3.1同余的概念及其基本性质
3.1同余的概念及其基本性质
1. 200247的十进位表示的末二位数字是28 .
2. 若a≡b(mod m),试证(a,m)=(b,m).
3. 试证13|(54m+46n+2000).(提示：可取模13进行计算性证明)
4.下列同余式不成立的是( A )。
A. 15≡(-1)(mod 7)
B. 150≡3(mod 7)
C. 165≡4(mod 7)
D. 120≡1(mod 7)
5. 用弃九法判别下列算式肯定错误的有( C )。
A. 4563×12=54756
B. 4563×120=547560
C. 5463×12=64556
D. 5463×12=65556
6. 求22002的末位数。
7. 求所有使2n-1为7的倍数的正整数n。
8.设a是整数，
(1)a≡0(mod9)
(2)a≡2004(mod9)
(3)a的十进位表示的各位数码字之和可被9整除
(4)划去a的十进位表示中所有的数码字9，所得的新数被9整除
以上各条件中，成为9|a的充要条件的共有（C）。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
9. 3103被11除所得余数是__5_
10. 设a是整数，下面同余式有可能成立的是( C )。
A. a2≡2 (mod 4)
B. a2≡5 (mod 7)
C. a2≡5 (mod 11)
D. a2≡6 (mod 13)
11．求(214928+40)35被73除所得余数.
12. 20052005被3除所得的余数为___1__
13. 求32002×72003×132005的个位数字.
14. 如果a≡b(mod m)，c是任意整数，则下列错误的是（A）A．ac≡bc(mod mc) B．m|a-b
C．(a,m)=(b,m) D．a=b+mt,t∈Z
15. 若今天是星期二,则1010天后的那一天是星期__六__.
16.下列四个数中,个位数是3的是( D )
A.32000
B.5324
C.56789
D.131313
17.求11+22+33+…+20042004+20052005被3除所得余数.
18, 11与-10以下列( )数为模时同余? （B ）A.2 B.7
C.10
D.5
。
19.若ab≡ac(modm),则下列式子不一定成立的是( D )
A.a2b2≡a2c2(modm)
B.m|a(b-c)
C.2ab≡2ac(modm)
D.b≡c(modm)
20. 下列式子成立的是( C )
A.15≡－1(mod7)
B.165≡2(mod7)
C.523≡75(mod7)
D.1095≡874(mod7)
21. 若今天是星期四，则1000天后的那一天是( B )
A.星期四
B.星期三
C.星期二
D.星期五
22. 下列同余式中，正确的是（ C ）
A ．50≡29（mod 22）
B ．40≡18(mod 20)
C ．30≡105(mod 25)
D ．38≡2(mod 19)
23. 设n 为奇数，则n 4被4除的余数是（ B ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
16．任意10个连续整数中能被3整除的至少有（ C ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
下列算式中错误的是（ B ）
A ．139635÷145＝963
B ．92106÷347＝258
C ．84132÷123＝684
D ．311708÷523＝596
25．在不超过198的自然中，适合4n ≡1(mod 5)的有（ B ）
A ．98个
B ．99个
C ．100个
D ．101个
26．设n 为自然数，下列各数中与38n 对于模8同余的是（ D ）
A ．－4
B ．－5
C ．－6
D ．－7
设p 为奇质数，证明：2p|(22p-1－2).
31998除以9的余数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．0 证明：20002002200020022001
若m|a -b,m 为正整数，则下列不正确的是( C )。
A. a ≡b(mod m)
B. a=b+mt ，t 为整数
C. b=a+mt ，t 为整数
D. a=b+m
1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)+…+2000×2001×2002被3除后的余数是__0____。 求3142002被7除后的余数。
n 为正整数，则有360|192n -1。
2004年2月8日是星期日，则500天后的那一天是（ A ）
A.星期三
B.星期二
C.星期四
D.星期五
下列命题不一定成立的是（ C ）
A.若a ≡b(modm),c 为整数，则ac=bc(modm)
B.若a ≡b(modm),c ≡d(modm)，则ac ≡bd(modm)
C.若a ≡b(modm),c ≡d(modm)，则ab=cd(modm)
D.若a ≡b(modm),n 为自然数，则a n ≡b n (modm)
与100以7为模同余的最小正整数是___2________。
设n 为整数，求证：168|136n +167.
下列关于同余式的性质中不成立的是（ ）
A. 若()m b a mod 22≡，则()m b a mod ≡。B 。若()m b a mod ≡，则()m b a mod 2
2≡ C ．若()m bd ad mod ≡且()1,=m d ，则()m b a mod ≡。
D ．若()222mod m
b a ≡，则()m b a mod 22≡。 乘积2003200220011373??的个位上的数字是 。
设今天是星期天，明天是第一天，则第 天是星期六。
A. 1510
B. 1710
C. 1910
D. 2110
若()m b a mod ≡，d 是a 、b 及m 的任一正公约数，则下列同余式中不正确的是（ ）
A. ()d b a mod ≡
B. ??? ??
≡d m b a mod C. ()m b a n n mod ≡ D. ()m d
b d a mod ≡ 同余方程5x≡13(mod43)的解是_____.
