第三章中值定理与导数的应用答案
(A)
一选择 1—5 BCBDB 二计算与证明
1 .若 x 0，证明 e x 1 x 。
证明：令 F x =e x _1_x ，则 F x =e x -1
当x 0时，F'x ?0,从而Fx 在0单增 因为F0=0，故Fx ?0,即
e x 1 x
2
2 .设 x 0，证明 x - x
In 1 x :: x 。 2 证明： -In 1 X ，贝u f x =1 —X-丄二二 2
因x ? 0，贝U f x ：：： 0，从而f x 在0, ?::单减。
2
x
故 f x :: f 0 =0，即卩 x
In 1 x
2
20：令 g x ；=ln 1 x -x ，则 g x
1
——1
1 + x
当x 0时，g x ：：： 0，从而g x 在0「：：单减 故 g x : g 0 = 0，即 In 1 x < x
2
由 1°、20 知，x —亠：：：l n 1 ? x :: x
2
(B )
一选择 1— 4 CBDD
习题3.1
1°:令 f x R x -
计算与证明
arcta n arcta n — n n +1 1 1 解：令F x "「如x ，则Fx 在GJ 上连续，在占*可导，故
1 1 arctan arcta n
—
，使 f n
LJ v f 1 1
当n 时，贝厂＞ 0
1
故原式二 lim f = lim 2
= 1
2.设f x 在0,1 1上可导，且0 ：：： f x ：：： 1，对于任何x ?0,1 ，都有f x -
1， 试证：在0,1内，有且仅有一个数X ，使f x = x 。
证：令Fx 二fx-x ，因为Fx 在0,1上连续，且F0二f0 0，
F 1二f 1 -1 ：：：0，则由零点存在定理在 0,1内至少存在一点 x ，使 F x 二 f x = 0，即 f x 二 x 。
下证唯一性。设在0,1内存在两个点X 1与X 2，且X 1 ::： X 2，使f X 1 = x 1， f
X 2 1=X 2，在〔X 1,X 2 1上运用拉格朗日中值定理，则有 ：5
1X1, X 2 ，使 得
f =
f X 2 - f X 1 二 X 2 -X 1 二 1
x 2 _捲 x 2 _捲
这与题设f X =1矛盾，故只有一个X 使f X 二X 。
3 .设fx 在1,2 1上具有二阶导数f x ，且f2二f1=0，如果 F x -1 f x ，证明至少存在一点
1,2，使F 」=0。
求lim n _L ：i
由拉格朗日定理知，存在一点
证明：由题设知F x在1,2 1上满足洛尔定理条件，则至少存在一点a. 1,2 , 使得「a =0 o
因为F * = f x ? x —1 f，则由题设知F'x在1,a ］上连续，在1,a内
可导，且F j = f 1 =0，故F'x在1,a 1上满足洛尔定理条件，则至少存在一点?，使F ”=0，
4?设f x在la,b 1上连续，在a,b内二阶可导且f a］= f b］=0，且存在点c三［a,b ，使得f c 0，试证至少存在一点匚三［a,b ，使得f i- 0 o
证：f X在a,cl及c,b ］上都满足拉格朗日定理条件，则存在鼻三ac，■■三Cb，使得
f ：J c -f a上
c —a c — a
f： = f b -f c f c
b-c b-c
因为 f c 0，则 f f:：: 0
因f x在a,b内二阶可导，则f x在L ,门上满足拉格朗日定理条件，故至少存在
一点匚「- J ，使f ” 二」::: 0 o
P -CL
习题3.2
选择
1—5 CBABD
计算
1?求lim x"n1 x
1
2x = lim 1
x ：0
1
1
2 .求 lim
TJn(1 +x )
型 =lim
lim
x —0 1 x ln 1 x i 亠 x
—0 ln 1x^2
1
4. 求 lim 1 x 2 匚
-arctgx
解：令 § — arctgx 二 t ，贝U x 二 ctgt
故原式二 lim t lnctgt
t T
=lim ,- f
2、T 弋 A- csc t ) ctgt
=lim Snt lim -cost r —0 t —0
令y 二严t ，则lny
Int In ctgt
解：原式二lim x 」n1 x 輕
T xlnf1 + x I = 7
xln 1 x
1」 ln 1 x x
3 ?求lim 上込
x
気cos3x
型广 -2cosx 、3
解：原式 H m 0_3sin3x
解：令 y = 1 x 2 x ，则 In y
In 1 x 2
ln 1 x 2 -型 0
lim
= 0
x )0
1 x 2
???原式二e 0
=1 型
'?Tim ln y 」lim
—o
J0 ■
1
sint 丄 cost
???原式 6.求极限lim x x
^0 +
解：令 y 二 x x ，贝U In y 二 xln x
In x 型
lim xln x = lim lim - x P 亠 —0 亠
x )0 亠
7 .求 lim
x sin x
e -e
型 x sin x 3
sin x ?
