专题一 第3讲 不等式
第3讲 不等式
[考情分析] 1.不等式的解法是数学的基本功，在许多题目中起到工具作用.2.求最值和不等式
恒成立问题常用到基本不等式.3.题型多以选择题、填空题形式考查，中等难度． 考点一 不等式的性质与解法 核心提炼
1．不等式的倒数性质 (1)a >b ，ab >0?1a <1b .
(2)a <0
b .
(3)a >b >0,0
d
.
2．不等式恒成立问题的解题方法
(1)f (x )>a 对一切x ∈I 恒成立?f (x )min >a ，x ∈I ；f (x )g (x )对一切x ∈I 恒成立?当x ∈I 时，f (x )的图象在g (x )的图象的上方． (3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法．
例1 (1)若p >1,0 n C ．m － p p D ．log m p >log n p 答案 D 解析 方法一 设m ＝14，n ＝1 2 ，p ＝2，逐个代入可知D 正确． 方法二 对于选项A ，因为0 n <1，又p >1，所以00，所以p －m p －n >m n ，故B 不正确；对于 选项C ，由于函数y ＝x －p 在(0，＋∞)上为减函数，且0 A ．(－∞，－3)∪(2，＋∞) B ．(－3,2) C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞) D ．(－2,3) 答案 A 解析 由关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，得b ＝2a 且a <0， 则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b )x －3b <0可化为x 2＋x －6>0， 即(x ＋3)(x －2)>0，解得x <－3或x >2， 所以不等式的解集为(－∞，－3)∪(2，＋∞)． 易错提醒 求解含参不等式ax 2＋bx ＋c <0恒成立问题的易错点 (1)对参数进行讨论时分类不完整，易忽略a ＝0时的情况． (2)不会通过转换把参数作为主元进行求解． (3)不考虑a 的符号． 跟踪演练1 (1)已知函数 f (x )＝??? 3，x <12 ， 1x ，x ≥1 2， 则不等式x 2f (x )＋x －2≤0的解集是 ________________． 答案 {x |－1≤x ≤1} 解析 由x 2f (x )＋x －2≤0，得 ????? x <12，3x 2＋x －2≤0或??? x ≥1 2，x 2·1x ＋x －2≤0， 即??? x <1 2，－1≤x ≤2 3 或????? x ≥12， x ≤1， ∴－1≤x <12或1 2 ≤x ≤1， ∴原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}． (2)若不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的取值范围是( ) A.? ???－2，65 B.? ???－2，6 5 C.? ???－2，65 D.? ???－2，6 5∪{2} 答案 B 解析 当a 2－4＝0时，解得a ＝2或a ＝－2， 当a ＝2时，不等式可化为4x －1≥0，解集不是空集，不符合题意；当a ＝－2时，不等式可化为－1≥0，此式不成立，解集为空集． 当a 2－4≠0时，要使不等式的解集为空集， 则有????? a 2－4<0，Δ＝(a ＋2)2＋4(a 2－4)<0， 解得－2 5 . 综上，实数a 的取值范围是????－2，6 5. 考点二 基本不等式 核心提炼 基本不等式求最值的三种解题技巧 (1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值． (2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值． (3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y ＝m ＋A g (x )＋Bg (x )(AB >0)，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值． 例2 (1)下列不等式的证明过程正确的是( ) A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2 b a ·a b ＝2 B ．若a <0，则a ＋4 a ≥－2 a ·4 a ＝－4 C ．若a ，b ∈(0，＋∞)，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg b D ．若a ∈R ，则2a ＋2－ a ≥22a ·2－ a ＝2 答案 D 解析 由于b a ，a b 的符号不确定，故选项A 错误；∵a <0，∴a ＋4a ＝－????(－a )＋????－4a ≤ －2 (－a )·??? ?－4a ＝－4(当且仅当a ＝－2时，等号成立)，故B 错误；由于lg a ，lg b 的符号不确定，故选项C 错误；∵2a >0,2－a >0，∴2a ＋2－a ≥2 2a ·2－a ＝2(当且仅当a ＝0时，等号成立)，故选项D 正 确． (2)(2019·天津)设x >0，y >0，x ＋2y ＝5，则(x ＋1)(2y ＋1) xy 的最小值为________． 答案 4 3 解析 (x ＋1)(2y ＋1)xy ＝2xy ＋2y ＋x ＋1xy ＝2xy ＋6xy ＝2xy ＋6 xy .由x ＋2y ＝5得5≥22xy ，即xy ≤ 524，即xy ≤258，当且仅当x ＝2y ＝52时等号成立．所以2xy ＋6 xy ≥22xy · 6 xy ＝43，当且仅当2xy ＝6xy ，即xy ＝3时取等号，结合xy ≤25 8可知，xy 可以取到3，故 (x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为4 3. 易错提醒 运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指“正数”；“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值；“三相等”是指满足等号成立的条件．若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到． 跟踪演练2 (1)(2020·北京市中国人民大学附属中学模拟)已知a >0，b >0，且a －b ＝1，则2a ＋1 b 的最小值为________． 答案 22＋2 解析 ∵a >0，b >0，由a －b ＝1，得a ＝1＋b ，∴2a ＋1b ＝2＋2b ＋1 b ≥2＋2 2b ·1 b ＝2＋22，当且仅当b ＝ 22时，等号成立，∴2a ＋1 b 的最小值为22＋2. (2)(2020·江苏)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________． 