高等数学下册第九章习题答案详解

高等数学下册第九章习题答案详解

1. 求下列曲线在给定点的切线和法平面方程： （1）22 =sin ,=sintcos ,=cos ,x a t y b t z c t 点π

4

t =

; （2）222=6,++=0x y z x y z ++，点0(1,2,1)M -； （3）222,y mx z m x ==-点0000(,,)M x y z .

解：2sin cos ,cos 2,2cos sin x a t t y b t z c t t '''===- 曲线在点π

4

t =

的切向量为 {}πππ,,,0,444T x y z a c ????????'''==-?? ? ? ?????????

当π4t =

时， ,,222

a b c x y z === 切线方程为

2220a b c x y z a c

-

--==-. 法平面方程为

0()0.222a b c a c x y z ??????++-=--- ? ? ???????

即 22

022

a c ax cz --

+=. （2）联立方程组

2226

x y z x y z ?++=?

++=? 它确定了函数y =y (x ),z =z (x )，方程组两边对x 求导，得

d d 2220d d d d 10d d y z x y z x x

y z x x

?

+?+?=???

?++=?? 解得

d d ,,d d y z x z x y

x y z x y z

--==-- 在点M 0（1，-2，1）处，

00

d d 0,1d d M M y z x x ==-

所以切向量为{1，0，-1}. 故切线方程为

121

101

x y z -+-==

- 法平面方程为

1(x -1)+0(y +2)-1(z -1)=0 即x -z =0.

(3)将方程y 2=2mx ,z 2=m -x 两边分别对x 求导，得

d d 22,21d d y z

y

m z x x

==- 于是

d d 1

,d d 2y m z x y x z

==- 曲线在点（x 0,y 0,z 0）处的切向量为0011,

,2m

y z ??-????

,故切线方程为 000

00

,112x x y y z z m y z ---==-

法平面方程为

00000

1()()()02m x x y y z z y z -+

---=. 2.

t ()02πt <<为何值时，曲线sin ,1cos ,4sin 2

t

L x t t y t z =-=-=：在相应点的切线垂直于平

面0x y +=，并求相应的切线方程和法平面方程. 解：1cos ,sin ,2cos

2

t

x t y t z '''=-==, 在t 处切向量为{}

1cos ,sin ,2cos 2

t T t t =-, 已知平面的法向量为{1,1,2n =.

且T ∥n ,

故

2cos 1cos sin 11

t

t t

-==解得π2t

=

，相应点的坐标为π1,1,2?- ?

.且{1T = 故切线方程为

π1

1211x y -

+-==

法平面方程为

π

1102

x y z -

++-+-= 即

π042x y ??

+-=+

??

?

. 3.在曲线2

3

,,x t y t z t ===上求一点M 使曲线在点M 处的切线与平面24x y z ++=平行.

{}{}()22=1,2,3.1,2,1.1

1430,1.

311

11,113927T t t T t t t t M ⊥++==-=-??---- ?

??

解：曲线的切向量由题意知于是有解方程的或从而解得点为，或，，

习题9-2

1. 指出曲面z xy =上何处的法线垂直于平面26x y z -+=，并求出该点的法线方程与切平面方程. 解：z x =y , z y =x .

曲面法向量为{}1,,1n y x =-. 已知平面法向量为{}21,2,1n =-. 且1n ∥2n ，故有

112

y x ==-- 解得x =2,y =-1,此时，z =-2.

即（2,-1,-2）处曲面的法线垂直于平面，且在该点处的法线方程为

212

121

x y z -++==--. 切平面方程为

-1(x -2)+2(y +1)-(z +2)=0

即 x -2y +z -2=0.

2. 求下列曲面在给定点的切平面和法线方程：

（1）22

z x y =+,点()01,2,5M ; （2）arctan

y

z x

＝,点0π1,1,4M （）

解：（1）00

2, 4.22y

x

m m m m z z y x ====

故曲面在点M 0(1,2,5)的切平面方程为 z -5=2(x -1)+4(y -2).

即 2x +4y -z =5. 法线方程为

125

241

x y z ---==

- （2）0

22

22

1

1,.2

2

y

x

m m m m y

x z z x y x y -

==-=

=++ 故曲面在点M 0(1,1,π

4

)的切平面方程为 z -

π4=-12 (x -1)+1

2

(y -1). 法线方程为

π11411122

z x y -

--==--. 3. 证明：曲面3xyz a =上任一点的切平面与坐标平面围成的四面体体积一定. 证明：设 F (x ,y ,z )=xyz -a 3. 因为 F x =yz ,F y =xz ,F z =xy ,

所以曲面在任一点M 0(x 0,y 0,z 0)处的切平面方程为 y 0z 0(x -x 0)+x 0z 0(y -y 0)+x 0y 0(z -z 0)=0.

