（mod 7），
364≡4（mod 7）。
∵389≡364·316·38·3≡4×4×2×3≡5（mod 7），
∴14389≡5（mod 7）。
答：14389除以7的余数是5。
解法2：证得14389≡389（mod 7）后，
36≡32×34≡2×4≡1（mod 7），
∴384≡（36）14≡1（mod 7）。
∴389≡384·34·3≡1×4×3≡5（mod 7）。
∴14389≡5（mod 7）。
例4 四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，…，这样一直进行下去.请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列
分析与解答经观察试验我们可以发现，每经过4次互换，四盏灯的颜色排列重复一次，而1小时=60分钟=120×30秒，所以这道题实质是求120除以4的余数，因为120≡0（mod 4），所以开灯1小时四盏灯的颜色排列刚好同一开始一样。
十位，…上的数码，再设M=a0＋a1＋…＋an，求证：N≡M（mod 9）。
分析首先把整数N改写成关于10的幂的形式，然后利用10≡1（mod 9）。
又∵ 1≡1（mod 9），
10≡1（mod 9），
102≡1（mod 9），
…
10n≡1（mod 9），
上面这些同余式两边分别同乘以a0、a1、a2、…、a n，再相加得：
a0＋a1×10+a2×102+…+a n×10n
≡a0＋a1＋a2＋…＋a n（mod 9），
即 N≡M（mod 9）.
这道例题证明了十进制数的一个特有的性质：
任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。
以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。
例如，求1827496被9除的余数，只要先求（1+8＋2＋7＋4＋9＋6），再求和被9除的余数。
再观察一下上面求和式.我们可以发现，和不一定要求出.因为和式中1＋8，2+7，9
被9除都余0，求余数时可不予考虑.这样只需求4＋6被9除的余数.因此，1827496被9除余数是1。
有人时常利用十进制数的这个特性检验几个数相加、相减、相乘的结果对不对，这种检查方法叫：弃九法。
弃九法最经常地是用于乘法.我们来看一个例子。
用弃九法检验乘式5483×9117≡是否正确
因为 5483≡5＋4＋8＋3≡11≡2（mod 9），
9117≡9＋1＋1＋7≡0（mod 9），
所以 5483×9117≡2×0≡0（mod 9）。
但是≡4+9＋8+8+8＋5+1+1
≡8（mod9），
所以 5483×9117≠，即乘积不正确。
要注意的是弃九法只能知道原题错误或有可能正确，但不能保证一定正确。
例如，9875≡9＋8+7+5≡2（mod 9），
4873≡4＋8＋7＋3≡4（mod 9），
≡3+2+4+7＋5+6+8+9
≡8（mod 9），
这时，9875×4873≡2×4≡（mod 9）。
但观察个位数字立刻可以判定9875×4873≠.因为末位数字5和3相乘不可能等于9。
弃九法也可以用来检验除法和乘方的结果。
例6 用弃九法检验下面的计算是否正确：
÷7312＝3544。
解：把除式转化为：
3544×7312＝。
∵ 3544≡3＋5＋4＋4≡7（mod 9），
7312≡7＋3＋1＋2≡4（mod 9），
∴ 3544×7312≡7×4≡1（mod 9），
但≡2＋3＋3＋8≡7（mod 9）。
而 17（mod 9）
∴ 3544×7312≠，
即÷7312≠3544。
例7 求自然数2100＋3101＋4102的个位数字。
分析求自然数的个位数字即是求这个自然数除以10的余数问题。
解：∵2100≡24×25≡625≡6（mod 10），
3101≡34×25·31≡125·31≡3（mod 10），
4102≡（22）100·42≡6·6≡6（mod 10），
∴ 2100＋3101＋4102≡6＋3＋6≡5（mod 10），
即自然数2100＋3101＋4102的个位数字是5.
