巧用初等变换求解分块矩阵
大理学院毕业论文
巧用初等变换求解分块矩阵
英文标题
学院：数学与计算机学院
项目组成员：解波
指导教师：熊明
专业：数学与应用数学
班级：2011级2班
起止日期：2014年6月—2014年12月
日期：2014 年9 月1日
内容摘要：本文把数字矩阵的初等变换推广到分块矩阵中，并且运用分块初等变换求矩阵的逆、矩阵的行列式、矩阵的秩是高等代数中常见的问题。而对于高阶矩阵而言，这些问题的求解过于困难，因此用分块矩阵的初等变换来解决有关分块矩阵的问题比较方便，本文总结如何使用初等变换求矩阵的逆、矩阵的行列式、矩阵的秩。
关键词：分块矩阵初等变换分块初等变换
I
相对数在教育评价中的应用
目录
引言 ....................................................... 错误！未定义书签。1矩阵初等变换及矩阵分块的相关概念.......................... 错误！未定义书签。
1.1 矩阵的初等变换.......................................... 错误！未定义书签。
1.2 初等变换..................................................................
1.3 分块矩阵..................................................................
1.4 分块初等变换..............................................................
1.5分块初等矩阵..............................................................
2 应用分块初等变换求解行列式..................................................
3 应用分块初等变换求矩阵的逆..................................................
4 应用分块初等变换求矩阵的秩.................................................. 6结束语...................................................................... 参考文献...................................................................... 致谢 .......................................................................
II
III
引言
利用分块矩阵处理阶数较高的矩阵，是一种常用的方法，在证明相关问题时能带来很多方便，在矩阵的应用中, 矩阵的初等变换起着关键作用. 关于矩阵初等变换的应用, 本文归纳了初等变换在求分块矩阵的秩, 矩阵的逆, 矩阵的行列式中的方法。
1 矩阵的初等变换与分块矩阵的相关概念
1.1矩阵的初等变换
定义1：对矩阵施行以下三种变换, 称为矩阵的初等行（列）变换:
(1) 对调矩阵的两行(列);
(2) 以一个常数k 乘矩阵的某行(列)中的所有元素（0≠k ）;
(3)把某行(列)的元素的k 倍加上另一行(列）的对应元素上.
1.2初等矩阵
单位矩阵E 经过一次初等变换（以上3种）得到的矩阵称为初等矩阵：
(1)交换E 的第i 行与第j 行(或第i 列与第j 列)得到的初等矩阵，记作：),(j i A ;
(2)用非零常数k 乘E 的第i 行(或第j 列)得到的初等矩阵，记作：))((k i A （或))((k j A ）;
(3)E 的第j 行的k 倍加到第i 行(或第i 列的k 倍加到j 列)得到的初等矩阵记作：))(,(k j i A 。
1.3分块矩阵
将一个高阶矩阵A 用若干条横线和竖线分成许多块，每一块矩阵称为A 的子矩阵。以子矩阵为元素的矩阵A 称为分块矩阵。
例如，我们将矩阵A 分块，
A = ??????????? ??100010001210532101
5074132051000
10
001 =???? ??21E N M E 是一分块矩阵，其中E 1,E 2,M ,N 均表示一个矩阵。
1.4.分块矩阵的初等变换
相对数在教育评价中的应用
IV
（1）交换分块矩阵的两行（或两列）；
（2）用一个可逆矩阵乘分块矩阵的某一行（或某一列）；
（3）用某一矩阵乘某一行（或列）加到另一行（或列）上去；
1.5分块初等矩阵
将单位矩阵如下进行分块
???
?
??En Em 00,
对分块后的单位矩阵做一次分块初等变换所得的矩阵称之为分块初等矩阵。根据所做的分块初等变换不同，分块初等矩阵有如下三种类型：
???? ??00En Em ； ???? ??En P 00 或 ???? ??P Em 00；???
? ??En Q Em 0 或 ????
??En P Em 0.其中Q P ,为可逆矩阵。
2. 运用分块矩阵初等变换求解行列式
例1、已知,,,A B C D 均是r 阶矩阵且0A ≠，AC CA =， A B M C D ??= ???
. 证明： M =D
C B A =A
D CB -. 设X 是r 阶矩阵，
E 为r 阶单位矩阵，用???? ?
?E X E 0左乘M ,得 ???? ??E X E
0???? ??D C B A =???? ??++D XB C
XA B A ()1 因为1AD CAA B --0A ≠，故1-A 存在.
令0XA C +=得1X CA -=-，代入()1式,等式两边同时取行列式得： B
CA D B A D C B A E X E
100--=???? ?????? ??,即得 D C B A =B
CA D B A 10--=1AD ACA B --==AD CB -。 所以，命题得证
例2、设A 、B 均为n 阶方阵，证明:
V
B A B A A
B B A -+= 证明：
依据分块矩阵初等变换得：左右两边分别乘一个单位矩阵得：
???
? ??-+=???? ??-???? ?????? ??B A B B A E E E A B B A E E E 000 两边同时取行列式得：
B A B A B A B
B A E E E A B B A E E E -+=-+=-000 例3 求行列式??????
? ??---=6201111121324321P 的值. 解 将P 进行分块，得 D C B A P =---=6201
1111
21324321
， 其中???? ??=3221A ,???? ??=2143B ,???
? ??=0111C ,???? ??---=6211D . 由于 B CA D A D C
B
A
1--= B CA D A P 1--?= =???
? ?????? ??-???? ??---???? ??-214301116211322132211
12
513-=-=.
相对数在教育评价中的应用
VI
3.分块矩阵初等变换求解分块矩阵的逆 将初等变换求逆矩阵的方法()()
1-→M E E M 推广到分块矩阵中去。 例1、求M =???
? ??D C A 0的逆，其中A ,D 可逆。
解：
???? ?