答案 45 解析 方法一 由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1， 可得x 2＝1－y 4 5y 2， 所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 4 5y 2 ＝15????1y 2 ＋4y 2≥1 5×21y 2×4y 2＝45 ， 当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±2 2时取等号． 所以x 2＋y 2的最小值为4 5 . 方法二 设x 2＋y 2＝t >0，则x 2＝t －y 2. 因为5x 2y 2＋y 4＝1，所以5(t －y 2)y 2＋y 4＝1， 所以4y 4－5ty 2＋1＝0. 由Δ＝25t 2－16≥0，解得t ≥4 5????t ≤－45舍去. 故x 2＋y 2的最小值为4 5 . 专题强化练 一、单项选择题 1．不等式(－x ＋3)(x －1)<0的解集是( ) A ．{x |－1 答案 D 解析 不等式即(x －3)(x －1)>0，由二次不等式的解法大于分两边可得不等式的解集为{x |x <1或x >3}． 2．下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a >b ，c d C ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d D ．若ab >0，a >b ，则1a <1 b 答案 D 解析 对于A 选项，当c ＝0时，不成立，故A 选项错误． 当a ＝1，b ＝0，c ＝－2，d ＝－1时，a c d ，故B 选项错误． 当a ＝1，b ＝0，c ＝1，d ＝0时，a －c ＝b －d ，故C 选项错误． 由不等式的性质知D 正确． 3．(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－2或x >3}，则f (10x )>0的解集为( ) A ．{x |x <－2或x >lg 3} B ．{x |－2 答案 D 解析 一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－2或x >3}， 则f (x )>0的解集为{x |－2 则f (10x )>0可化为－2<10x <3，解得x 4．若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b 2a B.b 2a D ．log 2(a ＋b ) 2a 答案 B 解析 由题意得a >1,0 2 a <1，log 2(a ＋ b )>log 22ab ＝1， 12 a b >a ＋1b >a ＋b ?a ＋1 b >log 2(a ＋b )． 5．(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b 答案 B 解析 ∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0， b ＝log 20.3 a ＋ b ab ＝1a ＋1 b ＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4， ∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0， ∴0 <1，∴ab 6．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C.92 D.11 2 答案 B 解析 由题意得x ＋2y ＝8－x ·2y ≥8－? ?? ??x ＋2y 22 ，当且仅当x ＝2y 时，等号成立，整理得(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，即(x ＋2y －4)(x ＋2y ＋8)≥0，又x ＋2y >0，所以x ＋2y ≥4，所以x ＋2y 的最小值为4.故选B. 7．已知a >－1，b >－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 B 解析 由a >－1，b >－2，得a ＋1>0，b ＋2>0，a ＋b ＝(a ＋1)＋(b ＋2)－3≥2 (a ＋1)(b ＋2) －3＝2×4－3＝5，当且仅当a ＋1＝b ＋2＝4，即a ＝3，b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值是5. 8．已知正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，则当ab c 取得最大值时，3a ＋1b －12 c 的最大值 为( ) A ．3 B.9 4 C ．1 D ．0 答案 C 解析 由正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0， 得a 2c －2ab c ＋9b 2c ＝1≥4ab c ， 当且仅当a 2c ＝9b 2c ，即a ＝3b 时，ab c 取最大值14， 又因为a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0， 所以此时c ＝12b 2， 所以3a ＋1b －12c ＝1 b ????2－1b ≤????1b ＋2－1b 2 4 ＝1， 当且仅当b ＝1时等号成立．故最大值为1. 二、多项选择题 9．设f (x )＝ln x,0 ?a ＋b 2，r ＝1 2[f (a )＋f (b )]，则下列关系式中正确的 是( ) A ．q ＝r B ．p C ．p ＝r D ．p >q 答案 BC 解析 r ＝1 2(ln a ＋ln b )＝p ＝ln ab ，p ＝ln ab . 10．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案 ABC 解析 方法一 设y ＝x 2－6x ＋a ，则其图象为开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，如图所示． 若关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数， 则????? 22－6×2＋a ≤0， 12－6×1＋a >0， 解得5 又a ∈Z ，故a 可以为6,7,8. 方法二 分离常数，得a ≤－x 2＋6x ，函数y ＝－x 2＋6x 的图象及直线y ＝a ，如图所示，由图易知5 11．(2020·威海模拟)若a ，b 为正实数，则a >b 的充要条件为( ) A.1a >1b B ．ln a >ln b C ．a ln a D ．a －b 解析 对于A ，因为a >b >0，所以1a <1 b ，故A 错误；对于B ，因为y ＝ln x 在(0，＋∞)上为增 函数，所以a >b >0?ln a >ln b ，故B 正确；对于C ，设f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，令f ′(x )＝0，得x ＝1e ，当x ∈????0，1e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈????1e ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以a >b >0不能推出a ln a 0)，则g ′(x )＝1－e x .