分块矩阵的初等变换及应用49554
十．研究创新题
解：
1.分块矩阵的初等变换
分块矩阵的初等变换与初等矩阵
吴云在1997年8月的《工科数学》上的《分块矩阵的初等变换》一文中提到 定义1 分块矩阵的行(列)初等变换是指: （1）交换两行(列)的位置;
（2）第ｉ行(列)的各个元素分别左乘(右乘)该行(列)的一个）
（i h 阶）阶）（（i l 左(右)保秩因子Ｈ;
（3）第ｉ行(列)的各个元素分别左乘(右乘)一个）
（i h 阶）阶）（（i l 矩阵Ｋ后加到第ｊ行. 定义2 对应于分块矩阵t s ij A ?）（的初等分块矩阵是指:
（1）))((k j i P i +=??????????
?
?
?ss ll
ii E E K E E
11
或ijk P =??????????
?
?
?ii ll
ii
jj E O
E E O E
（2） )(H P il =????????
??ss ll E H E 或)(H P ik =??
?
??
?
?? ?
?ii E H E 11
其中Ｈ为第ｉ行(列)的一个左(右)保秩因子；
(1) ))((k j i P i +=???????????
?
?ss ll
ii E E K E E
11
(2) 或))((k j i P k +=??????????
?
?
?ll ll
ii E E K E E
11 初等分块矩阵与通常的初等矩阵类似,但由于矩阵乘法不满足交换律,故需要分为左、右两种.直接验算可得:
定理1 (1)交换t s ij A ?）（的第ｉ行与第ｊ行,相当于左乘一个ｍ阶初等分块矩阵ijL P
,其中ijL P 中的元素ii E 为ｈ(i)阶单位矩阵, jj E 为ｈ(j)阶单位矩阵,
当ｒ≠ｉ且ｒ≠ｊ时, rr E 为ｈ(ｒ)阶单位矩阵;交换t s ij A ?）（的第ｉ列与第ｊ列相当于
右乘一个ｎ阶初等分块矩阵ijk P ,其中ii E 为ｌ(i)阶单位矩阵, jj E 为ｌ(j)阶单位矩阵, 当ｒ≠ｉ且ｒ≠ｊ时, rr E 为ｌ(ｒ)阶单位矩阵；
(2) t s ij A ?）（的第ｉ行的每一个元素左乘一个矩阵Ｈ相当于t s ij A ?）（左乘一个ｍ阶分块矩阵）（H P iL 中Ｈ为ｈ(ｉ)阶方阵; t s ij A ?）（的第ｉ列的每一个元素右乘一个矩阵Ｈ,相当于t s ij A ?）（右乘一个ｎ阶初等到变换矩阵）
（H P ik ,其中Ｈ为ｌ(ｉ)阶方阵； (3) t s ij A ?）（的第ｊ行的每个元素分别左乘一个ｈ(ｉ)×ｈ(ｊ)矩阵Ｋ后加到第ｉ行,相当于t s ij A ?）（左乘一个初等分块矩阵））（（k j i P L +;第ｊ列的每一个元素分别右乘ｌ(ｊ)×ｌ(ｉ)矩阵Ｋ后加到第ｉ列,相当于t s ij A ?）（右乘））（（k j i P k +. 定理2设Ａ为方阵,则分块矩阵t s ij A ?）（施行第一种行初等变换后,对应的行列式为
A j i h ）
，（）（1-,
其中
h(i,j)=h(i)h(j)-l+h(i+l)]+…+h(j)[h(i)+h(i+j)+…+h(j-l)], l(i,j)=l(i)h(j)-l+l(i+l)]+…+l(j)[l(i)+l(i+j)+…+l(j-l)],
施行第二种初等变换后,对应的行列式为|Ｈ|·|Ａ|;施行第三种初等变换后,对应的行列式的值不变.
证明: H H P i =）
（,A k j i P =+））（（显然成立. 下证）
，（）（j i h irL P 1-=
,ii E 所在的第1行逐次与它相邻的行交换,移至jj E 前,共进行ｈ
(ｉ)-1+ｈ(ｉ+1)+…+ｈ(ｊ-1)次交换两行,第2行逐次与它相邻的行交换,移至jj E 前,同样进行相同次交换两行,依此类推,把ii E 所在的行移至jj E 所在的行前,共进行
ｈ(ｉ)[ｈ(ｉ)-1+ｈ(ｉ+1)+…+ｈ(ｊ-1)]次交换两行,然后把jj E 移至适当的位置,同理共进行ｈ(ｊ)[ｈ(ｉ)+ｈ(ｉ+1)+…+ｈ(ｊ-1)]次交换两行,所以交换两行的总次数
为ｈ(ｉ,ｊ),故），（）（j i h irL P 1-=;同理）
，（）（j i l irR P 1-=
. 所以有A P ilj =ilj P ?A =(-1)),(l i h A 或ilk AP =A ?ilk
P =（-1）)
,(j i l A
A H P il )(=)(H P il A =H ?A 或A )(H P ik =H ?A
A k j i p l ))((+=)((k j i P l +A ?=A ))((k j i AP K +=A ))((k j i P k +=A
定理3 分块矩阵进行初等变换后,秩不变.
证明: 对于(1),相当于对n m ij a A ?=)(进行若干次行(列)的交换,故命题成立;对于(2),根据
定义1,显然成立;对于(3),相当于进行若干次把n m ij a A ?=)(行(列)乘以一个倍数后加到另一行(列),故命题成立.
定理4 (1)设Ａ,Ｂ的行数均为ｍ,则矩阵方程ＡＸ=Ｂ,当rank (Ａ)= rank (Ａ,Ｂ)=ｍ
时有唯一解,当rank (Ａ)= rank (Ａ,Ｂ)<ｍ时有无穷多解, 当rank (Ａ)< rank (Ａ,Ｂ)时无解;
(2)设Ａ,Ｂ的列数均为ｎ,则矩阵方程ＸＡ=Ｂ,当rank (Ａ)= ）（T
T B A rank ,=ｎ时有唯一解,当rank (Ａ)= ）（T
T
B A rank ,<ｎ有无穷多解, 当rank (Ａ)< ）（T
T
B A rank ,时无解.
证明: (1)设rank (Ａ)= rank (Ａ,Ｂ)<ｍ,则存在可逆矩阵Ｐ,Ｑ,使
Q O O O I P A r
??
?????
=，Q O O B B P B ??????
?
=21 其中r I 为ｒ阶单位矩阵, 1B 为ｒ阶方阵,设Q B B B B Q X o
??????
=-43
211
,
则有: Q O O O I P AX r o ???
????= Q B B B B Q ??????-43211
= []??????
???
????4321B B B B O O O I P r = Q O O B B P ???
????21=B
所以o X 为ＡＸ=Ｂ的解,其中3B , 4B 是任意的.
当rank (Ａ)= rank (Ａ,Ｂ)=ｍ时,Ａ=Ｐ(m I Ｏ)Ｑ,Ｂ=( 1B 2B ),显然,ＡＸ=
Ｂ有唯一解: Q B B Q X o ）（21
1
-=;当rank (Ａ)< rank (Ａ,Ｂ)时,ＡＸ=Ｂ无解.
