必修四三角恒等变换题型归纳梳理
三角恒等变换题型归纳梳理
一、知识点总结：
1、同角三角函数的基本关系式 ：①22sin cos 1θθ+=，②tan θ=θ
θ
cos sin ， 2、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 3、和角与差角公式
sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=± cos()cos cos sin sin αβαβ
αβ±=
tan tan tan()1tan tan αβαβαβ
±±=
. ααααcos sin 21)cos (sin 2
±=±
?由点(,)a b 的象限决定,tan b
a
?=
). 4、二倍角公式及降幂公式
sin 2sin cos ααα=. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-
2
2tan tan 21tan ααα=
-. 22
1cos 21cos 2sin ,cos 22
αααα-+== 5、三角函数的周期公式
函数sin()y x ω?=+， (A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期2||
T π
ω=
； 函数tan()y x ω?=+，,2
x k k Z π
π≠+
∈(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期||
T πω=
. 二、重难点题型突破：
1、两角和与差的余弦公式的应用
cos()cos cos sin sin αβαβ
αβ±=
例1．（1）（
2019·山东高一期末）（ ）
A B ． C ．
D ． 10208020cos cos cos sin ?-??=12
12
-
【解析】由诱导公式
，所以选择A （2）．已知为锐角，为第三象限角，且，，则的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解析】
为锐角，且，.为第三象限角，且，
，
.故选A. 【变式训练】（1）（2020·四川成都市·棠湖中学高一月考）cos80cos 200sin100sin340+=（ ）
A ．
1
2
B ．2
C ．12
-
D
【详解】
()()()
cos80cos 200sin100sin340cos80cos 18020sin 18080sin 36020+=++--()
cos80cos 20sin80sin 20cos80cos 20sin80sin 20=--=-+()1
cos 8020cos602
=--=-=-.故选：C.
（2）（2018·徐汇区·上海中学高三月考）1cos(2)9αβ-=-
，2sin(2)3αβ-=，且α、02πβ??
∈ ???
，，则
()cos αβ+=________
102080201020sin1020cos cos cos sin cos cos sin
?-??=?-??1020sin1020cos(1020)cos302
cos cos sin ?-??=?+?=?=
αβ12cos 13
α=
3
sin 5β=-()cos αβ-6365
-
3365
-
6365
33
65
α12cos 13α=
5sin 13
α∴==
β3sin 5β=-4
cos 5
β∴==-()12453cos cos cos sin sin 135135αβαβαβ????∴-=+=?-+?- ? ?????63
65
=-
【详解】由,0,
2παβ??
∈ ??
?
，可得：2,2παβπ??-∈-
???，2,2παβπ?
?-∈- ??
?，
又1cos(2)09αβ-=-<，2sin(2)03αβ-=>，所以2,2παβπ??-∈ ???，20,2παβ??
-∈ ???，
sin(2)αβ-=
，cos(2)αβ-=，又因为(2)(2)αβαβαβ+=---，所以 ()[]cos cos (2)(2)αβαβαβ+=---cos(2)cos(2)sin(2)sin(2)αβαβαβαβ=--+--
1293=-+=
. 二、两角和与差的正弦公式的应用
sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±
例2．（1）（2021·江苏高一）sin11cos19cos11cos71??+??的值为（ ）
A B ．
12
C D 【详解】sin11cos19cos11cos71??+??sin11cos19cos11sin19=??+??
()1
sin 1119sin 302
=?+?=?=
.故选：B. （2）（2020·湖南省平江县第一中学高三月考）若,αβ为锐角，且满足4cos 5α=
，5
cos()13
αβ+=，则sin β的值为（ ）
A ．16
65
-
B ．
3365
C ．
5665
D ．
6365
【详解】因为,αβ为锐角，且4cos 5α=
，5cos()13
αβ+=， 所以312
sin ,sin()513ααβ=
+=，所以故sin sin[()]βαβα=+-124533313513565
=?-?=，故选：B.
【变式训练】．（1）（2020·全国高一课时练习）
sin152sin 30cos15
+=__．
【详解】
sin152sin 30sin152sin(4515)cos15cos15
++-=
sin15cos15sin15
1cos15+-==．答案为：1． （2）（2021·浙江宁波市·高一期末）已知35sin ,cos ,0,,,51322ππαβαβπ????
=
=-∈∈ ? ?????
，则()sin αβ+=________.
【详解】30,
,sin 25παα?
?
∈= ??
?，则4cos 5α=，5,,cos 213πβπβ??
∈=- ?
??
，则12sin 13β= ()3541233sin sin cos cos sin 51351365αβαβαβ??+=+=?-+?= ???，故答案为：33
65
三、 两角和与差的正切公式的应用
tan tan tan()1tan tan αβαβαβ
±±=
例3．（1）（2020·全国高一单元测试）已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(3,4)P --，则tan 4πα?
?
+
??
?
的值为（ ） A ．247
-
B ．7-
C ．
247
D ．
1731
【详解】由题意，利用任意角的三角函数的定义可得44tan 33
α-=
=-， 所以4
1tan 13tan 7441tan 13
πααα++?
?+=
==- ?-?
?-.故选：B . （2）．已知，，那么（ ）
()2tan 5αβ+=
1tan 44πβ??-= ???tan 4πα?
?+= ??
?
A ．
B ．
C ．
D ．
【解析】因为，所以，故选:C
【变式训练】（1）（2019·山东菏泽市·高一期中）已知α，β为锐角，3sin 5
α=
，12
cos 13β=，则
()tan αβ+的值为（ ）
A ．56
33
B ．1663
C ．
3356
D ．
6316
【详解】因为α，β为锐角，3sin 5
α=
，12cos 13β=，所以4cos 5α=，5sin 13β=
.所以3
tan 4α=，5
tan 12β=
. 所以()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++==-?5633
.故选：A.
（2）（2020·上海）(
)()()()1tan11tan 21tan31tan 44?
?
?
?
++++的值为（ ）
． A ．222
B ．232
C ．112
D ．122
【详解】因为(
)tan1
tan 44tan 45tan 144
11tan1tan 44
+=+==-，所以tan1tan 441tan1tan 44+=-，
所以(
)()1tan1
1tan 441tan1tan 44tan1tan 44?