因为x >0，所以e x >1，所以g ′(x )<0，g (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以当a >b >0时，g (a ) 12．(2020·新高考全国Ⅰ)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则( ) A ．a 2＋b 2≥1 2 B ．2a － b >12 C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D.a ＋b ≤ 2 答案 ABD 解析 因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以a ＋b ≥2ab ， 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，即有ab ≤1 4 . 对于A ，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝1 2，故A 正确； 对于B,2a －b ＝22a －1＝1 2 ×22a ， 因为a >0，所以22a >1，即2a －b >1 2，故B 正确； 对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 21 4＝－2，故C 错误； 对于D ，由(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤2， 得a ＋b ≤2，故D 正确． 三、填空题 13．对于0log a ??? ?1＋1a ；③a 1＋ a < 11a a + ；④a 1＋ a >a 1＋1a .其中正确的是________．(填序号) 解析 由于0 a ，所以②④是正确的． 14．当x ∈(0，＋∞)时，关于x 的不等式mx 2－(m ＋1)x ＋m >0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞) 解析 ∵x ∈(0，＋∞)，mx 2－(m ＋1)x ＋m >0恒成立， ∴m (x 2－x ＋1)>x 恒成立， 又x 2－x ＋1＝????x －122＋3 4>0， ∴m >x x 2－x ＋1 恒成立， 当x ∈(0，＋∞)时，x x 2－x ＋1＝1x ＋1x －1≤1 21－1 ＝1， 当且仅当x ＝1 x ，即x ＝1时取“＝”． ∴m >1. 15．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1 e x ，其中e 是自然对数的底数，若 f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实 数a 的取值范围是________． 答案 ? ???－1，12 解析 由f (x )＝x 3－2x ＋e x －1 e x ， 得f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x －1e －x ＝－x 3＋2x －e x ＋1 e x ＝－f (x )， 又x ∈R ，所以f (x )＝x 3－2x ＋e x －1 e x 是奇函数． 因为f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1 e x ≥3x 2－2＋2 e x ·1e x ＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时“＝”成立， 所以f (x )在R 上单调递增， 因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0， 所以f (2a 2)≤－f (a －1)，即f (2a 2)≤f (1－a )． 所以2a 2≤1－a ，即2a 2＋a －1≤0，解得－1≤a ≤1 2 . 16．已知实数x ，y 满足x >1，y >0且x ＋4y ＋1x －1＋1y ＝11，则1x －1＋1 y 的最大值为________． 答案 9 解析 ∵x ＋4y ＋1x －1＋1 y ＝11， ∴(x －1)＋4y ＝10－? ?? ?? 1x －1＋1y ， 又? ????1 x －1＋1y [(x －1)＋4y ]＝5＋x －1y ＋4y x －1 ≥5＋24＝9， 当且仅当x －1y ＝4y x －1 ，即2y ＝x －1>0时等号成立， ∴? ????1x －1＋1y ???? ?? 10－? ????1x －1＋1y ≥9， 令t ＝1x －1＋1y ，则t (10－t )≥9， 即t 2－10t ＋9≤0，∴1≤t ≤9， ∴ 1x －1＋1 y 的最大值为9. 《2018年高考文科数学分类汇编》 第十四篇：不等式选讲 解答题 1.【2018全国一卷23】已知()|1||1|f x x ax =+--. （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集； （2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围. 2.【2018全国二卷23】设函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若，求的取值范围． 3.【2018全国三卷23】设函数． （1）画出的图像； （2）当，，求的最小值． ()5|||2|f x x a x =-+--1a =()0f x ≥()1f x ≤a ()211f x x x =++-()y f x =[)0x +∞∈，()f x ax b +≤a b + 4.【2018江苏卷21D 】若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值． 参考答案 解答题 1.解： （1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-??=-<的解集为1 {|}2 x x >． （2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立． 若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥； 若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21a ≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(0,2]． 2.解：（1）当时， 可得的解集为． （2）等价于． 而，且当时等号成立．故等价于． 由可得或，所以的取值范围是． 3.解：（1）的图像如图所示． 1a =24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-??=-<≤??-+>? ()0f x ≥{|23}x x -≤≤()1f x ≤|||2|4x a x ++-≥|||2||2|x a x a ++-≥+2x =()1f x ≤|2|4a +≥|2|4a +≥6a ≤-2a ≥a (,6][2,)-∞-+∞13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ?-<-???