下列式子成立的是（ ）
A. ()3mod 2132
≡ B. ()8mod 22≡- C. ()7mod 206≡ D. ()3mod 625-≡ 1999年6月1日是星期二，则1999年10月1日是（ ）
A. 星期五
B. 星期六
C. 星期日
D.星期一
证明：无论a 取哪一个整数，恒有()()3mod 22
1≠+a a 。 与“()8mod 7≡n ”表述形式不能等价的是（ ）
A. k n 87+=，k 是整数
B. n 被8除余7
C. n －7被8整除
D. n －8被7整除 下列式子不能成立的是（ ）
A. ()21mod 1131-≡
B. ()3mod 1112
≡ C. ()10mod 8578≡+ D. ()9mod 2199≡ 1999年5月1日是星期六，则1999年7月1日是（ ）
A. 星期四
B. 星期五
C. 星期六
D.星期三
1003的十进制表示中的个位数字是 。
132+n 被8除的余数是 。
下列命题不一定成立的是（ ）
A ．若a ≡b(modm), c ≡d(modm), 则a-c ≡b-d(modm)
B ．若a ≡b(modm), n ≥2, 则a n ≡b n (modm)
C ．若ac ≡bc(modm), 则有a ≡b(modm)
D ．若ak ≡bk ≡(modmk), 则a ≡b(modm) 3100的十进位表示中个位数字是（ ）A ．1 B ．3 C ．7 D ．9
71001被17除的余数是（ ）A ．16 B ．14 C ．12 D ．10
任意12个连续整数中能被4除余2 的数有 个。
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
下列命题不一定成立的是（ ）
A ．若a ≡b(modm), 则b ≡a (modm)
B ．若a ≡b(modm), 则－a ≡－b(modm)
C ．若a ≡b (modm), 则有b ≡－a (modm)
D ．若a ≡b (modmk), b ≡c (modm),则a ≡c (modm) 设n 为正整数，证明：15|(24n －1).
与“()5mod 7n ≡”表述形式不能等价的是（ ）
A. 57n k =+，k 是整数
B. n 被7除余5
C. n －5被7整除
D. n －7被5整除 －10与11在以下哪个数为模时同余？（ ）
A ．2
B ．5
C ．7
D ．10
a ≡b(modq)，c ≡d (modq),则有（ ）
A ．a ＋c ≡bd (modq)
B ．a c ≡b ＋d (modq ),
C ．a ＋c ≡b ＋d (modq ),
D ．a b ≡c d (modq ) 25753对模13同余的最小正整数是 。
100013的十进位表示中个位数字是 。
下列同余式正确的是（ ）
A ．1652（mod 7）
B ．2873（mod 13）
C ．9827（mod 11）
D ．796-3（mod 17）
21．一个非负整数的立方除以7，余数中不可能出现以下哪个数？（） A ．0 B ．1 C ．6
D ．7
若今天是星期四，1000天后的那天是（ ）A ．星期四 B ．星期五 C ．星期二 D ．星期三
1000对模7同余的最小正整数是 。
10003的十进位表示中个位数字是 。
设a,b,c 是整数，m 为正整数，a bc ≡0 (modm),则（ ）成立。
A ．a m 或b m 或c m
B ．ab m 或bc m 或ac m
C ．()1,=a m 时，bc m
D ．b m 时，ac m 。
圆的基本概念和性质教学设计
圆的基本概念和性质教学设计 教学设计思想 圆是初中几何中重要的内容之一。本节通过第一课时建立圆的基本概念，认识圆的轴对称性与中心对称性。讲解时将观察与思考、操作与实践等活动贯穿于教学全过程，使学生积累一定的数学活动经验；第二课时在第一课时的基础上，掌握垂径定理及其逆定理；第三课时加深学生对弦、弧、圆心角之间关系的认识；第四课时的重点是圆周角，通过圆周角定理及其推理的推理论证，从而把圆周角、圆心角、弧和弦之间的关系展现出来，从而使学生全面了解和掌握圆的基本性质。教学时先让学生动手操作来发现结论，再通过推理的方式说明结论的正确性。 数学源于生活，又服务于生活，最终要解决生活中的问题。利用电子白板教学帮助学生理解和学习数学，探索与分析，讨论与归纳等数学活动是学习的主要方式。 教学目标 圆的基本概念和性质总目标： 1、理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念，理解弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系； 2、掌握垂径定理及推论的意义及应用，掌握圆心角与弧、弦关系定理意义及应用，掌握圆周角定理及推论的意义和应用； 3、探索圆周角与圆心角、弧、弦的关系，理解并会证明圆周角定理及其推论，理解圆内接四边形的对角互补。 第一课时教学目标 知识与技能： 1、经历圆的形成过程，理解圆的概念， 2、能在图形中准确识别圆、圆心、半径、直径、圆弧、半圆、等圆、等弧等； 3、认识圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形； 过程与方法： 1、经历抽象和建立圆的概念、探究圆的对称性及相关性质的过程，熟记圆及有关概念； 2、通过折叠、旋转的动手实验，多观察、探索、发现圆中圆心、弧、弦之间的关系，体会研究几何图形的各种方法； 情感态度价值观： 经历探索圆及其有关结论的过程，发展学生的数学观察及思考能力以及问题的提出能力。 教学重难点 重点：（1）了解圆的概念的形成过程；（2）揭示与圆有关的本质属性。 难点：圆的概念的形成过程和圆的定义。 学情分析
圆的基本概念和性质—知识讲解(提高)
圆的基本概念和性质—知识讲解（提高） 【学习目标】 1．知识目标：理解圆的有关概念和圆的对称性； 2．能力目标：能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，?圆的对称性进行计算或证明； 3．情感目标：养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯. 【要点梳理】 要点一、圆的定义及性质 1.圆的定义 (1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 要点诠释： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. (2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 要点诠释： ①定点为圆心，定长为半径； ②圆指的是圆周，而不是圆面； ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 2.圆的性质 ①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心； ②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴. 要点诠释： ①圆有无数条对称轴； ②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”. 3.两圆的性质 两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）. 要点二、与圆有关的概念 1.弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