同理可证(2)成立(当rank (Ａ)= rank ( t
A , T
B )<ｎ时,X=P ??
????
?O O
O I r
1
-P ) 定义3 对于任意的ｕ,ｖ,如果rank ( ij A )= rank ( ij A ,iv A )= rank (T ij A ,T
iv A ),
则称ij A 为极大元.
定理5 分块矩阵22 ij A ?）（可以用分块矩阵的初等变换对角化的充要条件是:
它有一个极大元.
证明: 充分性.不妨设11A 为极大元(否则可以通过第一种分块矩阵的初等变换把极大元移到
第一行,第一列交叉位置).由定理4,存在可逆矩阵Ｐ,Ｑ,使
Q O O O I P A r
??
?????=11Q O B O A P A ??????
=2121，Q O O A A P A ??????
?
=2'1'12,
令Ｋ=-Ｐ?
???
?
?4321
A A A A 1
-P ,其中3A , 4A 为适当阶数的任意矩阵.则 K 11A + 21A =P -??????4321A A A A 1-P P ???
????
O O O I r Q ， 所以22 ij A ?）（ 第一行左乘Ｋ加到第二行,得???????+22121211A KA O A A .同理,令Ｋ＇=-1
-Q ????????42
31，，，，A A A A Q , 则11A Ｋ′+12A =0,所以???????+221212
11A KA O
A A 的第一列右乘Ｋ′后加到第二列,
得????????+221211A KA O
O A .
(如先进行列变换,再进行行变换,得???
?????
+222111A K A O O A ，
, 因为2221A KA +=?????
???-2'
21'22'11'1A A A A A A A A +22A =21'
A K +22A ,故两种运算顺序结果相同) 必要性.反证法,不妨设rank (11A )≠rank (T A 11,T A 21)或rank (T A 11,T
A 221)rank (21A ),
则由定理4, X 11A =-21A 或X 21A =-11A 无解,从而不存在Ｋ,使22 ij A ?）（对角化.同理,当rank (11A )≠rank (11A ,12A )或rank (11A ,12A )≠rank (12A )时,不存在'
K 使 -A 11K '
=A 12或-'12K A =11A 成立.
定理5表明:并不是所有的2×2分块矩阵都可以用分块矩阵初等变换对角化,如果分块矩阵没有极大元,则需分得更细,才能对角化.
定理 6 矩阵n m A ?的一种分块方法t s ij A ?)(可以用分块矩阵的初等变换对角化的充分条件是:存在ｓ-1行且存在ｔ-1列有极大元.
证明: 用数学归纳法.当ｓ=ｔ=1时,只有一块,命题成立;
设ｓ ≤ｅ,ｔ≤ ｆ时命题成立.当ｓ=ｅ+1,ｔ=ｆ时,存在ｅ行且存在ｆ-1列有极大元,
显然可以用第一种分块矩阵的初等变换,通过交换两行或两列的位置,使t s ij A ?）（的前ｅ
行与前ｆ-1列都有极大元,再把前ｅ行,前ｆ-1列看成一块,得到一个新的2×2分块矩
阵,记为22 ij B ?）（.显然11B 为极大元,根据定理4, 22 ij B ?）（可以化成对角形:
???
??
?+2221B KB O O B ,又）（）（111-?=
f e ij A B ,它的每行、列都有极大,故由假设11B 可以对角化,从而f e ij A ?=）（）（1可以对角化.同理可证当ｓ=ｅ,ｔ=ｆ+1时, ）
（）（1+?f e ij A 可以对角化.由此命题成立.
下面讨论对角化后的非零块ii A 进一步化简的方法.
设Q O O
O I P A i ii ????
??=,121-?????
?=P B O B I L i i 与??????=-211C C O I Q R R
i .根据定理1, i L ,i R 为ii A 的左(右)保秩因子,显然也是ii A 所在行(列)的左(右)保秩因子,故对角化后的
分块矩阵第ｉ行、第ｉ列分别左乘i L ,右乘i R 后, ii A 可以化成??
?
?
??O O O I i
讨论分块方阵行列式的计算,先讨论分块初等阵的行列式. 设I 为S ×S 分块单位阵:
I=???????????
?
?
?s r r r r I I I I
3
21 其中I r i 为r i 阶单位阵(1≤i ≤S),对I 施行一次初等变换可得定义2所述的三种分块初等阵,它们的行列式有下列计算公式.
引理 分块初等阵的行列式有以下性质:
(1)|I(i,j)|= τ
)1(-,其中τ=r i (r i +1+…+r j )+ r j (r i +1+…+ r j -1)(i (1)不难验证,将I(i,j)的元素行进行τ次相邻的对调可将I(i,j)变成I,由行列式的性质,|I(i,j)|= τ )1(-|I|=τ )1(-. (2),(3)由对角分块方阵及三角形分块方阵的行列式计算方法即知. 由于对分块方阵A 施行一次初等行变换,相当于用相应的分块初等阵左乘A,由上述引理,我们有下列分块方阵的行列式计算性质. 定理7 设A 是一个分块方阵. (1)交换|A|的i,j 两行(列),行列式变为(-1)τ|A|, 其中τ= r i (r i +1+…+ r j )+ r j (r i +1+…+ r j -1); 特别地,交换|A|的相邻两行(列)(i 行和i+1行),行列式变为(-1) r i r i +1|A|; (2)用一个r i 阶可逆阵K 左(右)乘|A|的第i 行(列)的所有矩阵,等于用|K|乘以|A|; (3)用一个矩阵左(右)乘|A|的某一行(列)的所有矩阵再加到另一行(列)的对应元素上,行列式不变. 由定理7的(2)可得 推论 分块行列式|A|的某一行(列)的所有矩阵的可逆左(右)因子K,可以行列式|K|的形式 提到行列式符号外. 2．分块矩阵初等变换的应用 一、利用分块矩阵的初等变换求矩阵的逆. 廖中行在2002年05期《四川教育学院学报》上的《初等变换在分块矩阵乘法》的一文中提到 例1: 已知?? ? ? ??=C O D B P 其中Ｂ是ｒ×ｒ可逆阵,Ｃ是ｓ×ｓ可逆阵,求证:Ｐ可逆,并求1 -P .分析:本题是一个分块阵的求逆问题,一般可用待定子块法,也可利用广义初等 变换,还可用左乘分块初等阵的方法.解:因Ｂ、Ｃ可逆,故|Ｂ|≠0,|Ｃ|≠0.根据拉普拉斯展开,有C B C O D B P ·== ≠0,故Ｐ可逆.求C 有三种办法: 解法一:利用广义初等行变换法. ?? ? E C 0012?? ?-100 C E (B 1 -D)2r ?+r 1 ??? ? ??-----1111000C DC B E B E 故P 1-=??? ? ? ?-----1111 C DC B B 本题对分块矩阵进行广义初等变换是一般矩阵的初等变换的一种推广,其方法和一般矩 阵相同.作初等行(列)变换时,对矩阵Ｐ应左(右)乘相应的分块单位阵.上述分块初等变换的过程也可用分块阵左乘相应的分块初等阵,可表示如下: 解法二: 可用左乘分块初等阵的方法求1-P ???? ??--1100C B ???? ??C D B 0=???? ??--110C D B E 有 ???? ? ?--E D B E 01???? ??-E D B E 01=???? ??E E 00 即：???? ? ?--E D B E 01???? ??-C B 001???? ??C D B 0=???? ??E E 00=E 故有P 1-=???? ??C D B 01-=???? ? ?--E D B E 01???? ??--1100C B =??? ? ??-----11110C DC B B 例2：已知A=????? ?? ? ??--1001000000643521100010001，求A 1 -. 分析:本题是一个矩阵的求逆问题,一般可用公式法,矩阵的初等变换法求;可以用分 块矩阵初等变换法求1 -A . 利用分块矩阵初等变换法 先A 化分成分块矩阵，即A=????? ??? ? ?--10010000006435 2 1 100010001=???? ??C D B 0 其中B=???? ? ??100010001，C=? ??? ??