2020高考数学必胜秘诀(三)数列
2020高考数学必胜秘诀（三）数列
――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
三、数 列
1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*〔或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝〕的专门函数，数列的通项公式也确实是相应函数的解析式。如〔1〕*2()156n n a n N n =∈
+，那么在数列{}n a 的最大项为__〔答：125〕；〔2〕数列}{n a 的通项为1
+=bn an a n ，其中b a ,均为正数，那么n a 与1+n a 的大小关系为___〔答：n a <1+n a 〕；〔3〕数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范畴〔答：
3λ>-〕
；〔4〕一给定函数)(x f y =的图象在以下图中，同时对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，那么该函数的图象是 〔〕〔答：A 〕
A B C D
2.等差数列的有关概念：
〔1〕等差数列的判定方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。如设{}n a 是等差数列，求证：以b n =n
a a a n +++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n
b 为等差数列。 〔2〕等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。如(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，那么通项n a = 〔答：210n +〕；〔2〕首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正
数，那么公差的取值范畴是______〔答：
833
d <≤〕 〔3〕等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2
n n n S na d -=+。如〔1〕数列 {}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152
n S =-，那么1a ＝＿，n ＝＿〔答：13a =-，10n =〕；〔2〕数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T 〔答：2*2*12(6,)1272(6,)
n n n n n N T n n n n N ?-≤∈?=?-+>∈??〕. 〔4〕等差中项：假设,,a A b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且2
a b A +=
。 提醒：〔1〕等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为差不多元素。只要这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
〔2〕为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…〔公差为d 〕；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…〔公差为2d 〕
3.等差数列的性质：
〔1〕当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜
率为公差d ；前n 和211(1)()222
n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. 〔2〕假设公差0d >，那么为递增等差数列，假设公差0d <，那么为递减等差数列，假设公差0d =，那么为常数列。
〔3〕当m n p q +=+时,那么有q p n m a a a a +=+，专门地，当2m n p +=时，那么有2m n p a a a +=.如〔1〕等差数列{}n a 中，12318,3,1n n n n S a a a S --=++==，那么n ＝____〔答：27〕；〔2〕在等差数列{}n a 中，10110,0a a <>，且1110||a a >，n S 是其前n 项和，那么A 、12
10,S S S 都小于0，1112,S S 都大于0 B 、12
19,S S S 都小于0，2021,S S 都大于0 C 、125,S S S 都小于0，67,S S 都大于0 D 、1220,S S S 都小于0，2122,S S 都大于0 〔答：B 〕
(4) 假设{}n a 、{}n b 是等差数列，那么{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈、
232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列，而{}n a a 成等比数列；假设{}n a 是等比数列，且0n a >，那么{lg }n a 是等差数列. 如等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，那么它的前3n 和为 。〔答：225〕
〔5〕在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S S nd =偶奇－；项数为奇数21n -时，S S a -=奇偶中，21(21)n S n a -=-?中〔那个地点a 中即n a 〕；:(1):奇偶S S k k =+。如〔1〕在等差数列中，S 11＝22，那么6a ＝______〔答：2〕；〔2〕项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数〔答：5；31〕.
〔6〕假设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分不为n A 、n B ，且()n n
A f n
B =，那么2121
(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--.如设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分不为n S 和n T ，假设3413-+=n n T S n n ，那么=n n b a ___________〔答：6287
n n --〕 (7)〝首正〞的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；〝首负〞的递增等差数列中，
前n 项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组???
? ?????≥≤???≤≥++000011n n n n a a a a 或确定出前多少项为非负〔或非正〕；法二：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的专门性*
n N ∈。上述两种方法是运用了哪种数学思想？〔函数思想〕，由此你能求一样数列中的最大或最小项吗？如〔1〕等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，咨询此数列前多少项和最大？并求此最大值。〔答：前13项和最大，最大值为169〕；〔2〕假设{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>， 200320040a a ?<，那么使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是 〔答：4006〕
(8)假如两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究n m a b =.