余数性质及同余定理(B级) 1
一、 带余除法的定义及性质 1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数． 二、 余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。 知识框架 余数性质及同余定理
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝ 2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4 3.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同． 一、同余定理 1、定义 整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm） 2、同余的重要性质及举例。 〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）； 〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm） 〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）； 〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm） 〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）； 〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm） 其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性" 注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类： 〈1〉用2来将整数分类，分为两类： 1，3，5，7，9，……（奇数）； 0，2，4，6，8，……（偶数） 〈2〉用3来将整数分类，分为三类： 0，3，6，9，12，……（被3除余数是0） 1，4，7，10，13，……（被3除余数是1） 2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）
24.1圆的有关概念及性质测试题)
圆第一节测试题(圆有关概念及性质) 姓名 分数 . 一、 选择题（每小题4分,共32分） 1、李沫沫想用直角尺检查某些工件是否恰好是半圆形，下列几个图形是半圆形的是（ ） （2小题） 2、如图2，在Rt ABC △中，C ∠=90°，AB =10，若以点C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则BC 的长等于（ ）．A ．5 B ．53 C ．52 D ．6 3、已知：如图3,⊙O 的半径为5，AB 所对的圆心角为120°，则弦AB 的长是（ ） A.．23cm B. 53 C.5 D.8 4、下列判断中正确的是（ ） （A ）平分弦的直径垂直于弦 （B ）平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 （C ）弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 （D ）平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 5、如图，AB O 是⊙的直径，弦303cm CD AB E CDB O ⊥∠=于点，°，⊙的半径为，则弦CD 的长为（ ）．A ．3 cm 2 B ．3cm C ．23cm D ．9cm 9题图 6．AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝80°则弦AB 所对的圆周角是（ ）。 A ．40° Ｂ．140°或40° C ．20° Ｄ．20°或160° 7．如图，边长为12米的正方形池塘的周围是草地，池塘边A 、B 、C 、D 处各有一棵树，且AB=BC=CD=3米．现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上．为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在（ ）。 A ． A 处 B ． B 处 C ．C 处 D ．D 处 8、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠B=60°，则∠A 等于（ ） A ．80° B ．50° C ．40° D ．30° 二、填空题（每小题4分,共28分） 9、某公园的一石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为_____． 10、已知一个直角三角形的面积为12cm 2，周长为12 cm ，那么这个直角三角形外接圆的半径是______cm. 11、如图，在△ABC 中，AB 是⊙O 的直径，∠B ＝60°，∠C ＝70°，则∠BOD 的度数是________． 12、如图，△ABC 内接于⊙O ，AC 是⊙O 的直径，∠ACB ＝50°，则∠D ＝_ _____. 13、如图,ABC △内接于O ⊙,AB BC =,120ABC ∠=°,AD 为O ⊙的直径,6=AC ，那么BD = ． B C D A 5题 C A B O E D 8题图 7题
余数性质及同余定理(B级)
一、 带余除法的定义及性质 1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数． 一、 余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝ 2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 余数性质及定理 知识框架
圆的基本概念与性质
