高考数学试题汇编几何证明选讲

第十四章 选修4系列选讲

第一节 几何证明选讲

高考试题

考点一 相似三角形的判定与性质

1. (2013年陕西卷,理15B)(几何证明选做题)如图,弦AB 与CD 相交于☉O 内一点E,过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P.已知PD=2DA=2,则PE= .

解析:由PD=2DA=2,得PA=PD+DA=2+1=3, 又PE ∥BC,得∠PED=∠C, 又∠C=∠A,得∠PED=∠A,

在△PED 和△PAE 中,∠EPD=∠APE,∠PED=∠A, 所以△PED ∽△PAE, 得

PE PA =PD

PE

,

因此PE 2

=PA ·PD=3×

答案2.(2011年陕西卷,理15B)如图所示,∠B=∠D,AE ⊥BC,∠ACD=90°,且AB=6,AC=4,AD=12,则BE= .

解析:由∠B=∠D,∠AEB=∠ACD=90°, 得△ACD ∽△AEB, 所以

AC AE =AD AB ,即4AE =12

6

,所以AE=2, 所以在直角三角形ABE 中,

答案3.(2011年湖南卷,理11)如图所示,A,E 是半圆周上的两个三等分点,直径BC=4,AD ⊥BC,垂足为D,BE 与AD 相交于点F,则AF 的长为 .

解析:如图所示,设圆心为O,连接OA,OE,AE,因为A,E 是半圆周上的两个三等分点,所以AE ∥BC,AE=1

2

BC=2,所以△AFE ∽△DFB,所以

AF DF =AE

DB

.在△AOD 中,

∠AOD=60°,AO=2,AD ⊥BC,故OD=AOcos ∠AOD=1,AD=AOsin ∠所以BD=1.故

AF=

AE BD ·DF=2(AD-AF).解得

答案考点二 直线和圆的位置关系

1.(2013年重庆卷,理14)如图所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=60°,AB=20,过C 作△ABC 的外接圆的切线CD,BD ⊥CD,BD 与外接圆交于点E,则DE 的长为 .

解析:在△ABC 中,

BC=AB ·sin 60°, 由弦切角定理知∠BCD=∠A=60°,

所以 由切割线定理知,CD 2

=DE ·BD,

解得DE=5. 答案:5

2.(2012年湖北卷,理15)如图所示,点D 在☉O 的弦AB 上移动,AB=4,连接OD,过点D 作OD 的垂线交☉O 于点C,则CD 的最大值为 .

解析:连接OC.因为CD ⊥OD,所以又OC 为☉O 的半径,是定值,所以当OD 取最小值时,CD 取最大值.显然当OD ⊥AB 时,OD 取最小值,此时CD=1

2

AB=2,即CD 的最大值为2. 答案:2

3.(2013年广东卷,理15)(几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上,延长BC 到D 使BC=CD,过C 作圆O 的切线交AD 于E.若AB=6, ED=2,则BC= .

解析:连接OC,因CE是☉O的切线,

所以OC⊥CE,即∠OCE=90°,又因AB是直径,所以∠ACB=∠ACD=90°,

即∠OCA+∠ACE=∠ACE+∠ECD=90°,

得∠OCA=∠DCE,

又因OC=OA,所以∠OCA=∠OAC,

则∠BAC=∠DCE,又因AC⊥BD,BC=CD,

易证AB=AD,得∠ABC=∠ADC,

即∠ABC=∠CDE,

所以△ABC∽△CDE,所以AB

CD

=

BC

ED

,

即BC2=AB·ED=12,所以

答案

4. (2013年湖南卷,理11)如图,O中,弦AB,CD相交于点P,PA=PB=2,PD=1,则圆心O到弦CD的距离为.

解析:过O作CD的垂线OE交CD于点E,

则E为CD的中点,

由相交弦定理得AP·PB=DP·PC,

则PC=AP PB

DP

?

=4,

所以DC=5,

圆心O到弦CD

答案

5.(2013年新课标全国卷Ⅱ,理22)(选修41:几何证明选讲)如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E、F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·AE=DC·AF,B、E、F、C四点共圆.

(1)证明:CA 是△ABC 外接圆的直径;

(2)若DB=BE=EA,求过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值. (1)证明:因为CD 为△ABC 外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,

由题设知

BC FA =DC

EA

,故△CDB ∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA. 因为B,E,F,C 四点共圆,

所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°. 所以∠CBA=90°,因此CA 是△ABC 外接圆的直径. (2)解:连接CE,因为∠CBE=90°, 所以过B,E,F,C 四点的圆的直径为CE. 由DB=BE,有CE=DC. 又BC 2

=DB ·BA=2DB 2

,

所以CA 2

=4DB 2

+BC 2

=6DB 2

.

而CE 2

=DC 2

=DB ·DA=3DB 2

,

故过B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为

12

. 6.(2013年新课标全国卷Ⅰ,理22)如图,直线AB 为圆的切线,切点为B,点C 在圆上,∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E,DB 垂直BE 交圆于点D.

(1)证明:DB=DC;

(2)设圆的半径为延长CE 交AB 于点F,求△BCF 外接圆的半径. (1)证明:连接DE,交BC 于点G. 由弦切角定理得, ∠ABE=∠BCE. 而∠ABE=∠CBE,

故∠CBE=∠BCE,BE=CE.

又DB⊥BE,

所以DE为直径,

则∠DCE=90°,

由勾股定理可得DB=DC.

