多目标决策方法的大作业
多指标决策理论与方法作业
关于某单位基层组织办公场所搬迁方案的决策研究
姓名：张杨
学号：1671131
班级：控制工程16-04班
关于某单位基层组织办公场所搬迁方案的
决策研究
张杨
（东北大学信息科学与工程学院，辽宁沈阳 110000）
摘要：对于同一栋楼内不同部门的搬迁问题，我们不仅要考虑到搬迁的成本、搬迁后办公场所的利用率以及每个部门办公场所面积的公平性，更重要的是尽量将同一部门的办公场所集中。由于搬迁是一个多目标、多层次、多属性的复杂系统工程问题，通过层次分析法和模糊评价法对方案进行分析和优选。
关键词：搬迁；层次分析法；模糊评价法
1引言
同一栋楼内不同部门的搬迁是一项涉及成本、利用效率和工作便利性等多方面因素的复杂的系统工程，各个部门办公场所位置的选择，是同一栋楼内不同部门的搬迁问题重要环节。影响各个部门办公场所位置选择的因素有很多，例如，原办公部门的位置、同一部门办公场所的集中性、部门内办公人员的数量等等。如果从单一的因素对搬迁的方案进行评价，有失公平性和客观性。因此，采用层次分析法对影响搬迁的因素确定权重值，然后通过模糊分析法对搬迁方案进行综合评价。
2建立模型
通过对同一栋楼内不同部门搬迁问题的分析，将以下四个方面作为部门搬迁方案的优选体系，同一部门办公场所的集中性、部门搬迁所需要的成本、楼内办公面积的利用率及不同部门办公面积的公平性，如表1。
1）同一部门办公场所的集中性首先，在进行搬迁之前有些部门的办公场所是分散的，有些部门的办公场所相对来说比较集中，显然办公人员都是希望同一部门的人员都在一起办公，方便大家的工作。那么在进行搬迁的时候，原来办公场所相对分散的部门会要求尽量将其办公场所聚集在一起，原来办公场所相对比较集中的部门也不愿意其被分散在楼内的各个位置，因此我们在制定不同部门搬迁方案的时候，需要尽量将同一部门的办公场所聚集在一起，而且要尽量将同一部门的办公场所放在同一楼层。
表1影响搬迁方案制定的因素
2）部门搬迁所需要的成本不同的部门在进行搬迁时，不止是办公人员简单的挪动办公地点，而且原办公地点内的仪器及设备也需要搬迁，如果新的办公地点没有装修，则需要花费装修办公地点的费用，装修费用是计算到部门搬迁所需要的成本中的；有些部门内有大型的仪器及设备，搬迁之后需要专业的人员重新进行组装和调试，需要支付专业人员调试仪器及设备的费用，这笔费用有时候相对来说很大，并且也是算到部门搬迁成本中的。因此，部门搬迁所需要的成本是选择搬迁方案的重要决定性因素。
3）楼内办公面积的利用率在搬迁之前有些部门的办公人员可能比较多而办公面积又有限，当楼内有空出的办公地点时，要尽量给办公人员比较拥挤的部门多一些办公面积，避免造成一些办公人员多的部门拥挤在较小的办公场所里，办公人员比较少的部门还空出一部分办公面积，导致楼内办公面积的利用率不均衡，在选择搬迁方案时，尽量平均楼内办公面积的利用率。
4）不同部门办公面积的公平性由于空间的限制，在搬迁之前有些部门的办公人员的数量相差不大，但是其所占的办公面积却相差很大，不计小型设备及仪器所占的办公面积，大型仪器及设备所占的办公面积需要额外的计算。因此，
在选择搬迁方案的时候，需要考虑到不同部门办公面积的公平性，尽量给办公人数相差无几的不同部门分配相同的办公面积。
3.确定属性权重值
在确定合理的影响选择搬迁方案的因素之后，如何确定这些因素的权重便成了关键问题。权重是相对某一指标而言的，某一指标的权重是指该指标在整体评价中的相对重要程度，权重是要从若干评价指标中分出轻重来，一组评价指标体系相对应的权重组成了权重体系。确定属性权重的方法有很多，例如：层次分析法，主成份法，熵权法，模糊数学法，数据包络分析法，因子分析发以及二项系数法等等。
本文采用的是层次分析法来确定各个因素的权重值。层次分析法是将解决的问题分解为若干个互不相同的组成因素，并根据组成因素的隶属关系和关联关系的不同，把各组成因素归并为不同的层次，从而形成多层次的分析结构模型。相关专家指出确定权重时，首先不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较，然后采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，以提高准确度。用1，2，3，、、、，9表示两个属性权重的相对权重比，标度及含义如表2所示。
表2标度及含义
标度含义
1j比i极端重要
2j比i重要的多
3j比i明显重要
4j比i稍微重要
5i与j同样重要
6i比j稍微重要
7i比j明显重要
8i比j重要的多
9i比j极端重要
通过标度我们就可以得到判断矩阵R，即每两个属性的权重比。判断矩阵中的元素a ij表示第i个属性的重要性是第j个属性的重要性a ij倍，即有a ij=1
。
a ji
R=[a 11a 12a 21a 22?a 1n
…a 2n
??a n1a n2
?…
a nn ]=[ w 1w 1w 1w 2w 2w 1
w 2w 2?w 1
w n …w 2w n ??
