运筹学单纯形法例题求解过程
运筹学单纯形法例题求解过程
（原创版）
目录
一、运筹学单纯形法的基本概念
二、运筹学单纯形法的求解步骤
1.确定基变量和初始基本可行解
2.编制初始单纯形表
3.判断基本可行解是否为最优解
4.迭代求解下一个使目标函数更优的基本可行解
5.重新计算机会费用和检验数
三、运筹学单纯形法的应用实例
正文
一、运筹学单纯形法的基本概念
运筹学单纯形法是一种求解线性规划问题的方法，它是基于数学和统计学的理论基础，通过逐步优化算法，寻找线性规划问题中最优解的一种方法。线性规划问题是指在一定约束条件下，寻求目标函数的最小值或最大值的问题。而单纯形法是线性规划问题中最常用的求解方法之一，它通过迭代计算，不断优化基变量，从而得到问题的最优解。
二、运筹学单纯形法的求解步骤
1.确定基变量和初始基本可行解
在求解线性规划问题时，首先需要确定问题的基变量，即在所有变量中选择若干个变量作为基变量。基变量的选取可以通过寻找单位矩阵的方法来确定。确定基变量后，可以求出初始基本可行解，即满足所有约束条件的变量值组合。
2.编制初始单纯形表
根据初始基本可行解和线性规划模型提供的信息，可以编制初始单纯形表。单纯形表是一个包含基变量、非基变量、目标函数系数、约束条件常数项和检验数等元素的矩阵表。
3.判断基本可行解是否为最优解
在求解过程中，需要判断基本可行解是否为最优解。这可以通过检验数来进行。检验数是指非基变量与对应约束条件的乘积，如果所有非基变量的检验数都小于等于 0，说明已经达到最优解。否则，需要继续迭代求解。
4.迭代求解下一个使目标函数更优的基本可行解
如果基本可行解不是最优解，需要通过迭代求解来寻找下一个使目标函数更优的基本可行解。迭代过程中，需要确定换入变量和换出变量，然后根据换入变量和换出变量生成新的单纯形表，并重新计算机会费用和检验数。
5.重新计算机会费用和检验数
在迭代过程中，需要重新计算机会费用和检验数，以便判断新的基本可行解是否更优。如果新的基本可行解的检验数满足条件，说明已经找到最优解，可以结束迭代求解过程。否则，需要继续迭代求解。
三、运筹学单纯形法的应用实例
在实际应用中，运筹学单纯形法可以用于解决各种线性规划问题，例如资源分配问题、物流运输问题、生产计划问题等。
《运筹学》课后习题答案 第1章 线性规划与单纯形法
一、选择填空 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 二、判断正误 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 三、将下列问题化为标准型 1.1234 123412313 24237..2358 ,0,0,Max Z x x x x x x x x s t x x x x x x x =++++++≤⎧⎪-+=-⎨⎪≥≤⎩符号不限 [解] 令'22x x =-，' 44 5x x x =-，在约束1中引入非负的松弛变量6x ，约束2两边同乘以-1。整理得： '' 12345'' 123456' 123''123456 23()()7 ..23()58,,,,,0Max Z x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x =-++-⎧-++-+=⎪-+--=⎨⎪≥⎩ 即： 12345 123456123123456237..2358,,,,,0Max Z x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x =-++--++-+=⎧⎪---=⎨⎪≥⎩ 2. Min Z=-x 1+5x 2-2x 3 x 1 +x 2 - x 3 ≤ 6 1 - x 2 +3x 3 ≥ 5 x 1 + x 2 = 10 x 1 ≥ 0, x 2 ≤ 0, x 3符号不限 [x 3进行处理，令x 3 = x’3- x 4;再令x’2 = - x 2。然后对目标函数和约束条件进行标准化。 Max Z=x 1+5x 2+2x 3-2x 4 x 1 - x 2 - x 3+x 4+x 5 = 6 1 + x 2 +3x 3 - 3x 4 -x 6 = 5 x 1 - x 2 = 10 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6≥ 0 四、用图解法求解下列线性规
运筹学
1.用单纯形法求解下述问题，并指出问题的解属于哪一类。 2.分别用大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出解属于哪一类 3.已知线性规划问题： （a ）写出其对偶问题； （b ）已知原问题最优解为X*=（1,1,2,0）。试根据对偶理论，直接求成对偶问题的最优解。 ?????? ?≥≥≥≤++≤+-≤++-++=3,2,117220441322..46max 321321321321321x x x x x x x x x x x x t s x x x z ()?? ???? ?=≥=-+≤+≥++++=3,2,105421823..54max 32121321321j x x x x x x x x x t s x x x z j 123412412343413 min 86362336..2 2 0(1,,4) j z x x x x x x x x x x x s t x x x x x j =+++?++≥? +++≥?? +≥??+≥??≥=?
