数独问题高效算法研究与实现
数独问题高效算法的研究与实现
摘要：数独益智游戏（sudoku）是近年来全球流行的一种智力游戏。本文通过分析数据结构、“非循环判断”预处理算法和回溯算法，深入探讨了数独问题的解决方案，并给出了该方案的实现算法，实验证明该算法是正确高效的。
关键词：数独；非循环判断；算法；回溯法
中图分类号：tp302
“数独”益智游戏（sudoku）是瑞士数学家欧拉发明的，目前在国内外非常流行。游戏在9*9的单元表格中进行，单元表格不仅被分为9行、9列，也被分为3*3个九宫格。单元表格中已存在若干数字，其余为空格。游戏规则要求玩家在每个空格中填入1～9之间的数字，使每个数字在每行、每列、每个九宫格仅出现一次。国内许多论文对数独游戏的教学意义做了深入讨论，但研究其求解算法的论文不多[1]，用计算机进行快速求解的算法更少，参考文献[2]使用“有限递推”预处理提高了算法的执行速度，但其本身每次都要处理候选数字也耗时不少；参考文献[3]提出了效率较高的算法，但其冲突检测还可提高效率。本文对“数独”游戏进行深入研究后用c语言设计出一种基于“非循环判断”预处理的回溯算法，然后用参考文献[2]中的三个实例及号称世界上迄今难度最大的数独游戏[4]（芬兰数学家因卡拉花费3个月时间设计的）进行测试，实践证明该算法正确且高效。
1 数据结构与回溯法简介
数独游戏的难度等级分析及求解算法研究
数独游戏的难度等级分析及求解算法研究2——数独难度等级 2 数独难度等级 数独游戏发展至今，在数独爱好者的积极探索下，求解数独的算法众多，有矩形顶点删减法、关键数删减法等[7]。解答一道数独问题是一种或多种方法相互结合，为了使玩家能循环渐进解决数独题目，并且在解答数独过程中不断提高解决数独问题的能力。不同的数独题目被划分为不同的难度等级。最直接的方式是根据个人求解数独的时间长短区分难易。但由于个人求解数独受方方面面的影响，此种划分方式主观因素太强，导致划分的准确率低。如何划分数独的难度系数才是比较科学的呢？ 2.1 空格数与难度等级 2.1.1 空格数与难度等级的分析 数独书籍对数独难度的划分较为清晰，研究从分析数独书籍对数独难度等级的划分开始。首先统计《旅途中的数独》[8]《数独》[9]两本书数独谜题的情况。表一所统计的是《旅途中的数独》的题目，统计的题目总数为100道，表格的行表示空格的个数，列表示难度的级别，初级最容易，难度依次递增，超级为最难；表二所统计的是《数独》-5，题目数一样为100道，表格行表示空格的个数，列表示难度的级别，一星为最容易，二星为容易，三星为难，四星为最难。例如：表一的首格10表示，难度为初级，空格个数为45的题目有10道；表二的首格3表示，难度为一星，空格数为50的题目有3道。 表1 统计《旅途中的数独》空格数与难度
表2 统计《数独》空格数与难度 分析2个表格，我们初步得到，随着难度的加大，空格数逐步增加。书中不同难度等级的题目数目不一致，难度较低的题目数较少，难度较高的题目较多。为进一步发现问题所在，笔者对数独题目的统计表格进行处理，在同等难度上，将每种空格的题目个数除以该难度的总题目数，得到如下表格。 表3 计算《旅途中的数独》空格率与难度 The probability of space and difficulty from the book calls planes, trains and sudoku 表4 计算《数独》空格率与难度 表格的数据用面积图表表示（图1、图2），由图可以清晰看出，难度等级递增，空格数也不断增加。难度等级与空格数存在正比的关系。
算法设计与分析实验报告贪心算法
算法设计与分析实验报告 贪心算法 班级：2013156 学号：201315614 姓名：张春阳哈夫曼编码 代码 #include printf("\n"); for(i=0;i 以下我们将叙述一道标准数独的全部解题过程，在此过程中涉及到的技巧有摒除法、余数法、区块法、数对法、X- Wing这几个常在数独书籍中会涉及到的技巧，文中将描述各个技巧的结构及作用效果，相信在看完解题过程之后，您能相当程度地掌握到数独的基本解题技巧，也能在解题的过程中发现数独给您带来的乐趣。 谜题如下图 第一招：摒除法 大家之前已阅读过数独的规则：在每个单元中，每个数字只能出现一次，那么也就意味着，如果一行已经出现了一个1，这行的其他格就不再有1，利用这个观点，引发出摒除法。 第1步：数字2对B1进行摒除 r1c8为2，则其所在R1不再有2； r2c4为2，则其所在R2不再有2； r9c2为2，则其所在C2不再有2， 在B1中还没有2，B1有6个空格可以填2，但其中5个空格被摒除了，只剩下r3c1，所以得到第一解：r3c1=2 这个方法因为是对宫实施摒除的，所以叫宫摒除法。宫摒除法是解题技巧里面最简单的一种，也是解题过程中使用最多的一种。其实解数独就是这么简单！ 第2步：r1c3=7（宫摒余解，数字7对B1摒除） 第3步：r4c7=7（宫摒余解，数字7对B6摒除） ， 第4步：数字7对C5进行摒除 r1c3为7；则其所在R1不再有7； r2c9为7，则其所在R2不再有7； r4c7为7，则其所在R4不再有7； r6c2为7，则其所在R6不再有7； r8c1为7，则其所在R8不再有7； r9c8为7，则其所在R9不再有7， 在C5中还没有7，C5有7个空格可以填7，但其中6个空格不能为7了，所以天元格r5c5=7 《 这个方法因为是对列实施摒除的，所以叫列摒除法，与其类似的还有行摒除法。