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第二章

2.5 表2-3为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线性规划的目标函数为12max 53z x x =+，约束形式为≤，34,x x 为松弛变量，表中解代入目标函数后得10z =。

(1)求a ~g 的值；

(2)表中给出的解是否为最优解。

解：a=2,b=0,c=0,d=1,e=4/5,f=0,g=5；表中给出的解为最优解。

2.6 表2-4中给出某求最大化线性规划问题的初始单纯形表及迭代后的表，45,x x 为松弛变量，求表中a ~l 的值及各变量下标m ~t 的值。

解：a=-3,b=2,c=4,d=-2,e=2,f=3,g=1,h=0,i=5,j=-5,k=3/2,l=0；变量的下标为m—4,n—5,s—1,t—6

2.10 下述线性规划问题：

要求根据以上信息确定三种资源各自的影子价格。 2.11 某单位加工制作100套工架，每套工架需用长为2.9m 、2.1m 和1.5m 的圆钢各一根。已知原材料长7.4m 。问如何下料使得所用的原材料最省？

解：简单分析可知，在每一根原材料上各截取一根2.9m,2.lm 和1.5m 的圆钢做成一套工架，每根原材料剩下料头0.9m ，要完成100套工架，就需要用100根原材料，共剩余90m 料头。若采用套截方案，则可以节省原材料，下面给出了几种可能的套截方案，如表2-5所示。

实际中，为了保证完成这100套工架，使所用原材料最省，可以混合使用各种下料方案。

设按方案A,B,C,D,E 下料的原材料数分别为x 1,x 2,x 3,x 4,x 5，根据表2-5可以得到下面的线性规划模型

12345124345

1235min 00.10.20.30.82100

22100..3231000,1,2,3,4,5

i z x x x x x x x x x x x s t x x x x x i =++++++=⎧⎪++=⎪⎨

+++=⎪⎪≥=⎩

用大M 法求解此模型的过程如表2-6所示，最优解为：x *=(0,40,30,20,0)T ，最优值为

z*=16。

求解该问题的LINGO程序如下：

model:

sets:

row/1..3/:b;

arrange/1..5/:x,c;

link(row,arrange):a;

endsets

data:

b=100,100,100;

c=1,0.1,0.2,0.3,0.8;

a=1,2,0,1,0,0,0,2,2,1,3,1,2,0,3;

enddata

min=@sum(arrange(j):c(j)*x(j));

@for(row(i):@sum(arrange(j):a(i,j)*x(j))=b(i););

end

运行该程序后，也立即可以得到最优解为：x *=(0,40,30,20,0)T ，最优值为z*=16。即按方案B 下料40根，方案C 下料30根，方案D 下料20根，共需原材料90根就可以制作完成100套工架，剩余料头最少为16m 。

2.13 某昼夜服务公交公司的公交线路每天各时段内所需要司机和乘务人员如表2-9所示。

设司机和乘务人员分别在各时段开始时上班并连续工作8小时。问该公司公交线路应如何安排司机和乘务人员，使得既能满足工作需要，又使配备的总人数最少？（本科生仅需建立问题的数学模型）

解：设x i 为安排从第i 班次开始时上班的人数，则该问题的数学模型为

6

16112233445

56min 607060..50

20300,1,2,...,6

i

i i z x x x x x x x s t x x x x x x x i ==+≥⎧⎪

+≥⎪⎪+≥⎪+≥⎨⎪+≥⎪⎪+≥⎪

≥=⎩∑ 求解此模型得到最优解：**

(40,30,30,20,0,30),150T x z ==。

2.18 现有线性规划问题

123123123123

max 5513320..1241090

,,0z x x x x x x s t x x x x x x =-++-++≤⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩ 先用单纯形法求出最优解，然后分析在下列各种条件下，最优解分别有什么变化？

（1）约束条件①的右端项系数由20变为30；

（2）约束条件①的右端项系数由90变为70； （3）目标函数中3x 的系数由13变为8；

解：在上述LP 问题的第①、①个约束条件中分别加入松弛变量x 4,x 5得

① ②

123451234

123512345

max 551300320..1241090

,,,,0z x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x =-++++-+++=⎧⎪+++=⎨⎪≥⎩