4.已知线性规划问题 其最优解为x 1=-5,x 2=0,x 3=-1. （a ）求k 的值； （b ）写出并求其对偶问题的最优解。 5.对于下述线性规划问题 已知最优解中的基变量为x 3,x 1,x 5,且已知 求：根据上述信息确定三种资源各自的影子价格 6.已知线性规划问题 当t 1=t 2=0时，求解得最终单纯形表如下表所示： 当t 1=t 2=0时，求解得最终单纯形表如下表所示： x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 3 5/2 ? 1 ? ??? ??≥≤≤-+-=++-+-=无约束 321 3213213 21,0,06 4..22min x x x kx x x x x x t s x x x z ??? ?? ? ?=≥≤++++≤++++≤++++++++=)5,,1(0)3(180323)2(270234)1(1803332..93648max 5432154321543215 4321 j x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x z j 资源资源资源 ???? ? ?????----=???? ? ?????-103 2 396131127 131 2 1423131 ()??? ??=≥+=++++=++++++++=)5,,1(03..00max 2 253232221212 14313212111543322111 j x t b x x a x a x a t b x x a x a x a t s x x x c x c x t c z j
《管理运筹学》第四版 第6章 单纯形法的灵敏度分析与对偶 课后习题解析
《管理运筹学》第四版课后习题解析 第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶 1．解： （1）c 1≤24 （2）c 2≥6 （3）c s 2≤8 2．解： （1）c 1≥−0.5 （2）−2≤c 3≤0 （3）c s 2≤0.5 3．解： （1）b 1≥250 （2）0≤b 2≤50 （3）0≤b 3≤150 4．解： （1）b 1≥−4 （2）0≤b 2≤10 （3）b 3≥4 5. 解： 最优基矩阵和其逆矩阵分别为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1401B ，⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=-14011 B ； 最优解变为130321 ===x x x ，，最小值变为-78； 最优解没有变化； 最优解变为2140321 ===x x x ，，，最小值变为-96； 6．解： （1）利润变动范围c 1≤3，故当c 1=2时最优解不变。 （2）根据材料的对偶价格为1判断，此做法有利。 （3）0≤b 2≤45。 （4）最优解不变，故不需要修改生产计划。 （5）此时生产计划不需要修改，因为新的产品计算的检验数为−3小于零，对原生产计划没有影响。 7. 解：
(1)设321,,x x x 为三种食品的实际产量，则该问题的线性规划模型为 ,, 4005132 4505510 35010168 325.2max 321321321321321≥≤++≤++≤++++=x x x x x x x x x x x x x x x z 约束条件： 解得三种食品产量分别为0,75.43321===x x x ，这时厂家获利最大为109.375万元。 (2)如表中所示，工序1对于的对偶价格为0.313万元，由题意每增加10工时可以多获利3.13万元，但是消耗成本为10万元，所以厂家这样做不合算。
运筹学习题解答(chap1 线性规划及单纯形法)
第一章 线性规划及单纯形法 一、写出下列线性规划的标准形式，用单纯形法求解，并指出其解属于哪种情 况。 1、P55,1.3(a) 21510m ax x x Z += ⎪⎩⎪ ⎨⎧≥≤+≤+0x ,x 8x 2x 59x 4x 3. t .s 2 12121 解：将模型化为标准型 21510x x Z Max += ⎪⎩⎪ ⎨⎧≥=++=++0,,,825943. .4 32142 13 21x x x x x x x x x x t s 单纯形表如下
因所有检验数0j ≤σ，已达最优解，最优解是)2,1(*=X ，最优目标值为2 。由 检验数的情况可知，该问题有唯一最优解。 2、 P55,1.3(b) 21x x 2Z m ax += s.t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧ ≥≤+≤+≤0 ,5 24261552121212x x x x x x x 解：将模型化为标准型 21x x 2Z Max += t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧ ≥=++=++=+0 x ,...,x ,x ,5x x x ,24x x 2x 6,15x x 552152142 132 单纯形表如下