切平面在x 轴，y 轴，z 轴上的截距分别为3x 0,3y 0,3z 0.因各坐标轴相互垂直，所以切平面与坐标面围成的四面体的体积为

33000000

1119132727.3336622

V z x y z a a x y ??=?==?=?????

它为一定值。

4. 设直线0

30

x y b l x ay z ++=??+--=?在平面Π上，而平面Π与曲面22z x y =+相切于点()1,2,5-，

求,a b 之值.

{}{}{}()(){}()()()()()()=1,1,01,,11,1,11,2,52,4,1,2410 5.

142502450

,0,3,,0,32S a a n S n a a x y z x y z b b b b b b ?-=---∏=--⊥----==-∏--+--=---=---∏---∏----解：由题意知已知直线的方向向量又曲面在点的法向量也是平面的法向量显然有于是得又

平面的方程为 2即

在已知得直线上取一点因为直线在平面上，故满足平面的方程，因而有()350 2.

b -==-得

1. 求函数23u xy z xyz =+-在点()112，

，处沿方向角为πππ

,,343

αβγ===的方向的方向导数. 解：

(1,1,2)(1,1,2)

(1,1,2)cos cos cos u u u u

y l x z αβγ????=++????

22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)πππ

cos cos cos 5.(2)()(3)343

xy xz y yz z xy =++=---

2. 求函数u xyz =在点(512)，，处沿从点(512)A ，，到(9414)B ，，的方向导数. 解：{4,3,12},1

3.AB AB ==

AB 的方向余弦为

4312

cos ,cos ,cos 131313

αβγ=

== (5,1,2)

(5,1,2)

(5,1,2)(5,1,2)

(5,1,2)(5,1,2)

2105

u yz x u xz y u xy

z

?==??==??==? 故

4312982105.13131313

u l ?=?+?+?=? 3. 求函数22z x y =+在任意点M ()x ，y 处沿从向量(1,1)e =--所指方向的方向导数.

()1,1,cos 2222=2,2cos cos 22x y x y e z x z y z

z z x y

e

αβαβ?=--== ?

''=?''=+=-?解：将单位化为于是又所以

4. 求函数22z x y =+在任意点(1)，2处沿从该点到点(2,23)方向的方向导数.

{}{}

()

()()1,21,21,21

=21,232=132

1333cos cos cos 13

13222123

22

l z z

z l x

y

αβαβ

-=+???=

==+

???+=?+??=+解：，，其方向余弦cos 故

1.研究下列函数的极值： （1）()33223z x y x y =+-+;

（2）22e +2x

z x y y =+（）

; （3）()()2264z x x y y =--； （4）()2

222()

x

y z x y e -+=+;

（5）(),0

z xy a x y a =--≠

解：（1）解方程组2

2

360

360

x y z x x z y y ?=-=??=-=?? 得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2).

z xx =6x －6, z xy =0, z yy =6y －6

在点（0，0）处，A =－6，B =0，C =-6，B 2－AC =－36<0，且A <0,所以函数有极大值z (0,0)=0. 在点（0，2）处，A =－6，B =0，C =6，B 2－AC =36>0，所以(0,2)点不是极值点. 在点（2，0）处，A =6，B =0，C =－6，B 2－AC =36>0，所以(2,0)点不是极值点.

在点（2，2）处，A =6，B =0，C =6，B 2－AC =－36<0，且A >0,所以函数有极小值z (2,2)=-8.

(2)解方程组22

2e (2241)0

2e (1)0x x x

y

z x y y z y ?=+++=??=+=?? 得驻点为1,12??-

???

. 22224e (21)4e (1)2e x xx x xy x

yy z x y y z y z =+++=+=

在点1,12??-

???处,A =2e,B =0,C =2e,B 2-AC =-4e 2<0,又A >0,所以函数有极小值e 1,122z ??

=-- ???

.

(3) 解方程组2

2

(62)(4)0

(6)(42)0x y

z x y y z x x y ?=--=??=--=?? 得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4).

Z xx =－2(4y -y 2), Z xy =4(3－x )(2－y ) Z yy =－2(6x －x 2) 在点（3，2）处，A =－8，B =0，C =－18，B 2－AC =－8×18<0,且A <0，所以函数有极大值z (3,2)=36.

