对黎曼猜想的证明

黎曼假设

黎曼猜想是一个困扰数学界多年的难题，最早由德国数学家波恩哈德·黎曼提出，迄今为止仍未有人给出一个令人完全信服的合理证明。即如何证明“关于素数的方程的所有意义的解都在一条直线上”。 方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。 有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。著名的黎曼假设断言，方程ζ（s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。 黎曼(Riemann，George Friedrich Bernhard，1826-1866,德国数学家)是黎曼几何的创始人。他在读博士学位期间，研究的是复变函数。他把通常的函数概念推广到多值函数，并引进了多叶黎曼曲面的直观概念。他的博士论文受到了GAUSS的赞扬，也是他此后十年工作的基础，包括：复变函数在Abel积分和theta函数中的应用，函数的三角级数表示，微分几何基础等。 几千年前人类就已知道2，3，5，7，31，59，97这些正整数。除了1及本身之外就 没有其他因子，他们称这些数为素数（或质数Prime number），希腊数学家欧几里德 证明了在正整数集合里有无穷多的素数，他是用反证法证明。1730年，欧拉在研究调和级数： Σ1/n=1+1/2+1/3+...+1/n.....。(1) 时，发现： Σ1/n=(1+1/2+1/2^2+...)(1+1/3+1/3^2+...)(1+1/5+1/5^2+...)...... =Π(1-1/p)^-1。(2) 其中，n过所有正整数，p过所有素数，但稍加改动便可以使其收敛，将n写成n^s(s>1),即可。如果黎曼假设正确： Π（x)=Li(x)+O(x^1/2*logx).。(3) 证明了上式，即证明了黎曼猜想。 在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线Res(s) = 1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。 黎曼在1858年写的一篇只长8页关于素数分布的论文，就在这论文里他提出了有名的黎曼猜想（Riemanns Hypoth-esis）。

黎曼猜想简介

黎曼猜想简介 数学是自然科学的女皇，数论是数学的女皇。 -----K.F.Gauss 比哥德巴赫猜想更“辉煌”的猜想 20 世纪70 年代后期，徐迟先生的《哥德巴赫猜想》风靡神州大地，陈景润这个名字和“皇冠上的明珠”这一词汇令人耳目一新。而今，那皇冠上的明珠，仍在那里闪光，陈景润研究员本来已离那皇冠上的明珠仅一步之遥了，可是那明珠却又因陈景润的离去而变得似乎遥不可及。但就在1995年，英国数学家怀尔斯(A. Wiles, 1953-)却出人意外地解决了358 年悬而未决的费马猜想(即费马大定理)，摘取了这颗历史更加悠久、似乎更加奇异的夜明珠，让人好不惊异，它使纯粹数学再次引人注目。 当我们仰望数学群山，发现在群山之巅，好像都镶嵌着宝珠或明珠，等待能攀登上峰顶的勇士摘取，哥德巴赫猜想、费马猜想等就像位于邻近山峰不同峰顶上的明珠。而当我们仰望那最高峰，隐约看见有一颗更加明亮而硕大的宝珠，在纯粹数学巅峰闪光，那就是具有近160 年历史的黎曼猜想。 让我们从1858 年讲起吧。 1858 年的一天，习惯于冥思苦想的黎曼先生正漫步在德国格廷根的街道上，忽然，他脑海里奇思迸发，急忙赶回家中，写下了一篇划时代的论文，题目叫做“论不大于一个给定值的素数的个数”。论文于1859 年发表，这是黎曼生前发表的惟一一篇数论论文，然而却成了解析数论的开山作。就是在这篇大作中，黎曼先生提出了划时代的黎曼猜想。 黎曼(G. F. B. Riemann, 1826-1866)于1826 年9 月17 日出生在德国汉诺威的布列斯伦茨。他的父亲是位牧师，母亲是个法官的女儿，黎曼在6 个兄弟姐妹中排行老二。黎曼 6 岁左右开始学习算术，很快他的数学才能就显露出来。10 岁时，他的算术和几何能力就超过了教他的职业教师。 14 岁时，黎曼进入文科中学，文科中学校长施马尔夫斯(C. Schmalfuss)发现了他的数学才能，便将自己的私人数学藏书借给这位生性沉静的孩子，一次，黎曼居然借走了著名数学家勒让德写的859 页的大 4 开本《数论》，并用 6 天时间