因所有检验数0j ≤σ，已达最优解，最优解是)0,0,2 ,2,2(X *=，最有目标值为 2 17 。由检验数的情况可知，该问题有唯一最优解。 3、 3212x x x Z Min -+=， t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧≥≤++≤+-≤-+0 ,,,5,822,4223213213 21321x x x x x x x x x x x x 解：将模型化为标准型： 3212x x x Z Min -+= t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧≥=+++=++-=+ -+0 ,,,5,822,42232163 2153 214 321x x x x x x x x x x x x x x x 用单纯形法迭代
第四版运筹学部分课后习题解答
运筹学部分课后习题解答P47 用图解法求解线性规划问题 a） 12 12 12 12 min z=23 466 ..424 ,0 x x x x s t x x x x + +≥ ? ? +≥ ? ?≥ ? 解：由图1可知，该问题的可行域为凸集MABCN，且可知线段BA上的点都 为最优解，即该问题有无穷多最优解，这时的最优值为 min 3 z=2303 2 ?+?= P47 用图解法和单纯形法求解线性规划问题 a） 12 12 12 12 max z=10x5x 349 ..528 ,0 x x s t x x x x + +≤ ? ? +≤ ? ?≥ ? < 解：由图1可知，该问题的可行域为凸集OABCO，且可知B点为最优值点， 即 1 12 122 1 349 3 528 2 x x x x x x = ? += ?? ? ?? +== ?? ? ，即最优解为* 3 1, 2 T x ?? = ? ?? 这时的最优值为 max 335 z=1015 22 ?+?=
单纯形法： 原问题化成标准型为 121231241234 max z=10x 5x 349 ..528,,,0x x x s t x x x x x x x +++=?? ++=??≥? j c → 10 5 、 B C B X b 1x 2x 3x 4x 0 3x \ 9 3 4 1 0 0 4x 8 [5] 2 . 0 1 j j C Z - 10 5 0 0 0 3x 21/5 . 0 [14/5] 1 -3/5 10 1x 8/5 1 2/5 0 （ 1/5 j j C Z - 1 0 -2 5 2x 3/2 0 ； 1 5/14 -3/14 10 1x 1 1 0 -1/7 2/7 （ j j C Z - -5/14 -25/14
管理运筹学,用单纯形法求解以下线性规划问题
管理运筹学,用单纯形法求解以下线性规划问题管理运筹学是处理决策问题的重要科学，不仅根据不同目标和条件制定策略，而且可以更有效地识别和解决问题。有些决策问题往往是非线性复杂性，涉及多个因素和变量之间的复杂关系，因此，以线性规划模型的形式来处理这些问题被认为是最有效的方法之一。但是，线性规划模型的求解可能会非常困难，尤其是规模较大的问题。而单纯形法作为其中一种有效的求解方法，其有效性和灵活性，使其在管理运筹学的研究中具有重要的意义。 单纯形法是指将原始线性规划问题转换为单纯形问题，然后利用相应的单纯形算法求解该问题，以求解线性规划问题。单纯形法最早由威廉伯恩斯特（William B.Von Neumann）提出，它是利用单纯形 理论把原始线性规划问题转化为单纯形问题，然后求解单纯形问题，得到原始线性规划问题的最优解。 单纯形算法的基本步骤包括：首先，根据原始线性规划问题的约束条件，构造单纯形方程组；其次，可以以此单纯形方程组为基础，进行单纯形法的迭代；最后，根据迭代的结果来求解原始的线性规划问题。 单纯形法在管理运筹学中的应用非常广泛，它不仅可以用来求解比较复杂的线性规划问题，而且可以用来解决某些约束条件下的非线性规划问题，从而解决管理运筹学中的相关问题。另外，单纯形法还可以在企业资源规划（ERP）等管理运筹学领域的应用中发挥重要作用。
在实际应用中，单纯形法有其优缺点。优点主要有以下几点：首先，它是一种有效的求解线性规划问题的方法，可以用来解决比较复杂的问题；其次，求解步骤简单，可以在较短的时间里求得最优解；最后，它适用性强，也可以用来解决某些约束条件下的非线性规划问题。然而，单纯形法也有一些缺点，比如具有结构性特征，可能不能求解一些复杂的问题；另外，在求解比较大的问题时，运算负荷较大，效率较低。 总之，单纯形法是一种求解线性规划问题的有效方法，在管理运筹学中，它具有重要的意义和应用价值，它可以有效地解决复杂的线性规划问题，也能够解决某些特定条件下的非线性规划问题。同时，需要对单纯形法的优缺点进行充分的认识，以更好地提高求解效率，为管理运筹学的研究提供有效的求解方法。
运筹学
运筹学第2章单纯形法 2.1 单纯形法的基本思想 该方法简捷、规范，是举世公认的解决LP问，题行之有效单纯形法（Simplex Method）是美国著名运筹学家丹捷格（Dantzig）1947年首先提出的通用方法。 单纯形法不仅是解决LP问题的最基本的算法之一，而且成为解决整数规划和非线性规划某些算法的基础。 2、单纯形法的3种形式——方程组形式（代数形式）、表格形式、矩阵形式 3、单纯形法的基本思路——基于LP问题的标准形，先设法找到某个基本可行解（称 为初始基本可行解）； 开始实施从这个基本可行解向另一个基本可行解的转换，要求这种转换不仅容易实现，而且能改善（至少保持）目标函数值； 继续寻找更优的基本可行解，进一步改进目标函数值。当某一个基本可行解不能再改善时，该解就是最优解。（或者是出现无可行解、无最优解、无穷多最优解的情况） 2.1.1 方程组形式的单纯形法 例1 一个企业需要同一种原材料生产甲、乙两种产品，它们的单位产品所需要的原材料的数量及所耗费的加工时间各不相同，获得的利润也不相同（如下表）。请问，该企业应如何安排生产计划，才能使获得的利润达到最大？ 解：该问题的LP模型为： 将该问题的LP模型化为标准形 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ ≤ + ≤ + + = , 120 2 4 100 3 2 .. 4 6 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x t s x x z m ax