--1001，D=???? ? ??654321 从而求得B 1-=? ??? ? ??100010001，C 1-=???? ??--1001 然后对A 进行广义初等变换，即： ?? ? E C 001 2?? ?-10 0C E (B 1 -D)?r 2+r 1 ???? ? ?-----111 1 00C DC B E B E ∴A 1-=???? ??-----11 110C DC B B =??? ????? ? ?--100 000100065100420 1031 001 如果用其它方法来求解将会变得很繁琐，用分块矩阵的初等变换发来求解就显的比较简单. 二、利用分块矩阵初等变换求行列式的值 宋玉英在2002年04期的《兰州教育学院学报》上的《“用广义初等变换”法求“分块矩阵”的逆矩阵》一文中提到 例3 设P=? ??? ??D C B A 是一个分块方阵,其中A 是r 阶可逆阵,求|P|. 解: 由推论及定理7的(3): P = D C B A =A D C B A I r 1-=A B CA D B A I r 110 ---=A B CA D 1-- 若A 与D 可乘,则|P|=|AD-ACAB|;又若A 与C 可交换(即AC=CA),则|P|=|AD-CB|.例 例4 设D n 2= d c d c b a b a , 其中a ≠0,求|A| 解： D n 2= d c d c b a b a = D C B A 由于A,C 可交换,所以 D n 2=CB AD -=???? ? ???????? ??bc bc ad ad = =|(ad-bc)I|=(ad-bc)n 例5 设A,B,C 和D 是n 阶方阵,试证明D C B A = A B C D 证 两次利用定理4的(1),得 D C B A =（-1） 2 n B A D C =（-1） 2 n （-1） 2 n A B C D = A B C D 三、利用分块矩阵的初等变换求矩阵的秩 史永铨在2002年02期《淮南师范学院学报》上的《分块矩阵初等变换及其应用》一文中提到： 矩阵的秩有以下初等性质: 设Ａ与Ｂ分别是ｒ×ｓ与ｐ×ｑ矩阵，则ｒ B C A 0≥ｒ(Ａ)+ｒ(Ｂ) 并且当Ａ(或Ｂ)是方阵且非异时,或者Ｃ=0时上式的等号成立. 例6. 设Ａ是ｍ×ｎ阵 D C B A 的非异顺序主子阵, 则r D C B A =ｒ(Ａ)+ｒ(Ｄ-ＣＡ1-Ｂ) 证： ?? ? ? ??---r m r I CA I 1 0???????D C B A =????? ?--B CA D B A 10 而Ａ是非异阵,由以上性质知ｒ??????D C B A =?? ????--B CA D B A 1 0≥ｒ(Ａ)+ｒ(Ｄ-CA 1 -B) 例7. 设ｎ阶方阵Ａ=(Ｑij )为反对称矩阵,证明:ｒ(Ａ)必为偶数 证: 对ｎ用归纳法 ｎ=1,2是命题显然成立 设阶数小于ｎ时命题为真则对ｎ阶及对称矩阵Ａ,将Ａ分块成 Ａ=D B C A 1,其中Ａ1= 012 12a a -不妨设12a ≠0. ??????--I BA I 1 1 0??????D B C A 1???? ??--I C A I 011=?? ? ???--C BA D A 111 ∴ｒ(Ａ)=ｒ???? ??D B C A 1 =ｒ?? ? ???--C BA D A 11100 =ｒ(Ａ1)+ｒ(Ｄ-ＢＡ1 1-Ｃ) =2+ｒ(Ｄ-ＢＡ1 1-Ｃ) 但Ｄ-ＢA 1 1-Ｃ为阶数比Ａ低的反对称矩阵,由归纳假设ｒ(Ｄ-ＢＡ1 1-Ｃ)为偶数, 故ｒ(Ａ)为偶数. 四、分块矩阵的初等变换在矩阵分解中的应用 例8. 设Ａ=(ａij )是ｎ阶方阵,它的顺序主子式全不为零, 证明: 存在非异下三角形矩阵Ｂ与非异上三角形矩阵Ｃ,使Ａ=ＢＣ 证: 对ｎ用归纳法 ｎ=1时显然成立 设当ｎ-1时,结论成立,则对ｎ,将Ａ分块成Ａ=?? ? ? ??-nn n a A β α1 由归纳假设对Ａ1-n =??? ? ??????----1,11,11,11,1n n n n a a a a 有Ａ1-n =Ｂ1Ｃ1其中Ｂ1Ｃ1分别是ｎ-1阶非异下三角形与上三角形矩阵 ??????----10111n n A I β???????-b a A n 0 1,其中b=a nn -11--n A βa 上式两端取行列式有：A =1-n A ?b, ∴ b ≠0 ∴ ??????-b A n 001=??????I C B 0 011???? ???-b a B C 0111 于是得：A ??????-m n a A βα1=??????----10111 n n A I β???????1001B ??????-b B C 0 111α=BC 其中B=?? ????----10111n n A I β1-???????1001B =??????---10111n n A I β??????1001B =?? ????-10111 C B β, C=??????-b B C 0 111α B =1B ≠0, C =b 1C 0≠ ∴B 与C 分别是非奇异的下三角与上三角形矩阵. 类似的例子还可以举出很多,由于篇幅有限,不再赘述.总之,在矩阵乘法中,只要对矩阵 进行恰当的分块,结合矩阵初等变换的方法,就能大大的简化其运算. 线性代数 第一次讨论课 1.导语 2.讨论内容目录 3.正文 4.个人总结 导语: 矩阵是研究线性代数方程组和其他相关问题的有力工具，也是线性代数的主要研究啊、对象之一。它的理论和方法在自然科学、工程技术、社会科学等众多领域等都有极其广泛的应用。矩阵作为一些抽象数学的具体表现，在数学研究中占有极其重要的地位。本文从矩阵的概念讨论矩阵的运算及性质，进而讨论用途很广的矩阵的初等变换及其应用。 讨论内容目录 矩阵的初等变换及其应用 1.两个矩阵的等价 2.两个矩阵的乘积 3.将矩阵化为行阶梯型、行最简形、标准型 4.求矩阵的秩 5.求可逆矩阵的逆矩阵 6.求线性方程组的解 7.判断向量组的线性相关性 8.求向量组的秩与极大无关组 9.求矩阵的对角化矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值） 10.二次型化为标准形 正文 一、矩阵的等价 1.定义：若矩阵A经过一系列初等行变换化为B矩阵,则称A 与B 行等价；若矩阵A 经过一系列初等列变换化为B 矩阵,则称A 与B 列等价；若矩阵A 经过一系列初等变换化为B 矩阵,则称A 与B 等价（相抵）。 2.矩阵的等价变换形式主要有如下几种： 1）矩阵的i 行（列）与j 行（列）的位置互换； 2）用一个非零常数k 乘矩阵的第i 行（列）的每个元； 3）将矩阵的第j 行（列）的所有元得k 倍加到第i 行（列）的对应元上去； 即如果两个矩阵可通过有限次上述变换中的一个或几个的组合变为一样的，两个矩阵等价。 3. 矩阵等价具有下列性质 （1）反身性 任一矩阵A 与自身等价； （2）对称性 若A 与B 等价，则B 与A 等价； （3）传递性 若A 与B 等价，B 与C 等价，则A 与C 等价； 注意：矩阵作初等变换是矩阵的一种运算，得到的是一个新矩阵，这个矩阵一般与原矩阵不会相等。 下面举例说明矩阵等价及等价变换： 13640824100412204128--?? ?- ? ?-- ?-?? 13 r r +???→ 矩阵与行列式的关系 矩阵是一个有力的数学工具，有着广泛的应用，同时矩阵也是代数特别是线性代数的一个主要研究对象．矩阵的概念和性质都较易掌握，但是对于阶数较大的矩阵的运算则会是一个很繁琐的过程，甚至仅仅依靠矩阵的基本性质很难计算，为了更好的处理这个问题矩阵分块的思想应运而生[]1． 行列式在代数学中是一个非常重要、又应用广泛的概念．对行列式的研究重在计算，但由于行列式的计算灵活、技巧性强，尤其是计算高阶行列式往往较为困难．行列式的计算通常要根据行列式的具体特点采用相应的计算方法，有时甚至需要将几种方法交叉运用，而且一题多种解法的情况很多，好的方法能极大降低计算量，因此行列式计算方法往往灵活多变．在解决行列式的某些问题时，对于级数较高的行列式，常采用分块的方法，将行列式分成若干子块，往往可以使行列式的结构清晰，计算简化．本文在广泛阅读文献的基础上，从温习分块矩阵的定义和性质出发，给出了分块矩阵的一些重要结论并予以证明，在此基础上讨论利用分块矩阵计算行列式的方法，并与其他方法相互比较，以此说明分块矩阵在行列式计算中的优势． 