简单微分方程的求解

一、一阶微分方程

1. 线性齐次方程

'y ()0p x y +=

①分离变量法求解

②两边同时乘以()p x dx e ?

，积分因子法 通解：()p x dx y Ce -?=

2. 线性非齐次方程

'y ()()p x y g x +=

①常数变易法

②两边同时乘以()p x dx e ?

，积分因子法 通解：()()(())p x dx p x dx y e C g x e dx -??=+?

线性微分方程的解有一些很好的性质，例如（1）齐次方程的解或者恒等于零，或者恒不等于零（2）齐次方程任何解的线性组合仍是它的解（3）齐次方程的任一解与非齐次方程任一解之和仍是非齐次方程的解（4）非齐次方程任意两解之差必是对应齐次方程的解（5）非齐次方程的任一解与对应齐次方程的通解之和是非齐次方程的通解。

3. Bernoulli 方程

'()()y p x y g x y α+=

（1）0α=时，该方程为线性非齐次方程

（2）1α=时，该方程为线性齐次方程

（3）0,1α≠时，作变量替换1z y α-=，该方程转化为

(1)()(1)()dz p x z g x dx

αα+-=-，这是关于未知函数z 的一阶线性方程 4. Riccati 方程

2()()()dy p x y q x y f x dx

=++ Riccati 方程在一般情况下无法用初等积分求出解，只是对一些特殊情况或者事先知道了它的一个特解，才能求出其通解。

（1）当()p x 、()q x 、()f x 都是常数时，是可分离变量方程，用分离变量法求解。

（2）当()0p x ≡时，是线性方程。

（3）当()0f x ≡时，是Bernoulli 方程。

当()f x r ≡，设已有一特解1()y x

命1()()()z x y x y x =-，代得211(2)dz dy dy pz py q z dx dx dx

=-=++ 这是一个关于z 的Bernoulli 方程。

（4）当Riccati 方程的形式为

22dy l b ay y dx x x

+=+，可利用变量替换z xy =，将方程化为可分离变量方程 2(1)dz x az l z b dx

=-+++ 当Riccati 方程的一个特解()y x ?=已知时，我们利用变换()y z x ?=+，代入方程后可得：

22()()(2()())()(())()dz d x p x z z x x q x z x f x dx dx

????+=+++++ 由于()y x ?=是方程的解，从上式消去相关的项后得：

2(2()()())()dz p x x q x z p x z dx

?=++，这是一个Bernoulli 方程。 （5）当Riccati 方程的形式为

2m dy ay bx dx

+=，其中a 、b 、m 都是常数，且设0a ≠，又设0x ≠和0y ≠，则当 440,2,,,(1,2,)2121

k k m k k k --=-=+-时，方程可通过适当的变换化为变量可分离方程。 5. 可分离变量方程

'()()y f x g y =

()()

dy f x dx g y =，通解为()()dy f x dx C g y =+?? 6. 齐次方程

()dy y g dx x

= 作变量替换y z x =，则dy dz z x dx dx =+，即()dz g z z dx x

-=

通解为ln ()dz x C g z z =+-?。

7. 全微分方程与积分因子

设(,)u F x y =是一个连续可微的二元函数，则它的全微分为：

(,)(,)(,)F x y F x y du dF x y dx dy x y

??==+?? 若有函数使得：(,)(,)(,)dF x y M x y dx N x y dy =+

则称(,)(,)0M x y dx N x y dy +=为全微分方程，此时，微分方程的解就是(,)F x y C = 微分方程的成立条件：设函数(,)M x y 和(,)N x y 在一个矩形区域R 中连续且有连续的一阶偏导数，则(,)(,)0M x y dx N x y dy +=是全微分方程的充要条件是

(,)(,)M x y N x y y x

??=?? 微分方程的解为000(,)(,)(,)x

y

x y F x y M s y ds N x s ds =+??（线积分法） 此时还可应用偏积分法与凑微分法

如：22

(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=

重新分组整理为22cos sin ()0x xdx xy dx yx dy ydy -++=

如果有函数(,)x y μ，使得方程 (,)(,)(,)(,)0x y M x y dx x y N x y dy μμ+=是全微分方程（恰当方程），则(,)x y μ称为方程

(,)(,)0M x y dx N x y dy +=的一个积分因子

积分因子一般很难求解，但有如下情况可求：

（1）微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有一个依赖于x 的积分因子的充要条件是 (,)(,)()/(,)M x y N x y N x y y x