习题五
1.验证对于任意整数a、b，式子a≡b（mod1）成立，并说出它的含义。
2.已知自然数a、b、c，其中c≥3，a除以c余1，b除以c余2，则ab除以c余多少年的六月一日是星期二，这一年的十月一日是星期几
4.求＋被7除的余数。
5.所有自然数如下图排列.问300位于哪个字母下面
6.数，被13除余多少（提示：先试除，可知13|111111，而1993≡1（mod 6））。
7.用弃九法检验下面运算是否正确：
①845×372=315340；
②12345×67891=5；
③13÷28997＝39459。
8.求1993100的个位数字.
习题五解答
1.例：∵1|a-b，2≡3（mod 1），7≡15（mod 1），式子a≡b（mod 1）的含义是：任意整数a、b对模1同余.整数是模1的同余类。
2.解：∵a≡1（mod c），b≡2（mod c），
∴ab＝2（mod c）
即ab除以c余2。
年的十月一日是星期五。
4.解：∵ 3333≡1（mod 7），
∴≡1（mod 7）。
又∵ 5555≡4（mod 7），
∴＝43333（mod 7）。
而 43≡1（mod 7），
∵ 43333≡（43)1111≡1（mod 7），
∴ +≡1+1≡2（mod 7），
即＋被7除余2。
5.解：∵ 300≡6（mod 7）。
∴ 300与6在同一列，在D下面。
6.答：余1。
7.①不正确；
②不正确；
③不正确。.
五年级奥数.数论. 余数性质及同余定理(B级).学生版
一、 带余除法的定义及性质 1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数． 二、 余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。 知识框架 余数性质及同余定理
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝ 2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4 3.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同． 一、同余定理 1、定义 整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm） 2、同余的重要性质及举例。 〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）； 〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm） 〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）； 〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm） 〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）； 〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm） 其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性" 注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类： 〈1〉用2来将整数分类，分为两类： 1，3，5，7，9，……（奇数）； 0，2，4，6，8，……（偶数） 〈2〉用3来将整数分类，分为三类： 0，3，6，9，12，……（被3除余数是0） 1，4，7，10，13，……（被3除余数是1） 2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）
余数性质及同余定理(B级) 1
一、 带余除法的定义及性质 1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数． 二、 余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。 知识框架 余数性质及同余定理
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝ 2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4 3.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同． 一、同余定理 1、定义 整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm） 2、同余的重要性质及举例。 〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）； 〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm） 〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）； 〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm） 〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）； 〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm） 其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性" 注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类： 〈1〉用2来将整数分类，分为两类： 1，3，5，7，9，……（奇数）； 0，2，4，6，8，……（偶数） 〈2〉用3来将整数分类，分为三类： 0，3，6，9，12，……（被3除余数是0） 1，4，7，10，13，……（被3除余数是1） 2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）
2.1 同余的概念与基本性质