4.等比数列的有关概念：
〔1〕等比数列的判定方法：定义法1(n n a q q a +=为常数），其中0,0n q a ≠≠或11
n n n n a a a a +-= (2)n ≥。
如〔1〕一个等比数列{n a }共有21n +项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，那么1n a +为____〔答：56
〕；〔2〕数列{}n a 中，n S =41n a -+1 (2n ≥)且1a =1，假设n n n a a b 21-=+ ，求证：数列｛n b ｝是等比数列。
〔2〕等比数列的通项：11n n a a q -=或n m n m a a q -=。如设等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -=，前n 项和n S ＝126，求n 和公比q . 〔答：6n =，12
q =或2〕 〔3〕等比数列的前n 和：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，1(1)1n n a q S q
-=- 11n a a q q -=-。如〔1〕等比数列中，q ＝2，S 99=77，求9963a a a +++ 〔答：44〕；〔2〕)(1010
∑∑==n n k k n C 的值为__________〔答：2046〕；
专门提醒：等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，第一要判定公比q 是否为1，再由q 的情形选择求和公式的形式，当不能判定公比q 是否为1时，要对q 分1q =和1q ≠两种情形讨论求解。
〔4〕等比中项：假设,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项。提醒：不是任何两数都有
等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个,()a b a b ≠的等差中项为A ，等比中项为B ，那么A 与B 的大小关系为______〔答：A ＞B 〕
提醒：〔1〕等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S ，其中1a 、
q 称作为差不多元素。只要这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；
〔2〕为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，22,,,,a a a aq aq q q
…〔公比为q 〕；但偶数个数成等比时，不能设为…33,,,aq aq q
a q a ，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为2q 。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。〔答：15，,9，3,1或0,4，8,16〕
5.等比数列的性质：
〔1〕当m n p q +=+时，那么有m n p q a a a a =，专门地，当2m n p +=时，那么有2m n p a a a =.
如〔1〕在等比数列{}n a 中，3847124,512a a a a +==-，公比q 是整数，那么10a =___〔答：512〕；〔2〕各项均为正数的等比数列{}n a 中，假设569a a ?=，那么3132310log log log a a a +++= 〔答：10〕
。 (2) 假设{}n a 是等比数列，那么{||}n a 、*{}(,)p nq a p q N +∈、{}n ka 成等比数列；假设{}{}n n a b 、
成等比数列，那么{}n n a b 、{}n n
a b 成等比数列； 假设{}n a 是等比数列，且公比1q ≠-，那么数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…也是等比数列。当1q =-，且n 为偶数时，数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…
是常数数列0，它不是等比数列. 如〔1〕0a >且1a ≠，设数列{}n x 满足1log 1log a n a n x x +=+(*)n N ∈，且12100100x x x ++
+=，那么101102200x x x +++= . 〔答：100100a 〕；〔2〕在等比数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，假设140,1330101030=+=S S S S ，那么20S 的值为______〔答：40〕
(3)假设10,1a q >>，那么{}n a 为递增数列；假设10,1a q <>, 那么{}n a 为递减数列；假设10,01a q ><< ，那么{}n a 为递减数列；假设10,01a q <<<, 那么{}n a 为递增数列；假设0q <，那么{}n a 为摆动数列；假设1q =，那么{}n a 为常数列.
(4) 当1q ≠时，b aq q
a q q a S n n n +=-+--=1111，那个地点0a
b +=，但0,0a b ≠≠，这是等比数列前n 项和公式的一个特点，据此专门容易依照n S ，判定数列{}n a 是否为等比数列。如假设{}n a 是等比数列，且3n n S r =+，那么r ＝ 〔答：－1〕
(5) m n m n m n n m S S q S S q S +=+=+.如设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，假设
12,,n n n S S S ++成等差数列，那么q 的值为_____〔答：－2〕
(6) 在等比数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S qS =偶奇；项数为奇数21n -时，1S a qS =+奇偶.
(7)假如数列{}n a 既成等差数列又成等比数列，那么数列{}n a 是非零常数数列，故常数数列{}n a 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如设数列{}n a 的前n 项和为n S 〔N ∈n 〕， 关于数列{}n a 有以下三个命题：①假设)(1N ∈=+n a a n n ，那么{}n a 既是等差数列又是等比数列；②假设
()R ∈+=b a n b n a S n 、2，那么{}n a 是等差数列；③假设()n n S 11--=，那么{}n a 是等比数列。这些命
题中，真命题的序号是 〔答：②③〕 6.数列的通项的求法： ⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。如数列 ,3219,1617,815,413
试写出其一个通项公式：__________〔答：11212n n a n +=++
〕 ⑵n S 〔即12()n a a a f n +++=〕求n a ，用作差法：{1
1,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥。如①{}n a 的前n 项
和满足2log (1)1n S n +=+，求n a 〔答：{3,12,2
n n n a n ==
≥〕；②数列{}n a 满足12211125222n n
a a a n +++
=+，求n a 〔答：{114,12,2n n n a n +==≥〕 ⑶12()n a a a f n =求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)