函数约束的增广矩阵为： 很显然 R （A ） = R （A ，b ）= 2 < 5，即该方程组有无穷多组解。 系数矩阵为： 决策变量向量为： 选取 为基，则 为基变量， 为非基变量 令非基变量 ，则可以得到一基本 可行解为： 下面的计算都是以它为初始点逐次实施转 换，故将其称为初始基本可行解。此时，Z=0，其经济含义为：该企业没 有安排甲、乙两种产品的生产，当然也就没有利润可言。 条典 ☐ 初始基本可行解所对应的可行基是一个m 阶的单位阵； ☐ 目标函数表达式中所有的基变量的系数全部为0。 ☐ 这是单纯形法所必需的！！！ ☐ 分析目标函数表达式 ☐ 非基变量的系数都是正数，若将它们转换为基变量，目标函数值则就会可能增加。 ☐ 经济含义：每分别多生产一个单位产品甲、乙，目标函数值分别增加6、4，即利润 分别增加600元、 400元。 ☐ 增加的单位产品对目标函数的贡献值，这就是检验数的概念。 ☐ 只要目标函数表达式中还存在正检验数，就需要把它所对应的非基变量变为基变 量！ 单纯形法一次只能把一个非基变量变为基变量 ⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≥=++=+++=0,,,120 24100 32 ..46 4 3214 213 212 1x x x x x x x x x x t s x x z m ax ()⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=12010241000132b A,() 432110240132α α α α=⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=A () T x x x x X 4321,,,=()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==100143ααB 43,x x 21,x x 021==x x ( ) T X 120 ,100 ,0 ,00 =4 3210046 x x x x z max +++=43210046 x x x x z max +++=
《管理运筹学》第四版 第5章 单纯形法 课后习题解析
《管理运筹学》第四版课后习题解析 第5章单纯形法 1．解： 表中a 、c 、e 、f 是可行解，f 是基本解，f 是基本可行解。 2．解： （1）该线性规划的标准型如下。 max 5x 1＋9x 2＋0s 1+0s 2+0s 3 s.t. 0.5x 1＋x 2＋s 1＝8 x 1＋x 2－s 2＝10 0.25x 1＋0.5x 2－s 3＝6 x 1，x 2，s 1，s 2，s 3≥0 （2）至少有两个变量的值取零，因为有三个基变量、两个非基变量，非基变量取零。 （3）（4，6，0，0，-2）T （4）（0，10，-2，0，-1） T （5）不是。因为基本可行解要求基变量的值全部非负。 （6）略 3.解： 令33 3x x x ''-'=，z f -=改为求f max ；将约束条件中的第一个方程左右两边同时乘以-1，并在第二和第三个方程中分别引入松弛变量5x 和剩余变量6x ，将原线性规划问题化为如下标准型： j x '、j x ''不可能在基变量中同时出现，因为单纯性表里面j x '、j x ''相应的列向量是相同的，只有符号想法而已，这时候选取基向量的时候，同时包含两列会使 选取的基矩阵各列线性相关，不满足条件。 4．解： （1） 表5-1 0,,,,,, 24423 1863 1334 7234max 65433 21633 21543321433 214 321≥'''=-''+'--=++''+'-+-=+''+'---++-=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f 约束条件：
（2）线性规划模型如下。 max 6x 1＋30x 2＋25x 3 s.t. 3x 1＋x 2＋s 1=40 2x 2＋x 3＋s 2=50 2x 1＋x 2-x 3＋s 3＝20 x 1，x 2，x 3，s 1，s 2，s 3 ≥0 （3）初始解的基为（s 1，s 2，s 3） T ，初始解为（0，0，0，40，50，20）T ，对应的目标函数值为0。 （4）第一次迭代时，入基变量时x 2，出基变量为s 3。 6. 解： （1）当现行解为可行解，并且对应的非基变量检验数均小于0时，该线性规划问题才有唯一最优解，即01≥k ，03 运筹学单纯形法讲解 一、单纯形法基本概念 在运筹学中，单纯形法是一种在给定点搜索可行解集合的一种技术。设有m个点x、 y、 z分布在两点P、 Q，它们是相互独立的，这样的点组成了单纯形。单纯形是可以用于求解最优化问题的一种简单的对象，因而又称为对象或对象群。由单纯形求出的最优解就叫做单纯形的最优解。