2 同余 同余是由大数学家高斯引入的一个概念．我们可以将它理解为“余同”，即余数相同．正如奇数与偶数是依能否被2整除而得到的关于整数的分类一样，考虑除以m （≥2）所得余数的不同，可以将整数分为m 类．两个属于同一类中的数相对于“参照物”m 而言，具有“余数相同”这个性质．这种为对比两个整数的性质，引入一个参照物的思想是同余理论的一个基本出发点． 同余是初等数论中的一门语言，是一件艺术品．它为许多数论问题的表述赋予了统一的、方便的和本质的形式． 2．1 同余的概念与基本性质 定义 如果a 、b 除以m （≥1）所得的余数相同，那么称a 、b 对模m 同余，记作a ≡b （mod m ）．否则，称a 、b 对模m 不同余，记作a b ≡（mod m ）． 性质1 a ≡b （mod m ）的充要条件是|m a b －． 性质2 若a ≡b （mod m ），c ≡d （mod m ），则a ＋c ≡b ＋d （mod m ），a －c ≡b －d （mod m ），ac ≡bd （mod m ）． 证明 这些结论与等式的一些相关结论极其相似，它们都容易证明．我们只给出第3个式子的证明． 只需证明：|m ac bd －． 因为ac －bd ＝ac －bc ＋bc －bd ＝（a －b ）c ＋b （c －d ） 由条件|m a b －，|m c d －，知|m ac bd －． 说明 与同余有关的许多结论都要用到性质1，事实上，很多数论教材中利用性质1来引入同余的定义． 性质3 若a ≡b （mod m ），n 为正整数，则()mod n n a b m ≡． 性质4 若a ≡b （mod 1m ），a ≡b （mod 2m ），则a ≡b （mod ［1m ，2m ］）． 性质5 若ab ≡ac （mod m ），则()mod m b c a m ? ?≡ ? ??? ，． 在同余式两边约去一个数时，应将该数与m 的最大公因数在“参照物”中同时约去． 性质6 如果（a ，m ）＝1，那么存在整数b ，使得ab ≡1（mod m ）．这个b 称a 对模m 的数论倒数，记为()1mod a m －，在不会引起误解时常常简记为1a －． 证明 利用贝祖定理，可知存在整数x 、y 使得ax ＋my ＝1． 于是，|1m ax － ，即()1mod ax m ≡，故存在符合条件的b ． 说明 由数论倒数的定义，易知当（a ，m ）＝1时，()()11mod a a m ≡－－． 例1 求所有的素数p 、q 、r （p ≤q ≤r ），使得 pq ＋r ，pq ＋2r ，qr ＋p ，qr ＋2p ，rp ＋q ，rp ＋2q 都是素数． 解：若p ＞2，则p 、q 、r 都是奇数，此时pq ＋r 是一个大于2的偶数，矛盾，故p ＝2．现在，数2q ＋r ，2q ＋2r ，qr ＋2，qr ＋4，2r ＋q ，2r ＋2 q 都是素数．
小学奥数同余问题
同余问题（一） 在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时， ，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7 时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。 1. 同余的表达式和特殊符号 37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。 记作：（mod7）“”读作同余。 一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作： 2. 同余的性质 （1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。） （2）若，那么（这称作同余的对称性） （3）若，，则（这称为同余的传递性） （4）若，，则（）（这称为同余的可加性、可减性） （称为同余的可乘性） （5）若，则，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象： 如果
那么（的差一定能被k整除） 这是为什么呢？ k也就是的公约数，所以有 下面我们应用同余的这些性质解题。 【例题分析】 例1. 用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？ 分析与解答： 假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以，，说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。 所以a最大是31。 例2. 除以19，余数是几？ 分析与解答：
如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。 所以 此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。 例3. 有一个1997位数，它的每个数位都是2，这个数除以13，商的第100位是几？最后余数是几？ 分析与解答： 这个数除以13，商是有规律的。 商是170940六个数循环，那么，即， 我们从左向右数“170940”的第4个数就是我们找的那个数“9”，所以商的第100位是9。 余数是几呢？
1.同余的概念及基本性质
第三章 同余 §1 同余的概念及其基本性质 定义 给定一个正整数m ，若用m 去除两个整数a 和b 所得的余数相同，则称,a b 对模m 同余，记作()mod .a b m ≡若余数不同，则称,a b 对模m 不同余，记作 ()\mod a b m ≡. 甲 ()mod . a a m ≡ （甲：jia 3声调； 乙：yi 3声调； 丙：bing 3声调； 丁：ding 1声调； 戊：wu 声调； 己：ji 3声调； 庚：geng 1声调； 辛: xin 1声调 天； 壬: ren 2声调； 癸: gui 3声调.） 乙 若()mod ,a b m ≡则()mod .b a m ≡ 丙 若()()mod ,mod ,a b m b c m ≡≡则()mod .a c m ≡ 定理1 ()mod |.a b m m a b ≡?- 证 设()mod a b m ≡，则12,,0.a mq r b mq r r m =+=+≤<于是， ()12,|.a b m q q m a b -=-- 反之，设|.m a b -由带余除法，111222,0,,0a mq r r m b mq r r m =+≤<=+≤<，于是， ()()1221. r r m q q a b -=-+- 故，12|m r r -，又因12r r m -<，故()12,mod .r r a b m =≡ 丁 若()()1122mod ,mod ,a b m a b m ≡≡则，()1212mod .a a b b m ±≡± 证 只证“+”的情形.因()()1122mod ,mod a b m a b m ≡≡，故1122,m a b m a b --，于是()()()()11221212|m a b a b a a b b -+-=+-+，所以()1212mod .a a b b m +≡+ 推论 若()mod ,a b c m +≡则()mod .a c b m ≡-
