导数在研究函数问题中的应用

一、函数的单调性与导数

例1.已知函数21f x x ax aln x a R =---∈（）（）（），求函数f x （）

的单调区间.

评注：（1）函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质。在引入导数这一工具之前，我们判断函数的单调性的一般方法是定义法，但是对于上述题目这种方法就无法得到答案，而有了导数之后，问题就迎刃而解了.函数的单调性与函数的导数密切相关，运用导数知识来讨论函数单调性时，结合导数的几何意义，只需考虑

'f x （）的正负即可，当

'0f x >（）时，

f x （）

单调递增；当'0f x <（）时，f x （）

单调递减.此方法简单快捷而且适用面广。（2）在定义域为（1，+∞）的条件下，为了判定'f x （）符号，必须讨论实数

2a +与0及1的大小，分类讨论是解本题的关键.

二、函数的极值与导数

例2.已知函数f x x lnx ax =-（）（）有两个极值点，则实数a 的取值范围是（）. A.（-∞,0） B.（0,

） C.（0,1） D.（0，+∞）评注：函数有两个极值点，即

'210

f x lnx ax =--=（）（）有两个不等的实数解，可转化为两个曲线有两个交点.数形结合思想是数学中的一

种重要的解题方法，可以使问题直观明了。

三、函数的最值与导数

例3. 设01

0x a x f x x x x -+≤??

?+>??，（），若f （0）是f （x ）的最小值，则a 的取值范围是 . 例4. 若函数

x f x e ax bx =---（），其中

a b R ∈，，设g （x ）是函数f （x ）的导函数，求函数g （x ）在区间[0，1]上的最小

值.

评注：本题首先得到g'（x ）的解析式，然后进行分类讨论，研究不同情况下函数的变化趋势，得出最值.合理分类是解题的关键.

四、导数在求曲线的切线方程中的应用

例5.求曲线x y e =在原点处的切线方程.

评注：此类题型为已知点不在曲线上求切线方程，应先设出切点坐标

x f x （。,（。))

，表示出切线方程

000'y f x f x x x =-（）（）（-），把已知点代入方程，求出切点坐标后，再求切线方程.

五、利用导数解决实际问题

3某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）.设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（x 为圆周率）.

（1）将V 表示成r 的函数V （r ），并求该函数的定义域；

（2）讨论函数V （r ）的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大. 评注：利用导数求解生活中的优化问题时，既要注意将题中涉及的变量关系用函数关系表示，还要注意函数表达式中自变量的取值范围，如果目标函数在定义域中只有一个极值点，那么根据实际意义，该极值点就是最值点.

集合易错警示

集合是学习数学的基础，是高考的必考内容，同学们在学习中不但要掌握其中的知识和方法，还要扫清解题中的误区。下面归纳了几种高频误区，给同学们提个醒，以免发生错误。

一、忽视元素的互异性致误

集合中的元素必须具有确定性、互异性、无序性三个特性，其中元素的互异性最容易被忽视。

例1.已知集合A={1，3，a ），集合B={1，21a a -+}，如果B A ?，求a 的值。

【错解】若213a a -+=，即21

0a a -+=（)(），则12a a =-=或；若21a a a -+=，即2210a a +=-，则a=1.综上，所求a 的值为-1，1，2.

在解决集合问题时，要注意集合元素的特征相同，但是集合的含义未必相同。

例2. 设集合{}

2|12{|A y y x x R B x y A B ==+∈==I ，），，求. 【错解】由题意可得{}|1|2{A y y B x y =≥=≥，）.所以|2{A B x x =≥I ）.

三、忽视空集的讨论致误

集合间的关系比较抽象，常常与方程、函数、不等式等知识联系，在解此类问题时不要忽视了空集的存在。

例3.已知集合

{}{}

2|60|10A x x x B x mx =+-==+=，，

AUB A =，则实数m 的取值集合是 .

