幂的运算知识总结
幂的四则运算（知识总结）
一、同底数幂的乘法
运算法则：同底数幂相乘,底数不变，指数相加。用式子表示为：n m n m a a a
+=?(m 、n 是正整数)
练习：
a 3·a =_______
a ·a 7—a 4 ·a 4 =____
二、同底数幂的除法
运算法则:同底数幂相除,底数不变，指数相减。用式子表示为：n m n m a
a a -=÷。(0≠a 且
m 、n 是正整数，m>n 。) 补充：
零次幂及负整数次幂的运算：任何一个不等于零的数的0次幂都等于1；任何不等于零的数的p -（p 是正整数）次幂，等于这个数的p 次幂的倒数。用式子表示为：)0(10≠=a a ，p
p a a 1=-（0≠a ，p 是正整数）。 练习：
1、下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
（1）236x x x =÷ （2）m m m =÷4
5
（3）33a a a =÷ （4）224)()(c c c -=-÷- 2、计算： 03，15-，310-，27-，101-，0
)2004( 三、幂的乘方
运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 用式子表示为：
()n m mn a a =（m 、n 都是正
整数） 注：把幂的乘方转化为同底数幂的乘法
练习：
1、计算：
①()()()()2452232222x x x x -?-?②()()()3
2212m n m a a a a -?-? 2、下列各式的计算中，正确的是（ ） A.()235x
x = B.()236x x = C.()2121n n x x ++= D.326x x x ?= 补充：
同底数幂的乘法与幂的乘方性质比较：
幂的运算 指数运算种类 同底数幂乘法
乘法 加法 幂的乘方
乘方 乘法
四、积的乘方
运算法则：两底数积的乘方等于各自的乘方之积。用式子表示为：()n n n b a b a ?=?(n
是正整数) 扩展
p n m p n m a a a a -+=÷?()np mp p n m b a b a = (m 、n 、p 是正整数) 提高训练
1.填空
(1) (1/10)5×(1/10)3 =
(2) (-2 x 2 y 3) 2 =
(3) (-2 x 2) 3 =
(4) 0.5 -2 =
(5) (－10)2×(－10)0×10-2 =
2.选择题
(1) 下列说法错误的是.
A. (a －1)0 = 1 a ≠1
B. (－a )n = － a n n 是奇数
C.n是偶数, (－a n ) 3 =a3n
D. 若a≠0 ,p为正整数, 则a p =1/a -p
(2) [(-x) 3 ] 2·[(-x) 2 ] 3的结果是( )
A.x-10
B. - x-10
C. x-12
D. - x-12
(3) a m = 3 , a n = 2, 则a m-n 的值是( )
A. 1.5
B. 6
C. 9
D. 8
3.计算题
(1) (-1/2) 2÷(-2) 3÷(-2)–2÷(∏-2005) 0 = =
(2) (-2 a) 3÷a -2 =
(3) 2×2m+1÷2m=
(4) 已知:4m= a , 8n = b ,
求: ①22m+3n的值.
②24m-6n的值.