圆的有关概念和性质 一 本讲学习目标 1、理解圆的概念及性质，能利用圆的概念和性质解决有关问题。 2、理解圆周角和圆心角的关系；能运用几何知识解决与圆周角有关的问题。 3、了解垂径定理的条件和结论，能用垂径定理解决有关问题。 二 重点难点考点分析 1、运用性质解决有关问题 2、圆周角的转换和计算问题 3、垂径定理在生活中的运用及其计算 三 知识框架 圆的定义 确定一个圆 不在同一直线上的三点点与圆的位置关系 圆的性质 圆周角定理及其推论 垂径定理及其推论距关系定理及其推论圆心角、弦、弧、弦心对称性 四 概念解析 1、 圆的定义，有两种方式： 错误！未找到引用源。在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，一个端点A 随之旋转说形成的图形叫做圆。固定端点O 叫做圆心，以O 为圆心的圆记作O ，线段OA 叫做半径； 错误！未找到引用源。圆是到定点的距离等于定长的点的集合。注意：圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。 2、 与圆有关的概念： 错误！未找到引用源。弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如图1所示 线段AB ，BC ，AC 都是弦； 错误！未找到引用源。直径：经过圆心的弦叫做直径；如AC 是O 的直径，直径是圆中最长的弦； 错误！未找到引用源。弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简 称弧，如曲线BC,BAC 都是O 中的弧，分别记作BC 和BAC ； 错误！未找到引用源。半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成
两条弧，每条弧都叫做半圆，如AC 是半圆； 错误！未找到引用源。劣弧和优弧：像BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像BAC 这样大于 半圆周的圆弧叫做优弧； 错误！未找到引用源。同心圆：圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆； 错误！未找到引用源。弓形：由弦及其说对的弧所组成的图形叫做弓形； 错误！未找到引用源。等圆和等弧：能够重合的两个圆叫做等圆，在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧； 错误！未找到引用源。圆心角：定点在圆心的角叫做圆心角如图1中的∠AOB,∠BOC 是圆心角，圆心角的度数：圆心角的读书等于它所对弧的度数；∠ 错误！未找到引用源。 圆周角：定点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角；如图1中的∠BAC,∠ACB 都是圆周角。 3、 圆的有关性质 ①圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条。圆是中心对称图形，圆心是对称中心，优势旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合。 错误！未找到引用源。垂径定理 A. 垂直于弦的直径平分这条弦，且评分弦所对的两条弧； B. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且评分弦所对的两条弧。如图2 所示。 注意 (1)直径CD ，（2）CD ⊥AB,(3)AM=MB,(4)BD AC =BC ,(5)AD =BD .若 上述5个条件中有2个成立，则另外3个业成立。因此，垂径定理也称五二三定理，即推二知三。（以（1），（3）作条件时，应限制AB 不能为直径）。 错误！未找到引用源。弧，弦，圆心角之间的关系 A. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； B. 同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，他们所对应的其余各组量也相等； 错误！未找到引用源。圆周角定理及推论 A.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半； B.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。 五 例题讲解 例1. 如图所示，C 是⊙O 上一点，O 是圆心，若80AOB =∠，求B A ∠+∠ 的值. 例1题图 A B C O
1.同余的概念及基本性质
第三章 同余 §1 同余的概念及其基本性质 定义 给定一个正整数m ，若用m 去除两个整数a 和b 所得的余数相同，则称,a b 对模m 同余，记作()mod .a b m ≡若余数不同，则称,a b 对模m 不同余，记作 ()\mod a b m ≡. 甲 ()mod . a a m ≡ （甲：jia 3声调； 乙：yi 3声调； 丙：bing 3声调； 丁：ding 1声调； 戊：wu 声调； 己：ji 3声调； 庚：geng 1声调； 辛: xin 1声调 天； 壬: ren 2声调； 癸: gui 3声调.） 乙 若()mod ,a b m ≡则()mod .b a m ≡ 丙 若()()mod ,mod ,a b m b c m ≡≡则()mod .a c m ≡ 定理1 ()mod |.a b m m a b ≡?- 证 设()mod a b m ≡，则12,,0.a mq r b mq r r m =+=+≤<于是， ()12,|.a b m q q m a b -=-- 反之，设|.m a b -由带余除法，111222,0,,0a mq r r m b mq r r m =+≤<=+≤<，于是， ()()1221. r r m q q a b -=-+- 故，12|m r r -，又因12r r m -<，故()12,mod .r r a b m =≡ 丁 若()()1122mod ,mod ,a b m a b m ≡≡则，()1212mod .a a b b m ±≡± 证 只证“+”的情形.因()()1122mod ,mod a b m a b m ≡≡，故1122,m a b m a b --，于是()()()()11221212|m a b a b a a b b -+-=+-+，所以()1212mod .a a b b m +≡+ 推论 若()mod ,a b c m +≡则()mod .a c b m ≡-
4.1基本概念及一次同余式
1. 同余方程15x ≡12(mod99)关于模99的解是__ x ≡14,47,80(mod99)_。 2. 同余方程12x+7≡0 (mod 29)的解是__ x ≡26 (mod 29)_____. 3. 同余方程41x≡3(mod 61)的解是__ _ . 4. 同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是___ x ≡11(mod 37)______ 5. 同余方程13x ≡5(mod 31)的解是_ x ≡ 29(mod 31)__ 6. 同余方程24x ≡6(mod34)的解是__ x ≡13,30(mod34)__ 7. 同余方程26x+1≡33 (mod 74)的解是__ x ≡24,61 (mod 74)_ 8. 同余方程ax +b ≡0(mod m )有解的充分必要条件是__()b m a ,_ 9. 21x ≡9 (mod 43)的解是_ x ≡25 (mod 43)__ 10. 设同余式()m b ax mod ≡有解()m x x mod 0≡，则其一切解可表示为_ _ . 11. 解同余式()15mod 129≡x 12. 同余式()111mod 1227≡x 关于模11有几个解？