?
?
?
++=+++
11tan1tan 44tan1tan 442?=+-+=.
同理：(
)()()()1tan 2
1tan 431tan31tan 42?
?
?
?
++=++()()
1tan 221tan 232??=
=++=
所以，(
)()()()1tan1
1tan 21tan31tan 44?
?
?
?
++++
1318
1322
322
518
()44π
πααββ?
?+
=+-- ??
?()()()tan tan 34tan tan 44221tan tan 4παββππααββπαββ?
?+-- ?
????????+=+--== ? ???????????++- ??
?
()()()()
()()
1tan11tan 441tan 21tan 431tan 221tan 23??
??????????=++?++++????
??
222=.故选：A.
四、二倍角公式的应用
sin 2sin cos ααα=；2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-
22tan tan 21tan ααα=
-；
22
1cos 21cos 2sin ,cos 22
αααα-+== 例4．（1）（2020·
昆明市官渡区第一中学高一开学考试）已知cos 4πα?
?
+
= ?
?
?，则sin 2α=（ ） A ．
45
B ．
25
C ．45
±
D ．2
5
±
【详解】
cos 4πα??+= ??
?,24cos 2=2cos 1245ππαα????∴++-=- ? ?????,即4sin 25α-=-, 所以4
sin 25
α=
.故选:A . （2）.（2020·黑龙江双鸭山市·双鸭山一中高一期末（文））已知tan 34πα??
+=
???
，则tan2α=（ ） A ．3
4
-
B ．43
-
C ．
34
D ．
43
【详解】tan
tan 1tan 4tan 341tan 1tan tan 4
π
απααπα
α++??+=
== ?-??-，解得1tan 2α=， 因此，221
22tan 42tan 21tan 3112ααα?
===-??
- ???
.故选：D 【变式训练】（1）（2020·新疆生产建设兵团第五师高级中学高一开学考试）已知α是锐角，
1sin 233πα??+= ???，则cos 12πα??
- ???
的值是（ ）
A ．
3
B ．3
-
C ．
3
D ．3
-
【详解】设12
x π
α=
-，则12
x π
α=
-，
则1sin 2sin 2sin 2cos 2312323x x x ππππα????
????+
=-+=-== ? ? ????
???????
， 02
π
α<<
，5121212πππα∴-
<-<，即51212
x ππ
-<<，所以，cos 0x >，
21cos 22cos 13x x ∴=-=
，2
2cos 3x ∴=，因此，cos 3
x =.故选：A. （2）（2020·江西高三月考（文））已知3tan 65πα?
?
+
=- ??
?，则sin 23πα?
?+= ???
（ ）
A ．
8
17
B ．817
-
C ．
1517
D ．1517
-
【详解】设6
π
αθ+
=，则223π
αθ+
=，3tan tan 65παθ?
?+==- ??
?，
222
2sin cos 2tan 15
sin 22sin cos cos sin 1tan 17
θθθθθθθθθ∴==
==-++．故选：D. 五、辅助公式的应用
例5.（1）（2020·恩施清江外国语学校高二期末）函数())cos()2
f x x x π
π=-+-的单调增区间
为（ ） A ．5[2,2],66
k k k Z ππ
ππ-
++∈ B ．2[2,2],33
k k k Z ππ
ππ-
++∈ C ．5[2,
2],6
6
k k k Z π
π
ππ-
++∈ D ．2[2,
2],3
3
k k k Z π
π
ππ-
++∈
【详解】())cos()2f x x x π
π=-
+-cos x x =-2sin()6
x π
=-
令222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+，解得：2223
3
k x k π
π
ππ-
+≤≤
+ 所以函数()f x 的单调递增区间为：2[2,
2],3
3
k k k Z π
π
ππ-
++∈，故选：D
（2）（2020·全国高三专题练习（理））已知向量()
sin cos a x x x =-，()sin ,cos b x x =，函数
()f x a b =?．
（1）求()f x 的单调递增区间；（2）当50,
12x π??
∈????
时，求()f x 的值域．
【详解】（1）
向量()
sin cos a x x x =-，()sin ,cos b x x =，
()()
222sin cos cos cos sin cos f x a b x x x x x x x x
∴=?=+-=+-
2cos 22sin 26x x x π?
?=-=- ??
?，
解不等式()2222
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤-
≤+
∈，得()6
3
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈.
因此，函数()y f x =的单调递增区间为(),63k k k Z ππππ?
?-+∈???
?； （2）当50,
12x π??∈????
时，22,663x πππ??-∈-????，则1sin 2126x π?
?-≤-≤ ???，()12f x ∴-≤≤. 因此，函数()y f x =在区间50,
12π??
????
上的值域为[]1,2-.
【变式训练】（1）（2020·忻州实验中学校月考）函数2
1
()sin cos )2
f x x x x =+-最小正周期为（ ） A ．2
B ．1
C ．2π
D ．π
【详解】2
1sin 21cos 21()sin cos )2
222x x f x x x x +?
=+-=
+-??
1sin 22sin 2223x x x π??=+=+ ??
?，22T ππ∴==.故选：D
（2）（2020·邵阳市第二中学高三其他模拟（文））已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>的图象关于直线8
x π=
对称，则ω的最小值为（ ）
A ．
1
3
B ．
23
C ．
43
D ．
83
【详解】
()sin 2sin 3f x x x x πωωω??=+=+ ??
?，由于该函数的图象关于直线8x π
=对称，则
()8
3
2
k k Z π
π
π
ωπ+
=
+∈，得()483k k Z ω=
+∈，0ω>，当0k =时，ω取得最小值4
3
.故选：C. 三、课后训练
1．（2020·莆田第七中学高二期中）sin 45cos15cos 45sin15?+?的值为（ ）
A ．
B ．12
-
C ．
12
D ．
2
【详解】3
sin 45cos15cos 45sin15sin(4515)sin 60?+?=+==
，故选：D.
