历年天津大学生数学竞赛试题

2001-2007年天津市大学数学竞赛试题集

（2009.3.10整理）

2001年天津市大学数学竞赛试题参考答案

（理工类）

一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横杠上面。） 1. 函数⎪⎩

⎪⎨⎧≥+<-=，，；

，0cos 01

e )(22x x x a x x

x f x 在（-∞，+∞）上连续，则a = 2 。 2. 设函数y = y (x ) 由方程0)cos(e =-+xy y x 所确定，则==0

d x y

x d - 。

3. 由曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积A =

12

37 。

4. 设E 为闭区间[0，4π]上使被积函数有定义的所有点的集合，则⎰=E

x x x

d sin cos

3

8 。

5．设L 是顺时针方向的椭圆14

2

2

=+y

x

，其周长为l ，则(

)=++⎰L

s y

x xy d 42

2

4l 。

二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）

1. 若0)(lim 0

u x x x =→ϕ且A u f =→)(lim 0

u u ，则（ D ）

（A ） )]([lim 0

x f x x ϕ→存在； （B ） A x f x x =→)]([lim 0

ϕ

（C ） )]([lim 0

x f x x ϕ→不存在； （D ） A 、B 、C 均不正确。

2. 设⎰

=

x

x x x f sin 0

2d )sin()(，4

3)(x x x g +=，则当0→x 时，（ A ）

（A ）)(x f 与)(x g 为同阶但非等价无穷小； （B ）)(x f 与)(x g 为等价无穷小；

（C ）)(x f 是比)(x g 更高阶的无穷小； （D ）)(x f 是比)(x g 更低阶的无

穷小。

3. 设函数)(x f 对任意x 都满足)()1(x af x f =+，且b f =)0('，其中a 、b 均为非零常数，则)(x f 在x = 1处（ D ）

（A ）不可导； （B ）可导，且a f =')1(； （C ）可导，且b f =')1(； （D ）可导，且ab f =')1(。

4. 设)(x f 为连续函数，且)(x f 不恒为零，I=⎰t s

x tx f t 0

d )(，其中s > 0，t > 0，则I

的值（ C ）

（A ）与s 和t 有关； （B ）与s 、t 及x 有关；

（C ）与s 有关，与t 无关； （D ）与t 有关，与s 无关。 5. 设u (x ，y ) 在平面有界闭区域D 上具有二阶连续偏导数，且满足

2

>∂∂∂y

x u 及

02

2

2

2

=∂∂+

∂∂y

u x

u ，则（ B ）。

（A ）u (x ，y ) 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部； （B ）u (x ，y ) 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上；

（C ）u (x ，y ) 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上； （D ）u (x ，y ) 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上。

以下各题的解答写在试题纸上，可以不抄题，但必须写清题号，否则解答将被视为无

效。

三、求极限)]

21ln(2[e

cos lim

2

2

2

x x x x x

x -+--

→ 。（本题6分）

解：)(!

4!

21cos 4

4

2

x o x

x

x ++

-

=；

)(8

21)(2!2121e

4

4

242

22

2

2

x o x x x o x x

x

++-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-

； )(22)()2(2

12)21ln(2

222x o x x x o x x x +--=+--

-=-；

由此得到：

[

]

)

(222)(821)(!4!21lim

)]

21ln(2[e

cos lim

2

22

44

24

4

2

2

2

2

x o x x x x x o x x x o x

x

x x x x x x

x +--⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡++--++-=-+-→-→

241)

(2)

(121

lim

4

44

40

=+-+-

=→x o x x o x x 。 四、计算()

⎰∞

+--+0

2

d e 1e

x x x

x 。

（本题6分）

解

：

()

()

⎰

⎰

⎰

⎰

⎰

∞

+∞

+∞

+∞

+∞

+--+=

++∞++-=⎪⎭

⎫

⎝⎛+-=

+=

+0

2

2

d e

11d e

110e 1e 11d d e 1e

d e 1e

x

x

x x x x x x x

x

x

x x

x x

x

命：t t

x t x

d 1d

e =

=，则，于是

()

2ln 11ln

d 111

d )

