第五讲矩阵的分块、矩阵的初等变换.
第五讲 矩阵的分块、矩
阵的初等变换
教学目的：
1. 介绍矩阵分块时的代数运算；
2.
讲解矩阵的初等变换及其应用;
教学内容：第二章矩阵
§2.3分块矩阵；
§2.4初等变换与初等矩阵; 教材相关部分：
§2.3 分块矩阵
把一个规格较大的矩阵划分成若干小块，
用分块方式来处理，把大矩阵的运算转化为小
矩阵的 运算，不仅能使运算较为简明，更重要的是使运用微型计算机组合来计算大矩阵成为可能。
A
11
A
21
、矩阵的分块：
定义2.9 用一些纵、 各个小矩阵称为 分块矩阵, 横虚线将矩阵 A 的子块。
A 分割成若干小矩阵，以这些小矩阵为元素的矩阵称为
其中 A
11
也可以按行分块: 或按列分块: an A
21
A
22
a 21
a
m1 a 11 a
12 a 1n
a
21 a
22
a
2n
A A 2
a
m1
a
m2
a
mn
a 12 a 22 a m2
a 1n a 2n
a
mn
B B 2
B n
、分块矩阵的运算：
对分块矩阵进行运算时, 可以把每一个子块当作矩阵的一个元素来处理,
但应保证运算的可
行。
重点是初等变换的过程和应用
A 22
1.分块矩阵的加法、数乘、转置：
定义2.10设矩阵A、B是两个同规格矩阵，且分块法一致，即:
A 11 A 12 A
1r
B
11
B 12 B
1r
A
21
A
22
A 2r
,
B
21 B
22
B 2r
，
A 21
J
B 21
A
s1
A
s2
A
sr
B
s1
B
s2
B
sr
其中每一 A ij 与 B ij 的规格都对应相同，则规定加法为：
A
A 11 A
21
B 21
B
11 B
21
A 12
B 12 A
22 B
22
A 1r
A
2r B
1r
B 2r
；
；
(2.26)
A
s1
B
s1
A
s2
B
s2
A
sr
B sr
A
11 A 12
A
1r
设 为数，则规定数乘为：
A
A
21
A
22
A 2r
；
；
(2.27)
A
s1
A
s2
A
sr
A 1T 1
A 2T 1
A s T 1
此外，规定转置为：
A T
A 1T 2 A 2T 2
A s T 2
。
。
(2.28)
A 1T r
A 2T r
A s T r
2.分块矩阵的乘法：
定义2.11 设A 是m
n 矩阵， B 是n
p 矩
阵。
若将
A 分为r s 个子块（A j ）r s ，将
B 分
三、分块对角阵：
s
中A i 是r i 阶小方阵（阶数可不同），i 1,2, ,s ，
r i
n ,而其余的非主对角子块都为零矩阵,
i1
则称为A 的分块对角矩阵。例如：若记
为 s t 个子块
(B kj ) s t ，
且A 的列与B 的行分块法 一
致，
则规定 A 与B 的乘法为
A 11 A 12 A 1s
B 11 B 12 B
1t
C 11 C 12 C 1t A
21
A
22
A
2s
B
21
B
22
B 2t C
21
C
22
C
2t
A
r1
A
r2
A
rs
B
s1
B
s2
B st
C
r1
C
r 2
C rt
s
其中 C ij
A ik
B kj ，
i 1,2, ,r;j 1,2, t
。
(2.29)
若n 阶方阵A 的一个分块形式只在主对角线上有非零子块，即
diag ( A 1 , A 2 , ,A s ) ，其
i1
A s
证：（1）证明见本章附录。类似于（1）的证明，可以引出 推论：分块上三角阵
An AI2
A 1r
A
A 22
A
2r
A rr
其中主对角子块 A ii 均为方阵（未必同阶），则有 A
A
A 1
、 A s
B 1
B
,
B s
A 1
B 1
A 1
B 1
则
A B
, AB
;
(2.30)
A s
B s
A s
B s
kA
A T
(3)
kA
,A T
;
(2.31)
kA s
A T
A 1
(4) 若每一
A
0，则有A 1
八 1
(2.32)
(2)
则 A 1
3 2
1 4 ,A
2
定理 2.3 (1)
3 2 0 0 0 0 0 1
4 0 0 0 0 0 0 0
5 1 0 0 0 0 0 2
6 1 0 0 0 0 4 1 5 0 0 0 0 0 0 0 4 1
0 0 0 0 0 6
分块对角阵有以下性质:
，则
A 2
A 3
A s A i ；
若代B 为同阶分块对角阵且分块法相同:
A 11 A 22I
|A r r 0由此可知分块三角矩阵
A
（2）、（3）由分块矩阵的加法和乘法、转置和数乘的定义直接可得。
1
（4）由A 0知A 存在，由
A i
A s i
可逆的充要条件是
0, i 1, ,r 。分块下三角阵亦然。
A i
A i
1
A i A
i
E i
A s
A s
A s A s i
E s
便得
1 a i 1 a 2
5 0 1 0 1
例2.11 设A =
0 0 1 a 3 0 0 0 1
i
0 i ,B =
