第三章 5 共点力的平衡导学案

5 共点力的平衡导学案

[学科素养与目标要求]

物理观念：理解平衡状态，掌握共点力的平衡条件． 科学思维：1.进一步熟练掌握受力分析的方法.

2.能根据共点力的平衡条件利用合成法或正交分解法分析计算平衡问题．

一、共点力

如果一个物体受到两个或更多个力的作用，这些力共同作用在同一点上，或者虽不作用在同一点上，但是它们的延长线交于一点，这样一组力叫作共点力． 二、共点力平衡的条件 1．平衡状态：

物体受到几个力作用时，保持静止或匀速直线运动的状态． 2．在共点力作用下物体平衡的条件是合力为0.

即F 合＝0或???

??

F x 合＝0

F y 合＝0

，其中F x 合和F y 合分别是将力进行正交分解后，

物体在x 轴和y 轴上所受的合力．

1．判断下列说法的正误．

(1)作用在一个物体上的两个力，如果大小相等，方向相反，则这两个力一定是共点力．( × )

(2)作用在一个物体上的两个力，如果大小相等，方向相反，这两个力

一定平衡．( × )

(3)某时刻物体的速度为零，物体一定处于平衡状态．( × ) (4)物体处于平衡状态时加速度一定为零．( √ )

(5)如果一个物体受到三个力作用而保持静止状态，则其中任意两力的合力与第三力等大反向．( √ )

2.如图1所示，静止于倾角为30°的斜面上的物体，重力为10N ，则它受到的支持力为________N ，摩擦力为________N.

图1

答案 5 3 5

一、力的正交分解法

1．力的正交分解法：把力沿着两个选定的相互垂直的方向分解的方法． 2．两种典型情况的力的正交分解(如图2甲、乙所示) (1)水平面上物体斜向上的拉力的分解

?????

F x ＝F cos αF y ＝F sin α

图2

(2)在斜面上物体重力的分解

?

??

??

G x ＝G sin αG y ＝G cos α

3．正交分解法求合力

(1)建立直角坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x 轴和y 轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上．

(2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x 轴和y 轴上，并求出各分力的大小，如图3所示．

图3

(3)分别求出x 轴、y 轴上各分力的矢量和，即：F x ＝F 1x ＋F 2x ＋…，F y ＝F 1y ＋F 2y ＋….

(4)求共点力的合力：合力大小F ＝F x 2＋F y 2，设合力的方向与x 轴的夹角为α，则tan α＝F y F x

.

如图4所示，甲、乙、丙三个物体质量相同，与地面间的动摩擦因数均相同，受到三个大小相同的作用力F ，当它们滑动时，下列说法正确的是( )

图4

A ．甲、乙、丙所受摩擦力相同

B ．甲受到的摩擦力最大

C ．乙受到的摩擦力最大

D ．丙受到的摩擦力最大 答案 C

解析 将甲、乙图中的F 沿水平方向和竖直方向正交分解，则三个物

体对地面的压力分别为F N甲＝mg－F sinθ，F N乙＝mg＋F sinθ，F N丙＝mg，因它们均相对地面滑动，由F f＝μF N知，F f乙＞F f丙＞F f甲，故C正确．二、共点力及共点力的平衡条件

1．对共点力的理解

(1)共点力作用于物体的同一点(如图5甲)，或者力的延长线交于一点(如图乙)．

图5

(2)说明：共点力的交点不一定在物体上，但在画物体的受力图时，一般把共点力的作用点平移到物体的重心．

2．平衡状态

(1)物体处于静止或匀速直线运动的状态．

(2)对静止的理解：“静止”要满足两个条件：v＝0，a＝0，缺一不可．“保持”某状态与某“瞬时”状态有区别．例如，竖直上抛的物体运动到最高点时，这一瞬时速度为零，但这一状态不可能保持，因而上抛物体在最高点不能称为静止，即速度为零不等同于静止．3．共点力的平衡条件

(1)共点力的平衡条件是合力为0.

(2)表示为：F合＝0；或将各力分解到x轴和y轴上，满足F x合＝0，且

F y合＝0.