?E D C E A 000???? ??-→???? ??-→-----11111000000D CA D E A E E CA D E A 所以，1-M =???
? ??-----1111
0D CA D A . 例2、设B 、C 可逆，求分块矩阵???? ?
?00C B 的逆矩阵 解：
→???? ??→???? ??→???? ??-000000
0000001E B E E B E C E C E B C ???? ??--000011B C E E 所以，???? ??=???? ??--000011
1-B C C B 例3、已知分块矩阵???
? ??=0C B A M 可逆，其中B 为p ?p 块，C 为q q ?块，其中B 、C 都可逆，求证：M 1-
解：
???? ??E E
q P C B A 000???? ??-→???? ??→---111000000E E E B E E B A AC C ???? ??-→???? ??-→--------AC B C C AC B B
B E E E E
11111111000000 所以，M 1-=???? ??-----C B B
C A 11110
VII
例4、求矩阵M =??????
? ??------d c d c b a b a d c d c b a b a 的逆矩阵，其中.0ad bc +≠ 解：令A =???? ??-d c b a ，则M =???
? ??-A A A A ，由0ad bc +≠知A 可逆
→???? ??-→???? ??--→???? ??-E E A E A A E E
A E A A E A A E A A 21210020000 ?????? ?
?-→?????? ??-----111121210212102121021210A A E A A E E E A E E A 所以， 1-M =???? ??-----111121A A A A ，1-A =???? ??-+a c
b d b
c a
d 1，所以 1-M =??????? ?
?------+a c a c b d
b d a c
a c
b d
b d b
c a
d )(21. 4.分块矩阵初等变换求解分块矩阵的秩 （1）秩??????
? ??A A A m 21=秩+A 1秩++ A 2秩A m 特别，秩???? ??B A 00=秩???? ?
?00B A =秩+A 秩B （2）秩≥????? ??A A A A rs r s
1111秩),,2,1;,,2,1(s j r i A ij == （3）秩≥???
? ??B C A 0秩+A 秩B
例1、设A 是n m ?矩阵???
? ??D C B A 的可逆顺序主子阵，证明：
相对数在教育评价中的应用
VIII
)()(1B CA D r A r D C B A r --+=???
? ??. 证明：由于???? ??-=???? ?
????? ??----B CA D B A D C B A E CA E r m r 1100 因为A 是可逆矩阵，所以
???? ??B C A r 0=???
? ??--B CA D B A r 10)()(1B CA D r A r --+≥ 所以，命题得证
例2、设A 是n s ?的实矩阵，求证：秩)(A A T n E --s n AA T s E -=-)(
证明：因为???? ??-=???? ??-???? ?????? ??-E A E E A E E A
E E E n T s n T s n T s n s A A A 0000，所以秩=???? ??E A E n T s A 秩???
? ??-E A E n T s A 00=秩n AA T s E +-)( （1） 又因为???? ??-=???? ??-???? ?????? ??-0000A A A A E E E E E A E E A
E T n s n s n T s n T s ，所以秩=???? ??E A E n T s A 秩???? ??-00A A E E T n s =秩s A A T n E +-)( （2）
由（2）-（1）得：
秩--)(T s AA E 秩)(A A T n E -=s n -
所以，结论得证
5.结束语
参考文献：
[1]王萼芳,石生明.高等代数（第3版），北京：高等教育出版社，2003.9:181-197
[2]张禾瑞,郝鈵新.高等代数（第5版），北京：高等教育出版社，2007.6:200-210
[3]钱吉林.高等代数题解精粹（第2版）中央民族大学出版版社，2002:161-172
[4]吴云，徐小湛.分块矩阵的初等变换，工科数学，1997.8，第13卷第四期
[5]廖中行.初等变换在分块乘法中的应用.成都，四川教育学报，2002.5，第18
卷第5期
[6]巫永萍.分块矩阵的初等变换在分块矩阵中的应用[J].龙岩师专学报，2004：5-6
IX
相对数在教育评价中的应用
[7]应建军.分块矩阵初等变换及其在行列式，逆和秩中的应用.考试周刊，2012年19期.44-45
参考文献：
[1]王萼芳,石生明.高等代数（第3版），北京：高等教育出版社，2003.9:181-197
[2]张禾瑞,郝鈵新.高等代数（第5版），北京：高等教育出版社，2007.6:200-210
[3]钱吉林.高等代数题解精粹（第2版）中央民族大学出版版社，2002:161-172
[4]陈洪明，宋波.高等代数同步辅导及习题全解，北京：中国水利水电出版社，2009:96-101
[5]吴云，徐小湛.分块矩阵的初等变换，工科数学，1997.8，第13卷第四期
[6]廖中行.初等变换在分块乘法中的应用.成都，四川教育学报，2002.5，第18
卷第5期
[7]巫永萍.分块矩阵的初等变换在分块矩阵中的应用[J].龙岩师专学报，2004：5-6
[8]应建军.分块矩阵初等变换及其在行列式，逆和秩中的应用.考试周刊，2012年19期.44-45
[9]孙要伟.郑远平.分块矩阵在矩阵特征值问题中的应用[J].牡丹江大学学报，2008：104-107
X
[10]李艳午.矩阵的广义初等变换及应用[J].芜湖职业技术学院学报，2005：54-57
XI
矩阵初等变换及应用
矩阵初等变换及应用 王法辉 摘要：矩阵初等变换是高等代数的重要组成部分。本文对初等变换进行了研究探讨，详细介绍了与矩阵初等变换有关的基础知识。在阐述矩阵初等变换方法及应用原理的基础上，首先重点讨论该方法在解决高等代数相关计算问题上的应用，如求多项式的最大公因式、求逆矩阵解矩阵方程、求解线性方程组、判定向量的线性相关性、化二次型为标准型、求空间的基等。尤其是利用矩阵初等变换法求空间的基(解空间、特征子空间、核、值域等)的问题的计算,以具体实例生动的展示出问题的内在关系,最后给出了该方法在解决实际问题中的应用。本文理论分析与实际相结合，凸现了矩阵初等变换法直接、便利、有效的威力与作用。 关键词：矩阵初等变换；最大公因式；线性相关性；二次型；空间的基 1 导言 在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。在数学的学习和应用中，矩阵理论是高等代数的重要组成部分，矩阵初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终。应用初等变换证明命题过程容易被接受，同时也是解决高等代数相关计算问题最直接、便利、有效的方法。此外，还有大量的各种各样的，表面上看完全没有联系的问题的解决,都可以通过相同的方法实现：矩阵的初等变换。 因此，对矩阵初等变换方法及应用进行探讨，无疑是十分必要和重要的。 目前，有许多文献涉及到对矩阵初等变换方法该的讨论，但比较零散。在研读文献的基础上，对矩阵初等变换的内涵进一步挖掘，使矩阵初等变换方法的威力作用得以充分展示是重要也是必要的。 2 矩阵及其初等变换
