黎曼猜想简介

黎曼猜想简介

数学是自然科学的女皇，数论是数学的女皇。

-----K.F.Gauss

比哥德巴赫猜想更“辉煌”的猜想

20 世纪70 年代后期，徐迟先生的《哥德巴赫猜想》风靡神州大地，陈景润这个名字和“皇冠上的明珠”这一词汇令人耳目一新。而今，那皇冠上的明珠，仍在那里闪光，陈景润研究员本来已离那皇冠上的明珠仅一步之遥了，可是那明珠却又因陈景润的离去而变得似乎遥不可及。但就在1995年，英国数学家怀尔斯(A. Wiles, 1953-)却出人意外地解决了358 年悬而未决的费马猜想(即费马大定理)，摘取了这颗历史更加悠久、似乎更加奇异的夜明珠，让人好不惊异，它使纯粹数学再次引人注目。

当我们仰望数学群山，发现在群山之巅，好像都镶嵌着宝珠或明珠，等待能攀登上峰顶的勇士摘取，哥德巴赫猜想、费马猜想等就像位于邻近山峰不同峰顶上的明珠。而当我们仰望那最高峰，隐约看见有一颗更加明亮而硕大的宝珠，在纯粹数学巅峰闪光，那就是具有近160 年历史的黎曼猜想。

让我们从1858 年讲起吧。

1858 年的一天，习惯于冥思苦想的黎曼先生正漫步在德国格廷根的街道上，忽然，他脑海里奇思迸发，急忙赶回家中，写下了一篇划时代的论文，题目叫做“论不大于一个给定值的素数的个数”。论文于1859 年发表，这是黎曼生前发表的惟一一篇数论论文，然而却成了解析数论的开山作。就是在这篇大作中，黎曼先生提出了划时代的黎曼猜想。

黎曼(G. F. B. Riemann, 1826-1866)于1826 年9 月17 日出生在德国汉诺威的布列斯伦茨。他的父亲是位牧师，母亲是个法官的女儿，黎曼在6 个兄弟姐妹中排行老二。黎曼 6 岁左右开始学习算术，很快他的数学才能就显露出来。10 岁时，他的算术和几何能力就超过了教他的职业教师。

14 岁时，黎曼进入文科中学，文科中学校长施马尔夫斯(C. Schmalfuss)发现了他的数学才能，便将自己的私人数学藏书借给这位生性沉静的孩子，一次，黎曼居然借走了著名数学家勒让德写的859 页的大 4 开本《数论》，并用 6 天时间

读完了它，大约这就是他对数论感兴趣的开始。

1846 年春，19 岁的黎曼注册进入格廷根大学攻读神学，后转学数学和哲学。 1847 年春，黎曼转学到柏林大学，在那里就读了两年，师从著名数学家雅可比

(C.G.J.Jacob)和狄里赫利(P .G.L. Dirichilet)等。在大师的指导下，黎曼进步很快，神不知鬼不觉地进入世界数学前沿。

黎曼先生的论著不多，但却非常深刻。 1851 年 11月，他提交了一篇题为“复变函数一般理论基础”的论文作为博士学位论文，论证了现在通称的“柯西-黎曼条件”，奠定了复变函数论基础，一举通过博士论文答辩，获得博士学位。 1854 年6月10 日，由“数学王子”高斯(K.F .Gauss,1777-1855)任主考官，黎曼发表了题为“论几何学的基本假设”的就职演讲，提出用流形的概念理解空间的实质，创立了黎曼几何，一举通过答辩成为格廷根大学讲师；后于 1857 年升任副教授，1859年接替狄里赫利任教授。

就凭上述3篇论著，黎曼奠定了他在数学史上不可替代的伟大地位。黎曼几何后来成为爱因斯坦广义相对论的数学形式而广为传播，以至有人开玩笑说，上帝简直就是专门为爱因斯坦广义相对论准备了黎曼几何。而且，至今没有几个人

能像黎曼那样在博士论文中就提出了如此突出的创新思想。

黎曼的其他数学创造均被数学界确认无疑，惟有黎曼猜想，却难倒了一代又一代杰出数学家。

理解黎曼猜想

相对而言，黎曼猜想比数论中的其他猜想要复杂些，因为其他数论猜想很多是关于整数、素数等数字本身的，而黎曼猜想则涉及复变函数，要说清楚必须用数学符号表述。

要理解黎曼猜想，首先得从黎曼ζ函数(读作 Zeta 函数)说起。

早在 1749 年，著名数学家欧拉(L. Euler, 1707-1783)就研究了实变量形式的ζ函数，他证明当 s>1 时，下面的恒等式(现在称为欧拉恒等式)成立：