sin x
型，. e 「e cosx 「3e
sirxcox 「e cox 0
lim
x —
cox
习题3.3
略
习题 3.4—3.6
(A )
一选择
1— 8 CACBC DCD 二计算
1 .求函数y = x 3 -3x
2 -9x 14的单调区间。 解：y = 3x 2 -6x-9=3x1 x-3
x — si nx
?原式
=1 解：原
式
型
x
sin x
-e cosx 1 —cosx
型
x si nx 2
si nx ?
e - e cos x e sin x
sin x
-0
当-1 ：： x :: 3 时，y <0 当 x . 3 时，y ?0
故y 在-:：,-1 ］及单增，在1_ 1,3单减 2?求函数y =2e x 飞」的极值。 1
令 y =0 得 x In 2
2
1
当x In 2时，y ：：： 0 ,从而y 单减 1
当x ?-?I n2时，y ?0，从而y 单增
1
故x In 2时，y 取极小值0
2
In 2 x
3?求函数y 二口的单调区间与极值。
x
2 -In x Inx
2
x
令y =0，得x=1或e 故可疑极值点1，e 2
4.当a 为何值时，y =asi nx ，-si n3x 在x
处有极值？求此极值，并说
3 3
明是极大值还是极小值。
解:目二 a cosx cos3x
由于y 在x = I 处有极值，则y "二］=0，从而a = 2
3 13丿 当x 二时，y 0，从而y 单增
3
解: 八2e x -e
解:
当x -时，y^O，从而y单减
3
故y在x 处取得极大值。
3
2 2
5. 求内接于椭圆笃?爲=1，而面积最大的矩形的边长。
a b
解：设矩形在第一象限的顶点坐标为x,y，则
'x =ac oS (兀、
丿0 < 0 < — I
y=bsi用I 2 丿
故矩形面积为S =4xy =4absin v COST - 2absin 2r
当时，S取最大值2ab，
4
矩形边长分别为2x =：.；2a和2y ’2a。
6. 函数y二ax-? bx2 cx d a 0的系数满足什么关系时，这个函数没有极值。
解：y" =3ax2? 2bx ■ c，因a?0,则y ■是开口向上的抛物线
要使y没有极值，则必须使y在-：:，二是单增或单减
即必须满足y0或y'O
故只有2b 2 -4 3ac ：：： 0时，才能使y 0成立
即b2 :: 3ac时，y没有极值。
、24x2
7. 试证y = xs in x的拐点在曲线y ------------ 2上。
4 + x
证：y = sinx xcosx，y =2cosx-xsinx
… 口"心一…2cosa—asi na = 0 设(a,b )是y = xsin x的拐点，贝U
b =asin a
2 2 4a 2
4(2ctga )
2 = 2
4 + a 4 + (2ctga )
??? y=xsinx 的拐点在曲线y 2
上
4 + x
x —1
8
试证明曲线"厂有三个拐点位于同一直线上 ,_x 2+2x + 1 ” _(x +1【x 2 _4x+1)
八 x 2 1 2 ，八 x 2 13 令 y = 0 得：x^ -1 , *2=23 , X 3 = 2 r ：3 ? y 一1 = _1 , y2 、3 =3、3-5, y 2 -、3—3.3-5
故三个拐点 A -1,-1 , B2 、3,-5 3 3 ,C 2— .3,-5-3、.3
容易验证：A 、B 、C 在同一直线上。
9 ?试决定y =kx 2 -32中的k 的值，使曲线的拐点处的法线通过原点
解：y =4kx x 2 -3 , y = 12k x 2 -1
令y =0,得x 胡或-1 则拐点为1,4k 及-1,4k
10 ?在拐点1,4k 处切线斜率为y ，1 =-8k
1
从而在拐点1,4k 处法线斜率为一，这样法线方程为
8k
1
■. 2 y-4k=— x-1，因法线过原点，所以k -
8k
8
20 ?在拐点-1,4k 处切线斜率为y -1 =8k ,这样法线方程为
即』
'a = 2ctga b =2cosa
二 4 cos 2 a 二 b 2
证:
1 2
y_4k - x 1 ,因法线过原点，所以k -
8k 8
;-
故k二时，曲线的拐点处的法线通过原点
选择
1—6 DBDDC C
二计算与证明
1 .试证当a b 1 0时，f x丄业卫取得极值。
x -1
证：「X 二x「2x「a -b _ 1 a b 1 x-1- _ _
x-1-
故 a b 1 0 时，f x =0 有解x =7 a b 1
当x ：： 1 - . a b 1时，f x ］，0，从而f x单增
当 1 - . a b x J a b 1 时，f x ：：： 0，｛则 f x 单减
当x . a b 1时，f x ? 0，贝U f x单增
故f x在x = 1 i：；a b 1处取得极大值
f x在x=1 ? a b 1处取得极小值
-.求由y轴上的一个给定点0,b到抛物线X-=4y上的点的最短距离
(1\
解：设M x,- X-是抛物线上任一点，则(0, b倒M的距离为
I 4丿