2.（2020·蚌埠第一中学高三期中）已知sin α=，()sin 10
αβ-=-，,αβ均为锐角，角β等于（ ）
A ．
5π
12
B ．
π3
C ．
π4
D ．
π6
【详解】因为,αβ均为锐角，所以2
2
π
π
αβ-
<-<
.
又()sin αβ-=，所以()cos αβ-=.又sin α=，所以cos α=
. 所以()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ??=--=---??
=5105102??=--= ? ???
.所以π4β=.故选：C . 3．（2020·全国高二）已知α、β为锐角，3
cos 5α=
，()1tan 3
βα-=，则tan β=（ ） A ．
13
9
B ．
913
C ．3
D ．
13
【详解】
α为锐角，则24sin 1cos 5αα
，所以，sin 4
tan cos 3
ααα=
=， ()()()14
tan tan 33tan tan 3141tan tan 133
βααββααβαα+-+∴=-+===????---?.故选：C. 4.（2020·
广西桂林十八中高三月考（文））已知α22sin αα=，则cos2α等于（ ）
A ．
2
3
B ．
29
C ．13
-
D ．
49
-
【详解】因为cos 2sin ααα=，sin 0
α≠，所以cos α=
， 所以2
21
cos22cos
1133
αα=-=
-=-.故选：C. 5．（2020·林芝市第二高级中学高一期末）计算sin15sin30sin75的值等于（
）
A
B C ．
18
D ．
14
【详解】原式111
sin15cos15sin30248
=
=
=．故选C 6．（
2021·全国高三专题练习）要得到函数2sin 2y x x =+-2sin 2y x =的图象（ ）
A ．向左平移
3
π
个单位 B ．向右平移
3
π
个单位 C ．向左平移6
π
个单位 D ．向右平移
6
π
个单位
【详解】依题意2
ππsin 22sin 22sin 236y x x x x ??????=+=+=+ ? ????
??
???，故只需将函数2sin 2y x =的图象向左平移
6
π
个单位.所以选C.
7．（2020·邵阳市第二中学高三其他模拟（文））已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的图象关于直线8
x π=
对称，则ω的最小值为（ ）
A ．
1
3
B ．
23
C ．
43
D ．
83
【详解】
()sin 2sin 3f x x x x πωωω?
?=+=+ ??
?，
由于该函数的图象关于直线8
x π=
对称，则
()8
3
2
k k Z π
π
π
ωπ+
=
+∈，得()4
83
k k Z ω=
+∈， 0ω>，当0k =时，ω取得最小值43
.故选：C.
8.（2020·杭州市西湖高级中学高一月考）在ABC ?中，若()sin sin sin 2A B C C +-=，则ABC ?的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
【详解】
()sin sin sin 2A B C C +-=，()()sin sin sin 2B C B C C ∴++-=，
化简得sin cos sin cos B C C C =，即()cos sin sin 0C B C -=.
cos 0C ∴=或sin sin 0B C -=，即2
C π
=
或b c =.因此，ABC ?为等腰三角形或直角三角形.故选：D.
9．（2019·河北邢台市·邢台一中高一期末）已知()tan αβ1+=，()tan αβ7-=，则tan2β=______．
【详解】()()()()()()
tan tan 173tan2tan 1tan tan 1174αβαββαβαβαβαβ+---??=+--=
=
=-??++-+?,故答案为3
4
-
10.（2020·浙江高一单元测试）已知15sin 17α=
，5cos 13β=-，且 ,2παπ??∈ ???，,2πβπ??
∈ ???
，求cos()αβ+，sin()αβ-.
【详解】∵15sin 17α=
，∴ 8cos 17α==±，∵ ,2παπ??∈ ???
，∴ 8cos 17α=-，
∵ 5cos 13β=-
，∴ 12sin 13β==±，∵ ,2πβπ??∈ ???
，∴ 12sin 13β=，
∴ 851512cos()cos cos sin sin ()140
()17131713221
αβαβαβ+=-=-
?---?=； 155812sin()sin cos cos sin ()()1713121
2271
13αβαβαβ-=-=
?---?=
. 11．（2020·长沙市·湖南师大附中高二月考）设函数()ππsin sin 62f x x x ωω?
???=-
+- ? ??
??
?，其中03ω<<，已知π06f ??
= ???
.
（1）求()f x 的最小正周期；
（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将整个图象向左平移
π4个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在区间π3π,44??
-????
上的最小值.
【详解】（1）因为()ππ1sin sin sin cos cos 6222f x x x x x x ωωωωω?
???=-
+-=-- ? ??
??
?，
所以()3cos 223f x x x x πωωω?
?=
-=- ??
?，
因为π06f ??
= ???，所以066
3f ππ
πω????=-= ? ?????，所以,63k k Z ππωπ-=∈，
所以62,k k Z ω=+∈，又03ω<<，所以2ω=，所以22
T π
π=
=；
（2）因为()23f x x π??
=-
??
?
，将()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不
变）可得3y x π?
?=
- ??
?，
将3y x π??=
- ???图象向左平移π4个单位可得()4312g x x x πππ?????
?=+-=- ? ?????????，
因为π3π,44x ?∈?-
????
，所以π2π,1233x π????-∈- ???????，所以()min 332g x π??
=-=- ???，此时4πx =-，
所以()g x 的最小值为32
-
.
12．（2020·天津南开区·南开中学高三月考）已知函数2()sin cos cos 22f x x x x x ??=-+ ? ???
，x ∈R ．
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）若α为锐角且7129f πα?
?
+
=- ???，β满足()3cos 5
αβ-=，求sin β．
【详解】（Ⅰ）()22sin cos 22
f x x x x x =-
+1sin 2cos 222x x =+
sin 23x π??=+ ???． 所以()f x 的最小正周期T π=，令2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤
+，k Z ∈，
解得51212x k k ππππ-
+≤≤，k Z ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ??
-
+????
，k Z ∈． （Ⅱ）由（Ⅰ）得7sin 2cos 21229f ππααα?
?
?
?+
=+==- ? ??
??
?， 227
cos 22cos 112sin 9
ααα=-=-=-
因为α为锐角，所以1cos 3α=
，sin 3
α=， 又因为()3cos 5αβ-=，所以()4sin 5αβ-=±，
所以()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ=--=?--?-=????