列出此问题的初始单纯形表并进行迭代运算，过程如表2-12所示。

由表2-12中的计算结果可知，LP 问题的最优解X *=(0,20,0,0,10)T ，z *=5*20=100。 （

1）约束条件①的右端项系数由20变为30，则有

1103030419030B b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤

==⎢⎥⎢⎥⎢⎥

--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 列出单纯形表，并利用对偶单纯形法求解，过程如表2-13所示。

由表2-13中计算结果可知，LP 问题的最优解变为**(0,0,9,3,0),139117T X z ==⨯=。 （2）约束条件①的右端常数由90变为70，则有

1102020417010B b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭

列出单纯形表，并利用对偶单纯形法求解，结果如表2-14所示。

由表2-14结果知，LP 问题的最优解变为**(0,5,5,0,0),5513590T X z ==⨯+⨯=。 （3）目标函数中x 3的系数由13变为8，由于x 3是非基变量，其检验数变为

38530(2)70σ=-⨯-⨯-=-< 所以LP 问题的最优解不变。

第三章

3.5 某服装厂可生产三种服装，生产不同类型的服装要租用不同的设备，设备租金和其他经济数据见表3-4。假定市场需求不成问题，服装厂每月可用人工2000小时，该厂如何安排生产可使每月的利润最大？试建立此问题的数学模型。

解：设i x 为第i 类服装的月产量，10i i y ⎧=⎨⎩生产第类服装

否则

123123max 12010100500020003000z x x x y y y =++---

s.t. 1231

1223

354200033000.548026000,01

i i x x x x y

x y x y x y or ++≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎪=⎪⎩且为整数

3.6某部队现有5种武器装备储存管理，存放量分别为a i (i =1,…,5)。为了安全起见，拟分为8个仓库存放，各仓库的最大允许存放量分别为b j (j =1,…,8),且有

58

11i j i j a b ==≤∑∑。

一种武器装备可以分多个仓库存放，但每个仓库只能存放一种，也只能整件存放。已知第i

种武器装备每单位在第j 个仓库存放一年的费用为c ij 。第j 个仓库固定费用为每年d j 元，

但若仓库不存放则没有费用。要求设计一个使总费用最小的存储方案，试建立相应的优化模型。

解：设x ij 为第i 种武器装备在仓库j 中存放的数量，

1,0,ij i j y ⎧=⎨

⎩第种武器装备存放在第个仓库中其他

min

*(*)

,,,..1,01,ij

ij

j ij j

i ij

i

j ij j ij ij i ij ij c x d y x a i x b y i j

s t y j x y i j

+⎧=∀⎪

≤∀⎪⎨

≤∀⎪⎪

∀⎩∑∑∑∑∑∑为整数，且为或， 3.7 某地准备投资D 元建民用住宅。可以建住宅的地点有n 处：A 1、A 2、……、A n 。A j

处每幢住宅的造价为d j ，最多可造a j 幢。问应当在哪几处建住宅，分别建几幢，才能使建造的住宅总数最多，试建立问题的数学模型。

解：在A j 地所建住宅的数量为x j ，

1,0,j j A y ⎧⎪=⎨⎪⎩在地建住宅否则

则该问题的数学模型为

1

1

max ,01,n

j

j j j j

n

j j j j

j z x x a y d x D x y or j

===⎧≤⎪⎪

≤⎨⎪⎪=∀⎩∑∑为整数 3.9某部门有3个生产同类产品的工厂(产地)，生产的产品由4个销售点(销地)出售，各工厂的生产量、各销售点的销售量(假定单位均为吨)以及各工厂到各销售点的单位运价(元/吨)如表3-5所示，要求研究产品如何调运才能使得总运费最小。试建立该问题的数学模型，并采用表上作业法求出最佳的调运方案（要求用最小元素法找到初始调运方案）。