0 0 i b 3 0 0
0 i
解：令A i a i i b i i b 2 ，求 AB 。
b j ,i, J
i,2,3，贝U A= A 0 B 2 B 3
是， AB j 1 0
a i
b j
1 ，
所以 AB=
A i
B i
A i
B 2 A 2 B 3
A 3
B 3
0 i B j
0 i
2 a 1
b, a 2 b 3 A 1 B 2 A 2 B 3 =
2
1 a 1 b 1
2 a 1 a 2
b 2
b 3
0 1 0
2
=0
0 1 a 3
b 3
。
1
A 2 , B=
B 1
A 3 0
，其中B,D 皆为可逆方阵（不必同阶） ，求证A 可逆，并求A
例2.12 设A
设A 1
X Y
其中X 、T 分别与B 、D 是同阶方阵。由
S T
B C X Y BX CS BY CT
E i
O
O D S T
DS DT
O
E 2
得矩阵方程组
BX CS
E i
BY CT O ,
DS O ,
DT E 2。
由此解出：
T D 1
,
S 1 1
D O O, X B , Y
B 1
CT
1
B CD
证：由（1 ）的推论知 A B D 0，故A 可逆。
A i
A s
、初等变换的基本过程：
定义2.12下面三种行变换称为矩阵的初等行变换:
（1）对调两行（对调i 、j 两行记为仃 r j ），称为对调变换;
（2）用数k 0乘某一行中所有元素 （第i 行乘k 记为kr i ），称为倍乘变换;
（3）把某一行所有元素的 k 倍加到另一行的对应元素上
（第j 行的k 倍加到第i 行上记为
r i kr j ），称为倍加变换。
将定义中的“行”换成“列”，即得到矩阵的 初等列变换 的定义（将记号r 换成c ）。矩阵的 初等行变换和矩阵的初等列变换，统称为矩阵的
初等变换。
1
初等变换都存在着逆变换，如变换 r i
「的逆变换就是其本身；变换 kr i 的逆变换为一 r i ；
k
变换r i kr j 的逆变换为r i （ k ）r j ；
称” ”为等价关系，若满足下面三条性质： 1. 反身性：A A ; 2.
对称性：若有 A B ，则必有B A ;
3. 传递性：若有A B 、B C ，则必有A C 。
容易验证矩阵之间的初等变换满足上面等价关系的三条性质。
定义2.13 如果矩阵A 经有限次初等变换变成 B ，则称矩阵 A 与B 等价。记为 A B 。 初等变换的主要作用是化简矩阵而保持其等价性（这在用矩阵解线性方程组中很重要）。化简矩阵A 的主要过程是：首先通过初等行变换把
A 化成行阶梯形矩阵（每行首个非零元素的下方全是零），
然后继续用初等行变换把 A 化成行最简形矩阵（每一非零行的首个非零元素为 1,且这些1所在列
的其他元素都为零）。此后如果再用列初等变换，还可将
A 进一步化成 等价标准形。
1
1 1 0 3 1
2 2 1 2 4 2 例2.13设A
3 3 1 4
5 ，用初等变换将其化简。
3
1
1
1 1
8
2
解：先用初等行变换将其化为行阶梯形，形式上相当于做由上而下的行消元:
所以A 可逆，且有 类似可证 i
B 1 B 1CD 1 A 1
。
0 D 1
1 1
B O B 1 O
C D
D 1CB 1 D 1 .
§2.4 初等变换与初等矩阵
(2.33)
(2.34)
「2 2儿
1 1 1 0 3 1 「3 2「
2 1 1 1 0
3 1 ?r 4
「1
0 1 2
2 0
「4 2「2
0 1 2
2 0
A
0 0 2 4 4 0
0 0 0 0 0 0
2 1
5
3
3
9
3
1 1
1 0 3
1
「3
「4
1
2
2
B
0 0
0 0
0 3 9 3
~就是A 的一个行阶梯形矩阵。对
B 继续作初等行变换，形式上相当于做自下而上的行回消:
1
1
1
1 0
3 1
「3
?0 0 1 2
2
B
0 0
0 1
3 1
0 0
1
1
1 0
3
1 1
1 0
7
1
「2 2「3 0
1 0
4
2
「1「2 0 0 1
0 4 2
C
0 0 0 1 3 1 0
0 0 1 3 1 0
0 0
0 0 0 0 0
C 即为A 的一个行最简形矩阵，是
A 经初等行变换所能化到的最简形式。由定义知， A C ~。
由等价关系的传递性可知， 若A B ，则A 、B 必定有相同的标准形I m n ，反之亦然。
因线性方程组与其增广矩阵是一一对应的，所以对增广矩阵的
“消元”实质上就是对线性方程
组的“消元”；在上例中，若把 A 看成是一个增广矩阵，则其对应的线性方程组如下：
X 1 X 2 X 3 3X 5
1 2x 1
2x 2 X 3 2x 4
4X 5 2 （2.35）
3x 1 2x 2 X 3 4X 4
5X 5
3 X 1
X 2
X 3
X 4
8X 5
2
矩阵C 对应的线性方程组:
若对C 再进一步作初等列变换，则可得
1 0 0 0 0 0 ?0 0 1 0 0 0 C ?