黎曼猜想被证明

一、什么是黎曼猜想 黎曼猜想——最重要的数学猜想 早在1737年，大数学家欧拉就发现了质数分布问题与Zeta函数的联系，给出并证明了欧拉乘积公式，使得Zeta函数成为研究质数问题的经典方法。 欧拉乘积公式，其中p为质数，n为自然数 黎曼猜想（Riemann Hypothesis）由大数学家黎曼在1859年首次提出，讨论黎曼Zeta函数的非平凡解问题。 黎曼猜想是众多尚未解决的最重要的数学问题之一，被克雷数学研究所列为待解决的七大千禧问题，悬赏百万美金证明或者证伪。一百年前希尔伯特就曾被问过一个问题“假定你能死而复生，你会做什么？”，他的回答是，“我会问黎曼猜想是否已经解决”。可见黎曼猜想多么吸引人 黎曼猜想是关于黎曼Zeta函数的零点分布的猜想。黎曼Zeta函数长这个样子： 黎曼Zeta函数有两种零点，一种是位于实数轴线上的零点，被称为平凡零点，另一种是位于其他复平面区域上的零点，被称为非平凡零点，目前数学家已经证明这些非平凡零点全部位于实部区间为0到1的复平面内，而黎曼则大胆猜想，这些非平凡零点全部位于实部为1/2的一条直线上。 “所有非平凡零点都位于实部为1/2的直线上”是一个尚未得到严格证明的猜想，但数学家们至今找到的上万亿个非平凡零点的确都位于这条直线上，无一例外。 黎曼猜想还跟幂律分布有关。 我们都知道幂律分布是指 其中x如果只能取1,2,3,...,n的整数，c为归一化常数，满足： 而这里面的

就是Zeta函数，黎曼猜想就是关于这个函数的，但是a可以取复数值。 黎曼猜想真的会被证明吗？ 质数分布没有简单规律，但质数出现的频率跟黎曼Zeta函数紧密相关。有数学家甚至认为黎曼猜想与强条件下的质数定理是等价的。目前已经验证了前1,500,000,000个质数对这个定理都成立，但至今没有完全证明。黎曼猜想得证，对质数研究、数论研究意义重大。 黎曼猜想对许多数学领域都意义重大，质数分布只是其中一个。有上千个数学命题都建立在黎曼猜想为真的基础上。多数数学家认为这个猜想是正确的，如果黎曼猜想被证伪，数学体系将失去重要根基。 二、黎曼猜想被证明了吗？ 如果这是真的，Atiyah爵士将不仅获得由克雷数学研究所悬赏的一百万美金奖励，更是他个人的至高荣誉和整个数学界的狂欢。 然而，根据我们目前的了解，Atiyah爵士极有可能是在自娱自乐逗大家玩…… 黎曼函数和黎曼猜想简介 大家这几天应该被动恶补了不少黎曼函数和黎曼猜想的介绍了，这里还是不厌其烦地再简单说下。 首先有无穷级数ζ(s) ： 当s取1时，它就是调和级数1+1/2+1/3+1/4+...，算数意义上不收敛。s=2时，级数收敛于π2/6。等等。当s的取值为复数s=x+iy时，它会把复平面上的点s(x,iy)映射到另一点s'(x',iy')。我们注意到这个级数要求s的实部大于1（x>1），否则这个级数不收敛，也就没有我们熟悉的数值和结果。 ζ(s)在复平面上的图像，Re(s)>1，此时图像全部分布在Re(ρ)=1/2线的右侧。图源3blue1brown 黎曼函数是ζ(s)在整个复平面的解析延拓，将s的定义域扩展到整个复平面。（值得说明的是，解析延拓是一种非常强的约束。如果一个函数存在解析延拓，那么解析延拓的结果是唯