①二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向．

②三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意两个力的合力与第三个力等大、反向．

③多力平衡：若物体在n个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意(n－1)个力的合力与第n个力等大、反向．

④如果物体所受合力为零，那么物体在任一方向上所受的合力都为零．

物体在五个共点力的作用下保持平衡，如图6所示，其中F1大小为10N，方向水平向右，求：

图6

(1)若撤去力F1，而保持其余四个力不变，其余四个力的合力的大小和方向；

(2)若将F1转过90°，物体所受的合力大小．

答案(1)10N 水平向左(2)102N

解析(1)五个共点力平衡时合力为零，则其余四个力的合力与F1等大、反向，故其余四个力的合力大小为10N，方向水平向左．

(2)若将F1转过90°，则F1′与其余四个力的合力垂直，F合＝F1′2＋F2＝102＋102N＝102N.

三、共点力平衡条件的应用

求解共点力平衡问题的一般步骤

(1)根据问题的要求，恰当地选取研究对象．

(2)对研究对象进行受力分析，画出受力分析图．

(3)通过平衡条件，找出各个力之间的关系，或由平衡条件列方程，即

F x合＝0，F y合＝0.

(4)联立方程求解，必要时对解进行讨论．

(多选)(2019·玉门一中高一第一学期期中)如图7所示，是一种测定风作用力的仪器的原理图，它能自动随着风的转向而转向，使风总从图示方向吹向小球P.P是质量为m的金属球，固定在一细长刚性金属丝下端，能绕悬挂点O在竖直平面内转动，无风时金属丝自然下垂，有风时金属丝将偏离竖直方向一定角度θ，角θ大小与风力大小有关，下列关于风力F、刚性金属丝拉力F T与角度θ的关系式正确的是(重力加速度为g)( )

图7

A．F＝mg sinθB．F＝mg tanθ

C．F T＝mg cosθD．F T＝

mg cosθ

答案BD

解析选取金属球为研究对象，它受到三个力的作用，如图甲所示．金属球处于平衡状态，这三个力的合力为零．可用以下两种方法求解．

解法一力的合成法

将风力F和拉力F T合成如图乙所示，由平衡条件知F与F T的合力与重

力等大反向，由平行四边形定则可得F＝mg tanθ，F T＝

mg cosθ

.

解法二正交分解法

以金属球的重心为坐标原点，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立直角坐标系，如图丙所示．由于金属球处于平衡状态，故水平方向的合力F x合和竖直方向的合力F y合都等于零，即

F x合＝F T sinθ－F＝0

F y合＝F T cosθ－mg＝0

解得F＝mg tanθ，F T＝

mg cosθ

.

物体在三个力或多个力作用下的平衡问题的解法

1．力的合成法——一般用于受力个数为三个时

(1)确定要合成的两个力；

(2)根据平行四边形定则作出这两个力的合力；

(3)根据平衡条件确定两个力的合力与第三力的关系(等大反向)；

(4)根据三角函数或勾股定理解三角形．

2．正交分解法——一般用于受力个数为三个或三个以上时

(1)建立直角坐标系；

(2)正交分解各力；

(3)沿坐标轴方向根据平衡条件列式求解．

针对训练1 如图8所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心．一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点．设滑块所受支持力为F N，OP与水平方向的夹角为θ，重力加速度为g，下列关系正确的是( )

图8

A ．F ＝mg

tan θ

B ．F ＝mg tan θ

C ．F N ＝mg

tan θ

D ．F N ＝mg tan θ

答案 A

解析 对滑块受力分析如图所示，由平衡条件知，重力mg 和推力F 的合力与支持力F N 等大反向，

由几何关系知：F ＝mg tan θ，F N ＝mg

sin θ

.

四、利用正交分解法分析多力平衡问题

1．将各个力分解到x 轴和y 轴上，根据共点力平衡的条件列式(F x ＝0，

F y ＝0)求解．

2．x 、y 轴的选择原则：使尽可能多的力落在x 、y 轴上，需要分解的力尽可能少，被分解的力尽可能是已知力．

3．此方法多用于三个或三个以上共点力作用下的物体平衡，三个以上共点力平衡一般要采用正交分解法．

(2019·华中师大一附中期中)一质量m ＝6kg 的物块，置于水平地面上，物块与地面间的动摩擦因数为μ＝1

3，然后用两根绳A 、B 分

别系在物块的两侧，如图9所示，A 绳水平，B 绳与水平地面成37°角，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g 取10m/s 2.