1.1 矩阵的定义 有时候，我们将一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样[]1．特别在运算中，把这些小矩阵当做数一样来处理．这就是所谓的矩阵的分块．把原矩阵分别按照横竖需要分割成若干小块，每一小块称为矩阵的一个子块或子矩阵，则原矩阵是以这些子块为元素的分块矩阵．这是处理级数较高的矩阵时常用的方法． 定义1[]2 设A 是n m ?矩阵，将A 的行分割为r 段，每段分别包含r m m m 21行，将 A 的列分割为s 段，每段包含s m m m 21列，则 ?? ? ? ? ? ? ??=rs r r s s A A A A A A A A A A 21 2222111211 ， 就称为分块矩阵，其中ij A 是j i m m ?矩阵（,,,2,1r i =s j ,,2,1 =）． 注：分块矩阵的每一行（列）的小矩阵有相同的行（列）数． 例如，对矩阵A 分块， = ?? ? ? ? ? ? ? ?-=21010301012102102301A ??? ? ??22211211 A A A A ， 其中 2.3 初等变换与初等矩阵 授课题目 2.3 初等变换与初等矩阵 授课时数：4课时 教学目标：掌握初等变换的定义，初等矩阵与初等变换的关系，矩阵的等价标准形，阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵 教学重点：用初等变换求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵 教学难点：求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，、行简化阶梯形矩阵 教学过程： 用初等变换化简矩阵A B B A 的性质来探讨通过为,的性质，这是研究矩阵的重要手段。为了把变换过程用运算的式子表示出来，我们要引入初等矩阵，研究初等矩阵与初等变换的关系。 一．初等变换与初等矩阵 1. 初等变换 （1）定义 定义1 矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换： 1）换法变换：交换矩阵某两行（列）的位置； 2）倍法变换：用一个非零数乘矩阵的某一行（列）； 3）消法变换：把矩阵的某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，k 为任意数。 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。 （2）记法 分别用)]([)],([],,[k j i k i j i +表示三种行（列）变换，写在箭头上面表示行变换，写在箭头下面表示列变换。或者行变换用i j i i j R R ,kR ,R kR ?+， 列变换用i j i i j C C ,kC ,C kC ?+ 例1 [][] ???? ? ??--??→?????? ??---???→?????? ??--=+-+131123302001121123302101121121322101)1(13)2(12A . 2. 初等矩阵 （1）初等矩阵的定义 定义2 由单位矩阵I 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵 ij j i n P j i I =???? ? ?? ? ????? ??? ? ? ????→?行行 1101111011] ,[ [] )(1111)(,k D i k I i j i n =? ???????? ?? ????→?行 [] )(1111)(k T j i k I ij k itj n =? ???? ????? ? ????→?行行 列i 列j 矩阵初等变换及应用 王法辉 摘要：矩阵初等变换是高等代数的重要组成部分。本文对初等变换进行了研究探讨，详细介绍了与矩阵初等变换有关的基础知识。在阐述矩阵初等变换方法及应用原理的基础上，首先重点讨论该方法在解决高等代数相关计算问题上的应用，如求多项式的最大公因式、求逆矩阵解矩阵方程、求解线性方程组、判定向量的线性相关性、化二次型为标准型、求空间的基等。尤其是利用矩阵初等变换法求空间的基(解空间、特征子空间、核、值域等)的问题的计算,以具体实例生动的展示出问题的内在关系,最后给出了该方法在解决实际问题中的应用。本文理论分析与实际相结合，凸现了矩阵初等变换法直接、便利、有效的威力与作用。 关键词：矩阵初等变换；最大公因式；线性相关性；二次型；空间的基 1 导言 在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。在数学的学习和应用中，矩阵理论是高等代数的重要组成部分，矩阵初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终。应用初等变换证明命题过程容易被接受，同时也是解决高等代数相关计算问题最直接、便利、有效的方法。此外，还有大量的各种各样的，表面上看完全没有联系的问题的解决,都可以通过相同的方法实现：矩阵的初等变换。 因此，对矩阵初等变换方法及应用进行探讨，无疑是十分必要和重要的。 目前，有许多文献涉及到对矩阵初等变换方法该的讨论，但比较零散。在研读文献的基础上，对矩阵初等变换的内涵进一步挖掘，使矩阵初等变换方法的威力作用得以充分展示是重要也是必要的。 2 矩阵及其初等变换 2.1 矩阵 由n m ?个数)j ,,,2,1(==m i a ij （i =1,2, ,j =1,2,n ， ）排成m 行n 列 的数表 ? ? ??? ???????=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 称为m 行n 列的矩阵，简称n m ?矩阵。 2.2 矩阵的初等变换及初等矩阵 矩阵有行列之分，因此有如下定义 定义1 矩阵的初等行（列）变换是指如下三种变换 (1)交换矩阵某两行（列）的位置，记为j i r r ? )(j i c c ?； (2)把某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，记为j i kr r + )(j i kc c +； (3)用一个非零常数k 乘以某一行（列），记为i kr )(i kc ，k ≠0； 矩阵的初等行变换及初等列变换统称为矩阵的初等变换。 定义2 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。有以下3种形式 (1)互换矩阵E 的i 行和j 行的位置，得 ? ???? ? ??? ?? ? ????? ???????????????? ?=1101111011),( j i P ； (2)用数域P 种非零数c 乘E 的i 行，得 分块矩阵的应用 引言 矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生. 矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理.把矩阵分块运算有许多方便之处.因为在分块之后,矩阵间的相互关系可以看得更清楚,在实际操作中与其他方法相比,一般来说,不仅非常简洁,而且方法也很统一,具有较大的优越性,是在处理级数较高的矩阵时常用的方法.比如，从行列式的性质出发，可以推导出分块矩阵的若干性质，并可以利用这些性质在行列式计算和证明中的应用分块矩阵；也可以借助分块矩阵的初等变换求逆矩阵及矩阵的秩等；再如利用分块矩阵求高阶行列式，如设A 、C 都是n 阶矩阵，其中0A ≠，并且AC CA =，则可求得A B AD BC C D =-；分块矩阵也可以在求解线性 方程组应用. 本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利. 1 分块矩阵的定义及相关运算性质 1.1分块矩阵的定义 矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理. 定义1设A 是一个m n ?