黎曼猜想

[编辑]黎曼猜想 维基百科，自由的百科全书 跳转至：导航、搜索 千禧年大奖难题 P/NP问题 霍奇猜想 庞加莱猜想（已证明） 黎曼猜想 杨-米尔斯存在性与质量间隙 纳维-斯托克斯存在性与光滑性 贝赫和斯维讷通-戴尔猜想 黎曼猜想由德国数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出。它是数学中一个重要而又著名的未解决的问题。多年来它吸引了许多出色的数学家为之绞尽脑汁。 黎曼猜想： 黎曼ζ函数，。非平凡零点(在此情况下是指s不为-2、-4、-6???等点的值)的实数部份是?。 黎曼猜想（RH）是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想。黎曼ζ函数在任何复数s≠ 1上有定义。它在负偶数上也有零点（例如，当s = ?2, s = ?4, s = ?6, ...）。这些零点是“平凡零点”。黎曼猜想关心的是非平凡零点。 黎曼猜想提出： 黎曼ζ函数非平凡零点的实数部份是? 即所有的非平凡零点都应该位于直线? + ti（“临界线”）上。t为一实数，而i为虚数的基本单位。沿临界线的黎曼ζ函数有时通过Z-函数进行研究。它的实零点对应于ζ函数在临界线上的零点。

素数在自然数中的分布问题在纯粹数学和应用数学上都很重要。素数在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼（1826--1866）发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。 1901年Helge von Koch指出， 现在已经验证了最初的1,500,000,000个素数对这个定理都成立。但是是否所有的解对此定理都成立，至今尚无人给出证明。 黎曼猜想所以被认为是当代数学中一个重要的问题，主要是因为很多深入和重要的数学和物理结果都能在它成立的大前提下被证明。大部份数学家也相信黎曼猜想是正确的（约翰·恩瑟·李特尔伍德与塞尔伯格曾提出怀疑。塞尔伯格于晚年部分改变了他的怀疑立场。在1989年的一篇论文中，他猜测黎曼猜想对更广泛的一类函数也应当成立。）克雷数学研究所设立了$1,000,000美元的奬金给予第一个得出正确证明的人。 目录 [隐藏] ? 1 历史 ? 2 黎曼猜想与素数定理 ? 3 黎曼猜想之结果及其等价命题 o 3.1 默比乌斯函数的增长率 o 3.2 积性函数增长率 o 3.3 里斯判准与二项式系数和 o 3.4 韦伊判准、李判准 o 3.5 跟法里数列的关系 o 3.6 跟群论的关系 o 3.7 与埃拉托斯特尼筛法的关系 o 3.8 临界线定理 ? 4 已否证的猜想 ? 5 相对弱的猜想 o 5.1 Lindel?f猜想 o 5.2 大素数间隙猜想 ? 6 证明黎曼猜想的尝试 ?7 黎曼猜想证明的可能的着手方向 ?8 与算子理论的可能联系 ?9 搜寻ζ函数的零点 ?10 参考文献

黎曼猜想原始论文中文译注-《论小于某给定值的素数的个数》(1)

论小于某给定值的素数的个数 （黎曼提出黎曼猜想的原始论文） 黎曼（Riemann ）原稿 谢国芳（Roy Xie ）译注 Email:roixie@https://www.360docs.net/doc/4816134839.html, 承蒙（柏林）科学院接纳我为通讯院士，我想表达被赐予这份殊荣的感谢之情的最好方式是立即利用由此得到的许可向其通报一项关于素数分布密度的研究，考虑到高斯和狄利克雷曾长期对此问题抱有浓厚的兴趣，它似乎并不是完全配不上这样性质的一个报告。 我以欧拉的发现、即下面这个等式作为本研究的起点： 11 1 s s p n -=- ∑∏ 其中等式左边的p 取遍所有质数，等式右边的n 取遍所有自然数，我将用()s ζ表记由上面这两个级数（当它们收敛时）表示的复变量s 的函数。 {注1： 即定义复变函数 1 1 ()1s s s n p ζ-= =-∑ ∏} 上面这两个级数只有当s 的实部大于1时才收敛，但很容易找到一个（对任意s ）总是有效的函数()s ζ的表达式。 {注2：用现代数学语言讲，即要对复变函数()s ζ进行解析延拓，而解析延拓的最好方法是寻找一个该函数的更广泛有效的表示如积分表示或适当的函数方程。} 利用等式 {注3：()s ∏是高斯引入的伽玛函数记号，现在一般把伽玛函数记作()s Γ，