在点（0，0）处，A =0，B =24，C =0，B 2－AC >0，所以(0,0)点不是极值点. 在点（0，4）处，A =0，B =-24，C =0，B 2－AC >0，所以(0,4)不是极值点. 在点（6，0）处，A =0，B =-24，C =0，B 2－AC >0，所以(6,0)不是极值点. 在点（6，4）处，A =0，B =24，C =0，B 2－AC >0，所以(6,4)不是极值点.

(4)解方程组2

2

22()22()22

2e

(1)02e

(1)0x y x y x x y y x y -+-+?--=??--=??

得驻点P 0(0,0),及P (x 0,y 0),其中x 02+y 02=1，

在点P 0处有z =0，而当（x ,y ）≠(0,0)时，恒有z >0， 故函数z 在点P 0处取得极小值z =0.

再讨论函数z =u e -u

由

d e (1)d u z u u

-=-，令d 0d z

u =得u =1, 当u >1时，d 0d z u <；当u <1时，d 0d z u

>, 由此可知，在满足x 02+y 02=1的点（x 0,y 0）的邻域内，不论是x 2+y 2>1或x 2+y 2<1,均有

2

222()

1()e e x

y z x y -+-=+≤.

故函数z 在点（x 0,y 0）取得极大值z =e -

1 (5)解方程组(2)0

(2)0

x y z y a x y z x a y x =--=??

=--=??

得驻点为 12(0,0),,33a a P P ??

???

z xx =-2y , z xy =a -2x -2y , z yy =-2x .

故z 的黑塞矩阵为 222222y a x y H a x y x ---??=??---??

于是 122033(),().023

3a

a a H P H P a a a ??

--

????

==????????-

-???? 易知H （P 1）不定，故P 1不是z 的极值点，

H （P 2）当a <0时正定，故此时P 2是z 的极小值点，且3,2733a a a z ??= ???,

H （P 2）当a >0时负定，故此时P 2是z 的极大值点，且3,27

33a a a z ??= ???. 2设2222+2+88=0x y z xz z +-+，确定函数(),z z x y =,研究其极值. 解：由已知方程分别对x ,y 求导，解得

484,281

281

z x z z y x z x y z x ?--?-==?+-?+- 令

0,0,z z x y ??==??解得0,2

x y z ==-, 将它们代入原方程，解得16

2,7

x x =-=. 从而得驻点16(2,0),,07??

-

???

. 222

2

2222

(281)(48)4828(281)4(28),(281)

4(281)8.(281)??????+-++--+ ? ????????=

?+-?+??=??+-?-+-+??=?+-z z z x x z z x x x z x z y z x x y z x z

z x y z y

y z x 在点（-2，0）处，44

1,,0,,1515

====z A B C 20->AC B ，且0>A 因此函数有极小值z =1. 在点16,07??

???

处，844,,0,,71515=-=-==-z A B C 20->AC B ，且0

函数有极大值87

z =-

. 3.在平面xOy 上求一点，使它到00x y ==，及2160x y +-=三直线距离的平方之和为最小.

解：设所求点为P (x ,y )，P 点到x =0的距离为|x |,到y =0的距离为|y |，到直线x +2y -16=0的距离为

=

距离的平方和为

2221

(216)5

z x y x y =+++-

由22(216)0542(216)0

5z x x y x z y x y y

??=++-=??????=++-=???

得唯一驻点816,

55?? ???,因实际问题存在最小值，故点816,55??

???

即为所求。

4.求旋转抛物面22z x y =+与平面1x y z +-=之间的最短距离.

解：设P （x ,y ,z ）为抛物面上任一点.则点P 到平面的距离的平方为2

(1)3

x y z d +--=,即求

其在条件

z = x 2+y 2下的最值。设

F （x ,y ,z ）=

2

22(1)()3

x y z z x y λ+--+-- 解方程组22

2(1)203

2(1)203

2(1)03x

y

z

x y z F x x y z F y x y z F z x y

λλλ+--?=-=??

+--?=-=???-+--=+=??

?=+? 得1

2

x y z ===

1

== 5抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离. 解：设椭圆上的点为P （x ,y ,z ），则

|OP |2=x 2+y 2+z 2.

因P 点在抛物面及平面上，所以约束条件为 z =x 2+y 2， x +y +z =1

设F （x ,y ,z ）= x 2+y 2+z 2+λ1(z -x 2-y 2)+λ2(x +y +z -1)

解方程组12121222220220

201

x y

z F x x F y y F z z x y x y z λλλλλλ=-+=??=-+=??

