高考导数大题大全理科答案
一、解答题
1. 解:(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞,'11
2()e ln e e e .x
x x x a b b f x a x x x x
--=+-+ 由题意可得'
(1)2,(1) e.f f ==故1,2a b ==.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知1
2e ()e ln ,x x
f x x x -=+
从而()1f x >等价于2
ln e .e
x x x x ->- 设函数()ln g x x x =,则()1ln g x x '=+,所以当1
(0,)e
x ∈时,'
()0g x <; 当1
(,)e
x ∈+∞时,'
()0g x >,故()g x 在1(0,)e 单调递减,在1(,)e
+∞单调递增, 从而()g x 在(0,)+∞的最小值为1
1().e e
g =-.
设函数2()e e
x
h x x -=-,则'()e (1)x h x x -=-,所以当(0,1)x ∈时,'
()0h x >;
当(1,)x ∈+∞时,'
()0h x <,故()h x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞上单调递减,从而()h x 在(0,)+∞的最大值为1(1)e
h =-
. 综上,当0x >时,()()g x h x >,即()1f x >.
2. 解题指南(1)根据导数公式求出函数的导数,利用分类讨论思想求解;(2)根据函数的单调性以及函数极值与导数的关系式确定函数的极值点,代入函数中求解.
解析(1)2/
2
2
2(2)24(1)
()1(2)(1)(2)a x x ax a f x ax x ax x +-+-=-=++++ (*) 当1a ≥时,/
()0f x >,此时,()f x 在区间(0,)+∞上单调递增. 当01a <<时,由/
()0f x =
得1
x =,
(2x =-舍去).
当1(0,)x x ∈时,/()0f x <;当1(,)x x ∈+∞时,/
()0f x >. 故()f x 在区间1(0,)x 上单调递减,在区间1(,)x +∞上单调递增. 综上所述,当1a ≥时,()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.
当01a <<时,()f x
在区间(0,
上单调递减,在区间)+∞上单调递增. 由(*)式知,当1a ≥时,/
()0f x >,此时()f x 不存在极值点,因而要使得()f x 有两个极值点, 必有01a <<.又()f x
的极值点只可能是1
x =
2x =-,且由定义可知,1
x a >-
且2x ≠-
,所以1a ->-
且2-≠-,解得1
2
a ≠- 此时,由(*)式易知,12,x x 分别是()f x 的极小值和极大值点,而 令21a x -=,则01a <<且12a ≠-知:当102
a <<时,10x -<<;当112a <<时,01x <<. 记2
2
()ln 2g x x x
=+-, (Ⅰ)当10x -<
<时,2()2ln()2g x x x =-+-,所以/22
2222
()0x g x x x x
-=-=< 因此,()g x 在区间(1,0)-上单调递减,从而()(1)40g x g <-=-<,故当1
02
a <<
时, 12()()0f x f x +<.
(Ⅱ)当01x <<时,2()2ln 2g x x x =+
-,所以/222222
()0x g x x x x
-=-=< 因此,()g x 在区间(0,1)上单调递减,从而()(1)0g x g >=,故当时
1
12
a <<,12()()0f x f x +>.
综上所述,满足条件的a 的取值范围为1
(,1)2. 3. (1)证明:因为对任意x ∈R ,都有()
()e e
e e ()x x x x
f x f x -----=+=+=,所以f (x )是R 上的偶函数.
(2)解:由条件知(e e
1)e 1x x
x m --+-≤-在(0,+∞)上恒成立.
令t = e x
(x >0),则t >1,所以m ≤2
11
11111
t t t t t --
=--+-++-对于任意t >1成立.
因为11111t t -+
+≥- = 3,所以1113111
t t -
≥--++-, 当且仅当t = 2,即x = ln2时等号成立.
因此实数m 的取值范围是1,3?
?-∞- ??
?.
(3)解:令函数31()e (3)e x x g x a x x =+--+,则2
1()e 3(1)e
x x g x a x '=-+-.