矩阵，若用若干横线条将它分成r 块，再用若干纵线条将它 分成s 块，于是有rs 块的分块矩阵，即1111...............s r rs A A A A A ???? =?????? ，其中ij A 表示的是一个矩阵. 1.2分块矩阵的相关运算性质 1. 2.1加法 设() ij m n A a ?=() ij m n B b ?=，用同样的方法对,A B 进行分块 () ij r s A A ?=，() ij r s B B ?=， 其中ij A ，ij B 的级数相同， 则 ()ij ij r s A B A B ?+=+. 1.2.2数乘 设是任() () ,ij ij m n r s A a A k ??==为任意数，定义分块矩阵() ij r s A A ?=与k 的数乘为 () ij r s kA kA ?= 1.2.3乘法 设() () ,ij ij s n n m A a B b ??==分块为()(),ij ij r l l r A A B B ??==，其中ij A 是i j s n ?矩阵，ij B 是 i j n m ?矩阵，定义分块矩阵() ij r l A A ?=和()ij l r B B ?=的乘积为 () 1122...,1,2,...;1,2,3,...,ij i j i j il lj C A B A B A B i t j l =+++==.、 1.2.4转置 设() ij s n A a ?=分块为() ij r s A A ?=，定义分块矩阵() ij r s A A ?=的转置为 () ji s r A A ?''= 1.2.5分块矩阵的初等变换 分块矩阵A 的下列三种变换称为初等行变换： 矩阵的初等变换及应用 内容摘要： 矩阵是线性代数的重要研究对象。矩阵初等变换是线性代 数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。 一矩阵的概念 定义：由于m x n 个数aij (i=1 , 2,….,m; j=1 , 2,…., n)排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m x n矩阵 二矩阵初等变换的概念 定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换 1. 初等行变换 矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换： ⑴交换矩阵的两行佼换一两行,记作.); (2) 以一个非零的数 '乘矩阵的某一行(第.行乘数卜，记作…); (3) 把矩阵的某一行的，倍加到另一行(第一行乘 '加到.行, 记为). 1.初等列变换 把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换 3，如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B 矩阵之间的等价关系具有下列基本性质： ⑴反身性； (2) 对称性若小丄,，则； (3) 传递性若丄丄,/,则」. 三矩阵初等变换的应用 1.利用初等变换化矩阵为标准形 定理：任意一个m x n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形 ■ 4■ ■ 1 F行二0 ■ ■ < 泓1 2. 利用初等变换求逆矩阵 求n阶方阵的逆矩阵：即对n x 2n矩阵(A| E)施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A A(-1) 即(A|E)经过初等变换得到(E|AA(-1)) 这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化 为行阶梯形矩阵时， 若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。 设计 （20 届）分块矩阵的初等变换及其应用 所在学院 专业班级信息与计算科学 学生姓名学号 指导教师职称 完成日期年月 摘要：本文介绍了矩阵，分块矩阵的一些基本概念，同时也介绍了分块矩阵的初等变换，分块矩阵的初等变换在一些问题中的相关应用，如利用分块矩阵的初等变换计算矩阵的行列式，求矩阵的逆，在秩问题中的应用，在相似问题中的应用以及在其他方面的应用，用22 分块矩阵的初等变换证明实对称矩阵的正定性。并根据各种的应用给出了大量的例题，充分体现了分块矩阵的初等变换在代数学中所具有一定的优越性。 关键词：分块矩阵；初等变换；行列式；矩阵的逆；应用 Elementary block matrix transform and its application Abstract：This article introduces some basic concepts of the matrix and partitioned matrix，also introduces the elementary transformation of partitioned matrix and the related application in some problems. For example, using the elementary transformation of partitioned matrix to compute matrix's determinant or get the inverse of a matrix. Also it introduces the application of partitioned matrix in some rank problems, similar problems and other problems, using the 22 elementary transformation of partitioned matrix to prove the definiteness of symmetric matrix. According to different kinds of application, it lists a lot of examples, which fully indicate the superiority of partitioned matrix's elementary transformation in algebra. Key words：partitioned matrices; elementary transformation; determinant; the inverse of a matrix; Application 十．研究创新题 解： 1.分块矩阵的初等变换 分块矩阵的初等变换与初等矩阵 吴云在1997年8月的《工科数学》上的《分块矩阵的初等变换》一文中提到定义1分块矩阵的行(列初等变换是指: （1）交换两行(列的位置; （2）第ｉ行(列的各个元素分别左乘(右乘该行(列的一个阶左(右保秩因子Ｈ; （3）第ｉ行(列的各个元素分别左乘(右乘一个阶矩阵Ｋ后加到第ｊ行. 定义2 对应于分块矩阵的初等分块矩阵是指: （1）= 或= （2）=或= 其中Ｈ为第ｉ行(列的一个左(右保秩因子； (1 = (2 或= 初等分块矩阵与通常的初等矩阵类似,但由于矩阵乘法不满足交换律,故需要分为左、右两种.直接验算可得: 定理1(1交换的第ｉ行与第ｊ行,相当于左乘一个ｍ阶初等分块矩阵,其中中的元素为ｈ(i阶单位矩阵,为ｈ(j阶单位矩阵, 当ｒ≠ｉ且ｒ≠ｊ时,为ｈ(ｒ阶单位矩阵;交换的第ｉ列与第ｊ列相当于右乘一个ｎ阶初等分块矩阵,其中为ｌ(i阶单位矩阵,为ｌ(j阶单位矩阵,当ｒ≠ｉ且ｒ≠ｊ时,为ｌ(ｒ阶单位矩阵； (2 的第ｉ行的每一个元素左乘一个矩阵Ｈ相当于左乘一个ｍ阶分块矩阵 中Ｈ为ｈ(ｉ阶方阵; 的第ｉ列的每一个元素右乘一个矩阵Ｈ,相当于 右乘一个ｎ阶初等到变换矩阵,其中Ｈ为ｌ(ｉ阶方阵； (3 的第ｊ行的每个元素分别左乘一个ｈ(ｉ×ｈ(ｊ矩阵Ｋ后加到第ｉ行,相当 于左乘一个初等分块矩阵;第ｊ列的每一个元素分别右乘ｌ(ｊ×ｌ(ｉ矩阵Ｋ后加到第ｉ列,相当于右乘. 