11(1)s s p n n

p ∞

---==∏-∑

其中∑叫和号，这里表示从n=1 开始，累加至∞；∏叫积号，这里表示对所有 p 求连乘积。p 表示素数。

而黎曼 1859 年的创新是将变量 s 看作复变量，并引进记号：

1()s

n s n ζ∞

-==∑ 这就是黎曼ζ函数，其中s=σ+it 为复变量，实部记作Res=σ。

使ζ(s)=0的点叫做ζ(s)的零点。负偶数-2，-4，-6，…都是ζ(s)的零点，叫做平凡零点，平凡零点都是实零点；此外发现的所有零点都具有 1/2+it 形式，叫做非平凡零点，非平凡零点都是复零点。

简单地说，黎曼猜想就是想像ζ(s)=0 时 Res=1/2，即所有非平凡零点都位于σ=1/2 这条直线上。这条直线叫做临界线。

严格地说，黎曼猜想由黎曼在 1859 年的那篇著名论文中提出的 6 个猜想构成:

(1) ζ(s)在带状区域 0≤σ≤1中有无穷多个零点(亦即ζ(s) =0 在带状区

域0≤σ≤1中有无穷多个解)。这种零点叫做非平凡零点。

(2) 以N(T)表示ζ(s)在矩形区域0 ≤ σ ≤ 1，0≤ t≤T 中的零点个数，则有

N(T)≈(T/2π)log(T/2 π)-T/2 π

(3)以ρ表示ζ(s)的非平凡零点， 表示对所有非平凡零点求和，则级数

收敛，而级数 发散。

(4)A=-log2和 B 为常数时，

。 (5)ζ(s)的全部非平凡零点的实部都是 1/2。

(6)对于函数

称为黎曼素数函数 其中

为曼哥特函数。 以上 6 个猜想除(5)外均已被证实，现在就留下猜想(5)未被证明，这就是通常所说的黎曼猜想。

纯粹数学航标

解决黎曼猜想的意义何在？一句话，黎曼猜想就像是纯粹数学航标，可以指引纯粹数学的航向。

从现有数学研究和推论看黎曼猜想是合理的，因此希望最终能证明它。或者设法找出ζ(s)的哪怕只是一个不在1/2线上的非平凡零点，就可以否认黎曼猜想。 ρ∑2

ρρ-∑1

ρρ-∑()(1)A Bs s s e s e ρ

ρζρ+=-∏2()()/log n x

J x n n ≤≤=Λ∑log ,,1()0k p n p k n ??=≥Λ=????

与费马猜想有些类似的欧拉(L. Euler, 1707-1783)猜想就是因为发现反例而被否证的一个例子。

欧拉是举世公认的少数几个大数学家之一，对数学做出过极大贡献，数学中以他的名字命名的公式、方程、定理等比比皆是。有人曾问数学大师克莱因：“你认为数学中最伟大的公式是什么？” 克莱因毫不含糊地回答：“欧拉公式。”为什么呢？据说克莱因的解释是：欧拉公式它把数学中 5 个最重要的数联系在一起：0，1，π，i 和e 。由此，简单之中蕴涵的深刻可见一斑，欧拉的功绩也昭然在目。

而欧拉猜想则是说：当 n ≥4时，方程n n n n x y z w ++=无解。

自欧拉猜想提出 200 多年来，既未能证明它又未能否证它。虽然不少数学家认为欧拉猜想应能成立，但 1988 年，哈佛大学的埃尔基(N. Elkies)教授却发现了一个反例，随后埃尔基还证明 4 次方情形有无穷多个解。这说明未经证明的猜想是多么不可靠，无论提出它的人多么著名和伟大，猜想必须证明。

黎曼猜想之所以重要，原因在于它不是孤立的猜想，通过它可以将纯粹数学中的许多问题联系在一起。下面分三个方面说明：

首先，黎曼ζ函数与狄里赫利(P. G. L. Dirichlet, 1805-1859)L 函数一道构成解析数论的核心。

设 q ≥1，χ是模 q 的特征，则复变函数 上式称为对应于特

征χ的狄里赫利 L 函数。显然，狄里赫利 L 函数是黎曼ζ函数的推广，相应于狄里赫利L 函数有广义黎曼猜想：L 函数的所有非平凡零点都在临界直线σ= 1/2上。

解析数论在很大程度上是围绕黎曼ζ函数和狄里赫利 L 函数的零点性质展开的，许多数论函数的母函数最终也都与黎曼ζ函数和狄里赫利 L 函数有关。解析数论的一个最基本、最重要的内容，就是研究黎曼ζ函数和狄里赫利 L 函数及其零点性质。