=+-≤ 第3讲 不等式的性质和基本不等式 [玩前必备] 1．不等式的基本性质 2．两个实数比较大小的方法 (1)作差法???? ? a － b >0?a >b a －b ＝0?a ＝b a － b <0?a 1?a >b a b ＝1?a ＝b a b <1?a 0) 3．基本(均值)不等式ab ≤ a ＋b 2 (1)基本(均值)不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 4．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤????a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2 ＋b 2 2≥ ????a ＋b 22(a ，b ∈R )． 5．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本(均值)不等式可叙述 为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 6．利用基本(均值)不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则： (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 2 4 .(简记：和定积最大) [玩转典例] 题型一 不等式的性质应用 例1 (1)给出下列命题： ①若ab >0，a >b ，则1a <1 b ； ②若a >b ，c >d ，则a －c >b －d ； ③对于正数a ，b ，m ，若a Q B ．P ≥Q C ．P 第2讲 不等式与线性规划 考情解读 1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题． 1．四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax 2 ＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法 ①变形?f x g x >0(<0)?f (x )g (x )>0(<0)； ②变形? f x g x ≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时，a f (x ) >a g (x ) ?f (x )>g (x )； ②当0a g (x ) ?f (x ) 第4节基本不等式 知识点、方法题号 利用基本不等式比较大小、证明2,3 利用基本不等式求最值1,4,7,9,11,13 基本不等式的实际应用6,12,14 基本不等式的综合应用5,8,10 基础巩固(时间:30分钟) 1.已知f(x)=x2(x<0),则f(x)有( C ) (A)最大值0 (B)最小值0 (C)最大值4 (D)最小值4 解析:因为x<0,所以f(x)=(x)2≤=4,当且仅当x=,即x=1时取等号. 选C. 2.下列不等式一定成立的是( C ) (A)lg(x2)>lg x(x>0) (B)sin x≥2(x≠kπ,k∈Z) (C)x21≥2|x|(x∈R) (D)>1(x∈R) 解析:当x>0时,x2≥2·=x,所以lg(x2)≥lg x(x>0),故选项A不正确当2kππ 解析:由ab=1,可得a2bab=1, 因为2ab≤a2b2,当且仅当a=b时取等号. 所以2ab2≥1, 则a2b2≥. 当a,b异号时,不妨取a=1,b=2,易知A,C,D都不正确. 故选B. 4.导学号 38486112(2017·枣庄一模)若正数x,y满足=1,则3x4y的最小值是( C ) (A)24 (B)28 (C)25 (D)26 解析:因为正数x,y满足=1, 则3x4y=(3x4y)( )=13≥133×2=25, 当且仅当x=2y=5时取等号. 所以3x4y的最小值是25. 故选C. 5.导学号 38486113(2017·平度二模)若直线2mxny2=0 (m>0,n>0)过点(1,2),则最小值 ( D ) (A)2 (B)6 (C)12 (D)32 解析:因为直线2mxny2=0(m>0,n>0)过点(1,2), 所以2m2n2=0,即mn=1, 因为=()(mn)=3≥32, 当且仅当=,即n=m时取等号, 所以的最小值为32, 故选D. 6.(2017·河北邯郸一模)已知棱长为的正四面体ABCD(四个面都是正三角形),在侧棱AB 上任取一点P(与A,B都不重合),若点P到平面BCD及平面ACD的距离分别为a,b,则的最小值为( C ) (A) (B)4 (C) (D)5 解析:由题意可得, a·S△BCD bS△ACD=h·S△BCD,其中S△BCD=S△ACD,h为正四面体ABCD的高. h==2, 所以ab=2. 课题: §3.4 2a b +≤ 第3课时 授课类型：习题课 【教学目标】 1．知识与技能：2 a b +≤；会用此不等式证明不等式,会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题； 22a b +≤ ，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。 3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。 【教学重点】 2 a b +≤，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值 【教学难点】 利用此不等式求函数的最大、最小值。 【教学过程】 1.课题导入 1．基本不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 22 a b +≤求最大（小）值的步骤。 2.讲授新课 1）利用基本不等式证明不等式 例1 已知m>0,求证 24624m m +≥。 [思维切入]因为m>0,所以可把24m 和6m 分别看作基本不等式中的a 和b, 直接利用基本不等式。 [证明]因为 m>0,，由基本不等式得 24 6221224m m +≥==?= 当且仅当24m =6m ，即m=2时，取等号。 规律技巧总结 注意：m>0这一前提条件和 246m m ?=144为定值的前提条件。 3.随堂练习1 [思维拓展1] 已知a,b,c,d 都是正数，求证()()4ab cd ac bd abcd ++≥. [思维拓展2] 求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+. 例2 求证:473 a a +≥-. [思维切入] 由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边44(3)333 a a a a +=+-+--.这样变形后,在用基本不等式即可得证. [证明] 443(3)333733a a a +=+-+≥==-- 当且仅当43 a -=a-3即a=5时,等号成立. 规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式. 2)利用不等式求最值 例3 (1) 若x>0,求9()4f x x x =+ 的最小值; (2)若x<0,求9()4f x x x =+的最大值. [思维切入]本题(1)x>0和94x x ?