令 d = 0 ,得 x = 0或 x 2 = 4b -8
10?当b 2时，只有一个驻点x = 0 当
x ：：：0时，d\0，从而d 单减 当x 0时，
d 0，从而d 单增
故x = 0是d 的极小值点，极小值为| b |
2.当 b _2 时，有三个驻点 x =0, - 2...b-2 ,2,b-2
当 x ：：： -2 b - 2 时，d ^ ：：： 0，从而 d 单减 当- 2 . b - 2 ：： x ：： 0时，d 0，从而d 单增 当
0 ：：： x ：：： 2 b 「2 时，d ::: 0，从而 d 单减
当x .24-2时，d ?0 ,从而d 单增 故x 二2、b-2是极小点，极小值为 2、b-2
习题3.7
一选择 1. B 二计算 略
自测题 一选择
1— 3 BDC 二解答
x 'xJ -x sin2 x T
从而d
1
x Abx
.8 2
f (x )
F x = 丁
f 0,
解：令y =x 3x
"，贝U In y 二 3x -2 In x
,从而 y 丄 x 3x ，3 —? +3ln x i !
x 丿
y 二 x 'x ，
3x 2
x
3x_2
x
lim 2
x 1 x-1 2 —
3-- 3ln x -1 x
2 x-1
3x _2
c x
0型
0 lim —
x :1
323lnx1 k x 丿
x'Q -xsin2 x-1
x -1
3x -2
x -x_.
=lim 2 lim x 1 x-1 2 x 11 si i2 x -1 x -1 =3 2=6
1
2?求 lim 1 x_e x
1
解:令 y =】1 x x ，贝U ln y -In 1 x
x
x 2 1 x
型
故原式二凹x2（1 + x ）
型
x - 1 x I n 1 x
型
1
1
啟蝕卜齐1nXx"
b e Q]lne — 」＜ 2丿
3 .设函数fx 二次可微，有f x 0 ,
f 0 =0， 证明
是单调增函数
证：当xr 时，F ?x =xf X 2f X 连续
X
F 0 x - F 0 F x -f 0
由于 F O ；=lim lim
Z Ax
二 lim f 八于 ° 評 lim r f 0
x 0 x 2
2 x
[fxf )xn 故 F x = x 1 f 70 ) 2
因为艸肿x 巳叫
xf x
x ；f
x] l^m^LAUf 0
所以F x 在x =0处连续，故F'x 在-::「：上连续。
令 g x 二 xf x - f x ，贝 U g x 二 xf x
当 x - 0 时，g > 0 , g x 单增，从而 g x g 01 = 0
当 x ::: 0 时，g x 0 , g x 单减，从而 g x g 0 = 0
故 x = 0 时，g x 0，从而 F ■ x i ，0 因为 f 0
0，则 F 0
0，从而-x —??,-::
有F ? x 0，故F x 是单调增函数
4?研究函数f(x)=xe^4的极值。
解：10.当 x ::: 0时，f x - -xe x ，，从而 f x - -e x4 x 1
令 f x =0 得 X =-1
当x " -1时，f x i 0，则f x 单增 当x * -1时，「x ::： 0，则f x 单减
i 。
2x 2
故x = —1是f x 的极大值点，极大值为e ，
2° .当 0 ： x ：： 1 时，f x 二 xe xJ ,从而 f x 二 e x ' x 仆 0
说明f x 单增，故x =0是极小值点，极小值为0 3° .当 x 1 时，f x = xe 1，从而 f x 二 e 1」1 - x ：：： 0
说明f x 单减，故x =1是极大值点，极大值为1
5.若f x 在la, b 1上有二阶导数f ” x ，且「a [= f b [=0，试证在a,b 内 至少存在一点-，满足f "(时兰——4― | f (b f (a D (b - a )
证：由泰勒展式-a 「a,b ，有
f x 十冷f 1 x — a 2，
f x = f b gf ； x —b 2，x 「2 令 x4，得
2 f 土卜心已作严虫)
l 2 丿 ' 、2 4
于是 f b - f a 」b-a 2f ； - f 1 丨
8
令|厂住"ma# f 华)| ,|厂住2)卩，则
f(b)-f (a )| *(b-a ff f U)|+| f 军1)卩兰4?-a )2| f ^ )|
故结论成立。
6.设f x 在0,1上具有二阶导数, 存在一点―0,1使f 「-8
证：设x =C 是f x 的最小值点，因为f X 在0,1上具有二阶导数，由题设 知 0 ：：： c 门,f c =0 , f c = 一1
a ：：： 1 ::: x
腆f(x)=T ，证明:
故f X在X = c处的泰展式为
1 2
f X 二f c f c X「c f \ - \X-c，在 c 与X 之间
1 2
即 f X = -1 f X - C
1 1 2
1. 若0 ：：c ，贝U f 0 = -1 匸f 0 — c
2
即 f 2 _ 8
c
1 1 2
2. 若c d，则f 1 = -1 f …1 -c
即f g 牛一8