当x ≥1时,1e 0e x x
-
>,x 2
– 1≥0,又a >0,故g ′(x )>0,所以g (x )是[1,+∞)上的单调增函数, 因此g (x )在[1,+∞)上的最小值是1
(1)e e 2g a -=+-.
由于存在x 0∈[1,+∞),使003
0e e (3)0x x a x x -+--+<成立,当且仅当最小值g (1)<0, 故1
e+e 20a --<,即1
e e 2
a -+>.
令函数()(e 1)ln 1h x x x =---,则()1h x '=-
e 1
x
-,令h ′(x ) = 0,得e 1x =-. 当(0,e 1)x ∈-时,h ′(x )<0,故h (x )是(0,e 1)-上的单调减函数.
当x ∈(e – 1,+∞)时,h ′(x )>0,故h (x )是(e – 1,+∞)上的单调增函数. 所以h (x )在(0,+∞)上的最小值是(e 1)h -.
注意到h (1) = h (e) = 0,所以当(1,e 1)x ∈- ?(0,e 1)-时,(e 1)h -)≤h (x ) ①当a ∈1e e ,e 2-?? + ??? ?(1,e)时,h (a )<0,即1(e 1)ln a a -<-,从而1e 1e a a --<; ②当a = e 时,1 e 1e a a --<; ③当(e,)(e 1,)a ∈+∞?-+∞时,h (a )>h (e) = 0,即1(e 1)ln a a ->-,故1 e 1e a a -->. 综上所述,当a ∈1e e ,e 2-?? + ??? 时,1e 1e a a --<,当a = e 时,1e 1e a a --=,当(e,)a ∈+∞ 时,1 e 1e a a -->. 4. 解题指南:(I )利用'()f x 为偶函数和()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的斜率为4c -建立关于,a b 的方程求解. (II )利用基本不等式求解.(III)需对c 进行分类,讨论方程'()0f x =是否有实根,从而确定极值. 解析:(I )对()f x 求导得' 22()22x x f x ae be c -=+-,由()f x '为偶函数,知' ()'()f x f x -=, 即222()()0x x a b e e --+=,因220x x e e -+>,所以a b =. 又'(0)224f a b c c =+-=-,故1,1a b ==. (II )当3c =时,22()3x x f x e e x -=--,那么 故()f x 在R 上为增函数. (III)由(Ⅰ)知'22()22x x f x e e c -=+- ,而22224,x x e e -+≥=当0x =时等号成立. 下面分三种情况进行讨论. 当4c <时,对任意22,()220x x x R f x e e c -'∈=+->,此时()f x 无极值; 当4c =时,对任意220,()220x x x f x e e c -'≠=+->,此时()f x 无极值; 当4c >时,令2x e t =,注意到方程2 20t c t +-= 有两根1,20t = >, 即'()0f x =有两根112211 ln ln 22 x t x t = =或. 当12x x x <<时,'()0f x <;又当2x x >时,'()0f x >,从而'()f x 在2x x =处取得极小值; 综上,若'()f x 有极值,则c 取值范围为()4,+∞. 5. 解题指南(1)先求导数,结合解不等式求解函数的单调区间;(2)利用单调性与导数的关系求解字 母的取值范围. 解析⑴当4b =时 ,2 ()(4f x x x =++定义域为12 (,)-∞ , 21 2 ()(24)(44)(2)f x x x x '=+++?-= . 令()0f x '=,解得12x =-,20x =. 当2x <-或1 2 0x << 时,()0f x '<;当20x -<<时,()0f x '>.所以()f x 在(,2)-∞-,12 (0,)上单调递 减; 在(2,0)-上单调递增.所以当2x =-时,()f x 取得极小值(2)0f -=;当0x =时,()f x 取得极大值(0)4f =. ⑵因为()f x 在13 (0,)上单调递增,所以()0f x '≥,且不恒等于0对13 (0,)x ∈恒成立 . 221 2()(2)()(2)f x x b x bx b '=+++?-= ,所以25320x bx x --+≥, 得min 253()x b -≤.