在实际应用中，一般用来求最优解的都是单纯形。 二、单纯形法适用条件和范围 在运筹学中，单纯形法常用于求解线性规划、非线性规划和整数规划等，还可以求解网络的流量、质量等。但当运输问题用单纯形法求解时，解不存在，无最优解，也无单纯形。非线性规划只能得到对象最优解。 三、单纯形法具体步骤和算法介绍 1、明确问题的目标。 2、计算出所有解，按确定的先后顺序排列。 3、计算出各解在横坐标上的相对位置，即计算每个解在左右方向上的距离，再根据此距离大小，取其中的最小值作为该点的最优解。 四、单纯形法的误差和精度 1、明确问题的目标。一般在最优化问题中，用最小值对准目标是最理想的，但是在实际工程应用中，人们往往要求越多越好，甚至有时只要求几个较小的值。但要注意所得结果的可靠性和正确性，也要尽可能减少计算过程中的误差。 2、计算出所有解，按确定的先后顺序排列。首先，找出最优解，再在这个最优解附近寻找另外的比最 优解更好的最优解，直到所有点都达到满意的精度。这种方法称为“穷举法”。穷举法通常用于没有更好的方法时，常用于工程实际中。 3、计算出各解在横坐标上的相对位置，即计算每个解在左右方向上的距离，再根据此距离大小，取其中的最小值作为该点的最优解。 4、单纯形法的误差：由于人们认识上的错误或操作不当造成的，如排除法的计算次数与数据采集次数之比，以及采样值的平均数与真值之比，与取值的个数有关，与取值的精度也有关，必须合理确定取值范围。 5、单纯形法的精度：根据问题的规模，计算数据量和计算次数，反复调整取值点，改进计算方法，从而得到尽可能高的精度。单纯形法的精度可达0．01或0．05。 3、为了缩小搜索空间。 4、便于修改搜索方向。 5、增加信息，使决策者有更多机会了解全局情况。 1 3 第一章线性规划与单纯形法运筹学习题集第一章线性 规划与单纯形 1 3 第一章 线性规划与单纯形法 运筹学习题集 第一章线性规划与单纯形法 复习思考题 1. 试述线性规划数学模型的结构及各要素的特征。 2. 求解线性规划问题时可能出现哪几种结果?哪些结果反映建模时有错误? 3. 什么是线性规划问题的标准形式?如何将一个非标准型的线性规划问题转化为标准形式? 4. 试述线性规划问题的可行解、基解、基可行解、最优解的概念以及上述解之间的相互关系。 5. 试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解? 6. 如果线性规划的标准型变换为求目标函数的极小化min z，则用单纯形法计算时如何判别问题已得到最优解? 7. 在确定初始可行基时，什么情况下要在约束条件中增添人工变量?在目标函数中人工变量前的系数为(-M)的经济意义是什么? 8. 什么是单纯形法计算的两阶段法?为什么要将计算分成两个阶段进行,如何根据第一阶段的计算结果来判定第二阶段的计算是否需要继续进行? 9. 简述退化的含义及处理退化的勃兰特规则。 10. 举例说明生产和生活中应用线性规划的可能案例，并对如何应用进行必要 描述。 11. 判断下列说法是否正确: (a) 图解法同单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的; (b) 线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大; (c) 线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点; (d) 如线性规划问题存在可行域，则可行域一定包含坐标的原点; (e) 对取值无约束的变量xj，通常令xj=x′j-x″j，其中x′j?0，x″j?0， 在用单纯形法求得的最优解中有可能同时出现x′j,0，x″j,0; (f) 用单纯形法求解标准型的线性规划问题时，与σj,0对应的变量都可以被 选作换入变量; (g) 单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负; (h) 单纯形法计算中，选取最大正检验数σk对应的变量xk作为换入变量， 将使目标函数值得到最快的增长; (i) 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，则该变量及相应列的数字可 以从单纯形表中删除，而不影响计算结果; (j) 线性规划问题的任一可行解都可以用全部基可行解的线性组合表示; (k) 若X1，X2分别是某一线性规划问题的最优解，则X=λ1X1+λ2X2也是该线性规划问题的最优解，其中λ1、λ2可以为任意正的实数; (l) 线性规划用两阶段法求解时，第一阶段的目标函数通常写为min z=?ixai(xai为人工变量)，但也可写为min z=?ikixai,只要所有ki均为大于零的常数; 第一章线性规划及单纯形法 1．用*j 〔j=1.2…5〕分别代表5中饲料的采购数，线性规划模型： 2.解：设123456x x x x x x *表示在第i 个时期初开场工作的护士人数，z 表示所需的总人数，则 3．解：设用i=1，2，3分别表示商品A ，B ，C ，j=1，2，3分别代表前，中，后舱，*ij 表示装于j 舱的i 种商品的数量，Z 表示总运费收入则： 5.〔1〕 Z = 4 〔2〕 解：如图：由图可得： 即该问题具有唯一最优解*(10,6)T x = 〔3〕 无可行解 (4) 如图： 由图知，该问题具有无界解。 6〔1〕 〔2〕 7．