第五章-贝塞尔函数

n阶第一类贝塞尔函数()

J x

n

第二类贝塞尔函数，或称Neumanｎ函数()

Y x

n

第三类贝塞尔函数汉克尔（Hankel）函数,(1)()

H x

n

第一类变形的贝塞尔函数()

I x

n

开尔文函数（或称汤姆孙函数)n阶第一类开尔文(Ｋelvin)

第五章贝塞尔函数

在第二章中，用分离变量法求解了一些定解问题。从§２.3可以

看出,当我们采用极坐标系后,经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态,就会得到一种特殊类型的常微分方程。本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§２.6中曾经指出过的贝塞尔方程,并讨论这个方程解的一些性质。下面将看到,在一般情况下,贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。

§5．1 贝塞尔方程的引出

下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。设有半径为R 的薄圆盘,其侧面绝缘,若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度,且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。

这个问题可以归结为求解下述定解问题:

222222222222220(),,0, (5.1)(,),, (5.2)0, t x y R u u u a x y R t t x y u x y x y R u ?=+=???=++<>???=+≤= (5.3)

?????????

用分离变量法解这个问题，先令

(,,)(,)()u x y t V x y T t =

代入方程(5.1)得

222

22()V V VT a T x y ??'=+?? 或

2222

2 (0)V V T x y a T V

λλ??+'??==-> 由此得到下面关于函数()T t 和(,)V x y 的方程

20T a T λ'+=

（5.４)

22220V V V x y λ??++=??

（5．5）

从（5．４)得

2

()a t T t Ae λ-= 方程（5.５）称为亥姆霍兹(He ｌmh ｏｌt ｚ)方程。为了求出这个方程满足条件

2220x y R V +==

（5．6）

的非零解,引用平面上的极坐标系，将方程(5.５)与条件（5.6)写成极

坐标形式得

22222110,,02, (5.7)0,02, (5.8)

R V v V V R V ρλρθπρρρρθθπ=????+++=<≤≤??????=≤≤? 再令 (,)()()V P ρθρθ=Θ,

代入（5.７）并分离变量可得

()()0θμθ''Θ+Θ=

(5.9)

22()()()()0P P P ρρρρλρμρ'''++-=

（５.10）

由于(,,)u x y t 是单值函数，所以(,)V x y 也必是单值得,因此()θΘ应该是以2π为周期的周期函数，这就决定了μ只能等于如下的数:

2220,1,2,,,n

对应于2n n μ=,有

00()2

a θΘ=（为常数) ()cos sin ,(1,2,)n n n a n

b n n θθθΘ=+=

以2n n μ=代入（５．１0）得

222()()()()0P P n P ρρρρλρρ'''++-=

(5．11）

这个方程与(2.9３)相比,仅仅是两者的自变量和函数记号有差别,所以，它是n 阶贝塞尔方程。

若再作代换

r =,

并记

()F r P

=， 则得

222()()()()0r F r rF r r n F r '''++-=.

这是n 阶贝塞尔方程最常见的形式。

由条件（5.８）及温度u 是有限的，分别可得

()0(0)P R P =???<+∞??

(5.12） 因此，原定解问题的最后解决就归结为求贝塞尔方程(5.11)在条件(5.１２)下的特征值与特征函数(（5.12中第一个条件是在R ρ=处的第一类边界条件，第二个条件是在0ρ=处的自然边界条件，由于2()k ρρ=在0ρ=处为零，所以在这一点应加自然边界条件）。在下一节先讨论方程（5．11)的解法,然后在§５.5中再回过头来讨论这个特征值问题。

§5．２ 贝塞尔方程的求解

在上一节中,从解决圆盘的瞬时温度分布问题引出了贝塞尔方程，本节来讨论这个方程的解法。按惯例,仍以x 表示自变量,以y 表示未知函数，则n 阶贝塞尔方程为

22222()0d y dy x x x n y dx dx ++-=

(5.13)

其中n 为任意实数或复数。我们仅限于n 为任意实数，且由于方程中的系数出现2n 的项,所以在讨论时,不妨先假定0n ≥。

设方程(5．13)有一个级数解,其形式为

20120()c k c k

k k k y x a a x a x a x a x ∞+==+++++=∑，00a ≠

（5.14)

其中常数c 和(0,1,2,)k a k =可以通过把y 和它的导数,y y '''代入(5．13）来确定。

将(５．14)及其导数代入（5．１3)后得

220{[()(1)()()]}0c k k k c k c k c k x

n a x ∞+=++-+++-=∑

化简后写成

22221220122()[(1)]{[()]}0c c c k k k k c n a x c n a x c k n a a x ∞

++-=-++-++-+=∑

要上式为恒等式,必须各个x 幂的系数全为零,从而得到下列各式： 1°220()0a c n -=；

2°221[(1)]0a c n +-=；

３°222[()]0(2,3,)k k c k n a a k -+-+==。

由1°得c n =±,代入2°得10a =。先暂取c n =，代入3°得 ４°2(2)

k k a a k n k --=+。 因为10a =,由４°知13570a a a a =====,而246,,,a a a 都可以用0a 表示,即

022(22)

a a n -=+, 0424(22)(24)

a a n n =++, 06246(22)(24)(26)a a n n n -=

+++, … 0202(1)2462(22)(24)(22)(1)2!(1)(2)()m

m m m a a m n n n m a m n n n m =-+++-=+++．

由此知（５.１４)的一般项为

202(1)2!(1)(2)()

m n m m a x m n n n m +-+++ 0a 是一个任意常数,让0a 取一个确定的值，就得(５.13)得一个特解。

把0a 取作

012(1)

n a n =Γ+ 这样选取0a 可使一般项系数中２的次数与x 的次数相同，并可以运用

下列恒等式:

()(1)(2)(1)(1)(1)n m n m n n n n m ++-++Γ+=Γ++

使分母简化,从而使(５.14）中一般项的系数变成

221

(1)2!(1)m m n m a m n m +=-Γ++

(５．１5)

这样就比较整齐、简单了。

以（5.15)代入（５.1４)得到(5．13)的一个特解

2120(1)(0)2!(1)n m

m

n m m x y n m n m +∞+==-≥Γ++∑ 用级数的比率判别法（或称达朗贝尔判别法)可以判定这个级数在整个数轴上收敛。这个无穷级数所确定的函数，称为n 阶第一类贝塞尔函数。记作

220()(1)(0)2!(1)n m

m n n m m x J x n m n m +∞+==-≥Γ++∑

(5.16)

至此，就求出了贝塞尔方程的一个特解()n J x 。

当n 为正整数或零时,(1)()!n m n m Γ++=+,故有

220()(1)(0,1,2,)2!()!n m

m

n n m m x J x n m n m +∞+==-=+∑ (5.１7）

取c n =-时，用同样的方法可得（5.13）的另一特解

220()(1)(1,2,)2!(1)!n m

m

n n m m x J x n m n m -+∞--+==-≠Γ-++∑ (5.18） 比较(５.16）式与（5.18)式可见,只要在（5．１6）右端把n 换成n -，即可得到(5.18）式。因此不论n 式正数还是负数,总可以用（５．16)统一地表达第一类贝塞尔函数。

当n 不为整数时，这两个特解()n J x 与()n J x -是线性无关的，由齐次线性常微分方程的通解的结构定理知道，（5．1３)的通解为

()()n n y AJ x BJ x -=+

（5．19）

其中,A B 为两个任意常数。

当然,在n 不为整数的情况，方程(5.１3)的通解除了可以写成(5．1

９）式以外还可以写成其它的形式,只要能够找到该方程另一个与()n J x 线性无关的特解,它与()n J x 就可构成(５.13)的通解,这样的特解是容易找到的。例如,在(５.１9)中取cot ,csc A n B n ππ==-,则得到(5.13)的一个特解

()cot ()csc ()

()cos ()()sin n n n n n Y x n J x n J x J x n J x n n ππππ

--=--=≠整数（５．20) 显然,()n Y x 与()n J x 是线性无关的,因此，（５.13)的通解可以写成

()()n n y AJ x BY x =+

(5.2１)

由（5.20）式所确定的函数()n Y x 称为第二类贝塞尔函数，或称Neu ｍann 函数。

§5.3 当n 为整数时贝塞尔方程的通解

上一节说明,当n 不为整数时，贝塞尔方程（5.13）的通解由(5.19)或（5.21）式确定,当n 为整数时,(5.13）的通解应该是什么样子呢？ 首先，我们证明当n 为整数时，()n J x 与()n J x -是线性相关的。事实上,不妨设n 为正整数N （这不失一般性，因n 为负整数时,会得到同样的结果),这在(5．18）中，1(1)N m Γ-++当0,1,2,,(1)m N =-时均为零,这时级数从m N =起才开始出现非零项。于是（5.18)可以写成

2224

24()(1)2!(1)! (1){}2!2(1)!2(2)!2! (1)()

N m

m

N n m m N N N N N

N N N N N x J x m N m x x x N N N J x -+∞--+=++++=-Γ-++=--++++=-∑ 即()N J x 与()N J x -线性相关，这时()N J x 与()N J x -已不能构成贝塞尔方程的通解了。为了求出贝塞尔方程的通解,还要求出一个与()N J x 线性无关的特解。

取哪一个特解？自然我们想到第二类贝塞尔函数。不过当n 为整数时（５．２0)的右端没有意义，要想把整数阶贝塞尔方程的通解也写成（5．21）的形式,必须先修改第二类贝塞尔函数的定义。在n 为整数的情况,我们定义第二类贝塞尔函数为

()cos ()()lim ()sin n n J x J x Y x n ααααπαπ-→-=为整数

(５．22)

由于当n 为整数时，()(1)()cos ()n n n n J x J x n J x π-=-=,所以上式右端的极限为“00

”形式的不定型的极限，应用洛必达法则并经过冗长的推导，最后得

2100200(1)()2212()()(ln )2(!)1m m m m k x x Y x J x c m k ππ∞-==-=+-+∑∑ 2102110002

1(1)!()()(ln )2!2(1)()1112 (),(1,2,3,)!()!11n m n n n m m n m n m m m k k x n m x Y x J x c m x n m n m k k πππ-+-=+∞+--===--??=+- ???

--+=+++∑∑∑∑

(5.23) 其中111lim(1ln)0.557223n c n →∞

=++++-=,称为欧拉常数。 根据这个函数的定义，它确是贝塞尔方程的一个特解,而且与()n J x 是线性无关的（因为当0x =时，()n J x 为有限值，而()n Y x 为无穷大）。

综上所述,不论n 是否为整数，贝塞尔方程(5.１3）的通解都可表示为

()()n n y AJ x BY x =+

其中,A B 为任意常数，n 为任意实数。

§5.4贝塞尔函数的递推公式

不同阶的贝塞尔函数之间不是彼此鼓孤立的，而是有一定的联系,本节来建立反映这种联系的递推公式。

先考虑零阶与一阶贝塞尔函数之间的关系。 在(５.１７)中令0n =及1n =得

246

202426222()1(1)22(2!)2(3!)

2(!)k k k x x x x J x k =-+-++-+ 357

21135721()(1)222!22!3!23!4!2!(1)!k k

k x x x x x J x k k ++=-+-++-++

取出第一个级数的第2k +项求导数，得