??-??仅于x 有关，则积分因子可求： (,)(,)()/(,)()M x y N x y N x y dx y x x e μ??-???=

（2）微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有一个依赖于y 的积分因子的充要条件是

(,)(,)()/(,)N x y M x y M x y x y

??-??仅于y 有关，则积分因子可求： (,)(,)()/(,)()M x y N x y M x y dy y x x e μ??-???=

积分因子是求解微分方程的一个极为重要的办法，绝大多数方程的求解都可以通过寻找到一个合适的积分因子来解决。但求一个微分方程的积分因子十分困难，需要灵活运用各种微分法的技巧与经验。例如，当一个微分方程中出现xdy ydx -的项时，函数1xy 、21x 、21y 和22

1x y +都有可能成为其积分因子，可以根据方程中其他项进行适当的选择。下面的几个方程和对应的积分因子分别为：

10,

xy xdy ydx xydx -+= 22

10,x xdy ydx x dx -+= 2210,y

xdy ydx y dx -+= 22221)(0,

x y xdy ydx x y dx ++-+= 另外，若有微分方程：

1122((,)(,))((,)(,))0M x y dx N x y dy M x y dx N x y dy +++=

其中第一组和第二组各有积分因子1(,)x y μ和2(,)x y μ，使得

1111(,)((,)(,))(,)x y M x y dx N x y dy dF x y μ+=

2222(,)((,)(,))(,)x y M x y dx N x y dy dF x y μ+=

由于对任意可微函数1()u G 和2()u G ，111(,)((,))x y F x y G μ是第一组的积分因子，222(,)((,))x y F x y G μ是第二组的积分因子。如果能选取的1()u G 和2()u G ，使得： 111222(,)((,))(,)((,))x y F x y x y F x y G G μμ=

则111(,)((,))(,)x y F x y x y G μμ=就是该微分方程的一个积分因子。

8. 变量替换法

（1）形如()f ax by c dy dx

=++的方程 对于这种类型的方程，引入新变量z ax by c =++ 则a b dy dz dx dx =+，于是原方程就化为()a bf z dz dx

=+ 这是一个变可分离方程，它的通解为()dz x C a bf z =++? 此时注意：形如111222

a x

b y

c a x b y c dy dx ++=++的微分方程，若上下二元一次方程组有解，则利用齐次解法依靠解的坐标点化简此式，若无解则利用变量替换法求解。

（2）形如()()0yf xy dx xg xy dy +=的方程

对于这类方程，引入新变量z xy =，则z x y

=，2xdz zdx x dy -= 原方程可以化为(()())()0z f z g z dx g z dz x

-+=，这是一个可分离变量方程。 （3）用变量替换法求解微分方程是十分灵活的，依赖于方程的形式和求导的经验，在学习过程中要多积累。

9. 一阶隐式微分方程解法

10. 近似解法

（1）逐次迭代法

逐次迭代法是利用证明初始值问题解的存在唯一性时所构造的Picard 迭代序列的前若

干项来近似初始值问题的解，其近似序列为：

00()y x y =

0100()(,())x x y x y f t y t d t

=+

? 001()(,())x

n n x y x y f t y t dt -=+?

当初始值问题满足解的存在唯一性定理的条件时，上面的迭代序列在一个区间一致收

敛到它的解。故当n 较大时，()n y x 就是初始值问题解的一个较好的近似。

（2）Taylor 级数法

设初始值问题的解可以在0x 的邻域内展开为收敛幂级数：

00()()n n n y x a x x ∞

==-∑

由Taylor 级数理论知，n a 是由()y x 的n 阶导数确定的，即：

()000()()()!n n n y x y x x x n ∞

==-∑ 于是，级数形式的解实际上就是要求出()y x 在0x 点的各阶导数值。如果我们能计算出()y x 前面一些导数值()0()n y x 时，就可以利用函数

()000()()()!n N

n N n y x y x x x n ==-∑来近似初始值问题的解()y x 。 由复合链导法则和方程初始值得：

(0)000()()y x y x y ==

(1)000()(,)x x dy

y x f x y dx ===

02(2)''00000002()(,())(,)(,)(,)x y x x x x d y d y x f x y x f x y f x y f x y dx dx ====

=+ 0

(3)''''''0000000()((,)(,)(,)(,)2(,)(,)x y xx xy x x d y x f x y f x y f x y f x y f x y f x y dx ==+=++ ''2'''2000000000000(,)(,)(,)(,)((,))(,)yy y x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y ++ 根据需要，当函数(,)f x y 已知时，我们可以计算出解()y x 在0x 点直到N 阶导数值 从而得出()y x 的近似表达式。 从另一观点看，近似解()000()()()!n N

n N n y x y x x x n ==-∑实质上就是要确定()y x 的级数表 达式0

0()()n n n y x a x x ∞==-∑中的前面若干个系数n a ，我们可以将00()()n n n y x a x x ∞==-∑ 代入初始值问题00(,),()dy f x y y x y dx

==，比较所得等式两边0()x x -的同次幂的系数 即可，这种方法即为待定系数法。

（3）数值方法

如Runge-Kutta微分方程数值求解方法。