1(1d e 1e

1

1

2

=∞++=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-=

+=

+⎰

⎰

⎰

∞

+∞

+∞

+--t t t t t t t t x x x

x

五、设函数),(y x u 的所有二阶偏导数都连续，

x x x u y

u x

u =∂∂=

∂∂)2,(2

2

2

2

且，

2

1)2,('x x x u =，求)2(''11x x u ，。（本题6分）

解：x x x u =)2,(两边对x 求导，得到

1)2,('2)2,('21=+x x u x x u

代入2

1)2,('x x x u =，求得

2

1)2,('2

2x x x u -=

，

2

1)2,('x x x u =两边对x 求导，得到

x x x u x x u 2)2,(''2)2,(''1211=+，

2

1)2,('2

2x x x u -=

两边对x 求导，得到

x x x u x x u -=+)2,(''2)2,(''2221。

以上两式与已知

2

2

2

2

y

u x

u ∂∂=

∂∂联立，又二阶导数连续，所以''''2112u u =，故

x x x u 34)2(''11-

=，。

六、在具有已知周长2p 的三角形中，怎样的三角形的面积最大？（本题7分）

解：设三角形的三条边长分别为x 、y 、z ，由海伦公式知，三角形的面积S 的平方为

))()((2

z p y p x p p S

---=

则本题即要求在条件x + y + z = 2p 之下S 达到的最大值。它等价于在相同的条件下S 2

达到最大值。 设

))()((),(2

p y x y p x p p S

y x f -+--==，

问题转化成求),(y x f 在

{}p y x p p y p x y x D 2,0,0),(<+<<<<<=

上的最大值。其中D 中的第3个条件是这样得到的，由于三角形的任意两边之和大于第三边，故有x + y > z ，而由假设x + y + z = 2p ，即 z = 2p －（x + y ），故有x + y > z = 2p －（x + y ），所以有x + y > p 。

由⎩⎨⎧=---==---=0)22)(('0

)22)(('y x p x p p f y x p y p p f y

x ，

求出),(y x f 在D 内的唯一驻点⎪⎭⎫

⎝⎛=32,3

2p p M 。因),(y x f 在有界闭区域D 上连续，故),(y x f 在D 上有最大值。注意到),(y x f 在D 的边界上的值为0，而在D 内的值大于0。

故),(y x f 在D 内取得它在D 上的最大值。由于),(y x f 在D 内的偏导数存在且驻点唯一，因此最大值必在点M 处取得。于是有

2732,3

2),(max 4

),(p p p f y x f D y x =

⎪⎭⎫

⎝⎛=∈， 此时x = y = z =3

2p ，即三角形为等边三角形。

七、计算⎰

⎰

⎰⎰

+

=y y

x y

y

x y

x y x y I d e d d e d 1

2

12

12

1

4

1。（本题8分）

解：先从给定的累次积分画出积分区域图，再交换累次积分次序，得到

e 2

1e 8

3d )e (e d e d d e d d e d 1

2

112

112

12

12

1

4

12-

=

-==

+

=

⎰

⎰⎰⎰

⎰⎰⎰

x x y x x y x y I x

x

x

x

y

y y

x y

y

x y

。

八、计算曲面积分()()()⎰⎰∑+++++=

y x ay

z

x z ax

y

z y az

x

I d d d d d d 2

3

2

3

2

3

，其

中Σ为上半球面2

2

2

y x a z --=的上侧。（本题7分）

解：记S 为平面z = 0（ x 2 + y 2 ≤ a 2 )的下侧，Ω为Σ与S 所围的空间区域，

()()()()()()()5

5

5

3

20

2

4

2

20

2

2

2

2

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

20

294

15

6d d sin d d sin d 3d d d d d 3d d d d d d d d d d d d 2

2

2

a

a a r

r a r r y

x ay

z y x x

y x

y

x ay

z

x z ax

y

z y az

x

y

x ay

z

x z ax

y

z y az

x

I a

a

a

y x S S

πππθ

θϕϕθ

π

π

π

=

+

=+

=+++=

+++++-+++++=

⎰

⎰

⎰⎰

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+Ω∑

九、已知a >0，x 1>0，定义

() ,3,2,13413

1

=⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛+=+n x a x x n n n

求证：n n x +∞

→lim 存在，并求其值。（本题8分）

解：第一步：证明数列{}n x 的极限存在：

注意到：当n ≥ 2时，⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛+++=+3

1

41n n n n n x a

x x x x ≥4

43a x a

x x x n n n n =，因此

数列{}n x 有下界。又

⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=

+41341n n

n x a x x ≤

1341=⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+a a ，即x n +1≤x n ，所以{}n x 单调递

减，由极限存在准则知，数列{}n x 有极限。 第二步：求数列{}n x 的极限

设：A x n n =+∞

→lim ，则有A ≥04>a 。

由⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=+∞→++∞

→3

1

3lim 41lim n

n n n n x a

x x ， 有⎪⎭

⎫

⎝⎛+=3341A a A A ，解得4

a A =（舍掉负根），即4

lim a x n n =

+∞

→。

十、证明不等式()