因为1 2525133 3 9x -?-> =,所以19 b ≤,故b 的取值范围为19 (,]-∞. 6. 解析:(Ⅰ)对()f x 求导得222(6)(3)3(6)'(),()x x x x x a e x ax e x a x a f x e e +-+-+-+== 因为()f x 在0x =处取得极值,所以'(0)0f =即0a =. 当0a =时,()f x = 22 336,'(),x x x x x f x e e -+=故33 (1),'(1),f f e e ==从而()f x 在点(1,(1)f )处的切线方程为33 (1),y x e e - =-化简得30.x ey -= (Ⅱ)由(Ⅰ)知23(6)'().x x a x a f x e -+-+= 令2 ()3(6),g x x a x a =-+-+ 由()0g x =解得2212636636 ,.a a a a x x --+-++= = 当1x x <时,()0g x <,即'()0f x <,故()f x 为减函数; 当12x x x <<时,()0g x >,即'()0f x >,故()f x 为增函数; 当2x x >时,()0g x <,即'()0f x <,故()f x 为减函数; 由()f x 在 [)3,+∞上为减函数,知2 26363,a a x -++= ≤解得9 ,2 a ≥- 故a 的取值范围为9,.2?? -+∞???? 考点分类第四章 考点一、导数的概念、运算及其几何意义;考点二、导数的应用;第九章 考点一、不等关系与一元二次不等式 7. 解:(1)∵2 2 '()2(1)(1)0x x x f x x x x =++=+≥e e e (仅当1x =-时取等号), ∴()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞. (2)∵(0)10f a =-<,2 (ln )(ln )0f a a a =>, ∴()f x 在单调递增区间(,)-∞+∞上仅有一个零点. (3)由题意知'()0P f x =,又仅'(1)0f -=,得1P x =-,2P y a =-e , 由题意知'()OP f m k =,得22(1)m m a +=-e e , 要证3 21m a ≤ --e ,即要证3 2(1)m a +≤-e , 只需证32(1)(1)m m m +≤+e ,即要证1m m +≤e ,① 设()1m g m m =+-e ,则'()1m g m =-e , 又'()00g m m ?==, ∴()g m 在(,0)-∞上递增,在(0,)∞+上递减。 ∴()(0)0g m g ≤=,即不等式①成立,得证. 8. 解:对()f x 求导,得2()(4)e x f x x x '=+, 由()0f x '<,解得40x -<<,所以()f x 的单调递减区间为(4,0)-。 9. (1)解:由()f x =n nx x -,可得()1 1()1n n f x n nx n x --'=-=-,其中n *∈N ,且2n ≥. 下面分两种情况讨论: ①当n 为奇数时. 令()0f x '=,解得1x =,或1x =-. 当x 变化时,()f x ',()f x 的变化情况如下表: - + - 所以,()f x 在 ,1-∞-,1,+∞上单调递减,在1,1-内单调递增。 ②当n 为偶数时. 当()0f x '>,即1x <时,函数()f x 单调递增; 当()0f x '<,即1x >时,函数()f x 单调递减. 所以,()f x 在 (),1-∞上单调递增,在()1,+∞上单调递减. (2)证明:设点P 的坐标为 ()0,0x ,则011n x n -= ,2 0()f x n n '=-.曲线y =()f x 在点P 处的切线方程为()00()y f x x x '=-,即00()()()g x f x x x '=-.令()()()F x f x g x =-,即00()()()()F x f x f x x x '=--,则0()()()F x f x f x '''=-. 由于1 ()n f x nx n -'=-+在()0,+∞上单调递减,故()F x '在()0,+∞上单调递减.又因为0()0F x '=, 所以当()00,x x ∈ 时,()0F x '>,当()0,x x ∈+∞时,()0F x '<,所以()F x 在()00,x 内单调递增,在 ()0,x +∞上单调递减,所以对于任意的正实数x ,都有0()()0F x F x ≤=,即对于任意的正实数x ,都有 ()f x ()g x ≤. (3)证明:不妨设12x x ≤.