图9

(1)逐渐增大B绳的拉力，直到物块对地面的压力恰好为零，求此时A 绳和B绳的拉力大小；

(2)将A绳剪断，为了使物块沿水平地面做匀速直线运动，在不改变B 绳方向的情况下，求B绳的拉力大小．

答案(1)80N 100N (2)20N

解析(1)F N＝0时，对物块受力分析如图甲，则水平方向：F T A＝F T B cos37°

竖直方向：F T B sin37°＝mg

联立解得：F T A＝80N，F T B＝100N.

(2)将A绳剪断，物块做匀速直线运动，受力分析如图乙，则

水平方向：F T B′cos37°＝F f

竖直方向：F N′＝mg－F T B′sin37°

且F f＝μF N′

代入数据解得F T B′＝20N.

针对训练2 如图10所示，物体的质量m＝4.4 kg，用与竖直方向成θ＝37°的斜向右上方的推力把该物体压在竖直墙壁上，并使它沿墙壁在竖直方向上做匀速直线运动．物体与墙壁间的动摩擦因数μ＝0.5，取重力加速度g＝10 N/kg，求推力F的大小．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)

图10

答案88N或40N

解析若物体向上做匀速直线运动，受力分析如图甲所示．

F cosθ＝mg＋F f

F sinθ＝F N

F f＝μF N

故推力F＝mg

cosθ－μsinθ＝

4.4×10

0.8－0.5×0.6

N＝88N

若物体向下做匀速直线运动，受力分析如图乙所示．F cosθ＋F f′＝mg

F sinθ＝F N′

F f′＝μF N′

故推力F＝mg

cosθ＋μsinθ＝

4.4×10

0.8＋0.5×0.6

N＝40N.

1.(平衡条件的理解和应用)(多选)如图11所示，用两根细线把A、B 两小球悬挂在天花板上的同一点O，并用第三根细线连接A、B两小球，然后用某个拉力F作用在小球A上，使三根细线均处于伸直状态，且OB细线恰好沿竖直方向，两小球均处于静止状态，则该拉力可能为图中的( )

图11

A．F1B．F2C．F3D．F4

答案BC

解析由于OB线处于竖直状态，故小球B只受重力和OB线的拉力，则A、B两球间细线的张力为零，小球A受三个共点力作用而平衡，即重力G、OA线的拉力F T和另一个拉力F，由共点力平衡的条件可知，G 与F T的合力方向介于F T和G的作用线之间，且两者的合力与F等大、反向，故拉力F不可能是F1或F4，选项B、C正确．

2．(三力平衡问题)用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中，如图12所示．已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°，重力加速度为g，则ac绳和bc绳中的拉力分别为( )

图12

A.

3

2

mg，

1

2

mg B.

1

2

mg，

3

2

mg

C.

3

4

mg，

1

2

mg D.

1

2

mg，

3

4

mg

答案 A

解析对结点c受力分析如图所示，

设ac绳受到的拉力为F1、bc绳受到的拉力为F2，根据平衡条件知F1、F2的合力F与重力mg等大、反向，由几何知识得

F1＝F cos30°＝

3 2 mg

F2＝F sin30°＝1

2

mg.选项A正确．

3.(三力平衡问题)如图13所示，在水平天花板上用绳AC、BC和CD 吊起一个物体，使其处于静止状态，结点为C，绳子的长度分别为AC ＝4dm，BC＝3dm，悬点A、B间距为5dm，则AC绳、BC绳、CD绳上的拉力大小之比为( )

图13

A．20∶15∶12

B．4∶3∶5

C．3∶4∶5

D．因CD绳长未知，故无法确定

答案 C

解析对三条绳的结点C进行受力分析，如图所示，

由平衡条件知，AC、BC绳上拉力的合力与CD绳上的拉力等大反向．由几何关系知，AC绳、BC绳、CD绳上的拉力大小之比为3∶4∶5，所以C正确．

4．(多力平衡问题)出门旅行时，在车站、机场等地有时会看见一些旅客推着行李箱，也有一些旅客拉着行李箱在地面上行走．为了了解两种方式哪种省力，我们作以下假设：行李箱的质量为m＝10kg，拉力F1、推力F2与水平方向的夹角均为θ＝37°(如图14所示)，行李箱与地面间为滑动摩擦力，动摩擦因数为μ＝0.2，行李箱都做匀速直线运动．试通过计算说明拉箱子省力还是推箱子省力．(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2)