高中数学必修三角函数常考题型同角三角函数的基本关系
高中数学必修三角函数常考题型同角三角函数 的基本关系 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-
同角三角函数的基本关系 【知识梳理】 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.即sin 2 α＋cos 2 α＝1. (2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即 sin α cos α＝tan_α ? ?? ??其中α≠k π＋π2?k ∈Z ?. 【常考题型】 题型一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值 【例1】 (1)已知sin α＝12 13 ，并且α是第二象限角，求cos α和tan α. (2)已知cos α＝－4 5 ，求sin α和tan α. [解] (1)cos 2 α＝1－sin 2 α＝1－? ????12132＝? ?? ??5132 ，又α是第二象限角， 所以cos α<0，cos α＝－ 513，tan α＝sin αcos α＝－125 . (2)sin 2 α＝1－cos 2 α＝1－? ????－452＝? ?? ??352 ， 因为cos α＝－4 5 <0，所以α是第二或第三象限角， 当α是第二象限角时，sin α＝35，tan α＝sin αcos α＝－3 4；当α是第 三象限角时，sin α＝－35，tan α＝sin αcos α＝3 4 .
【类题通法】 已知三角函数值求其他三角函数值的方法 (1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±1－sin2α，求得 cos α的值，再由公式tan α＝sin α cos α 求得tan α的值． (2)若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±1－cos2α，求得 sin α的值，再由公式tan α＝sin α cos α 求得tan α的值． (3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝sin α cos α ＝m?sin α＝ m cos α及sin2α＋cos2α＝1，求得cos α＝± 1 1＋m2 ，sin α＝ ± m 1＋m2 的值． 【对点训练】 已知tan α＝ 4 3 ，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．解：由tan α＝ sin α cos α ＝ 4 3 ，得sin α＝ 4 3 cos α，① 又sin2α＋cos2α＝1，② 由①②得 16 9 cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝ 9 25 . 又α是第三象限角，故cos α＝－ 3 5 ，sin α＝ 4 3 cos α＝－ 4 5 . 题型二、化切求值 【例2】已知tan α＝3，求下列各式的值．
三角恒等变换各种题型归纳分析
三角恒等变换 α/4
题型一：公式的简单运用 例1: 题型二：公式的逆向运用 例2: 题型三：升降幂功能与平方功能的应用 例3. 提高题型： 题型一：合一变换 例1 方法：角不同的时候，能合一变换吗？ . cos sin ,,cos sin .cos sin cos sin ) (;cos sin cos sin ) (.cos )(;cos )(;sin )(;sin )(.x x x x x 2203 132212212221221121420131240111和求已知化简：化简下列各式： πθ θθθθ θθθαα<<=+--+-++-+-?+-?+).2tan(,21)tan(,,2,53sin ][).22tan(,2tan ,5 4 cos ][.tan ,cos ,sin ,,22,13122cos ][.4tan ,4cos ,4sin ,24,1352sin ][y x y x x B A B A ABC -=-??? ??∈=+==?? ? ??∈-=<<=求已知提高练习求中，在△课本例题求已知同型练习求已知课本例题πππαααππαααααπ απα? ?? ?? ? ? -??? ??---? -? -???72cos 36cos )2(;12 5cos 12 cos )1(.34cos 4sin )3(;2 3tan 23tan 1) 2(;2 cos 2 sin )1(.275sin 21)3(;15tan 115tan 2)2(;5.22cos 5.22sin )1(.12 4 4 2 2 ππ παα παα α α 求值：化简下列各式： 求下列各式的值：. )70sin(5)10sin(3.3. 2cos )31(2sin )31(,.212 cos 312 sin .1的最大值求大值有最大值？并求这个最 取何值时当锐角?++?+=- ++-x x y θθθπ π
高中数学必修4三角函数综合测试题
必修4三角函数综合测试题及答案详解 一、选择题 1．下列说法中，正确的是( ) A ．第二象限的角是钝角 B ．第三象限的角必大于第二象限的角 C ．－831°是第二象限角 D ．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角 2．若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π 6的值为( ) A ．0 B.3 3 C ．1 D. 3 3．若|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则θ 2的终边在( ) A ．第一、三象限 B ．第二、四象限 C ．第一、三象限或x 轴上 D ．第二、四象限或x 轴上 4．如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T ，且当x ＝2时取得最大值，那么( ) A ．T ＝2，θ＝π 2 B ．T ＝1，θ＝π C ．T ＝2，θ＝π D ．T ＝1，θ＝π 2 5．若sin ? ???? π2－x ＝－32，且π 7．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到y ＝sin ? ?? ?? x －π6的图象，则φ＝( ) A.π6 B.5π6 C.7π6 D.11π6 8．若tan θ＝2，则2sin θ－cos θ sin θ＋2cos θ的值为( ) A ．0 B ．1 C.34 D.54 9．函数f (x )＝tan x 1＋cos x 的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．既不是奇函数也不是偶函数 10．函数f (x )＝x －cos x 在(0，＋∞)内( ) A ．没有零点 B ．有且仅有一个零点 C ．有且仅有两个零点 D ．有无穷多个零点 三角函数图像及性质练习题 1.已知4k <-，则函数cos 2(cos 1)y x k x =+-的最小值是（ ） Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ．21k + Ｄ．21k -+ 2.已知f (x )的图象关于y 轴对称,且它在［0,+∞)上是减函数,若f (lg x )＞f (1),则x 的取值范围是( ) A.( 10 1 ,1) B.(0, 101)∪(1,+∞) C.( 10 1,10) D.(0,1)∪(10,+∞) 3.定义在R 上的函数f （x ）既是偶函数又是周期函数.若f （x ）的最小正周期是π，且当x ∈［0，2π ］ 时，f （x ）=sin x ，则f （ 3 π 5）的值为( ) A.－ 21 B.2 1 C.－23 D.23 4.定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=f （x +2），当x ∈［3，5］时，f （x ）=2－|x －4|，则( ) A.f （sin 6π）＜f （cos 6π ） B.f （sin1）＞f （cos1） C.f （cos 3π2）＜f （sin 3 π2） D.f （cos2）＞f （sin2） 5.关于函数f （x ）=sin 2x －( 32)|x |+21 ，有下面四个结论，其中正确结论的个数为 ( ) ． ①()f x 是奇函数 ②当x ＞2003时，1 ()2 f x > 恒成立 ③()f x 的最大值是23 ④f （x ）的最小值是12- A.1 B.2 C.3 D.4 6.使)tan lg(cos θθ?有意义的角θ是( ) A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第一、二象限的角 D.