行列摒除法也是很常用的方法。 见识了摒除法之后，大家是否尝试寻找另一个摒余解呢不好意思要给大家泼凉水了，因为这个盘势下已经找不到宫摒余解或者行列摒余解了，那怎么办呢，没关系，我们继续介绍其它的技巧。 ?以下我们将叙述一道标准数独的全部解题过程，在此过程中涉及到的技巧有摒除法、余数法、区块法、数对法、X-Wing这几个常在数独书籍中会涉及到的技巧,文中将描述各个技巧的结构及作用效果，相信在看完解题过程之后，您能相当程度地掌握到数独的基本解题技巧,也能在解题的过程中发现数独给您带来的乐趣。 ?谜题如下图 ?? ?第一招：摒除法 ?大家之前已阅读过数独的规则:在每个单元中，每个数字只能出现一次,那么也就意味着,如果一行已经出现了一个1，这行的其他格就不再有1，利用这个观点，引发出摒除法。?第1步：数字2对B1进行摒除?ｒ1c8为2，则其所在R１不再有2；?r2ｃ４为２,则其所在R2不再有２；?r9c２为2，则其所在C２不再有2,?在B1中还没有2,Ｂ1有6个空格可以填2,但其中5个空格被摒除了，只剩下r3c1，所以得到第一解：r3c1=２?这个方法因为是对宫实施摒除的,所以叫宫摒除法。宫摒除法是解题技巧里面最简单的一种，也是解题过程中使用最多的一种。其实解数独就是这么简单！ ?第2步:r１ｃ3＝7（宫摒余解，数字7对B1摒除) ?第3步：ｒ4ｃ7=7(宫摒余解,数字7对B6摒除)? ?第4步:数字7对Ｃ5进行摒除 ?r1c3为７;则其所在R1不再有7; ?r2c9为7,则其所在R2不再有7； ?ｒ4ｃ７为7，则其所在R4不再有７； ?r6c2为7，则其所在R6不再有7； ?r8c1为7，则其所在Ｒ8不再有7; ?r9c8为7,则其所在R9不再有7, ?在C5中还没有７,C5有7个空格可以填7,但其中6个空格不能为7了，所以天元格r5c5=７ ?这个方法因为是对列实施摒除的,所以叫列摒除法，与其类似的还有行摒除法。行列摒除法也是很常用的方法。 ?见识了摒除法之后,大家是否尝试寻找另一个摒余解呢？不好意思要给大家泼凉水了,因为这个盘势下已经找不到宫摒余解或者行列摒余解了,那怎么办呢，没关系,我们继续介绍其它的技巧。 ?第二招:余数法 ?前面我们提到,一格受其所在单元中其他20格的牵制,假如这20格里面已经出现了1-8这8个数字，我们就可以断定这格一定是未出现的唯一数字9。 ? ?第５步：点算r7c８的等位群格位已出现的数字 数独问题 摘要 本文是对数独问题进行求解。结合数独生成的特点，立足于题中数独建模和 WNF P函数和整数规划模型。 求解的要求，建立了数独难度分析() 对于问题一，首先研究数独难度的影响因素，通过综合分析数独的特点结构，WNF P可以在常数时间内计算出来以衡量数独的难易程度。通过计算可知得出() ()0.04531 WNF P=，根据数独难度的划分得到如下结论：数独难度系数为4，达到了极难的程度。 对于问题二，我们通过对此数独的分析和讨论，利用穷举法，通过matlab 软件编程求解，最终得出答案，如表1所示。 对于问题三，我们利用回溯法思想，建立求解模型，具体算法一般采用如下步骤： 1).在此数独初盘选择一个空单元格； 2).取这个单元格中一个可能的候选数； 3).将这个候选数填入单元格中，迭代完成数独； 4).若这个候选数推导得到一个无效数独终盘，返回此单元格取其他候选数； 对于问题四采用整数规划模型，采用三维0-1 变量的方法，运用lingo软件编程求解。最终得到答案，如表1所示。 关键词：数独数独难度分析穷举法回溯法整体规划 1问题的重述 前段时间芬兰一位数学家号称设计出全球最难的“数独游戏”，并刊登在报纸上，让大家去挑战。该数独如下图所示： 数独是根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫内的数字均含1-9，且不重复。每一道合格的数独谜题都有且仅有唯一答案，推理方法也以此为基础，任何无解或多解的题目都是不合格的。 根据以上描述，试完成以下问题： 1. 分析此数独的难度； 2. 用穷举算法求解数独； 3. 设计此数独求解的较优的算法； 4. 建立数独求解模型并给出此数独的答案。 2模型的基本假设 1该数独问题存在唯一解。 3符号说明 X表示空单元格候选数 ? () X的加权函数 W n表示候选数数? () c X表示数独空单元格中的候选数数目函数 n E p表示该数独的空格处 () () WNF P表示该数独难度的函数 x表示数k是否填入数独方中的（i，j）处 ijk c表示往空格处填入0后数独方中（i，j）处的数 ij y表示经过求解后数独方中（i，j）处的数 ij 兰州交通大学 《算法设计与分析》 实验报告3 题目03-动态规划 专业计算机科学与技术 班级计算机科学与技术2016-02班学号201610333 姓名石博洋 第3章动态规划 1. 实验题目与环境 1.1实验题目及要求 (1) 用代码实现矩阵连乘问题。 给定n个矩阵{A1,A2,…,A n}，其中A i与A i+1是可乘的，i=1,2,…,n-1。考察这n 个矩阵的连乘积A1A2…A n。