小学六年级奥数：比较分数的大小
小学六年级奥数：比较分数大小的方法
对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：
分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；
分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。
第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。
由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。下面我们介绍另外几种方法。
一“通分子”。
当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。
如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。
二万能方法.化为小数。
三.先约分，后比较。
有时已知分数不是最简分数，可以先约分。
四.根据倒数比较大小。倒数大的原分数小。
五.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。，
六.借助第三个数进行比较。有以下几种情况：
（1）对于分数m和n，若m＞k，k＞n，则m＞n。
（2）对于分数m和n，若m-k＞n-k，则m＞n。
前一个差比较小，所以m＜n。
（3）对于分数m和n，若k-m＜k-n，则m＞n。
注意，（2）与（3）的差别在于，（2）中借助的数k小于原来的两个分数m和n；（3）中借助的数k大于原来的两个分数m和n。
（4）把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。新分数一定介于两个已知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分数小。
例题：已知自然数m ,n满足3/4 分析：3/4<（3+4）/(4+5）<4/5,m =7, n=9,m+n的最小值是16. 利用这一点，当两个已知分数不容易比较大小，新分数与其中一个已知分数容易比较大小时，就可以借助于这个新分数。 比较分数大小的方法还有很多，同学们可以在学习中不断发现总结，但无论哪种方法，均来源于：“分母相同，分子大的分数大；分子相同，分母小的分数大”这一基本方法。 练习 1.比较下列各组分数的大小： 答案与提示练习 第二十四周 比较大小 专题简析： 我们已经掌握了基本的比较整数、小数、分数大小的方法。本周将进一步研究如何比 较一些较复杂的数或式子的值的大小。 解答这种类型的题目，需要将原题进行各种形式的转化，再利用一些不等式的性质进 行推理判断。如：a ＞b ＞0，那么a 的平方＞b 的平方；如果a ＞b ＞0，那么＜；如果 1a 1b ＞1，b ＞0，那么a ＞b 等等。 a b 比较大小时，如果要比较的分数都接近1时，可先用1减去原分数，再根据被减数相 等（都是1），减数越小，差越大的道理判断原分数的大小。 如果两个数的倒数接近，可以先用1分别除以这两个数。再根据被除数相等，商越小， 除数越大的道理判断原数的大小。 除了将比较大小转化为比差、比商等形式外，还常常要根据算式的特点将它作适当的 变形后再进行判断。 练习一 1、比较和的大小。42134312 2、比较和的大小。322122321123 3、比较和的大小。904991 48练习二： 1、比较和的大小。777777577777776666661 6666663 2、将， ，，按从小到大的顺序排列出来。98765987669876987798798898993、比较和的大小。 235861235862652971652974练习三： 1、 比较A ＝和B ＝的大小 3331666331662、 比较和的大小 1111111102222222214444444438888888873、 比较和的大小。 8888887888888999999919999994 练习四 1、 已知A×1＝B×90％＝C÷75％＝D×＝E÷1。把A 、B 、C 、D 、E 这5个数从小到 234515大排列，第二个数是___ ___. 2、 有八个数，0.Error!Error! ，，， 0.5Error!，，是其中的六个数，如果从小到235924471325大排列时，第四个数是0.5Error!，那么从大到小排列时，第四个数是哪个？ 3、 在下面四个算式中，最大的得数是几？ （1）（+）×20 （2）（+）×30 117119124129（3）（+）×40 （4）（+）×50 131137141147练习五 1、××××××××…×的积与比较，哪个大？12345678109121114131615181736356 1 1.8分数大小比较 1.8.1母同看子法 分母相同，分子大的分数比较大。例如： 1.8.2子同看母法 分子相同，分母大的分数比较小。例如： 1.8.3与1比较法 1.8.4半比法 1.8.5等差比较法 如果两个分数的分子分别比各自的分母小相同的数，分子、分母稍大的那个分数比较大。例如： 如果两个分数是假分数，而且分子、分母的差分别相同，那么，分母大的那个分数比较小。 1.8.6相减比较法 如果一个分数的分子和分母都比另一个分数的分子和分母大，可把分子的差做分子、分母的差做分母，得到一个新的分数。若新分数比原来分数中的任意一个分数大，则原来的两个分数中分母大的那个分数较大。例如： 1.8.7同加比较法 如果一个真分数的分子和分母同时加上一个数（0除外），正好和另一个分数相等，那么，另一个分数比较小。例如： 如果一个假分数的分子和分母同时加上一个数（0除外），正好和另一个分数相等，那么，另一个分数比较小。例如： 1.8.8同减比较法 如果一个真分数的分子和分母同时减去一个数（0除外），正好和另一个分数相等，那么，另一个分数比较小。