2.1 矩阵 由n m ?个数)j ,,,2,1(==m i a ij （i =1,2, ,j =1,2,n ， ）排成m 行n 列 的数表 ? ? ??? ???????=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 称为m 行n 列的矩阵，简称n m ?矩阵。 2.2 矩阵的初等变换及初等矩阵 矩阵有行列之分，因此有如下定义 定义1 矩阵的初等行（列）变换是指如下三种变换 (1)交换矩阵某两行（列）的位置，记为j i r r ? )(j i c c ?； (2)把某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，记为j i kr r + )(j i kc c +； (3)用一个非零常数k 乘以某一行（列），记为i kr )(i kc ，k ≠0； 矩阵的初等行变换及初等列变换统称为矩阵的初等变换。 定义2 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。有以下3种形式 (1)互换矩阵E 的i 行和j 行的位置，得 ? ???? ? ??? ?? ? ????? ???????????????? ?=1101111011),( j i P ； (2)用数域P 种非零数c 乘E 的i 行，得
分块矩阵在行列式计算中的应用(1)
矩阵与行列式的关系 矩阵是一个有力的数学工具，有着广泛的应用，同时矩阵也是代数特别是线性代数的一个主要研究对象．矩阵的概念和性质都较易掌握，但是对于阶数较大的矩阵的运算则会是一个很繁琐的过程，甚至仅仅依靠矩阵的基本性质很难计算，为了更好的处理这个问题矩阵分块的思想应运而生[]1． 行列式在代数学中是一个非常重要、又应用广泛的概念．对行列式的研究重在计算，但由于行列式的计算灵活、技巧性强，尤其是计算高阶行列式往往较为困难．行列式的计算通常要根据行列式的具体特点采用相应的计算方法，有时甚至需要将几种方法交叉运用，而且一题多种解法的情况很多，好的方法能极大降低计算量，因此行列式计算方法往往灵活多变．在解决行列式的某些问题时，对于级数较高的行列式，常采用分块的方法，将行列式分成若干子块，往往可以使行列式的结构清晰，计算简化．本文在广泛阅读文献的基础上，从温习分块矩阵的定义和性质出发，给出了分块矩阵的一些重要结论并予以证明，在此基础上讨论利用分块矩阵计算行列式的方法，并与其他方法相互比较，以此说明分块矩阵在行列式计算中的优势． 1.1 矩阵的定义 有时候，我们将一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样[]1．特别在运算中，把这些小矩阵当做数一样来处理．这就是所谓的矩阵的分块．把原矩阵分别按照横竖需要分割成若干小块，每一小块称为矩阵的一个子块或子矩阵，则原矩阵是以这些子块为元素的分块矩阵．这是处理级数较高的矩阵时常用的方法． 定义1[]2 设A 是n m ?矩阵，将A 的行分割为r 段，每段分别包含r m m m 21行，将 A 的列分割为s 段，每段包含s m m m 21列，则 ?? ? ? ? ? ? ??=rs r r s s A A A A A A A A A A 21 2222111211 ， 就称为分块矩阵，其中ij A 是j i m m ?矩阵（,,,2,1r i =s j ,,2,1 =）． 注：分块矩阵的每一行（列）的小矩阵有相同的行（列）数． 例如，对矩阵A 分块， = ?? ? ? ? ? ? ? ?-=21010301012102102301A ??? ? ??22211211 A A A A ， 其中
用矩阵的初等变换求逆矩阵
2007年11月16日至18日，有幸参加了由李尚志教授主讲的国家精品课程线性代数（非数学专业）培训班，使我受益匪浅，在培训中，我见识了一种全新的教学理念。李老师的“随风潜入夜，润物细无声”“化抽象为自然”“饿了再吃”等教学理念很值得我学习。作为刚参加工作的年轻教师，我应该在以后的教学中，慢慢向这种教学理念靠拢，使学生在不知不觉中掌握较为抽象的知识。下面这个教案是根据李老师的教学理念为“三本”学生写的，不知是否能达要求，请李老师指教。 用矩阵的初等变换求逆矩阵 一、问题提出 在前面我们以学习了用公式 求逆矩阵，但当矩阵A 的阶数较大时，求 A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢？ （饿了再吃） 二、求逆矩阵方法的推导 （“润物细无声”“化抽象为自然”） 我们已学习了矩阵初等变换的性质，如 1.定理 2.4 对mxn 矩阵A ，施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。 2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。 3.定理2.5的推论 A 可逆的充要条件为A 可表为若干初等矩阵之积。即 4.推论 A 可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。 （1） 由矩阵初等变换的这些性质可知，若A 可逆，构造分块矩阵(A ︱E )，其中E 为与A 同阶的单位矩阵，那么 （2） 由（1）式 代入（2）式左边， 上式说明分块矩阵(A ︱E )经过初等行变换，原来A 的位置变换为单位阵E ，原来E 的位置变换为我们所要求的1A -,即 211211111111 12112112s t s s t t m P P P AQ Q Q E A P P P P EQ Q Q Q R R R ----------=?=? 11121m R R R A E ---= 111121m R R R A ----= ()()122n n n n A E E A -???????→ 1*1A A A -=()()()1111A A E A A A E E A ----==111121m A R R R ----= ()()111121m R R R A E E A ----=
知识点总结 矩阵的初等变换与线性方程组