(2)解:由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,

故DG是BC的中垂线,

所以.

设DE的中点为O,连接BO,

则∠BOG=60°.

从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,

所以CF⊥BF,

故Rt△BCF.

7.(2012年江苏卷,21A)如图所示,AB是圆O的直径,D,E为圆O上位于AB异侧的两点,连接BD并延长至点C,使BD=DC,连接AC,AE,DE.求证:∠E=∠C.

证明:连接OD,如图所示.

因为BD=DC,O为AB的中点,

所以OD∥AC,

于是∠ODB=∠C.

因为OB=OD,

所以∠ODB=∠B.

于是∠B=∠C.

因为点A,E,B,D都在圆O上,

且D,E为圆O上位于AB异侧的两点,

所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角,

故∠E=∠B,所以∠E=∠C.

模拟试题

考点一相似三角形的判定与性质

1.(2012广东东莞高级中学二模)如图所示,AB是半径等于3的☉O的直径,CD是☉O的弦,BA,DC的延长线交于点P,若PA=4,PC=5,则∠CBD= .

解析:连接AC,DO,OC,可得△PAC ∽△PDB, ∴

PA PD =PC

PB

.

∴PD=8,CD=3.

又OC=OD=3,∴△OCD 为等边三角形. ∴∠COD=60°,∴∠CBD=1

2

∠COD=30°. 答案:30°

2.(2012衡水中学期末)如图所示,已知C 点在圆O 直径BE 的延长线上,CA 切圆O 于A 点,∠ACB 的平分线CD 交AE 于点F,交AB 于点D.

(1)求∠ADF 的度数; (2)若AB=AC,求AC ∶BC. 解:(1)∵AC 为圆O 的切线, ∴∠B=∠EAC,

又∵CD 是∠ACB 的平分线, ∴∠ACD=∠DCB,

∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD,即∠ADF=∠AFD. 又∵BE 为圆O 的直径,∴∠DAE=90°, ∴∠ADF=

1

2

(180°-∠DAE)=45°. (2)∵∠B=∠EAC,∠ACB=∠ACB, ∴△ACE ∽△BCA, ∴

AC BC =AE

BA

.又∵AB=AC,∴∠B=∠ACB=30°,

∴在Rt △ABE 中, AE AB =tan B=tan 30°,

∴

AC BC =AE AB 考点二 直线和圆的位置关系

1.(2013北京市海淀区斯末)如图所示,PC 与圆O 相切于点C,直线PO 交圆O 于A,B 两点,弦CD 垂直AB 于E,则下面结论中,错误的结论是( )

(A)△BEC∽△DEA

(B)∠ACE=∠ACP

(C)DE2=OE·EP

(D)PC2=PA·AB

解析:由切割线定理可知PC2=PA·PB,所以选项D错误,故选D.

答案:D

2.(2013东阿一中调研)如图所示,AB是☉O的直径,P是AB延长线上的一点,过P作☉O的切线,切点为

,若∠CAP=30°,则PB= .

解析:连接OC,因为,∠CAP=30°,

所以°=2,则AB=2OC=4,

由切割线定理得PC2=PB·PA=PB·(PB+BA),

解得PB=2.

答案:2

综合检测

1.(2013北京市通州区期末)如图所示,已知则圆O的半径OC的长为.

解析:取BD的中点M,连接结OM,OB,则OM⊥BD,因为BD=8,所以DM=MB=4,AM=5+4=9,

所以OM2=AO2-AM2=90-81=9,所以半径即OC=5.

答案:5

2.(2012天津质检)如图所示,圆O的直径AB=8,C为圆周上一点,BC=4,过C作圆O的切线l,过A作直线l的垂线AD,D为垂足,AD与圆O交于点E,则线段AE的长为.

解析:如图所示,连接OE,OC.

∵直线l与圆O相切于点C,

∴OC⊥l.

又∵AD⊥l,

∴OC∥AD,

∴∠DAB=∠COB.

又圆O的直径AB=8,BC=4,

∴△COB为等边三角形,

∴∠COB=60°,∴∠DAB=60°,

∴△AEO也为等边三角形,

∴AE=OA=4.

答案:4

3.(2013云南师大附中检测)如图所示,已知圆O外有一点P,作圆O的切线PM,M为切点,过PM的中点N,作割线NAB,交圆于A、B两点,连接PA并延长,交圆O于点C,连接PB交圆O于点D,若MC=BC.

(1)求证:△APM∽△ABP;

(2)求证:四边形PMCD是平行四边形.

证明:(1)∵PM是圆O的切线,NAB是圆O的割线,N是PM的中点,

∴MN2=PN2=NA·NB,

∴PN

NB

=

NA

PN

,

又∵∠PNA=∠BNP, ∴△PNA∽△BNP,∴∠APN=∠PBN, 即∠APM=∠PBA.

∵MC=BC, ∴∠MAC=∠BAC,

∴∠MAP=∠PAB,

∴△APM∽△ABP.

(2)∵∠ACD=∠PBN,

∴∠ACD=∠PBN=∠APN,即∠PCD=∠CPM,∴PM∥CD,

∵△APM∽△ABP,∴∠PMA=∠BPA,

∵PM是圆O的切线,∴∠PMA=∠MCP,

∴∠PMA=∠BPA=∠MCP,即∠MCP=∠DPC,∴MC∥PD,

∴四边形PMCD是平行四边形.