例如： 如果一个假分数的分子和分母同时减去一个数（0除外），正好和另一个分数相等，那么另一个分数比较大。例如： 1.8.9化成整数比较 用两个分母分别去乘两个分数，将分数化成整数，整数大的原分数较大。例如： 1.8.10化成小数比较 1.8.11化一个分数为整数比较 1.8.12两数相减比较法 两个分数直接相减，所得之差大于0，则被减数大于减数。例如： 1.8.13两数相除比较法 1.8.14倒数比较法 倒数小的分数大。例如： 1.8.15化为百分数比较 1.8.16分别除以一个数比较 1.8.17分别加上一个数比较 1.8.18分别减去一个数比较 1.8.19由规律比较 聪明屋：苍蝇散步 一只苍蝇和它的孩子在一个秃头上散步，过了一会儿，它若有所思的说：“孩子们，时间过得真快啊，我像你们这么大的时候，这儿只是一条小道。” 第三讲 比较分数的大小 一、 考点、热点回顾 对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是： （1）分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大； （2）分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。 （3）分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。 由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。下面我们介绍另外几种方法： 1、“通分子”。 当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。 2、化为小数。 3、先约分，后比较。 有时已知分数不是最简分数，可以先约分。 4、根据倒数比较大小，倒数大的分数小 5、若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。 6、借助第三个数进行比较。有以下几种情况： （1）对于分数m 和n ，若m ＞k ，k ＞n ，则m ＞n 。 （2）对于分数m 和n ，若m-k ＞n-k ，则m ＞n 。 （3）对于分数m 和n ，若k-m ＜k-n ，则m ＞n 。 注意：（2）与（3）的差别在于，（2）中借助的数k 小于原来的两个分数m 和n ；（3）中借助的数k 大于原来的两个分数m 和n 。 （4）把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。新分数一定 介于两个已知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分数小。 7、交叉相乘法：如比较 b d a c 和的大小，交叉相乘后，如果ac bd >，那么说明a b 大. 8、基准数法：最常用的是把1选为基准数，还有常用的像1123 ，这样的分数. 9、两数相减法：两个分数相减，如0a b ->，则a 大；反之则b 大. 两数相除法：两个分数相除，如1a b ÷>，则a 大；反之则b 大. 二、典型例题 例1、 比较分数3214和531 6的大小 小学奥数最大值最小值问题汇总 1．三个自然数的和为15，这三个自然数的乘积最大可能是_______。 3．一个长方形周长为24厘米，当它的长和宽分别是_______厘米、_______厘米时面积最大，面积最大是_______平方厘米。 4．现在有20米的篱笆，利用一堵墙围一个长方形鸡舍，要使这个鸡舍面积最大，长应是_______米，宽应是_______米。 5．将16拆成若干个自然数的和，要使和最大，应将16拆成_______。 6．从1，2，3，…，2003这些自然数中最多可以取_______个数，才能使其中任意两个数之差都不等于5。 7．一个两位小数保留整数是6，这个两位小数最大是_______，最小是_______。 8．用1克、2克、4克、8克、16克的砝码各一个和一架天平，最多可以称出_______种不同的整数的重量。 9．有一架天平，左右都可以放砝码，要称出1～80克之间所有整克数的重量，如果使砝码个数尽可能少，应该用_______的砝码。 10．如下图，将1～9这9个数填入圆圈中，使每条线上的和相等，使和为A，A最大是_____。二、解答题（30分） 1．把19分成若干个自然数的和，如何分才能使它们的积最大？ 2．把1～6这六个数分别填在下图中三角形三条边的六个圆圈内，使每条边上三个圆圈内的数的和相等，求这个和的最大值与最小值。 3．自行车的前轮轮胎行驶9000千米后要报废，后轮轮胎行驶7000千米后要报废。前后轮可在适当时候交换位置。问一辆自行车同时换上一对新轮胎，最多可行驶多少千米？ 4．如下图，有一只轮船停在M点， 现需从OA岸运货物到OB岸，最后停在N点，这只船应如何行走才能使路线最短？ 5．甲、乙两厂生产同一型号的服装，甲厂每月生产900套，其中上衣用18天，裤子用12天；乙厂每月也生产900套，但上衣用15天，裤子也要用15天。两厂合并后，每月最多可以生产多少套衣服？ 6．现在有若干千克苹果，把苹果装入筐中，要求能取出1~63千克所有整千克数的苹果，并且每次都是整筐整筐地取出。问：至少需要多少个空筐？如何装？ B卷（50分）一、填空题（每题2分，共20分） 1．在六位数865473的某一位数码后面再插入一个该数码，能得到的七位数中最小的是_____。 2．用1～8这八个数码组成两个四位数，要使这两个数的差尽量小，这个差是______。 3．三个质数的和是100，这三个质数的积最大是______。 4．有一类自然数，自左往右它的各个数位上的数字之和为8888，这类自然数中最小的 (1)求最大量的最大值：让其他值尽量小。例：21棵树载到5块大小不同的土地上，要求每块地栽种的棵数不同，问栽树最多的土地最多可以栽树多少棵?解析：要求最大量取最大值，且量各不相同，则使其他量尽可能的小且接近，即为从“1”开始的公差为“1”的等差数列，依次为1、2、3、4，共10棵，则栽树最多的土地最多种树11棵。