常微分方程期末复习提要

常微分方程期末复习提要

中央电大 顾静相

常微分方程是广播电视大学本科开放教育数学与应用数学专业的统设必修课程．本课程的主要任务是要使学生掌握常微分方程的基本理论和方法，增强运用数学手段解决实际问题的能力．本课程计划学时为54，3学分，主要讲授初等积分法、基本定理、线性微分方程组、线性微分方程、定性理论简介等内容。本课程的文字教材是由潘家齐教授主编、中央电大出版社出版的主辅合一型教材《常微分方程》．现已编制了28学时的IP 课件供学生在网上学习．

一、复习要求和重点 第一章 初等积分法

1．了解常微分方程、常微分方程的解的概念，掌握常微分方程类型的判别方法．

常微分方程与解的基本概念主要有：常微分方程，方程的阶，线性方程与非线性方程，解，通解，特解，初值问题。

2．了解变量分离方程的类型，熟练掌握变量分离方程解法． （1）显式变量可分离方程为： )()(d d y g x f x

y = ；

当0≠g 时，通过积分?

?

+=C x x f y g y d )()

(d 求出通解。

（2）微分形式变量可分离方程为： y y N x M x y N x M d )()(d )()(2211=； 当0)()(21≠x M y N 时，通过积分 ?

?+=

C x x M

x M y y N y N d )

()

(d )

()(2

112求出通解。

3．了解齐次方程的类型，熟练掌握齐次方程（即第一类可化为变量可分离的方程）的解法．

第一类可化为变量可分离方程的一阶齐次微分方程为： )(

d d x

y g x

y = ；

令x

y u =

，代入方程得x

u

u g x

u -=

)(d d ，当0)(≠-u u g 时，分离变量并积分，得

?=-u

u g u

x C )(d 1e

，即)

(e

u C x ?=，用x

y u =

回代，得通解)

(

e x y C x ?=.

4．了解一阶线性方程的类型，熟练掌握常数变易法，掌握伯努利方程的解法． （1）一阶线性齐次微分方程为：

0)(d d =+y x p x

y

通解为：?=-x

x p C y d )(e 。

（2）一阶线性非齐次微分方程为：

)()(d d x f y x p x

y =+；

用常数变易法可以求出线性非齐次方程的通解：?

?

+

?=-]d e )([e d )(d )(x x f C y x

x p x

x p 。

（3）伯努利方程为：

)1,0()()(d d ≠=+n y

x f y x p x

y n

，

两端除以n y ，得 )()(d d 1x f y

x p x

y y n

n

=+--；令n

y

z -=1，代入后得到以z 为未知

函数的线性方程

)

()(d d 11

x f z x p x

z

n =+-，在求通解。

5．了解全微分方程的类型及积分因子概念，熟练掌握全微分方程解法及简单积分因子的求法．

（1）全微分方程（或恰当方程）为：0d ),(d ),(=+y y x N x y x M ；

若二元函数),(y x U 满足：y y x N x y x M y x U d ),(d ),(),(d +=，则上式的原函数为：

),(y x U .

（2）如果存在连续可微函数0),(≠y x μ，使方程+x y x M y x d ),(),(μ 0d ),(),(=y y x N y x μ成为全微分方程，则称),(y x μ积分因子.

6．了解一阶隐式微分方程的可积类型，掌握隐式方程类型I 、II 的参数解法． 隐式方程0),,(='y y x F ，若能把y '解出，得一个或几个显式方程 ),,2,1()

,(n i y x f y i =='

如果能用初等积分法求出这些显式方程的解，那么就得到原方程的解。

如果不能解出y '时，则用“参数法”求解：

类型Ⅰ )0),((,

0),(='='y y F y x F

若参数形式???='=)()(t y t x ψ?，则参数形式通解为：?????+==?C t t t y t x d )()()

(?ψ? ；

或参数形式???='=)()(t y t y ψ?，则参数形式通解为：??

???

=+=?)

(d )()(t y C t t t x ?ψ?

类型Ⅱ )),((),,(y y f x y x f y '='=

若参数形式???

??=='=)

,(p x f y p y x

x ，则参数形式解为：???==),(0),,(p x f y C p x G

或参数形式??

?

??=='=),(p y f x p

y y y ，则参数形式解为：??

?==Φ)

,(0),,(p y f x C p y

7．了解可降阶的高阶方程的可积类型，掌握高阶方程的三种降阶法．

第一种可降阶的高阶方程 )1(.0),,,,()

()

1()

(>=+k y

y

y

x F n k k ；

第二种可降阶的高阶方程 0),,,(='n

y y y F ；

假如方程0),,,,()

(='n y y y x F 的左端恰为某一函数),,,,()

1(-'Φn y y y x 对x 的导

数，则称该方程为恰当导数方程.