四、忽视端点值的取舍致误

在求集合中字母取值范围时，要特别注意该字母在取值范围的边界能否取等号，否则会导致解题结果错误.

例4.已知集合

{}|25{|24A x x B x a x a =-<≤=≤≤-，}

，若

A B ?，则实数a 的取值范围.

【错解】因为A B ?，则22

45a a ≤-??->?

解得a<-1.

五、忽视补集的含义致误

对于给定集合求补集的问题，要先求出元素的具体范围，再在对应全集下求其补集.不可随便猜测，否则易错.

例5.已知全集I=R ，集合

2|{0M x x x =-<}

，集合

1|}N x x

≤{，则下列关系正确的是（）. ..

.I I I A M C N

B C N M C M C N D C M N R ??==U I （）

函数易错警示

函数是高中数学的核心内容.它包括函数的定义域和值域，图像和解析式，函数的性质等问题，又涉及高中数学的很多数学思想.对于函数方面易错点的研究，

有助于大家跳出误区，优化思维，使逻辑思维更加严密，也有助于数学其他模块的学习。

一、忽视隐含条件致误

例1.已知222224x y x u x y +==+，求的范围. 【错解】

由题意可得

224122222

x x u x y x x u x y -=+=+=+-≥-=+（），故范围是[-2，+∞）.

二、忽视判别式约束致误例2.若a ，β是实系数一元二次方程2220

x mx m -++=的两根，求22

αβ+的最小值.

【错解】

由韦达定理，有

222

222a m a m a βββαβαβ

+==++=+-，，且（），则

2222117424444a m m m β+=--=--（），所以22αβ+的最小值是4

17-.

三、忽视分界点致误

例3.函数221,0

()(1),0

ax x f x a e x ?+≥??-

10a a ?，得a<-1；若函数在（-∞，+∞）上单调递增，则有

010

a a >??->?得a>1.故a<-1或a>1.

四、函数零点存在性定理理解不清致误

例4.已知方程

210

mx x ++=有且只有一根在区间（0，1）内，求m 的取值范围。

【错解】设21f x mx x =++（

）有且只有一根在区间（0，1）内，(0)(1)0f f <得m<-2.

导数易错警示

导数是研究函数的重要工具，有着广泛的应用，但是同学们在学习中存在一些误区，经常出现一些错误，本讲对有关易错点进行归纳剖析，供大家参考。

一、对导数的定义理解不透致误

例1.设f x xlnx =（），若0'f x （

）=0，则0x =（）. A.任意正实数 B.1 C.e D .1

【错解】因为

'o o f x x lnx =（）为一常数C ，而（C ）'=0，所以x 0为任意正实数，故答案为A.

二、将“过某点的切线”作为“在某点的切线”致误

例2.已知曲线3:3S y x x =-，求过点P （2，-2）的切线方程.

【错解】

由题意可知点P （2，-2）在曲线S 上，且

2'33y x =-，则过点P 的切线斜率

2'|9

x k y ===-，由点斜式方程得过点P 的切线方程为

292y x +=--（）

，即

9160x y +-=.

三、误解导函数与原函数图像的关系致误例

3.已知函数

'y xf x =（）

的图像如图所示（其中'f x （）

是函数f （x ）的导函数），下面四个图像中y=f （x ）的图像大致是（）.

【错解】选A 或B 或D.

四、对函数取极值的充要条件理解不清致误

例4.已知函数2

20a f x alnx x a x

=++<（）（）.

（1）求函数f （x ）的单调区间；

（2）记函数f （x ）的最小值为g （a ），求g （a ）的极值点. 【错解

】

2222

2()(2)'x ax a x a x a f x x x +--+==

（）.因为a<0，由f'（x ）>0得x>-2a ，由f'（x ）<0

得x<-2a.故函数f （x ）在（-∞，-2a ）上单调递减，在（-2a ，+∞）上单调递增.