(2)求最小量的最小值：让其他值尽量大。例：6个数的和为48，已知各个数各不相同，且最大的数是11，则最小数最少是多少?解析：要求最小数的最小值，则使其他量尽可能的大， 1．和差倍问题 和差问题和倍问题差倍问题 已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数 一、和差倍问题 （一）和差问题：已知两个数的和及两个数的差;求这两个数。 方法①：（和－差）÷2= 较小数;和-较小数=较大数 方法②：（和+ 差）÷2=较大数;和- 较大数=较小数 例如：两个数的和是15;差是5;求这两个数。 方法：（15-5）÷2=5 ;（15+5）÷2=10 . （二）和倍问题：已知两个数的和及这两个数的倍数关系;求这两个数。 方法：和÷（倍数+1）=1倍数（较小数） 1倍数（较小数）×倍数=几倍数（较大数） 或和-1 倍数（较小数）= 几倍数（较大数） 例如：两个数的和为50;大数是小数的4倍;求这两个数。 方法：50÷（4+1）=10 10×4=40 （三）差倍问题：已知两个数的差及两个数的倍数关系;求这两个数。 方法：差÷（倍数-1 ）=1倍数（较小数） 1倍数（较小数）×倍数=几倍数（较大数） 或和-倍数（较小数）=几倍数（较大数） 例如：两个数的差为80;大数是小数的5倍;求这两个数。 方法：80÷（5-1）=20 20×5=100 和与差和与倍数差与倍数 2．年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的; ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的; ③两个人的年龄的倍数是发生变化的;两人年龄的倍数关系是变化的量; 解答年龄问题的一般方法是： 几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄; 几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差． 题目一般用“照3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量;一般是那个“单一量”； 这样的速度”……等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量; 4．植树问题 基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树;两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树;两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树;只有一端植树封闭曲线上植树 三、植树问题 （一）不封闭型（直线）植树问题 1、直线两端植树：棵数=段数+1=全长÷株距+1 ; 全长=株距×（棵数-1 ）; 株距=全长÷（棵数-1 ）; 2、直线一端植树：全长=株距×棵数; 棵数=全长÷株距; 株距=全长÷棵数; 3 、直线两端都不植树：棵数=段数-1= 全长÷株距-1 ; 我们已经掌握了基本的比较整数、小数、分数大小的方法。本周将进一步研究如何比较一些较复杂的数或式子的值的大小。 解答这种类型的题目，需要将原题进行各种形式的转化，再利用一些不等式的性质进行推理判断。如：a ＞b ＞0，那 么a 的平方＞b 的平方；如果a ＞b ＞0，那么1a ＜1b ；如果a b ＞1，b ＞0，那么a ＞b 等等。 比较大小时，如果要比较的分数都接近1时，可先用1减去原分数，再根据被减数相等（都是1），减数越小，差越大的道理判断原分数的大小。 如果两个数的倒数接近，可以先用1分别除以这两个数。再根据被除数相等，商越小，除数越大的道理判断原数的大小。 除了将比较大小转化为比差、比商等形式外，还常常要根据算式的特点将它作适当的变形后再进行判断。 比较777773777778 和888884888889 的大小。 这两个分数的分子与分母各不相同，不能直接比较大小，使用通分的方法又太麻烦。由于这里的两个分数都接近1，所以我们可先用1分别减去以上分数，再比较所得差的大小，然后再判断原来分数的大小。 因为1－777773777778 =5777778 ，1－888884888889 =5888889 5777778 ＞5888889 所以777773777778 ＜888884888889 。 1.比较77777757777777 和66666616666663 的大小。 2.将9876598766 ，98769877 ，987988 ，9899 按从小到大的顺序排列出来。 挑战自我 例题1 专题简析： 比较大小 3.比较235861235862 和652971652974 的大小。 比较1111111 和111111111 哪个分数大？ 可以先用1分别除以这两个分数，再比较所得商的大小，最后判断原分数的大小。 因为1÷1111111 ＝1111111 ＝101111 1÷111111111 ＝111111111 ＝1011111 101111 ＞1011111 所以1111111 ＜111111111 1、比较A ＝3331666 和B ＝33166 的大小 2、比较111111110222222221 和444444443888888887 的大小 3、比较88888878888889 和99999919999994 的大小。 比较1234598761 和1234698765 的大小。 两个分数中的分子与分子、分母与分母都较为接近，可以根据通分的原理，用交叉相乘法比较分数的大小。 因为12345×98765 ＝12345×98761+12345×4 ＝12345×98761+49380 例题3 挑战自我 例题2 1、六年级奥数(比较大小) 姓名 试一试： （1）比较这几个分数的大小： 52、。