定理2设Ａ为方阵,则分块矩阵施行第一种行初等变换后,对应的行列式为 , 其中 h(i,j=h(ih(j-l+h(i+l]+…+h(j[h(i+h(i+j+…+h(j-l], l(i,j=l(ih(j-l+l(i+l]+…+l(j[l(i+l(i+j+…+l(j-l], 施行第二种初等变换后,对应的行列式为|Ｈ|·|Ａ|;施行第三种初等变换后,对应的行列式的值不变. 证明: ,显然成立. 下证,所在的第1行逐次与它相邻的行交换,移至前,共进行ｈ(ｉ-1+ｈ(ｉ+1+…+ｈ(ｊ-1次交换两行,第2行逐次与它相邻的行交换,移至前,同样进行相同次交换两行,依此类推,把所在的行移至所在的行前,共进行 ｈ(ｉ[ｈ(ｉ-1+ｈ(ｉ+1+…+ｈ(ｊ-1]次交换两行,然后把移至适当的位置,同理共进行ｈ(ｊ[ｈ(ｉ+ｈ(ｉ+1+…+ｈ(ｊ-1]次交换两行,所以交换两行的总次数为ｈ(ｉ,ｊ,故 ;同理. 所以有==(-1或==（-1） ==或= ==== 定理3 分块矩阵进行初等变换后,秩不变. 用矩阵初等变换逆矩阵 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2007年11月16日至18日，有幸参加了由李尚志教授主讲的国家精品课程线性代数（非数学专业）培训班，使我受益匪浅，在培训中，我见识了一种全新的教学理念。李老师的“随风潜入夜，润物细无声”“化抽象为自然”“饿了再吃”等教学理念很值得我学习。作为刚参加工作的年轻教师，我应该在以后的教学中，慢慢向这种教学理念靠拢，使学生在不知不觉中掌握较为抽象的知识。下面这个教案是根据李老师的教学理念为“三本”学生写的，不知是否能达要求，请李老师指教。 用矩阵的初等变换求逆矩阵 一、问题提出 在前面我们以学习了用公式 求逆矩阵，但当矩阵A 的阶数较大时，求A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢？ （饿了再吃） 二、求逆矩阵方法的推导 （“润物细无声”“化抽象为自然”） 我们已学习了矩阵初等变换的性质，如 1.定理 2.4 对mxn 矩阵A ，施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。 2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。 3.定理2.5的推论 A 可逆的充要条件为A 可表为若干初等矩阵之积。即 4.推论 A 可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。 （1） 由矩阵初等变换的这些性质可知，若A 可逆，构造分块矩阵(A ︱E )，其中E 为与A 同阶的单位矩阵，那么 （2） 由（1）式 代入（2）式左边， 上式说明分块矩阵(A ︱E )经过初等行变换，原来A 的位置变换为单位阵E ，原来E 的位置 变换为我们所要求的1 A -,即 21121111111112112112s t s s t t m P P P AQ Q Q E A P P P P EQ Q Q Q R R R ----------=?=?L L L L L 111 21m R R R A E ---=L 111121m R R R A ----=L () () 1 22n n n n A E E A -???????→ 1* 1A A A -=( )()() 1111A A E A A A E E A ----==1111 21m A R R R ----=L ( )() 1 111 21m R R R A E E A ----=L 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 初等行变换 ()1()i j r r ?对调两行，记作。 ()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素，记作。 ()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。 初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。 矩阵等价 A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。 等价关系的性质 （1）反身性 A~A 2 A ~B , B ~A;（）对称性若则 3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。（课本P59） 行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。 行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0. 标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r m n E O F O O ???= ???的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。 初等变换的性质 设A 与B 为m ×n 矩阵，那么 (1);r A B m P PA B ?=:存在阶可逆矩阵，使 (2)~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)P ;A B m P n Q AQ B ?=:存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵的性质 设A 是一个m ×n 矩阵，则 （1）对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵； ~;r A B m P PA B ?=即存在阶可逆矩阵，使 （2）对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵； 即~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)~P ;A B m P n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 （4）方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵1212,,,,l l P P P A PP P =L L 使。 （5）~r A A E 可逆的充分必要条件是。（课本P ？ ） 初等变换的应用 （1）求逆矩阵：()1(|)|A E E A -????→初等行变换或1A E E A -????????→ ? ????? 初等列变换。 （2）求A -1B ：A (,) ~ (,),r A B E P 即() 1(|)|A B E A B -??→行，则P =A -1B 。或1E A B BA -????????→ ? ????? 初等列变换. 第二节 矩阵的秩 分块矩阵及其应用 【摘要】矩阵论是代数学中是一个重要的组成部分和主要的研究对象。而分块矩阵可以降低较高级数的矩阵级数，使矩阵的结构更加清晰，从而使矩阵的相关计算简化，并且可以证明一些与矩阵有关的问题。本文详细且全面论述了分块矩阵阵的概念、分块矩阵的运算和其初等变换，而且证明了矩阵的分块在高等代数中的应用，包括用分块矩阵证明矩阵秩的问题，用分块矩阵求行列式问题，用分块矩阵求逆矩阵的问题,分块矩阵相似的问题。 【关键词】：分块矩阵；矩阵的秩；逆矩阵；行列式 目录 1引言 (2) 2矩阵分块的定义和性质 (2) 2.1 矩阵分块的定义 (2) 2.2 分块矩阵的运算 (2) 2.3 分块矩阵的初等变换 (3) 2.4 n阶准对角矩阵的性质 (3) 3分块矩阵在高等代数中的应用 (4) 3.1 分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用 (4) 3.2 利用分块矩阵计算行列式 (7) 3.3 分块矩阵在求逆矩阵方面的应用 (11) 3.4 分块矩阵在解线性方程组方面的应用 (16) 4总结 (19) 参考文献 (20) 1 引言 矩阵是高等代数中的一个重要内容，也是高等数学的很多分支研究问题的工具。在学习高等代数的时候常常碰到一些很难的问题，我们要经常用到矩阵的分块去解决，它可以使矩阵的结构更简单，从而使问题的解决更简明。