=++=??=+??++=?

得

23x y z ==

=

由题意知，距离|OP |有最大值和最小值，且

()2

2222

12953

2

32x y z OP ??-=++=

+= ???

.

.

6.在第Ⅰ卦限内作椭球面 222

222

1x y z a b c ++= 的切平面，使切平面与三坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.

解：令222

222(,,)1x y z F x y z a b c

=++-

∵222

222,,,x y z x y z

F F F a b c =

== ∴椭球面上任一点0000(,,)P x y z 的切平面方程为

000000222222()()()0.x y z x x y y z z a b c

-+-+-= 即 000222 1.x x y y z z

a b c

++=

切平面在三个坐标轴上的截距分别为222

000

,,a b c x y z ，因此切平面与三个坐标面所围的四面体

的体积为

222222

000000

166a b c a b c V x y z x y z =???=

即求222

6a b c V xyz =在约束条件2222221x y z a b c ++=下的最小值，也即求xyz 的最大值问题。

设 222222(,,)1x y z x y z xyz a b c λ??

Φ=+++- ???

,

解方程组2

2

2

222

22220,20,20,1.

x

y z x yz a x xz b x xy c x y z a

b c

λλλ?

Φ=

+=??

?Φ

=+=???Φ=+=???++=?

得x y z =

==

故切点为，此时最小体积为

222

.

6

a b c

V abc

a b c

==

*7.设空间有n个点，坐标为()

,

,

i i i

x y z()

1,2,,

i n

=，试在xOy面上找一点，使此点与这n 个点的距离的平方和最小.

解：设所求点为P（x,y,0），则此点与n个点的距离的平方和为

222222

111222

222

22

1212

222222222

121212

()()()()

()()

2()2()

()()()

n n n

n n

n n n

S x x y y z x x y y z

x x y y z

nx x x x x ny y y y y

x x x y y y z z z

=-+-++-+-++

+-+-+

=-++++-+++

++++++++++++

解方程组12

12

22()0

22()0

x n

y n

S nx x x x

S ny y y y

=-+++=

?

?=-+++=

??

得驻点

12

12

n

n

x x x

x

n

y y y

y

n

+++

?

=

??

?

+++

?=

??

又在点

11

11

,

n n

i i

i i

x y

n n

==

??

?

??

∑∑处

S xx=2n=A, S xy=0=B, S yy=2n=C

B2-AC=-4n2<0, 且A>0取得最小值.

故在点

11

11

,

n n

i i

i i

x y

n n

==

??

?

??

∑∑处，S取得最小值.

即所求点为

11

11

,,0

n n

i i

i i

x y

n n

==

??

?

??

∑∑.

*8已知过去几年产量和利润的数据如下：

试求产量和利润的函数关系，并预测当产量达到120千件时工厂的利润.

解：在直角坐标系下描点，从图可以看出，这些点大致接近一条直线，因此可设f(x)=ax+b，求[]

6

2

1

()

i i

i

u y ax b

=

=-+

∑的最小值，即求解方程组

666

2

111

66

1

1,6.i i i i i i i i i i i a x b x y x a x b y =====?+=????+=??∑∑∑∑∑ 把(x i ,y i )代入方程组，得

2983440224003

4026320a b a b +=??

+=?

解得 a =0.884, b =-5.894 即 y =0.884x -5.894,

当x =120时，y =100.186(千元

).

习题九

1. 填空题：

（1）曲面∑:(,,)0,F x y z =则坐标原点到曲面上000(,,)P x y z 点处的切平面的距离

为

000

000

0002

2

2

x y z x y z x F y F z F F F F '''++'''++

(2) 曲线 0000000(),:(),

(,,)((),(),()),(),x x t L y y t P x y z x t y t z t z t =??

==??=?

则坐标原点到曲线L

在0P 点切线的距离为

()()(){}()()()

00002

2

2

000,,OP x t y t z t x t y t z t '''?'''++

（3）平面23x y z λ+-=是曲面2

2

23z x y =+在点(,,)224

点处的切平面，则λ的值

为

54

（4）函数0

sin (,)xy

t

z x y dt t =?

在点(22处沿方向u i j =+

（5）若22

(,)2f x y ax bxy cy dx ey f =+++++有极小值，则其系数必须满足条件

20,0ac b a ->>

2.选择题：

（1）若曲面(,,)0,F x y z =在000(,,)x y z 的切平面经过坐标原点，那么在000(,,)x y z 点（ A ）

000000

000000

.0

.