w n
w 1
w n w 2
?…
w n w n ]
在选择搬迁方案的时候，我们只给出了a ij 的值，并没有给出w j 的数值，因此我们就需要采用层次单排序法根据判断矩阵R 计算出各属性的权值w j ，j=1，2，?，n 。由判断矩阵R 计算单排序权值的方法有很多，例如：行和规范化方法，和积法，特征值法等等，本篇文章采用特征值法来计算单排序的权值。
为了检查矩阵的一致性，引入一致性指标CI ，CI 的值为CI =
1
max --p p
λ。当
CI =0时，有完全的一致性；当CI 接近于0时，接近于0，有满意的一致性；当CI 越大，不一致性越严重。为了确定判断矩阵是否有满意的一致性，需要将CI 与平均随机一致性指标RI 进行比较。RI 表如表3所示。定义CR 为判断矩阵的随机一致性比例，即CR=CI
RI ，当CR <0.1时，认为判断矩阵R 的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性。一致性检验，就是利用一致性指标和一致性比例<0.1，以及随机一致性指标的数值表，对R 进行检验的过程。
表3 一致性指标RI
1) B 1~B 4相对于A 的判断矩阵
表4 B 1~B 4
相对于A 的权重值
经求解可得到判断矩阵的最大特征值为4.2341。
由公式CI =1
max --p p
λ可得，CI =4.2341?44?1=0.078；
由公式CR =
CI RI
可得，CR =
0.0780.9
=0.0867<0.1；满足矩阵的一致性。
2) C 1~C 2相对于B 1的判断矩阵
表5 C 1~C 2相对于B 1的权重值
经求解可得到判断矩阵的最大特征值为2。 由公式CI =1max --p p
λ可得，CI =2?22?1=0；
由公式CR =
CI RI
可得，CR =
00.58
=0<0.1；满足矩阵的一致性。
3）C 3~C 5相对于B 2的判断矩阵
表6 C 3~C 5相对于B 2的权重值
经求解可得到判断矩阵的最大特征值为3.0246。 由公式CI =1max --p p
λ可得，CI =3.0246?33?1=0.0123；
由公式CR =
CI RI
可得，CR =
0.01230.58
=0.0212<0.1，满足矩阵的一致性。
4）C 6~C 8相对于B 3的判断矩阵
表7 C 6~C 8相对于B 3的权重值
经求解可得到判断矩阵的最大特征值为3.0858。 由公式CI =
1max --p p
λ可得，CI =3.0858?33?1=0.0429；
由公式CR =CI RI
可得，CR =
0.04290.58
=0.0739<0.1；满足矩阵的一致性。
5）C 9~C 10相对于B 4的判断矩阵
表8 C 9~C 10相对于B 4的权重值
经求解可得到判断矩阵的最大特征值为2。 由公式CI =
1max --p p
λ可得，CI =2?22?1=0；
由公式CR =
CI
RI
可得，CR =
00.58
=0<0.1；满足矩阵的一致性。
所选择的判断矩阵都通过了一致性的检验，因此我们可以进行下一步计算。 3.1计算综合权重
通过判断矩阵，我们可以求取各个因素相对于总目标的权值。 C 1~C 2相对于总目标的权值ω1=0.46×[
0.870.13]=[0.1131
0.0598
]； C 3~C 5相对于总目标的权值ω2=0.13×[0.57
0.290.14]=[0.07410.03770.0182]；
C 6~C 8相对于总目标的权值ω3=0.34×[0.51
0.260.13
]=[0.17340.0840.042]；
C 9~C 10相对于总目标的权值ω4=0.07×[0.770.23]=[0.0079
0.0161
]；
由此我们可以得到，办公场所集中，仪器及设备重新安装的费用，办公面积的公平性，办公设施搬迁的容易性这四个因素是决定搬迁方案的主要因素，在制定和选择搬迁方案时，优先考虑这四个方面。
4方案选择
本文采用模糊综合评判法，对所制定的搬迁方案进行选择。
模糊综合评判法是一种基于模糊数学的综合评价方法。该综合评价法根据模糊数学的隶属度理论把定性评价转化为定量评价，即用模糊数学对受到多种因素制约的事物或对象做出一个总体的评价。它具有结果清晰，系统性强的特点，能较好地解决模糊的、难以量化的问题，适合各种非确定性问题的解决。
假设现有一栋三层的办公楼，每层有6个房间，每个房间的面积是相同的，办公楼内原有5个部门，每个部门的办公人数以及办公面积各不相同，现由于某些原因，其中一个部门搬离办公楼，空出一部分房间，剩余4个部门重新分配办公场所，进行部门的搬迁。现有一搬迁方案，讨论这个搬迁方案是否合理。选取10个参评人员为搬迁方案进行评判。