比如当我们处理阶数较高或具有特殊结构的矩阵时，用处理一般低阶矩阵的方法，往往比较困难，为了研究问题的方便，也为了显示出矩阵中某些部分的特性，我们常把一个大型矩阵分成若干子块，把每个子块看作一个元素，从而构成一个分块矩阵，这是处理矩阵问题的重要技巧。利用矩阵的分块，可以把高阶矩阵划分成阶数较低的“块”，然后对这些以“块”为元素的矩阵施行矩阵的运算。本文就分块矩阵的加法、乘法、转置、初等变换等运算性质，及分块矩阵在证明矩阵相关秩的问题、矩阵求逆、行列式展开计算等方面的应用作了较为深入的研究。矩阵的分块能使矩阵的一些证明和计算变的非常简洁和快速，易于理解和掌握，而且能开拓思维，提高灵活应用知识解决问题的能力。 矩阵初等变换的一些性质及应用 摘要：矩阵的初等变换是线性代数中应用十分广泛的重要工具。文章证 明了矩阵初等变换的两个性质, 以此为基础, 归纳说明了矩阵的初等变 换在线性代数课程中的应用, 并给出了一些实例。 关键词：矩阵初等变换性质应用 Abstract: The elementary alternate of matrix is an important tool broadly used in linear algebra. The paper discusses its properties and application. Key w o rd: matrix, elementary alternate, properties, application 0 引言 矩阵是数域P上的m行n列矩阵,矩阵的行(列)初等变换是指对矩阵施行如下的变换: (1)交换矩阵的两行(列),对调i,j两行,记作←（记作←）； (2)以非零数 k 乘矩阵某一行( 列) 的所有元素,第i行（列）乘k,记作×k(记作×k)； (3)把某一行(列)所有元素的 k 倍加到另一行(列)对应元素上去，如第j 行（列）的k 倍加到第i行（列）上, 记作+（记作+）。 矩阵的初等变换在高等代数课程中有着十分广泛的应用, 也是本课程的基本工具之一。矩阵的初等行变换和初等列变换具有同等的地位和作用, 只是在使用过程中有所区别。本文首先证明初等行变换和初等列变换具有同等的地位和作用，再以具体实例说明矩阵初等变换在求极大无关组和秩的应用。 一、初等变换的性质证明 定理1 第一种初等变换可以由第二、三种初等变换实施得到。 证明: 设是为数域P上的m×n 矩阵(i= 1，2，…，m； j=1，2，…，n) 对矩阵A 施行第二、三种初等行变换: … 矩阵的初等变换及应用 内容摘要： 矩阵是线性代数的重要研究对象。矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。 一矩阵的概念 定义：由于m×n个数aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，n）排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m×n矩阵 二矩阵初等变换的概念 定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换 ！ 1.初等行变换 矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换: (1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作); (2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作 ); (3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为). 1.初等列变换 把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换 3 ,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B — 矩阵之间的等价关系具有下列基本性质: (1) 反身性; (2) 对称性若,则; (3) 传递性若,,则. 三矩阵初等变换的应用 1.\ 2.利用初等变换化矩阵为标准形 定理：任意一个m× n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形 3.利用初等变换求逆矩阵 求n阶方阵的逆矩阵：即对n×2n矩阵（A|E）施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^(-1) 即(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1)) ： 这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时， 若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。 设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵 ， 为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩 阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即 . 这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法. 》 同理, 求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利用初等列变换求矩阵. 即 . 3．利用矩阵初等变换求矩阵的秩 矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法. 分块矩阵及其应用 徐健,数学计算机科学学院 摘要：在高等代数中，分块矩阵是矩阵内容的推广. 一般矩阵元素是数量， 而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵，它的元素是每个矩阵块.分块矩阵的引进使得矩阵工具的利用更加便利，解决相关问题更加强有力，所以其应用也更广泛. 本文主要研究分块矩阵及其应用，主要应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理. 关键词：分块矩阵；行列式；方程组；矩阵的秩 On Block Matrixes and its Applications Xu Jian, School of Mathematics and Computer Science Abstract In the higher algebra, block matrix is a generalization of matrix content. In general, matrix elements are numbers. However, the block matrix is a large matrix which is divided into some small rectangular matricies, whose elements are matrix blocks. The introduction of the block matrix makes it more convenient to use matrix, and more powerful to solve relevant problems. So the application of the block matrix is much wider. This paper mainly studies the block matrix and its application in the calculation of determinant, such as solving linear equations, calculating inverse matrix, proving theorem related to the rank of matrix , etc. Keywords Block matrix; Determinant; System of equations; Rank of a matrix 十．