()∞+∞-∈+≥+++，，x x x x x 2

211ln 1。

（本题7分） 证明：设(

)2

2

11ln 1)(x x

x x x f +-

+++=，则

(

)(

)2

2

2

22

1ln 11111ln )('x

x x

x x

x x x x

x

x x f ++

=+-

++

+++++

=。

命0)('=x f ，得到驻点 x = 0。由

011)(''2

>+=x

x f

可知 x = 0 为极小值点，亦即最小值点，最小值为0)0(=f ，于是对任意()∞+∞-∈，x 有

0)(≥x f ，即所证不等式成立。

十一、设函数)(x f 在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且

⎰=1

4

3)0()(4f dx x f ，求证：在开区间（0，1）内至少存在一点ξ，使得0)('=ξf 。

（本题7分）

证明：由积分中值定理知，存在⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡∈1,43η，使得

)0(d )(4d )(11)(1

4

314

34

3f x x f x x f f ==-

=

⎰⎰

η

又函数)(x f 在区间[][]1,0,0⊂η上连续，()η,0内可导，由罗尔定理知，至少存在一点

()()1,0,0⊂∈ηξ，使得0)('=ξf 。

十二、设)(x f 在区间),[+∞a 上具有二阶导数，且0)(M x f ≤，2)(''0M x f ≤<，

)(+∞<≤x a 。证明2

02)('M

M x f ≤。（本题8分）

证明：对任意的),[+∞∈a x ，及任意的h > 0，使x + h ∈ (a ，+∞)，于是有

2

)(''!

21)(')()(h f h x f x f h x f ξ+

+=+，其中],[h x h +∈ξ。 即 [])(''2)()(1)('ξf h x f h x f h

x f -

-

+=

故 202

2)('M h h

M x f +≤

，（),[+∞∈a x ，h > 0）

命20

22)(M h h

M h g +

=

，试求其最小值。 命02

12)('2

2

0=+

-

=M

h

M h g ，得到2

002

M

M h =，

04)(''3

>=

h

M h g ，

所以，)(h g 在2

002

M

M h =处得极小值，亦即最小值，

2002)(M M h g =。

故

202)('M M x f ≤，

（),[+∞∈a x ）。

2002年天津市大学数学竞赛试题参考答案

（理工类）

一、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。） 1．=

-+∞

→x

x x x 1sin

1

312lim

2

3

2。

2．设摆线方程为⎩

⎨⎧-=-=t y t t x cos 1sin 则此曲线在3π=t 处的法线方程为3331π

+

-=x y 。 3．=

+⎰

∞

+e

2

)

ln

1(x x dx 4

π

。

4．设2

2y xy x z +-=在点(－1,1)处沿方向{}125

1，=

→

l 的方向导数

=∂∂l

z 5

3-

。

5．设Σ为曲面2

22R y x =+介于0≤Z ≤R 的部分，则2

2

2

2

2

π

=

++⎰⎰

∑

z

y x dS 。

二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一

个，不得分。）

1. 曲线)

2)(1(1arctan e 2

1

2

-++-=x x x x y x 的渐近线有（ B ）

（A ） 1条； （B ） 2条；

（C ） 3条； （D ） 4条。 2. 若2)]([)(x f x f ='，则当n>2时=)()

(x f

n （ A ）

（A ）1)]([!+n x f n ； （B ）1)]([+n x f n ； （C ）n x f 2)]([； （D ）n x f n 2)]([!。

3. 已知函数f (x )在（－∞，+∞）内有定义，且x 0是函数f (x )的极大值点，则（ C ）

（A ）x 0是f (x )驻点； （B ）在（－∞，+∞）内恒有f (x )≤f (x 0)；

（C ）－x 0是－f (－x )的极小值点； （D ）－x 0是－f (x )的极小值点。 4. 设⎪⎩

⎪⎨⎧=+≠++=0

,00,2

22

2

2

2y

x y x y

x xy

z ，则z = z (x ,y )在点（0，0）（ D ）

（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但不可微； （C ）不连续且偏导数不存在； （D ）不连续但偏导数存在。 5. 设⎰⎰⎰

Ω++=dv e e e I z y x )(，其中Ω：x 2+y 2+z 2

≤1，z ≥0则=I （ D ）

（A ）⎰⎰⎰Ω

dv e z

3； （B ）⎰⎰⎰Ω

dv e x

3；

（C ）⎰⎰⎰Ω

+dv e e y

z

)2(； （D ）⎰⎰⎰Ω

+dv e e z

x

)2(。

三、已知极限011ln

arctan 2lim 0

≠=-+-→C x

x

x x n

x ，试确定常数n 和C 的值。（本题6分）

解

：

)