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 初等行变换 ()1()i j r r ?对调两行，记作。 ()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素，记作。 ()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。 初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。 矩阵等价 A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。 等价关系的性质 （1）反身性 A~A 2 A ~B , B ~A;（）对称性若则 3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。（课本P59） 行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。 行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0. 标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r m n E O F O O ???= ???的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。 初等变换的性质
设A 与B 为m ×n 矩阵，那么 (1);r A B m P PA B ?=:存在阶可逆矩阵，使 (2)~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)P ;A B m P n Q AQ B ?=:存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵的性质 设A 是一个m ×n 矩阵，则 （1）对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵； ~;r A B m P PA B ?=即存在阶可逆矩阵，使 （2）对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵； 即~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)~P ;A B m P n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 （4）方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵1212,,,,l l P P P A PP P =L L 使。 （5）~r A A E 可逆的充分必要条件是。（课本P ？ ） 初等变换的应用 （1）求逆矩阵：()1(|)|A E E A -????→初等行变换或1A E E A -????????→ ? ????? 初等列变换。 （2）求A -1B ：A (,) ~ (,),r A B E P 即() 1(|)|A B E A B -??→行，则P =A -1B 。或1E A B BA -????????→ ? ????? 初等列变换. 第二节 矩阵的秩
考研数学：用初等变换求逆矩阵及乘积的方法
考研数学：用初等变换求逆矩阵及乘积的方法 来源：文都教育 在考研数学线性代数中，初等变换是一种非常重要的方法，被广泛地用于很多题型的求解之中，如行列式的计算、矩阵的求逆、线性方程组的求解、矩阵秩的计算、化二次型为标准型等。初等变换包括初等行变换和初等列变换，具体说有三种：互换两行（列）、某行（列）乘以一个非零数、某行（列）乘以一个数加到另一行（列）。下面我们对初等变换在矩阵求逆及乘积中的应用做些分析总结，供各位考研的学子参考。 一、用初等变换求逆矩阵及乘积的方法 1、用初等行变换求逆矩阵1A -：对(,)A E 作初等行变换，将其中的A 变为单位矩阵E ，这时单位矩阵E 就变为1 A -，即1(,)(,)r A E E A -→，由此即求得1A -； 2、用初等列变换求逆矩阵1A -：求1A -也可用初等列变换，对A E ?? ??? 作初等列 变换，将其中的A 变为单位矩阵E ，这时单位矩阵E 就变为1 A -，即1c A E E A -???? → ? ????? ， 由此即求得1A -； 3、用初等行变换求1A B -：对(,)A B 作初等行变换，将其中的A 变为单位矩阵E ，这时矩阵B 就变为1 A B -，即1(,)(,)r A B E A B -→，由此即求得1A B -； 4、用初等列变换求1BA -：对A B ?? ??? 作初等列变换，将其中的A 变为单位矩阵 E ，这时矩阵B 就变为1 BA -，，即1c A E B BA -???? → ? ????? ，由此1BA -此即求得1BA -.
上面的1）和2）实际上是3）和4）的特殊情况，只要取B E =即得1）和2）。 下面只要证明3）和4）即可。 证：3）由于作一次初等行变换相当于左乘一个初等矩阵，所以对A 作一系列的初等行变换得到单位矩阵E 相当于A 左乘一个可逆阵P ，使PA E =，这时 1 P A -=，1 (,)(,)(,)(,B)P A B PA PB E PB E A -===，即1(,)(,)r A B E A B -→； 4）同3）类似，由于作一次初等列变换相当于右乘一个初等矩阵，所以对A 作一系列的初等列变换得到单位矩阵E 相当于A 右乘一个可逆阵P ，使A P E =， 这时1 P A -=，1A AP E P B BP BA -??????== ? ? ??????? ，即1c A E B BA -???? → ? ?????. 二、典型实例 例1.设011111112A -?? ? =- ? ?--?? ，求1A -. 解：作初等行变换： 011100111010(,)111010011100112001021011r r A E --???? ? ?=-→-→ ? ? ? ?----???? 11110101003120111000 10111(,)0012110 1 211r r E A -----???? ? ?→--→-= ? ? ? ?----??? ? ，故1312111211A --?? ?=- ? ?-?? . 例2.解矩阵方程211113210432111X -?? -?? ?= ? ??? ?-?? .
分块矩阵的应用论文
分块矩阵的应用 引言 矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生. 矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理.把矩阵分块运算有许多方便之处.因为在分块之后,矩阵间的相互关系可以看得更清楚,在实际操作中与其他方法相比,一般来说,不仅非常简洁,而且方法也很统一,具有较大的优越性,是在处理级数较高的矩阵时常用的方法.比如，从行列式的性质出发，可以推导出分块矩阵的若干性质，并可以利用这些性质在行列式计算和证明中的应用分块矩阵；也可以借助分块矩阵的初等变换求逆矩阵及矩阵的秩等；再如利用分块矩阵求高阶行列式，如设A 、C 都是n 阶矩阵，其中0A ≠，并且AC CA =，则可求得A B AD BC C D =-；分块矩阵也可以在求解线性 方程组应用. 本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利.
