调和函数与解析函数的关系研究

学 生 毕 业 论 文

课题名称

调和函数与解析函数的关系研究 姓 名 学 号 院 系

数学与计算科学学院 专 业

信息与计算科学 指导教师

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※※ ※※ ※※ ※※※※※※※※※ 2017届学生

毕业论文材料

（四）

湖南城市学院本科毕业论文诚信声明

本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

本科毕业论文作者签名：

二〇一五年五月二十二日

目录

摘要 (1)

关键词 (1)

ABSTRACT (1)

KEY WORDS (2)

1.解析函数 (3)

1.1 解析函数的概念 (3)

1.2函数解析的充要条件 (3)

2.调和函数 (4)

2.1 调和函数的定义 (4)

2.2 共轭调和函数 (6)

3.调和函数和解析函数之间的关系 (6)

3.1从调和函数观点研究解析函数的性质 (6)

3.1.1 调和函数的性质 (6)

3.1.2 解析函数的性质 (6)

3.2解析函数的等价刻画及应用 (8)

3.3由调和函数构造相关解析函数的方法 (9)

3.4调和函数与解析函数的关系 (12)

3.4.1 解析函数与调和函数的关系 (12)

3.4.2 调和函数与共轭调和函数的关系 (12)

3.4.3 解析函数与共轭调和函数的关系 (12)

结论 (12)

参考文献 (13)

致谢 (13)

调和函数与解析函数的关系研究

摘要：解析函数作为复变函数研究的主要对象，与调和函数有着深刻的内在联系.主要论述了解析函数、调和函数的定义；通过引入共轭调和函数的概念，将解析函数和调和函数联系在一起；从调和函数的观点出发，探讨了解析函数的某些性质并由具体实例做其等价刻画；在此基础上通过实际问题介绍了四种由调和函数构造解析函数的方法，分别是偏积分法、线积分法、不定积分法和变量替换法.

关键词：解析函数、调和函数、共轭调和函数

Study on the relationship between the Harmonic

function and the Analytic function

Abstract: As the main object of the Complex Variable Function, Analytic Functions has a profound connection with the Harmonic Functions. it mainly discusses the definition of the Analytic Functions and the Harmonic Functions; by introducing the concept of the Conjugate Harmonic Functions, contact the Analytic Functions with the Harmonic Functions; from the point of view of the Harmonic Functions, discusses some properties of the Analytic Functions, and meanwhile, does its equivalent descriptions by the concrete examples; on the basis of the actual problem introduces four kinds of method of constructing the Harmonic Function by the Analytic Functions, which are the methods of Partial Integration, Liner Integration, Indefinite Integration and Variable Replacement.

Keywords: Analytic Functions, Harmonic Functions, Conjugate Harmonic Functions

解析函数作为复变函数的主要研究对象，有着许多性质，归纳出解析函数、调和函数及共轭调和函数三者之间的推导关系.

1.解析函数

1.1 解析函数的概念

解析函数是复变函数研究中最重要的基础定理，先引入复变函数的导数概念再来讨论解析函数.下面给出导数定义：

定义 1.1.1 设函数)(z f =ω在点0z 的某邻域内有定义，z z ?+0是邻域内任一点，)()(00z f z z f -?+=?ω，如果

z z f z z f z z z ?-?+=??→?→?)()(lim lim

0000ω 存在有限的极限值A ，则称)(z f 在0z 处可导，A 记作)(0z f '或

0z z dz d =ω，即 z z f z z f z f z ?-?+='→?)()(lim )(000

0 , 或

)()(0z z z f ?+?'=?οω )0(→?z ,

也称z z f z df ?'=)()(00或dz z f )(0'为)(z f 在0z 处的微分，故也称)(z f 在0z 处可微.

由定义可知，如果)(z f 在0z 处可导(或可微)，则)(z f 在0z 处连续.下面给出解析函数的概念：

定义 1.1.2 如果)(z f 在0z 及0z 的邻域内处处可导，则称)(z f 在0z 处解析；如果)(z f 在区域D 内每一点解析，则称)(z f 在D 内解析，或说)(z f 是D 内的解析函数；如果)(z f 在0z 处不解析，则称0z 为)(z f 的奇点.