由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序，这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法（有改进的方法，这里不考虑）计算出矩阵连乘积。 确定一个计算顺序，使得需要的乘的次数最少。 (2) 用代码实现最长公共子序列问题。 一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。确切地说，若给定序列X= < x1, x2,…, xm>，则另一序列Z= < z1, z2,…, zk>是X的子序列是指存在一个严格递增的下标序列< i1, i2,…, ik>，使得对于所有j=1,2,…,k有Xij=Zj 。例如，序列Z=是序列X=的子序列，相应的递增下标序列为<2,3,5,7>。给定两个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。例如，若X= < A, B, C, B, D, A, B>和Y= < B, D, C, A, B, A>，则序列是X和Y的一个公共子序列，序列也是X和Y的一个公共子序列。而且，后者是X和Y的一个最长公共子序列，因为X和Y没有长度大于4的公共子序列。 (3) 0-1背包问题。 现有n种物品，对1<=i<=n，已知第i种物品的重量为正整数W i，价值为正整数V i，背包能承受的最大载重量为正整数W，现要求找出这n种物品的一个子集，使得子集中物品的总重量不超过W且总价值尽量大。（注意：这里对每种物品或者全取或者一点都不取，不允许只取一部分） 使用动态规划使得装入背包的物品价值之和最大。 1.2实验环境： CPU：Intel(R) Core(TM) i3-2120 3.3GHZ 内存：12GB 操作系统：Windows 7.1 X64 编译环境：Mircosoft Visual C++ 6 2. 问题分析 (1) 分析。 数独技巧3 X翼删减法、剑鱼删减法 X翼删减法：两列只有 两格可以填入6，且这4 剑鱼删减法与X翼删减 法道理相同，由2列拓 剑鱼删减法除了以上标 准型（3-3-3，3列都有 3个候选数），还由一些 X翼删减法实 例： 剑鱼删减法 实例： Turbot Fish 删减法 1楼 Turbot Fish介绍之前做个简单的铺垫，简单介绍一下强弱链的关系。单链分为强链和弱链。强链：某行、列或宫只存在2个某候选数，这两个数就构成强链，两数非真即假。这里用红线连接表示。 弱链：某行、列或宫存在3个或3格以上某候选数，这些数就构成弱链，其中一个为真则其余为假；其中一个为假则不能判断其余的真假。这里用蓝线连接表示。 根据强链两端数字，一个为真另一个为假的特性可以引申出某些三条连续单链组有排除候选数的情况。 “强-强-强链”和“强-弱-强”链都可以导致“长链”两端数字交叉处格中的该数被删除。 下边给出两种“三连链”的图:（两图中“长链”形状可以互换） 说明： “强-强-强链”由于链两端数非真即假的特性，标成红蓝两组，红为真则蓝为假，反之亦然。“长链”两端也为一红一蓝，肯定有一个是真，所以排除掉共同区域格（橙色格）中的x。 “强-弱-强链”虽然不像“三强”中数字真假那么分明，但注意弱链的两端，弱链一端为真另一端也为假，这两端的数字分别连接强链，所以导致“长链”两端数同样是一真一假。如果弱链两端均为假，则长链两端数都为真。综上：同样排除掉共同区域格（橙色格）中的x。 所以，可以看出“强-强-强链”与“强-弱-强链”在排除两端数字交叉区域数字的效果上是“等价”的。 一、注意长串连续格和3个相邻不连续格： 例：如图3列存在4个连续数（红圈），因A3为5，所以这4个连续数必是1234或者6789。剩下4格（绿圈）也必是1234或者6789。 若4格绿圈为1234，因1宫有234，所以234在7宫绿圈中。 定理一：3个相邻的不连续格，一定不存在3个连续数。 由定理一知，234在7宫绿圈中矛盾，所以绿圈中应为6789，那么红圈中4个连续数为1234。 二、看见28想19： 定理二：某一规则（行列宫）中已经存在2或8且不连续或连续上不是1或9，那这一规则中的1或9一定在不连续上。 例1：如图1列已存在8，由定理二知9一定在F1或者I1，因I3为9，所以9在F1。 三、长串连续格中的唯一组合： 如图跨124宫的一长串连续格，只能是1-7、2-8、3-9，根据2宫的2或者7宫的789 可判断这串连续的头尾： 然后利用穷举，可知3-9中7的位置个1宫的8矛盾，排除3-9。 长串连续格无论是1-7或是2-8，可得2宫7的区块，然后1宫的7即可确定。 1宫已经有68，所以B4不能为7，然后这一串连续就确定为1-7。 四、结合区块排除出数： 1，如图E行6宫5的区块，可知5的区块上不能有6， 2，E行5宫经过穷举只能是234或789，没有6， 定理三：某规则中剩余n个连续数，且n-1个数要求连续，那么不连续的那个数一定是这n个连续数的头或尾。 3，看1列，根据定理三可知E1为3或6， 定理四：3个相邻的不连续格，若存在2个连续数，这两个数必在这3格的两端。 4，看4宫，根据定理四可推出E3为4或7。 五、尝试用某数分隔出唯一连续数： 如图：9宫出现6的区块，假设G7为6，那么9宫的的5个连续数只能是1-5，很快发现矛盾，所以6一定在G8或G9，因为H3为5，所以H8或H9必有7。