1 分块矩阵的定义及相关运算性质 1.1分块矩阵的定义 矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理. 定义1设A 是一个m n ?矩阵，若用若干横线条将它分成r 块，再用若干纵线条将它 分成s 块，于是有rs 块的分块矩阵，即1111...............s r rs A A A A A ???? =?????? ，其中ij A 表示的是一个矩阵. 1.2分块矩阵的相关运算性质 1. 2.1加法 设() ij m n A a ?=() ij m n B b ?=，用同样的方法对,A B 进行分块 () ij r s A A ?=，() ij r s B B ?=， 其中ij A ，ij B 的级数相同， 则 ()ij ij r s A B A B ?+=+. 1.2.2数乘 设是任() () ,ij ij m n r s A a A k ??==为任意数，定义分块矩阵() ij r s A A ?=与k 的数乘为 () ij r s kA kA ?= 1.2.3乘法 设() () ,ij ij s n n m A a B b ??==分块为()(),ij ij r l l r A A B B ??==，其中ij A 是i j s n ?矩阵，ij B 是 i j n m ?矩阵，定义分块矩阵() ij r l A A ?=和()ij l r B B ?=的乘积为 () 1122...,1,2,...;1,2,3,...,ij i j i j il lj C A B A B A B i t j l =+++==.、 1.2.4转置 设() ij s n A a ?=分块为() ij r s A A ?=，定义分块矩阵() ij r s A A ?=的转置为 () ji s r A A ?''= 1.2.5分块矩阵的初等变换 分块矩阵A 的下列三种变换称为初等行变换：
用矩阵初等变换逆矩阵
用矩阵初等变换逆矩阵
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2007年11月16日至18日，有幸参加了由李尚志教授主讲的国家精品课程线性代数（非数学专业）培训班，使我受益匪浅，在培训中，我见识了一种全新的教学理念。李老师的“随风潜入夜，润物细无声”“化抽象为自然”“饿了再吃”等教学理念很值得我学习。作为刚参加工作的年轻教师，我应该在以后的教学中，慢慢向这种教学理念靠拢，使学生在不知不觉中掌握较为抽象的知识。下面这个教案是根据李老师的教学理念为“三本”学生写的，不知是否能达要求，请李老师指教。 用矩阵的初等变换求逆矩阵 一、问题提出 在前面我们以学习了用公式 求逆矩阵，但当矩阵A 的阶数较大时，求A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢？ （饿了再吃） 二、求逆矩阵方法的推导 （“润物细无声”“化抽象为自然”） 我们已学习了矩阵初等变换的性质，如 1.定理 2.4 对mxn 矩阵A ，施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。 2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。 3.定理2.5的推论 A 可逆的充要条件为A 可表为若干初等矩阵之积。即 4.推论 A 可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。 （1） 由矩阵初等变换的这些性质可知，若A 可逆，构造分块矩阵(A ︱E )，其中E 为与A 同阶的单位矩阵，那么 （2） 由（1）式 代入（2）式左边， 上式说明分块矩阵(A ︱E )经过初等行变换，原来A 的位置变换为单位阵E ，原来E 的位置 变换为我们所要求的1 A -,即 21121111111112112112s t s s t t m P P P AQ Q Q E A P P P P EQ Q Q Q R R R ----------=?=?L L L L L 111 21m R R R A E ---=L 111121m R R R A ----=L () () 1 22n n n n A E E A -???????→ 1* 1A A A -=( )()() 1111A A E A A A E E A ----==1111 21m A R R R ----=L ( )() 1 111 21m R R R A E E A ----=L
总结求矩阵的逆矩阵的方法
总结求矩阵的逆矩阵的方法-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
总结求矩阵的逆矩阵的方法 课程名称： 专业班级： 成员组成： 联系方式：
摘要：矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数 研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 关键词：矩阵逆矩阵方法 Method of finding inverse matrix Abstract: Matrix in linear algebra is the main content,many prictical problems with the matrix theory is simple and fast. The inverse matrix andmatrix theory the important content, the solution of inverse matrix nature has become one of the main research contents of linear algebra. The paper will give some method of finding inverse matrix. Key words: Matrix inversematrix method
正文： 1.引言:矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 2.求矩阵的逆矩阵的方法总结： 2.1 矩阵的基本概念 矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素 在矩阵中的位置。比如，或表示一个 矩阵，下标表示元素位于该矩阵的第行、第列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。 特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵，也称为一个维行向量。 当一个矩阵的行数与烈数相等时，该矩阵称为一个阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称 为付对角线。若一个阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为，即：。如一个阶
分块矩阵的初等变换及应用_百度文库.