五级奥数同余问题
1.两数相除商37余73，求被除数的最小值。 解析：2881 2.两数相除，商4余8，被除数、除数、商和余数的和为415，则被除数是多少？ 解析：被除数是424，除数是79. 3.小明在做题的时候由于马虎，错把被除数360看做390，商比原来大了3，求原来 的除数。 解析：除数是10. 4.小明在做题的时候由于马虎，错把被除数360看做390，商比原来大了3，余数也 比原来大了3.求原来的除数。 解析：除数是9. 5.求算式3218+26-757除以9的余数。 解析：3. 6.求4 13除以5的余数。 解析：1. 7. 2461×135×6047÷11的余数是多少？ 解析：5. 8. ÷7的余数是多少？
解析：0. 9.求123456789101112……199200除以9的余数是________; 解析：3. 10. 数11…1(2007个1),被13除余多少? 解析：7 11.已知一个两位数除1477,余数是49.那么,满足那样条件的所有两位数是 . 解析:1477-49=1428是这两位数的倍数,又1428=2×2×3×7×17=51×28=68× 21=84×17,因此所求的两位数51或68或84. 12.有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果？ 解析：此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313—7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的最大公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240—2=238(个) ,313—7=306(个) ,(238,306)=34(人) .
4.1基本概念及一次同余式
1. 同余方程15x ≡12(mod99)关于模99的解是__ x ≡14,47,80(mod99)_。 2. 同余方程12x+7≡0 (mod 29)的解是__ x ≡26 (mod 29)_____. 3. 同余方程41x≡3(mod 61)的解是__ _ . 4. 同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是___ x ≡11(mod 37)______ 5. 同余方程13x ≡5(mod 31)的解是_ x ≡ 29(mod 31)__ 6. 同余方程24x ≡6(mod34)的解是__ x ≡13,30(mod34)__ 7. 同余方程26x+1≡33 (mod 74)的解是__ x ≡24,61 (mod 74)_ 8. 同余方程ax +b ≡0(mod m )有解的充分必要条件是__()b m a ,_ 9. 21x ≡9 (mod 43)的解是_ x ≡25 (mod 43)__ 10. 设同余式()m b ax mod ≡有解()m x x mod 0≡，则其一切解可表示为_ _ . 11. 解同余式()15mod 129≡x 12. 同余式()111mod 1227≡x 关于模11有几个解？（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 13. 同余式3x ≡2(mod20)解的个数是（ B ） A.0 B.1 C.3 D.2 14. 同余式72x ≡27(mod81)的解的个数是_9_个。 15. 同余方程15x ≡12(mod27) 16. 同余方程6x ≡4(mod8)有 个解。 17. 同余式28x ≡21(mod35)解的个数是( B ) A.1 B.7 C.3 D.0 18. 解同余方程：63x ≡27(mod72) 19. 同余方程6x≡7(mod 23)的解是__ _ . 20. 以下同余方程或同余方程组中,无解的是（ B ） A.6x ≡10(mod 22) B.6x ≡10(mod 18) C.???≡≡20) 11(mod x 8) 3(mod x D. ???≡≡9) 7(mod x 12) 1(mod x 21. 同余方程12x ≡8(mod 44)的解是x ≡8,19,30,41(mod 44)____ 22. 同余方程20x ≡14(mod 72)的解是 ___ 23. 下列同余方程无解的是( A ) A.2x ≡3(mod6) B.78x ≡30(mod198) C.8x ≡9(mod11) D.111x ≡75(mod321) 24. 解同余方程 17x+6≡0(mod25) 25. 同余方程3x ≡5(mod16) 的解是___ x ≡7(mod16)____ 26. 同余方程3x ≡5(mod14)的解是_ x ≡11(mod14)的解是__。 27. 同余方程3x ≡5(mod13)的解是__ x ≡6(mod13)_________。 28. 下列同余方程有唯一解的是( C )
五年级下册数学专项训练小学奥数第五讲 同余的概念和性质_通用版(习题无答案)
第五讲同余的概念和性质 “师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。你会解答下面的问题吗？ 我国古代的读书人，从上学之日起，就日诵不辍，一般在几年内就能识记几千个汉字，熟记几百篇文章，写出的诗文也是字斟句酌，琅琅上口，成为满腹经纶的文人。为什么在现代化教学的今天，我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生，竟提起作文就头疼，写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差，中学语文毕业生语文水平低，……十几年上课总时数是9160课时，语文是2749课