这样就可以标出56 和47两组数对。 六、巧用某一规则中唯一不连续数： 如图：看2宫由6个连续数、2个连续和1个不连续数组成，这里的2个连续数和1个不连续数，一定是123789其中3个数字。穷举知C5C6两个连续数只能是12、23、78、89，因C1为12，C2为7，所以C56只能是23或者89。唯一的不连续数A6为1或 7。 《算法设计与分析》实验报告 分治策略 姓名：XXX 专业班级：XXX 学号：XXX 指导教师：XXX 完成日期：XXX 一、试验名称：分治策略 （1）写出源程序，并编译运行 （2）详细记录程序调试及运行结果 二、实验目的 (1)了解分治策略算法思想 (2)掌握快速排序、归并排序算法 (3)了解其他分治问题典型算法 三、实验内容 (1)编写一个简单的程序，实现归并排序。 (2)编写一段程序，实现快速排序。 (3)编写程序实现循环赛日程表。设有n=2k个运动员要进行网球循环赛。现 要设计一个满足以下要求的比赛日程表：（1）每个选手必须与其它n-1个选手各赛一次（2）每个选手一天只能赛一场（3）循环赛进行n-1天 四、算法思想分析 (1)编写一个简单的程序，实现归并排序。 将待排序元素分成大小大致相同的2个子集合，分别对2个子集合进行 排序，最终将排好序的子集合合并成为所要求的排好序的集合。 (2)编写一段程序，实现快速排序。 通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有 数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数 据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据 变成有序序列。 (3)编写程序实现循环日赛表。 按分治策略，将所有的选手分为两组，n个选手的比赛日程表就可以通 过为n/2个选手设计的比赛日程表来决定。递归地用对选手进行分割， 直到只剩下2个选手时，比赛日程表的制定就变得很简单。这时只要让 这2个选手进行比赛就可以了。 五、算法源代码及用户程序 (1)编写一个简单的程序，实现归并排序。 #include 数独解法(一) 九宫格摒除解 对第一次接触数独游戏，接受了1～9的数字在每一行、每一列、每一个九宫格都只能出现一次的规则后，开始要解题的玩家来说，基础摒除法绝对是他第一个想到及使用的方法，十分的自然、也十分的简易。如果能够细心、系统化的运用基础摒除法，一般报章杂志或较大众化的数独网站上的数独谜题几乎全部可解出来。只不过大部分的玩家都不知如何系统化的运用基础摒除法罢了！ 基础摒除法虽然简单，但在寻找解的过程中，仍然要分成三个部分：寻找九宫格摒除解、寻找列摒除解、寻找行摒除解。不要说是初入门者，即使是很多未接受过本讯息者，也常常会遗漏了行、列摒除解的寻找。对一些粗心的玩家来说，即使是九宫格摒除解也常被跳着做，所以解起题来就会感到不是十分顺手。 1．九宫格摒除解的寻找 九宫格摒除解的系统寻找是由数字1开始一直到数字9，周而复始，直到解完全题或无解时为止；每个数字又需从上左九宫格起，直到下右九宫格，周而复始，同样要不断重复到解完全题或无解时为止。 <图2.1.1> 以<图2.1.1>的解题为例：先从数字1开始，并由上左九宫格起寻找九宫格摒除解，会影响上左九宫格的数字，一定存在第1列～第3列以及第1行～第3行如<图2.1.2>的绿色区域。 <图2.1.2> 本区域已存在的数字1共有两个，它们分别存在(2,9)及(5,1)；其中(2,9)的1将摒除第2列其它宫格再填入数字1的可能，因为依照规则每一列只能有一个数字1，如果再在本列填入数字1，那么本列就会有两个1了。同理，(5,1)的1则将摒除第1行其它宫格再填入数字1的可能，其示意图如<图2.1.3>。 <图2.1.3> 对上左九宫格的摒除仅能到此地步，我们可以很容易的发现：本九宫中还有3个宫格不在被摒除的区域中，意即：这3个宫格都仍有可能填入数字1，依不可猜测的原则，本九宫格暂时不予处理。 接下来我们要尝试在上中九宫格寻找是否有九宫格摒除解1：会影响上中九宫格的数字，一定存在第1列～第3列以及第4行～第6行。本区域已存在的数字1共有3个，它们分别存在(2,9)、(4,6)及(9,5)，其摒除的范围示意图如<图2.1.4>。 <图2.1.4> X翼删减法、剑鱼删减法 X翼删减法：两列只有两格可以填入6，且这 4格分别在两行形成一个X形，这时可以排除 这两行其它格内的填入6的可能，示意图： 剑鱼删减法与X翼删减法道理相同，由2列拓 展为3列.3列中每列都只有3格可以填入5， 且这9格分别在三行，这时可以排除这三行其 它格填入5的可能，示意图： 剑鱼删减法除了以上标准型（3-3-3，3列都 有3个候选数），还由一些简化形式，比如 3-2-3型、3-2-2型、2-2-2型等。只要可以满 足在某列中选择任意一个候选数，都满足在 3行中都存在一个候选数即可。下边给出一 个2-2-2型的剑鱼删减法： X翼删减法实例： 剑鱼删减法实例： Turbot Fish 删减法 1楼 Turbot Fish介绍之前做个简单的铺垫，简单介绍一下强弱链的关系。单链分为强链和弱链。强链：某行、列或宫只存在2个某候选数，这两个数就构成强链，两数非真即假。这里用红线连接表示。 