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 E 3 O 3
1 4 6
，
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
13 6就是A 的等价标准形，是所有与
A 等价的矩阵中形式最简单的矩阵。
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组习题.
第三章矩阵的初等变换与线性方程组 3.4 独立作业 3.4.1 基础练习 1．已知，求. 2．已知，求. 3．若矩阵满足，则（）. (A (B (C (D 4．设矩阵满足关系，其中，求. 5．设矩阵，求. 6．是矩阵，齐次线性方程组有非零解的充要条件是 . 7．若非齐次线性方程组中方程个数少于未知数个数，那么( . (A 必有无穷多解； (B 必有非零解；
(C 仅有零解； (D 一定无解. 8．求解线性方程组 （1），（2） （3） 9．若方程组 有无穷多解，则 . 10．若都是线性方程组的解，则( . (A (B (C (D 3.4.2 提高练习 1．设为5阶方阵，且，则= . 2．设矩阵，以下结论正确的是( . (A时， (B 时， (C时， (D 时，
3．设是矩阵，且，而，则 . 4．设，为3阶非零矩阵，且，则 . 5．设, 问为何值，可使 （1）（2）（3）. 6．设矩阵，且，则 . 7．设，试将表示为初等矩阵的乘积. 8．设阶方阵的个行元素之和均为零，且，则线性方程组的 通解为 . 9．设，，
，其中可逆，则 . 10．设阶矩阵与等价，则必有（）. （A）当时，（B）当时， （C）当时，（D）当时， 11．设，若，则必有（）. （A）或（B）或 （C）或（D）或 12．齐次线性方程组的系数矩阵记为，若存在三阶矩阵，使得，则（）. （A）且（B）且 （C）且（D）且 13．设是三阶方阵，将的第一列与第二列交换得到，再把 的第二列加到第三列得到，则满足的可逆矩阵为（）.
（A）（B）（C）（D） 14．已知，为三阶非零矩阵，且，则（）. （A）时，（B）时， （C）时，（D）时， 15．若线性方程组有解，则常数应满足条件 . 16．设方程组有无穷多个解，则 . 17．设阶矩阵与维列向量，若，则线性方程组（）. （A）必有无穷多解（B）必有唯一解 （C）仅有零解（D）必有非零解. 18．设为矩阵，为矩阵，则线性方程组（）. （A）当时仅有零解（B）当时必有非零解 （C）当时仅有零解（D）当时必有非零解
矩阵与线性方程组问题1矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系答
矩阵与线性方程组 问题1：矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系？ 答：对矩阵施行初等变换后得到的矩阵与原矩阵等价，而等价的矩阵有相同的等价标准型，从而有相同的秩。换言之，对矩阵施行初等变换不改变秩。于是利用这一性质，可以求出矩阵的秩。其过程可以描述为A 经过一系列初等变换化为阶梯形，阶梯形中非零行的行数即为矩阵的秩。 问题2： 线性方程组解的判定与矩阵的秩之间有何关系？ 答：齐次线性方程组0=?x A n m 必有解： 当n A r =)(时，只有零解； 当n A r <)(时，有非零解。 非齐次线性方程组b x A n m =?分有解和无解的情况，有解时分有唯一解还是无穷多解： b x A n m =?无解)~()(A r A r ≠? b x A n m =?有解)~()(A r A r =? 有解的情况下：b AX n A r A r =?==)~()(有唯一解； b AX n A r A r =?==)~()(有无穷多解。 其中),(~ b A A = 为增广矩阵。 问题3：已知A 是n m ?矩阵，B 是s n ?矩阵，且O AB =，证明：.)()(n B r A r ≤+ 分析：由于齐次线性方程组的基础解系中解向量的个数和系数矩阵的秩有直接关系，因此关于矩阵的秩的问题可以转化为齐次线性方程组的问题来处理。 证明：将B 按列分块),...,,(21s b b b B =，则由题可知 O Ab Ab Ab b b b A AB s s ===),...,,(),...,,(2121 即s i Ab i ,...,2,1,0== 换言之，B 的每个列向量均是齐次线性方程组0=Ax 的解，即s b b b ,...,,21均可由0=Ax 的一组基础解系线性表示，设r A r =)(，则r n -ξξξ,...,,21为0=Ax 的一组基础解系。
初等变换与初等矩阵