=36两个前提条件;(2)中x<0,可以用-x>0来转化. 解 1) 因为 x>0 由基本不等式得 9 ()412f x x x =+≥==,当且仅当94x x =即x=32时, 9()4f x x x =+取最小值12. (2)因为 x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得: 99 ()(4)(4)()12f x x x x x -=-+=-+-≥==, 所以 ()12f x ≤. 当且仅当94x x -=- 即x=-32时, 9()4f x x x =+取得最大-12. 规律技巧总结 利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正. 随堂练习2 [思维拓展1] 求9()45 f x x x =+ -(x>5)的最小值. 专题十五不等式选讲大题 （一）命题特点和预测： 分析近8年全国新课标1不等式选讲大题，发现8年8考，主要考查绝对值不等式的解法（出现频率太高了，应当高度重视）、不等式恒成立或有解求参数的范围，考查利用不等式的性质、基本不等式、绝对值不等式性质求最值或证明不等式，难度为基础题.2019年不等式选讲大题仍将主要考查绝对值不等式的解法（出现频率太高了，应当高度重视）、不等式恒成立或有解求参数的范围，考查利用不等式的性质、基本不等式、绝对值不等式性质求最值或证明不等式，难度为基础题. （二）历年试题比较： ． 时，求不等式 时不等式成立，求的取值范围． 已知函数， 的解集； 的解集包含 已知函数 ？并说明文由 ( )≤ 【解析与点睛】 （2018年）【解析】（1）当时，，即 故不等式的解集为． （2）当时成立等价于当时成立．若，则当时； 若，的解集为，所以，故． 综上，的取值范围为． （2017年）【解析】 x>时，①式化为，从而. 当1 【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数，借助图象解题. （2016年）【解析】（I） y=的图像如图所示. f ) (x （II ）由)(x f 的表达式及图像，当1)(=x f 时，可得1=x 或3=x ； 当1)(-=x f 时，可得3 1 = x 或5=x ， 故1)(>x f 的解集为{} 31< 专题强化训练 1．(2019·金华十校联考)不等式(m －2)(m ＋3)＜0的一个充分不必要条件是( ) A ．－3＜m ＜0 B ．－3＜m ＜2 C ．－3＜m ＜4 D ．－1＜m ＜3 解析：选A.由(m －2)(m ＋3)＜0得－3＜m ＜2，即不等式成立的等价条件是－3＜m ＜2， 则不等式(m －2)(m ＋3)＜0的一个充分不必要条件是(－3，2)的一个真子集， 则满足条件是－3＜m ＜0. 故选A. 2．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪????－1 2，＋∞，则a ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－1 2 D.12 解析：选B.根据不等式与对应方程的关系知－1，－1 2是一元二次方程ax 2＋x (a －1)－1＝0 的两个根，所以－1×????－12＝－1 a ，所以a ＝－2，故选B. 3．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋1 3y 的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．2 3 解析：选C.因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2， 所以x ＋3y ＝1， 所以1x ＋13y ＝????1x ＋13y (x ＋3y )＝2＋3y x ＋x 3y ≥4， 当且仅当3y x ＝x 3y ， 即x ＝12，y ＝1 6 时，取等号． 4．若平面区域???? ?x ＋y －3≥0， 2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间 的距离的最小值是( ) A.35 5 B.2 C.322 D.5 解析：选B.不等式组???? ?x ＋y －3≥02x －y －3≤0x －2y ＋3≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A (1，2)、 B (2，1)，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A 与B ，又两平行直线的斜率为1，直线AB 的斜率为－1，所以线段AB 的长度就是过A 、B 两点的平行直线间的距离，易得|AB |＝2，即两条平行直线间的距离的最小值是2，故选B. 5．(2019·金丽衢十二校高三联考)若函数f (x )＝2x 2－a x －1(a <2)在区间(1，＋∞)上的最小值为 6，则实数a 的值为( ) A ．2 B.32 C ．1 D.12 解析：选 B.f (x )＝ 2x 2－a x －1 ＝ 2（x －1）2＋4（x －1）＋2－a x －1 ＝2(x －1)＋ 2－a x －1 ＋ 4≥2 2（x －1）·2－a x －1＋4＝2 4－2a ＋4，当且仅当2(x －1)＝2－a x －1 ?x ＝1＋ 2－a 2 时，等号成立，所以2 4－2a ＋4＝6?a ＝3 2 ，故选B. 6．若不等式组? ????x 2－2x －3≤0， x 2＋4x －（1＋a ）≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－4] B ．[－4，＋∞) C ．[－4，20] D ．[－4，20) 解析：选B.不等式x 2－2x －3≤0的解集为[－1，3]， 第四节 基本不等式 时间：45分钟 分值：75分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．设a ，b ∈R ，已知命题p ：a 2＋b 2≤2ab ；命题q ：? ?? ??a ＋b 22≤a 2＋b 2 2，则p 是q 成立的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 命题p ：(a －b )2≤0?a ＝b ；命题q ：(a －b )2≥0.显然，由p 可得q 成立，但由q 不能推出p 成立，故p 是q 的充分不必要条件． 答案 B 2．已知f (x )＝x ＋1 x －2(x <0)，则f (x )有( ) A ．最大值为0 B ．最小值为0 C ．最大值为－4 D ．最小值为－4 解析 ∵x <0，∴－x >0. ∴x ＋1 x －2＝－? ?? ??－x ＋1－x －2≤－2 (－x )·1 －x －2＝－4， 当且仅当－x ＝1 －x ，即x ＝－1时，等号成立． 答案 C 3．下列不等式：①a 2 ＋1>2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2 ＋1x 2＋1≥1，其 中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析 ①②不正确，③正确，x 2 ＋1x 2＋1＝(x 2 ＋1)＋1x 2＋1－1≥2 －1＝1. 答案 B 4．