时，恰好是30%，十年的时间，二千七百多课时，用来学本国语文，却是大多数不过关，岂非咄咄怪事!”寻根究底，其主要原因就是腹中无物。特别是写议论文，初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证，也通晓议论文的基本结构:提出问题――分析问题――解决问题，但真正动起笔来就犯难了。知道“是这样”，就是讲不出“为什么”。根本原因还是无“米”下“锅”。于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来，抄人家的名言警句，抄人家的事例，不参考作文书就很难写出像样的文章。所以，词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。要解决这个问题，不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫，必须认识到“死记硬背”的重要性，让学生积累足够的“米”。问题1：今天是星期日，再过15天就是“六·一”儿童节了，问“六·一”儿童节是星期几？ 与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教
小学奥数五年级同余问题知识分享
小学奥数五年级同余 问题
同余问题 【模块一：带余除法的定义和性质】 1、一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。 2、(2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？ 3、(2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。 4、(1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人? 【模块二：三大余数定理的应用】 5、(2003年南京市少年数学智力冬令营) 20032与2 2003的和除以7的余数____． 6、(2004年南京市少年数学智力冬令营)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有___组． 7、(2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n 去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________ 8、(华罗庚金杯赛模拟试题)求478296351??除以17的余数． 9、(2008年奥数网杯)已知 20082008200820082008a =L 144424443个，问：a 除以13所得的余数是多 少？ 【模块三：余数综合应用】 10、著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？
小学奥数—同余问题
数论之同余问题 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！” 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。 知识点拨： 一、带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (1)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 (2)当0 一个完美的带余除法讲解模型: 如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数， 现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后 共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是 余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 二、三大余数定理： 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。 同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除 用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b) 三、弃九法原理： 在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的： ++++= 例如：检验算式1234189818922678967178902889923 1234除以9的余数为1 1898除以9的余数为8 18922除以9的余数为4 678967除以9的余数为7 178902除以9的余数为0 这些余数的和除以9的余数为2
同余的概念与性质
同余的概念与性质 同余：设m 是大于1的正整数，若用m 去除整数b a ,，所得余数相同，则称a 与b 关于模m 同余，记作)(mod m b a ≡，读作a 同余b 模m ；否则称a 与b 关于模m 不同余记作)(mod m b a ≠。 性质1：)(mod m b a ≡的充要条件是Z t mt b a ∈+=,，也即)(|b a m -。 性质2：同余关系满足下列规律： （1）自反律：对任何模m 都有)(mod m a a ≡； （2）对称律：若)(mod m b a ≡，则)(mod m a b ≡； （3）传递律：若)(mod m b a ≡，)(mod m c b ≡，则若)(mod m c a ≡。 性质 3:若,,,2,1),(mod s i m b a i i =≡则 ).(mod ), (mod 21212121m b b b a a a m b b b a a a s s s s ≡+++≡++ 推论： 设k 是整数，n 是正整数， （1）若)(mod m c b a ≡+，则)(mod m b c a -≡。 （2）若)(mod m b a ≡，则)(mod m a mk a ≡+；)(mod m bk ak ≡；)(mod m b a n n ≡。 性质4：设)(x f 是系数全为整数的多项式，若)(mod m b a ≡，则 ))(mod ()(m b f a f ≡。 性质5：若)(mod m bd ad ≡，且1),(=m d ，则)(mod m b a ≡。 性质6：若)(mod m b a ≡，且m d b d a d |,|,|，则)(mod d m d b d a ≡。