由(2)知()()()2 g x n n x x = --.设方程()g x a =的根为2 x ',可得 202 a x x n n '= +-,当2n ≥时,()g x 在(),-∞+∞上单调递减. 又由(2)知()()() 222g x f x a g x '≥==,可得22x x '≤. 类似地,设曲线 ()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =,可得()h x nx =,当()0,x ∈+∞, ()()0n f x h x x -=-<,即对于任意的()0,x ∈+∞,()()f x h x <. 设方程()h x a =的根为1x ',可得1a x n '= .因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增,且() ()()111h x a f x h x '==<,因此11x x '<. 由此可得212101a x x x x x n ''-<-=+-. 因为2n ≥,所以() 1 1 112 111C 11n n n n n ---=+≥+=+-=,故01 1 2n x n -≥ =. 则当12x x ≤时,2121||x x x x -=-<21a n +- 同理可证当1x >2x 时,结论也成立 所以,2121a x x n -< +-. 10. 解:(Ⅰ)2121()(21)11ax ax a f x a x x x ++-'=+-=++,函数()f x 极值点的个数等价于()0f x '=,即2210ax ax a ++-=在(1,)x ∈-+∞上的变号根的个数. 令2 ()21g x ax ax a =++-, ①0a =时,()10g x =≠,此时()0f x '>,函数()f x 单调递增,无极值点; ②0a ≠时,令2 2 8(1)980a a a a a ?=--=-≤,解得8 09 a <≤时,()f x 单调递增,无极值点; ③0a <时,0?>,抛物线()g x 的开口向下,对称轴为1 4 x =- ,(0)10,(1)10g a g =->-=>,2210ax ax a ++-=在(1,)x ∈-+∞上有一个变号根,即()f x 有一个极值点; ④89 a >时,0?>,抛物线()g x 的开口向上,对称轴为1 4x =-,(1)10g -=>, 2210ax ax a ++-=在1(1,)4 x ∈--与1 (,)4x ∈-+∞上各有一个变号根,即()f x 有两个极值点. 综上:0a <时,()f x 有一个极值点;809a ≤≤时,()f x 无极值点;8 9 a >时,()f x 有两个极值点. (Ⅱ)①由(Ⅰ)知,8 09 a ≤≤时,()0f x '≥恒成立,()f x 单调递增,所以0x ≥时,()(0)0 f x f >=符合题意; ②0a <时,令[ )1()ln(1),0,,()1011x h x x x x h x x x -'=+-∈+∞= -=<++,所以()h x 单调递减,()(0)0h x h ≤=,所以ln(1)x x +≤,因为 ()f x 在0x ≥时先增后减, 222()ln(1)()()(1)f x x a x x x a x x ax a x =++-<+-=+-. 当x →+∞时,()f x →-∞,不满足,0,()0x f x ?>≥,舍去; ③ 819a <≤时,由(Ⅰ)知,对称轴1 4 x =-,0?>,(0)10g a =-≥,所以()0f x '≥恒成立,()f x 单调递增,即0x ≥时,()(0)0f x f >=符合题意; ④1a >时,由(Ⅰ)知,对称轴1 4 x =- ,0?>,(0)10g a =-<,所以存在00x >,使0(0,)x x ∈()0g x <,即()0f x '<,()f x 单调递减,故0(0,)x x ∈0x ≥时,()(0)0f x f <=不符合0,()0x f x ?>≥,舍去. 综上:所求a 的取值范围是 []0,1. 11. 解法一:(1)令()()ln(1),[0,)F x f x x x x x =-=+-∈+∞, 则有1()111 x F x x x -'= -= ++. 