第一、二象限或y 轴的非负半轴上的角 7 函数lg(2cos y x =的单调递增区间为 ( ) ． A ．(2,22)()k k k Z ππππ++∈ B ．11 (2,2)()6 k k k Z ππππ++ ∈ C ．(2,2)()6 k k k Z π ππ- ∈ D ．(2,2)()6 k k k Z π ππ+∈ 8．已知函数()sin()(0,)f x x x R ωφω=+>∈,对定义域内任意的x ，都满足条件(6)()f x f x +=,若 sin(3),sin(3)A x B x ωφωωφω=++=+-,则有 ( ) ． A. A>B B. A=B C.A 三角恒等变换问题 三角恒等变换是三角函数部分常考的知识点，是求三角函数极值与最值的一个过渡步骤，有时求函数周期求函数对称轴等需要将一个三角函数式化成一个角的一个三角函数形式，其中化简的过程就用到三角恒等变换，有关三角恒等变换常考的题型及解析总结如下，供大家参考。 例1 （式的变换---两式相加减，平方相加减） 已知11cos sin ,sin cos 2 3 αβαβ+=-=求sin()αβ-的值. 解：两式平方得，221 cos 2cos sin sin 4ααββ++= 两式相加得，1322(cos sin sin cos )36 αβαβ+-= 化简得，59sin()72 βα-=- 即59sin()72 αβ-= 方法评析：式的变换包括： 1、tan(α±β)公式的变用 2、齐次式 3、 “1”的运用（1±sin α, 1±cos α凑完全平方） 4、两式相加减，平方相加减 5、一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘） 例2 （角的变换---已知角与未知角的转化） 已知7sin()24 25π αα-= =，求sin α及tan()3 π α+． 解：由题设条件，应用两角差的正弦公式得 )cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=，即5 7 cos sin =-αα ① 由题设条件，应用二倍角余弦公式得 故5 1sin cos -=+αα ② 由①和②式得5 3sin =α，5 4cos -=α， 于是3 tan 4 α=- 故3 tan()34πα-+=== 方法评析： 1.本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含α）进行转换得到． 2.在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形． 例3（合一变换---辅助角公式） 任意角的三角函数(一) [学习目标] 1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义.2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数的定义理解终边相同角的同一三角函数值相等． 知识点一 三角函数的概念 1．利用单位圆定义任意角的三角函数 如图，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： (1)y 叫做α的正弦，记作sin α， 即sin α＝y ； (2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； (3)y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x (x ≠0)． 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数． 2．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x . 思考 角α三角函数值的大小与角α终边上的点P 离原点距离的远近有关吗？ 答案 角α的三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关． 知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)． 思考 三角函数在各象限的符号由什么决定？ 答案 三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r 总是正值．因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定． 三角恒等变换测试题 第I 卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1、cos 24cos36cos66cos54? ? ? ? -的值为（ ） A 0 B 12 C D 1 2 - 2.3cos 5α=- ，,2παπ?? ∈ ??? ，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（ ） A 、3365- B 、6365 C 、5665 D 、1665 - 3. 函数sin cos y x x =+的最小正周期为（ ） A. 2 π B. π C. 2π D. 4π 4. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为（ ） A 47 - B 47 C 18 D 18- 5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4 cos 5 αβ+=-，则βsin 的值是（ ） A 、3365 B 、1665 C 、5665 D 、6365 6.,)4,43(ππ- ∈x 且3cos 45x π?? -=- ??? 则cos2x 的值是（ ） A 、725- B 、2425- C 、2425 D 、7 25 7. 函数4 4 sin cos y x x =+的值域是（ ） A []0,1 B []1,1- C 13,22?????? D 1,12?? ???? 8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于5 4 ,则这个三角形底角的正弦值为（ ） A 1010 B 1010- C 10103 D 10 103- 9.要得到函数2sin 2y x =的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-=的图像（ ） A 、向右平移6π个单位 B 、向右平移12π个单位 C 、向左平移6π个单位 D 、向左平移12 π 个单位 必修四第一章三角函数测试题 班别 姓名 分数 一、选择题 1．已知cos α＝1 2 ，α∈(370°，520°)，则α等于 ( ) A ．390° B ．420° C ．450° D ．480° 2．若sin x ·tan x <0，则角x 的终边位于 ( ) A ．第一、二象限 B ．第二、三象限 C ．第二、四象限 D ．第三、四象限 3．函数y ＝tan x 2 是 ( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π 2的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数 4．已知函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图，那么ω等于 ( ) A ．1 B ．2 C.12 D.13 5．函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ等于 ( ) A ．－π2 B ．2k π－π 2 (k ∈Z ) C ．k π(k ∈Z ) D ．k π＋π 2(k ∈Z ) 6．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ ＝2，则sin θcos θ的值是 ( ) A ．－310 B.310 C ．±310 D.34 7．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π 10 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸 长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 ( ) A ．y ＝sin ? ???2x －π10 B ．y ＝sin ????2x －π5 C ．y ＝sin ????12x －π10 D ．y ＝sin ??? ?12x －π 20 8．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos ????x 2＋3π2(x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝1 2的交点个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 9．