1(4lim

141lim

1111

12lim

11ln

arctan 2lim

4

3

4

21

12

x nx

x

x nx

nx

x

x x

x

x

x x n x n x n x n

x --=--∙

=--

+-

+=-+--→-→-→→，

故3

4,3-

==C n 。

四、已知函数f (x ) 连续，⎰

-=

x

dt x t f t x g 0

2

)()(，求)(x g '。（本题6分）

解：命u = t － x ，则当 t = 0 时，u = －x ；t = x 时，u = 0，于是

⎰

⎰

⎰⎰⎰⎰⎰⎰----------=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--++---++---='

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡++-='

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+='x

x

x

x x

x

x x x

x du

u f x du u uf x f x du u f x x f x x du u uf x f x du u f x du u uf x du u f u du u f x u x g 0

200202

0020

2)(2)(2)1)(()(2)1)(()(2)(2)()()(2)()1()()()(

五、设方程04=++b ax x ，

⑴ 当常数a ，b 满足何种关系时，方程有唯一实根？ ⑵ 当常数a ，b 满足何种关系时，方程无实根。（本题7分）

解：设b ax x y ++=4，－∞

a x y +='3

4

命0='y 得唯一驻点3

4

a x -

=，又0122≥=''x y ，故当3

4

a x -

=

时，y 有最小值。

且最小值为

b a a a y

a

x +⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=-

=3

1

3

44434

又当x →－∞时，y →＋∞；x →＋∞时，y →＋∞，因此，

⑴ 当且仅当0443

1

34

=+⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a a a 时，方程有唯一实根。

⑵ 当0443

1

34

>+⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a a a 时，方程无实根。

六、在曲线y = x 2（x ≥ 0）上某点A 作一切线，使之与曲线及x 轴所围图形的面积为12

1，试求： ⑴ A 点的坐标；

⑵ 过切点A 的切线方程；

⑶ 该图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积。（本题8分）

解：⑴设A 点坐标为 (x 0，y 0)，则y 0 = x 02

，于是可知切线方程

y ― x 02

= 2x 0（x ― x 0）即0

2

02x x y x +=

。

由题设，有

3

30404

02023

20200

0201213

22

1210322121212

12

x x x x x x y y x y x dy y x

x y x =-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=

⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-+=

⎰

故有

)1A(11112

112

12

003

0，，得，即====

x y x x 。

⑵ 切线方程为1-2)1(21x y x y =-=-，即。 ⑶ 在上述切线方程中令y = 0，得到2

11==x x ，故所求旋转体的体积

3065)12(3

1251)

12(2

1)

12()12()(2

11

31

2

12

1

4

2

2

20

1

ππππππ

π

ππ=-=⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛

-⋅-=---=--

=

⎰

⎰

⎰

⎰

x x d x dx x dx x dx x V x x x

七、计算⎰+dx x 3

2

)

1(1。

（本题7分）

解：解法1 命⎰+=

dx x

I n

n )

1(1

2

，则有

212222

2

1221)1(21

1

1

I I x x dx x x

x x x dx x

I -++=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+--

+=

+=

⎰⎰

，于是有

⎪⎭

⎫

⎝⎛++=

12

2121I x x I 。 同理322

2

3

2

2

2

2

2

244)

1()

1(2)

2()

1()

1(1

I I x x dx x x x x x dx x

I -++=

+--

+=

+=⎰

⎰，

所以有 C x x x x x I x x I +++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=

arctan 83

183)

1(413)1(412

222223。 解法2

命θtan =x ，则

C

x x

x x

x C x x x x x x x C θθθd θθd d θθθ

I +++

++

=

+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∙+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=

⎪⎭

⎫ ⎝⎛++=

=

=

⎰

⎰⎰2

2

2

22224

2

6

3)

1(41

1

83

arctan 8

31)1(243211241arctan 83

4sin 812sin 23414cos 212cos 22341cos sec sec

1

θθθ

八、设x y z y x z y x f u sin ,0),,(),,,(2===ϕ，其中ϕ,f 具有连续的一阶偏导数，且

dx

du z

，求

0≠∂∂ϕ。（本题7分） 解：将y

= sin x 代入0

),,(),,,(2

==z y x z y x f u ϕ，得到

0),s i n ,(),,sin ,(2

==z x x z x x f u ϕ，显然方程0),sin ,(2

=z x x ϕ确定了 z 是x 的隐含

数 z = z (x ) ，所以

[]'

'+'+'='=x x z f x f f z x x f dx

du 321cos ),sin ,(

又由 []0c o s 2),s i n ,(3212

=''+'+'='x x z x x z x x ϕϕϕϕ，

得到 '

'

'

+'-'