.1

.(,,)(0,0,0)

F x F y F z

A x F x y F y z F z

B x y z F x F y F z

C D x y z x y z ''''''++==='''++==

（2）曲线 (),:(),

(),x x t L y y t z t =??

=??=?

有经过坐标原点的切线，那么（ A ）。

()()()

.

()()()

x t y t z t A x t y t z t =='''有解 .()()()()()()0B x t x t y t y t z t z t '''++=有解

}{{}.

(),(),()0,0,0C x t y t z t =有解

D. L 只要不是直线就成立

(3) 设函数(,)f x y 在点(0,0)附近有定义，且(0,0)3,

(0,0)1,x y f f ''==则（ C ）。

(0,0)

.3A dz

dx dy =+

B. 曲面{}(,)0,0(0,0))3,1,1z f x y f =在点（，的法向量为

C. 曲线{}(,)

0,0(0,0))1,0,30

z f x y f y =??

=?在点（，的切向量为

D. 曲线{}(,)

0,0(0,0))3,0,10

z f x y f y =??

=?在点（，的切向量为

（4）设函数()f x 具有二阶连续导数，且((0)0,f x f '=）>0,则函数()ln ()z f x f y =点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ A ）

。 .(0)1,(0)0

.(0)1,(0)0

.(0)1,(0)0.(0)1,(0)0

A f f

B f f

C f f

D f f ''''>>><''''<><<

(5)设(,),)f x y x y ?与（均为可微函数，且00(,)0,,)(,)y x y x y f x y ?'≠已知（是在约束条件

,)0x y ?=（下的极值点，下列选项正确的是（ D ）

。

0000000000000000.(,)0,(,)0.(,)0,(,)0.(,)0,(,)0

.(,)0,(,)0

x y x y x y x y A f x y f x y B f x y f x y C f x y f x y D f x y f x y ''''===≠''''≠=≠≠若则若则若则若则

3.证明：螺旋线cos ,sin ,x a t y a t x bt ===的切线与Z 轴形成定角。 证明：sin ,cos ,.x a t y a t z b '''=-== 螺旋线的切向量为

{sin ,cos ,}T a t a t b =-.

与z 轴同向的单位向量为

{0,0,1}k =

两向量的夹角余弦为

cos θ=

=

为一定值。

故螺旋线的切线与z 轴形成定角。

4．求曲面22

0cos()(121)x z y x z M +=-在点，

，处的切平面方程与法线方程。 解：令22

(,,)cos()F x y z x z y x z =+--.

由于2212sin()x F xy x z '=+-，22

cos()y F x z '=--，2212sin()z F yz x z '=--，所以曲

面在点0(121)M ，

，处的法向量为(1,1,1)n =-. 于是，所求切平面方程为(1)(2)(1)0x y z ---+-=，即0x y z -+=；法线方程为

121

111

x y z ---==

-. 5.已知曲面2

2

2

z x y z =++上点P 处的切平面220x y z -+=平行，求点P 的坐标以及曲面在该点的切平面方程。

解：曲面在点P 处的法向量为()

(),,2,2,21x y z n F F F x y z '''==-，依题意，()1,2,2n -，

于是有

2221112x y z -==

-，联立222

z x y z =++，解得111(,,)636P -或者115(,,)636

P -. 6.求函数z ＝1－2222x y a

b ??+ ???

在点处沿曲线22221x y a b +=在这点的内法线方向的方向导数.

解：设x 轴正向到椭圆内法线方向l 的转角为φ，它是第三象限的角，因为

2222220,x y b x y y a b a y

''+==-

所以在点处切线斜率为

2.b y a a '

==-

法线斜率为cos a b

?=.

于是tan sin ??==

∵

2222,,z z x y x a y b

??=-=-??

∴

2222z l

a b ??=--=

?? 7.求函数3

3

2

2

(,)339f x y x y x y y =---+的极值。

解：由已知2236,369x y f x x f y y ''=-=--+.令0,0x y f f ''==，解得0,2,1,3,x y =??=-?

即得驻点()()()0,3,2,1,2,3.--又66,0,66xx xy yy A f x B f C f y ''''''==-====--，于是 在()0,1处，2

6,0,12.720A B C AC B =-==--=>，极大值为()0,15f =.

在()0,3-处，2

6,0,12.720A B C AC B =-==-=-<，无极值.

在()2,1处，2

6,0,12.720A B C AC B ===--=-<，无极值.