()(1)()s s s s ∏=Γ+=Γ，10 ()s x s x e d x ∞ --Γ= ?，令积分号中的哑变量x n x →即可导出上式。} 可得 {注4：11 1 1111 x nx x x x n e e e e e -∞ ---==-==---∑ } 现在考虑积分 {注5：按现代数学记号，该积分应记成 1 () 1s x C x dx e ---? 或（考虑到一般用z 表示复数）1 ()1s z C z dz e ---?， 其中的积分路径C 如下面的图1所示。} 积分路径沿从到、包含值0但不包含被积函数的任何其他奇点的区域的 正向边界进行。 {注6：参见下面的图1。} 图1 易得该积分的值为

黎曼猜想的重要意义

黎曼猜想的重要意义 在数学界，有很多非常重要的数学难题至今没有被攻克和证明，黎曼猜想就是其中的一个。提起“黎曼猜想”，大家可能仅仅是听说过，或者仅仅知道这个难题的名称而已，至于它究竟是什么问题，为什么如此重要，大多数人可能是一无所知。 德国数学家、物理学家黎曼 黎曼猜想的内容：它究竟是一个什么问题

黎曼猜想是由德国数学家、物理学家黎曼提出的。1859年黎曼发表一篇关于素数分布的论文，这篇论文中他研究了黎曼ζ函数，提出了著名的黎曼猜想。我们无法完全用初等的数学来描述黎曼猜想的内容，概略地讲，它是关于对一个名叫黎曼ζ函数的复变量函数（也就是变量和函数值均在复数域中取值的函数）的猜想。与其他很多函数一样，黎曼ζ函数在某些点上的取值为0，这些点被称之为黎曼ζ函数的0点。在这些0点当中，特别重要的一部分称为黎曼ζ函数的非平凡0点。黎曼猜想的内容就是猜想这些非平凡的0点，全部分布在一条特殊的直线上，这条直线被称之为“临界线”，它是一条通过实轴的点1/2与虚轴平行的直线。 黎曼猜想是数学中最重要的猜想 黎曼猜想一直以来都是数学界最为重要的猜想之一，这是世界各国科学家们所公认的事实。 1900年夏天，在法国巴黎召开一次国际数学家大会。在这次会议上，德国著名的数学家希尔伯特做了题为“数学问题”的演讲，列出了一系列他认为最为重要的数学难题，引起了很多数学家的兴趣。 时隔100年，也就是2000年，美国克雷数学研究所的数学家们在巴黎也召开了一次数学会议，参加会议的科学家们也列出了他们自己认为最为重要的数学难题。虽然他们的声望远远不及希尔伯特，但为表明其重要性和鼓励攻克难题，他们为每个难题开设了100万美元的奖金。

黎曼假设(2)素数个数公式

黎曼假设(2)素数个数公式《黎曼假设》(2)突破性解答 素数分布规则③——素数个数公式 千禧年世界数学难题之四解答 1900年希尔伯特23个问题第8题 世界数学难题解答 作者：中国数论研究者 江西景德镇 乐平林登发 (经济师) 邮箱：2208831455@https://www.360docs.net/doc/4816134839.html, 2015.7.8

㈠前言 随着《黎曼假设》素数分布被级数筛法突破性解答，《孪生素数猜想》素数对被序号筛法突破性解答，在数论史上还有关于素数无限发展，无限延伸从0至∞的发展趋势，它们的数量计算还是渺茫，难以捉摸。 古今很多学者創造过一些计算素数个数公式，不是属于数理逻辑推导出来的，而是捕风捉影硬套产生的，所以很多公式一用就失效，目前世界上还沒有素数个数精确公式，那怕局部区域使用的也沒有，大家都在渴望，期盼着…… 当前是万民创业，万众创新时代，陷入僵局的素数分布问题应运而生，应运而解，上可顺乎天意，下和谐接地气，素数分布个数公式要出世了，古老数论将有突破性进展。 ㈡基础理论引导 自然数是素数及素数变換形态模式共同产生的混合体，六进制1633规则级数筛法揭露自然数中素数分布规则，只有在阳奇数6N+1和在阴奇数6N-1中有素数存在。 阳奇数中的素数叫阳素数，阴奇数中的素数叫阴素数，从此知道素数也有阴阳之分。 由六进制中6分解：6=1X2x3中得到1，2，3，是0号原始素数。 因此素数理念革命性改变了，素数有三种：原始素数，阳素数，阴素数。因此 素數数量精确公式： ∑全体素数分布数量个数 =∑原始素数+∑阳素数+∑阴素数。 后二种统称普通素数，1是先天性原始素数。 在阳奇数中除阳素數以外，还有阳复合“积”合数，可以用十字街规则把它筛选出来。同样在阴奇数除阴素数以外，还有阴复合“积”合数，也可以用十字街规则把它筛选出来。 这些复合“积”合数在相对区域来说数量是变化的，是动态的。随区域变化而变化，分布数量十分不均匀。所以在无数次探索中釆取以动制动求解，才符合数理逻辑。只有转换思维方法，简单而直接的答案就可能是最合理可行的。 ㈢主题： 素数分布规则③——素数个数公式 从铁路规则双轨数中结构分析： ①原始素数即0号素数1，2，3，共三个。