2.3 初等变换与初等矩阵 授课题目 2.3 初等变换与初等矩阵 授课时数：4课时 教学目标：掌握初等变换的定义，初等矩阵与初等变换的关系，矩阵的等价标准形，阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵 教学重点：用初等变换求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵 教学难点：求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，、行简化阶梯形矩阵 教学过程： 用初等变换化简矩阵A B B A 的性质来探讨通过为,的性质，这是研究矩阵的重要手段。为了把变换过程用运算的式子表示出来，我们要引入初等矩阵，研究初等矩阵与初等变换的关系。 一．初等变换与初等矩阵 1. 初等变换 （1）定义 定义1 矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换： 1）换法变换：交换矩阵某两行（列）的位置； 2）倍法变换：用一个非零数乘矩阵的某一行（列）； 3）消法变换：把矩阵的某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，k 为任意数。 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。 （2）记法 分别用)]([)],([],,[k j i k i j i +表示三种行（列）变换，写在箭头上面表示行变换，写在箭头下面表示列变换。或者行变换用i j i i j R R ,kR ,R kR ?+， 列变换用i j i i j C C ,kC ,C kC ?+ 例1 [][] ???? ? ??--??→?????? ??---???→?????? ??--=+-+131123302001121123302101121121322101)1(13)2(12A . 2. 初等矩阵 （1）初等矩阵的定义
定义2 由单位矩阵I 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵 ij j i n P j i I =???? ? ?? ? ????? ??? ? ? ????→?行行 1101111011] ,[ [] )(1111)(,k D i k I i j i n =? ???????? ?? ????→?行 [] )(1111)(k T j i k I ij k itj n =? ???? ????? ? ????→?行行 列i 列j
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 讲授内容§3.1 矩阵的初等变换；§3.2 初等矩阵 教学目的和要求：（1）理解矩阵的初等变换，理解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念． （2）掌握用初等变换求逆矩阵的方法． （3）理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件. 教学重点：矩阵的初等变换和用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法 教学难点：矩阵的初等变换、初等矩阵的性质． 教学方法与手段：从解线性方程组的消元法的三种重要运算入手，引出矩阵的初等变换的定义；初等矩阵与矩阵的初等变换密切相关，三种初等变换对应着三种初等矩阵；从分析初等矩阵的性质出发，推理出用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法．传统教学,教练结合 课时安排：2课时 教学过程 §1 矩阵的初等变换 本节介绍矩阵的初等变换，它是求矩阵的逆和矩阵的秩的有利工具。 一、矩阵的初等变换 在利用行列式的性质计算行列式时，我们对其行（列）作过三种变换——“初等变换”. 定义1 对矩阵的行(列)施以下述三种变换，称为矩阵的行(列)初等变换. 初等变换 行变换 列变换 ① 对调 j i r r ? j i c c ? ② 数乘)0(≠k i r k i c k ③ 倍加 j i r k r + j i c k c + 矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换. n m A ?经过初等变换得到n m B ?, 记作n m n m B A ??→． 定义2 等价矩阵：若n m n m B A ??→有限次 , 称n m A ?与n m B ?等价, 记作n m n m B A ???． 矩阵之间的等价关系有下列性质: (1) 自反性：A A ? (2) 对称性：n m n m B A ???n m n m A B ???? (3) 传递性：n m n m B A ???, n m n m C B ???n m n m C A ???? 定义3 在矩阵中可画出一条阶梯线,线的下方全为0，每个台阶只有一行，台阶数即 是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元.若非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0，则称矩阵为行最简形矩阵.