图14

答案见解析

解析拉行李箱时，对行李箱受力分析，如图甲所示．

行李箱做匀速直线运动，可得

F1cosθ＝F f1，F1sinθ＋F N1＝mg，F f1＝μF N1

解得F1＝

μmg

cosθ＋μsinθ

≈21.7N

推行李箱时，对行李箱受力分析，如图乙所示．行李箱做匀速直线运动，可得

F2cosθ＝F f2，F N2＝F2sinθ＋mg，F f2＝μF N2

解得F2＝

μmg

cosθ－μsinθ

≈29.4N

F1

1．(多选)(2019·长春外国语学校高一第一学期期末)下列哪组力作用在物体上，有可能使物体处于平衡状态( )

A．3N,4N,8N B．3N,5N,1N

C．4N,7N,8N D．7N,9N,6N

答案CD

2．在如图1所示的甲、乙、丙、丁四图中，滑轮光滑且所受的重力忽略不计，滑轮的轴O安装在一根轻木杆P上，一根轻绳ab绕过滑轮，a端固定在墙上，b端下面挂一个质量为m的重物，当滑轮和重物都静止不动时，甲、丙、丁图中木杆P与竖直方向的夹角均为θ，乙图中木杆P竖直．假设甲、乙、丙、丁四图中滑轮受到木杆P的弹力的大小依次为F A、F B、F C、F D，则以下判断正确的是( )

图1

A ．F A ＝F

B ＝F

C ＝F

D B ．F D >F A ＝F B >F C C ．F A ＝F C ＝F D >F B D ．F C >F A ＝F B >F D

答案 B

解析 绳上的拉力等于重物所受的重力mg ，设滑轮两侧细绳之间的夹角为φ，滑轮受到木杆P 的弹力F 等于滑轮两侧细绳拉力的合力，即

F ＝2mg cos φ

2

，由夹角关系可得F D >F A ＝F B >F C ，选项B 正确．

3.(多选)如图2所示，两根等长的轻绳将日光灯悬挂在天花板上，两绳与竖直方向的夹角都为45°，日光灯保持水平，所受重力为G .则( )

图2

A ．两绳对日光灯拉力的合力大小等于G

B ．两绳的拉力和重力不是共点力

C ．两绳的拉力大小分别为

22G 和2

2

G D ．两绳的拉力大小分别为G 2和G

2 答案 AC

解析 如图，两绳拉力的作用线与重力作用线的延长线交于一点，这三个力是共点力，B 选项错误；

由于日光灯在两绳拉力和重力作用下处于静止状态，所以两绳的拉力

的合力与重力G 等大反向，A 选项正确；由于两个拉力的夹角成直角，且都与竖直方向成45°角，则由力的平行四边形定则可知G ＝F 12

＋F 22

，且F 1＝F 2，故F 1＝F 2＝2

2

G ，C 选项正确，D 选项错误．

4．如图3所示，两轻弹簧a 、b 悬挂一小铁球处于平衡状态，a 弹簧与竖直方向成30°角，b 弹簧水平，a 、b 的劲度系数分别为k 1、k 2，则a 、b 两弹簧的伸长量x 1与x 2之比为( )

图3

A.2k 2k 1

B.k 2k 1

C.k 1k 2

D.k 22k 1 答案 A

解析 a 弹簧的弹力F a ＝k 1x 1，b 弹簧的弹力F b ＝k 2x 2，小球处于平衡状

态，必有F a sin30°＝F b ，即：k 1x 1sin30°＝k 2x 2，故x 1x 2＝2k 2

k 1

，A 正确．

5.(2019·宿州市十三所重点中学高一第一学期期末)如图4所示，一只小鸟沿着较粗的均匀树枝从右向左缓慢爬行，在小鸟从A 运动到B 的过程中( )