已知集合M ＝???? ??x |x ＝k π2＋π4，k ∈Z ，N ＝{x |x ＝k π4＋π 2，k ∈Z }．则 ( ) A ．M ＝N B ．M N C ．N M D ．M ∩N ＝? 第三节 三角恒等变换 考纲解读 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦，正切公式. 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦，余弦，正切公式，导出二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系. 能利用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差，和差化积，半角公式，但对这三种公式不要求记忆）. 命题趋势探究 高考必考，在选择题，填空题和解答题中都有渗透，是三角函数的重要变形工具.分值与题型稳定，属中下档难度. 考题以考查三角函数式化简，求值和变形为主. 化简求值的核心是：探索已知角与未知角的联系，恒等变换（化同角同函）. 知识点精讲 常用三角恒等变形公式 和角公式 sin()sin cos sin cos αβαβαβ+=+ cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ ++= - 差角公式 sin()sin cos sin cos αβαβαβ-=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ --= + 倍角公式 sin 22sin cos ααα= 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- 22tan tan 21tan α αα =- 降次（幂）公式 2211cos 21cos 2sin cos sin 2;sin ;cos ;222 αα ααααα-+=== 半角公式 sin 2 2α α== sin 1cos tan .21cos sin a α αα α-= =+ 辅助角公式 sin cos ),tan (0),b a b ab a ααα??+=+=≠角?的终边过点(,)a b ，特殊 地，若sin cos a b αα+=，则tan .b a α= 常用的几个公式 sin cos );4π ααα±=± sin 2sin();3 π ααα=± cos 2sin();6 π ααα±=± 题型65 两角和与差公式的证明 题型归纳及思路提示 思路提示 推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路. 例4.33 证明 (1):cos()cos cos sin sin ;C αβαβαβαβ++=- (2)用C αβ+证明:sin()sin cos sin S cos αβαβαβαβ++=+ (3)用(1)(2)证明tan tan :tan().1tan tan T αβαβ αβαβ +++= - 解析(1)证法一：如图4－32（a ）所示，设角,αβ-的终边交单位圆于 12(cos .sin ),(cos(),sin()),P P ααββ--,由余弦定理得 2 221212122()PP OP OP OP OP cos αβ=+-?+ 22[cos cos()][sin sin()]22cos()αβαβαβ?--+--=-+ 22(cos cos sin sin )22cos()αβαβαβ?--=-+ :cos()cos cos sin sin .C αβαβαβαβ+?+=- 证法二：利用两点间的距离公式. 如图4－32（b ）所示12(1,0),(cos ,sin ),(cos(),sin(),A P P αααβαβ++ 3(cos(),sin()),P ββ--由231;OAP OP P ???得，213.AP PP =故 简单三角恒等变换复习 一、公式体系 1、和差公式及其变形： （1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ? )s i n (s i n c o s c o s s i n βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ? )c o s (s i n s i n c o s c o s βαβαβα±= （3）β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± ? 去分母得 )t a n t a n 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=- 2、倍角公式的推导及其变形： （1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+= ?ααα2sin 2 1 cos sin = ?2)cos (sin 2sin 1ααα±=± （2）ααααααααα22 sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+= )sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=? 1 cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=?αααα αα?把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα 2cos 2 2cos 1=+ 【因为α是 2α 的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2 c o s 2c o s 12αα=+ 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 12cos 24cos 2-=αα 或 αα2c o s 24c o s 12=+ 或 αα2c o s 24c o s 12 =+】 α α αααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=? ?把1移项得αα2 sin 22cos 1=- 或 αα 2sin 2 2cos 1=- 【因为α是2 α 的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2s i n 2c o s 12αα=- 或 2 s i n 2c o s 12αα=- 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 αα2sin 214cos 2-= 或 αα2s i n 24c o s 12 =- 或 αα2s i n 2 4c o s 12=-】 三角函数 单元测试 一、选择题 1．sin 210=o （ ） A ． B ． C ．12 D ．12 - 2．下列各组角中，终边相同的角是 ( ) A ．π2k 或()2k k Z π π+∈ B ． (21)k π+或(41)k π± )(Z k ∈ C ．3 k π π± 或k ()3 k Z π ∈ D ．6 k π π+ 或()6 k k Z π π± ∈ 3．已知cos tan 0θθ?<，那么角θ是（ ） A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角 D ．第一或第四象限角 4．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ） A ．2 B ． 1sin 2 C ．1sin 2 D ．2sin 5．为了得到函数2sin(),36 x y x R π =+∈的图像，只需把函数2sin ,y x x R =∈的图 像上所有的点（ ） A ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的3 1 倍（纵坐标不变） B ．向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的3 1 倍（纵坐标不变） C ．向左平移6 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） D ．向右平移6 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） 6．设函数()sin ()3f x x x π? ?=+∈ ?? ?R ，则()f x （ ） A ．在区间2736ππ?? ? ??? ，上是增函数 B ．在区间2π? ? -π-??? ?，上是减函数 C ．在区间84ππ?? ????