研究创新题 解： 1.分块矩阵的初等变换 分块矩阵的初等变换与初等矩阵 吴云在1997年8月的《工科数学》上的《分块矩阵的初等变换》一文中提到 定义1 分块矩阵的行(列)初等变换是指: （1）交换两行(列)的位置; （2）第ｉ行(列)的各个元素分别左乘(右乘)该行(列)的一个） （i h 阶）阶）（（i l 左(右)保秩因子Ｈ; （3）第ｉ行(列)的各个元素分别左乘(右乘)一个） （i h 阶）阶）（（i l 矩阵Ｋ后加到第ｊ行. 定义2 对应于分块矩阵t s ij A ?）（的初等分块矩阵是指: （1）))((k j i P i +=?????????? ? ? ?ss ll ii E E K E E 11 或ijk P =?????????? ? ? ?ii ll ii jj E O E E O E （2） )(H P il =???????? ??ss ll E H E 或)(H P ik =?? ? ?? ? ?? ? ?ii E H E 11 其中Ｈ为第ｉ行(列)的一个左(右)保秩因子； (1) ))((k j i P i +=??????????? ? ?ss ll ii E E K E E 11 (2) 或))((k j i P k +=?????????? ? ? ?ll ll ii E E K E E 11 初等分块矩阵与通常的初等矩阵类似,但由于矩阵乘法不满足交换律,故需要分为左、右两种.直接验算可得: 定理1 (1)交换t s ij A ?）（的第ｉ行与第ｊ行,相当于左乘一个ｍ阶初等分块矩阵ijL P ,其中ijL P 中的元素ii E 为ｈ(i)阶单位矩阵, jj E 为ｈ(j)阶单位矩阵, 当ｒ≠ｉ且ｒ≠ｊ时, rr E 为ｈ(ｒ)阶单位矩阵;交换t s ij A ?）（的第ｉ列与第ｊ列相当于 右乘一个ｎ阶初等分块矩阵ijk P ,其中ii E 为ｌ(i)阶单位矩阵, jj E 为ｌ(j)阶单位矩阵, 当ｒ≠ｉ且ｒ≠ｊ时, rr E 为ｌ(ｒ)阶单位矩阵； (2) t s ij A ?）（的第ｉ行的每一个元素左乘一个矩阵Ｈ相当于t s ij A ?）（左乘一个ｍ阶分块矩阵）（H P iL 中Ｈ为ｈ(ｉ)阶方阵; t s ij A ?）（的第ｉ列的每一个元素右乘一个矩阵Ｈ,相当于t s ij A ?）（右乘一个ｎ阶初等到变换矩阵） （H P ik ,其中Ｈ为ｌ(ｉ)阶方阵； (3) t s ij A ?）（的第ｊ行的每个元素分别左乘一个ｈ(ｉ)×ｈ(ｊ)矩阵Ｋ后加到第ｉ行,相当于t s ij A ?）（左乘一个初等分块矩阵））（（k j i P L +;第ｊ列的每一个元素分别右乘ｌ(ｊ)×ｌ(ｉ)矩阵Ｋ后加到第ｉ列,相当于t s ij A ?）（右乘））（（k j i P k +. 定理2设Ａ为方阵,则分块矩阵t s ij A ?）（施行第一种行初等变换后,对应的行列式为 A j i h ） ，（）（1-, 其中 h(i,j)=h(i)h(j)-l+h(i+l)]+…+h(j)[h(i)+h(i+j)+…+h(j-l)], l(i,j)=l(i)h(j)-l+l(i+l)]+…+l(j)[l(i)+l(i+j)+…+l(j-l)], 施行第二种初等变换后,对应的行列式为|Ｈ|·|Ａ|;施行第三种初等变换后,对应的行列式的值不变. 证明: H H P i =） （,A k j i P =+））（（显然成立. 下证） ，（）（j i h irL P 1-= ,ii E 所在的第1行逐次与它相邻的行交换,移至jj E 前,共进行ｈ (ｉ)-1+ｈ(ｉ+1)+…+ｈ(ｊ-1)次交换两行,第2行逐次与它相邻的行交换,移至jj E 前,同样进行相同次交换两行,依此类推,把ii E 所在的行移至jj E 所在的行前,共进行 毕业论文开题报告 信息与计算科学 分块矩阵的初等变换及其应用 一、选题的背景、意义 1．选题的背景 在数学的矩阵理论中，一个分块矩阵或是分段矩阵就是将矩阵分割出较小的矩形矩阵，这些较小的矩阵就称为区块。换个方式来说，就是以较小的矩阵组合成一个矩阵。分块矩阵的分割原则是以水平线和垂直线进行划分。分块矩阵中，位在同一行（列）的每一个子矩阵，都拥有相同的列数（行数）。 通过将大的矩阵通过分块的方式划分，并将每个分块看做另一个矩阵的元素，这样之后再参与运算，通常可以让计算变得清晰甚至得以大幅简化。例如，有的大矩阵可以通过分块变为对角矩阵或者是三角矩阵等特殊形式的矩阵。 2．选题的意义 矩阵的分块是处理较高阶矩阵时常用的方法，用一些贯穿于矩阵的纵线和横线将矩阵分成若干子块，使得阶数较高的矩阵化为阶数较低的分块矩阵。在运算中，我们有时把这些子块当作元素一样来处理，从而简化了表示，便于计算。分块矩阵初等变换是线性代数中重要而基本的运算，它在研究矩阵行列式、特征值、秩等各种性质及求矩阵的逆、解线性代数方程中有着广泛的应用。因此，如何直接对分块矩阵实行初等变换显得非常重要，本文的目的就是讨论分块矩阵的初等变换及其应用[1]。 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 2.1 分块矩阵及其初等变换 2.1.1 分块矩阵的定义： 将一个分块矩阵A用若干条纵线和横线分成许多块的低阶矩阵，每一块低阶矩阵称为A 的子块。以子块为元素的矩阵A称为分块矩阵。 我们将单位矩阵E分块： ??? ? ? ??=s r r E E E 0 00 001O ，其中E r 是r i 阶单位矩阵(1 线性代数 第一次讨论课 1;要求 2;正文 3;个人总结 丁俊成00101209 第一部分：要求 线性代数课程的主要任务是夯实工程问题的数学基础，培养学生的逻辑思维、定量分析、数学建模、科学计算的数学能力，提高数学素养。 讨论课是以学生为主导，其内容包括理论内容的专题讨论、探究性应用案例的数学模型的建立。通过对理论内容的深入探讨，加深学生对知识的深刻理解与掌握，培养学生自主学习能力、逻辑思维能力、对知识的归纳梳理与综合能力，提高学生分析问题与数学建模的能力。 第一次讨论课内容 矩阵初等变换及其应用 请卓越班的同学们按照下面的提纲（内容包括概念、求解方法、举例、应用案例等）准备。要求做成word或PPT文档。同学们自荐或推荐上讲台讲课。希望同学们踊跃参与。 第一次讨论课的时间初步定在5月中旬。 1.两个矩阵的等价 2.两个矩阵的乘积 3.将矩阵化为行阶梯型、行最简形、标准型 4.求矩阵的秩 5.求可逆矩阵的逆矩阵 6.求线性方程组的解 7.判断向量组的线性相关性 8.求向量组的秩与极大无关组 9.求矩阵的对角化矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值） 第二部分：正文 矩阵的初等变换及其应用 矩阵是线性代数最基本也是最重要的概念之一，几乎线性代数所有的概念或者其使用里面都可以见到矩阵的身影，作为矩阵核心，矩阵的初等变换及其应用是及其重要的，本文将对矩阵初等变换及其应用做简单讨论。 一．两个矩阵的等价 矩阵等价的定义为： 若矩阵A经过一系列初等行变换化为矩阵B，则称A与B行等价。若矩阵A经过一系列初等列变换化为矩阵B，则称A与B列等价。若矩阵A经过一系列初等变换化为矩阵B，则称A与B等价（相抵）。 根据性质，矩阵的等价变换形式主要有如下几种： 1）矩阵的i行（列）与j行（列）的位置互换； 2）用一个非零常数k乘矩阵的第i行（列）的每个元； 3）将矩阵的第j行（列）的所有元得k倍加到第i行（列）的对应元上去； 即如果两个矩阵可通过有限次上述变换中的一个或几个的组合变为一样的，两个矩阵等价。矩阵等价具有下列性质 （1）反身性任一矩阵A与自身等价；矩阵的初等变换及其应用
分块矩阵在行列式计算中的应用(1)
初等变换与初等矩阵
矩阵初等变换及应用
分块矩阵的应用论文
矩阵的初等变换及应用的总结
分块矩阵的初等变换及其应用[含论文、综述、开题-可编辑]
分块矩阵的初等变换及应用_百度文库.
用矩阵初等变换逆矩阵
知识点总结 矩阵的初等变换与线性方程组
分块矩阵及其应用
矩阵初等变换的一些性质及应用
矩阵的初等变换及应用的总结
分块矩阵及其应用
分块矩阵的初等变换及应用49554
分块矩阵的初等变换及其应用开题报告 [开题报告]
矩阵的初等变换及其应用