当(0,)x ∈+∞时,()0F x '<, 所以()F x 在[0,)+∞上单调递减, 故当0x >时,()(0)0F x F <=,即当0x >时,()f x x <. (2)令()()()ln(1),[0,)G x f x g x x kx x =-=+-∈+∞, 则有1(1) ()11 kx k G x k x x -+-'=-= ++, 当0k ≤时,()0G x '>,故()G x 在[0,)+∞单调递增, ()(0)0G x G >=, 故对任意正实数0x 均满足题意. 当01k <<时,令()0G x '=,得11 10k x k k -==->, 取01 1x k = -,对任意0(0,)x x ∈,有()0G x '>, 从而()G x 在0[0,)x 单调递增,所以()(0)0G x G >=,即()()f x g x > 综上,当1k <时,总存在00x >,使得对任意0(0,)x x ∈,恒有()()f x g x >. (3)当1k >时,由(1)知,对于(0,),()()x g x x f x ?∈+∞>>,故()()g x f x >. |()()|()()ln(1)f x g x g x f x kx x -=-=-+. 令2 ()ln(1),[0,)M x kx x x x =-+-∈+∞, 则有212(2)1()211 x k x k M x k x x x -+-+-'=--=++. 故当x ∈时,()0M x '>, ()M x 在上单调递增, 故()(0)0M x M >=,即2 |()()|f x g x x ->,所以满足题意的t 不存在 当1k <时,由(2)知,存在00x >,使得当0(0,)x x ∈时,()()f x g x >, 此时|()()|()()ln(1)f x g x f x g x x kx -=-=+-. 令2 ()ln(1),[0,)N x x kx x x =+--∈+∞, 则有212(2)1()211 x k x k N x k x x x --++-'=--=++, 当x ∈时,()0N x '>, ()N x 在上单调递增, 故()(0)0N x N >=,即2 ()()f x g x x ->. 记0x 1x , 则当1(0,)x x ∈时,恒有2 |()()|f x g x x ->. 故满足题意的t 不存在 当1k =时,由(1)知,当0x >时,|()()|()()ln(1)f x g x g x f x x x -=-=-+. 令2 ()ln(1),[0,)H x x x x x =-+-∈+∞, 则有212()1211 x x H x x x x --'=--=++. 当0x >时,()0H x '<, 所以()H x 在[0,)+∞上单调递减,故()(0)0H x H <=. 故当0x >时,恒有2 |()()|f x g x x -<. 此时,任意正实数t 均满足题意. 综上,1k =. 解法二:(1)(2)同解法一. (3)当1k >时,由(1)知,对于(0,),()()x g x x f x ?∈+∞>>, 故|()()|()()ln(1)(1)f x g x g x f x kx x kx x k x -=-=-+>-=-. 令2 (1)k x x ->,解得01x k <<-. 从而得到,当1k >时,对于(0,1)x k ∈-,恒有2|()()|f x g x x ->. 故满足题意的t 不存在。 当1k <时,取11 2 k k += ,从而11k k <<. 由(2)知,存在00x >,使得01(0,),()()x x f x k x kx g x ∈>>=, 此时11|()()|()()()2 k f x g x f x g x k k x x --=->-=, 令 212k x x ->,解得102k x -<< ,此时2 ()()f x g x x ->. 记0x 与12 k -的较小者为1x ,当1(0,)x x ∈时,恒有2 |()()|f x g x x ->. 故满足题意的t 不存在. 当1k =时,由(1)知,0,|()()|()()ln(1)x f x g x f x g x x x >-=-=-+, 令2 ()ln(1),[0,)M x x x x x =-+-∈+∞, 则有212()1211 x x M x x x x --'=--=++. 当0x >时,()0M x '<,所以()M x 在[0,)+∞上单调递减, 故()(0)0M x M <= 故当0x >时,恒有2 |()()|f x g x x -<, 此时,任意正实数t 均满足题意 综上,1k =. 12. 证明:(1)' ()sin cos ax ax f x ae x e x =+ 其中tan ρ= 1a ,0<ρ<2 π. 