第5讲同余的概念和性质
第5讲同余的概念和性质 解题思路：理解并熟记同余的性质，运用同余性质把数化小、化易。 同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为： a≡b（modm）. 性质1：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a≡c（mod m），（传递性）。 ★性质2：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m），（可加减性）。 ★性质3：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡bd（mod m）（可乘性）。 性质4：若a≡b（mod m），那么a n≡b n（mod m），（其中n为自然数）。 性质5：若ac≡bc（mod m），（c，m）=1，那么a≡b（mod m），（记号（c，m）表示c与m的最大公约数）。 例1 判定288和214对于模37是否同余，74与20呢 例2 求乘积418×814×1616除以13所得的余数。 例3 求14389除以7的余数。
例4 四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，…，这样一直进行下去.请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列 十位，…上的数码，再设M=0a ＋0a ＋…＋n a ，求证：N ≡M （mod 9） 例6 求自然数1002＋1013＋1024的个位数字。 习题 1.验证对于任意整数a 、b ，式子a ≡b （mod1）成立，并说出它的含义。 2.已知自然数a 、b 、c ，其中c ≥3，a 除以c 余1，b 除以c 余2，则ab 除以c 余多少 年的六月一日是星期二，这一年的十月一日是星期几 4.求＋被7除的余数。
同余的概念
同余的概念是高斯（Gauss）在1800年左右给出的。设是正整数，若用去除整数，所得的余数相同，则称为与关于模同余，记作，否则，称为与关于模不同余。 定义1.（同余）设，若，则称和对模同余，记作； 若不然，则称和对模不同余，记作。例如：， 等等。 当时，，则称是对模的最小非负剩余。 由带余除法可知，和对模同余的充要条件是与被除得的余数相同。对于固定的模，模的同余式与通常的等式有许多类似的性质： 性质1. 的充要条件是也即。 性质2.同余关系满足以下规律： （1）（反身性）； （2）（对称性）若，则； （3）（传递性）若，，则； （4）（同余式相加）若，，则；（5）（同余式相乘）若，，则； 反复利用（4）（5），可以对多个两个的（模相同的）同余式建立加、减和乘法的运算公式。特别地，由（5）易推出：若，为整数且，
则；但是同余式的消去律一般并不成立，即从未必能推出，可是我们却有以下结果： （6）若，则，由此可以推出，若，则有，即在与互素时，可以在原同余式两边约去而不改变模（这一点再一次说明了互素的重要性）。 现在提及几个与模相关的简单而有用的性质： （7）若，｜，则； （8）若，，则； （9）若，则，特别地，若 两两互素时，则有； 性质3.若，则；； 性质4.设是系数全为整数的多项式，若，则 。 这一性质在计算时特别有用：在计算大数字的式子时，可以改变成与它同余的小的数字，使计算大大地简化。如例3。 定义2.（同余类）设，每一个这样的类为模的同余类。
说明：整数集合可以按模来分类，确切地说，若和模同余，则和属同一类，否则不属于同一类，每一个这样的类为模的一个同余类。由带余除法，任一整数必恰与0,1,……，中的一个模同余，而0,1,……，这个数彼此模不同余，因此模共有个不同的同余类，即 。 例如，模2的同余类共有两个，即通常说的偶数类与奇数类，这两类中的数分别具有形式和（为任意整数）。 定义3。（剩余类）设是正整数，把全体整按对模的余数分成类，相应的个集合记为：，其中，称为模的一个剩余类。以下是几条常用性质： （1）且； （2）每一个整数仅在的一个里； （3）对于任意，则的充要条件是。 定义4.（完全剩余系）一组数称为模的完全剩余系，如果对任意有且仅有一个是对模的剩余，即。换一种说法更好理解：设为模的全部剩余类，从每个中任取一个，得个数 组成的数组，叫做模的一个完全剩余系。 说明：在个剩余类中各任取一个数作为代表，这样的个数称为模的一个完全剩余系，简称模的完系。换句话说，个数称为模的一个完系，是指它们彼此模不同余，例如0,1，2，……，是模的一个完
小学奥数同余问题
小学奥数同余问题 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
数论之同余问题 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！” 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。 知识点拨： 一、带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0 r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (2)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型: 如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为 被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的 角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最 后还剩余d本，这个d就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 二、三大余数定理： 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1.