4．判断正误
（1）a n·a n=2a n；(2) a6+a6=a12；(3) c·c5=c5；
(4) 3b3·4b4=12b12；(5) (3xy3)2=6x2y6
专题13幂函数知识点归纳
3 幂函数知识点归纳 一、 幂函数定义：对于形如：() x f x α=，其中α为常数.叫做幂函数 定义说明： 1、 定义具有严格性，x α 系数必须是1，底数必须是x 2、 α取值是R . 3、 《考试标准》要求掌握α=1、2、3、?、-1五种情况 二、 幂函数的图像 幂函数的图像是由α决定的，可分为五类： 1）1α＞时图像是竖立的抛物线.例如：()2x f x = 2）=1α时图像是一条直线.即() x f x = 3）01α＜＜ 时图像是横卧的抛物线.例如()1 2 x f x = 4）=0α时图像是除去（0,1）的一条直线.即() 0x f x =（0x ≠） 5）0α＜时图像是双曲线（可能一支）.例如 ()-1 x f x = 具备规律: ①在第一象限内x=1的右侧：指数越大，图像相对位置越高（指大图高） ②幂指数互为倒数时，图像关于y=x 对称 ③结合以上规律，要求会做出任意一种幂函数图像 练习：做出下列函数的图像： 1、1α> ①3 y x =或53y x = ②2y x =或43y x = ③32y x =或74 y x = 2、01α<< ①13y x = ②23y x = ③12 y x = 3、0α< ①2 y x -= ②1 y x -= ③32 y x - = ④43 y x =— 三、 幂函数的性质 y=x
3 幂函数的性质要结合图像观察，随着α取值范围的变化，性质有所不同。 1、 定义域、值域与α有关，通常化分数指数幂为根式求解 2、 奇偶性要结合定义域来讨论 3、 单调性：α＞0时，在（0，+∞）单调递增：α=0无单调性；α＜0时，在（0，+∞）单调递减 4、 过定点：α＞0时，过（0,0）、（1,1）两点；α≤0时，过（1,1） 5、 由 ()0 x f x α=＞可知，图像不过第四象限 四、 幂函数类型题归纳 （一） 定义应用： 1、下列函数是幂函数的是 ______ ①21()y x -= ②22y x = ③21 (1)y x -=+ ④0 y x = ⑤1y = 2、若幂函数()y f x = 的图像过点2????? ，则函数()y f x =的解析式为______. 3、已知函数()() 22 1 44m m f x m m x --=--是幂函数，且经过原点，则实数m 的值为__________. 4、已知函数()()2 2 k k f x x k Z -++=∈满足()()23f f <，则k 的值为________ ,函数()f x 的 解析式为__________ 5、设1112,1,,,,1,2,3232a ? ? ∈--- ???? ，已知幂函数()f x x α=是偶函数，且在区间()0,+∞上是减函数，则满足要求的α值的个数是__________. 6、设()y f x =和()y g x =是两个不同的幂函数，集合()(){} |M x f x g x ==，则集合M 中 元素的个数是（ ） （Ａ）1或2或0 (Ｂ) 1或2或3（Ｃ）1或2或3或4 (Ｄ)0或1或2或3 （二） 图像及性质应用 1、 右图为幂函数y x α =在第一象限的图像，则 ,,,a b c d 的大小关系是 （ ） ()A a b c d >>> ()B b a d c >>> d y=x ()C a b d c >>> ()D a d c b >>> 2、如图：幂函数n m y x =（m 、n N ∈，且m 、n 互质）的图象在第一，二象限，且不经过原点，则有 （ ） ()A m 、n 为奇数且 1m n < ()B m 为偶数，n 为奇数，且1m n > ()C m 为偶数，n 为奇数，且1m n < b c
幂的运算方法总结
幂的运算方法总结 姓名：__________ 指导：__________ 日期：__________
作为整式乘除的前奏，幂的运算看似非常简单，实际运用起来却灵活多变。不过，只要熟悉运算的一些基本方法原则，问题就迎刃而解了。而且通过这些方法原则的学习，不但能使我们熟悉幂的运算，还可得到全面的思维训练，现在对此做一探索。
幂的运算的基本知识就四条性质，写作四个公式： ①am×an=am+n ②(am)n=amn ③(ab)m=ambm ④am÷an=am-n 只要理解掌握公式的形状特点，熟悉其基本要义，直接应用一般都容易，即使运用公式求其中的未知指数难度也不大。 问题1 已知a7am=a3a10，求m的值。 思路探索：用公式1计算等号左右两边，得到等底数的同幂形式，按指数也相等的规则即可得m的值。 方法思考：只要是符合公式形式的都可套用公式化简试一试。 方法原则：可用公式套一套。 但是，渗入幂的代换时，就有点难度了。 问题2 已知xn=2,yn=3,求(x2y)3n的值。 思路探索： (x2y)3n中没有xn和yn，但运用公式3就可将(x2y)3n化成含有xn和yn的运算。 因此可简解为，(x2y)3n=x6ny3n=(xn)6(yn)3=26×33=1728 方法思考：已知幂和要求的代数式不一致，设法将代数式变形，变成已知幂的运算的形式即可代入求值。 方法原则：整体不同靠一靠。 然而，遇到求公式右边形式的代数式该怎么办呢？
问题3 已知a3=2,am=3,an=5，求am+2n+6的值。 思路探索：试逆用公式，变形出与已知同形的幂即可代入了。 简解：am+2n+6=ama2na6=am(an)2(a3)2=3×25×4=300 方法思考：遇到公式右边的代数式时，通常倒过来逆用公式，把代数式展开，然后代入。 方法原则：逆用公式倒一倒。 当底数是常数时，会有更多的变化，如何思考呢？ 问题4 已知22x+3－22x+1=48，求x的值。 思路探索：方程中未知数出现在两项的指数上，所以必须统一成一项，即用公式把它们变成同类项进行合并。由此，可考虑逆用公式1，把其中常数的整数指数幂，化作常数作为该项的系数。 简解： 22x+3－22x+1 =22x×23－22x×21 =8×22x－2×22x =6×22x=48 ∴22x=8 ∴2x=3∴x=1.5 方法思考:冪的底数是常数且指数中有常数也有未知数时，通常把常数的整数指数冪化成常数作为其它冪的系数，然后进行其它运算。 问题5