(2014·云南师大附中模拟)已知a ＋b ＝t (a >0，b >0)，t 为常数，且ab 的最大值为2，则t 的值为( ) A ．2 B ．4 C ．2 2 D ．2 5 解析 当a >0，b >0时，有ab ≤(a ＋b )24＝t 24，当且仅当a ＝b ＝t 2时取等号．∵ab 的最大值为2，∴t 2 4＝2，t 2＝8，∴t ＝8＝2 2. 答案 C 5．(2014·山东师大附中模拟)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C ．5 D ．6 解析 由x ＋3y ＝5xy ，可得x xy ＋3y xy ＝5，即1y ＋3x ＝5，∴15y ＋3 5x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )? ????15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋23x 5y ×12y 5x ＝ 135＋12 5＝5. 答案 C 6．(2014·湖北八校联考)若x ，y ∈(0,2]且xy ＝2，使不等式a (2x ＋y )≥(2－x )(4－y )恒成立，则实数a 的取值范围为( ) 2017-2019高考文数真题分类解析 ----不等式选讲 1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1） 222111 a b c a b c ++≤++； （2）3 3 3 ()()()24a b b c c a +++≥++． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）因为2 2 2 2 2 2 2,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有 222111 ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c ++++≥++= =++． 所以 222111 a b c a b c ++≤++． （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有 333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c 3≥??? =24． 所以3 3 3 ()()()24a b b c c a +++++≥． 【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围． 【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞ 【解析】（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---． 当1x <时，2 ()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥． 第3讲 基本不等式 一、知识梳理 1．基本不等式：ab ≤ a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． (3)其中a ＋b 2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数． [点拨] 应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”．忽略某个条件，就会出错． 2．利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p ．(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 2 4．(简记：和定积最大) [点拨] 在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致． 常用结论 几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤? ?? ??a ＋b 22 (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥? ????a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号． 二、教材衍化 1．设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82 解析：选C ．xy ≤? ????x ＋y 22＝ ??? ?1822 ＝81，当且仅当x ＝y ＝9时等号成立，故选C ． 2．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________． 解析：设矩形的长为x m ，宽为y m ，则x ＋y ＝10，所以S ＝xy ≤? ?? ??x ＋y 22 ＝25，当且仅 当x ＝y ＝5时取等号． 答案：25 m 2 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1 x 的最小值是2.( ) (2)ab ≤???? a ＋ b 22 成立的条件是ab >0.( ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋y x ≥2”的充要条件．( ) (4)若a >0，则a 3＋1 a 2的最小值是2a .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏 常见误区| (1)忽视不等式成立的条件a >0且b >0； (2)忽视定值存在； (3)忽视等号成立的条件． 1．若x <0，则x ＋1 x ( ) A ．有最小值，且最小值为2 B ．有最大值，且最大值为2 C ．有最小值，且最小值为－2 D ．有最大值，且最大值为－2 解析：选D ．因为x <0，所以－x >0，－x ＋1 －x ≥21＝2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以x ＋1 x ≤－2. 2．若x >1，则x ＋4 x －1的最小值为________． 解析：x ＋4x －1＝x －1＋4 x －1＋1≥4＋1＝5. 当且仅当x －1＝4 x －1 ，即x ＝3时等号成立． 选修4--5 不等式选讲 一、课程目标解读 选修系列4-5专题不等式选讲，内容包括：不等式的基本性质、含有绝对值的不等式、不等式的证明、几个著名的不等式、利用不等式求最大（小）值、数学归纳法与不等式。通过本专题的教学，使学生理解在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系都是基本的数学关系，它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用；使学生了解不等式及其证明的几何意义与背景，以加深对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力。 二、教材内容分析 作为一个选修专题，虽然学生已经学习了高中必修课程的5个模块和三个选修模块，教材内容仍以初中知识为起点，在内容的呈现上保持了相对的完整性．