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子 表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。 同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除 用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b) 三、弃九法原理： 在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的： 例如：检验算式1234189818922678967178902889923 ++++= 1234除以9的余数为1 1898除以9的余数为8 18922除以9的余数为4
第五讲__同余的概念和性质
同余的概念和性质 你会解答下面的问题吗？ 问题1：今天是星期日，再过15天就是“六·一”儿童节了，问“六·一”儿童节是星期几？ 这个问题并不难答，因为，一个星期有7天，而15÷7=2…1，即15=7×2＋1，所以“六·一”儿童节是星期一。 问题2：1993年的元旦是星期五，1994年的元旦是星期几？ 这个问题也难不倒我们。因为，1993年有365天，而365=7×52＋1，所以，1994年的元旦应该是星期六。 问题1、2的实质是求用7去除一总的天数后所得的余数。在日常生活中，时常要注意两个整数用某一固定的自然数去除，所得的余数问题。这样就产生了“同余”的概念。如问题1、2中的15与365除以7后，余数都是1，那么我们就说15与365对于模7同余。 余同定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为： a≡b ( mod m ) ( * ) 上式可读作： a同余于b，模m。 同余式( * )意味着（我们假设a≥b）: a－b=mk，k是整数，即m︱(a－b). 例如：①15≡365（mod 7），因为365－15=350=7×50。 ②56≡20（mod 9），因为56－20=36=9×4。 ③90≡0（mod 10），因为90－0=90=10×9。 由例③我们得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为： a≡0( mod m ). 例如，表示a是一个偶数，可以写a≡0(mod 2) 表示b是一个奇数，可以写b≡1( mod 2 ) 补充定义：若m不能整除（a－b），就说a、b对模m不同余，用式子表示是： a b(mod m)
我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似。同余式有如下一些性质（其中a、b、c、d是整数，而m是自然数）。 性质1：a≡a(mod m)，（反身性） 这个性质很显然，因为a－a=0=m·0. 性质2：若a≡b(mod m)，那么b≡a(mod m)，（对称性）。 性质3：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，那么a≡c(mod m)，（传递性）。 性质4：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a±c≡b±d(mod m)，（可加减性）。 性质5：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么ac≡bd(mod m)，（可乘性）。 性质6：若a≡b(mod m)，那么a n≡b n(mod m)，（其中n为非0自然数）。 性质7：若ac≡bc(mod m)，(c，m)=1，那么a≡b(mod m)。 注意：同余式性质7的条件(c，m)=1，否则像普通等式一样，两边约去，就是错的。 例如6≡10(mod 4)，而35(mod 4)，因为（2，4）≠1。 请你自己举些例子验证上面的性质。 同余是研究自然数的性质的基本概念，是可除性的符号语言。 例1判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？ 例2 求乘积418×814×1616除以13所得的余数。 （若先求乘积，再求余数，计算量太大。利用同余的性质可以使“大数化小”，减少计算量。）
同余的性质与应用