在()2,3-处，2

6,0,12.720A B C AC B ===-=>，极小值为()2,331-=-.

8.求函数3(,)()3

x y

x f x y y e +=+的极值。

解：先求驻点，令

???

????=++=++='=++=++='++++++0)31()3(0)3

()3(3

332

32y x y x y x y y x y x y x x e x y e x y e f e x y x e x y e x f 解得)34

,1(-，)3

2,1(--

y

x xx

e x y x x

f A ++++=''=)3

22(32

， y

x xy

e x y x

f B ++++=''=)3

1(32

， y

x yy

e x y

f C +++=''=)3

2(3 对于点)3

4,1(-，0,,,32

31

3131>-=?===B AC e C e B e A ，

故)3

4

,1(-为极小值点，极小值为31

--e ；

对于点)32,1(--，0,,,2

35

35

35

<-=?==-=---B AC e C e B e A ，故)3

2,1(--不是极值点。

9. 求二元函数22

(,)(2)ln f x y x y y y =++的极值。 解：2

(,)2(2)0x f x y x y '=+=

2

(,)2ln 10y f x y x y y '=++=

故1

0,x y e

==

2

2

1

2(2),2,4xx yy xy f y f x f xy y

''''''=+=+

= 则12

(0,)12(2)xx e

f e ''

=+

1(0,)0yy e

f ''

=

1(0,)xy e

f e ''

=

因为()2

00xx xy xx

yy

f f f f ''''

''''>-<而

所以，二元函数存在极小值11(0,)f e e

=-

10.设(,)z z x y =是由2

2

2

6102180x xy y yz z -+--+=确定的函数，求

(,)z z x y =的极值点和极值。

()()()2,26220260062022206202033, 3.,9,33;9,3 3.,2222x x x y y y xx x x y x y yz zz x y z z x y z yz zz x y z x z

x z y z z y z

z z x y z z x y yz z z ''---=?-=??''==??''-+---=-+-=???

=?===±?=?==--=-''''---解：方程两边分别对求偏导：

①令得②得将代入原方程得从而得到两个驻点此时此时将方程①两边对求偏导：()2206222202222201310

,,1159,33,=,,623

15111

0634366

xx x xy y x xy y y yy y yy xx xy yy

xx xy

z z yz z z zz z z yz z zz z z z y z y z y z z A z B z C AC B A '='''''''-----='''''''----=-''''''=

==+++''''====-=-=?-==③

④

将方程②两边对y 求偏导:

20-⑤由③④⑤得在驻点处 在驻点处＞，且＞()()()()20, 3.

115

933,,6231511

10,,, 3.

63436

6xx xy yy z z x y z A z B z C z AC B A z z x y =''''''--=-==-====-

????-=-?--==-=- ? ?????函数有极小值在驻点，处此时，＞且＜函数有极大值 11. 已知曲线22220

:,35x y z C x y z ?+-=?

++=?

求C 上距离xOy 面最远的点和最近的点。 解：点(,,)x y z 到xoy 面的距离为z ，故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等

价于求函数2

H z =在条件2

2

2

20,35x y z x y z +-=++=下的最大值点和最小值点。

构造拉格朗日函数

2

2

2

2

(,,,,)(2)(35)L x y z z x y z x y z λμλμ==++-+++-

由2

22220,20,2430,20,3 5.x

y z L x L y L z z x y z x y z λμλμλμ?'=+=??'=+=??'=-+=?+-=??

++=?

得,x y =

从而22220,23 5.x z x z ?-=?+=?解得5,5,5.x y z =-??=-??=?或1,

1,1.

x y z =??

=??=?

根据几何意义，曲线C 上存在距离xoy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为

(5,5,5)--和(1,1,1)。

12.在某一行星表面安装一个无线电望远镜，为减少干扰，要将望远镜安装在磁场最弱的位置，假设该行星为一球体，其半径为6个单位。若以球心为坐标原点建立坐标系Oxyz ，则行星表面上点(,,)x y z 处的磁场强度为2

(,,)660H x y z x y xz =-++。问应将望远镜安装在何处？

解：行星表面方程为2

2

2

36x y z ++=.令2

2

2

2

660(36)L x y xz x y z λ=-+++++-，求解方程组

620z x x λλ?=++=?，220y y y λλ?=-+=?，20x z z

λ

λ?=+=?

，则可得驻点(4,4,2),(6)-±±，结合题意易知H 在(4,4,2)-±处最小，且最小值为12.