代数数论在很大程度上则是围绕戴德金(J. W . R. Dedelkind, 1831-1916) 函数

展开的：

1(,)()s

n L s n n χχ∞

-==∑1()()s s

K n

A n s N A a n ζ--≥==∑∑()K s ζ

其中 A 过代数数域 K 的整数环的所有非零理想。

的解析性质包含了数域 K 的许多算术和代数信息。 也是黎曼ζ函数的一个推广。

实际上，数论研究的中心问题可以归纳如下：

对于各种数论研究对象 X ，可以考虑构造一个复变函数ζ或L ，使得ζ或L 的解析特性(包括零点和极点特性、函数方程等)能反映 X 的算术和代数特性。

因此，黎曼ζ函数和狄里赫利 L 函数处于数论的中心地位。

其次，以黎曼猜想为基础，可以证明许多有趣的推论，尤其是有些推论后来被无条件地证明了，这样，就加强了人们认为黎曼猜想成立的信心。

例如，如果黎曼猜想成立，则ζ函数在除σ=1/2以外的地方就肯定没有零点，这样，在σ=1上显然也没有零点。于是，法国数学家哈达马(Hadamard)和比利时数学家德万普(de la Vallee Poussin)据此在 1896 年分别独立证明了素数定理：

当x →∞时

后来，素数定理被许多数论专家用其他方法进一步证明或改进，现已确认无疑。 第三，通过研究黎曼猜想的等价命题、强命题、弱命题、关系命题等，可以将纯粹数学的一些核心问题紧密地联系在一起，使之构成一个美妙的系统。

黎曼猜想的等价命题如刘维尔(Liouville)函数猜想：对任何ε>0，有

其中λ(n)是刘维尔函数

黎曼猜想的强命题如梅顿(Mertens)猜想(1897年由奥地利数学家梅顿提出)： 对于 x>1, 其中

而μ(n)是梅比乌斯(Mobius)函数。由梅顿猜想可以立即推出黎曼猜想。

但 1983 年奥丁科(Odlyzko)和里尔(Riele)借助计算机证明了梅顿猜想是错误的，()K s ζ()K s ζlog ()1

x x x π→1()()n x n x ελ+≤=O ∑1111,1()(1),r r a a a a r n n n p p λ++=??=??-=?? 12

()M x x <()()n x

M x n μ≤=∑

推翻了这个猜想。因此，比黎曼猜想强的猜想似乎很难成立。

黎曼猜想的弱命题如韦伊猜想：对于亏格为g 的曲线 C ，有

由韦伊猜想可以推出 的所有零点在Re s=1/2上。

1934 年哈斯(H.Hasse)证明它对于椭圆曲线成立；1948 年韦伊证明对于一般代数曲线成立；1973年德列(P . Deligne)证明对于一般代数簇成立；使曲线的黎曼猜想得到证明。这样，比黎曼猜想弱的命题似乎不难成立。

既然比黎曼猜想强的猜想很难成立，比黎曼猜想弱的猜想不难成立，那么问题的关键就是黎曼猜想本身了。

与之相关的还有贝赫-斯维讷通-戴尔(Birch-Swinnerton-Dyer)猜想，是说对于有理数域 Q 上的椭圆曲线 E ，L(E,s)在 s=1 上有一零点，其零点阶 r 等于 E 的蒙德尔-韦伊(Mordell-Weil)群的秩。该猜想已被克莱数学会与黎曼猜想一道列入七个千禧年数学难题之一。

因此，黎曼猜想成为纯粹数学的核心问题之一。解决了黎曼猜想，纯粹数学的许多问题就将迎刃而解。

素数分布的一些猜想

素数在正整数中的分布时疏时密很不规则，致使很多看起来很通俗易懂的问题长期得不到满意的解答。1912年德国数学家兰道收集了当时未解决的四个古老的猜想：

1) 有无穷多个自然数n,使得 是素数;

2) 哥德巴赫猜想：任何一个大于2的偶数都可以表示为两个素树之和；

3) 孪生素数猜想：存在无穷多对素数，它们的差为2；

4) 杰波夫猜想：对于一切自然数n ，在 和 之间至少存在一个素数。 以上介绍了关于素数分布的猜想的一部分，虽然通俗易懂，要想证明或推翻，即使是前进一步，都是极为困难的，但是正如希尔伯特所说的，黎曼猜想的证明将会对这些问题的解决起到至关重要的作用。

(1)2n n N q -+≤1

10()(1)s s c a p s N a Np ζ---->==-∑∏21n +2n 21n +

如哥德巴赫猜想是1742年提出的，详细的来说包括两点：(1)每个不小于6的偶数是2个奇素数之和；(2)每个不小于 9的奇数是3个奇素数之和。其中(2)已被证明，(1)的最好结果是 1973 年陈景润证出的“充分大偶数是一个素数与一个素因子不超过2 的数之和”(简称“1+2”)，是用筛法证得的。有人认为，筛法已经被陈景润发挥到了极限，今后要推进哥德巴赫猜想研究大约只能采用其他创新方法了。而且，值得指出的是：迄今为止，哥德巴赫猜想研究的最好结果是在广义黎曼猜想成立的前提下证得的，而哥德巴赫猜想本身已经成为数论中一个相对孤立的猜想。