0-c f
故存在一点：0,1 ,使f「尸8。
中值定理与导数的应用
第三章 中值定理与导数的应用 §3. 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 并且在x 0处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f (x )≤f (x 0) (或f (x )≥f (x 0)), 那么f '(x 0)=0. 罗尔定理 如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点 )(b a <<ξξ , 使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即0)('=ξf . 例:设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)1(=f ，证明：在(0,1)内存在ξ，使得ξ ξξ) ()(f f - ='． 【分析】本题的难点是构造辅助函数，可如下分析： ()0)(0)()(0)()() ()(=' →='+→='+→- ='x xf x f x x f f f f f ξξξξ ξξ 【证明】令)()(x xf x G =，则)(x G 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且 0)1(1G (1 )0,0)(0)0(====f f G ,)()()(x f x x f x G '+=' 由罗尔中值定理知，存在)1,0(∈ξ，使得)()()(ξξξξf f G '+='．即ξ ξξ) ()(f f - =' 例：设函数f (x ), g (x )在[a , b ]上连续，在(a , b )内具有二阶导数且存在相等的最大值，f (a )=g (a ), f (b )=g (b ), 证明：存在(,)a b ξ∈，使得()().f g ξξ''''= 【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令 ()()()F x f x g x =-，则问题转化为证明()0F ξ''=, 只需对()F x '用罗尔定理，关键是
微分中值定理与导数的应用总结
1基础知识详解 先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的 关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论： 闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。 第三章 微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 '()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。 罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，
中值定理与导数习题
习题3 一、填空题 1．设，则有_________个根，它们分别位于_ _______ 区间； 2．函数在上满足拉格朗日定理条件的； ３．函数与在区间上满足柯西定理条件的 ； 4．函数在上满足拉格朗日中值定理条件的； ５．； 6．； 7．; 8．函数的单调减区间是； 9．设在可导，则是在点处取得极值的条件； 10．函数在及取得极值，则；
11. 函数的极小值是; 12．函数的单调增区间为； 13. 函数的极小值点是； 14. 函数在上的最大值为，最小值为； 14. 函数在的最小值为; 15. 设点是曲线的拐点,则; 16. 曲线的下凹区间为,曲线的拐点为; 17. 曲线的上凹区间为; 18. 曲线的拐点为; 19. 若是的四次多项式函数,它有两个拐点,并且在点 处的切线平行于轴,那么函数的表达式是; 20. 曲线的拐点为; 21. 曲线的水平渐近线的方程是,垂直渐近线的方程是;
22. 的垂直渐近线为; 水平渐近线为; 23. 曲线在的曲率; 24. 曲线的曲率计算公式为; 25. 抛物线在顶点处的曲率为; 二. 单项选择题 1. 罗尔定理中的三个条件;在上连续,在可导,且 是在至少存在一点,使得成立的( ). 必要条件充分条件充要条件既非充分也非必要 2. 函数，则（）. 在任意闭区间上罗尔定理一定成立；在上罗尔定理不成立； 在上罗尔定理成立；在任意闭区间上，罗尔定理都不成立； 3. 设函数在区间上连续,在开区间上可导,且, ,则必有( ). ; ; 4. 下列函数在上满足拉格朗日中值定理条件的是( ).
; ; ; 5. 函数,它在( ). 不满足拉格朗日中值定理的条件; 满足拉格朗日中值定理的条件,且; 满足中值定理的条件,但无法求出的表达式; 不满足中值定理条件,但有满足中值定理的结论. 6. 若在开区间可导,且是任意两点,则至少存在一点使得下式成立( ). ; 7. 设是的可导函数,是的任意两点,则( ) .