（2）函数f （x ）的最小值为f （-2a ），故g （a ）=f （-2a ）=23aln a a --（）.则由

'220g a ln a =--=（）（）得21

a e =-，所以g （a ）在（-∞，0）上的极值点是

212

a e =-.

剖析上述解法有两点错误，一是忽视了函数的定义域是（0，+∞），所以单调区间求解错误；二是将

f x =（）的点直接说成极值点，即没有对它们是否为极值点进行判断.可导函数的极值点必

须是导数为0，但是导数为0的点不一定就是极值点，必须要判断其左右的单调性才能得出是否为极值点.例如函数3y x =的导数为0的点是x=0，但其不是极值点.

五、“函数在区间D 上是增（减）函数”与“函数的增（减）区间是区间D”混淆致误例

5.若函数

324

f x x mx =-+（）的减区间是（0，2），则实数m 的取值范围是 .

【错解】因为函数324f x x mx =-+（）的减区间是（0，2），所以函数

2'320f x x mx =-≤（）对任意的02x ∈（，）恒成立，即3

m x ≥

对任意的02x ∈（，）恒成立，故m≥3.

六、对函数单调的充要条件理解不清致误

例

6.函数

325

f x ax x x =-+-（）在区间（-∞，+∞）上是增函数，求实数a 的取值范围。

【错解】函数f （x ）的导数

2'321

f x ax x =-+（），由题意可知'0

f x >（）在（-∞，+∞）上恒成立，所以04120a a >??=-

3a >，所以a 的取值范围是

(,)3+∞

七、忽视函数的变化趋势致误

例7.已知方程ln x

a x

=有两个实数解，求实数a 的取值范围.

【错解】原题可转化为两个函数ln x

f x x

（）与y=a 的交点问题，因为'

21ln x f x x -=（），

当'0f x =（）时得x e =，又因为f x （）的定义域是（0，+∞），所以当0x e ∈（，）时，'0f x f x >（），（）在（0，e ）上单调递增；当

x e ∈+∞（，）

时，

'0f x f x <（），（）

在（e ，+∞）上单调递减，综上所述，f （x ）在x=e 处取得极大值也是最大值

1f e e =（），所以当1a e ∈-∞（，）时函数ln x f x x =（）与y=a 有两个交点，即方程

ln x a x

=有两个实数解。

能力提升篇

二次函数在闭区间上的最值问题

二次函数是函数中最基本最简单的函数之一，同时也是其他数学知识的载体.二次函数在某一闭区间上的最值问题是初中二次函数内容的继续，随着区间的确定或变化，以及系数中参变数的变化，使其成为高中数学的热点.

一、定对称轴定区间

例1.已知223x x ≤，函数21f x x x =++（）的最大值和最小值分别是和。

评注：该题二次函数的系数是常数，给出的区间也是固定的，对于这类最值问题只要结合函数的图像就能迅速求解。

二、动对称轴定区间

例

2.已知

23f x x ax a

=++-（），若

[]

22x ∈-，时，f （x ）≥0恒成立，求a 的取值范围.

评注：本题是恒成立问题，但是命题的意图就是要求当

[]

22x ∈-，时f （x ）的最小值非负.先利用配方法确定抛物线的顶点坐标，然后对对称轴与区

间的位置进行讨论，借助于二次函数的单调性解题.这是常用的基本方法之一

三、定对称轴动区间

例

3.已知函数[]2232f x x x x t t =--∈+（），当，时，求函数f （x ）的最小值

()t ?.

评注：所求二次函数解析式固定，对称轴是确定的，区间变动，可考虑区间在变动过程中，二次函数的单调性，从而利用二次函数的单调性求函数在区间上的最值.讨论二次函数在闭区间上的最值，主要看区间是落在二次函数的哪一个单调区间上。

四、动对称轴动区间

例

4.已知

240y a x a a =->（）（）

，且当x≥a 时，

3S x y =-+（）的最小值为4，求参数a 的值.