整个专题内容分为四讲，结构如下图所示： 第一讲是“不等式和绝对值不等式”，为了保持专题内容的完整性，教材回顾了已学过的不等式6个基本性质，从“数与运算”的思想出发，强调了比较大小的基本方法。回顾了二元基本不等式，突出几何背景和实际应用，同时推广到n个正数的情形，但教学中只要求理解掌握并会应用二个和三个正数的均值不等式。 对于绝对值不等式，借助几何意义，从“运算”角度，探究归纳了绝对值三角不等式，并用代数方法给出证明。通过讨论两种特殊类型不等式的解法，学习解含有绝对值不等式的一般思想和方法，而不是系统研究。 第二讲是“证明不等式的基本方法”，教材通过一些简单问题，回顾介绍了证明不等式的比较法、综合法、分析法，反证法、放缩法。其中，用反证法和放缩法证明不等式是新的课程标准才引入到中学数学教学中的内容。这些方法大多在选修2-2“推理与证明”已经学过，此处再现也是为了专题的完整性，对于新增的放缩法，应通过实际实际例子，使学生明确不等式放缩的几个简单途径和方法，比如舍掉或加进一些项，在分式中放大或缩小分子或分母，应用基本不等式进行放缩等（见分节教学设计）。本讲内容也是本专题的一个基础内容。 第三讲是“柯西不等式和排序不等式”。这两个不等式也是本专题实质上的新增内容，教材主要介绍柯西不等式的几种形式、几何背景和实际应用。其中柯西不等式及其在证明不等式和求某些特殊类型函数极值中的应用是教材编写和我们教学的重点。事实上，柯西不等式和均值不等式在求最值方面的简单应用，二者同样重要，在某些问题中，异曲同工。比如课本P41页，习题3.2 第四题。 第5课时一元二次不等式应用题 【学习导航】 知识网络 学习要求 1．学会建立一元二次不等式及二次函数模型解决实际问题 2．体会由实际问题建立数学模型的过程和方法 【课堂互动】 精典范例 例1．用一根长为100m的绳子能围成一个面积大于600m2的矩形吗? 当长、宽分别为 多少米时, 所围成矩形的面积最大? 【解】 见书． 例２. 某小型服装厂生产一种风衣, 日销货量x件与货价P元/件之间的关系为P=160－2x , 生产x件所需成本为C=500+30x元. 问: 该厂日产量多大时, 日获利不少于1300元？ 见书． 例3：汽车在行驶中, 由于惯性的作用, 刹 车后还要继续向前滑行一段距离才能停住, 我们称这段距离为“刹车距离”, 刹车距离是 分析事故的一个重要因素. 在一个限速为40km / h的弯道上, 甲、 乙两辆汽车相向而行, 发现情况不对, 同时 刹车, 但还是相碰了, 事后现场勘查测得甲车 的刹车距离略超过12m , 乙车的刹车距离略 超过10m , 又知甲、乙两种车型的刹车距离s ( m )与车速x ( km / h )之间分别有如下关系: s甲= 0.1x+0.01x2, s乙=0.05x+0.005x2, 问甲、乙 两车有无超速现象? 【解】 见书． 听课随笔 思维点拔： 解应用题的步骤： 1．审题 2．解题（设，列，解，答） 3．回顾（变量范围与实际情况要一致） 追踪训练 1．制作一个高为20cm 的长方体容器，其底面矩形的长比宽多10cm ，并且容器的容积不得少于40003cm ，则底面矩形的宽至少应为 10 ㎝． ２．某工厂的三年产值的年增长率情况依次为：第一年至少为a%,第二年至少为b%,第三年至少为c%,则这三年的年平均增长率 ３．某渔业分司年初用98万元购买一艘捕鱼船, 第一年各种费用12万元, 以后每年都增加4万元, 每年捕鱼收益50万元. (1)问第几年开始获利? (2)若干年后, 有两种处理方案: ①年平均获利最大时, 以26万元出售该渔船; ②总纯收入获利最大时, 以8万元出售该渔船, 问哪种方案最合算? (提供公式: a>0 , x>0时, x+x a ≥2a (当且仅当x=x a 时取等号) 略解:（１）设第n 年开始获利,则可得到：04920<+-n n ,解后知第３年开始获利． （２）方案一：７年净获利110元． 方案二：10年净获利110元． 故方案一最合算． 【选修延伸】 分段函数模型 某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元, 但每生产100台时又需可变成本0.25万元, 市场对此商品的年需求量为500台, 销售收入函数为R(x)=5x －21x 2 (万元) (0≤x ≤5). 其中x 是产品售出的数量(单位: 百台) (1)把利润表示为年产量的函数; (2)年产量为多少时, 企业所得的利润最大? (3)年产量为多少时, 企业才不亏本? 略解：（１）设利润为y ，则 ?????>-≤≤-+-=)5(412)50(5.075.45.02x x x x x y （２）当且仅当419=x 时，y 的最大值为32345万元． （３）由0>y ，解得 485625.2175.4≤≤-x 即481.0≤≤x 答：略． 思维点拔： 不要忽视对x>5的讨论，故建立的是一个分段函数的模型。 听课随笔 【师生互动】 高三数学一轮总复习第十八章不等式选讲（文）（教师用书）高考导航 考试要求重难点击命题展望 1.理解绝对值的几何意义，并能用它证明绝对值三角 不等式等较简单的不等式.①|a＋b|≤|a|＋|b|； ②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|. 2.能用绝对值的几何意义解几类简单的绝对值型不 等式，如|ax＋b|≤c或|ax＋b|≥c，以及|x－a|＋|x －b|≥c或|x－a|＋|x－b|≤c类型. 3.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分 析法、反证法和放缩法. 4.了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用它证明 一些简单不等式及其他问题. 5.了解柯西不等式的几种不同形式：二维形式(a2＋ b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2、向量形式 |α|·|β|≥|α·β|、一般形式 ∑∑∑ === ? n i n i n i i i i i b a b a 11 2 1 2 2) ( ≥ ，理解它们的几何意义.掌握 柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数 极值中的应用. 6.了解排序不等式的推导及意义并能简单应用. 7.会用数学归纳法证明贝努利不等式： .) 1 ,0 ,1 ＞ ( ＞1 ) 1(的正整数 为大于 n x x nx x n≠ - + + 本章重点：不等 式的基本性质； 基本不等式及其 应用、绝对值型 不等式的解法及 其应用；用比较 法、分析法、综 合法证明不等 式；柯西不等式、 排序不等式及其 应用. 本章难点：三个 正数的算术—— 几何平均不等式 及其应用；绝对 值不等式的解 法；用反证法、 放缩法证明不等 式；运用柯西不 等式和排序不等 式证明不等式. 本专题在数学必修5 “不等式”的基础上， 进一步学习一些重要 的不等式，如绝对值 不等式、柯西不等式、 排序不等式以及它们 的证明，同时了解证 明不等式的一些基本 方法，如比较法、综 合法、分析法、反证 法、放缩法、数学归 纳法等，会用绝对值 不等式、平均值不等 式、柯西不等式、排 序不等式等解决一些 简单问题.高考中，只 考查上述知识和方 法，不对恒等变形的 难度和一些技巧作过 高的要求. 