十．研究创新题 解： 1.分块矩阵的初等变换 分块矩阵的初等变换与初等矩阵 吴云在1997年8月的《工科数学》上的《分块矩阵的初等变换》一文中提到定义1分块矩阵的行(列初等变换是指: （1）交换两行(列的位置; （2）第ｉ行(列的各个元素分别左乘(右乘该行(列的一个阶左(右保秩因子Ｈ; （3）第ｉ行(列的各个元素分别左乘(右乘一个阶矩阵Ｋ后加到第ｊ行. 定义2 对应于分块矩阵的初等分块矩阵是指: （1）= 或=
（2）=或= 其中Ｈ为第ｉ行(列的一个左(右保秩因子； (1 = (2 或= 初等分块矩阵与通常的初等矩阵类似,但由于矩阵乘法不满足交换律,故需要分为左、右两种.直接验算可得: 定理1(1交换的第ｉ行与第ｊ行,相当于左乘一个ｍ阶初等分块矩阵,其中中的元素为ｈ(i阶单位矩阵,为ｈ(j阶单位矩阵, 当ｒ≠ｉ且ｒ≠ｊ时,为ｈ(ｒ阶单位矩阵;交换的第ｉ列与第ｊ列相当于右乘一个ｎ阶初等分块矩阵,其中为ｌ(i阶单位矩阵,为ｌ(j阶单位矩阵,当ｒ≠ｉ且ｒ≠ｊ时,为ｌ(ｒ阶单位矩阵；
(2 的第ｉ行的每一个元素左乘一个矩阵Ｈ相当于左乘一个ｍ阶分块矩阵 中Ｈ为ｈ(ｉ阶方阵; 的第ｉ列的每一个元素右乘一个矩阵Ｈ,相当于 右乘一个ｎ阶初等到变换矩阵,其中Ｈ为ｌ(ｉ阶方阵； (3 的第ｊ行的每个元素分别左乘一个ｈ(ｉ×ｈ(ｊ矩阵Ｋ后加到第ｉ行,相当 于左乘一个初等分块矩阵;第ｊ列的每一个元素分别右乘ｌ(ｊ×ｌ(ｉ矩阵Ｋ后加到第ｉ列,相当于右乘. 定理2设Ａ为方阵,则分块矩阵施行第一种行初等变换后,对应的行列式为 , 其中 h(i,j=h(ih(j-l+h(i+l]+…+h(j[h(i+h(i+j+…+h(j-l], l(i,j=l(ih(j-l+l(i+l]+…+l(j[l(i+l(i+j+…+l(j-l], 施行第二种初等变换后,对应的行列式为|Ｈ|·|Ａ|;施行第三种初等变换后,对应的行列式的值不变. 证明: ,显然成立. 下证,所在的第1行逐次与它相邻的行交换,移至前,共进行ｈ(ｉ-1+ｈ(ｉ+1+…+ｈ(ｊ-1次交换两行,第2行逐次与它相邻的行交换,移至前,同样进行相同次交换两行,依此类推,把所在的行移至所在的行前,共进行 ｈ(ｉ[ｈ(ｉ-1+ｈ(ｉ+1+…+ｈ(ｊ-1]次交换两行,然后把移至适当的位置,同理共进行ｈ(ｊ[ｈ(ｉ+ｈ(ｉ+1+…+ｈ(ｊ-1]次交换两行,所以交换两行的总次数为ｈ(ｉ,ｊ,故 ;同理. 所以有==(-1或==（-1） ==或= ==== 定理3 分块矩阵进行初等变换后,秩不变.
用矩阵的初等行变换分析线性方程的解
用矩阵的初等行变换分析线性方程的解 摘要在生产经营管理的活动中,以及科学技术当中,需要解决许多实际的问题,而这些许多实际的问题往往可以归结为解一个线性方程组,所以,从数学的角度,我们有必要去寻求解线性方程组的方法。 关键字增广矩阵;矩阵的初等行变换;标准型的阶梯型矩阵;矩阵的秩 在生产经营管理的活动中,以及科学技术当中往往需要解决许多实际的问题,而这些实际的问题在多数情况下往往可以归结为解一个线性方程组,解线性方程序的过程就是解决实际问题的过程,所以,从数学的角度,我们有必要去寻求解线性方程组的方法。 1 n元m个方程的线性方程的一般结构形式 a11,x1+a12,x2+…a1n,xn=b1 a21,x1+a22,x2+…a2n,xn=b2 ………………………(*) am+1,x1+am+2,x2+…amn,xn=bm 说明:(1)a11,a12……amn为为未知量的系数; (2)b1,b2……bm称为常数项,均在等式的右端。 2 线性方程组所对应的增广矩阵 将线性方程组(*)未知量的系数积常数项相对位置保持不变而构成的矩阵称为该线性方程组所对应的增广矩阵。 即:线性方程组与增广矩阵之间具有一一对应关系。 3 矩阵的初等行变换 将矩阵的行与行互换位置,或将矩阵的某一行同乘以一个不等于零的数;或将矩阵的某一行同乘一个不等于零的数加到另一行的对应元素上。当矩阵发生了这三种方式的任意一种,任意两种或三种,无论发生了多少次,但至少要有一次,我们就说该矩阵发生了初等行变换,任意一个非零矩阵经若干次的初等行变换一定能化为阶梯形矩阵。阶梯形矩阵再经若干次的初等行变换一定能化为标准型的阶梯形矩阵,一个非零矩阵,它的阶梯形矩阵有无数个,但它的标准型的阶梯型矩阵有且只有一个。
分块矩阵及其应用
分块矩阵及其应用 【摘要】矩阵论是代数学中是一个重要的组成部分和主要的研究对象。而分块矩阵可以降低较高级数的矩阵级数，使矩阵的结构更加清晰，从而使矩阵的相关计算简化，并且可以证明一些与矩阵有关的问题。本文详细且全面论述了分块矩阵阵的概念、分块矩阵的运算和其初等变换，而且证明了矩阵的分块在高等代数中的应用，包括用分块矩阵证明矩阵秩的问题，用分块矩阵求行列式问题，用分块矩阵求逆矩阵的问题,分块矩阵相似的问题。 【关键词】：分块矩阵；矩阵的秩；逆矩阵；行列式 目录 1引言 (2) 2矩阵分块的定义和性质 (2) 2.1 矩阵分块的定义 (2) 2.2 分块矩阵的运算 (2) 2.3 分块矩阵的初等变换 (3) 2.4 n阶准对角矩阵的性质 (3) 3分块矩阵在高等代数中的应用 (4) 3.1 分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用 (4) 3.2 利用分块矩阵计算行列式 (7) 3.3 分块矩阵在求逆矩阵方面的应用 (11) 3.4 分块矩阵在解线性方程组方面的应用 (16) 4总结 (19) 参考文献 (20)
1 引言 矩阵是高等代数中的一个重要内容，也是高等数学的很多分支研究问题的工具。在学习高等代数的时候常常碰到一些很难的问题，我们要经常用到矩阵的分块去解决，它可以使矩阵的结构更简单，从而使问题的解决更简明。比如当我们处理阶数较高或具有特殊结构的矩阵时，用处理一般低阶矩阵的方法，往往比较困难，为了研究问题的方便，也为了显示出矩阵中某些部分的特性，我们常把一个大型矩阵分成若干子块，把每个子块看作一个元素，从而构成一个分块矩阵，这是处理矩阵问题的重要技巧。利用矩阵的分块，可以把高阶矩阵划分成阶数较低的“块”，然后对这些以“块”为元素的矩阵施行矩阵的运算。本文就分块矩阵的加法、乘法、转置、初等变换等运算性质，及分块矩阵在证明矩阵相关秩的问题、矩阵求逆、行列式展开计算等方面的应用作了较为深入的研究。矩阵的分块能使矩阵的一些证明和计算变的非常简洁和快速，易于理解和掌握，而且能开拓思维，提高灵活应用知识解决问题的能力。
分块矩阵及其应用