令' ()f x =0,由x 0≥得x+ρ=mx, 即x=m π-ρ,m ∈* N . 对k ∈N ,若2k π ()f x >0; 若(2k+1)π ()f x 的符号总相反.于是 当x= m π-ρ(m * N ∈)时,()f x 取得极值,所以 * () n x n n N πρ∈=-. 此时, ()()1 sin()()(1) sin .a n a n n n x e n f e πρπρπρρ--+=-=-易知()n f x ≠0,而 是常数,故数列 {}()n f x 是首项为1()f x =() sin a n e πρρ-,公比为ax e -的等比数列 (2)由(1)知,sin ρ ,于是对一切* n N ∈,n x <|()n f x |恒成立,即 () a n nπρ πρ- -<恒成立,等价于 () () a n e a n πρ πρ - < - (?) 恒成立(因为a>0) 设g(t)= t e t (t)0),则 2 ' (1) t g t e t t - ()=.令'g t ()=0得t=1 当0 ()<0,所以g(t)在区间(0,1)上单调递减; 当t>1时,'g t ()>0,所以g(t)在区间(0,1)上单调递增. 从而当t=1时,函数g(t)取得最小值g(1)=e 因此,要是(? )式恒成立,只需()1 g e a <= ,即只需a>. 而当 tanρ= 1 a >0 2 π ρ <<.于是 2 3 π πρ -< ≥ 时,2 3 2 n π πρπρ -≥-≥>.因此对一切 * n N ∈ ,1 n ax=≠,所以g( n ax )(1) g e >==.故(?)式亦恒成立. 综上所述,若a ≥* n N ∈,()| | n n x x f <恒成立. 13. 解:(Ⅰ)2 ()3 f x x a '=+,若x轴为曲线() y f x =的切线,则切点 (,0) x满足 00 ()0,()0 f x f x '==, 也就是2 30 x a +=且3 00 1 4 x ax ++=,解得 1 2 x=, 3 4 a=-,因此,当 3 4 a=-时,x轴为曲线() y f x = 的切线; (Ⅱ)当1 x>时,()ln0 g x x =-<,函数()()()( min{}) , h x f x g x g x ≤ =没有零点; 当1 x=时,若 5 4 a≥-,则 5 (1)0 4 f a =+≥,min{, (1)(1)(1)}(1)0 h f g g = ==,故1 x=是() h x的零点; 当01 x <<时,()ln0 g x x =->,以下讨论() y f x =在区间(0,1)上的零点的个数. 对于2 ()3 f x x a '=+,因为2 033 x <<,所以令()0 f x '=可得2 3 a x =-,那么 (i)当3 a≤-或0 a≥时,() f x '没有零点(()0 f x '<或()0 f x '>),() y f x =在区间(0,1)上是单 调函数,且 15 (0),(1) 44 f f a ==+,所以当3 a≤-时,() y f x =在区间(0,1)上有一个零点;当0 a≥ 时,() y f x =在区间(0,1)上没有零点; (ii)当30 a -<<时,()0 f x '< (0x <<)且()0 f x '> 1 x <<) ,所以x= 为最小值点,且 1 4 f=. 显然,若0 f>,即 3 4 a -<<时,() y f x =在区间(0,1)上没有零点; 若0 f=,即 3 4 a=-时,() y f x =在区间(0,1)上有1个零点; 若0 f<,即 3 3 4 a -<<-时,因为 15 (0),(1) 44 f f a ==+,所以若 53 44 a -<<-,() y f x = 在区间(0,1)上有2个零点;若 5 3 4 a -<≤-,() y f x =在区间(0,1)上有1个零点. 综上,当 3 4 a>-或 5 4 a<-时,() h x有1个零点;当 3 4 a=-或 5 4 a=-时,() h x有2个零点;当 53 44 a -<<-时,() h x有3个零点. 14. 解: (1)()()22 2ln22 =-++--+ f x x a x x ax a a 令() '0 ≥ g x,即() 200 -+≥> x x a x,讨论此不等式的解,可得: 当140 ?=-≤a时,即1 4 ≥ a时,不等式恒成立。即() '0 ≥ g x恒成立,所以() g x恒单调递增。 当1