中值定理与导数的应用(包括题)
第三章 中值定理与导数的应用 一、 基本内容 （一） 中值定理 1.罗尔定理 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且)()(b f a f =，那么在),(b a 内存在一点ξ，使得0)(='ξf . For personal use only in study and research; not for commercial use 2.拉格朗日中值定理 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，那么在),(b a 内至少有一点ξ，使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ 其微分形式为 x f x f x x f ??'=-?+)()()(ξ 这里10,<
(2)在点a 的某去心邻域内，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ； (3)) () (l i m x g x f a x ''→存在（或为无穷大），那么 ) () (lim )()(lim x g x f x g x f a x a x ''=→→ 2.法则2 如果函数)(x f 及)(x g 满足条件： (1)0)(lim =∞ →x f x , 0)(lim =∞ →x g x ； (2)当N x >时，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ； (3) ) () (lim x g x f x ''∞ →存在（或为无穷大）； 那么 ) ()(lim )()(lim x g x f x g x f x x ''=∞→∞ → 以上两个法则是针对00型未定式. 对∞ ∞ 型未定式，也有相应的两个法则. 对∞?0、∞-∞、00、∞1、0∞型未定式，可以通过变形将其转化成00或∞ ∞ 型来求. （三） 泰勒公式 1.带拉格朗日余项的泰勒公式 设函数)(x f y =在0x 的某邻域),(0δx U 内有1+n 阶导数，那么在此邻域内有 +-''+ -'+=200000)(2) ())(()()(x x x f x x x f x f x f ！ )()(!) (00)(x R x x n x f n n n +-+ 10)1()()! 1() ()(++-+=n n n x x n f x R ξ 其中ξ在0x 和x 之间，)(x R n 是拉格朗日余项. （四） 函数的单调性 函数单调性的判别法 设函数)(x f y =在],[b a 上连续，在),(b a 内可导. (1)如果在),(b a 内0)(>'x f ，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调增加；
第四章----中值定理与导数的应用--习题及答案(1)
第四章 中值定理与导数的应用 一、填空 1、若()x x x f -=3在[0，3]上满足罗尔定理的ξ值为 。 2、若2 1 cos 1sin lim 20=-→kx x x ，则k = 。 3、=a ，=b 时，点（1，3）为2 3bx ax y +=的拐点。 4、3+=x e x 在),(+∞-∞内的实根的个数为 。 5、函数)1ln(2 x x y +-=的单调递增区间 ，在[-1，1]中最大值为 ，最小值为 。 6、函数23 )5()(-=x x x f 的驻点为 ，其极大值为 ，极小值为 。 7、若5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，则=a ，=b 。 8、x x x y )1 1(-+=的水平渐近线为 。 二、选择 1、设R x x x x f ∈+-='),12)(1()(，则在)4 1 ,21(- 内)(x f 是（ ） A 、单调增加，图形上凹 B 、单调减少，图形上凹 C 、单调增加，图形下凹 D 、单调减少，图形下凹 2、设函数)(x f 在[0，1]上可导，0)(>'x f 并且0)1(,0)0(> 第三讲 导数（中值定理部分） 1．设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0f =；证明至少存在一点(0,1)ξ∈，使得 2() ()f f ξξξ '=- 。 证明：作2 ()()F x x f x =，(0)(1)0F F ==，2 ()()2()F x x f x xf x ''=+，由Rolle 定理知，至少存 在一点(0,1)ξ∈，使得2 ()()2()[()2()]0F f f f f ξξξξξξξξξ'''=+=+=，因为0ξ≠，故有 ()2()0f f ξξξ'+=，即2() ()f f ξξξ '=- 。 （本题思路：由2() ()f f ξξξ '=- 得()2()0f f ξξξ'+=，疑似某个函数与()f x 相乘后求导，不难 看出该函数的导数比原函数低1次且为2倍，考虑是2 x ，即2 ()()F x x f x =。） 2．设()f x 在[,]a b 上二阶可导，1x ，2x ，3x 为[,]a b 内三点，123x x x <<，且 123()()()f x f x f x ==；证明在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得()0f ξ''=。 证明：因为12()()f x f x =，且()f x 在12[,]x x 上满足Rolle 定理条件，故至少存在一点 112(,)y x x ∈，使得1()0f y '=；同理由于23()()f x f x =，故至少存在一点223(,)y x x ∈，使 得2()0f y '=；综上，()f x '在区间12[,]y y 上可导且12()()0f y f y ''==，故至少存在一点 12(,)[,]y y a b ξ∈?，使得()0f ξ''=。 3．设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导；连接点(,())a f a 和(,())b f b 的直线与曲线()y f x =交于点(,())c f c （a c b <<），证明至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ''=。 证明：由Lagrange 中值定理可知 在[,]a c 上，存在11(,)a c η∈，使1()()()() ()f c f a f b f a f c a b a η--'== --， 在[,]c b 上，存在2(,)c b η∈，使2()()()() ()f b f c f b f a f b c b a η--'== --， 所以12()()f f ηη''=。 