图4

A ．树枝对小鸟的合力先减小后增大

B ．树枝对小鸟的摩擦力先减小后增大

C ．树枝对小鸟的弹力先减小后增大

D ．树枝对小鸟的弹力保持不变

答案 B

解析树枝对小鸟的合力是支持力和摩擦力的合力，由二力平衡得，合力与小鸟所受的重力等大反向，因小鸟所受重力不变，所以树枝对小鸟的合力不变，A项错误．对小鸟进行受力分析如图所示，则树枝对小鸟的摩擦力先减小后增大，对小鸟的弹力先增大后减小，所以B 项正确，C、D项错误．

6.(2019·宜宾一中高一期末模拟)目前，宜宾每个社区均已配备了公共体育健身器材，如图5所示器材为一秋千，用两根等长轻绳将一座椅悬挂在竖直支架上等高的两点，由于长期使用，导致两根支架向内发生了微小倾斜，如图中虚线所示，但两悬挂点仍等高，座椅静止时所受合力的大小用F表示，F1表示单根轻绳对座椅拉力的大小，则( )

图5

A．F不变，F1变小B．F不变，F1变大

C．F变小，F1变小D．F变大，F1变大

答案 A

解析对座椅受力分析如图所示，座椅静止，则合力F＝0，不变．因

两悬挂点等高，则F2＝F1＝

G

2cosθ

，支架内倾，θ变小，则F1变小．

7.(2019·唐山市高一第一学期期末)如图6所示，用一根绳子a 把物体挂起来，再用一根水平的绳子b 把物体拉向一旁固定起来．物体的重力是80N ，绳子a 与竖直方向的夹角θ＝37°.求：绳子a 和b 对物体的拉力大小．(已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)

图6

答案 100N 60N

解析 选物体为研究对象，物体受到绳子a 、b 的拉力F a 、F b 以及重力

G 的作用，受力分析如图所示．

由于物体处于平衡状态，则

F a cos θ＝

G F a sin θ＝F b

解得：F a ＝100N ，F b ＝60N.

8．(多选)(2019·济南一中期中)如图7所示，一个半径为R 的半球形碗倒扣在水平桌面上，处于静止状态．一质量为m 的蚂蚁(未画出)在离桌面高度为4

5R 处停在碗上，关于蚂蚁受力情况，下列说法正确的是

(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度为g )( )

图

7

A ．碗面对蚂蚁的摩擦力为0.6mg

B ．碗面对蚂蚁的摩擦力为0.8mg

C ．碗面对蚂蚁的支持力为0.8mg

D ．碗面对蚂蚁的支持力为0.6mg 答案 AC

解析 蚂蚁受重力、支持力和静摩擦力，蚂蚁受力如图所示：

由几何知识得：cos θ＝45

R R

＝0.8，则sin θ＝0.6，

由平衡条件得：F f ＝mg sin θ＝0.6mg .

F N ＝mg cos θ＝0.8mg ；

故A 、C 正确，B 、D 错误．

9．(多选)(2019·华中师大一附中期中)如图8甲所示，笔记本电脑底座一般设置有四个卡位用来调节角度，某同学将电脑放在散热底座上，为了获得更好的舒适度，由原卡位1调至卡位4(如图乙)，电脑始终处于静止状态，则( )

图8

A ．电脑受到的支持力变大

B ．电脑受到的摩擦力变大

C．散热底座对电脑的作用力的合力不变

D．电脑受到的支持力与摩擦力两力大小之和等于其重力

答案AC

解析电脑受到的支持力F N＝mg cosθ，由原卡位1调至卡位4，θ减小，故F N增大，故A正确；电脑受到的摩擦力F f＝mg sinθ，θ减小，F f减小，故B错误；由平衡条件知，底座对电脑的作用力的合力与电脑重力等大反向，故C正确；电脑受到的支持力与摩擦力两力矢量和与其重力大小相等，根据平行四边形定则，故电脑受到的支持力与摩擦力两力大小之和大于其重力，故D错误．

10.(多选)如图9所示，人在岸上通过定滑轮用绳牵引小船，若水的阻力恒定不变，则船在匀速靠岸的过程中，下列说法正确的是( )

图9

A．绳的拉力不断增大

B．绳的拉力保持不变

C．船受到的浮力不断减小

D．船受到的浮力保持不变

答案AC

解析在绳牵引小船匀速靠岸的过程中，小船的受力情况如图所示，船匀速运动，所受的合力为零，则在水平方向有F f＝F cosθ，在竖直