1〕系数矩阵A ：364)120C ⎛⎫ ⎪ - ⎪ ⎪-⎝⎭ =12345612363008102 0＝（p p p p p p 30000种组合 〔B ，b 〕=040⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎭⎝⎭12 3691008110＝0 116/33 00 1 -7/6 ∴y1=〔0，16/3，-7/6，0，0，0〕T 同理y2=〔0，10，0，-7，0，0〕T y3=〔0，3，0，0，7/2，0〕T y4=〔7/4，-4，0，0，0，21/4〕T y5=〔0，0，-5/2，8，0，0〕T y6=〔0，0，3/2，0，8，0〕T y7=〔1，0，-1/2，0，0，3〕T y8=〔0，0，0，3，5，0〕T y9=〔5/4，0，0，-2，0，15/4〕T y10=〔0，3，-7/6，0，0，0〕T y11=〔0，0，-5/2，8，0，0〕T y12=〔0，0，-5/2，3，5，0〕T y13=〔4/3，0，0，0，2，3/4〕T y14=〔0，10，0，-7，0，0〕T y15=〔0，3，0，0，7/3，0〕T y16=〔0，0，3/2，0，8，0〕T 基可行解：〔每个*值都大于0〕，〔y3，y6，y8，y12，y13，y15，y16〕 最优解：〔y3，y6，y15，y16〕Z ma*=3 [p2 p3 p4]，[p2 p3 p5]，[p3 p4 p5]，[p2 p4 p5]为奇异，∴只有16个基。解：〔2〕该线性问题最多有246 C=个根本解。 8.基的定义 106 21350 314 B==-≠ ∴*1 *2 *3所对应的列向量可以构成基 B 由*1 *2 *3列向量构成= 106 213 314⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ N 由非基变量对应的向量构成= 35 41 20⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 目录 一．摘要 (2) 二．实验目的 (2) 三．实验内容 (2) 四．建立数学模型 (3) 五．实验原理 (5) 六．MALTAB程序代码及注释 (7) 七．结果运行测试 (13) 八．心得与感悟 (15) 一．摘要： 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法,英文缩写LP。 自1946年G.B.Dantizig提出单纯形法以来，它一直是求解线性规划问题的最有效的数学方法之一。单纯形法的理论根据是：线性规划问题的可行域是 n 维向量空间Rn中的多面凸集,其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。通过引入普通单纯形法，依次迭代并判断，逐步逼近，最后得到最优解。若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解，再鉴别；若仍不是，则再转换，按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。如果问题无最优解也可用此法判别。 关键字：线性规划，单纯形法，最优值，最优解 二．实验目的： 1.加强学生分析问题能力，锻炼数学建模能力。 2.了解并掌握MATLAB软件中的线性规划问题的编程、求解和分析。 3.利用所学的MALTAB语言，完成对单纯形法问题的编程设计。 三．实验内容： 某商场决定，营业员每周连续工作5天后连续休息2天，轮流休息，据统计，商场每天需要营业员如下：星期一：300，二：300；三：350，四：400，五：480，六：600；日：500； （1）商场人力资源部应如何安排每天上班的人数才能使商场总的营业员最少 （2）若商场可以雇佣临时工，上班时间同正式工，若正式工每天工资80，临时工每天100，问商场是否应雇佣临时工及雇佣多少名？ 运筹学元素差额法例题 运筹学单纯形法例题求解过程直接加入两个剩余变量和人工变量，然后运用单纯形表进行迭代。1、不过目标函数是MIN，所以目标函数应该是MINf=x1+x2+Mx4+Mx6，或者转化为MAX的情况就可以了，加个负号而已。总之，转化为标准形式，然后按照标准形式用单纯形表迭代，我没算，估计迭代2-3次就可以了，计算量不大。用对偶理论，我用这个写的，快很多，就是将S.T.中的条件换个形式，如果你学过就知道，这样讲很麻烦，但是转换非常简单，用SOB方法，转化后的对偶问题就是标准形式了，然后再用单纯形表迭代，用互补基本解的特性就可以了，先划LP标准型2、看是否有现成的可行基(之后看检验数，换基迭代将x2当成y，x1当成x2、这三个约束方程在x-y平面上形成了一个区域，这种线性问题的解都在区域的角上，比较以下各角的x+y的大小，就知道在(10，6)取得最大值，因此解为x1=10，x2=6，z=16)3、没有现成的可行基就用两阶段法先求解辅助问题，判断原问题是否有可行基求目标函数最大值SH,次大值SG,最小值SL,及其X对应列的位置 [SH,iXH]=max(S);[SL,iXL]=min(S);S(:,iXH)=[];[SG,iXG]=max(S) ;if iXH<=iXG iXG=iXG+1;end:计算反射点 n=length(XH);XR=zeros(n,1);for i=1:n+1 XR=XR+X(:,i);endXR=2*(XR-XH)/n-XH;单纯形法和图解法都可以求解线性规划问题,图解法适用于两个变量的线性规划问题,而单纯形法适用于任意个变量的问题.