，上是增函数 D ．在区间536ππ?? ???? ，上是减函数 7．函数sin()(0,,)2 y A x x R π ω?ω?=+>< ∈的部分图象如图所示， 则函数表达( ) A ．)48sin(4π+π-=x y B ．)48sin(4π -π=x y C ．)48sin(4π-π-=x y D ．)4 8sin(4π +π=x y 8． 函数sin(3)4 y x π =-的图象是中心对称图形,其中它的一个对称中心是 ( ) A ．,012π??- ??? B ． 7,012π??- ??? C ． 7,012π?? ??? D ． 11,012π?? ??? 9．已知()21cos cos f x x +=，则 ()f x 的图象是下图的 ( ) A B C D 10．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x =+，当[]3,4x ∈时，()2f x x =-，则 （ ） A ．11sin cos 22f f ??? ?< ? ???? ? B ． sin cos 33f f ππ??? ?> ? ???? ? C ．()()sin1cos1f f < D ．33sin cos 22f f ??? ?> ? ???? ? 二、填空题 11．若2cos 3 α=，α是第四象限角,则sin(2)sin(3)cos(3)απαπαπ-+---＝___ 12．若tan 2α=，则22sin 2sin cos 3cos αααα++=___________ 13．已知3sin 4πα??+= ???，则3sin 4πα?? - ??? 值为 14．设()f x 是定义域为R ，最小正周期为 32 π 的周期函数，若 三角恒等变换中的综合问题 新课标的理念就是将学生由单纯的知识接受者转变为学习的主人,注重的是学生能力的培养,高考命题突出以能立意,加强了对知识综合性和应用性的考查,故常常在知识的交汇处命题,对于三角恒等变换中涉及的题型较多,学习时应理清基本题型,特别是具有典型性的题型,掌握这些基本题型解题的通性和通法,关于三角恒等变换的综合问题归纳起来主要有以下几类: 1 三角函数式的化简 解决这类问题常有两种思路:一是角的变换(即将多种形式的角尽量统一),二是三角名称的变化,尽量减少函数的名称。常用方法有:异名函数化为同名函数,异角化为同角,异次化为同次,切弦互化,特殊角的三角函数与特殊值的互化,或通过函数互化创造条件。 例1、化简其中,α∈(π,2π),分析:题中的角有α和,故必须实行角的统一 解原式= = == ∵α∈(π,2π) ∴<<π, ∴cos<0∴原式=cosα 点评:这类问题着重抓住角的统一或函数名称的统一,通过观察角、函数名,项的次数等,找到突破口,利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简。 练习:已知函数f(x)= ①求f(x)的定义域(答案:f(x)的定义域为x|x≠kπ+,k∈Z;②设α是第四象限的角,且tanα=-,求f(α)的值(答案:) 2 三角函数的求值 求值题常见的类型及解法。 2.1 给角求值:解题时,要认真观察,结合和差化积,积化和差,升降幂公式转化为特殊角并且消去非特殊角的三角函数而求解,主要有下面一些方法:①特殊值代换法:如=sin30°,=cos30°,=sin45°=cos45°;②拼角,拆角法:通过拼(拆)角来寻找特殊角和非特殊角的联系。③常见变化换法,在求值过程中,常见的变换方法有常值代换,切割化弦,收缩变换,降幂与升幂,和差化积,积化和差,以及化异角为同角,化异名为同名,化异次为同次。 训练专题化设计能力系统化培养 必修4三角函数的诱导公式专项练习题 班级：姓名：座号：一、选择题 1. 已知sin(π+α)= 4 5 ，且α是第四象限角，则c os(α－2π)的值是【】 (A) －3 5 (B) 3 5 3 (C) ± 5 (D) 4 5 2. 若cos100 °= k，则t an ( - 80°)的值为【】 (A) －1 k k 2 (B) 1 k k 2 (C) 1 k k 2 (D) － 1 k k 2 3. 在△ABC 中，若最大角的正弦值是2 2 ，则△ABC 必是 【】 (A) 等边三角形(B) 直角三角形(C)钝角三角形(D)锐角三角形 4. 已知角α终边上有一点P(3a，4a)（a≠0），则s in(450 -°α)的值是【】 (A) －4 5 (B) － 3 5 3 (C) ± 5 4 (D) ± 5 5.设A，B，C 是三角形的三个内角，下列关系恒等成立的是【】 (A)cos( A +B)=cosC (B)sin( A+ B)=sin C(C)tan( A+B )=tanC (D)sin A B 2 =sin C 2 二、填空题 6. 若 1 cos( A) ，则s in( A) 的值是. 2 2 2 7. 若cos( ) m (| m |≤1) ，则s in( ) 6 3 是. 8. 计算：t an( 150 ) cos( 570 ) cos( 1140 ) tan( 210 ) sin( 690 ) = . 9. 化简：sin 2( 2( 2( －x)+sin 3 6 +x)= . 10. 化简： 1 2sin10 cos10 2 cos10 1 cos 170 = . 三、解答题 11. 化简 2 tan( ) sin ( ) cos(2 ) 2 3 cos ( ) tan( 2 ) . 12.设f(θ)= 3 2 2cos sin (2 ) cos( ) 3 2 2 2cos ( ) cos(2 ) ，求f( 3 )的值. 简单三角恒等变换 一、公式体系 1、和差公式及其变形： （1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ? )sin(sin cos cos sin βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ? )cos(sin sin cos cos βαβαβα±= （3）β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± ? 去分母得 )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=- 2、倍角公式的推导及其变形： （1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+= ?ααα2sin 2 1 cos sin = ?2)cos (sin 2sin 1ααα±=± （2）ααααααααα2 2 sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+= )sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=? 1 cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=?αααα αα?把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα 2cos 2 2cos 1=+ 【因为α是 2α 的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2 cos 2cos 12α α=+ 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 12cos 24cos 2-=αα 或 αα2cos 24cos 12=+ 或 αα 2cos 2 4cos 12=+】 α ααααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=? ?把1移项得αα2 sin 22cos 1=- 或 αα 2sin 2 2cos 1=- 【因为α是 2 α 的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2sin 2cos 12αα=- 或 2 sin 2cos 12α α=- 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 αα2sin 214cos 2-= 或 αα2sin 24cos 12=- 或 αα 2sin 2 4cos 12=-】 三角恒等变换基础知识及题型分类汇总 /4的两倍，3α是 “二倍角”的 题型一：公式的简单运用 例1: 题型二：公式的逆向运用 例2: 题型三：升降幂功能与平方功能的应用 例3. 提高题型： 题型一：合一变换（利用辅助角公式结合正余弦的和角差角公式进行变形） 例1 方法：角不同的时候，能合一变换吗？ .cos sin ,,cos sin .cos sin cos sin )(;cos sin cos sin )(.cos )(;cos )(; sin )(;sin )(.x x x x x 2203132212212221221121420131240111和求已知化简：化简下列各式： πθ θθθθθθθα α<<=+--+-++-+-?