n f n f n a n f n =??=?≥?-?。如数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ，那么=+53a a ______〔答：6116
〕 ⑷假设1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-
1a +(2)n ≥。如数列{}n a 满足11a =，n
n a a n n ++=--11
1(2)n ≥
，那么n a =________〔答：1n a =〕 ⑸1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121
n n n n n a a a a a a a a ---=????(2)n ≥。如数列}{n a 中，21=a ，前n 项和n S ，假设n n a n S 2=，求n a 〔答：4(1)
n a n n =+〕 ⑹递推关系求n a ，用构造法〔构造等差、等比数列〕。专门地，〔1〕形如1n n a ka b -=+、1n n n a ka b -=+〔,k b 为常数〕的递推数列都能够用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。如
①111,32n n a a a -==+，求n a 〔答：1231n n a -=-〕；②111,32n n n a a a -==+，求n a 〔答：11532n n n a -+=-〕；〔2〕形如11n n n a a ka b --=
+的递推数列都能够用倒数法求通项。如①1111,31
n n n a a a a --==+
，求n a
〔答：132n
a n =-〕；②数列满足1a =1=n a 〔答：21n a n
=〕 注意：〔1〕用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？〔2n ≥，当1n =时，11S a =〕；〔2〕一样地当条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将条
件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。如数列{}n a 满足11154,3n n n a S S a ++=+=，求n a 〔答：
{14,134,2
n n n a n -==≥〕 7.数列求和的常用方法：
〔1〕公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，专门声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：1123(1)2
n n n ++++=+，222112(1)(21)6n n n n +++=++，33332(1)123[]2
n n n +++++=.如〔1〕等比数列{}n a 的前n 项和S ｎ＝2ｎ－１，那么2232221n a a a a ++++ ＝_____〔答：413
n -〕；〔2〕运算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即〝逢2进1”，如2)1101(表示二进制数，将它转换成十进制形式是13212021210123=?+?+?+?，那么将二进制
1
20052)11111(个转换成十进制数是_______〔答：200521-〕 〔2〕分组求和法：在直截了当运用公式法求和有困难时，常将〝和式〞中〝同类项〞先合并在一起，再运用公式法求和. 如求：1357(1)(21)n n S n =-+-+-+--〔答：(1)n n -?〕
〔3〕倒序相加法：假设和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，那么常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和〔这也是等差数列前n 和公式的推导方法〕. 如①求证：0
1235(21)(1)2n
n n n n n C C C n C n +++++=+；②2
2()1x f x x =+，那么
111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++＝______〔答：72
〕 〔4〕错位相减法：假如数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法〔这也是等比数列前n 和公式的推导方法〕. 如〔1〕设{}n a 为等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+++，11T =，24T =，①求数列{}n a 的首项和公比；②求数列{}n T 的通项公
式.〔答：①11a =，2q =；②122n n T n +=--〕；〔2〕设函数)1(4)()1()(2-=-=x x g x x f ，，数列}
{n a 满足：12,()n a f a =(n a =-
))(()1++∈N n a g a n n ，①求证：数列}1{-n a 是等比数列；②令212()(1)(1)h x a x a x =-+-
(1)n n a x ++-，求函数)(x h 在点38=
x 处的导数)38(h '，并比较)3
8(h '与n n -22的大小。〔答：①略；②8()(1)213n h n '=-+，当1n =时，)38(h '＝n n -22；当2n =时，)3
8(h '
①111(1)1n n n n =-++； ②1111()()n n k k n n k
=-++； ③2211111()1211k k k k <=---+，211111111(1)(1)1k k k k k k k k k -=<<=-++--； ④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ；⑤11(1)!!(1)!
n n n n =-++；
⑥
=<<=.
如〔1〕求和：1111447(32)(31)n n +++=??-?+ 〔答：31
n n +〕；〔2〕在数列{}n a 中，11
++=n n a n ，且S ｎ＝９，那么n ＝_____〔答：99〕；
〔6〕通项转换法：先对通项进行变形，发觉其内在特点，再运用分组求和法求和。如①求数列1×4，2×5，3×6，…，(3)n n ?+，…前n 项和n S = 〔答：(1)(5)3
n n n ++〕；②求和：111112123123n ++++=+++++++ 〔答：21
n n +〕 8. 〝分期付款〞、〝森林木材〞型应用咨询题
(1)这类应用题一样可转化为等差数列或等比数列咨询题.但在求解过程中，务必〝卡手指〞，细心运算〝年限〞.关于〝森林木材〞既增长又砍伐的咨询题，那么常选用〝统一法〞统一到〝最后〞解决.
(2)利率咨询题：①单利咨询题：如零存整取储蓄〔单利〕本利和运算模型：假设每期存入本金p 元，每期利率为r ，那么n 期后本利和为：(1)(12)(1)n S p r p r p nr =+++++
(1)()2
n n p n r +=+
〔等差数列咨询题〕；②复利咨询题：按揭贷款的分期等额还款〔复利〕模型：假设贷款〔向银行借款〕p 元，采纳分期等额还款方式，从借款日算起，一期〔如一年〕后为第一次还款日，如此下去，分n 期还清。假如每期利率为r 〔按复利〕，那么每期等额还款x 元应满足：12(1)(1)(1)(1)n n n p r x r x r x r x --+=+++++++〔等比数列咨询题〕.