（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 13. 同余式3x ≡2(mod20)解的个数是（ B ） A.0 B.1 C.3 D.2 14. 同余式72x ≡27(mod81)的解的个数是_9_个。 15. 同余方程15x ≡12(mod27) 16. 同余方程6x ≡4(mod8)有 个解。 17. 同余式28x ≡21(mod35)解的个数是( B ) A.1 B.7 C.3 D.0 18. 解同余方程：63x ≡27(mod72) 19. 同余方程6x≡7(mod 23)的解是__ _ . 20. 以下同余方程或同余方程组中,无解的是（ B ） A.6x ≡10(mod 22) B.6x ≡10(mod 18) C.???≡≡20) 11(mod x 8) 3(mod x D. ???≡≡9) 7(mod x 12) 1(mod x 21. 同余方程12x ≡8(mod 44)的解是x ≡8,19,30,41(mod 44)____ 22. 同余方程20x ≡14(mod 72)的解是 ___ 23. 下列同余方程无解的是( A ) A.2x ≡3(mod6) B.78x ≡30(mod198) C.8x ≡9(mod11) D.111x ≡75(mod321) 24. 解同余方程 17x+6≡0(mod25) 25. 同余方程3x ≡5(mod16) 的解是___ x ≡7(mod16)____ 26. 同余方程3x ≡5(mod14)的解是_ x ≡11(mod14)的解是__。 27. 同余方程3x ≡5(mod13)的解是__ x ≡6(mod13)_________。 28. 下列同余方程有唯一解的是( C )
圆的有关概念和性质
圆的有关性质 【中考考纲解读】 1．课标要求 ①理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系． ②了解圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征． ③掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题． 2．考向指南 从2008、2009两年广东省统一中考数学试卷来看，本讲所学的圆的有关概念、弧长的计算、圆周角定理，垂径定理与三角形的联系等知识点考查的可能性较大．题型以选择题和填空题为主，难度不大，所占分值一般在3～5分． 【考点知识网络】 【中考考点剖析】 考点1：圆的有关概念 1． 圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．其中，定点为圆心，定长为半径 2． 弦：连接圆上任意两点的线段． 3． 直径：经过圆心的弦． 4． 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 5． 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 6． 优弧：大于半圆的弧，用三个大写字母表示，如ABC ． 7． 劣弧：小于半圆的弧，用两个大写字母表示，如AC ． 8． 弓形：由弦及其所对的弧组成的圆形． 9． 同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆． 10．等圆：能够重合的两个圆或半径相等的两个圆． 11．等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧． 12．圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． 13．弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 14．圆周角：顶点在圆上，?并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． ?? ??????????????? ???? ??基本概念:弧 弦 圆心角 圆周角确定圆的条件对称性圆基本性质垂径定理圆心角 弧 弦的关系 圆周角定理2个推论
【重点梳理】-初三数学-圆的基本概念和性质(1)
作业帮一课初中独家资料之【初三数学】 1. 圆的定义 (1)动态：如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径. 以点 O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆 O”． 要点诠释： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者 缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. (2)静态：圆心为 O，半径为 r 的圆是平面内到定点O 的距离等于定长r 的点的集合. 要点诠释： ①定点为圆心，定长为半径； ②圆指的是圆周，而不是圆面； ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点 的集合是球面，一个闭合的曲面. 2.圆的性质 ①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对 称图形，对称中心是圆心； ②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何 一条直线都是圆的对称轴. 要点诠释： ①圆有无数条对称轴； ②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”， 而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”. 3.两圆的性质 两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）. 每周六 10 点，【作业帮一课初中】服务号定时上新独家资料，等你来抢~~~ 核心知识点二：与圆有关的概念 1.弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点诠释： 直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 中任意一条弦，求证：AB≥CD. 证明：连结OC、OD ∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD 过圆心O 时，取“=”号) ∴直径AB 是⊙O 中最长的弦. 2.弧
同余的概念与性质