、、、37152912231073 （2）试比较，和7777 55577755哪个分数大？ （3）已知：Ａ＝，10061207Ｂ＝，2006 2207试比较Ａ与Ｂ的大小。 1(例)、已知5 115410943321÷??÷?ＥＤＣＢＡ＝＝＝＝（Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ都不等于0），将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ按从大到小的顺序排列起来。 2、如果5465521? ??=d c b a ＝＝（a 、b 、c 、d 都不等于0），那么a 、b 、c 、d 四个数中，谁最大？谁最小？ 3(例)、将下列分数从小到大排列起来： 52、。、、、37152912231073 4、把下面几个分数按从小到大的顺序排列起来： 175、。、、、373033104615196 5(例)、已知Ａ＝ ，55555555555553Ｂ＝，666663666661试比较Ａ与Ｂ的大小。 6、试比较下面两个分数的大小559557445443和 7(例)、试比较 ，和777755577755哪个分数大？ 8、试比较1721719219和的大小。 9(例)、试比较下面两个分数的大小。 10061207和20062207 10、试比较1231292329与的大小。 习题 1、把下面几个分数按照从大到小的顺序排列起来。 16154847323137361918、、、、 2、试比较下面两个分数的大小。 999499和1001501 3、比较665443332221和的大小。 4、比较2004 1234567892004987654321123456789987654321++与的大小。 5、为迎接2003年国庆节，需要装饰节日的广场，工人叔叔用鲜花在广场上铺设成若干个圆形花坛。他们用一串红围成了两个直径分别是2003厘米和1949厘米的两个圆，又用菊花围成了两个直径分别是2001厘米和1951厘米的两个圆。用一串红围成的两个圆形花坛的面积之和与用菊花围成的两个圆形花坛面积之和，哪一个大？ 1．和差倍问题 和差问题和倍问题差倍问题已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数一、和差倍问题 （一）和差问题：已知两个数的和及两个数的差 ;求这两个数。 方法① ：（和－差）÷2= 较小数 ;和 -较小数 =较大数 方法② ：（和+ 差）÷2=较大数 ;和- 较大数 =较小数 例如：两个数的和是 15;差是 5; 求这两个数。方法：（15-5）÷2=5 （; 15+5）÷2=10 . （二）和倍问题：已知两个数的和及这两个数的倍数关系;求这两个数。 方法：和÷（倍数 +1）=1 倍数（较小数） 1 倍数（较小数）×倍数 = 几倍数（较大数） 或和 -1 倍数（较小数） = 几倍数（较大数） 例如：两个数的和为 50;大数是小数的 4 倍 ;求这两个数。 方法： 50÷（ 4+1） =10 10×4=40 （三）差倍问题：已知两个数的差及两个数的倍数关系 ;求这两个数。 方法：差÷（倍数 -1 ）=1 倍数（较小数） 1 倍数（较小数）×倍数 = 几倍数（较大数） 或和 -倍数（较小数） =几倍数（较大数） 例如：两个数的差为 80;大数是小数的 5 倍 ;求这两个数。 方法： 80÷（ 5-1）=20 20×5=100 和与差和与倍数差与倍数 2．年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的 ; ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的 ; ③两个人的年龄的倍数是发生变化的 ; 两人年龄的倍数关系是变化的量 ; 解答年龄问题的一般方法是： 几年后年龄 =大小年龄差÷倍数差 -小年龄 ; 几年前年龄 =小年龄 -大小年龄差÷倍数差． 3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量 ;一般是那个“单一量”题;目一般用“照这样的速度”??等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量 ; 4．植树问题 基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树;两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植 树 两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树;只有一端植树封闭曲线上植树 三、植树问题 （一）不封闭型（直线）植树问题 1、直线两端植树：棵数 =段数 +1=全长÷株距+1 ; 全长=株距×（棵数-1 ）; 株距=全长÷（棵数-1 ）; 2、直线一端植树：全长=株距×棵数; 棵数 =全长÷株距 ; 株距 =全长÷棵数 ; 3 、直线两端都不植树：棵数 =段数-1= 全长÷株距 -1 ; 株距=全长÷（棵数 +1 ） （二）封闭型（圆、三角形、多边形等）植树问题 棵数 =总距离÷棵距; 总距离 =棵数×棵距; 学科教师辅导讲义 学员编号：年级：六年级课时数：3 学员姓名：辅导科目：奥数学科教师： 授课主题第16讲——比较数的大小 授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结 教学目标①小数的大小比较常用方法； ②分数的大小比较常用方法； ③数的估算时常用方法。 授课日期及时段 T（Textbook-Based）——同步课堂 一、小数的大小比较常用方法 为方便比较，往往把这些小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0”，使它们都变成小数位数相同的小数.