分块矩阵及其应用 徐健,数学计算机科学学院 摘要：在高等代数中，分块矩阵是矩阵内容的推广. 一般矩阵元素是数量， 而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵，它的元素是每个矩阵块.分块矩阵的引进使得矩阵工具的利用更加便利，解决相关问题更加强有力，所以其应用也更广泛. 本文主要研究分块矩阵及其应用，主要应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理. 关键词：分块矩阵；行列式；方程组；矩阵的秩 On Block Matrixes and its Applications Xu Jian, School of Mathematics and Computer Science Abstract In the higher algebra, block matrix is a generalization of matrix content. In general, matrix elements are numbers. However, the block matrix is a large matrix which is divided into some small rectangular matricies, whose elements are matrix blocks. The introduction of the block matrix makes it more convenient to use matrix, and more powerful to solve relevant problems. So the application of the block matrix is much wider. This paper mainly studies the block matrix and its application in the calculation of determinant, such as solving linear equations, calculating inverse matrix, proving theorem related to the rank of matrix , etc. Keywords Block matrix; Determinant; System of equations; Rank of a matrix
分块矩阵的初等变换及应用49554
十．研究创新题 解： 1.分块矩阵的初等变换 分块矩阵的初等变换与初等矩阵 吴云在1997年8月的《工科数学》上的《分块矩阵的初等变换》一文中提到 定义1 分块矩阵的行(列)初等变换是指: （1）交换两行(列)的位置; （2）第ｉ行(列)的各个元素分别左乘(右乘)该行(列)的一个） （i h 阶）阶）（（i l 左(右)保秩因子Ｈ; （3）第ｉ行(列)的各个元素分别左乘(右乘)一个） （i h 阶）阶）（（i l 矩阵Ｋ后加到第ｊ行. 定义2 对应于分块矩阵t s ij A ?）（的初等分块矩阵是指: （1）))((k j i P i +=?????????? ? ? ?ss ll ii E E K E E 11 或ijk P =?????????? ? ? ?ii ll ii jj E O E E O E （2） )(H P il =???????? ??ss ll E H E 或)(H P ik =?? ? ?? ? ?? ? ?ii E H E 11 其中Ｈ为第ｉ行(列)的一个左(右)保秩因子；
(1) ))((k j i P i +=??????????? ? ?ss ll ii E E K E E 11 (2) 或))((k j i P k +=?????????? ? ? ?ll ll ii E E K E E 11 初等分块矩阵与通常的初等矩阵类似,但由于矩阵乘法不满足交换律,故需要分为左、右两种.直接验算可得: 定理1 (1)交换t s ij A ?）（的第ｉ行与第ｊ行,相当于左乘一个ｍ阶初等分块矩阵ijL P ,其中ijL P 中的元素ii E 为ｈ(i)阶单位矩阵, jj E 为ｈ(j)阶单位矩阵, 当ｒ≠ｉ且ｒ≠ｊ时, rr E 为ｈ(ｒ)阶单位矩阵;交换t s ij A ?）（的第ｉ列与第ｊ列相当于 右乘一个ｎ阶初等分块矩阵ijk P ,其中ii E 为ｌ(i)阶单位矩阵, jj E 为ｌ(j)阶单位矩阵, 当ｒ≠ｉ且ｒ≠ｊ时, rr E 为ｌ(ｒ)阶单位矩阵； (2) t s ij A ?）（的第ｉ行的每一个元素左乘一个矩阵Ｈ相当于t s ij A ?）（左乘一个ｍ阶分块矩阵）（H P iL 中Ｈ为ｈ(ｉ)阶方阵; t s ij A ?）（的第ｉ列的每一个元素右乘一个矩阵Ｈ,相当于t s ij A ?）（右乘一个ｎ阶初等到变换矩阵） （H P ik ,其中Ｈ为ｌ(ｉ)阶方阵； (3) t s ij A ?）（的第ｊ行的每个元素分别左乘一个ｈ(ｉ)×ｈ(ｊ)矩阵Ｋ后加到第ｉ行,相当于t s ij A ?）（左乘一个初等分块矩阵））（（k j i P L +;第ｊ列的每一个元素分别右乘ｌ(ｊ)×ｌ(ｉ)矩阵Ｋ后加到第ｉ列,相当于t s ij A ?）（右乘））（（k j i P k +. 定理2设Ａ为方阵,则分块矩阵t s ij A ?）（施行第一种行初等变换后,对应的行列式为 A j i h ） ，（）（1-, 其中 h(i,j)=h(i)h(j)-l+h(i+l)]+…+h(j)[h(i)+h(i+j)+…+h(j-l)], l(i,j)=l(i)h(j)-l+l(i+l)]+…+l(j)[l(i)+l(i+j)+…+l(j-l)], 施行第二种初等变换后,对应的行列式为|Ｈ|·|Ａ|;施行第三种初等变换后,对应的行列式的值不变. 证明: H H P i =） （,A k j i P =+））（（显然成立. 下证） ，（）（j i h irL P 1-= ,ii E 所在的第1行逐次与它相邻的行交换,移至jj E 前,共进行ｈ (ｉ)-1+ｈ(ｉ+1)+…+ｈ(ｊ-1)次交换两行,第2行逐次与它相邻的行交换,移至jj E 前,同样进行相同次交换两行,依此类推,把ii E 所在的行移至jj E 所在的行前,共进行
(完整版)逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且 （E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K 证明 因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K , 因A K = 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ， 因此E-A 是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K . 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K . 由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵. 例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???0000 30000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证