8．学会对应用问题建立常微分方程的一般步骤．

本章重点：五种基本初等积分法——变量分离方程解法，常数变易法，全微分方程解法，参数法，降阶法。

第二章 基本定理

1．知道线素与线素场的概念，理解解的存在与唯一性定理的条件、结论，理解其证明方法．

解的存在与唯一性定理的条件： 方程

),(d d y x f x

y =的右端函数),(y x f

（1）在闭矩形域b y y b y a x x a x R +≤≤-+≤≤-0000,:上连续；

（2）在R 上关于变量y 满足李普希兹(Lipschitz )条件，即存在常数N ，使对于R 上任何一对点),(y x 和),(y x 有不等式： y y N y x f y x f -≤-),(),(

结论： 初值问题 ??

?

??==00)(),(d d y

x y y x f x y

在区间0000h x x h x +≤≤-上存在唯一解

00)(),

(y x x y ==??。其中),(max

),,

min(),(0y x f M M

b a h R

y x ∈==。

2．了解解的延展、延展解、不可延展解的概念，了解局部李普希兹条件，理解解的延展定理，了解其证明方法．

3．了解奇解定义、包络线概念，掌握不存在奇解的判别法、包络线的C -判别式，掌握奇解的包络线求法．

（1）不存在奇解的判别方法：

若方程在全平面上解唯一，则方程不存在奇解；

若不满足解唯一的区域上没有方程的解，则方程无奇解．

（2）求奇解的包络线求法． 若L 是曲线族0),,(:)(=ΦC y x C 的包络线，则其满足C —判别式??

?=Φ'

=Φ0),,(0),,(C y x C y x C ．

在非蜕化条件下，从C —判别式解出的曲线)(),(:C y C x ψ?==Γ是曲线族的包络线．

4．掌握利用解的存在与唯一性定理、解的延展定理证明有关方程解的某些性质的基本方法．

本章重点：解的存在与唯一性定理，解的延展定理。

第三章 线性微分方程组

1. 了解一阶微分方程组的通解、通积分的概念，了解微分方程组的解的存在唯一性定理．

微分方程组的解的存在与唯一性定理的条件： 方程组),(d d Y F Y x x

=右边的函数

F (x ,Y )

（1）在n +1维空间的区域 b x x R ≤-≤-00,|:|Y Y α 上连续；

（2）在R 关于Y 满足李普希兹条件，即存在N >0,使对于R 上任意两点),(1Y x ，),(2Y x ，

有

2121),(),(Y Y Y Y Y Y -≤-N x x

结论：存在00>h ,使初值问题??

?

??==00)(),(d d Y

Y Y F Y

x x x 的解在00||h x x ≤-上存在且唯一，

其中),(max

),,

min(),(0Y F x M M

b a h R

Y x ∈==.

2．了解一阶线性微分方程组的有关概念，了解一阶线性微分方程组的解的存在唯一性

定理．

3. 了解一阶线性齐次方程组的解的性质，了解基本解组、标准基本解组的概念，理解一阶线性齐次微分方程组的解的结构、通解基本定理，掌握刘维尔公式．

（1）齐次方程组的解的性质： 线性齐次方程组的任何有限个解的线性组合仍为其解. （2）n 个n 维向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 相关性的判别方法： 如果向量组在区间I 上线性相关，则它们的朗斯基行列式W (x )在I 上恒等于零.

如果向量组的朗斯基行列式W (x )在区间I 上的某一点x 0处不等于零，即0)(0≠x W , 则向量组在I 上线性无关.

齐次方程组的n 个解在其定义区间I 上线性无关的充要条件是它们的朗斯基行列式W (x )在I 上任一点不为零.

（3）如果)(,),(),(21x x x n Y Y Y 是齐次方程组的基本解组，则其线性组合

)()()()(2211x C x C x C x n n Y Y Y Y +++=

是齐次方程组的通解,其中n C C C ,,,21 为n 个任意常数. 线性齐次方程组的线性无关解的个数不能多于n 个.

（4）如果)(,),(),(21x x x n Y Y Y 是齐次方程组的n 个解，则这n 个解的朗斯基行列式与方程组的系数有如下关系式

?=+++x

x nn t

t a t a t a x W x W 02211d )]()()([0e

)()(

这个关系式称为刘维尔(Liouville )公式.

4．理解一阶线性非齐次微分方程组通解结构，掌握拉格朗日常数变易法． （1）如果)(~

x Y 是线性非齐次方程组

)()(d d x x x

F Y A Y

+=的解，而)(0x Y 是其对应齐

次方程组Y A Y )(d d x x

=的解，则)(~

)(0x x Y Y +是非齐次方程组的解. （2）线性非齐次方程组的任意两个解之差是其对应齐次方程组的解.