+'=33

212

1c o s 2c o s f x x x f f dx

du ϕϕϕ。

九、求{}

1),(2),(22222=+=++=y x y x S y y x x y x f 在上的最大值与最小值。（本题7分）

解：解法1

在S 上有2

2

2

2

11y x y x -==+，即，代入2

2

2

2),(y y x x y x f ++=，得到

)11(,221)(),(3

≤≤--+==y y y y g y x f

因此 2

62)(y y g -='

命0)(='y g ，得到3

23

1±=±=x y ，，

由于9

3413

2321)3

1(

+

=+

=g ，

9

3413

2321)3

1(-

=-

=-

g ，又1)1(=±g ，所以

9341)31(

)(max ),(max ]

1,1[),(+

===-∈∈g y g y x f y S

y x ；

9

341)3

1

()(min ),(min ]

1,1[),(-

=-

==-∈∈g y g y x f y S

y x 。

解法2

构造)1(2),,(22222-++++=y x y y x x y x F λλ， 解方程组

⎪⎩⎪⎨⎧=-+==++==++=)

3(0

1)2(0222)1(02422

22

y x F y y x F x xy x F y x λλλ )

4(0

200)2(02242)2()1(2

2

2

23

2

=-==-=--+⋅-⋅y

x x x y x xy x xy

xy x y 或，于是有，即

得到

联合求解(3)、(4)，得到6个可能的极值点

)31,32()31,32()31,32(

)31,32(

)1,0()1,0(654321-

-

-

-

-P P P P P P ，，，，，，

因为9

341)()(,9

341)()(,1)()(645321-

==+

====P f P f P f P f P f P f ，所以

9

341),(max ),(+

=∈y x f S

y x ，9

341),(min ),(-

=∈y x f S

y x 。

十、计算⎰⎰

+=

D

dxdy y x I )cos(，其中区域D 为：2

0,2

0π

π

≤

≤≤

≤y x 。（本题7分）

解：如图，用直线2

π

=+y x 将区域D 分为D 1和D 2两个区域，则

2

)1(cos )sin 1()cos()cos()cos()cos(2

2

222

2

2

2

1

-=--

-=

+-

+=

+

-

+

=

⎰

⎰

⎰⎰

⎰⎰⎰⎰⎰⎰--ππ

π

π

ππ

π

πdx x dx x dy y x dx dy y x dx dxdy

y x dxdy y x I x

x

D D

十一、证明：当 0 < x < 1时，

x

x

x 2e

11-<+-。（本题7分）

证明：本题即证当 0 < x < 1时，0)1(e )1(2<+--x x x ，命：

)1,0[),1(e

)1()(2∈+--=x x x x f x

，于是有

1e )21(1e )1(2e )(222--=--+-='x

x x x x x f ，

0e 4e )21(2e 2)(222<-=-+-=''x

x x x x x f ，

即)(x f '在区间(0,1)内单调减少，而0)0(='f ，故当 x > 0时0)(<'x f ，因而)(x f 在

区间(0,1)内单调减少，即0)0()(=

)1,0(,e

112∈<+--x x

x x

。

十二、设C 是取正向的圆周1)1()1(22=-+-y x ，f (x )是正的连续函数，证明：

π2)

()(≥-

⎰

C

dx x f y dy y xf

（本题8分） 证明：由格林公式有

⎰⎰

⎰

⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡+=

-

D

C

dxdy x f y f dx x f y dy y xf )(1)()

()(，

其中D 是由 ( x – 1 )2 + ( y – 1 )2 = 1所围成的区域。而

⎰⎰

⎰⎰⎰

--==

--+---2

02

)

1(11)

1(112

)1(1)(2)()(2

2

dx x x f dy x f dx dxdy x f x x D

，

⎰⎰

⎰

⎰⎰

--==

--+---2

2

)

1(11)

1(112

)1(1)(2)()(2

2

dy y y f dx y f dy dxdy y f y y D

，

即 ⎰⎰

⎰⎰

=

D

D

dxdy y f dxdy x f )()(，

所

以

⎰⎰⎰⎰

⎰⎰

⎰

=≥

⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡+=

⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡+=

-

D

D

D

C

d dxdy x f x f dxdy x f y f dx x f y dy y xf πσ

22)(1)()(1)()

()(。

2003年天津市大学数学竞赛试题参考答案

（理工类）

一、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。） 1．设对一切实数x 和y ,恒有)()()(y f x f y x f +=+，且知1)2(=f ，则=⎪⎭