最新指数对数幂函数知识点总结
高考数学（指数、对数、幂函数）知识点总结2 整理人：沈兴灿 审核人：沈兴灿 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ， )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质(1) (0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈. (2)()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈.(3)()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈. （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2 x N N a a x =?=log ；规律：底数a 保持不变 3注意对数的书写格式． 两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数Λ71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化。规律：底数a 保持不变 幂值 真数 （二）对数的运算性质 (1)负数和零没有对数； (2)1的对数是0，即01log =a (a ＞0,且a ≠1)；特殊地：ln10= (3)底的对数是1，即1log =a a (a ＞0,且a ≠1)；特别地：ln 1e = （三）对数运算法则。若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a a a M M N N =-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. (4)N n N a n a log 1log = （5）对数的换底公式 log log log m a m N N a = (0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 推论 log log m n a a n b b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). a b b a log 1 log = (a ＞0,且 b ＞0). （6）指数恒等式：a N a N l o g = （由②N log b ①N a a b ==，,将②代入①得a N a N l o g =）
幂函数题型归纳
幂函数知识点归纳及题型总结 一、 幂函数定义：对于形如：() x f x α=，其中α为常数.叫做幂函数 定义说明： 1、 定义具有严格性，x α系数必须是1，底数必须是x 2、 α取值是R . 3、 《考试标准》要求掌握α=1、2、3、?、-1五种情况 二、 幂函数的图像 幂函数的图像是由α决定的，可分为五类： 1）1α＞时图像是竖立的抛物线.例如：()2x f x = 2）=1α时图像是一条直线.即() x f x = 3）01α＜＜ 时图像是横卧的抛物线.例如()1 2x f x = 4）=0α时图像是除去（0,1）的一条直线.即() 0x f x =（0x ≠） 5）0α＜时图像是双曲线（可能一支）.例如() -1 x f x = 具备规律: ①在第一象限内x=1的右侧：指数越大，图像相对位置越高（指大图高） ②幂指数互为倒数时，图像关于y=x 对称 ③结合以上规律，要求会做出任意一种幂函数图像 三、幂函数的性质 幂函数的性质要结合图像观察，随着α取值范围的变化，性质有所不同。 1、 定义域、值域与α有关，通常化分数指数 幂为根式求解 2、 奇偶性要结合定义域来讨论 3、 单调性：α＞0时，在（0，+∞）单调递 增：α=0无单调性；α＜0时，在（0，+∞）单调递减 4、 过定点：α＞0时，过（0,0）、（1,1）两
点；α≤0时，过（1,1） 5、 由 ()0 x f x α=＞可知，图像不过第四象限 一、幂函数解析式的求法 1. 利用定义 （1）下列函数是幂函数的是 ______ ①21()y x -= ②22y x = ③21(1)y x -=+ ④0 y x = ⑤1y = （2（3 2 3 1． （1）、函数3 x y =的图像是（ ） （2）右图为幂函数y x α =在第一象限的图像，则,,,a b c d 的大小关系是 （ ）
高一数学幂函数知识点总结
高一数学幂函数知识点总结 函数是高中数学中比较重要的一项知识，学好函数可以提高自己的数学知识水平。下面就让小编给大家分享一些高一数学幂函数知识点总结吧，希望能对你有帮助! 高一数学幂函数知识点总结篇一一、一次函数定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。 即：y=kx(k为常数，k0) 二、一次函数的性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数) 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1.作法与图形：通过如下3个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线，可以作出一次函数的图像一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴
和y轴的交点) 2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。 3.k，b与函数图像所在象限： 当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大; 当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b0时，直线必通过一、二象限; 当b=0时，直线通过原点 当b0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。 这时，当k0时，直线只通过一、三象限;当k0时，直线只通过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式： 已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。 (2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b①和y2=kx2+b② (3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。
高一数学幂函数知识点总结
高一数学幂函数知识点总结 一、一次函数定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。 即：y=kx(k为常数，k≠0) 二、一次函数的性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数) 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1.作法与图形：通过如下3个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点) 2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。
3.k，b与函数图像所在象限： 当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大; 当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b>0时，直线必通过一、二象限; 当b=0时，直线通过原点 当b<0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数 的图像。 这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通 过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式： 已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的 表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。 (2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……② (3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。 一、高中数学函数的有关概念 1.高中数学函数函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照 某个确定的对应关系f，使对于函数A中的任意一个数x，在函数B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从函数A 到函数B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x 的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的函数{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
指对幂函数知识点总结
〖2.1〗指数函数 [2.1.1】指数与指数幂的运算 (1) 根式的概念 ① 如果x " = aa R, x ? R, n 1 ,且n N .，那么x 叫做a 的n 次方 根.当 n 是奇数时，a 的n 次方根用符号：a 表示；当n 是偶数时， 正数a 的正的n 次方根用符号 蔦表示，负的n 次方根用符号一蔦 表示；0的n 次方根是0 ;负数a 没有n 次方根. ② 式子蔦叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数.当 n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，a_0 . ③根式的性质：(n .a)n =a ;当口为奇数时，n -a n =a ;当n 为偶 (2) 分数指数幂的概念 m ① 正数的正分数指数幂的意义是： a 下「n /(a 0, m, n ?N ,且 n 1). 0 的正分数指数幂等于0. ② 正数的负分数指数幂的意义是： a n =([)n (丄)m (a 〉0,m,门邛十且nn1) . 0 的负分数指数幂没有 a , a 意义. 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数. (3) 分数指数幂的运算性质 ① a r a $ = a r s (a 0,r, s R) ③(ab)r =a r b r (a 0,b 0,r R) 【2.1.2】指数函数及其性质 数时， Wa (a —0) (a ： ②(a r )s = a rs (a 0,r,s R)
(4)指数函数
〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若a?N（a 0,且a=1），贝卩x叫做以a为底N的对数，记作x=log a N，其中a叫做底数，N叫做真数.
