直角三角形性质应用(讲义及答案).

直角三角形性质应用（讲义）

课前预习

1. 根据图中给出的边长及角度信息，在横线上补全下列直角三角形的边长．

1

1

45°

30°

2

30°

45°

23

2. 下列是不完整的弦图结构，请补全弦图．

知识点睛

直角三角形性质梳理：

1. 从边与角的角度来考虑

①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______．

②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____； 勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形．

2. 添加一些特殊的元素（中线或30°角）

①直角三角形斜边上的中线等于______________；

如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形．

②30°角所对的直角边是_____________________；

在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这 条直角边所对的锐角等于_____________． 3. 特殊的直角三角形

A

C

45°

1130°

2

3

42

1

1

A

B

A B

C

A

a 2+

b 2=c

2

C

B

A

C B A β

α

C

A B

A B C A

B

C

C

B

A

2m

m

A

B

C

30°

4. 垂直（多个）

①等面积法

ab=ch

D h C B

A

c b

a

h h=h 1+h 2+h 3

h 3

h 2h 1

A

C

②弦图结构

外弦图（赵爽弦图） 内弦图（毕达哥拉斯图）

精讲精练

1. 如图，在Rt △ABE 中，∠B =90°，延长BE 到C ，使EC =AB ，分别过点C ，E 作BC ，AE 的垂

线，两线相交于点D ，连接AD ．若AB =3，DC =4，则AD 的长为___________．

E D

C B

A

A

E

D

C

B

第1题图 第2题图

2. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 边上，若DE =m ，BC =n ，且∠EBC 与∠DCB 互余，则BD 2+CE 2=__________（用含m ，n 的式子表示）．

3. 如图，在△ABC 中，∠C =2∠B ，点D 是BC 上一点，AD =5，且AD ⊥AB ，点E 是BD 的中点，

AC =6.5，则AB 的长为______．

A

B

C D

F

E

C B A

第3题图 第4题图

4. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点E 为AB 的中点，点D 在BC 上，且AD =BD ，AD ，CE 相

交于点F ．若∠B =20°，则∠DFE 等于（ ） A ．70° B ．60° C ．50° D ．40°

5. 已知△ABC 的周长是24，M 是AB 的中点，MC =MA =5，则△ABC 的面积是__________．

6. 在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角

形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2，4，3，则原直角三角形纸片的斜边长是（ ） A ．10

B

．C ．10

或D ．10

或4

3

2

43

2

7. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点D 在AC 上，若

∠CBD =30°，则AD

DC =_________．

8. Rt △ABC 和Rt △DEF 按如图方式放置，A ，B ，D 在同一直线上，EF ∥AD ，

∠CAB =∠EDF =90°，∠C =45°，DE =8，EF =16，则BD =__________．

C

B A

E

D

F

A

D

E

C

第8题图 第9题图

9. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点E ，

∠BDA =90°，∠CBE =30°，∠CEB =45°，AE =4EC ，BC =2，则BE =__________，

CD =__________．

10. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =3，以斜边AC 为边作正方形ACDE ，连接BE ，

则BE 的长为________．

E D

C

B A

E

D

C

B

A

O

第10题图 第11题图 第12题图

11. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且正方形的对角线交

于点O ，连接OC ，已知AC =5，OC

=，则另一直角边BC 的长为__________．

12. 如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCDE ，设正方形的中心为O ，

连接AO ，如果AB =4，AO

=，那么AC 的长为__________．

E

C

A

B

D

O

D

C

B A

直角三角形性质应用（习题）

1. 如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正

放置的四个正方形的面积依次是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1+S 2+S 3+S 4=_______．

S 4

l

3

21

S 3

S 2

S 1

2. 如图，在△ABC 中，∠C =45°，点D 在AB 上，点E 在BC 上．若AD =DB =DE ，AE =1，则AC 的

长为_______．

45°

D

B

A

P

D

B

C

A

F

A

C

D E 第2题图 第3题图 第4题图

3. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AB =6，BC =3，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，P 是BD 的中

点，则CP 的长为_______．

4. 如图，△ABC 是等边三角形，D 为BC 边上一点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．若

DE +DF =3，则△ABC 的周长为__________．

F

E

B C

A

D

l 3

l 2l 1A

B

C

F

E

D

C

B

A

第5题图 第6题图 第7题图

5. 如图，在△ABC 中，CF ⊥AB 于点F ，BE ⊥AC 于点E ，M 为BC 的中点．若EF =7，BC =10，则

△EFM

的周长为__________．

6. 如图，直线l 1∥l 2∥l 3，且l 1与l 3l 2与l 3之间的距离为1．若点A ，B ，C 分别在

直线l 1，l 2，l 3上，且AC ⊥BC ，AC =BC ，AC 与直线l 2交于点D ，则BD 的长为______．

7. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AD ∥BC ，BD 交AC 于点E ，1

2CBE ABE

∠=∠，F 是DE 的中