图解法还可用于揭示线性规划问题可行 第一章 线性规划 1、 由图可得：最优解为 2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2 ⎪⎪⎩⎪⎪ ⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058 2442 12121x x x x x x 解： 由图可得：最优解x=1.6,y=6.4 Max z=5x 1+6x 2 ⎪ ⎩⎪ ⎨⎧≥≤+-≥-0 ,23222212 121x x x x x x 解： 由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞ Maxz = 2x 1 +x 2 ⎪⎪⎩⎪⎪ ⎨ ⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x 由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2 3 21x x max Z = 8. 12 12125.max 2328416412 0,1,2maxZ .j Z x x x x x x x j =+⎧+≤⎪ ≤⎪⎨ ≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为2 6将线性规划模型化成标准形式： Min z=x 1-2x 2+3x 3 ⎪⎪⎩⎪⎪ ⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束 321 321321321,0,05232 7x x x x x x x x x x x x 解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中 x 3’≥0,x 3’’≥0 Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’ ⎪⎪⎩⎪⎪ ⎨ ⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0 ,0,0'',0',0,05 232 '''7'''543321 3215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 《运筹学》习题（二） 班级姓名 一、判断题 1、无约束的变量xj，通常令 ，其中 ，在用单纯形法求得的最优解中有可能同时出现 。 2、用单纯形法求解标准形的线性规划问题时，与 对应的变量都可以被选作换入变量。 3、单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负。 4、单纯形法计算中，选取最大正检验数 对应的变量xk作为换入变量，将使目标函数值得到最快的增长。 答： 二、单纯形法迭代中，任何从基变量中替换出来的变量，在紧接着的下一次迭代中，会不会再进入基变量中？为什么？ 答： 三、下表为用单纯形法计算时某一步的表格，已知该线性规划问题中目标函数为 ，约束条件均用“≤”关系连接， , 为松弛变量，该表中解代入目标函数可得z =10。求a---g的值；问此表所给的解是否为最优解。 2 a c d e 1 0.2 1 cj?-?zj b -1 f g 答： 四、用单纯形法求解下述问题： max S=x1+x2 2x1+x2≤8 2x1+5x2≤20 x1+x2≤5 x1, x2≥0 解：加入松弛变量，用单纯形法解得如下： Cj→ 1 1 0 0 0 θi CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 0 0 0 X3 X4 X5 8 20 5 2* 2 1 1 5 1 1 1 1 -S 0 1 1 0 0 0 ←λj 1 0 0 X1 X4 X5 4 12 1 1 1/2 4 1/2* 1/2 -1 -1/2 1 1 -S -4 0 1/2 -1/2 0 0 ←λj 1 0 1 X1 X4 X2 3 4 2 1 1 1 3 -1 1 -1 -8 2 -S -5 0 0 0 0 -1 ←λj 五、试利用两阶段法第一阶段的求解，找出下述方程组的一个可行解，并利用计算得到的最终单纯形表说明该方程组有多余方程。 解： 附《运筹学》习题（二）答案 一、1、对（因为 的系数列向量只差一个符号，所以它们线性相关，不可能是某个可行基中的两列，因此在同一个基可行解中不可能出现 ）；2、对；3、对；4、错。 盐城师范学院 运筹学期末论文 题目: 用单纯形法解决线性规划问题**: ** 二级学院: 数学科学学院 专业: 数学与应用数学 班级: 111 班 学号: ******** 成绩评定: 前言 线性规划问题是数学以及日常生活中最基本的问题之一，如何快速有效的解决线性规划问题是数学家也在努力研究的科目之一。以前中学时我们解决线性规划问题一般采用的是图解法，即画出所给条件的可行域，找出目标函数的最优解。这种方法的优点是直观性强，计算方便，但缺点是只适用于问题中有两个变量的情况。下面我们介绍另外一种方法—单纯形法，来解决图解法不能解决的问题。 1 单纯形法 1.1 单纯形法的基本思路 利用求线性规划问题基本可行解的方法求解较大规模的问题是不可行的。有选择地取基本可行解，即从可行域的一个极点出发，沿着可行域的边界移动到另一个相邻的极点，要求新极点的目标函数值不比原目标函数值差。