⎫

⎝⎛21f 2

1 。

2．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-+=⎰,

0,

;0,1e 2e )1ln()(22

2

2sin 0

x a x dt

t x f x

x x

在x = 0处连续，则a = 2

1 。

3．设2e ),,(yz z y x f z =，其中),(y x z z =是由方程0=+++xyz z y x 所确定的隐函数，则=-')1,1,0(y f

e

2 。

4．⎰

+∞

=+0

2

2

)

1(x dx

4

π

。

5．曲线⎪⎩

⎪

⎨⎧=+-=++0

214

442

22z y x z

y x 在点M (1,1,1)处的切线方程为 311151--=-=-z y x （或⎩

⎨

⎧=+-=-++020

42z y x z y x ）。 二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）

1． 当0→x 时，下列无穷小量

① x x sin 1tan 1+-+； ② 33121x x +-+； ③ x x x sin cos 31

3

4⎪⎭

⎫

⎝⎛--； ④ 1e

4

--x

x ， 从低阶到高阶的排列顺序为（ D ）

（A ） ①②③④； （B ） ③①②④；

（C ） ④③②①； （D ） ④②①③。 2． 设⎩⎨

⎧=≠=0

,

00,

cot )(3x x x arc x x f ，在x = 0处存在最高阶导数的阶数为

（ B ）

（A ） 1阶； （B ） 2阶； （C ） 3阶； （D ）4阶。 3． 设函数)(x f y =在 x = 1处有连续的导函数，又21

)(lim

1

=-'→x x f x ，则x = 1是

（ B ）

（A ）曲线)(x f y =拐点的横坐标； （B ）函数)(x f y =的极小值点； （C ）函数)(x f y =的极大值点； （D ）以上答案均不正确。 4． 设函数f ，g 在区间[a ，b ]上连续，且m x f x g <<)()(（m 为常数），则曲线

a x x f y x g y ===),(),(和x =

b 所围平面图形绕直线y = m 旋转而成的旋转体体

积为（ A ） (A)

⎰---b

a

dx

x g x f x g x f m )]()()][()(2[π； (B)

⎰-+-b

a

dx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π；

(C)

⎰-+-b

a

dx

x g x f x g x f m )]()()][()([π； (D)

⎰---b

a

dx x g x f x g x f m )]()()][()([π。

5． 设)0(:2222≥=++z a z y x S ，1S 为S 在第一卦限中的部分，则有（ C ） （A ）⎰⎰⎰⎰=1

4S S

xds xds ；

（B ）⎰⎰⎰⎰=1

4S S

xds yds ；

（C ）⎰⎰⎰⎰=1

4S S

xds zds ； （D ）⎰⎰⎰⎰=1

4S S

xyzds xyzds 。

三、a ，b ，c 为何值时，下式成立

c t

dt t ax

x x

b

x =+-⎰

→2

2

1sin 1lim

。

（本题6分）

解：注意到左边的极限中，无论a 为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必须为无穷小量，于是可知必有b = 0，当b = 0时使用诺必达法则得到

2

2

2

2

1)(cos lim

1sin 1lim

x

a x x

t

dt t ax

x x x

x +-=+-→→⎰

，

由上式可知：当0→x 时，若1≠a ，则此极限存在，且其值为0；若a = 1，则

21)1(cos lim

1sin

1

lim

2

2

2

2

-=+-=+-→→⎰x

x x

t

dt t x

x x x

x 。

综上所述，得到如下结论：1≠a ，b = 0，c = 0； 或a = 1，b = 0，c = －2。

四、设函数⎪⎩

⎪

⎨⎧=≠-=0

,0,cos )()(x a x x

x

x x f ϕ，其中)(x ϕ具有连续二阶导函数，且

1)0(=ϕ。

⑴ 确定a 的值，使)(x f 在点x = 0处可导，并求)(x f '。 ⑵ 讨论)(x f '在点x = 0处的连续性。（本题8分）

解：⑴ 欲使)(x f 在点x = 0处可导，)(x f 在点x = 0处必须连续，于是有

)0(1

sin )(lim

cos )(lim

)(lim 0

ϕϕϕ'=+'=-=→→→x

x x

x

x x f x x x

即当)0(ϕ'=a 时，)(x f 在点x = 0处连续。

当0≠x 时，

[][]

2

cos )(sin )()(x

x x x x x x f --+'=

'ϕϕ；

当x = 0时，

[]

1)0(2

12

cos )(lim

2)

0(sin )(lim

)

0(cos )(lim

)

0(cos )(lim

0)