同余的概念与性质 同余：设m 是大于1的正整数，若用m 去除整数b a ,，所得余数相同，则称a 与b 关于模m 同余，记作)(mod m b a ≡，读作a 同余b 模m ；否则称a 与b 关于模m 不同余记作)(mod m b a ≠。 性质1：)(mod m b a ≡的充要条件是Z t mt b a ∈+=,，也即)(|b a m -。 性质2：同余关系满足下列规律： （1）自反律：对任何模m 都有)(mod m a a ≡； （2）对称律：若)(mod m b a ≡，则)(mod m a b ≡； （3）传递律：若)(mod m b a ≡，)(mod m c b ≡，则若)(mod m c a ≡。 性质 3:若,,,2,1),(mod s i m b a i i =≡则 ).(mod ), (mod 21212121m b b b a a a m b b b a a a s s s s ≡+++≡++ 推论： 设k 是整数，n 是正整数， （1）若)(mod m c b a ≡+，则)(mod m b c a -≡。 （2）若)(mod m b a ≡，则)(mod m a mk a ≡+；)(mod m bk ak ≡；)(mod m b a n n ≡。 性质4：设)(x f 是系数全为整数的多项式，若)(mod m b a ≡，则 ))(mod ()(m b f a f ≡。 性质5：若)(mod m bd ad ≡，且1),(=m d ，则)(mod m b a ≡。 性质6：若)(mod m b a ≡，且m d b d a d |,|,|，则)(mod d m d b d a ≡。
小学数学基本概念及基本性质
小学数学基本概念及基本性质 百分数的意义：一个数是另一个数的的百分之几的数，叫做百分数。百分数又叫百分比或百分率。 税率：应纳税额与各种收入的比率叫税率。 应纳税额：缴纳的税款叫应纳税额。 本金：存入银行的钱叫本金。 利息：取款时银行多支付的钱叫利息。 利率：利息与本金的比率叫利率。 税后利息：取款时实际多支付的钱叫税后利息。 折扣：商品按原价的百分之几出售，通常称为“几折”出售。 比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。 比例的项：组成比例的四个数叫做比例，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内向。 比例的基本性质：两个外项积等于两个内项积。 正比例：两种相关联的量，一种量扩大或缩小若干倍（0除外），另一重量也随之扩大或缩小相同的倍数，这样两种量叫做正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。 反比例：两种相关联的量，一种量扩大或缩小若干倍（0除外），另一重量也随之反而缩小或扩大相同的倍数，这样两种量叫做反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。 正比例图像：正比例图像是一条经过原点的直线。 自然数：用来表示物体个数的叫自然数。 基数：自然数用来表示物体多少时叫基数。 序数：自然数用来物体次序时叫做序数。 数位：各个不同的计数单位所占的位置叫做数位。 位数：指一个数占有数位的个数。 准确数：表示和实际情况完全一致的准确值称准确数。 小数：把单位“1”平均分成10份、100份、1000份······表示其中一份或几份的数的数可以用小数表示。 小数的基本性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”。小数的大小不变。 有限小数：小数部分是有限的。 无限小数：小数部分的数位是无限的。 循环小数：一个小数，从小数的某一位起，一个或几个数字依次不断地重复出现，这个小数叫循环小数。 循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断地重复出现的数字称为该小数的循环节。 纯循环小数：循环节是从小数十分位就开始的，叫做纯循环小数。 混循环小数：循环节不是从小数十分位就开始的，叫做混循环小数。 近似数：一个数与准确数相近（比准确数略多或略少），这个数称为近似数。 分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份多数叫分数。 分母：表示把单位“1”分成若干份的数，叫分母。 分子：把单位“1”分成若干份的数，表示这样几份的数，叫分子。 分数单位：把单位“1”分成若干份的数，取这样几份的数，表示其中一份的叫分数单位。 真分数：分子小于分母的分数叫真分数。 假分数：分子大于或等于分母的分数叫假分数。 分数中的整数：分子是分母的倍数的分数，实际上是整数。
圆基本概念和性质
_O _A 图1 C D 北辰教育学科教师辅导学案 学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 授课类型 T 圆的基本概念 C 圆的基本概念 T 圆的对称性 授课日期及时段 年 月 日 00:00--00:00 教学内容 —————圆的基本概念 知识结构 一、圆的基本概念： 1、圆的概念：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合。如图，把线段OA 绕着端点O 在平面内旋转1周，端点A 运动所形成的图形叫做圆.其中，固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径.记作⊙O ，读作“圆O ”. 2、 2、圆的半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置。 3、圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合。 4、点与圆的位置关系：点P 与圆心的距离为d ，半径为r,则点在直线外?r d >； 点在直线上?r d =； 点在直线内?r d <。 注意：这里是等价关系，即由左边可以推出右边，由右边也可以推出左边。 二、圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系 1、弦：连接圆上任意两点的线段，如图1上弦AB ；直径是一条 特殊的弦，并且是圆中最大的弦；从圆心到弦的距离叫做弦心距。 2、直径：经过圆心的弦，如图1上弦CD 。 3、圆心角：顶点在圆心的角，如图2上：∠AOB 。 4、圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，如图3上：∠BAC 。 3、 5、同心圆：圆心相等、半径不同的两个圆。 图2
4、 6、等圆：半径相同、圆心不同的两个圆。 5、 7、等弧：能够互相重合的弧。同圆或等圆的半径相等。 注意：半圆（或直径）所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径。 8、圆的任意一条直径的两个端点吧圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆。大于半圆 的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。 题型1： 1、概念辨析：判断下列说法是否正确？ （1）直径是弦； （ √ ） （2）弦是直径； （ × ） （3）半圆是弧，但弧不一定是半圆； （ √ ） （4）半径相等的两个半圆是等弧； （ √ ） （5）长度相等的两条弧是等弧； （ × ） （6）半圆是弧； （ √ ） （7）弧是半圆． （ × ） 2、如图，在Rt ABC △中，直角边3AB =，4BC =，点E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以点A 为圆心， AB 的长为半径画圆，则点E 在圆A 的_________，点F 在圆A 的_________． 