在线性规划的可行域中先找出一个可行解，检验它是否为最优解，如果是最优解，计算停止；如果不是最优解，那么可以判断线性规划无有限最优解，或者根据一定步骤得出使目标函数值接近最优值的另一个基本可行解。由于基本可行解的个数有限，所以总可以通过有限次迭代，得到线性规划的最优基本可行解或判定线性规划无有限最优解。 1.2 单纯形法的基本步骤 第1步求初始基可行解，列出初始单纯形表。 对非标准型的线性规划问题首先要化成标准形式。由于总可以设法使约束方程的系数矩阵中包含一个单位矩阵（P1,P2，…，Pm），以此作为基求出问题的一个初始基可行解。 为检验一个基可行解是否最优，需要将其目标函数值与相邻基可行解的目标函数值进行比较。为了书写规范和便于计算，对单纯形法的计算设计了一种专门表格，称为单纯形表（见表1—1）。迭代计算中每找出一个新的基可行解时，就重画一张单纯形表。含初始基可行解的单纯形表称初始单纯形表，含最优解的单纯形表称最终单纯形表。 第2步：最优性检验 第四版运筹学部分课后习题解答 篇一：运筹学基础及应用第四版胡运权主编课后练习答案 运筹学基础及应用习题解答 习题一P461.1(a) 4 1 的所有?x1,x2?，此时目标函数值2 该问题有无穷多最优解，即满足4x1?6x2?6且0?x2?z?3。 (b) 用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解。1.2 (a)约束方程组的系数矩阵 ?1236300A??81?4020? ?30000?1 最优解x??0,10,0,7,0,0?T。(b) 约束方程组的系数矩阵 ?123 4?A2212?? ?? ?211? 最优解x??,0,,0?。 5??5 T 1.3 (a) (1) 图解法 最优解即为? ?3x1?4x2?935?3? 的解x??1,?，最大值z? 5x?2x?822??2?1 (2)单纯形法 首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式max z?10x1?5x2?0x3?0x4?3x?4x2?x3?9s.t. ?1 ?5x1?2x2?x4?8 则P3,P4组成一个基。令x1?x2?0 得基可行解x??0,0,9,8?，由此列出初始单纯形表?1??2。??min?,89??53? 8 5 ?2?0，??min??218?3,?? 142?2? 335 ?1,?2?0，表明已找到问题最优解x1?1, x2?,x3?0 ,x4?0。最大值z*? 22 (b) (1) 图解法 6x1?2x2x1?x2? 最优解即为? ?6x1?2x2?2417?73? 的解x ??,?，最大值z? 2?22??x1?x2?5 (2) 单纯形法 首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式max z?2x1?x2?0x3?0x4?0x5?5x2?x3?15? s.t. ?6x1?2x2?x4?24 ?x?x?x?5?125 则P3，P4，P5组成一个基。令x1?x2?0 得基可行解x??0,0,15,24,5?，由此列出初始单纯形表 ?1??2。??min??,?? 245?,??4 61? 3?3?15 ,24,?? 2?2?5 运筹学习题答案及注释 2.3 已知某求极大化线性规划问题用单纯形法求解时的初始单纯形表及最终单纯形表如表2-32所示，求表中各括弧内未知数的值。 注释：由题中初始单纯形表及、最终单纯形表，我们可以看出：在初始单纯形表中，先选x 1进基，选x 5出基，做变换；然后再选x 2进基，选x 6出基，做变换，则得到最终单纯形表。 2.7 给出线性规划问题。 max 432142x x x x z +++= st. ⎪⎪⎪⎩⎪ ⎪⎪⎨⎧≥≤++≤++≤+≤++0 ,,,9 6628343213 2143221421x x x x x x x x x x x x x x x 要求：（1）写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为X*=（2，2，4，0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。 解：（1）其对偶问题为： min 43219668y y y y w +++= st. ⎪⎪⎪⎩⎪ ⎪⎪⎨⎧≥≥+≥++≥+++≥++0 ,,,9 1432243213 14324321421y y y y y y y y y y y y y y y y （2）用单纯形法解原问题，将原问题化成标准形式如下： max 87654321000042x x x x x x x x z +++++++= st. ⎪⎪⎪⎩⎪ ⎪⎪⎨⎧≥=+++=+++=++=+++0 ,,,,,,,9 66283876543218 32174326215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 因此，可得如下单纯形表： 因1≥0，所以选x 进基，因（10/3）/（5/3）≤3/1≤（8/3）/（1/3），故选x 出基，则得运筹学单纯形法讲解
1 3 第一章线性规划与单纯形法运筹学习题集第一章线性规划与单纯形
运筹学课后习题答案
用单纯形法求解线性规划问题
运筹学元素差额法例题
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运筹学习题2-单纯形法
用单纯形法解决线性规划问题
第四版运筹学部分课后习题解答
运筹学习题答案注释(第2章)