猜想突破 数论研究

猜想突破数论研究 千禧年世界数学难题《黎曼假设》又名《黎曼猜想》，著名世界数学难题《哥德巴赫猜想》，《孪生素数猜想》等猜想突破解析、解答与证明。 研究项目课题: 《基础数论六进制级数筛法( 阴/阳、三奇/三偶、裂变/聚变) 新学说》 (1) 素数分布规則: 2000年5月24日世界数学会在法国法兰西科学院宣布的千禧年世界数学难题第四题《黎曼假设》破解证明。颠覆、淘汰了旧概念，沒有釆用黎曼使用《ζ函数理论》。应用筛法新学说理论解析。 篇幅內容： ①《黎曼假设》(1) 素数分布规则。 ②《黎曼假设》(2) 孪生素数分布规则 ③《黎曼假设》(3) 素数个数公式共三篇数论。 (2) 素数组合规则 1900年，世界数学会主席、德国数学家希尔伯特宣布的，世界数学难题23个问题第8题《哥德巴赫猜想》破解证明，颠覆、淘汰了旧观念，沒有釆用国际学术上延用的《殆素数理论》，应用筛法新学说理论解析。 篇幅內容： ①素数组合规则解答(1) 俗称:《哥德巴赫猜想》偶数个数1+1 。 ②素数组合规则解答(2) 俗称:《哥德巴赫猜想》奇数个数1+1+1 ③自然数顶层设计一一素数组合规则(3) 等共三篇数论。 以上共六篇是继承发扬中国传统《周易》古老哲学智慧，应用创新演化成的新学说，逻辑思维中式演算。 独特之处是：不存在陷入小数泥潭难以自拔窘境，不釆用含糊数学术语、个性化代替规则的数字闹剧。 是交叉学科的枢纽学术精髓，是大数据芯片“和”与“积”区分智能程序，是世界数学不可思议素数问题顶级难题突破，是基础前沿科学烧脑系统工程。 为突破世界数学难题一一素数问题各种猜想僵局开创先河，从怎样发现素数系统到自然数构造自成体系论述，新学说见到了“光明”。 体现中国文化成为能够影响世界未来的优秀文化，东方还有易经理论可超越ζ函数、殆素数理论的中国六爻轮回级数筛法，更明智的解析理念、创新方法！ 有中国文化自信，作为共和国的长子“老三届”就有新学说理论自信，让世界再分享新时代中国文明文化传承！ 还研究了奇葩世界数学难题，著作了《角谷猜想解析》，《周氏猜测解说》，《数的新模式》，还有…… 拙作均已发表在百度文库成为共享文档，为适应读者了解其内容特写此提示，欢迎世界永久评阅！ 作者：中国数论研究者江西省景德镇市乐平林登发职称经济师

黎曼猜想：跨世纪难题

科技前沿博学丛书 黎曼猜想：跨世纪难题 叶鹰编著 内容提要 这是一册对著名开放数学难题“黎曼猜想”进行系统阐述的高级科普读物。作者对这一延续近150年的跨世纪难题作了独到诠释，并对7个千禧年数学大奖问题作了介绍。全书风格简明，文笔健朗，将历史故事穿插于数学公式之间，兼顾知识性、趣味性和学术性，既有启发意义，又有研究价值，可供大学生、研究生阅读和数学爱好者参考。 跨世纪难题黎曼猜想一览无余 千禧年大奖七大问题尽在其中