在12[,]ηη上，由Rolle 定理，至少存在一点12(,)ξηη∈，使()0f ξ''=。 4．设在[,]a b 上，()0f x >且可导；证明存在一点(,)a b ξ∈，使得()() ln ()()() f b f b a f a f ξξ'=-。 证明：因为()0f x >，作()ln ()F x f x =，() ()() f x F x f x ''= 在[,]a b 上运用Lagrange 中值定理，存在一点(,)a b ξ∈，使得()()() ()() F b F a f F b a f ξξξ'-'==-，即 得()() ln ()()() f b f b a f a f ξξ'=-。 （本题思路：由()()ln ()()()f b f b a f a f ξξ'=-得ln ()ln () [ln ()]x f b f a f x b a ξ =-'=-， 故取()ln ()F x f x =。） 5．设()f x 在[,]a b 上可微，且()()0f a f b ''<，证明：存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ'=。 (A) 一选择 1—5 BCBDB 二计算与证明 1 .若 x 0，证明 e x 1 x 。 证明：令 F x =e x _1_x ，则 F x =e x -1 当x 0时，F'x ?0,从而Fx 在0单增 因为F0=0，故Fx ?0,即 e x 1 x 2 2 .设 x 0，证明 x - x In 1 x :: x 。 2 证明： -In 1 X ，贝u f x =1 —X-丄二二 2 因x ? 0，贝U f x ：：： 0，从而f x 在0, ?::单减。 2 x 故 f x :: f 0 =0，即卩 x In 1 x 2 20：令 g x ；=ln 1 x -x ，则 g x 1 ——1 1 + x 当x 0时，g x ：：： 0，从而g x 在0「：：单减 故 g x : g 0 = 0，即 In 1 x < x 2 由 1°、20 知，x —亠：：：l n 1 ? x :: x 2 (B ) 一选择 1— 4 CBDD 习题3.1 1°:令 f x R x - 计算与证明 arcta n arcta n — n n +1 1 1 解：令F x "「如x ，则Fx 在GJ 上连续，在占*可导，故 1 1 arctan arcta n — ，使 f n LJ v f 1 1 当n 时，贝厂＞ 0 1 故原式二 lim f = lim 2 = 1 2.设f x 在0,1 1上可导，且0 ：：： f x ：：： 1，对于任何x ?0,1 ，都有f x - 1， 试证：在0,1内，有且仅有一个数X ，使f x = x 。 证：令Fx 二fx-x ，因为Fx 在0,1上连续，且F0二f0 0， F 1二f 1 -1 ：：：0，则由零点存在定理在 0,1内至少存在一点 x ，使 F x 二 f x = 0，即 f x 二 x 。 下证唯一性。设在0,1内存在两个点X 1与X 2，且X 1 ::： X 2，使f X 1 = x 1， f X 2 1=X 2，在〔X 1,X 2 1上运用拉格朗日中值定理，则有 ：5 1X1, X 2 ，使 得 f = f X 2 - f X 1 二 X 2 -X 1 二 1 x 2 _捲 x 2 _捲 这与题设f X =1矛盾，故只有一个X 使f X 二X 。 3 .设fx 在1,2 1上具有二阶导数f x ，且f2二f1=0，如果 F x -1 f x ，证明至少存在一点 1,2，使F 」=0。 求lim n _L ：i 由拉格朗日定理知，存在一点 第四章．中值定理与导数的应用 要求掌握的内容： 1、理解罗尔定理和拉格朗日中值定理 2、会用洛必达法则求函数极限 3、掌握函数单调性的判别方法 4、了解函数极值的概念，掌握函数极值、最值的求法及应用 5、会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数的拐点和渐近线。 6、会描绘简单函数的图形 一、罗尔定理 如果函数f(x)满足：在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导；其中a不等于b；在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在区间(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ 第三章 中值定理与导数的应用 教学目的： 1、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理,了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 2、 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数 最大值和最小值的求法及其简单应用。 3、 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐 近线，会描绘函数的图形。 4、 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 5、 知道曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径。 6、 知道方程近似解的二分法及切线性。 教学重点： 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理； 2、函数的极值 ，判断函数的单调性和求函数极值的方法; 3、函数图形的凹凸性; 4、洛必达法则。 教学难点: 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用； 2、极值的判断方法; 3、图形的凹凸性及函数的图形描绘； 4、洛必达法则的灵活运用。 §3. 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数f (x )在点ｘ0的某邻域U (x ０)内有定义, 并且在x ０处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f （x ）≤f (ｘ0) (或f （x )≥f (ｘ0）), 那么f '（x ０)=0. 罗尔定理 如果函数ｙ=f (x )在闭区间[a ， b ]上连续, 在开区间(a , ｂ)内可导, 且有ｆ(a )=f (b ), 那么在(a , b ）内至少在一点ξ , 使得f '(ξ)=0. 