0()(lim )0(0

2

+''=+''='-+'='--='--=--='→→→→→ϕϕϕϕϕϕϕϕx

x x

x x x

x x x x

x

x

x x f x f f x x x x x

故：

[][][]⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=+''≠--+'='0

,1)0(2

10

,cos )(sin )()(2x x x

x x x x x x f ϕϕϕ。 ⑵ 因为

[][]2

1

)0(2

cos )(lim

2sin )(cos )(sin )(lim

cos

)(sin )(lim

)(lim 0

2

+''=

+''=-'-+''++'=+-+'='→→→→ϕϕϕϕϕϕϕx

x x

x

x x x x x x x

x

x x x x x f x x x x

所以，)(x f '在点x = 0处连续。 五

、

设

正

值

函

数

)

(x f 在),1[+∞上连续，求函数

⎰

⎥⎦⎤

⎢

⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=

x

dt t f t t x x

x F 1

)(ln 2ln 2)(的最小值点。（本题6分） 解：

⎰⎰⎰

⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛

+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡⎪⎭⎫

⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=

'x x x

x

dt

t f x x

x f x x x f x x dt t f x x dt t f t t dt t f x x dx d x F 12121

1

)(12)(ln 2)(ln 2)(12)(ln 2)(ln 2)(

注意到：在),1[+∞上0)(>x f ，因此，当x > 1时，0)(1>⎰x

dt t f 。

命：0)(='x F ，得0122

=+

-

x

x

，解此方程得到唯一驻点 x = 2。

又，当21< 2时，0)(>'x F ，所以)(x F 在点x = 2处取得极小值)2(F ，又因为x = 2是唯一的极值点，所以x = 2是)(x F 的最小值点，最小值为

)2(F 。

六、设2)1arctan()(-='x x y ，且0)0(=y ，求⎰1

)(dx x y 。（本题6分）

解：

[]2

ln 4

1801)1ln(4142112

101arctan 2

1arctan 2

1

)(arctan 2

1

arctan )1arctan()1()0()1()1arctan()1()1()1arctan()1arctan()1()1()1arctan()1()(0

1)

()(2

1

2

1

1

2

20

1

2

11

2

1

2

1

2

1

02

1

2

1

1

2

-=+-⋅=

+-==

-

=-

=---=-----

=--

---=--

='-

=⎰

⎰⎰⎰

⎰⎰⎰

⎰⎰

⎰

⎰

=--=-ππu du u

u u

u udu

t d t dt t t dx x x y y dx x x y dx

x dx x x y dx

x x y dx x y x x xy dx x y t

u t

x 命命

七、设变换⎪⎩⎪⎨⎧+=+=y

x v y

a x u 2，把方程0212

222=∂∂⋅-∂∂-∂∂y z y z y x z 化为02=∂∂∂v u z ，试确定a 。（本题7分）

解： 计算一、二阶偏导数

,14122

1,

2

,2112

,22

22222

32

22

2

2

2

2

2

2

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂⋅-

=∂∂∂∂+

∂∂∂+∂∂=

∂∂⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂+∂∂⋅=

⋅

∂∂+⋅

∂∂=

∂∂∂∂+∂∂=∂∂-y v z y a v u z y a u z y v z u z a y

y

z v

z v

u z u

z x

z v z

u z a y y

v

z y a

u z y

z v z u z x z

代入方程

0212

2

2

2

=∂∂⋅-

∂∂-∂∂y

z y

z y

x

z ，得到

()0241212

2222

22

2

=∂∂∂-+∂∂⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=∂∂⋅-∂∂-∂∂v u z

a u z a y z y

z y

x

z ，

于是有⎪⎩

⎪⎨⎧≠-=-

0204

12

a a

，所以2-=a 。 八、设函数),(y x Q 在x O y 平面上具有连续一阶偏导数，曲线积分⎰

+L

dy

y x Q xydx ),(2与路径无关，并且对任意的t 恒有

⎰

⎰

+=

+)

,1()

0,0()

1,()

0,0(),(2),(2t t dy y x Q xydx dy y x Q xydx ，求),(y x Q 。

（本题7分） 解：由曲线积分与路径无关知

x xy y

x

Q 2)2(=∂∂=∂∂，

所以)(),(2

y C x y x Q +=，其中)(y C 为待定函数。又

[]

⎰

⎰⎰

+

=+=+1

2

102

)

1,()0,0()()(),(2dy y C t dy y C t

dy y x Q xydx t ；

[]⎰

⎰⎰

+

=+=

+t

t

t dy y C t dy

y C dy y x Q xydx 0

0)

,1()

0,0()()(1),(2。

根据题设，有

⎰⎰+

=+

t

dy y C t dy

y C t 0

1

2

)()(，

上式两边对t 求导，得到

)(12t C t +=，于是知12)(-=t t C ，即12)(-=y y C ，故12),(2

-+=y x y x Q 。

九、设函数f (x )具有二阶连续导函数，且0)0(,0)0(,0)0(>''='=f f f 。在曲线y = f

(x )上任意取一点)0))((,(≠x x f x 作曲线的切线，此切线在x 轴上的截距记作μ，求

)