弱链：某行、列或宫存在3个或3格以上某候选数，这些数就构成弱链，其中一个为真则其余为假；其中一个为假则不能判断其余的真假。这里用蓝线连接表示。 根据强链两端数字，一个为真另一个为假的特性可以引申出某些三条连续单链组有排除候选数的情况。 “强-强-强链”和“强-弱-强”链都可以导致“长链”两端数字交叉处格中的该数被删除。 下边给出两种“三连链”的图:（两图中“长链”形状可以互换） 说明： “强-强-强链”由于链两端数非真即假的特性，标成红蓝两组，红为真则蓝为假，反之亦然。“长链”两端也为一红一蓝，肯定有一个是真，所以排除掉共同区域格（橙色格）中的x。“强-弱-强链”虽然不像“三强”中数字真假那么分明，但注意弱链的两端，弱链一端为真另一端也为假，这两端的数字分别连接强链，所以导致“长链”两端数同样是一真一假。如果弱链两端均为假，则长链两端数都为真。综上：同样排除掉共同区域格（橙色格）中的x。 所以，可以看出“强-强-强链”与“强-弱-强链”在排除两端数字交叉区域数字的效果上是“等价” 数独游戏 董猛 (宁波工程学院 电信学院，浙江 宁波 315010) 摘 要: 过对数独求解规则的分析,归纳总结一套有效的求解算法,以计算机直接模拟人脑的思维方式,逐个排除不可能出现在宫格中的数字。论文详细阐述了比较排除法的算法思想,画出程序流程图,并提供主要代码。实验证明算法是正确并高效的。 关键词: 数独 策略 搜索 Sudoku game Dong Meng (NINGBO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY, Ningbo,Zhejiang,315000 C hina ；) Abstract: Logarithmic alone solve rule analysis, sum up a set of effective algorithm, in computer simulation of the human brain thinking directly, don't rule out one by one may appear in the GongGe Numbers. Paper illustrates the comparison method of algorithm thought, draw the procedure flow chart, and provides the key code. Experimental results show algorithm is correct and effective. Key words: Sudoku search strategy 1 引言 数独（すうどく，Sudoku ）是一种运用纸、笔进行演 算的逻辑游戏。玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推 理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一 个粗线宫内的数字均含1-9，不重复。 目前（截止2011年）发现的最少提示数9×9标准数 独为17个提示，截止编辑此词条时间（2011.11.24 16:14）， 共发现了非等价17提示数谜题49151题。 独盘面是个九宫，每一宫又分为九个小格。在这八十 一格中给出一定的已知数字和解题条件，利用逻辑和推理， 在其他的空格上填入1-9的数字。使1-9每个数字在每一 行、每一列和每一宫中都只出现一次，所以又称“九宫格”。 图 1 数独图册 2 算法设计 2.1 数独算法描述 本文所设计的比较排除法是以计算机直接模拟人脑思维方式进行搜索,需要选取对象后作出对比排查。以人脑思维方式,对数独题目进行求解,必定先会选定某个已知的数字,对其在其他行列进行比较,直至确定另一个可放置的位置。如果一个数字已用尽已知条件9个位置都出现,或还有空缺但是却已经无法确定其位置,则跳至下一个数字进行下一轮的比较与确定。然而计算机无法进行此类比较。由于计算机无法选定已知数,所以让计算机从选定未知数开始排查,再进行逐格的一项项排除,直至完成数独题目。 该方法是根据数独游戏的出题原则,每格所填数字必须有根 据,故可确定总有格子是可以通过现有已知量进行推导的。 算法如下：（伪码描述、自然语言描述、流程图） int main() { ifstream fin(szDataFile);//读取数独初始化文件 if (!fin) { cout << "error in open files!\n"; return -1; } int i, j; for (i=0; i<9; i++) for (j=0; j<9; j++) 数独的直观式解题技巧 直观法概说 前言 数独这个数字解谜游戏，完全不必要用到算术！会用到的只是推理与逻辑。刚开始接触数独时，即使是只须用到"基础摒除法"及"唯一解法"技巧的简易级谜题，就已可让我们焦头烂额了，但是随着我们深陷数独的迷人世界之后，这类简易级的数独谜题必定在短时间内难再使我们获得征服的满足。于是，当我们逐步深入、进阶到更难的游戏后，我们将会需要发展出更多的解谜技巧。虽然最好的技巧便是我们自己发现的窍门，这样我们很容易就能记住它们，运用自如，不需要别人来耳提面命。但是如果完全不去观摩学习他人发展出来的技巧，而全靠自己摸索，那将是一个非常坚苦的挑战，也不是正确的学习之道！