选修2-3随机变量及其分布知识点汇总典型例题

选修2-3随机变量及其分布知识点汇总典型例题

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2-3随机变量及其分布

离散型随机变量及其分布列(1)随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．通常用字母X ，Y ，ξ，η等表示．

(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．(3)离散型随机变量的分布列：

要点归纳

一、

1．

一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2…，x i ，…x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：

X x 1x 2…x i …x n P

p 1

p 2

…

p i

…

p n

我们将上表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列．有时为了简单起见，也用等式P (X ＝x i )＝p i ，

i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列．(4)离散型随机变量的分布列的性质：①p i ≥0，i ＝1，2，…，n ；

② i ＝1n

p i ＝1.

(5)常见的分布列：

两点分布：如果随机变量X 的分布列具有下表的形式，则称X 服从两点分布，并称p ＝P (X ＝1)为成功概率.

X 01P

1－p

p

两点分布又称0－1分布，伯努利分布．

超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k }发生的概率为P (X ＝

k )＝C k M C n －

k

N －M C n N

，k ＝0，1，2，…，m ，即

X 0

1

…m

P

…

C 0M C n －

N －M

C n N

C 1M C n －

1

N －M

C n N

C m M C n －

m

N －M

C n

N

其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X

服从超几何分布．二项分布及其应用2．

(1)条件概率：一般地，设A 和B 是两个事件，且P (A )＞0，称P (B |A )＝

P （AB ）

P （A ）

为在事件A 发生的条件下，事件B 发生

的条件概率．P (B |A )读作A 发生的条件下B 发生的概率．

(2)条件概率的性质：①0≤P (B |A )≤1；

②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0；

(4)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．

(5)二项分布：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为

③如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．

(3)事件的相互独立性：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立．如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －也都相互独立．

P (X ＝k )＝C p k (1－p )n －k ，k ＝0，1，2，…，n .此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概

率．两点分布是当n ＝1时的二项分布，二项分布可以看成是两点分布的一般形式．离散型随机变量的均值与方差

(1)均值、方差：一般地，若离散型随机变量X 的分布列为

3．X

x 1

x 2

…

x i

…

x n

P

p 1p 2

…

p i

…

p n

则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的

均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

(2)均值与方差的性质：若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 是常数，X

是随机变量，则Y 也是随机变量，且E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，

D (aX ＋b )＝a 2D (X )．

(3)常见分布的均值和方差公式：①两点分布：若随机变量

X 服从参数为p 的两点分布，则均值E (X )＝p ，方差D (X )＝p (1－p )．

②二项分布：若随机变量X ～B (n ，p )，则均值E (X )＝np ，

方差D (X )＝np (1－p )．

称D (X )＝ i ＝1n

(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，D （X ）为

随机变量X 的标准差．

④曲线与x 轴之间的面积为1.

(3)μ和σ对正态曲线的影响：

①当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x

轴平移；

②当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，

表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．

(2)正态曲线的特点：

①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值

1

σ2π

；

(4)正态分布的3σ原则：若随机变量X ～N (μ，σ2)，则P (μ

－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.

在实际应用中，通常认为服从于正态分布N (μ，σ2)的随机变量X 只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．

专题一条件概率

1．条件概率的求法

(1)利用定义，分别求出P (A )和P (AB )，解得P (B |A )＝ P （AB ）

P （A ）

.

(2)借助古典概型公式，先求事件A 包含的基本事件数 n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事 件数n (AB )，得P (B |A )＝n （AB ）

n （A ）

.

解决概率问题要注意“三个步骤，一个结合”(1)求概率的步骤是：第一步，确定事件性质；第二步，判断事件的运算；第三步，运用公式．

(2)概率问题常常与排列、组合知识相结合．

2．

在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依

次抽取2道题，求：

(1)第1次抽到理科题的概率；

(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；

(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．

解设“第1次抽到理科题”为事件A ，“第2次抽到理科题”为事件B ，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB .

【例1】(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为n (Ω)＝A 25＝20.

根据分步乘法计数原理，n (A )＝A 13×A 14＝12.

于是P (A )＝n （A ）n （Ω）＝1220＝35

.

求相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查，解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在些基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解．特别注意以下两公式的使用前提(1)若A ，B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，反之不成立．(2)若A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )P (B )，反之成立．

专题二相互独立事件的概率

1．

2．

【例2】

甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，

乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为2

9.

(1)分别求出甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率；

(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．

离散型随机变量的分布列在高中阶段主要学习两种：超几何分布与二项分布，由于这两种分布列在生活中应用较为

广泛，故在高考中对该知识点的考查相对较灵活，常与期望、方差融合在一起，横向考查．

对于分布列的求法，其难点在于每个随机变量取值时相关概率的求法，计算时可能会用到等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式等．

均值与方差都是随机变量重要的数字特征，方差是建立在均值这一概念之上的，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者联系密切，在现实生产生活中特别是风险决策中有着重要意义，因此在当前的高考中是一个热点问题．

专题三离散型随机变量的分布列、均值与方差

1．

2．

3．

(1)求该学生考上大学的概率；

(2)如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X ，求X 的分布列及X 的数学期望．

【例3】 某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一

测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是13，每次测试时

间间隔恰当．每次测试通过与否互相独立．