(如果是循环小数，就把它改写成一般写法的形式) 二、分数的大小比较常用方法 ⑴通分母：分子小的分数小. ⑵通分子：分母小的分数大. ⑶比倒数：倒数大的分数小. ⑷与1相减比较法：分别与1相减，差大的分数小．(适用于真分数) ⑸重要结论： ①对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大； ②对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都小的分数比较大． ⑹放缩法 在实际解题的过程中，我们还会用到其它一些思路！同学们要根据具体情况展开思维！ 三、数的估算时常用方法 知识梳理 （1）放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小．使结果介于某两个接近数之间，从而估算结果． （2）变换结构：将原来算式或问题变形为便于估算的形式． 考点一：两个数的大小比较 例1、如果a = 20052006，b = 2006 2007 ，那么a ，b 中较大的数是 例2、如果A =111111110222222221，B =444444443 888888887 ,A 与B 中哪个数较大？ 例3、在 a=20032003×2002和 b=20022003×2003中，较大的数是______ ，比较小的数大______ 。 例4、试比较: 2962 2222????L 1442443个与1853 3333????L 14424 43个哪一个大? 例5、已知：258998 369999A =????L ，那么A 与0.1中 比较大，说明原因； 考点二：多个数的比较 例1、（1）把下列各数按照从小到大的顺序排列：37 ，513，916，15 28 （2）(幼苗杯数学邀请赛)把下列分数用“<”号连接起来： 1017 ，1219，1523，2033，60 91 典例分析 小学六年级奥数：比较分数大小的方法 对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是： 分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大； 分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。 第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。 由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。下面我们介绍另外几种方法。 一“通分子”。 当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。 如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。 二万能方法.化为小数。 三.先约分，后比较。 有时已知分数不是最简分数，可以先约分。 四.根据倒数比较大小。倒数大的原分数小。 五.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。， 六.借助第三个数进行比较。有以下几种情况： （1）对于分数m和n，若m＞k，k＞n，则m＞n。 （2）对于分数m和n，若m-k＞n-k，则m＞n。 前一个差比较小，所以m＜n。 （3）对于分数m和n，若k-m＜k-n，则m＞n。 注意，（2）与（3）的差别在于，（2）中借助的数k小于原来的两个分数m和n；（3）中借助的数k大于原来的两个分数m和n。 （4）把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。新分数一定介于两个已知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分数小。 小学奥数最大值最小值问题汇总 1. _____________________________________________________ 三个自然数的和为15，这三个自然数的乘积最大可能是 _______________ 。 3. _________________________________________________ —个长方形周长为24厘米，当它的长和宽分别是_____________________ 厘米、_______ 厘米时面积最大，面积最大是__________ 平方厘米。 4. 现在有20米的篱笆，利用一堵墙围一个长方形鸡舍，要使这个 鸡舍面积最大，长应是_________ 米，宽应是 _________ 米。 5 .将16拆成若干个自然数的和，要使和最大，应将16拆成__________ 。 6 .从1, 2 , 3,…，2003这些自然数中最多可以取 ____________ 个数，才能使其中任意两个数之差都不等于5。 7. __________________________________________________ —个两位小数保留整数是6,这个两位小数最大是____________________ ，最小是________ O 8. 用1克、2克、4克、8克、16克的砝码各一个和一架天平，最 多可以称出________ 种不同的整数的重量。 9. 有一架天平，左右都可以放砝码，要称出1?80克之间所有整克 数的重量，如果使砝码个数尽可能少，应该用__________ 的砝码。10 .如下图，将1?9这9个数填入圆圈中，使每条线上的和相等，使和为 A，A最大是_______ 。二、解答题（30分） 1. 把19分成若干个自然数的和，如何分才能使它们的积最大？ 2019年五年级数学思维训练：分数计算与 比较大小 1．计算： （1）++； （2）1﹣﹣﹣． 2．计算：13﹣（3+2）﹣． 3．计算：（﹣÷4）×+1÷1． 4．计算：×54﹣16×+27×+×3． 5．计算：9+99+999+9999． 6．计算： （1）403×； （2）155×． 7．计算：． 8．