评注：本题经过化简后我们可以发现，抛物线的对称轴和区间都是动的，但是函数的开口是确定的，只要讨论对称轴与区间的相对位置就能得出最小值，从而解出a 的值。

函数单调性在解题中的应用

函数的单调性是函数的一个重要性质，本讲通过一些实例挖掘函数单调性在解题中的功能，增强同学们分析问题和解决问题的能力.

一、比较数（式）的大小

例1.若1213ln 5

,235

n n a c =

，b=则（）. A. a

评注：结合a ，b ，c 三个数的形式，构造函数

ln x

f x x

（），利用其单调性可比较a ，b ，c 的大小. 二、解不等式

例 2.设f x （）是定义在[-2，2]上的奇函数，且对任意的[]22a b ∈-，，，当0a b +≠时，都有

()()

0f a f b a b

+<+，若1120f m f m -->（

）（-），求实数m 的取值范围.

评注：函数f （x ）为减函数的等价形式有

1212

()()

f x f x x x --和

12120[]x x f x f x -<（-）（）（）由题意可得函数的单调性，再结合函数的奇偶性，可以顺利地解出此不等式.

三、求参数的取值范围

例

3.已知a 为实数

24f x x x a =--（）（）（），若f （x ）在22????-∞-+∞（，和，

）上都是递增的，求a 的取值范围.

评注：函数f （x ）是三次函数，要满足其在22????-∞-+∞（，和，

）上都是递增的，只需要'f x （）在22????-∞-+∞（，和，

）上非负即可。四、证明不等式

例4.求证：sin tan x x x <<（02

x π

<<）.

评注：在证明两个函数的大小时，只要将两函数相减或相除就可得到所需的辅助函数，再利用其单调性得出关系.因为判断大小的时候，需要用到

00f g （），（），所以再构造函数时，研究的定义域是(0,)2π

，否则就无法应用0f x f <（）（）

和0g x g <（）（）

. 函数的奇偶性在解题中的应用

函数奇偶性是函数的重要特征之一，它充分地体现了变量间的辩证统一关系.从数、形上揭示了函数的对称性.在解题教学中，深挖题目隐含条件，依据奇偶函数的性质，使一些问题独辟蹊径，解法简单化，有柳暗花明又一村之感.

一、求函数的函数值

例1.设

log (2

x x

c a a f x b x x --=+?+（）（其中a ，b ，c 为常数），且

25f -=（），试求2f （）

的值.

评注：本题如果直接求2f （）

比较困难，但是如果选取

f x （）

中含x 的一部分构造一个新函数

g x （），利用g x （）为奇函数，探究求出g x g x +-（）（）

为定值，顺利地得到了(228f f -+=)（

），从而解出f （2）=3. 二、求函数的解析式

例2.设11x ∈-（，）

，且f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，

21f x g x x lg x +=-+（）（）（），求f x （）

的表达式。

评注：（1）利用函数的奇偶性，得到两个函数的差，再与已知条件联立方程可分别求出

f x

g x （）和（）.

（2）定义城关于原点对称的函数F （x ）一定可以表示为一个奇函数f x （

）和一个偶函数x g （）的和，其中2F x F x f x --=

（）（）（），2

F x F x g x +-=

（）（）

（）

三、比较大小例3.已知函数

f x （）

是偶函数，且在区间[0，1]上是单调递减的，则

0.510f f f --（），（），（）

的大小关系是。

评注：解题的关键是利用函数的奇偶性将自变量转换到同一单调区间上，再比较大小。

四、解（证）不等式

例4. 已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增.若实数a 满足

221f log a f log a f +≤（）（）（），则a 的取值范围是.

评注：函数的单调区间为（-∞，0）和[0，+∞），那么2log a

与1是同在某一个区间内还是各自分别在一个区间内？如果就此展开讨论将比较复杂而且不易完整求解，利用偶函数的性质

||f x f x f x =-=（）（）（），可以不用讨论变量所在的区间.通过揭示偶函数概念的深刻内涵，避免了不应有的分类讨论过程。

五、求参数的取值范围

例5.