解：数学模型：

1112131421222324

31323334

111213142122

232431323334112131122232132333142434min 41241121039851161610

2281412140,,ij

z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i j =++++++++++++++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎪

++=⎪⎨

++=⎪⎪++=⎪

++=⎪⎪≥∀⎩

利用最小元素法，求得的初始解

非基变量的检验数：

由于非基变量x24的检验数为负，所以初始解不是最优解，x24进基，在闭回路{x24,x23,x13,x14}中进行运量调整，得到新的调运方案：

重新计算检验数：

计算得到的总运费为：12*4+4*11+8*2+2*9+14*5+8*6=244. 有多个最优解！

3.14某公司有3个生产同类产品的工厂，生产的产品由4个销售点销售。各工厂的生产量、各销售点的销售量以及各工厂到各销售点的单位产品运价如表3-20所示。问该公司应如何调运产品，在满足各销售点的需要量前提下，使总的运费为最小。

解：（1）求初始调运方案

①方法一：利用最小元素法求得的初始调运方案如表3-21所示。

①方法二：利用伏格尔法求得的初始调运方案如表3-22所示。

表3-22

（2）最优解的判别

得到运输问题的初始基可行解后就要判别这个解是否为最优解，判别的方法是计算非基变量即空格的检验数。因运输问题的目标函数是要求实现最小化，所以当所有的非基变量检验数全都大于等于0时为最优解。下面分别使用两种求空格检验数的方法。

①方法一：闭回路法

对于表3-22所示的初始调运方案，利用闭回路法计算所有空格的检验数，如表3-23所示。

这时检验数均为正数，所以表3-22给出的方案即为最有调运方案。

①方法二：位势法

联立方程：

u1+v3=3, u1+v4=10, u2+v1=1, u2+v4=8, u3+v2=4, u3+v4=5

令v4=0得

1

2

3

10

8

5

u

u

u

=

⎧

⎪

=

⎨

⎪=

⎩

，

1

2

3

4

7

1

7

v

v

v

v

=-

⎧

⎪=

⎪

⎨

=-

⎪

⎪=

⎩

。

对于表3-22所示的初始调运方案，利用位势法计算所有空格的检验数，结果与用闭回路法得到的结果相同。

最优调运方案：A1→B2 5t,A1→B4 4t,A2→B1 3t,A2→B3 1t,A3→B3 7t，最小运费78元。

第四章

4.3 某厂生产A 、B 、C 三种产品，装配工作在同一生产线上完成，三种产品时的工时消耗分别为6、8、10小时，生产线每月正常工作时间为200小时；三种产品销售后，每台可获利分别为500、650和800元；每月销售量预计为12、10和6台。

该厂经营目标如下：（1）利润指标为每月16000元，争取超额完成；（2）充分利用现有生产能力；（3）可以适当加班，但加班时间不得超过24小时；（4）产量以预计销售量为准。试建立目标规划模型。

解：该问题的数学模型如下：

112233444556612311123222

331442553

66123min ()50065080016000681020024

s.t. 12

106

,,0,,0i i Z p d p d p d p d d d d d d x x x d d x x x d d d d d x d d x d d x d d x x x d d --+-+-+-+-+-+

+-+-+-+-+-+

=+++

++++++++-=+++-=+-=+-=+-=+-=≥≥(1,2,,6)

i ⎧⎪⎪⎪⎪⎪

⎨⎪⎪

⎪⎪=⎪⎩ 4.4 已知条件如表4-9所示。

如果工厂经营目标的期望值和优先等级如下： P 1: 每周总利润不得低于10000元；

P 2: 因合同要求，A 型机每周至少生产10台，B 型机每周至少生产15台；

P 3: 希望工序①的每周生产时间正好为150小时，工序①的生产时间最好用足，甚至可适当加班。

(1) 试建立这个问题的目标规划模型。

(2) 如果工序①在加班时间内生产出来的产品，每台A 型机减少利润20元，每台B 型机减少利润25元，并且工序①的加班时间每周最多不超过30小时，这是P 4级目标，试重