矩阵初等变换及应用
矩阵初等变换及应用 王法辉 摘要：矩阵初等变换是高等代数的重要组成部分。本文对初等变换进行了研究探讨，详细介绍了与矩阵初等变换有关的基础知识。在阐述矩阵初等变换方法及应用原理的基础上，首先重点讨论该方法在解决高等代数相关计算问题上的应用，如求多项式的最大公因式、求逆矩阵解矩阵方程、求解线性方程组、判定向量的线性相关性、化二次型为标准型、求空间的基等。尤其是利用矩阵初等变换法求空间的基(解空间、特征子空间、核、值域等)的问题的计算,以具体实例生动的展示出问题的内在关系,最后给出了该方法在解决实际问题中的应用。本文理论分析与实际相结合，凸现了矩阵初等变换法直接、便利、有效的威力与作用。 关键词：矩阵初等变换；最大公因式；线性相关性；二次型；空间的基 1 导言 在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。在数学的学习和应用中，矩阵理论是高等代数的重要组成部分，矩阵初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终。应用初等变换证明命题过程容易被接受，同时也是解决高等代数相关计算问题最直接、便利、有效的方法。此外，还有大量的各种各样的，表面上看完全没有联系的问题的解决,都可以通过相同的方法实现：矩阵的初等变换。 因此，对矩阵初等变换方法及应用进行探讨，无疑是十分必要和重要的。 目前，有许多文献涉及到对矩阵初等变换方法该的讨论，但比较零散。在研读文献的基础上，对矩阵初等变换的内涵进一步挖掘，使矩阵初等变换方法的威力作用得以充分展示是重要也是必要的。 2 矩阵及其初等变换
2.1 矩阵 由n m ?个数)j ,,,2,1(==m i a ij （i =1,2, ,j =1,2,n ， ）排成m 行n 列 的数表 ? ? ??? ???????=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 称为m 行n 列的矩阵，简称n m ?矩阵。 2.2 矩阵的初等变换及初等矩阵 矩阵有行列之分，因此有如下定义 定义1 矩阵的初等行（列）变换是指如下三种变换 (1)交换矩阵某两行（列）的位置，记为j i r r ? )(j i c c ?； (2)把某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，记为j i kr r + )(j i kc c +； (3)用一个非零常数k 乘以某一行（列），记为i kr )(i kc ，k ≠0； 矩阵的初等行变换及初等列变换统称为矩阵的初等变换。 定义2 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。有以下3种形式 (1)互换矩阵E 的i 行和j 行的位置，得 ? ???? ? ??? ?? ? ????? ???????????????? ?=1101111011),( j i P ； (2)用数域P 种非零数c 乘E 的i 行，得
线性代数习题[第三章] 矩阵的初等变换与线性方程组
习题 3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵 1.用初等行变换化矩阵 1021 2031 3043 A - ?? ?? =?? ?? ?? 为行最简形. 2.用初等变换求方阵 321 315 323 A ?? ?? =?? ?? ?? 的逆矩阵. 3.设 412 221 311 A - ?? ?? =?? ?? - ?? , 3 22 31 - ?? ?? ?? ?? - ?? 1 B=,求X使AX B =. 4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B. (1) 证明B可逆(2)求1 AB-.
习题 3-2 矩阵的秩 1.求矩阵的秩: (1)310211211344A ????=--????-?? (2)11121212221 2n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ??????=??????01,2,,i i a b i n ≠????=?? 2.设12312323k A k k -????=--????-?? 问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =.
3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 . .()()a R A R B = .()()b R A R B <； .()()1c R B R A >-； .()()()1 d R A R B R A ≥≥- 4. 矩阵???? ??????-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4. 5. 设n (n ≥3)阶方阵????? ???????=111 a a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 1 1-n . 6.设A 为n 阶方阵,且2 A A =,试证: ()()R A R A E n +-=
第三章知识点总结 矩阵的初等变换与线性方程组
第三章矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 初等行变换 ()1()i j r r ?对调两行，记作。 ()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素，记作。 ()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。 初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。 矩阵等价 A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。 等价关系的性质 （1）反身性 A~A 2 A ~B , B ~A;（）对称性若则 3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。（课本P59） 行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。 行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0. 标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r m n E O F O O ???= ???的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。 初等变换的性质 设A 与B 为m ×n 矩阵，那么 (1);r A B m P PA B ?= 存在阶可逆矩阵，使 (2)~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)P ;A B m P n Q AQ B ?= 存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵的性质 设A 是一个m ×n 矩阵，则 （1）对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵； ~;r A B m P PA B ?=即存在阶可逆矩阵，使
知识点总结 矩阵的初等变换与线性方程组
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 初等行变换 ()1()i j r r ?对调两行，记作。 ()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素，记作。 ()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。 初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。 矩阵等价 A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。 等价关系的性质 （1）反身性 A~A 2 A ~B , B ~A;（）对称性若则 3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。（课本P59） 行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。 行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0. 标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r m n E O F O O ???= ???的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。 初等变换的性质
设A 与B 为m ×n 矩阵，那么 (1);r A B m P PA B ?=:存在阶可逆矩阵，使 (2)~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)P ;A B m P n Q AQ B ?=:存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵的性质 设A 是一个m ×n 矩阵，则 （1）对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵； ~;r A B m P PA B ?=即存在阶可逆矩阵，使 （2）对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵； 即~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)~P ;A B m P n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 （4）方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵1212,,,,l l P P P A PP P =L L 使。 （5）~r A A E 可逆的充分必要条件是。（课本P ？ ） 初等变换的应用 （1）求逆矩阵：()1(|)|A E E A -????→初等行变换或1A E E A -????????→ ? ????? 初等列变换。 （2）求A -1B ：A (,) ~ (,),r A B E P 即() 1(|)|A B E A B -??→行，则P =A -1B 。或1E A B BA -????????→ ? ????? 初等列变换. 第二节 矩阵的秩
第三章知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组
第三章知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 初等行变换 ()1()i j r r ?对调两行，记作。 ()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素，记作。 ()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。 初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。 矩阵等价 A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。 等价关系的性质 （1）反身性 A~A 2 A ~B , B ~A;（）对称性若则 3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。（课本P59） 行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。 行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0. 标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r m n E O F O O ???= ???的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。 初等变换的性质 设A 与B 为m ×n 矩阵，那么 (1);r A B m P PA B ?=存在阶可逆矩阵，使 (2)~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)P ;A B m P n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵的性质 设A 是一个m ×n 矩阵，则
第3讲矩阵的秩与矩阵的初等变换.