1.2 函数解析的充要条件

一般地，作为解析函数的实部和虚部都是二元函数，而研究他们的特性要

基于柯西-黎曼)(Riemann Cauchy -方程（简称R C -方程），有以下定理：

定理 1.2.1 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在iy x z +=处可导的充要条件是),(y x u ，),(y x v 在点),(y x 处可微，而且满足柯西-黎曼)(Riemann Cauchy -方程（简称R C -方程）：

y v x u ??=?? ， x

v y u ??-=?? . 定理1.2.2 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析（即在D 内可导）的充要条件是),(y x u 和),(y x v 在D 内处处可微，而且满足R C -方程.

推论 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内有定义，如果在D 内)

,(y x u 和),(y x v 的四个偏导数x u '，y u '，x v '，y v '存在且连续，并且满足R C -方程，则

)(z f 在D 内解析.

由上述定义可知函数的解析与可导存在密切联系，而可导又与连续密切相关，其三者之间的关系可由下图清晰表出：

)(z f 在 )(z f 在D 内可导

)(z f 在点0z 解析 )(0D z ∈ )(z f 在点0z 可导 )(0D z ∈

)(z f 在点0z 连续 )(0D z ∈

2.调和函数

2.1调和函数的定义

定义2.1.1 如果二元实函数）（y ,x ?在区域D 内有二阶连续偏导数，且满

足二维拉普拉斯)(Laplace

方程

02

222=??+??y x ?? ， 则称）（y ,x ?为区域D 内的调和函数，或说函数）（y ,x ?在区域D 内调和.

定理 2.1.2 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析，则)(z f 的实部),(y x u 和虚部),(y x v 都是区域D 内的调和函数.

证明： 因)(z f 在区域D 内解析，所以u ，v 在D 内满足R C -方程

y v x u ??=?? ， x

v y u ??-=?? . 当)(z f 解析时u ，v 有任意阶连续偏导数.

在上述二式中分别对y 和x 求偏导数，得

222y v y x u ??=??? ，222x

v x y u ??-=??? . 因x

y u y x u ???=???22 ，于是 0222222=???-???=??+??x

y u y x u y v x v . 这就是说，),(y x v 是区域D 内的调和函数.同理，),(y x u 也是区域D 内的调和函数.

另证定理 2.1.2的逆不真.

即证：若),(),()(y x iv y x u z f +=的实部),(y x u 和虚部),(y x v 都是区域D 内的调和函数，函数)(z f 在区域D 内不一定解析.

反例： 22),(y x y x u -=，22),(y x y y x v +=

均为调和函数， 但2222)(),(),()(y

x y i y x y x iv y x u z f +?+-=+=不解析. 由于 x x u 2=??，y y u 2-=??，222)(2y x xy x v +-=??， 2

222

2)(y x y x y v +-=?? 而 y v x u ??≠?? ，x

v y u ??-≠?? 即)(z f 不满足R C -方程.

2.2 共轭调和函数的引入

定义 2.2.1 设函数）（y ,x ?及）（y ,x ψ均为区域D 内的调和函数，且满足R C -方程

y

x ??=??ψ? ， x y ??-=??ψ? . 则称),(y x ψ是),(y x ?的共轭调和函数.

定理2.2.2 复变函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析的充分必要条件是在区域D 内，)(z f 的虚部),(y x v 是实部),(y x u 的共轭调和函数.

3.调和函数与解析函数之间的关系

由上知解析函数的实部和虚部都是调和函数，而给出一个调和函数，如果该函数的定义域是单连通的，则存在一个解析函数以该调和函数为其实部或虚部，所以说解析函数和调和函数有非常密切的联系.

3.1从调和函数观点研究解析函数的性质

调和函数与解析函数的性质有着很多相似之处，比方说它们都有极值原理、ville L iou 定理等，现从调和函数的观点来研究解析函数的这两个性质.

