第五章-贝塞尔函数
n阶第一类贝塞尔函数()
J x
n
第二类贝塞尔函数，或称Neumann函数()
Y x
n
第三类贝塞尔函数汉克尔（Hankel）函数，(1)()
H x
n
第一类变形的贝塞尔函数()
I x
n
开尔文函数（或称汤姆孙函数）n阶第一类开尔文（Kelvin）第五章贝塞尔函数
在第二章中，用分离变量法求解了一些定解问题。从§2.3可以
看出，当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。
§5.1 贝塞尔方程的引出
下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。
这个问题可以归结为求解下述定解问题：
222222222222220(),,0, (5.1)(,),, (5.2)0, t x y R u u u a x y R t t x y u x y x y R u ?=+=???=++<>???=+≤= (5.3)
?????????
用分离变量法解这个问题，先令
(,,)(,)()u x y t V x y T t =
代入方程（5.1）得
222
22()V V VT a T x y ??'=+?? 或
2222
2 (0)V V T x y a T V
λλ??+'??==-> 由此得到下面关于函数()T t 和(,)V x y 的方程
20T a T λ'+=
（5.4） 2222
0V V V x y λ??++=?? （5.5） 从（5.4）得
2
()a t T t Ae λ-= 方程（5.5）称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。为了求出这个方程满足条件
2220x y R V +== （5.6）
的非零解，引用平面上的极坐标系，将方程（5.5）与条件（5.6）写成极坐标形式得
22222110,,02, (5.7)0,02, (5.8)
R V v V V R V ρλρθπρρρρθθπ=????+++=<≤≤??????=≤≤?
再令 (,)()()V P ρθρθ=Θ，
代入（5.7）并分离变量可得
()()0θμθ''Θ+Θ= （5.9）
22()()()()0P P P ρρρρλρμρ'''++-= （5.10）
由于(,,)u x y t 是单值函数，所以(,)V x y 也必是单值得，因此()θΘ应该是以2π为周期的周期函数，这就决定了μ只能等于如下的数：
2220,1,2,,,n
对应于2n n μ=，有
00()2
a θΘ=（为常数） ()cos sin ,(1,2,)n n n a n
b n n θθθΘ=+=
以2n n μ=代入（5.10）得
222()()()()0P P n P ρρρρλρρ'''++-= （5.11）
这个方程与（2.93）相比，仅仅是两者的自变量和函数记号有差别，所以，它是n 阶贝塞尔方程。
若再作代换
r =，
并记
()F r P
=，
则得
222()()()()0r F r rF r r n F r '''++-=.
这是n 阶贝塞尔方程最常见的形式。
由条件（5.8）及温度u 是有限的，分别可得
()0(0)P R P =???<+∞
?? （5.12） 因此，原定解问题的最后解决就归结为求贝塞尔方程（5.11）在条件（5.12）下的特征值与特征函数（（5.12中第一个条件是在R ρ=处的第一类边界条件，第二个条件是在0ρ=处的自然边界条件，由于2()k ρρ=在0ρ=处为零，所以在这一点应加自然边界条件）。在下一节先讨论方程（5.11）的解法，然后在§5.5中再回过头来讨论这个特征值问题。
§5.2 贝塞尔方程的求解
在上一节中，从解决圆盘的瞬时温度分布问题引出了贝塞尔方程，本节来讨论这个方程的解法。按惯例，仍以x 表示自变量，以y 表示未知函数，则n 阶贝塞尔方程为
22
222()0d y dy x x x n y dx dx ++-= （5.13）
其中n 为任意实数或复数。我们仅限于n 为任意实数，且由于方程中的系数出现2n 的项，所以在讨论时，不妨先假定0n ≥。
设方程（5.13）有一个级数解，其形式为
20120()c k c k k k k y x a a x a x a x a x ∞
+==+++++=∑，00a ≠ （5.14）
其中常数c 和(0,1,2,)k a k =可以通过把y 和它的导数,y y '''代入（5.13）来确定。
将（5.14）及其导数代入（5.13）后得
220{[()(1)()()]}0c k k k c k c k c k x
n a x ∞+=++-+++-=∑
化简后写成
22221220122()[(1)]{[()]}0c c c k k k k c n a x c n a x c k n a a x ∞
++-=-++-++-+=∑
要上式为恒等式，必须各个x 幂的系数全为零，从而得到下列各式： 1°220()0a c n -=；
2°221[(1)]0a c n +-=；
3°222[()]0(2,3,)k k c k n a a k -+-+==。
由1°得c n =±，代入2°得10a =。先暂取c n =，代入3°得 4°2(2)
k k a a k n k --=+。
因为10a =，由4°知13570a a a a =====，而246,,,a a a 都可以用0a 表示，即
022(22)
a a n -=+， 0424(22)(24)
a a n n =++， 06246(22)(24)(26)a a n n n -=
+++， … 0202(1)2462(22)(24)(22)(1)2!(1)(2)()m
m m m a a m n n n m a m n n n m =-+++-=+++.