华林问题与哥德巴赫猜想相结合，形成华林-哥德巴赫问题：充分大的正整数是否可以表示成为有限个素数的k 次方和？这是一个华林问题和哥德巴赫猜想的孪生难题，现在只证明了任一充分大的奇数可以表示成为9 个素数的立方和。

素数论中著名的猜想和难题不少，值得一提的还有：

高斯猜想：将实整数的素因子惟一分解定理推广到复整数是数学王子高斯的一大数学贡献，但是，对某些实代数数域中的代数整数，素因子惟一分解定理却不一定成立。引进类数h后，数学家们研究发现，只有当h=1时，素因子惟一分解定理才成立。然而，计算类数却是非常困难的数学问题，高斯猜想是说，类数h=1的实二次数域(属于实代数数域)有无穷多。这是一个有近200 年历史的代数数论难题。

另外，素数论中还有三个古老的问题：

完全数问题。等于自己因数之和的正整数叫完全数，例如6=1+2+3，

28=1+2+4+7+14，等等。现在已经发现的完全数均为偶数。完全数问题是：奇完全数是否存在？完全数究竟有多少？这是一个从古希腊延续至今悬而未决的最古老数论难题，已有2500多年历史。

亲和数问题。真因子之和互为对方的一对正整数叫亲和数，例如220和284，220的真因子和为1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284，而284 的真因子和

为 1+2+4+71+142=220。亲和数问题是：是否存在由一个偶数和一个奇数构成的亲和数？亲和数究竟有多少？这也是一个古希腊时代流传下来的难题。

合同数问题。三边均为有理数的三角形叫有理三角形，可以作为有理三角形面积数的正整数叫合同数。例如 6就是边长分别为 3，4，5的三角形的面积数，因而是个合同数。合同数问题是：究竟哪些正整数是合同数？这是一个具有1000多年历史的问题，目前只确切知道 4000以下的正整数中的合同数。

著名数学家谢尔宾斯基曾曾经说：我们数论知识的积累，不仅依靠已经证明了的理论，而且也依靠那些未知的猜想。

也就是说，人们在研究这些猜想的过程中丰富了自己的知识，从而促进了数论和数学其他分支的发展。

黎曼猜想的进展

时至今日，人们为证明黎曼猜想做了很多惊人的工作：

1968年美国威斯康辛大学的三位数学家用计算机来证明ζ函数的前三百万个非平凡零点都落在临界线上；最近，勃赖特的计算证实了ζ函数的开头七千万个非平凡零点都位于临界线上 。

现在处理黎曼函数的方法之一：

由于ζ函数的所有非平凡零点只可能在0≤σ≤1这个无限伸长的带状区域中，所以这一思想在于估计非平凡零点所落的带状区域的范围。

很显然，当我们能够证明ζ函数的非平凡零点所属的区域缩小到一根直线时，那么黎曼猜想成立。而今，这方面的结果，离猜想的解决还非常遥远。 方法之二：

哈代于1914年宣称，他证明了ζ函数有无穷多个非平凡零点位于临界线上。若

假设

为黎曼函数在Re(s)=0.5且0

随后哈代和李特伍德合作得到更精确的定理：

存在常数C>0， >CT 。

0()N T T →∞0()N T →∞0()N T

1942年，塞尔贝格引进了新的想法，考虑 和 之间的关系。

他的定理实际上证明了 ，此处C 为大于零的实数，只不过塞尔贝格得到的常数C 只有百分之一那么大。

1974年美国麻省理工学院的数学家莱文森成功的证明了，对于充分大的实数T ， 。

显然，如果我们能够把塞尔贝格定理中的常数C 提高到1的话，由于

则，我们就有 成立。

这就是数学家解决黎曼猜想所企求了百余年的结果。

令人高兴的是，2006年国际数学家大会的消息说，七个千年难题中的另外两个纯数学问题之一的庞加莱猜想已被证明了，而且国际数学家大会上多数人承认已完全解决了庞加莱猜想，因此我们有理由相信随着人们研究的深入，黎曼猜想将在不久的将来被人们所证明或否认。

结语：

M a t h e m a t i c s i s G o d ’s l a n g u a g e .

---G a l i l e o

刘芳

20075204

数学与应用数学

()N T 0()N T 0

()()N T C N T ≥0()13()N T N T ≥0()()N T N T ≤0()()N T N T =