§1.3 矩阵的秩与矩阵的初等变换 主要问题：1. 自由未知数个数的唯一性 2. 相抵标准形的唯一性 3. 矩阵秩的性质 4. 满秩矩阵的性质 一、矩阵的秩 定理矩阵用初等行变换化成的阶梯形矩阵中，主元的个数（即非零行的数目）唯一。 定义矩阵A 用初等行变换化成的阶梯形矩阵 中主元的个数称为矩阵A的秩，记为秩（A）或r（A）例求下述矩阵的秩 2 1 0 3 12 3 1 2 1 01 A 4 1 6 3 58 2 2 2 6 16
2 1 0 3 1 2 3 1 2 1 0 1 A 4 1 6 3 5 8 2 2 2 6 1 6 R4 ( 1)R1 2 1 0 3 1 2 R3 ( 2)R1 R2 ( 1)R1 1 2 2 2 1 1 0 3 6 9 3 4 0 1 2 3 2 8 1 2 2 2 1 1 R2 R1 2 1 0 3 1 2 0 3 6 9 3 4 0 1 2 3 2 8 1 2 2 2 1 1 R2 ( 2)R1 0 5 4 7 3 4 0 3 6 9 3 4 0 1 2 3 2 8 1 2 2 2 1 1 R2 R4 0 1 2 3 2 8 0 3 6 9 3 4 0 5 4 7 3 4
所以秩(A) = 4 o | 性质 (1) 秩(A) = 0当且仅当 A = 0 ⑵秩(A m n ) min{ m , n} (3)初等行变换不改变矩阵的秩。 定义设A 是n 阶方阵。若秩(A) = n ,则称A 是满秩方阵；若 秩(A) < n ,则称A 是降秩方阵。 定理 满秩方阵只用初等行变换即可化为单位 方阵。 R 4 ( 5)R 2 R 3 3R 2 1 2 2 2 1 0 1 2 3 2 0 0 0 0 3 1 8 20 0 0 6 8 13 44 01 0 0 6 8 13 44 0 0 0 0 3 20 R 3
线性代数习题[第三章]-矩阵的初等变换与线性方程组
习题3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵 1.用初等行变换化矩阵 1021 2031 3043 A - ?? ?? =?? ?? ?? 为行最简形. 2.用初等变换求方阵 321 315 323 A ?? ?? =?? ?? ?? 的逆矩阵. 3.设 412 221 311 A - ?? ?? =?? ?? - ?? , 3 22 31 - ?? ?? ?? ?? - ?? 1 B=,求X使AX B =. 4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B. (1) 证明B可逆 (2)求1 AB-.
习题 3-2 矩阵的秩 1.求矩阵的秩: (1)310211211344A ?? ??=--?? ??-?? (2)111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ?? ?? ??=???? ?? L L L L L L L 01,2,,i i a b i n ≠? ? ??=?? L 2.设12312323k A k k -?? ??=--?? ??-?? 问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3) ()3R A =.
3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 . .()()a R A R B = .()()b R A R B <； .()()1c R B R A >-； .()()() 1.d R A R B R A ≥≥- 4. 矩阵???? ??????-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4. 5. 设n (n ≥3)阶方阵????? ???????=111ΛΛΛΛΛΛΛΛa a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 1 1-n . 6.设A 为n 阶方阵,且2A A =,试证: ()()R A R A E n +-=
矩阵的初等变换及应用的总结
矩阵的初等变换及应用 内容摘要： 矩阵是线性代数的重要研究对象。矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。 一矩阵的概念 定义：由于m×n个数aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，n）排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m×n矩阵 二矩阵初等变换的概念 定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换 1.初等行变换 矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换: (1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作); (2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作 ); (3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为). 1.初等列变换 把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换 3 ,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B 矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:
(1) 反身性; (2) 对称性若,则; (3) 传递性若,,则. 三矩阵初等变换的应用 1.利用初等变换化矩阵为标准形 定理：任意一个m× n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形 2.利用初等变换求逆矩阵 求n阶方阵的逆矩阵：即对n×2n矩阵（A|E）施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^(-1) 即(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1)) 这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时， 若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。
设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵 ， 为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩 阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即 . 这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法. 同理, 求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利用初等列变换求矩阵. 即 . 3．利用矩阵初等变换求矩阵的秩 矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法. 定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即若A~B则R（A）=R(B) 为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成阶梯矩阵
第三章 矩阵的初等变换与线性方程.