新建立这个问题的目标规划模型。

解：(1) 目标规划模型：

1122334451211122233

12441

255min (300450)()

30045010000

10 15s.t. 4 6150 3 27f p d p d d p d d d x x d d x d d x d d x x d d x x d d --

--+--+-+

-+-+

-+=+++++++-=+-=+-=++-=++-=120

,,,0 1,2,3,4,5

i i x x d d i -+⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪≥=⎩

(2) 设x 1,x 2分别为在正常时间和加班时间生产A 型机台数，x 3,x 4 分别为在正常时间和加班时间生产B 型机台数，目标规划数学模型为：

112233445461234111222343min (300450)()30028045042510000 10 ..f p d p d d p d d d p d x x x x d d x x d d x x d s t ----+

-+

-+-+

=++++++++++-=++-=++3123444123455566

123415

4 4 6 6 150 3 3 2 270 30

,,,,,0 1,2,3,4,5,6

i i d x x x x d d x x x x d d d d d x x x x d d i -+-+-+

+-+-+

⎧-=++++-=++++-=+-=≥=⎪⎪⎪⎪

⎪⎨⎪⎪⎪⎪

⎪⎩

第七章

7.1 在下列矩阵中确定p 和q 的取值范围，使得该矩阵在22(,)a b 交叉处存在鞍点。

（1）12312316510623b b b a q a p a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （2）123

12324510746b b b a a q a p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

解：(1) p>=5,q<=5; (2) p<=7,q>=7

7.3 下列矩阵为局中人A,B 对策时局中人A 的赢得矩阵，先尽可能按优超原则简化，再用线性方程组求解方法求局中人A,B 各自的最优策略及对策值。

（1） （2） （5）33024122112001

31-⎡⎤⎢⎥

---⎢

⎥-⎢⎥⎢

⎥--⎣⎦ （6）2

4

0248262

0424

2

2

0-⎡⎤⎢⎥⎢

⎥-⎢⎥⎢⎥---⎣⎦

解：(1) 矩阵中第3列优超于第4列，第1列优超于第3列，所以划去第3列和第4列

得到新的赢得矩阵

11014220

4A ⎡⎤⎢⎥-⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

矩阵A 1中，第3行优超于第1行，第4行优超于第2行，在矩阵A 1中划去第1行和第

2行得新赢得矩阵A 2：

22204A ⎡⎤

=⎢⎥

⎣⎦

在赢得矩阵A 2中存在鞍点a 11=2而a 11为原赢得矩阵的第3行第1列元素，所以原矩阵对策的解为31(,),2G v αβ=。

（2）由于第3行优超于第2行，第4行优超于第1行，故可划去第1、2行，得到新的赢得矩阵

1739594687660883A ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

对于A 1，第2列优超于第3、4、5列，得到

2734660A ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

对于A 2，第1行优超于第3行，故可划去㬬3行，得到 37346A ⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦ 易知A 3没有鞍点，故求解

343434

74361

x x v x x v x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 12121273461y y v y y v y y +=⎧⎪