同余的性质及应用 1 引言 数论的一些基础内容的学习，一方面可以加深对数的性质的了解，更深入的理解某些其他邻近学科，另一方面，可以加强数学训练.而整数论知识是学习数论的基础，其中同余理论有时整数论的重要组成部分，所以学好同余理论是非常重要的. 在日常生活中，我们所要注意的常常不是某些整数，而是这些数用某一固定的数去除所得的余数，例如我们问现在是几点钟，就是用24去除某一个总的时数所得的余数；问现在是星期几，就是问用7去除某一个总的天数所得的余数，假如某月2号是星期一，用7去除这月的号数，余数是2的都是星期一. 我国古代孙子算经里已经提出了同余式11(mod )xb m ,22(mod )xb m ,…, (m od )k k xb m 这种形式的问题，并且很好地解决了它.宋代大数学家秦九韶在他的《数 学九章》中提出了同余式1(m od )i i x M m ≡, 1,2,...,i k =, i m 是k 个两两互质的正整数， 12...k m m m m =,i i m m M =的一般解法. 同余性质在数论中是基础，许多领域中一些著名的问题及难题都是利用同余理论及一些深刻的数学概念，方法，技巧求解.例如，数论不定方程中的费尔马问题，拉格朗日定理的证明堆垒数论中的华林问题，解析数论中，特征函数基本性质的推导等等.在近现代数论研究中，有关质数分布问题，如除数问题，圆内格点问题，等差级数问题中的质数分布问题，2an bn c ++形式的质数个数问题，质数个数问题，质数增大的快慢问题，孪生质数问题都有一定程度的新成果出现，但仍有许多尚未解决的问题. 数论的发展以及现代数学发展中提出的一些数论问题，都要求我们对于近代数论的一些方法和基础知识，必须熟练掌握.所以，本文主要介绍了同余理论中同余基本性质的一些简单应用，通过本文的阐述，希望可以为对数论有兴趣的读者，增加学习数论知识的兴趣，并能为他们攻破那些经典的数论难题开展数论课题课题提供一些帮助.
奥数-同余的概念及性质+详解过程讲解学习
第五讲同余的概念和性质 你会解答下面的问题吗？ 问题1：今天是星期日，再过15天就是“六·一”儿童节了，问“六·一”儿童节是星期几？ 这个问题并不难答.因为，一个星期有7天，而15÷7=2…1，即15＝7×2+1，所以“六·一”儿童节是星期一。 问题2：1993年的元旦是星期五，1994年的元旦是星期几？ 这个问题也难不倒我们.因为，1993年有365天，而365=7×52+1，所以1994年的元旦应该是星期六。 问题1、2的实质是求用7去除某一总的天数后所得的余数.在日常生活中，时常要注意两个整数用某一固定的自然数去除，所得的余数问题.这样就产生了“同余”的概念.如问题1、2中的15与365除以7后，余数都是1，那么我们就说15与365对于模7同余。 同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为： a≡b（modm）. （*） 上式可读作： a同余于b，模m。 同余式（*）意味着（我们假设a≥b）： a-b=mk，k是整数，即m｜（a-b）. 例如：①15≡365（mod7），因为365-15=350=7×50。 ②56≡20（mod9），因为56-20=36＝9×4。 ③90≡0（mod10），因为90-0＝90=10×9。 由例③我们得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为：a≡0（modm）。 例如，表示a是一个偶数，可以写 a≡0（mod 2） 表示b是一个奇数，可以写
b≡1（mod 2） 补充定义：若m（a-b），就说a、b对模m不同余，用式子表示是： a b（modm） 我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似.同余式有如下一些性质（其中a、b、c、d是整数，而m是自然数）。 性质1：a≡a（mod m），（反身性） 这个性质很显然.因为a-a=0=m·0。 性质2：若a≡b（mod m），那么b≡a（mod m），（对称性）。 性质3：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a≡c（mod m），（传递性）。 性质4：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m），（可加减性）。 性质5：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡bd（mod m）（可乘性）。性质6：若a≡b（mod m），那么a n≡b n（mod m），（其中n为自然数）。 性质7：若ac≡bc（mod m），（c，m）=1，那么a≡b（mod m），（记号（c，m）表示c与m的最大公约数）。 注意同余式性质7的条件（c，m）＝1，否则像普通等式一样，两边约去，就是错的。例如6≡10（mod 4），而35（mod 4），因为（2，4）≠1。 请你自己举些例子验证上面的性质。 同余是研究自然数的性质的基本概念，是可除性的符号语言。 例1 判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？ 解：∵288-214=74=37×2。