指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结
(一）指数与指数函数 1.根式 （1）根式的概念 （２)．两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n m n a a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n m n a a m n N n a a - *= = >∈>、且 ③０的正分数指数幂等于０，0的负分数指数幂没有意义． 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2)有理数指数幂的性质 ①a r ａｓ =a r+ｓ （ａ＞0,r 、ｓ∈Ｑ）; ②（a r )s ＝a rs (a>0,r 、s ∈Q ）; ③(ａb)r =a r ｂs (a>０,b>0,r ∈Q );. 3.指数函数的图象与性质 y ＝ａ ｘ a>1 0 图象 定义域R 值域(０，+∞) 性质(１)过定点（0，1) （2)当ｘ＞0时，y>1; x<０时，0 幂函数 （1）幂函数的定义： 一般地，函数y x α =叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． ①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限，图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q p α= （其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q p y x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q p y x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q p y x =是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α =∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下 方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上 方，若1x >，其图象在直线y x =下方． 幂函数练习题 一、选择题： 1．下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是 （ ） A ．y x =43 B ．y x =32 C ．y x =-2 D ．y x =-14 2．函数2 -=x y 在区间]2,2 1[上的最大值是 （ ） A ． 4 1 B ．1- C ．4 D ．4- 3．下列所给出的函数中，是幂函数的是 （ ） A ．3 x y -= B ．3 -=x y C ．3 2x y = D ．13 -=x y 4．函数3 4x y =的图象是 （ ） A ． B ． C ． D ． 5．下列命题中正确的是 （ ） A ．当0=α时函数α x y =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点 C ．若幂函数αx y =是奇函数，则α x y =是定义域上的增函数 D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 6．函数3 x y =和3 1 x y =图象满足 （ ） A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线x y =对称 7． 函数R x x x y ∈=|,|，满足 （ ） A ．是奇函数又是减函数 B ．是偶函数又是增函数 C ．是奇函数又是增函数 D ．是偶函数又是减函数 8．如图1—9所示，幂函数α x y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ） A ．102431<<<<<αααα B ．104321<<<<<αααα 1α 4α 2α 【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时， a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n n 次方 根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当 n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质 ： n a =；当 n 为奇数时 ， a =；当 n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数 幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0 的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③() (0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 【2.2.1】对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数， N 叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式 log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． （3）常用对数与自然对数 常用对数：lg N ，即10 log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1, 0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b = ≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 【2.2.2】对数函数及其性质 高考数学知识点：幂函数知识点_知识点总结 定义： 形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。定义域和值域： 当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域 性质： 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数； 排除了为0这种可能，即对于x0的所有实数，q不能是偶数； 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。 总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数； 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域。 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.可以看到： (1)所有的图形都通过(1，1)这点。 (2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。 (3)当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。 (4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。 (5)a大于0，函数过(0，0)；a小于0，函数不过(0，0)点。 (6)显然幂函数无界。 一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ g123 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地，函数 a y x =叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数的情况)． 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质： a y x =有下列性质： (1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． (2)0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4)任何幂函数图象都不经过第四象限； (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =（0a >，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b = log b a a N N b =?=（0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+． log log log a a a M M N N =-． 指数函数、对数函数及幂函数 Ⅰ.指数与指数函数 1.指数运算法则：（1）r s r s a a a +=； （2）() s r rs a a =； （3）()r r r ab a b =； （4）m n m n a a =； （5）m n n m a a - = （6）,||,n n a n a a n ?=? ?奇偶 2. 指数函数： 【基础过关】 类型一：指数运算的计算题 此类习题应牢记指数函数的基本运算法则，注意分数指数幂与根式的互化，在根式运算或根 指数函数 0 式与指数式混合运算时，将根式化为指数运算较为方便 1 、5+的平方根是______________________ 2、 已知2=n a ，16=mn a ，则m 的值为………………………………………………( ) A ．3 B ．4 C ．3 a D ．6 a 3、 化简 (b a b +-的结果是………………………………( ) A 、a - 、a a D 、2b a + 4、已知0.001a = ，求：413 3 223 3 8(14a a b a b -÷-+=_________________ 5、已知1 3x x -+=，求（1）1 12 2 x x - +=________________（2）332 2 x x -+=_________________ 6 、若y y x x -+=，其中1,0x y ><，则y y x x --=______________ 类型二：指数函数的定义域、表达式 指数函数的定义域主要涉及根式的定义域，注意到负数没有偶次方根；此外应牢记指数函数的图像及性质 函数) (x f a y =的定义域与)(x f 的定义域相同 1、若集合A={ 113x x y -= },B={ x s A B =?= 则____________________ 2、如果函数()y f x =的定义域是[1,2],那么函数 1(2)x y f -=的定义域是________ 3、下列函数式中，满足f(x+1)=1 2f(x)的是……………………………………………( ) A 、()1 12x + B 、 1 4x + C 、2x D 、 幕函数 ①图象分布：幕函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象?幕函数是偶函数时， 图象分布在第一、二象限（图象关于y轴对称）；是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原点对称）；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 ②过定点：所有的幕函数在（0,）都有定义，并且图象都通过点（1,1）? ③单调性：如果0，则幕函数的图象过原点，并且在[0,）上为增函数?如果0, 则幕函数的图象在（0,）上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴. ④奇偶性：当为奇数时，幕函数为奇函数，当为偶数时，幕函数为偶函数.当q（其 P q 中p, q互质，p和q Z ），若p为奇数q为奇数时，则y x p是奇函数，若p为奇数q为 q q 偶数时，则y x p是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则y x p是非奇非偶函数. ⑤图象特征：幕函数y x ,x （0,），当1时，若0x1,其图象在直线y x下 方，若x 1，其图象在直线y x上方，当1时，若0x1,其图象在直线y x上 方，若x 1，其图象在直线y x下方. 、选择题: 幕函数练习题 F列函数中既是偶函数又是,0)上是增函数的 是 A. 4 3 x3B . y x2 C. y x 2 D. y 2. 函数 y x 2在区间【1,2］上的最大值是 A. B . 1 C . 4 D 3. 4 F列所给出的函数中，是幕函数的是 A. 4. 函数 ( ) ( ) x3 1 5. F列命题中正确的是 A. 0时函数y x 的图象是一条直线 B . 幕函数的图象都经过( 0, 0)和(1 , 占 八 、、 C. 若幕函数y x是奇函数，则y x D . 6. A. 幕函数的图象不可能出现在第四象限 1 x3图象满足 .关于x轴对称 函数y x3和y 关于原点对称 B 函数y x | x |,x R，满足 A. C. 是奇函数又是减函数 是奇函数又是增函数 是定义域上的增函数 ( ) .关于y轴对称 .是偶函数又是增函数 D.是偶函数又是减函数 .关于直线y x对称 A . 1 3 0 4 2 B. 0 1 2 3 4 C 2 4 0 3 1 D 3 2 0 4 1 &如图1 —9所示，幕函数y 1 1 1 1 幂的运算方法总结 幂的运算的基本知识就四条性质，写作四个公式： ①a m×a n=a m+n ②(a m)n=a mn ③(ab)m=a m b m ④a m÷a n=a m-n 只要理解掌握公式的形状特点，熟悉其基本要义，直接应用一般都容易，即使运用公式求其中的未知指数难度也不大。 问题1、已知a7a m=a3a10，求m的值。 思路探索：用公式1计算等号左右两边，得到等底数的同幂形式，按指数也相等的规则即可得m的值。 方法思考：只要是符合公式形式的都可套用公式化简试一试。 方法原则：可用公式套一套。 但是，渗入幂的代换时，就有点难度了。 问题2、已知x n=2,y n=3,求(x2y)3n的值。 