简要证明: (1）如果f (x ）是常函数, 则f '（ｘ）≡0, 定理的结论显然成立. (2)如果f (x )不是常函数, 则f (x )在(ａ, ｂ）内至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点ξ∈(ａ, b ). 于是 0) ()(lim )()(≥--='='- →- ξξξξξx f x f f f x , 0) ()(lim )()(≤--='='+ →+ ξ ξξξξx f x f f f x , 第三章 中值定理与导数的应用 一、是非题 1．函数12+=x y .在区间［－１,１］上满足罗尔中值定理条件的是（ √ ） 2．方程0155 =+-x x 在()1,1-内有且仅有一个实根 ( √ ) 3．若对任意()b a x ,∈，有()()x g x f '='，则对任意()b a x ,∈，有()()x g x f =， (× ) 4．sin lim x x x →∞是未定型。. ( × ) 5．在罗比塔法则中，A x g x f x x =→)(')('lim 0是 A x g x f x x =→) ()(lim 0的充要条件. （ × ） 6．.因 x x x x x x x x cos 1cos 1lim sin sin lim +-=+-∞→∞→不存在，所以x x x x x sin sin lim +-∞→不存在. ( × ) 7．.3 2122lim )'1()'1(lim 11lim 1221221=+=-+-=-+-→→→x x x x x x x x x x x . ( × ) 8． 若函数)(x f 在区间 ),(b a 内可导，则0)('>x f 是)(x f 在),(b a 内单调增加的充分必要条件. ( × ) 9．. 若0x 是)(x f 的极值点，则一定有)('0x f =0. ( × ) 10．. 若0x 是)(x f 的一个不可导点，则一定是)(x f 的一个极值点.( × ) 二、选择题 1. 函数x x x f -=3)(在［０，３］上满足罗尔中值定理的=ξ（ D ） （A ）0； （B ）３； （Ｃ） 23； （Ｄ）２. 2．函数x x f 21)(=满足拉格朗日中值定理条件的区间是( A ) （A ） [1，2]； （B ）［－２，２］； （Ｃ）［－２,０］； （Ｄ）［０，１］. 3．函数()3553x x x f -=在R 上有 ( C ) A ．四个极值点； B ．三个极值点 C ．二个极值点 D ． 一个极值点 4．设()x f 在闭区间[]1,1-上连续，在开区间()1,1-上可导，且()M x f ≤'，()00=f ，则必有 ( C ) > 第三章 微分中值定理与导数的应用 一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ） 是否为极值点不能断定的极值点 不是 的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A ( 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ） 0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（ ） ) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞ ， 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ） (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ） (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4 , 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ） (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-， & 8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x)π=+ =（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ） ] 5 4 , 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (- -- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ） 的极值 必定不是的极值点为必定为曲线的驻点 ， 必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000 、 二、填空题 2 x - 第四章微分中值定理与导数的应用习题 § 微分中值定理 1．填空题 （１）函数 f ( x)arctan x 在 [ 0, 1] 上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是4 ． （２）设 f ( x) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 5) ，则 f (x) 0 有3个实根，分别位于区间 (1,2), (2,3), (3,5) 中． 2．选择题 （１）罗尔定理中的三个条件: f (x)在[ a,b]上连续，在(a, b)内可导，且f ( a) f (b) ，是 f (x)在 (a,b) 内至少存在一点，使 f () 0 成立的（B）． A．必要条件B．充分条件C．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 （２）下列函数在[1,1] 上满足罗尔定理条件的是（ C ）． A. f ( x)e x B. f ( x) | x | C. f ( x) 1x2 D. f ( x)x sin 1 , x0 0, x x0 （３）若 f ( x) 在 ( a,b) 内可导，且 x1、 x2是 ( a, b) 内任意两点，则至少存在一点，使下式成立（ B）． A． f ( x2 ) B． f ( x1 )f ( x1 )(x1x2 ) f()(a,b) f ( x2 )( x1x2 ) f ()在 x1 , x2之间 C． f ( x1 ) D． f ( x2 )f ( x2 )(x2x1 ) f()x1x2 f ( x1 )(x2x1 ) f()x1x2 3．证明恒等式：arctanx arc cot x(x) ． 