将下列分数由小到大排列起来：，，，，． 9．比较下列分数的大小： （1）与； （2）与． 10．比较下列分数的大小： （1）与； （2）与． 11．计算：（3+6+1+8）×（2﹣）． 12．． 13．要使算式2﹣（0.7﹣□）×=2成立，方框内应填入的数是多少？ 14．计算：124×+18×． 15．计算：（1﹣×3）+（3﹣×5）+（5﹣×7）+（7﹣×9）+（9﹣×11）+（11﹣×13）． 第1页/共18页 16．计算：=．17．比较2019×与2019×的大小，并计算它们的差． 18．计算： （1）238÷238； （2）（9+7）÷（+）． 19．比较下列分数的大小： （1）与； （2）与； （3）与； （4）与． 20．比较大小： （1）把3个数，，由小到大排列起来； （2）把5个数，，，，由小到大排列起来． 21．比较下列分数的大小： （1）与； （2）与． 22．比较下列分数的大小： （1）与； （2）与； （3）与． 23．计算：8×+19×13． 24．计算：×． 25．计算：[（+++）﹣（+++）]÷[（+++）﹣（+++）]．26．． 27．已知A=+，B=+．试比较A、B的大小． 28．A=（+）×1001，B=（+）×1003，C=（+）×1005，请将A、B、C按从大到小的顺序排列起来． 第2讲分数的大小比较 课堂例题 例1.中，哪个数最小？ 例2.将分别填入下列空格中，使不等式成立： <<<< 随堂练习1.分数中，哪个数最大？ 2.从小到大排列下列分数，排在第三个的是哪一个？ 3.用“>”把下列分数连接起来 例3.若，比较A与B的大小。例4.不求和，比较与的大小。练习4.已知：，比较a，b的大小。练习5.若，比较A和B的大小。 练习6.不求差，比较与的大小。 例5.在下列中填两个相邻的整数，使不等式成立。 < 例6.已知，求的整数部分是多少？ 练习7.在横线上填入两个相邻的自然数，使不等式成立。<< 练习8.求与 最接近的整数。练习9.求的整数部分。 课后练习 1.将下列每组三个分数按从小到大的次序排列起来； （1）应为； （2）应为。 2.把下列分数按从小到大的顺序排列起来： 3.比较下面五个分数的大小： 4.将这四个数从小到大排列起来。 5.比较与的大小。 6.比较与的大小。 7.，A与B比较，比大。 8.如果位于和之间且n是整数，则n=。 9.一个分数比大，比小，且分母最小，这个分数是。 10.下列个选项中的数位于和正中间的是。 A. B. C. D. E. 11.从，，，，中去掉两个数，使得剩下的三个数之和与最接近， 去掉的两个数是。 A.， B.， C.， D.12.下列算式中有四个是相等的。与其他算式不想等的是。 A. B. C. D. E. 13.比较下面四个算式的大小： 14.从大到小排列下面四个算式： 15.将和这6个数的平均值从小到大排列，则这个平均 值排在位。 16.有8个数，是其中的6个，如果按照从小 到大顺序，第四个数是，则从大到小排列第4个数是。 17.满足下列的最小值是多少？ 18.与相比较，较大的数是哪个？ 19.求分数的整数部分。 20.已知，A的整数部分是多 数？ 第二讲 分数的大小比较 思路分析： 比较两个分数的大小， 数学课本中介绍了两种基本方法， 第一种是如果两个分数的分母相同，分子大的分数较大；第二种是如果两个分数的分子相同，分母小的分数较大。如果分 子、分母都不相同，那么或者统一分母，或者统一分子，再进行比较，有时就需要另辟径，例如相减比较，如果差大于零，减数就小；相除比较，若商是真分数，则被除数小于除数， 若商是假分数，则被除数大于除数；交叉牙相乘比较，分数 a 和 d ，如果 ad cb, 那么 b c a d ; 倒数比较，倒数大的分数小于倒数小的分数；化为小数或循环小数比较等等。 b c 典型例题精选： 98765 9876 987 98 1、 将 , , , 这四个数从小到大排列起来。 2、 比较下面四个算式的大小： 1 1 1 1 1 1 1 1 11 , , , 21 33 12 29 13 25 14 3、 用“ ”或“ ”填空； 22222421 22222341, 22222421 44444844 ； 44444844 44444684 22222341 44444684 4、 一百个和尚一百个馒头， 大和尚一个人吃三个， 小和尚三个人吃一个， 问有几个大和尚，几 个小和尚 思路分析： 分数应用题是指用分数表示倍数关系的实际问题，分析解答时需要弄清量率 对应的关系，尤其当单位“ 1”确定之后，如何建立已知条件与所求问题的量率对应的关系，对 解决问题更为重要。 在分析解答分数问题时，为了清晰地体现对应思想，常常采用画线段图的方法，使量率间的对应关系较为直观地反映出来，在解答逆向运用量率对应关系的分数问题时，常常将表示单位“ 1”的量设为“x ”，列方程解答，以使化逆为顺。 典型例题精选： 1、足球赛门票15 元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了五分之一，一张门票降价是 多少元 2、张、王、李三人共有54 元，张用了自己钱数的3 ，王用了自己钱数的 3 ，李用了自己5 4 钱数的 $\frac{2}{3}$，各买了一支相同的钢笔，那么张和李两人剩下的钱共有多少元 3、甲有若干本书，乙借走了一半加 3 本，剩下的书，丙借走了1 加2本，再剩下的书，丁3 借走了1 加 1 本，最后甲还有 2 本书，问甲原来有多少本书4 4、一条绳子第一次剪掉 1 米，第二次剪掉剩余部分的1 ，第三次剪掉1米，第四次剪掉剩2 余部分的2 ，第五次剪掉1米，第六次剪掉剩余部分的 3 ，这条绳子还剩下1米，这条绳3 4 子原长多少米 第3讲 比较大小 一、知识要点 比较大小时，如果要比较的分数都接近1，可以用1减去原分数，再根据被减数相等，减数越小差越大的道理来判断原分数的大小。 如果两个数的倒数接近，可以用1分别除以这两个数。再根据被除数相等，商越小除数越大的道理来判断原数的大小。 除了以上方法，还常常根据算式的特点做适当变形再判断。 