知识网络 2017届高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题一 集合、常用逻 辑用语、不等式、函数与导数 第四讲 不等式课时作业 理 A 组——高考热点基础练 1．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不一定能成立的是( ) A.c a ＜b a B.b －a c ＞0 C.b 2c 0，∴c a 0，a －c ac <0， 但b 2 与a 2 的关系不确定，故b 2c 0，即－16x 2＋56 x －1>0，解 得2 C ．4 D ．5 解析：先作出可行域，再求目标函数的最大值． 根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y ＝－2x ，当直线平移到虚线处时，目标 函数取得最大值．由? ?? ?? 2x －y ＝0， x ＋y ＝3，可得A (1,2)，此时2x ＋y 取最大值为2×1＋2＝4. 答案：C 4．已知函数f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集为{x |x <－3或x >1}，则函数y ＝f (－ x )的图象可以为( ) 解析：由f (x )<0的解集为{x |x <－3或x >1}知a <0，y ＝f (x )的图象与x 轴交点为(－3,0)，(1,0)， ∴f (－x )图象开口向下，与x 轴交点为(3,0)，(－1,0)． 答案：B 5．设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( ) A ．6 B ．42 C ．2 2 D ．26 解析：2a ＋2b ≥22a ＋b ＝223＝42，当且仅当2a ＝2b ，a ＋b ＝3，即a ＝b ＝32 时，等号成立．故 选B. 答案：B 3.4 基本不等式： 2b a a b + ≤（第一课时） 教学设计 一、教学内容解析 （一）教材的地位和作用 本节课是人教版《数学》必修5第三章第四节（第一课时），基本不等式是高中数学中一个非常重要的不等式，它是解决一些简单的最大（小）值问题的最基本也是最重要的方法。在前几节课刚刚学习了不等式的性质、一元二次不等式、二元一次不等式组与线性规划问题，这些内容为本节课打下了坚实的基础，同时基本不等式的学习为今后解决最值问题提供了新的方法。 本节内容是在系统的复习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的。教材通过赵爽弦图回顾基本不等式，在代数证明的基础上，通过“探究”引导学生回顾基本不等式的几何意义，并给出在解决函数最值和实际问题中应用，在知识体系中起着承上启下的作用；从知识的应用价值上看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法（如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等）在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；从内容的人文价值上看，基本不等式的探究、推导和应用需要学生观察、分析、猜想、归纳和概括等，有助于培养学生思维能力和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体. （二）教学目标 1. 通过实例探究，引导学生从几何图形中获得重要不等式，并通过类比的和代换的思想得到基本不等式，让体会数形结合的思想，经历从特殊到一般的思维过程，进一步提高学生学习数学、研究数学的兴趣； 2. 从结构、形式等方面进一步认识基本不等式； 3. 经历由实际问题推导出基本不等式，在回归实际问题的解决这一过程，体会数学源于生活、高于生活、用于生活的道理，让学生体验到发现数学、运用数学的过程。 （三）教学重点与难点 重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度认识基本不等式。 难点：在几何背景下抽象出基本不等式的过程；使用基本不等式解决求最值问题时的条件的认识。 二、学生学情分析： 在初中阶段，学生学习了平方、开方、勾股定理、圆、射影定理等概念，高中阶段学生学习了基本初等函数及其性质，加上刚学过的不等关系与不等式的性质，学生对不等式有了初步的了解和应用，但本节内容，变换灵活，应用广泛，条件有限制，考察了学生属性结合、转化化归等数学思想，对学生能灵活应用数 选修4－5不等式选讲 最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法． 1．含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|>a(a>0)?f(x)>a或f(x)<－a； (2)|f(x)| 第3讲 基本不等式 , [学生用书P115]) 1．基本不等式ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2 ，几何平均数为两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 2 4 ．(简记：和定积最大) 1．辨明两个易误点 (1)使用基本不等式求最值，“一正，二定，三相等”三个条件缺一不可； (2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致． 2．活用几个重要的不等式 a 2＋ b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且都不为0)； ab ≤ ????a ＋b 22(a ，b ∈R )；????a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 3．巧用“拆”“拼”“凑” 在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． 1.教材习题改编 将正数m 分成两个正数a 与b 之和，则ab 的范围为( ) A ．(0，m 22] B ．(0，m 2 4] C ．[m 22，＋∞) D ．[m 24，＋∞) B [解析] a ＋b ＝m ≥2ab ， 所以ab ≤m 2 4 ，故选B. 第3讲 不等式 [考情分析] 1.不等式的解法是数学的基本功，在许多题目中起到工具作用.2.求最值和不等式 恒成立问题常用到基本不等式.3.题型多以选择题、填空题形式考查，中等难度． 考点一 不等式的性质与解法 核心提炼 1．不等式的倒数性质 (1)a >b ，ab >0?1a <1b . (2)a <0b >0,0最新高考文科数学分类汇编：专题十四不等式选讲
第3讲 不等式的性质和基本不等式学生
b ，且1a >1 b ，则a >0，b <0 B ．若a >b ，b ≠0，则a b >1 C ．若a >b ，且a ＋c >b ＋d ，则c >d D ．若a >b ，且ac >bd ，则c >d
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3.4基本不等式(第一课时)
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