+=⎨⎪+=⎩

得到*

***34121211,,,,53322

x x y y v =====，所以原矩阵对策的一个解为

10341

401

22230

41

1-⎡⎤⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

34

03050259739594687660

88

3⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

**12110,0,,,0,,,0,0,0,53322T

T

G x y v ⎛⎫⎛⎫

=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

（5）*(1/6,0,3/6,2/6),*(2/6,0,1/6,3/6),0X Y v ===

（6）*(0,3/4,1/4,0),*(1/4,0,3/4,0),5/2X Y v === 7.4 写出与下列对策问题等价的线性规划问题。

（2）133421322⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

解：

（2）等价的LP 问题如下：

123123123123

max 43322..321

0,1,2,3I

I

I I

i v x x x v x x x v s t x x x v x x x x i ++≥⎧⎪++≥⎪⎪

++≥⎨⎪++=⎪≥=⎪⎩ 123123123123

min 3342..3221

0,1,2,3

II

II II II

j v y y y v y y y v s t y y y v y y y y j ⎧++≤⎪

++≤⎪⎪

++≤⎨⎪++=⎪≥=⎪⎩

第十章

10.1某一决策问题的损益矩阵如表10-1所示，其中矩阵元素值为年利润。

表10-1 单位：元

（1）若各事件发生的概率

P是未知的，分别用max min决策准则、max max决策准则、

j

拉普拉斯准则和最小机会损失准则选出决策方案。

（2）若

P值仍是未知的，并且α是乐观系数，问α取何值时，方案S1和S3是不偏不

j

倚的？

（3）若P1=0.2,P2=0.7,P3=0.1,那么用EMV准则会选择哪个方案？

解：（1）采用maxmin准则应选择方案S2，采用maxmax决策准则应选择方案S1，采用Laplace准则应选择方案S1，采用最小机会损失准则应选择方案S1。

（2）0.10256；（3）方案S1或S3。

10.2 某地方书店希望订购最新出版的好的图书。根据以往经验，新书的销售量可能为50,100,150或200本。假定每本新书的订购价为4元，销售价为6元，剩书的处理价为每本2元。要求：

（1）建立损益矩阵；

（2）分别用悲观法、乐观法及等可能法决定该书店应订购的新书数字；

（3）建立后悔矩阵，并用后悔值法决定书店应订购的新书数；

（4）如果书店据以往统计资料预计新书销售量的规律如表10-2所示。

分别用期望值法和后悔值法决定订购数量；

（5）如果某市场调查部门能帮助书店调查销售量的确切数字，该书店愿意付出多大的调查费用？

解：（1）损益矩阵如表10-3所示。

（2）悲观法：S1，乐观法：S4，等可能法：S2或S3。

（3）后悔矩阵如表10-4所示。

故按后悔值法决策为S2或S4。

（4）按期望值法和后悔值法决策，书店订购新书的数量均为100本。

（5）如书店能知道确切销售数字，则可能获得的最大利润为100*0.2+200*0.4+

300*0.3+400*0.1=230元。由于不确切知道每种新书销售数量，期望可获取利润为160元，230-160=70元就是该书店愿意付出的最大调查费用。

10.12有一化工原料厂，由于某项工艺不太好，产品成本高。在价格保持中等水平的情况下无利可图，在价格低落时要亏本，只有在价格高时才盈利，且盈利也不多。现在工厂管理人员在编制五年计划时欲将该项工艺加以改革，用新工艺代替。取得新工艺有两种途径：一是自行研究，但成功的可能是0.6；二是买专利，估计谈判成功的可能性是0.8。不论研究成功或谈判成功，生产规模都有二种考虑方案：一是产量不变；二是产量增加。如果研究或谈判都失败，则仍采用原工艺进行生产，保持原产量。

根据市场预测，佑计今后五年内这种产品跌价的可能性是0.1，保持中等水平的可能性是0.5，涨价可能性是0.4。其决策表见表10-10。

表10-10

决策问题：是购买外国专利，还是自行研制。

解：其决策树见图10-4。

图10-4 决策树

计算各点益损期望值：

点4：0.1 * (-100) + 0.5 * 0 + 0.4 * 100 = 30

点8：0.1 * (-200) + 0.5 * 50 + 0.4 * 150 = 65

点9：0.1 * (-300) + 0.5 * 50 + 0.4 * 250 = 95

点10：0.1 * (-200) + 0.5 * 0 + 0.4 * 200 = 60

点11：0.1 * (-300) + 0.5 * (-250) + 0.4 * 600 = 85

点7：0.1 * (-100) + 0.5 * 0 + 0.4 * 100 = 30

在决策点5，因95>65，应去掉产量不变方案，将点9期望值移至点5。同理，把点11的期望值移至点6。

点2：0.2 * 30 + 0.8 * 95 = 82

点3：0.6 * 85 + 0.4 * 30 = 63

决策：点2期望值大，所以合理决策是买专利。