+-?+).2tan(,21)tan(,,2,53sin ][).22tan(,2tan ,54cos ][.tan ,cos ,sin ,,22,13122cos ][.4tan ,4cos ,4sin ,2 4,1352sin ][y x y x x B A B A ABC -=-??? ??∈=+==??? ??∈-=<<=求已知提高练习求中，在△课本例题求已知同型练习求已知课本例题πππαααππαααααπαπα????? ??-??? ??---?-?-???72cos 36cos )2(;125cos 12cos )1(.34cos 4sin )3(;23tan 23tan 1)2(;2cos 2sin )1(.275sin 21)3(;15tan 115tan 2)2(;5.22cos 5.22sin )1(.124422πππααπαααα求值：化简下列各式：求下列各式的值：.)70sin(5)10sin(3.3.2cos )31(2sin )31(,.212 cos 312sin .1的最大值求大值有最大值？并求这个最取何值时当锐角?++?+=-++-x x y θθθππ 三角函数 时间：2021.03.12 创作：欧阳文 一、选择题 1．已知 为第三象限角，则2 α 所在的象限是()． A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限 2．若sin θcos θ＞0，则θ在()． A ．第一、二象限B ．第一、三象限 C ．第一、四象限D ．第二、四象限 3．sin 3π4cos 6π 5tan ? ?? ??3π4－＝()． A ．－4 3 3B ．4 33C ．－4 3D ． 43 4．已知tan θ＋θ tan 1 ＝2，则sin θ＋cos θ等于()． A ．2 B ．2 C ．－2 D ．±2 5．已知sin x ＋cos x ＝5 1 (0≤x ＜π)，则tan x 的值等于 ()． A ．－43 B ．－34 C ．43 D ．34 6．已知sin ＞sin ，那么下列命题成立的是 ()． A ．若，是第一象限角，则cos ＞cos B ．若，是第二象限角，则tan ＞tan C ．若，是第三象限角，则cos ＞cos D ．若 ， 是第四象限角，则tan ＞tan 7．已知集合A ＝{|＝2k π± 3 π2，k ∈Z }，B ＝ { | ＝4k π±3π 2，k ∈Z }，C ＝ {γ|γ＝k π±3π 2，k ∈Z }，则这三个集合之间的关系为()． A ．A ? B ? C B ．B ?A ?C C ．C ?A ?B D ．B ?C ?A 8．已知cos(＋)＝1，sin ＝31 ，则 sin 的值 是()． A ．31 B ．－31 C ．3 22D ．－32 2 9．在(0，2π)内，使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为()． A ．??? ? ?2π ，4π∪??? ??4π5 ，πB ．??? ??π ，4π C ．??? ??4π5 ，4πD ．??? ??π ，4π∪ ??? ??23π ，4π5 10．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有点向左平行移 动3π 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原 三角函数知识点总结 1、任意角。 2、角α的顶点与 重合，角的始边与 重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 3、与角α终边相同的角的集合为 4、 叫做1弧度． 5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是 ． 6、弧度制与角度制的换算公式 7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则L= ． S= 8、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是 () 220r r x y =+>，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限 余弦为正． 10、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 11、同角三角函数的基本关系：(1) ;(2) 。 12、三角函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ???．()6sin cos 2παα??+= ???，cos sin 2παα??+=- ???． 口诀：奇变偶不变，符号看象限． 重要公式 ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 三角函数题型分类总结 题型一：求值（ 1）直接求值：一般角 0 至 360 度之间的角 第一象限的角 （ 2）已知 sin A ，求 cos A 或 tan A ： sin 2 记住两类特殊的勾股数： 3、4、5；5、12、 13 2 sin con 1 tan con 3）运用公式化简求值 （4）齐次式问题 （ 5） 终边问题（ 6）三角函数在各象限的正负性 1、 sin330 = tan690 ° = sin 585o = 2、（ 1）（07 全国 Ⅰ ） 12 是第四象限角， cos ，则 sin 13 （ 2）（ 09 北京 文） 若 sin 4 ,tan 0 ，则 cos 5 （ 3） （07 陕西 ） 已知 sin 5 4 4 ,则 sin cos = 5 （ 4）（ 07 浙江）已知 cos （ ） 3 ，且 | | ，则 tan ＝ 2 2 2 3、 是第三象限角， sin （ ） 1 ，则 cos = 2 cos(5 ) 2 sin cos 4、 若 tan 2 , 则 = sin cos 5、 cos 2sin 2, 则 在第 _______ 象限； cos sin 6、 （08 北京）若角 的终边经过点 P （1， 2），则 cos = 已知 tan( ) 3,则 cos( ) sin (3 - ) = __________ tan 12 , 则 sin 2sin cos 3cos 2 = ________ 3 若 cos 2 ， 是第四象限角 , 则 sin （ 3 2 ) sin( 3 已知 sin 3 ，则 sin 3 值为 ______ ； 7 、 8 、 9 、 2 4 4 )cos( 10、 11、 2sin cos 3sin ， cos 1、设 a sin( )， b cos( ） ， c tan( 11 ) ，则 4 A ． a b c 2、已知 tan160 B ． a c b ＝ a ，则 sin2000 o 的值是 C ． b c a D ． b a c 第一章 三角函数 一、选择题 1．已知 α 为第三象限角，则 2 α 所在的象限是( )． A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限 2．若sin θcos θ＞0，则θ在( )． A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限 D ．第二、四象限 3．sin 3π4cos 6π5tan ??? ??3π4－＝( )． A ．－ 4 3 3 B ． 4 3 3 C ．－ 4 3 D ． 4 3 4．已知tan θ＋θtan 1 ＝2，则sin θ＋cos θ等于( )． A ．2 B ．2 C ．－2 D ．±2 5．已知sin x ＋cos x ＝51 (0≤x ＜π)，则tan x 的值等于( )． A ．－ 4 3 B ．－ 3 4 C ． 4 3 D ． 3 4 6．已知sin α ＞sin ，那么下列命题成立的是( )． A ．若α， 是第一象限角，则cos α ＞cos B ．若α， 是第二象限角，则tan α ＞tan C ．若α， 是第三象限角，则cos α ＞cos D ．若α， 是第四象限角，则tan α ＞tan 7．已知集合A ＝{α|α＝2k π±3π2，k ∈Z }，B ＝{β|β＝4k π±3 π2，k ∈Z }，C ＝ {γ|γ＝k π± 3 π 2，k ∈Z }，则这三个集合之间的关系为( )． A ．A ?B ?C B ．B ?A ?C C ．C ?A ?B D ．B ?C ?A 8．已知cos (α＋β)＝1，sin α＝3 1 ，则sin β 的值是( )．必修4三角函数的图像和性质专题练习
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