所以让我们一齐来探讨数独的解谜方法吧！ 数独的解谜技巧，刚开始发展时，以直观法为主，对于初入门的玩家来说，这也是一般人较容易理解、接受的方法，对于一般报章杂志及大众化网站上的数独谜题而言，如果能灵活直观法的各项法则，通常已游刃有余。 直观法详说 直观法的特性： 1.不需任何辅助工具就可应用。所以要玩报章杂志上的数独谜题时，只要有一枝 笔就可以开始了，有人会说：可能需要橡皮擦吧答案是：不用！只要你把握数 独游戏的填制原则：绝不猜测。灵活运用本站所介绍的直观填制法，确实可以 不必使用橡皮擦。 2.从接到数独谜题的那一刻起就可以立即开始解题。 3.初学者或没有计算机辅助时的首要解题方法。 4.相对而言，能解出的谜题较简单。 直观法的主要的技巧： 1.基础摒除法。 2.唯一解法。 3.区块摒除法。 4.唯余解法。 5.单元摒除法。 6.矩形摒除法。 7.余数测试法。 基础摒除法 前言 对第一次接触数独游戏，接受了 1 ～ 9 的数字在每一行、每一列、每一个九宫格都只能出现一次的规则后，开始要解题的玩家来说，基础摒除法绝对是他第一个想到及使用的方法，十分的自然、也十分的简易。 如果能够细心、系统化的运用基础摒除法，一般报章杂志或较大众化的数独网站上的数独谜题几乎全部可解出来。只不过大部分的玩家都不知如何系统化的运用基础摒除法罢了！ 基础摒除法虽然简单，但在实际应用时，仍然可分成三个部分： 数独解题方法大全 作者：扬子活力论坛泥瓦匠整理：隱讀書生数独这个数字解谜游戏，完全不必要用到算术！会用到的只是推理与逻辑。解题方法分两大类：直观法和候选数法。 直观法就是不需要任何辅助工具，从接到数独谜题的那一刻起就可以立即开始解题。绝不猜测。数独直观法解题技巧主要有：唯一解法、基础摒除法、区块摒除法、唯余解法、矩形摒除法、单元摒除法,余数测试法。 候选数法就是解数独题目需先建立候选数列表，根据各种条件，逐步安全的清除每个宫格候选数的不可能取值的候选数，从而达到解题的目的。 使用候选数法一般能解比较复杂的数独题目，但是候选数法的使用没用直观法那么直接，需要先建立一个候选数列表的准备过程。所以实际使用时可以先利用直观法进行解题，到无法用直观法解题时再使用候选数方法解题。 候选数法解题的过程就是逐渐排除不合适的候选数的过程，所以在进行候选数删除的时候一定要小心，确定安全的删除不合适的候选数，否则，很多时候只有重新做题了。有了计算机软件的帮助，使得候选数表的维护变得轻松起来。 数独候选数法解题技巧主要有：唯一候选数法、隐性唯一候选数法、区块删减法、数对删减法、隐性数对删减法、三链数删减法、隐性三链数删减法、矩形顶点删减法、三链列删减法、关键数删减法、关连数删减法。 一、直观法： 1、唯一解法： 当某行已填数字的宫格达到8个，那么该行剩余宫格能填的数字就只剩下那个还没出现过的数字了。成为行唯一解。 当某列已填数字的宫格达到8个，那么该列剩余宫格能填的数字就只剩下那个还没出现过的数字了。成为列唯一解。 当某九宫格已填数字的宫格达到8个，那么该九宫格剩余宫格能填的数字就只剩下那个还没出现过的数字了。成为九宫格唯一解。 下面是例题： A行已经添入8个数字，A行只有数字3没有出现过，所以A9=3，这是行唯一解。 第1列已经添入8个数字，第1列只有数字5没有出现过，所以E1=5，这是列唯一解。 "数独"游戏的算法研究与实现 作者：李盘荣， LI Pan-tong 作者单位：无锡市广播电视大学,江苏,无锡,214011 刊名： 电脑知识与技术 英文刊名：COMPUTER KNOWLEDGE AND TECHNOLOGY 年，卷(期)：2008，3(26) 引用次数：0次 参考文献(4条) 1.今天,你数独了吗?(NO.19)[期刊论文]-快乐青春 2007(11) 2.严蔚敏.吴伟比数据结构 1993 3.谭浩强C程序设计 2005 4.刘晓宝数独游戏的解题算法[期刊论文]-电脑编程技巧与维护 2007(5) 相似文献(3条) 1.学位论文谭志明基于图论的图像分割及其嵌入式应用研究2007 图像分割是一种底层的图像处理技术，它根据特定的特征将图像分离为连通的有意义区域，可以广泛应用在图像及视频的高级处理任务中。图像分割技术经过几十年的发展，形成了众多的方法、繁杂的类别和海量的文献，但是与人眼视觉特征相一致的全局分割问题一直得不到解决。在这些方法中，基于图论最小生成树的方法利用区域比较准则和最小生成树算法分割图像，具有获取全局特征的能力，计算速度快，是一种可以作为应用研究的分割方法之一。本文的工作主要基于此算法。 为了提高此算法应用的可能性，我们需要更改算法及优化程序，提高其全局分割效果和计算速度。本文在分析基于最小生成树分割算法概念、原理、数据结构和实现方式的基础上，发现其运算瓶颈为边的数目，也就是图中实际计算的节点数目。因此本文利用图像局部特征相似的特性，使用N×N，N=1，2，3大小的自适应像素块映射为单个计算节点，大大降低了实际计算的节点和边的数目，从而降低了核心算法的计算复杂度。 为了适应块结构，本文更改了邻域系统，提出了基本连接和超连接的层次。基本连接保证了相邻区域的邻近性，而超连接提供了区域之间的连续性。这种两层的连接方式提高了算法获取全局特征的能力，获得了既不过分割也不欠分割的效果，接近图像对象的数目，减少了原算法分割区域的数目。