（3）线性非齐次方程组的通解等于其对应的齐次方程组的通解与它的一个特解之和.即若)(~

x Y 是非齐次方程组的一个特解，),(,),(),(21x x x n Y Y Y 是对应齐次方程组的一个基本解组，则通解为

)(~

)()()()(2211x x C x C x C x n n Y Y Y Y Y ++++=

这里n C C C ,,,21 是任意常数.

5．了解常系数线性微分方程组的特征方程式、特征根、特征向量的概念，了解常系数线性微分方程组基本解组的概念，掌握求基本解组的方法，熟练掌握常系数线性微分方程组的待定指数函数解法（单特征根情形）．

如果常系数线性微分方程组

AY Y =x

d d 的系数阵A 的n 个特征根n λλλ,,,21 彼此互

异，且),(,),(,21x x n T T T 分别是它们所对应的特征向量，则

n x

n x

x

n x x x T T T λλλe

)(,,e

)(,e

)(221121===Y Y Y

是方程组的一个基本解组.

本章重点：线性微分方程组解的结构，常系数线性微分方程组的解法。

第四章 线性微分方程

1．了解n 阶线性微分方程的概念，知道n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关

系，了解n 阶线性微分方程解的存在唯一性定理．

n 阶线性微分方程解的存在唯一性定理：如果方程y x p y

x p y

n n n '+++--)()(1)

1(1)

(

)()(x f y x p n =+的系数)(x p k (k=1,2,…，n )及其右端函数f(x)在区间I 上有定义且连续，则对于I 上的任一0x 及任意给定的)

1(00

0,,,-'n y y y ，方程的满足初始条件,)(00y x y =的

解在I 上存在且唯一.

2．理解n 阶线性齐次微分方程解的结构和通解基本定理，了解n 阶线性齐次微分方程的基本解组，掌握刘维尔公式．

（1）齐次方程0)()()(1)

1(1)

(=+'+++--y x p y x p y

x p y

n n n n 的n 个解

)(1x ?，)(2x ?，…，)(x n ?

在其定义区间I 上线性无关(相关)的充要条件是在I 上存在点x 0，使得它们的朗斯基行列式W(x ０)≠0 (W (x ０)＝0).

（2）如果)(1x ?，)(2x ?，…，)(x n ?是齐次方程的n 个线性无关解，则

y = )(11x C ?+)(22x C ?+…+)(x C n n ?

是方程(4.11)的通解，其中n C C C ,,,21 为n 个任意常数.

（3）n 阶齐次方程的线性无关解的个数不超过n 个. （4）n 阶齐次方程总存在定义在区间I 上的基本解组.

（5）设)(1x ?，)(2x ?，…，)(x n ?是方程的任意n 个解，W (x )是它们朗斯基行列式，则对区间I 上的任一x ０有

W(x)=W(x ０)?x

x t

t p 01d )(e

上述关系式称为刘维尔(Liouvill e )公式. 3．理解n 阶线性非齐次微分方程的通解定理，掌握n 阶线性非齐次微分方程用常数变

易法法求通解的方法．

4．了解n 阶常系数线性齐次方程的概念，熟练掌握n 阶常系数线性齐次方程的单特征根的待定指数函数解法及重特征根的待定指数函数解法．

5．了解n 阶常系数线性非齐次方程的概念，熟练掌握第一类、第二类非齐次项n 阶常系数线性非齐次方程的特解的待定系数法．

本章重点：n 阶线性微分方程解的存在唯一性定理，通解基本定理，n 阶常系数线性方程的解法。

第五章 定性理论简介

1. 了解稳定性概念．了解零解稳定和零解渐近稳定定理．

2．知道相平面、相轨线、相图、常点、奇点与闭轨的概念，知道平面自治系统的三个性质，掌握平面初等奇点的分类方法． 本章重点：平面自治系统的奇点分析。

二、考试说明

常微分方程课程的期末考试的对象是中央广播电视大学数学与应用数学专业的学生． 本课程期末考试是全国统一的结业考试，主要考察初等积分法、基本定理、线性微分方程组、线性微分方程、定性理论简介等章节的基本概念、基本方法和基本计算能力。 考核要求分为三个不同层次：有关定义、定理、性质和结论等概念的内容由低到高分为“知道、了解、理解”三个层次；有关计算方法、公式和法则等内容由低到高分为“会、掌握、熟练掌握”三个层次．三个不同层次由低到高在期末试卷中的比例为：2:3:5．

试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，其分值在期末试卷中的比例为：4:4:2．试题类型分为单项选择题、填空题、计算题和证明题．单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程；计算题要求写出演算步骤；证明题要求写出推证过程．四种题型分数的百分比为：单项选择题15 %，填空题15 %，计算题50 %，证明题20%．期末考试采用闭卷笔试形式，卷面满分为100分，考试时间为120分钟．

考试时不得携带除书写用具以外的任何工具．