2 证明：令 f (x) arctan x arc cot x ，则 f 11 0，所以 f ( x) 为一常数．( x) 2 1 x2 1 x 第四章 中值定理与导数的应用 习题4-1 1、验证下列各题,确定ξ的值： (1)对函数x y sin =在区间]65,6[ π π上验证罗尔定理； 解：显然]6 5, 6[ sin )(π πC x x f y ∈==,)65,6()(π πD x f ∈， 且2 1 )65( )6(==ππ f f ,可见罗尔定理条件成立； 而x x f cos )(=',取)65,6(632ππππξ∈= =,有02 cos )(=='π ξf , 所以罗尔定理结论成立. (2)对函数2642 3 --=x x y 在区间]1,0[上验证拉格朗日中值定理； 解：显然]1,0[264)(2 3 C x x x f y ∈--==,)1,0()( D x f ∈， 可见拉格朗日中值定理条件成立；而 2)2(40 1) 0()1(-=---=--f f , x x x f 1212)(2-=',令 212122-=-x x ,得 6 3 312243662,1±=-±= x , 取)1,0(6 3 3∈+=ξ,有01)0()1()(--= 'f f f ξ, 所以拉格朗日中值定理结论成立. (3)对函数3 )(x x f =及1)(2 +=x x g 在区间]1,0[上验证柯西中值定理. 解：显然]1,0[)(),(C x g x f ∈,)1,0()(),(D x g x f ∈, 且02)(≠='x x g ,)1,0(∈x ,可见柯西中值定理条件成立； 令x x x x g x f g g f f 2 3 23)()(11201)0()1()0()1(2==''==--=--,得32=x , 中值定理的应用方法与技巧 中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分。微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述。积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。积分第一中值定理为大家熟知，即若f(x)在［a,b］上连续，则在［a,b］上至少存在一点， b 使得f(x)dx f( )(b a)。积分第二中值定理为前者的推广，即若f(x),g(x)在a ［a,b］上连续，且g(x)在［a,b］上不变号，则在［a,b］上至少存在一点，使得 b b a f (x)g(x)dx f( ) a g(x)dx。 a a 一、微分中值定理的应用方法与技巧 三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明，也可应用于恒等式及不等 式证明。由于三大中值定理的条件和结论各不相同，又存在着相互关联，因此应用中值定理的基 本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合 所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数，套用相应的中值定理进行证明。这 一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。 例一.设(X)在［0,1］上连续可导，且(0) 0, (1) 1。证明：任意给定正整数a,b，必存在(0,1)内的两个数，，使得」b a b成立。 () () 证法1 :任意给定正整数a，令t(x) ax, f2(x) (x)，则在［0,1］上对 fdx), f2(x)应用柯西中值定理得：存在(0,1)，使得一◎红卫a。 () (1) (0) 任意给定正整数b，再令g,x) bx,g2(x) (x),则在［0,1］上对5(x),g2(x)应用 柯西中值定理得：存在(0,1)，使得一^ 匚°b。 ()(1) (0) 两式相加得：任意给定正整数a,b，必存在(0,1)内的两个数，，使得 a b a b () () 成立。 证法2：任意给定正整数a,b，令￡3 ax, f2(x) (x)，则在［0,1］上对 第三章 中值定理与导数的应用 (A) 1．在下列四个函数中,在[]1,1-上满足罗尔定理条件的函数是( ) A ．18+=x y B ．142+=x y C ．21 x y = D ．x y sin = 2．函数()x x f 1 = 满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( ) A ．[]2,2- B ． []0,2- C ．[]2,1 D ．[]1,0 3．方程0155=+-x x 在()1,1-内根的个数是 ( ) A ．没有实根 B ．有且仅有一个实根 C ．有两个相异的实根 D ．有五个实根 4．若对任意()b a x ,∈，有()()x g x f '='，则 ( ) A ．对任意()b a x ,∈，有()()x g x f = B ．存在()b a x ,0∈，使()()00x g x f = C ．对任意()b a x ,∈，有()()0C x g x f +=(0C 是某个常数) D ．对任意()b a x ,∈，有()()C x g x f +=(C 是任意常数) 5．函数()3553x x x f -=在R 上有 ( ) A ．四个极值点； B ．三个极值点 C ．二个极值点 D ． 一个极值点 6．函数()7186223+--=x x x x f 的极大值是 ( ) A ．17 B ．11 C ．10 D ．9 7．设()x f 在闭区间[]1,1-上连续，在开区间()1,1-上可导，且()M x f ≤'， ()00=f ，则必有 ( ) A ．()M x f ≥ B ．()M x f > C ．()M x f ≤ D ．()M x f < 8．若函数()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,可导，则 ( ) A ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b f a f b f --'=-θ B ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b a f b f a f --+'=-θ第三讲 导数(中值定理部分)
第三章中值定理与导数的应用答案
第四章.中值定理与导数的应用
《高等数学.同济五版》讲稿WORD版-第03章-中值定理与导数的应用
第三章中值定理与导数的应用综合练习参考答案
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