已知函数

F x e =（）满足

F x g x h x =+（）（）（），且

g x h x （），（）

分别是R 上的偶函数和奇函数，若

02]x ?∈（，使得不等式

g x ah x -≥（）（）恒成立，则实数a 的取值范围是。

评注：由题意得

22022

x x x x

e e e e a --+--≥恒成立后，可将参数分离出来，建立起明确的参数和变量x 的关系，即2

x x

a e e e e --≤-+

-恒成立，再利用均值不等式求出

2x x x x

y e e e e --=-+

-的最小值

min

y ）令

min

a y ≤即可.此种分离变量的方法是解决此类不等式问题的常用方法，也是比较简单的一种方法。

课后练习

函数单调性在解题中的应用练习

1.已知x y ，为实数，且满足3

12016

1112016

11x x y y -+-=--?+=???-?（）（）（）（），则x y += .

2.已知函数

f x =

（）232

391241,1

1x x x x x x -+-≤???+>??，，若

2212f m f m +>-（）（），则实数m 的取值

范围是 .

3.当[]21x ∈-，时，不等式3

430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是 .

4. 设

f x （）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f xy f x f y =+（）（）（）.若

31f =（），且

12f a f a >-+（）（），求实数a 的取值范围.

函数单调性在解题中的应用练习

1.已知函数f x （）为奇函数，且当x>0时，2

f x x x

（），则f （-1）= . 2.已知2

y f x x =+（

）是奇函数，且1121f g x f x g ==+-=（），若（）（），则（） . 3.

已知函数31f x ln x =+（）），则1

21)2

f l

g f g +（

）（= . 4.已知函数y=f x （）是R 上的奇函数，且满足51f x f x f x f x +≥+≤（）（），（）（），则2019f （）的值为 .

5.若函数2m

f x x -=（

）是定义在区间2

3m m m --????-，上的奇函数，则f m =（） . 6.已知偶函数

f x （）

在[0，+oo ）单调递减，

f =（）.若

10f x ->（），则x 的取值范围是 .

7.已知

f x （）是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，24f x x x =（

）-.那么，不等式25f x +<（）的解集是.

高考数学(理)总复习：利用导数解决函数零点问题

题型一利用导数讨论函数零点的个数【题型要点解析】对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： (1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； (2)求导数，得单调区间和极值点； (3)画出函数草图； (4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．1.已知f (x )＝ ax 3－3x 2＋1(a >0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝????? f (x )，f (x )≥ g (x )，g (x )，f (x )0)的零点个数．【解】 (1)∈函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，∈f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，令f ′(x )＝0，得x 1 ＝0或x 2＝2 a ，∈a >0，∈x 1

即不等式2a ≤1x 3＋3 x 在x ∈[1,2]上有解．设y ＝1x 3＋3x ＝3x 2＋1 x 3(x ∈[1,2])， ∈y ′＝－3x 2－3x 4<0对x ∈[1,2]恒成立， ∈y ＝1x 3＋3 x 在x ∈[1,2]上单调递减， ∈当x ＝1时，y ＝1x 3＋3 x 的最大值为4， ∈2a ≤4，即a ≤2. (3)由(1)知，f (x )在(0，＋∞)上的最小值为f ?? ? ??a 2＝1－4a 2， ∈当1－4 a 2>0，即a >2时，f (x )>0在(0，＋∞)上恒成立，∈h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋ ∞)上无零点． ∈当1－4 a 2＝0，即a ＝2时，f (x )min ＝f (1)＝0. 又g (1)＝0，∈h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋∞)上有一个零点． ∈当1－4 a 2<0，即00， ∈存在唯一的x 0∈?? ? ??1,1e ，使得φ(x 0)＝0， (∈)当0