另外，为了分析基于最小生成树算法的结构，本文将其分为三个阶段：前处理、核心算法和后处理。原算法大部分的计算负担集中在核心算法上，算法结构极不均衡。因此，本文在保证三个阶段接口不变的基础上，将构造图的过程从核心算法阶段转移到前处理阶段，均衡了计算量，增加了算法并行处理的能力。 图像进行分层分析和表达由来已久，具有在不同分辨率下表现图像内容的优势。金字塔图像分割方法是一种分层的分析方法，其突出优点是可以累积局部特征，从而表现全局特征。金宁塔分为规则金宁塔和非规则金字塔，后者可以克服前者的刚性特点，与图像内容相适应，成为金字塔图像分割算法的主要实现形式。人们提出了不同的非规则金字塔数据结构和缩减方法，但足大多数比较复杂。本文利用基于最小生成树分割算法计算速度快、结构简单、有效进行区域比较的优势，将其作为缩减核应用到非规则金字塔结构中，形成一种快速有效的块嵌入非规则金字塔分割算法。为了将金字塔高度控制在合理范围内，提高缩减因子，本文在第零层使用块结构加快其收敛速度，并提出了一种快速的邻近区域搜索方法以有效地构造高一层的边。试验结果表明，新的算法具有良好的分割效果和计算速度。 块嵌入非规则金字塔分割算法使用区域的特征平均值代替父节点的特征值，降低了噪声对算法的影响，从而无需额外的去噪方法，消除了原算法的高斯滤波参数。本文使用权重的最大最小差值代替原算法抑制小区域的参数，可以在每层上自动适应图像的特征。另外，在构造块结构的过程中，本文使用图像的标准差作为比较准则，从而无需输入块构造参数。金字塔累积局部特征的本质可以去除合并小区域的步骤，从而消除了最小区域参数。本文的这些工作使块嵌入非规则金字塔分割算法成为一个参数独立的自动分割算法，有利于实际应用。 良好的分割效果与快速计算速度使分割算法进行实时应用成为可能。本文在高清数字电视解码器片上系统平台软硬件工作的基础上，分析了基于MIPS处理器的嵌入式平台在时间和空间上的运算资源优化，尝试将基于最小生成树的图像分割算法进行嵌入式移植。在回顾算法改进的基础上，本文对程序代码进行运行时间和空间上的优化，包括运行时间剖析、缓存优化、调用关系优化和动态内存分析等 ，以软件IP的形式移植到基于MIPS开发平台Malta板上。分割程序建立在一个嵌入式软件系统上，包括启动程序、Linux操作系统、API和库等，以主机控制目标板的方式运行，通过网络远程读写图像文件。 2.期刊论文雷蕾.沈富可.LEI Lei.SHEN Fu-ke关于数独问题的算法的设计与实现-电脑知识与技术（学术交流）2007,1(2) 数独问题(Sudoku)是十八世纪瑞士数学家欧拉提出的、近年来风靡全球的一种智力游戏.本文通过分析数据结构、函数、以及"有限递推"预处理算法和回溯算法,深入探讨了数独问题的解决方案,并给出了该方案的具体实现. 3.学位论文马晓磊OMR技术在选举工作中的应用研究1999 该文试图通过对"计算机选举系统"硬件及软件设计的论述,研究OMR技术在选举工作中的应用,旨在讨论利用OMR技术开发应用系统的一般途径和方法,开拓OMR技术更广的应用范围.围绕系统的核心OMR,该论文分析了自动识别统计选票的原理和过程,阐述了外围支持环境,包括硬件电路设计、机械传动机构设计、选票的标准化设计和软件的编制及规范化等基础理论研究工作的思路及过程,建立了系统系结构的整体概念.作者首次制订了选票的详细设计规则,确定了网络数据的传输机制,分析确定了文件数据结构,首次提了并定义了选举和选票格式的若干参数,独立编制了监控程序、数据处理程序、调试工具程序等软件,规范和整理了控制、通讯等程序、数据处理程序、调试工具程序等软件,规范和整理了控制、通讯等程序.对软件的各顶主要功能做了详细介绍.在编码过程中,采用了扩展小字库.对软件的各顶主要功能做了详细介绍.在编码过程中,采用了扩展小字库、汇编嵌套等等多种技术技巧.该论文还从数据采集的角度,讨论了光电管在动态条件下,对边框的测量宽度和频率问题,针对在宽度和频率受限的情况下,如何减少随机误差产生的可能性,介绍了"跟踪判断"技术的原理.最后,论文提出了系统今后需要继续研究和解决的几个问题. 本文链接：https://www.360docs.net/doc/554611328.html,/Periodical_dnzsyjs-itrzyksb200826042.aspx 下载时间：2010年5月4日 学生实验报告书 实验课程名称算法设计与分析开课学院计算机科学与技术学院 指导教师姓名李晓红 学生姓名 学生专业班级软件工程zy1302班2015-- 2016学年第一学期 实验课程名称：算法设计与分析 同组者实验日期2015年10月20日第一部分：实验分析与设计 一．实验内容描述（问题域描述） 1、利用分治法，写一个快速排序的递归算法，并利用任何一种语言，在计算机上实现，同时 进行时间复杂性分析； 2、要求用递归的方法实现。 二.实验基本原理与设计（包括实验方案设计，实验手段的确定，试验步骤等，用硬件逻辑或者算法描述） 本次的解法使用的是“三向切分的快速排序”，它是快速排序的一种优化版本。不仅利用了分治法和递归实现，而且对于存在大量重复元素的数组，它的效率比快速排序基本版高得多。 