A 2 =????????? ???0000000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???00000000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3= ? ? ?? ? ???????1000 31006210 6211. 2.初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使 （1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得： （2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换 为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵. 例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=???? ? ?????521310132. 解 [A I]→??????????100521010310001132→???? ? ?????001132010310100521 → ??????????--3/16/16/1100010310100521→???? ??????-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001
矩阵初等变换的一些性质及应用
矩阵初等变换的一些性质及应用 摘要：矩阵的初等变换是线性代数中应用十分广泛的重要工具。文章证 明了矩阵初等变换的两个性质, 以此为基础, 归纳说明了矩阵的初等变 换在线性代数课程中的应用, 并给出了一些实例。 关键词：矩阵初等变换性质应用 Abstract: The elementary alternate of matrix is an important tool broadly used in linear algebra. The paper discusses its properties and application. Key w o rd: matrix, elementary alternate, properties, application 0 引言 矩阵是数域P上的m行n列矩阵,矩阵的行(列)初等变换是指对矩阵施行如下的变换: (1)交换矩阵的两行(列),对调i,j两行,记作←（记作←）； (2)以非零数 k 乘矩阵某一行( 列) 的所有元素,第i行（列）乘k,记作×k(记作×k)； (3)把某一行(列)所有元素的 k 倍加到另一行(列)对应元素上去，如第j 行（列）的k 倍加到第i行（列）上, 记作+（记作+）。 矩阵的初等变换在高等代数课程中有着十分广泛的应用, 也是本课程的基本工具之一。矩阵的初等行变换和初等列变换具有同等的地位和作用, 只是在使用过程中有所区别。本文首先证明初等行变换和初等列变换具有同等的地位和作用，再以具体实例说明矩阵初等变换在求极大无关组和秩的应用。 一、初等变换的性质证明 定理1 第一种初等变换可以由第二、三种初等变换实施得到。 证明: 设是为数域P上的m×n 矩阵(i= 1，2，…，m； j=1，2，…，n) 对矩阵A 施行第二、三种初等行变换:
线性代数习题矩阵的初等变换与线性方程组讲课讲稿
线性代数习题［第三章］矩阵的初等变换与线 性方程组
习题3-1矩阵的初等变换及初等矩阵 3 2 1 3 1 5的逆矩阵. 3 2 3 4.设A 是n 阶可逆矩阵 将A 的第i 行与第j 行对换后得矩阵B . (1)证明B 可逆 ⑵求AB 1. 1?用初等行变换化矩阵A 1 0 2 1 2 0 3 1 为仃取简形 3 0 4 3 4 1 2 1 3 2 2 1 ,B= 2 2 ,求X 使AX B 3 1 1 3 1 3.设A 2?用初等变换求方阵A
习题3-2矩阵的秩1?求矩阵的秩: (1)A 1 2 3k 2.设A 1 2k 3问k为何值，可使 k 2 3 (1)R(A) 1 ； ⑵R(A) 2; ⑶ R(A) 3 qb o i 1,2, |||,n &1 b| &1 b? a? b| a?b? Ill III a n E a n b 2 a2b n III a n b n
3.从矩阵A中划去一行，得矩阵B,则R(A)与R(B)的关系是_______ a. R(A) R(B) b. R(A) R(B); c. R(B) R(A) 1 ; d. R(A) R(B) R(A) 1. 3 2 1 3 1 4.矩阵2 1 3 1 3 的秩R= 7 0 5 1 8 a.1; b. 2; c.: 3; d. 4. 1 a a a 5.设n(n 3)阶方阵 a A 1 a a 的秩R(A)=n-1,则 a a a a 1 a. 1; b. 1 ; c.—; d . 1 1 n n 1 6.设A为n阶方阵，且A2A,试证： R(A) R(A E) n
分块矩阵的初等变换及其应用开题报告 [开题报告]
毕业论文开题报告 信息与计算科学 分块矩阵的初等变换及其应用 一、选题的背景、意义 1．选题的背景 在数学的矩阵理论中，一个分块矩阵或是分段矩阵就是将矩阵分割出较小的矩形矩阵，这些较小的矩阵就称为区块。换个方式来说，就是以较小的矩阵组合成一个矩阵。分块矩阵的分割原则是以水平线和垂直线进行划分。分块矩阵中，位在同一行（列）的每一个子矩阵，都拥有相同的列数（行数）。 通过将大的矩阵通过分块的方式划分，并将每个分块看做另一个矩阵的元素，这样之后再参与运算，通常可以让计算变得清晰甚至得以大幅简化。例如，有的大矩阵可以通过分块变为对角矩阵或者是三角矩阵等特殊形式的矩阵。 2．选题的意义 矩阵的分块是处理较高阶矩阵时常用的方法，用一些贯穿于矩阵的纵线和横线将矩阵分成若干子块，使得阶数较高的矩阵化为阶数较低的分块矩阵。在运算中，我们有时把这些子块当作元素一样来处理，从而简化了表示，便于计算。分块矩阵初等变换是线性代数中重要而基本的运算，它在研究矩阵行列式、特征值、秩等各种性质及求矩阵的逆、解线性代数方程中有着广泛的应用。因此，如何直接对分块矩阵实行初等变换显得非常重要，本文的目的就是讨论分块矩阵的初等变换及其应用[1]。 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 2.1 分块矩阵及其初等变换 2.1.1 分块矩阵的定义： 将一个分块矩阵A用若干条纵线和横线分成许多块的低阶矩阵，每一块低阶矩阵称为A 的子块。以子块为元素的矩阵A称为分块矩阵。 我们将单位矩阵E分块：
??? ? ? ??=s r r E E E 0 00 001O ，其中E r 是r i 阶单位矩阵(1