二、精讲精练 【例题1】比较777778777773和888884888889 的大小。 练习1： 1.比较77777757777777和66666616666663 的大小。 2.将9876598766，98769877，987988，9899 按从小到大的顺序排列出来。 3.比较235861235862和652971652974 的大小。 【例题2】比较1111111和111111111 哪个分数大？ 练习2： 1.比较A=3331666和B=33166 的大小。 2.比较111111110222222221和444444443888888887 的大小。 3.比较88888878888889和99999919999994 的大小。 【例题3】已知15A ??11 99=B ?233154÷?=415.25C ?÷=7314.874 D ??。A,B,C,D 四个数中最大的是（ ）。 练习3： 1.已知241190%75%1355 A B C D E ?=?=÷=?=÷。把A,B,C,D,E 这五个数从小到大排列，第二个数是（ ）。 2.有八个数，2513472415.0953215.0???是其中的六个数，如果从小到大排列时，第四个数是?15.0，那么从大到小排列时，第四个数是哪个？ 【例题4】比较2219961997-和2219931992-的大小关系。 练习4： 1.如图两个红色圆的半径分别是1992cm 和1990cm ，和两个蓝色圆半径分别是1951cm 和1949cm 。哪种颜色圆的面积之差大？ 红 蓝 2.如图，正方形被一条曲线分成了A,B 两部分，如果X>Y,试比较A,B 两部分周长的大小。 X Y A B 分数大小的比较 同学们已经熟悉了整数、小数的大小比较的方法，而对于两个不同的分数，有分母相同、分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况下的分数大小的比较比较简单，方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数较大；分子相同的两个分数，分母小的那个分数较大。 第三种情况，即分子、分母都不相同的两个分数的大小比较，我们可以应用分数的基本性质，把分母通分，化成分母相同但大小不变的两个分数来进行比较。但有时候用分母通分的方法比较大小，计算起来很复杂，这时候我们就可以考虑应用分数的基本性质，把这些分数化成分子相同但大小不变的分数来比较大小，这就是分子通分法。 在实际的计算中我们还会遇到一些分数，无论是用通分子还是通分母的方法比较都不简单，那我们会选择倒数比较法。倒数越大，原分数越小；倒数越小，原分数越大。 在比较分数大小时还有一种作差（和）比较法。做差比较时，如果减去的这个分数小，那么所得的差就大，原来这个分数的值就大；作和比较时，如果加上的这个分数小，则和小，这个分数就小，加上的这个分数大，则和大，这个分数就大。 例1、比较分数 和 的大小 例2、将下列分数按由大到小的顺序排列。 ， ， 练习一： 1、比较下列各组分数的大小 （1） 和 （2） 和 2、四个分数 ， ， ， 中，哪个分数最大？哪个分数最小？ 3、把下面的分数按照从小到大的顺序排列。 ， ， ， 4、将下面的分数按照从大到小的顺序排列。 ， ， ， ， 5、若A=12344×98766，B=12345×98765，比较A和B的大小 6、将下列分数按照从小到大的顺序连接起来。 ， ， 第四章分数大小的比较 知识要点 分数大小的比较方法有很多，主要有通分、倒数比较、相减比较、相除比较、交叉相乘等。 通分：(1)统一分母，比较分子，分子越大分数越大。 (2)统一分子，比较分母，分母越小分数越大。 倒数比较：倒数大的分数小于倒数小的分数。 相减比较：有两个分数b a 与 d c ，若 b a － d c ＞0，则 b a ＞ d c ； 若b a － d c ＜0，则 b a ＜ d c 。 相除比较：分数b a 与 d c ，若 b a ÷ d c 的商为真分数，则 b a ＜ d c ； 若商为假分数，则b a ＞ d c 。 交叉相乘：分数b a 与 d c ，若bc＞ad，则 b a ＞ d c 。 除了以上几种方法，还有用“1”减法、公式法、化小数比较等等。典例巧解 例1 有五个分数2 3 ， 5 8 ， 15 23 ， 10 17 ， 12 19 ，请按从小到大的顺序排列。 点拨此题若统一分母比较麻烦，而分子的最小公倍数很容易找出为60，故统一分子。 解2 3 ＝ 60 90 ， 5 8 ＝ 60 96 ， 15 23 ＝ 60 92 ， 10 17 ＝ 60 102 ， 12 19 ＝ 60 95 ，因为 60 102 ＜ 60 96 ＜ 60 95 ＜ 60 92 ＜ 60 90 ， 所以 10 17 ＜ 5 8 ＜ 12 19 ＜ 15 23 ＜ 2 3 。 例2 比较9999995 9999997 和 6666661 6666663 的大小。 点拨一可利用求倒数的方法比较。 解9999995 9999997 的倒数是 9999997 9999995 ＝1＋ 2 9999995 ，6666661 6666663 的倒数是 6666663 6666661 ＝1＋ 2 6666661 比较倒数右边的结果知1＋ 2 6666661 ＞1＋ 2 9999995 ， 所以 6666663 6666661 ＞ 9999997 9999995 ，即 9999995 9999997 ＞ 6666661 6666663 。 点拨二由于这两个分数的分子和分母都很接近，且都相差2，可以找到一个标准数。这两个分数的大小都比1略小，则可用“1”做减法。 28、数的大小比较 【分数、小数大小比较】 （全国第二届“华杯赛”决赛口试试题） 讲析：这两个分数如果按通分的方法比较大小，计算将非常复杂。于是可采用比较其倒数的办法去解答。倒数大的数反而较小。 个数是______。 （1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题） 讲析：将给出的六个数分别写成小数，并且都写出小数点后面前四位数，则把这六个数按从大到小排列是： 【算式值的大小比较】 例1 设A=9876543×3456789； B=9876544×3456788。 试比较A与B的大小。 （1990年《小学生数学报》小学数学竞赛试题） 讲析：可将A、B两式中的第一个因数和第二个因数分别进行比较。这时，只要把两式中某一部分变成相同的数，再比较不同的数的大小，这两个算式的大小便能较容易地看出来了。于是可得 A =9876543×（3456788＋1） =9876543×3456788＋9876543； B =（9876543＋1）×3456788 =9876543×3456788＋3456788； 所以，A＞B。 例2 在下面四个算式中，最大的得数是算式______。 （1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题） 讲析：如果直接把四个算式的值计算出来，显然是很麻烦的，我们不妨运用化简繁分数的方法，比较每式中相同位置上的数的大小。 比较上面四个算式的结果，可得出最大的得数是算式（3）。 例3 图5.1中有两个红色的正方形和两个蓝色正方形，它们的面积 问：红色的两个正方形面积大还是蓝色的两个正方形面积大？ （全国第四届“华杯赛”决赛口试试题） 讲析： 方形放入大正方形中去的办法，来比较它们的大小（如图5.2）。 所以，两个蓝色正方形的面积比两个红色正方形的面积大。 小学六年级数学专项训练（五） 逻辑问题与比较大小 专项练习： 1、填空 （1）比较777773 777778 和 888884 888889 的大小，（）＞（）。 （2）比较7777775 7777777 和 6666661 6666663 的大小，（）＞（）。 （3）将98765 98766 ， 9876 9877 ， 987 988 ， 98 99 按从小到大的顺序排列出来应该是（）。 （4）比较235861 235862 和 652971 652974 的大小，（）＜（）。 （5）比较 111 1111 和 1111 11111 的大小，（）＞（）。 （6）比较A＝333 1666和B＝ 33 166 的大小，（）＜（） （7）比较111111110 222222221 和 444444443 888888887 的大小，（）＜（）。 （8）比较8888887 8888889 和 9999991 9999994 的大小，（）＞（）。 （9）比较12345 98761 和 12346 98765 的大小，（）＞（）。 （10）如果A＝22221 33332 ，B＝ 44443 66665 ，那么A与B中较大的数是（）。 （11）小华、小红、小明三人中，有一人在数学竞赛中得了奖。老师问他们谁是获奖者，小华说是小红，小红说不是我，小明也说不是我。如果他们当中只有一人说了真话。那么，（）是获奖者。（12）有500人聚会，其中至少有一人说假话，这500人里任意两个人总有一个说真话。说真话的有（）人，说假话的有（）人。 （13）A，B，C，D，E五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，A已经比赛了4盘。B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘。E赛了（）盘。 （14）A先生和A太太以及三对夫妻举行了一次家庭晚会。规定每两人最多握手一次，但不和自己的妻子握手。握手完毕后，A先生问了每个人（包括他妻子）握手（）次，令他惊讶的是每人答复的数字各不相同。那么，A太太握了（）次手。 （15）某商品编号是一个三位数，现有5个三位数：874、765、123、364、925。其中每一个数与商品 小学六年级奥数专项练习 专题24 比较大小 【理论基础】 我们已经掌握了基本的比较整数、小数、分数大小的方法。本周将进一步研究如何比较一些较复杂的数或式子的值的大小。 解答这种类型的题目，需要将原题进行各种形式的转化，再利用一些不等式的性质进行推理判断。如：a ＞b ＞0，那么a 的平方＞b 的平方；如果a ＞b ＞0，那么1a ＜1b ；如果a b ＞1，b ＞0，那么a ＞b 等等。 比较大小时，如果要比较的分数都接近1时，可先用1减去原分数，再根据被减数相等（都是1），减数越小，差越大的道理判断原分数的大小。 如果两个数的倒数接近，可以先用1分别除以这两个数。再根据被除数相等，商越小，除数越大的道理判断原数的大小。 除了将比较大小转化为比差、比商等形式外，还常常要根据算式的特点将它作适当的变形后再进行判断。 例1 比较777773777778 和888884 888889 的大小。 这两个分数的分子与分母各不相同，不能直接比较大小，使用通分的方法又太麻烦。由于这里的两个分数都接近1，所以我们可先用 1分别减去以上分数，再比较所得差的大小，然后再判断原来分数的大小。 因为1－777773777778 =5777778 ，1－888884888889 =5 888889 5777778 ＞5888889 所以777773777778 ＜888884888889 。 练习1 1、 比较77777757777777 和66666616666663 的大小。 2、 将9876598766 ，98769877 ，987988 ，9899 按从小到大的顺序排列出来。 3、 比较235861235862 和652971652974 的大小。 例2 比较1111111 和111111111 哪个分数大？ 可以先用1分别除以这两个分数，再比较所得商的大小，最后判断原分数的大小。 因为1÷1111111 ＝1111111 ＝101 111 1÷111111111 ＝111111111 ＝1011111(完整版)举一反三六年级奥数第24周比较大小
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