思路探索：(x2y)3n中没有x n和y n，但运用公式3就可将(x2y)3n化成含有x n 和y n的运算。 因此可简解为，(x2y)3n =x6n y3n=(x n)6(y n)3=26×33=1728 方法思考：已知幂和要求的代数式不一致，设法将代数式变形，变成已知幂的运算的形式即可代入求值。 方法原则：整体不同靠一靠。 然而，遇到求公式右边形式的代数式该怎么办呢？ 问题3、已知a3=2,a m=3,a n=5，求a m+2n+6的值。 思路探索：试逆用公式，变形出与已知同形的幂即可代入了。 简解：a m+2n+6=a m a2n a6=a m(a n)2(a3)2=3×25×4=300 方法思考：遇到公式右边的代数式时，通常倒过来逆用公式，把代数式展开，然后代入。 方法原则：逆用公式倒一倒。 当底数是常数时，会有更多的变化，如何思考呢？ 问题4、已知22x+3－22x+1=48，求x的值。 思路探索：方程中未知数出现在两项的指数上，所以必须统一成一项，即用公式把它们变成同类项进行合并。由此，可考虑逆用公式1，把其中常数的整数指数幂，化作常数作为该项的系数。 简解：22x+3－22x+1=22x×23－22x×21=8×22x－2×22x =6×22x=48 ∴22x=8 ∴2x=3 ∴x=1.5 方法思考:冪的底数是常数且指数中有常数也有未知数时，通常把常数的整数指数冪化成常数作为其它冪的系数，然后进行其它运算。 问题5、已知64m+1÷2n÷33m=81,求正整数m、n的值。 思路探索：幂的底数不一致使运算没法进行，怎样把它们变一致呢？把常数底数都变成质数底数就统一了。 简解：64m+1÷2n÷33m =24m+1×34m+1÷2n÷33m=24m+1-n×3m+1=81=34 ∵m、n是正整数∴m+1=4,4m+1－n=0 ∴m=3,n=13 方法思考：冪的底数是常数时，通常把它们分解质因数，然后按公式3展开，即可化成同底数冪了。 问题6、已知2a=3,2b=6,2c=12，求a、b、c的关系。 思路探索：求a、b、c的关系，关键看2a、2b、2c的关系，即3、6、12的关系。6是3的2倍，12是6的2倍，所以2c=2×2b=4×2a,由此可求。 简解：由题意知2c=2×2b=4×2a ∴2c=2b+1=2a+2 ∴c=b+1=a+2 学习必备 精品知识点 幂的四则运算（知识总结） 一、同底数幂的乘法 运算法则：同底数幂相乘,底数不变，指数相加。用式子表示为： n m n m a a a +=?(m 、n 是正整数) 二、同底数幂的除法 运算法则:同底数幂相除,底数不变，指数相减。用式子表示为：n m n m a a a -=÷。(0≠a 且m 、n 是正整数，m>n 。) 三、幂的乘方 运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 用式子表示为： ()n m mn a a =（m 、n 都是正整数） 注：把幂的 乘方转化为同底数幂的乘法 练习： 1、计算： ①()()()()2 4 5 2 2 32222x x x x -?-? ②()()() 3 2 212m n m a a a a -?-? 补充： 同底数幂的乘法与幂的乘方性质比较： 幂的运算 指数运算种类 同底数幂乘法 乘法 加法 幂的乘方 乘方 乘法 四、积的乘方 运算法则：两底数积的乘方等于各自的乘方之积。用式子表示为： () n n n b a b a ?=?(n 是正整数) 扩展 p n m p n m a a a a -+=÷? () np mp p n m b a b a = (m 、n 、p 是正整数) 提高训练 1.填空 (1) (1/10)5 ×(1/10)3 = (2) (-2 x 2 y 3) 2 = (3) (-2 x 2 ) 3 = (4) 0.5 -2 = (5) (－10)2 ×(－10)0 ×10-2 = 2.选择题 (1) 下列说法错误的是. A. (a －1)0 = 1 a ≠1 B. (－a )n = － a n n 是奇数 C. n 是偶数 , (－ a n ) 3 = a 3n D. 若a ≠0 ,p 为正整数, 则a p =1/a -p (2) [(-x ) 3 ] 2 ·[(-x ) 2 ] 3 的结果是( ) A. x -10 B. - x -10 C. x -12 D. - x -12 (3) a m = 3 , a n = 2, 则a m-n 的值是( ) A. 1.5 B. 6 C. 9 D. 8 3.计算题 (1) (-1/2 ) 2 ÷(-2) 3 ÷(-2) –2 ÷(∏-2005) 0 = = (2) (-2 a ) 3 ÷a -2 = 〖2.１〗指数函数 【２.1.1】指数与指数幂的运算 (1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时,a 的n ;当n 是偶数时,正数a 的正的n n 次方根用 符号表示;0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根. 这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时，a 为任意实数;当n 为 偶数时，0a ≥． ③根式的性质 : n a =;当 n 为奇数时 , a =；当 n 为偶数时 , (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >.０的正分数指数幂 等于0. ②正数的负分数指数幂的意义是 : 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >.0 的 负分数指数幂没有意义. 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数. (3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③() (0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 【2.１.2】指数函数及其性质 (4）指数函数 〖2．2〗对数函数 【2．2.１】对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x N =,其中a 叫做底 数,N 叫做真数. ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化:log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>. （２）几个重要的对数恒等式 log 10a =，log 1a a =,log b a a b =． （3)常用对数与自然对数 常用对数:lg N ，即10 log N ；自然对数:ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）. (４）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法:log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N =幂函数知识点总结与练习题
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