3.1.1 调和函数的性质

定理 3.1.1.1 (极值原理) 非常数的调和函数区域D 内不能达到极大值和极小值.

定理3.1.1.2 (ville L iou 定理) 2R 上的有界调和函数必要为常数.

3.1.2 解析函数的性质

首先给出调和函数和解析函数之间的关系：

定理3.1.2.1 设),(),()(y x iv y x u z f +=是区域D 内的解析函数，则),(y x u 和),(y x v 都是D 内的调和函数.

反之，有

定理 3.1.2.2 设D 是单连通的区域，则对D 上的任意调和函数),(y x u ，必存在调和函数),(y x v ，使得),(),()(y x iv y x u z f +=是D 内的解析函数函数.

下面从调和函数的观点来看解析函数的极值原理和ville L iou 定理.

定理 3.1.2.3 (极值原理) 设)(z f 为在区域D 内非常数的解析函数，则)(f z 在D 内无极大值点.

证明（方法1）： 设),(),()(y x iv y x u z f +=，则),(y x u 和),(y x v 都是2R 上的调和函数，有

02222u )(f 2

2222≥?+?+?+?=+?=?v u v u u u v z ）（ . 这说明2)(f z 是一个下调和函数，由下调和函数的极值原理知，2

)(f z 在D 内无极大值点，从而)(f z 在D 内无极大值点.

证明（方法2）： 设),(),()(y x iv y x u z f +=，则),(y x u 和),(y x v 都是2R 上的调和函数，因此),(y x u 和),(y x v 在D 内既无极大值也无极小值，从而222u )(f v z +=在D 内无极大值点，所以)(f z 在D 内无极大值点. 定理 3.1.2.4 (ville L iou 定理) 设)(z f 是复平面C 有界的解析函数，则)(f z 在C 内为常数.

证明： 设),(),()(y x iv y x u z f +=，则),(y x u 和),(y x v 都是2R 上的调和函数，因为)(z f 在区域C 内有界，所以),(y x u 和),(y x v 在C 内也有界，这样由调和函数的ville L iou 定理得出)(f z 在C 内为常数.

注：除了上述两个定理之外，解析函数还有一些性质与调和函数性质是相应的，比如平均值定理等.

3.2解析函数的等价刻画及应用

定理3.2.1 设),(y x u 是在单连通区域D 内的调和函数存在由下式

c dy x

u dx y u y x y x y x +??+??-=?)

,(),(00),(v ， 所确定的函数),(y x v ，使iv u z f +=)(是D 内的解析函数.

定理2.2.2刻画解析函数又一等价条件.

由于任一二元调和函数都可作解析函数的实部（或虚部），由解析函数的任意阶导数仍解析知，任意二元调和函数的任意阶偏导数也是调和函数.

下面通过具体实例体现解析函数之应用：

例1 证明2x y 不能作为解析函数的实部.

证明： 设2y)u(x,xy = ， 由于2y x u =?? ，022=??x u ，xy y u 2=?? ，x y

u 222=?? . 故当0≠x ，),(u y x 不是调和函数，

虽然在直线0=x 上满足Laplace 方程，但直线不是区域，即在z 平面的任一区域，2x y 不能作为解析函数的实部.

例2 证明22x ),(u y y x -=，2

2),(v y x y y x +=

都是调和函数，),(u f(z)y x = y)iv(x,+不是解析函数.

证明： 由于 x x u 2=?? ，222=??x u ，y y u 2-=?? ，222-=??y u . 222)(2y x xy x v +-=?? , )

(222

2y x y x y v +-=?? , 3123222)(26y x y y x x v +-=?? , 3

123

222)(26y x y y x y v ++-=?? 从而 02222=??+??y u x u ， 02222=??+??y

v x v 即),(u y x 是z 平面上的调和函数， ),(v y x 是{}0-C 上的调和函数. 但y

v x u ??≠?? ，