第三章矩阵的初等变换与线性方程组 3.1 目的要求 1．掌握矩阵的初等变换及用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法。了解矩阵等价的概念． 2．理解矩阵秩的概念并掌握其求法． 3．理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件． 4．掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法． 3.2 重要公式和结论 3.2.1 矩阵的秩 1．若，则. 2．对于任意矩阵，总可以通过初等行变换将其化为行阶梯形，的行阶梯形中非零 行的行数就等于矩阵的秩. 3．矩阵秩的性质： ①； ②； ③若，则； ④若、可逆，则； ⑤； ⑥；
⑦； ⑧若，则. 3.2.2 初等矩阵与矩阵求逆 1．三种初等变换对应着三种初等矩阵，且初等矩阵具有以下性质： ，，， ，， . 2．设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵； 3．方阵可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵，使得 . 4．方阵可逆的充分必要条件是. 5．阵的充分必要条件是存在阶可逆矩阵及阶可逆矩阵，使． 6．对于方阵，若，则（1）可逆；（2）． 7．设有阶矩阵及阶矩阵，若，则（1）可逆；（2）． 3.2.3 线性方程组的解 1．元线性方程组， ① 无解的充分必要条件是；
② 有解的充分必要条件是； ③ 有唯一解的充分必要条件是； ④ 有无穷多解的充分必要条件是. 2．元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是. 3.3例题分析 例3.1 设，求． 分析对于一个具体的矩阵求秩问题，先对矩阵进行初等行变换化为行阶梯形，根据行阶梯形的非零行数判断矩阵的秩. 解，故. 例3.2设，则的秩( . (A 必为2 (B 必为3 (C 可能为2，也可能为3 (D 可能为3，也可能为4. 分析先将化成行阶梯形，再确定矩阵的秩. 解因为，可知，当时，，否则.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组习题 含答案.
第三章矩阵的初等变换与线性方程组 3.4.1 基础练习 1．已知，求. 2．已知，求. 3．若矩阵满足，则（）. (A (B (C (D 4．设矩阵满足关系，其中，求. 5．设矩阵，求. 6．是矩阵，齐次线性方程组有非零解的充要条件是 . 7．若非齐次线性方程组中方程个数少于未知数个数，那么( . (A 必有无穷多解； (B 必有非零解； (C 仅有零解； (D 一定无解. 8．求解线性方程组
（1），（2） （3） 9．若方程组 有无穷多解，则 . 10．若都是线性方程组的解，则( . (A (B (C (D 3.4.2 提高练习 1．设为5阶方阵，且，则= . 2．设矩阵，以下结论正确的是( . (A时， (B 时， (C时， (D 时， 3．设是矩阵，且，而，则 .
4．设，为3阶非零矩阵，且，则 . 5．设, 问为何值，可使 （1）（2）（3）. 6．设矩阵，且，则 . 7．设，试将表示为初等矩阵的乘积. 8．设阶方阵的个行元素之和均为零，且，则线性方程组的通解为 . 9．设，， ，其中可逆，则 . 10．设阶矩阵与等价，则必有（）.
（A）当时，（B）当时， （C）当时，（D）当时， 11．设，若，则必有（）. （A）或（B）或 （C）或（D）或 12．齐次线性方程组的系数矩阵记为，若存在三阶矩阵，使得，则（）. （A）且（B）且 （C）且（D）且 13．设是三阶方阵，将的第一列与第二列交换得到，再把的第二列加到第三列得到，则满足的可逆矩阵为（）. （A）（B）（C）（D） 14．已知，为三阶非零矩阵，且，则（）.
（A）时，（B）时， （C）时，（D）时， 15．若线性方程组有解，则常数应满足条件. 16．设方程组有无穷多个解，则. 17．设阶矩阵与维列向量，若，则线性方程组（）. （A）必有无穷多解（B）必有唯一解 （C）仅有零解（D）必有非零解. 18．设为矩阵，为矩阵，则线性方程组（）. （A）当时仅有零解（B）当时必有非零解 （C）当时仅有零解（D）当时必有非零解 19．求的值，使齐次线性方程组 有非零解，并求出通解.
第3讲 矩阵的秩与矩阵的初等变换.