它从左到右遍历数组一次，维护一个指针lt使得a[lo..lt-1]中的元素都小于v，一个指针gt 使得a[gt+1..hi]中的元素都大于v，一个指针i使得a[lt..i-1]中的元素都等于v，a[i..gt]中的元素都还未确定，如下图所示： public class Quick3way { public static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) { if (lo >= hi) return; int lt = lo, i = lo + 1, gt = hi; Comparable pivot = a[lo]; 第二部分：实验调试与结果分析 一、调试过程（包括调试方法描述、实验数据记录，实验现象记录，实验过程发现的问题等） 1、调试方法描述： 对程序入口进行断点，随着程序的运行，一步一步的调试，得到运行轨迹； 2、实验数据： "R", "B", "W", "W", "R", "W", "B", "R", "R", "W", "B", "R"； 3、实验现象： 4、实验过程中发现的问题： （1）边界问题： 在设计快速排序的代码时要非常小心，因为其中包含非常关键的边界问题，例如： 什么时候跳出while循环，递归什么时候结束，是对指针的左半部分还是右半部分 排序等等； （2）程序的调试跳转： 在调试过程中要时刻记住程序是对那一部分进行排序，当完成了这部分的排序后， 会跳到哪里又去对另外的那一部分进行排序，这些都是要了然于心的，这样才能准 确的定位程序。 二、实验结果分析（包括结果描述、实验现象分析、影响因素讨论、综合分析和结论等） 1、实验结果： 唯一数Last Value 适用情况：当某行、某列或某宫中已经出现八个不同数字时，最后一格即剩下还未出现过的第九个数。 图中这一行已经出现数字1、2、3、4、5、6、7、8，所以余下的星号格为9。 实际应用： Reveal hidden contents 第一行已经出现了1、2、4、5、6、7、8、9，所以星号格为3。 宫摒除Hidden Single in Box 适用情况：观察某一个数字A，根据数独规则，在同行、列、宫内无重复数字，若一格是A，则其所在行、列、宫都不会再有A，若以此得出某一宫内数字A仅剩一个可能位置，则可以判断这格就是A。 图中对于第一宫，由于四个A的影响，第一宫只有一个地方可能填A，即星号处。 实际应用： Reveal hidden contents 观察第七宫和数字1，由于r1c3, r5c2, r8c8中数字1的影响，第七宫的1只能在r9c1。 行列摒除Hidden Single in Row/Column 适用情况：观察某一个数字A，根据数独规则，在同行、列、宫内无重复数字，若一格是A，则其所在行、列、宫都不会再有A，若以此得出某一行或列内数字A仅剩一个可能位置，则可以判断这格就是A。 图中对于第一行，由于四格受A的影响，第一行只有一个地方可能填A，即星号处。 实际应用： Reveal hidden contents 观察第一行和数字3，由于r8c1、r5c5、r6c9、r9c6中数字3的影响，第一行的3只能在r1c3。 唯一余数Naked Single 适用情况：观察某一格，根据数独规则，一格与其所在的行列宫没有重复数字，点算这格所在行列宫已经出现过的数字，若已经出现8个不同的数字，则这格就是第9个没有出现过的数。 对于星号格，其所在行（第一行）已经出现2346，所在列（第五列）已经出现15，所在宫 数独解题方法大全 首先，数独候选数法解题技巧主要有：唯一候选数法、隐性唯一候选数法、区块删减法、数对删减法、隐性数对删减法、三链数删减法、隐性三链数删减法、矩形顶点删减法、三链列删减法、关键数删减法、关连数删减法。 数独这个数字解谜游戏，完全不必要用到算术！会用到的只是推理与逻辑。解题方法分两大类：直观法和候选数法。 直观法就是不需要任何辅助工具，从接到数独谜题的那一刻起就可以立即开始解题。绝不猜测。数独直观法解题技巧主要有：唯一解法、基础摒除法、区块摒除法、唯余解法、矩形摒除法、单元摒除法,余数测试法。 候选数法就是解数独题目需先建立候选数列表，根据各种条件，逐步安全的清除每个宫格候选数的不可能取值的候选数，从而达到解题的目的。 使用候选数法一般能解比较复杂的数独题目，但是候选数法的使用没用直观法那么直接，需要先建立一个候选数列表的准备过程。所以实际使用时可以先利用直观法进行解题，到无法用直观法解题时再使用候选数方法解题。 候选数法解题的过程就是逐渐排除不合适的候选数的过程，所以在进行候选数删除的时候一定要小心，确定安全的删除不合适的候选数，否则，很多时候只有重新做题了。有了计算机软件的帮助，使得候选数表的维护变得轻松起来。 一、直观法： 1、唯一解法： 当某行已填数字的宫格达到8个，那么该行剩余宫格能填的数字就只剩下那个还没出现过的数字了。成为行唯一解。 当某列已填数字的宫格达到8个，那么该列剩余宫格能填的数字就只剩下那个还没出现过的数字了。成为列唯一解。 当某九宫格已填数字的宫格达到8个，那么该九宫格剩余宫格能填的数字就只剩下那个还没出现过的数字了。成为九宫格唯一解。 下面是例题： A行已经添入8个数字，A行只有数字3没有出现过，所以A9=3，这是行唯一解。 第1列已经添入8个数字，第1列只有数字5没有出现过，所以E1=5，这是列唯一解。数独技巧
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