()

(lim

x f xf x μμ→。（本题8分）

解： 过点))(,(x f x 的曲线y = f (x )的切线方程为：))(()(x X x f x f Y -'=-， 注意到：由于0)0(,0)0(>''='f f ，所以当0≠x 时，0)(≠'x f 。因此，此直线在x 轴上的截距为

)

()(x f x f x '-

=μ。且0)

()(lim

lim lim 0

='-=→→→x f x f x x x x μ。

利用泰勒公式将)(x f 在00=x 点处展开，得到

之间；与在x x f x f x f f x f 0,

)(2

1)(2

1)0()0()(12

12

1ξξξ''=

''+

'+=。

类似可得：之间与在μξμξμ0,

)(2

1)(22

2f f ''=。代入得

2

1)

0()0()0()

()()(lim

)

()()(lim

)

()

()(lim

)()(lim

lim

)

()(lim

)(2

1)(21lim

)

()

(lim

120

2

12

20

=

''+''''=

''+'''=''+'''='-'='-=⋅''''=''''=→→→→→→→→f f f x f x

x f x f x f x x f x f x x f x x f x f x x x f x f x x

f f x

f f x x f xf x x x x x x x x μ

ξξξμ

μ

ξμμ

十、设函数f (x )在闭区间]1,0[上连续，在开区间 (0,1) 内可导，且f ( 0 ) = 0，f ( 1 ) = 1 。试证明：对于任意给定的正数a 和b ，在开区间 (0,1) 内存在不同的ξ和η，使得

b a f b f a +='+

')

()

(ηξ。

（本题7分）

证明：取数)1,0(∈μ，由连续函数介值定理知，存在)1,0(∈C ，使得μ=)(C f 。在区间[0,C ]与[C ,1]上分别应用拉格朗日中值定理，有

.

1111)()1()(,

0,0)0()()(<<--=

--=

'<<=--='ημηξμ

ξC C

C

C f f f C C

C f C f f 显然ηξ≠。

由于)1,0(∈μ，所以01,0≠-≠μμ，即0)(,0)(≠'≠'ηξf f 。从而 )

1()

()

1()

1()1(11)

()

(μμμμμμμμμμμηξ---+=

--+-=

--+=

'+'a b a C b C b aC C

b C

a

f b f a ，

注意到：若取b

a a +=μ，则b

a b +=

-μ1，并且)1,0(1,∈-μμ，代入得

b a b a b

b a a

b a ab

f b f a +=+⋅++=

'+

')

()

(ηξ。

十一、设⎰

----+

+-=1

1

1

2

e

)()e 1(2

1)(dt t x x F t

，试证明在区间]1,1[-上)(x F 有且仅

有两个实根。（本题7分）

证明：

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰

⎰⎰

⎰

----------------------------------++-

-

=+-++--=++++--=++-

-+

+++-=-+-

++-=-+

-+

+-

=x

t

x

x

t

t

t

x

x

t

t

t

x

x

t

t

t

t

x

t

t

x

t

x

t

x

t

x

t

x

t

x

t

dt

x dt

x dt x dt x dt x dt x dt x dt

x dt x x

x dt x dt x dt t x dt t dt t dt x dt

x t dt t x x F 0

10

1

110

1

11

10

1

11

1

1

111

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

e

2e

e

2

32

1e

2e

e

e e 2321e

2e

e

e e 2321e

e

1e

2

11

e

2

1e

e

)e 1(21e

e e

e

)e 1(21e )(e

)()e 1(21)(

由于2

e

x

-是偶函数，所以⎰-x

t

dt 0

2

e

是奇函数，⎰-x

t

dt x 0

2

e

2是偶函数，于是知)(x F 为

偶函数。

又注意到：

0e 2523e 2e 2121e 2e 2121)1(;

0e

23e e

2321)0(1

01

01

2

>-

=+⎪⎭

⎫ ⎝⎛+->+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=<-=

-=

⎰⎰---dt dt F F t

t

0e

2e

2e

2e

2)(0

2

2

2

2

>=++-='⎰⎰----x

t

x

t

x

x

dt dt x x x F ，（当x > 0时）。

因此，函数)(x F 在闭区间[0,1]上有且仅有唯一一个实根；又)(x F 为偶函数，所以)

(x F 在闭区间]0,1[-上同样有且仅有唯一一个实根。于是知函数)(x F 在闭区间]1,1[-上有且仅