解题思路：利用点与圆的位置关系，答案：外部，内部 2、如图，扇形OAB 的半径OA ＝3，圆心角∠AOB ＝90°，点C 是弧AB 上异于A 、B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E ，连接DE ，点G 、H 在线段DE 上，且DG ＝GH ＝HE ． （1）求证：四边形OGCH 是平行四边形 （1）连结oc ，交de 于m ， ∵四边形odce 是矩形 ∴om ＝cm ，em ＝dm 又∵dg=he ∴em －eh ＝dm －dg ，即hm ＝gm ∴四边形ogch 是平行四边形 3、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，半径OC ⊥AB ，过CO 的中点D 作DE ∥AB 交⊙O 于点E ，连接EO ，则∠EOC 的度数为_____度． 答案：60 通过半径相等，把条件转化到Rt△ODE 中，OD=OE ，利用特殊直角三角形的性质求解 解：∵OD= OC= OE ，OC⊥AB，DE∥AB， ∴在Rt△ODE 中，∠E=30°， ∴∠EOC=90°-30°=60° 图3
第5讲同余的概念和性质
第5讲同余的概念和性质 解题思路：理解并熟记同余的性质，运用同余性质把数化小、化易。 同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为： a≡b（modm）. 性质1：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a≡c（mod m），（传递性）。 ★性质2：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m），（可加减性）。 ★性质3：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡bd（mod m）（可乘性）。 性质4：若a≡b（mod m），那么a n≡b n（mod m），（其中n为自然数）。 性质5：若ac≡bc（mod m），（c，m）=1，那么a≡b（mod m），（记号（c，m）表示c与m的最大公约数）。 例1 判定288和214对于模37是否同余，74与20呢 例2 求乘积418×814×1616除以13所得的余数。 例3 求14389除以7的余数。
例4 四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，…，这样一直进行下去.请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列 十位，…上的数码，再设M=0a ＋0a ＋…＋n a ，求证：N ≡M （mod 9） 例6 求自然数1002＋1013＋1024的个位数字。 习题 1.验证对于任意整数a 、b ，式子a ≡b （mod1）成立，并说出它的含义。 2.已知自然数a 、b 、c ，其中c ≥3，a 除以c 余1，b 除以c 余2，则ab 除以c 余多少 年的六月一日是星期二，这一年的十月一日是星期几 4.求＋被7除的余数。
一元一次方程的基本概念和性质知识讲解
精品文档 精品文档 第三章 一元一次方程 第一节 一元一次方程的基本性质 1、方程的相关概念 （1）方程：含有未知数的等式叫做方程。 （2）方程的已知数和未知数，例1 （3）方程的解：使方程左、右两边的式子相等的未知数的值叫做方程的解。 （4）解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 （5）方程解的检验 2、一元一次方程的定义 （1）一元一次方程的概念 只含有一个未知数，未知数的最高次数是1，这样的方程叫做一元一次方程。 （2）一元一次方程的形式 标准形式：ax+b=0（其中a 不等于0，a ，b 是已知数）。 最简形式：ax=b （其中a 不等于0，a ，b 是已知数）。 注：一元一次方程的判断标准（首先化简为标准形式或最简形式） A 、只含有一个未知数（系数不为0）. B 、未知数的最高次数为1. C 、方程是整式方程. 3、等式的概念和性质 （1）等式的概念：用“=”来表示相等关系的式子，叫做等式。 （2）等式的性质 等式性质1：等式两边同时加上或者减去同一个数或同一个式子，所得结果仍是等式 等式性质2：等式两边同时乘以或者除以同一个数或者同一个式子（除数不能是0），所得结果仍是等式。 （3）等式的其他性质 A 、对称性：若a=b ，则b=a B 、传递性：若a=b ，b=c 则a=c 例1、判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数 （1）x x =-95 （2）x y 322=- （3）1152+x （4）211-=-- （5）x x -=-24 （6）12 5=-x x 练习题： 判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数 1、3+x 2、1432+=+ 3、x x +=+44 4、21=x 5、312=++x x 6、32=x 7、x x -=-44 8、3)2(2++=+x x x x
初三数学圆的基本概念和性质知识点、
B C 鸣 人 教 育 学 科 教 师 讲 义 【考纲说明】 1、理解圆及其有关概念， 知道圆的对称性，了解弧﹑弦﹑圆心角的关系。 2、了解圆周角与圆心角的关系，了解直径所对的圆周角是直角，会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论。 3、本部分在中考中占5分左右。 【知识梳理】 1.圆的基本概念 定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。固定点O 叫做圆心；线段OA 叫做半径；圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长(半径r)；反之，到定点的距离 等于定长的点都在同一个圆上（另一定义）； 以O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ” 2.圆的对称性及特性： (1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴; (2)圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心. (3)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性 3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 4.直径：经过圆心的弦叫直径。 注：圆中有无数条直径 5.圆弧： (1)圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧” 以A,B 两点为端点的弧.记作AB ,读作“弧AB ”.