目录 序潘云鹤开篇词 1 比哥德巴赫猜想更“辉煌”的猜想 比“明珠”更亮的“宝珠”在闪光…… 2 理解黎曼猜想 黎曼猜想的表述…… 3 壮志难酬英雄何处 一代又一代数学家的努力付之东流…… 4 纯粹数学航标 解决黎曼猜想的意义…… 5 解决费马猜想的启示 用迂回战术解决黎曼猜想的思路…… 6 激励数学进步的猜想 数学猜想小会聚…… 7 未来展望 开放难题征解…… 深入研究参考文献 结束语 丛书后记

序 科学技术正在以惊人的速度突飞猛进，这一状况导致的后果之一是科学技术前沿离公众能理解和接受的平台越来越远；同时，科学技术也正在以前所未有的深度和广度影响着经济发展和社会生活，这一状况又导致公众对科学技术前沿的关注和了解的热情更加高涨。因此，通过科普著作，拉近公众与科学技术前沿的距离、让公众认识并理解科学技术前沿的精粹，是一项具有重大现实价值和深远意义的工作。科技前沿博学丛书的策划和出版正好能符合这一需求。 科技前沿博学丛书包含的黎曼猜想、统一场论、碳笼化学、基因工程、信息科技、纳米技术等，都是科学技术前沿的著名难点和热点。作者采集大量最新信息，以通俗易懂的视角和语言形式将深奥的科学问题与技术成就简明扼要地展现在读者面前，可以说既是对科学技术前沿的发展综述，也是对现有科学技术成果普及化的再组织。 出版科技前沿博学丛书是一项具有战略眼光的工作，这套丛书兼顾知识趣味性和学术严谨性，将科技前沿的基础知识和最新进展浓缩在不多的篇幅中，适合现代快节奏生活中的人们阅读，并将在启迪青年学生的科学兴趣方面独具特色，进而为科教兴国做出积极贡献。 中国工程院院士 浙江大学校长 2002年7月12日

世界七大数学难题与Hilbert的23个问题

世界七大数学难题与Hilbert的23个问题 继上文《数学家的猜想错误》提到的七大数学难题和大卫·希尔伯特23个数学难题，今天我们就来详细了解下。 世界七大数学难题，这七个“千年大奖问题”是： NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨－米 尔斯理论、纳卫尔－斯托可方程、BSD猜想。千年大奖问题美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。其中有一个已被解决(庞加莱猜想),还剩六个.（庞加莱猜想，已由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼破解。我国中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东做了证明的封顶工作。）“千年大奖问题”公布以来，在世界数学界产生了强烈反响。 这些问题都是关于数学基本理论的，但这些问题的解决将对数学理论的发展和应用的深化产生巨大推动。认识和研究“千年大奖问题”已成为世界数学界的热点。不少国家的数学家正在组织联合攻关。可以预期，“千年大奖问题” 将会改变新世纪数学发展的历史进程。01庞加莱猜想1904年，法国数学家亨利·庞加莱（Henri Poincaré）在提出这个猜想：'任何一个单连通的，封闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。

' 换一种简单的说法就是：一个闭的三维流形就是一个没有边界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间，假如每条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空间就一定是一个三维圆球。 懵逼中 为了大家便于理解庞加莱猜想，有人给出了一个十分形象的例子：假如在一个完全封闭（足够结实）的球形房子里，有一个气球（皮是无限薄的），现在我们将气球不断吹大，到最后，气球的表面和整个房子的墙壁是完全贴住，没有缝隙。面对这个看似十分简单的猜想，无数位数学家前仆后继，绞尽脑汁，甚至是倾其一生都没能证明这个猜想。希腊数学家帕帕奇拉克普罗斯直到临终前都在为庞加莱猜想的证明而 努力，最后只能把一叠厚厚的手稿交给了一位数学家朋友保管。 直到2003年，俄罗斯的数学家格里戈里·佩雷尔曼十分大胆地将他花费了8年时间的研究成果，上传到专门刊登学术论文的网站上，说自己已经证明庞加莱猜想。2005年10月，佩雷尔曼的证明终于通过了专家的验证，他成为了“千禧年数学大奖”的第一位也是至今唯一一位获奖人。（其他6个还没解决）02霍奇猜想英国数学家道格拉斯·霍奇(Douglas