§1.3 矩阵的秩与矩阵的初等变换 主要问题：1. 自由未知数个数的唯一性 2. 相抵标准形的唯一性 3. 矩阵秩的性质 4. 满秩矩阵的性质 一、 矩阵的秩 定理 矩阵用初等行变换化成的阶梯形矩阵中，主元的个数（即非零行的数目）唯一。 定义 矩阵A 用初等行变换化成的阶梯形矩阵中主元的个数称为矩阵A 的秩，记为 秩（A ）或)(A r 。 例 求下述矩阵的秩 ???? ? ???? ???---------=6162228536 1410121321301 2A 解
???? ? ???? ???---------=6162228536 1410121321301 2A ???? ????? ???---------????→?-+-+-+8232104396 3011222121301 21 2131 4)1()2()1(R R R R R R ????????????---------???→ ??8232104396 3021301211222112R R ???? ????????----------????→ ?-+8232104396 304374501122 2112)2(R R ???? ? ???????----------???→ ??4374504396 308232101122 2142R R
????????? ???-------????→?+-+44138600203000 08232101122212 32 43)5(R R R R ????? ???????-------???→ ??20300004413860 08232101122 2143R R 所以 秩(A ) = 4。▌ 性质 (1) 秩(A ) = 0当且仅当 A = 0 (2) 秩(n m A ?) ≤ min{m , n } (3) 初等行变换不改变矩阵的秩。 定义 设A 是n 阶方阵。若 秩(A ) = n ，则称A 是满秩方阵；若 秩(A ) < n ，则称A 是降秩方阵。 定理 满秩方阵只用初等行变换即可化为单位方阵。
证明初等变换不改变矩阵的秩
证明初等变换不改变矩阵的秩 证:设A 为m n ?矩阵经过初等行变换变为m n ?矩阵B,且 1 ()R A r =，2 ()R B r = 1.初等对换变换：i j r r A B ????→（交换矩阵的第i 行与第j 行） 因为A 中的任意11 r +阶子式均为零，所以B 的任意 11 r +阶子式也为零。因 此有矩阵B 中任何 11 r +阶子式等于任意非零常数k 与A 的某个11 r +阶子式的积。 2.初等倍法变换：i kr A B ?? →（用非零常数k 乘矩阵的第i 行） 因为A 中的任意11 r +阶子式均为零，所以B 的任意 11 r +阶子式也为零。因 此有矩阵B 中任何11 r +阶子式等于任意非零常数k 与A 的某个11 r +阶子式的乘 积。 3.初等消法变换：i j r kr A B +??? →（矩阵的第j 行的k 倍加到第i 行上） 对于矩阵B 的任意 11 r +阶子式 1 B ()1若1B 不包含B 的第i 行或既含第j 行也含第i 行，由行列式的性质，则 111 r B D +=， 11 r D +为A 的任意 11 r +阶子式； ()2若1B 含有第i 行但不含有第j 行，由行列式的性质，则 11111 r r B D k C ++=+ 这里的 1111 ,r r D C ++均为A 的 11 r +阶子式。因为A 的任意 11 r +阶子式均为零，所以 10 B = 综上所述，A 经过一次初等行变换化为B 后，B 的 11 r +阶子式全为零，所以 21 r r ≤ 由于初等变换可逆，所以B 又可经初等行变换化为A ，即有 12 r r ≤
知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 初等行变换 1 对调两行，记作 （r i r j ） 。 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素，记作 （r i k ） 。 3 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素上去，记作 （r i kr j ） 。 初等列变换： 把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“ r ”换成 “ c ”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换， 初等变换的逆变换仍为初等变换 , 且类型相同。 矩阵等价 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B ，就称矩阵 A 与 B 等价。 等价 关系的性质 （ 1）反身性 A~A （2）对称性 若 A ~ B ,则 B~ A; （3）传递性 若 A ~B,B~ C,则 A ~ C 。（课本 P59） 行阶梯形矩阵： 可画出一条阶梯线，线的下方全为零， 每个台阶只有一行， 台阶数即是非零 行的行数阶梯线的竖线 （每段竖线的长度为一行） 后面的第一个元素为非零元， 也是非零行 的第一个非零元。 行最简形矩阵： 行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为 1，且这些非零元所在的列的其他元 素都为 0. 为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵 A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。 初等变换的性质 设 A 与 B 为 m × n 矩阵，那么 标准型 ：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如 E r O 的矩阵，称 mn
r （1）A: B 存在m阶可逆矩阵P，使PA B; c （2）A~ B 存在n阶可逆矩阵Q，使AQ B; （3）A: B 存在m阶可逆矩阵P，及n阶可逆矩阵Q，使PAQ B; 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵的性质 设A是一个m×n 矩阵，则 （1）对A施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m阶初等矩阵； r 即A~B 存在m阶可逆矩阵P，使PA B; （2）对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵； 即A~B 存在n阶可逆矩阵Q，使AQ B; （3）A~B 存在m阶可逆矩阵P，及n阶可逆矩阵Q，使PAQ B; （4）方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵P1,P2,L ,P l,使A P1P2L P l 。 （5）A可逆的充分必要条件是 A ~ E。（课本 P？） 初等变换的应用 （ 1）求逆矩阵： 初等行变换1 （A|E） E|A 1或A初等列变换 E 1 。 E A1 （2）求A-1B ： r A(A,B) ~ (E,P),即(A| B) 行E|A1B ，则P=A-1B。或 A初等列变换E. B BA1 第二节矩阵的秩 矩阵的秩任何矩阵A m n，总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形，行阶梯形矩