(2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。如弧AD. (3)小于半圆的弧叫做劣弧,如记作AB ? (用两个字母). (4)大于半圆的弧叫做优弧,如记作ACB ? (用三个字母). 6.垂径定理及其推论: （1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧； （2）推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。 垂径定理归纳为：一条直线，如果具有：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所 对的劣弧。这五条中可以“知二推三” 7.垂径定理的推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 8.圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角； 9.圆周角：顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角； 10.弦心距：过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离. 11.弧﹑弦﹑圆心角之间的关系 （1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 （2）在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距,如果有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 12.圆周角定理及其推论 （1）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半； （2）圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径。 【经典例题】 【例1】下列判断中正确的是（ ） A. 平分弦的直线垂直于弦 B. 平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 C. 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D. 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 【例2】如果两条弦相等，那么（ ） A ．这两条弦所对的弧相等 B ．这两条弦所对的圆心角相等 C ．这两条弦的弦心距相等 D ．以上答案都不对 【例3】如图，已知AB 为⊙O 的直径，∠ E ＝20°，∠DBC ＝50°，则∠CBE ＝______． 【例4】（08山东滨州）如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD=DE ，AE 与BD 交于点C ，则图
圆性质及基本概念
圆性质及基本概念公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
圆性质及基本概念 一基本概念 1．定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点称为圆心，定长称为半径；圆O记作?O． 2．相关概念： （1）弧：半圆、优弧、劣弧：（2）弦：直径（3）弦心距： （4）圆心角：（5）圆周角：（在同圆或等圆中5要素知道一可推得其他都相等） 二重要定理 垂径定理： 垂直于弦的直径,平分弦并且平分弦所对的优弧和劣弧． 推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的优弧和劣弧． 垂径定理推论一：对于一个圆来说，如果具备下列五个条件中的任何两个，那么也具有其它三个：①垂直于弦，②过圆心，③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧。（当以、②③为题设时，“弦”不能是直径。） 相关定理 圆周角定理： 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半；
圆周角定理推论： 1．直径所对的圆周角是90°，90°圆周角所对弦是直径. 2．同（等）弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等； 三点定圆定理： 三点定圆定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆.三角形的外心与内心 一概念练习 1已知：⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm， CD=10cm，则AB、CD之间的距离为（） A．17cm B．7cm C．12cm D．17cm 或7cm 2下列四个命题： ①直径是弦； ②经过三个点一定可以作圆； ③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等； ④半径相等的两个半圆是等弧． 其中正确的是（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
一元一次方程的基本概念和性质
第三章 一元一次方程 第一节 一元一次方程的基本性质 1、方程的相关概念 （1）方程：含有未知数的等式叫做方程。 （2）方程的已知数和未知数，例1 （3）方程的解：使方程左、右两边的式子相等的未知数的值叫做方程的解。 （4）解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 （5）方程解的检验 2、一元一次方程的定义 （1）一元一次方程的概念 只含有一个未知数，未知数的最高次数是1，这样的方程叫做一元一次方程。 （2）一元一次方程的形式 标准形式：ax+b=0（其中a 不等于0，a ，b 是已知数）。 最简形式：ax=b （其中a 不等于0，a ，b 是已知数）。 注：一元一次方程的判断标准（首先化简为标准形式或最简形式） A 、只含有一个未知数（系数不为0）. B 、未知数的最高次数为1. C 、方程是整式方程. 3、等式的概念和性质 （1）等式的概念：用“=”来表示相等关系的式子，叫做等式。 （2）等式的性质 等式性质1：等式两边同时加上或者减去同一个数或同一个式子，所得结果仍是等式 等式性质2：等式两边同时乘以或者除以同一个数或者同一个式子（除数不能是0），所得结果仍是等式。 （3）等式的其他性质 A 、对称性：若a=b ，则b=a B 、传递性：若a=b ，b=c 则a=c 例1、判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数 （1）x x =-95 （2）x y 322=- （3）1152+x （4）211-=-- （5）x x -=-24 （6）12 5=-x x 练习题： 判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数 1、3+x 2、1432+=+ 3、x x +=+44 4、21=x 5、312=++x x 6、32=x 7、x x -=-44 8、3)2(2++=+x x x x
圆的基本概念和性质—知识讲解(基础)
圆的基本概念和性质—知识讲解（基础） 【学习目标】 1．知识目标：在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性； 2．能力目标：了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系； 3．情感目标：通过圆的学习养成学生之间合作的习惯. 【要点梳理】 要点一、圆的定义及性质 1.圆的定义 (1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 要点诠释： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. (2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 要点诠释： ①定点为圆心，定长为半径； ②圆指的是圆周，而不是圆面； ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 2.圆的性质 ①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心； ②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴. 要点诠释： ①圆有无数条对称轴； ②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”. 3.两圆的性质 两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）. 要点二、与圆有关的概念 1.弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径.