由此知（5.14）的一般项为
202(1)2!(1)(2)()
m n m m a x m n n n m +-+++ 0a 是一个任意常数，让0a 取一个确定的值，就得（5.13）得一个特解。
把0a 取作
012(1)
n a n =Γ+ 这样选取0a 可使一般项系数中2的次数与x 的次数相同，并可以运用
下列恒等式：
()(1)(2)(1)(1)(1)n m n m n n n n m ++-++Γ+=Γ++
使分母简化，从而使（5.14）中一般项的系数变成
221(1)2!(1)
m m n m a m n m +=-Γ++ （5.15） 这样就比较整齐、简单了。
以（5.15）代入（5.14）得到（5.13）的一个特解
2120(1)(0)2!(1)n m
m
n m m x y n m n m +∞+==-≥Γ++∑ 用级数的比率判别法（或称达朗贝尔判别法）可以判定这个级数在整个数轴上收敛。这个无穷级数所确定的函数，称为n 阶第一类贝塞尔函数。记作
220()(1)(0)2!(1)n m
m
n n m m x J x n m n m +∞+==-≥Γ++∑ （5.16） 至此，就求出了贝塞尔方程的一个特解()n J x 。
当n 为正整数或零时，(1)()!n m n m Γ++=+，故有
220()(1)(0,1,2,)2!()!n m
m
n n m m x J x n m n m +∞+==-=+∑ （5.17） 取c n =-时，用同样的方法可得（5.13）的另一特解
220()(1)(1,2,)2!(1)!n m
m
n n m m x J x n m n m -+∞--+==-≠Γ-++∑ （5.18） 比较（5.16）式与（5.18）式可见，只要在（5.16）右端把n 换成n -，即可得到（5.18）式。因此不论n 式正数还是负数，总可以用（5.16）
统一地表达第一类贝塞尔函数。
当n 不为整数时，这两个特解()n J x 与()n J x -是线性无关的，由齐次线性常微分方程的通解的结构定理知道，（5.13）的通解为
()()n n y AJ x BJ x -=+ （5.19）
其中,A B 为两个任意常数。
当然，在n 不为整数的情况，方程（5.13）的通解除了可以写成（5.19）式以外还可以写成其它的形式，只要能够找到该方程另一个与()n J x 线性无关的特解，它与()n J x 就可构成（5.13）的通解，这样的特解是容易找到的。例如，在（5.19）中取cot ,csc A n B n ππ==-，则得到（5.13）的一个特解
()cot ()csc ()
()cos ()()sin n n n n n Y x n J x n J x J x n J x n n ππππ
--=--=≠整数（5.20） 显然，()n Y x 与()n J x 是线性无关的，因此，（5.13）的通解可以写成
()()n n y AJ x BY x =+ （5.21）
由（5.20）式所确定的函数()n Y x 称为第二类贝塞尔函数，或称Neumann 函数。
§5.3 当n 为整数时贝塞尔方程的通解
上一节说明，当n 不为整数时，贝塞尔方程（5.13）的通解由（5.19）或（5.21）式确定，当n 为整数时，（5.13）的通解应该是什么样子呢？
首先，我们证明当n 为整数时，()n J x 与()n J x -是线性相关的。事实上，不妨设n 为正整数N （这不失一般性，因n 为负整数时，会得到同样的结果），这在（5.18）中，1(1)N m Γ-++当0,1,2,,(1)m N =-时均为零，这时级数从m N =起才开始出现非零项。于是（5.18）可以写成
2224
24()(1)2!(1)! (1){}2!2(1)!2(2)!2! (1)()
N m
m
N n m m N N N N N
N N N N N x J x m N m x x x N N N J x -+∞--+=++++=-Γ-++=--++++=-∑ 即()N J x 与()N J x -线性相关，这时()N J x 与()N J x -已不能构成贝塞尔方程的通解了。为了求出贝塞尔方程的通解，还要求出一个与()N J x 线性无关的特解。
取哪一个特解？自然我们想到第二类贝塞尔函数。不过当n 为整数时（5.20）的右端没有意义，要想把整数阶贝塞尔方程的通解也写成（5.21）的形式，必须先修改第二类贝塞尔函数的定义。在n 为整数的情况，我们定义第二类贝塞尔函数为
()cos ()()lim ()sin n n J x J x Y x n ααααπαπ
-→-=为整数 （5.22） 由于当n 为整数时，()(1)()cos ()n n n n J x J x n J x π-=-=，所以上式右端的极限为“00
”形式的不定型的极限，应用洛必达法则并经过冗长的推导，最后得