首先，设定评级指标集X及其相对于总目标的权值。由上述过程我们可以知道，评定指标集X=｛办公场所集中，仪器及设备重新安装的费用，办公面积的公平性，办公设施搬迁的容易性｝，其相对权重ω={0.3,0.1,0.5,0.1}。
然后，取评价值集V={V1，V2，V3}，V1，V2，V3分别表示该搬迁方案可行、不可行、二者均可。下表是参评人员的评分结果。
表9 参评人员的评分结果
由此可以得出模糊评价矩阵R=[0.20.50.3 0.10.40.5 0.60.20.2
0.40.20.4
]。
我们可以得到对该方案的综合评价
C=ω×R=(0.3，0.1，0.5，0.1)×[0.20.50.3
0.10.40.5
0.60.20.2
0.40.20.4
]=(0.41，0.31，0.28)。
根据最大隶属度原则，评估结果为0.41。由此可以判断出，该搬迁方案不可行。其他搬迁方案均可以按照这种方法来进行计算。
4.1层次分析法的优缺点
层次分析法具有系统性，将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策；实用性，定性与定量相结合，能处理许多用传统的最优化技术无法解决的实际问题，其应用范围很广，同时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，增加了决策的有效性；简洁性，计算简便，结果明确，具有中等文化程度的人即可以了解层次分析法的基本原理并掌握该法的基本步骤，容易被决策者了解和掌握。便于决策者直接了解和掌握。
然而层次分析法只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新方案；其比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙的，不适用于精度较高的问题；采用层次分析法建立层次结构模型到得出比较矩阵，主观因素的影响很大。当然采取专家群体判断的办法是克服这个缺点的一种途径。
5结论
通过查找资料和实地调查，了解影响制定不同部门搬迁方案的因素有办公便利性，搬迁费用，办公面积分配和办公设施搬迁难易程度，其中办公场所集中，仪器设备重新安装的费用，办公面积分配公平性，以及办公设施搬迁的难易程度是影响搬迁方案选择的主要因素。
利用层次分析法得到主要因素相对目标结果的权重，采用模糊矩阵合成的算法对制定的搬迁方案进行验证，选择较好的搬迁方案。
003-2多目标优化的是实现
多目标和多约束的优化问题都称为多目标优化问题。在实际应用中，常常需要使多个目标在给定的区域范围都尽可能达到最优，但多个目标之间往往都是相互冲突的。[24] 为了使多目标优化能够顺利实现人们提出了很多方法这类方法主要有： (1)评价函数法。常用的方法有“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。评价函数法的实质，是通过构造评价函数式把多目标转化为单目标。对即有极小化模型又有极大化模型的混合优化问题，可把极大化问题转化为极小化处理，也可用分目标乘除法、功效函数法、选择法等方法解决。但不同的评价函数，表达了不同的评价意义。因此，评价函数法只可保证所求得的最优解为多目标优化的有效解，而很难准确地获取设计者认可的满意有效解，这使得评价函数法的应用，局限于要求不高或对多目标优化方法把握不深的应用者。 (2)交互规划法。不直接使用评价函数的表达式，而是使决策者参与到求解过程，控制优化的进行过程，使分析和决策交替进行，这种方法称为交互规划法。由于有决策者的参与，所得的结果易于趋近决策者主观要求，因此其解只能达到主观最优，尚缺客观性的评价，且不易于操作。常用的方法有：逐步宽容法、权衡比替代法，逐次线性加权和法等。 (3)分层求解法。按目标函数的重要程度进行排序，然后按这个排序依次进行单目标的优化求解，以最终得到的解作为多目标优化的最优解。在要求获取的解是有效解的前提下，此种解法存在的问题为： 1)各目标的优先层次的不同选择，就得到具有不同优性的解，目标优性的差异与重要度的差异这两者的一致性难以调控与把握；2)对于非线性多目标优化，每个目标不可能在最优解上都存在等值线(面)，因此往往难以优化到最后一层，从而失去了多目标优化的意义。 早期的多目标问题实质上都是将多目标优化问题转化成单目标优化问题，然后采用比较成熟的单目标优化技术来进一步地解决。传统的多目标优化方法存在以下几个缺点： ①只能得到一个最优解，然而，在实际决策中决策者通常需要多种可供选择的方案； ②各目标之间没有共同的度量标准：各自具有不同的量纲、不同的物理意义，
多目标决策
第13章多目标决策 单目标决策问题前三章已经进行了较为详细的探讨。从合理行为假设引出的效用函数，提供了对这类问题进行合理分析的方法和程序。但在实际工作中所遇到的的决策分析问题，却常常要考虑多个目标。这些目标有的相互联系，有的相互制约，有的相互冲突，因而形成一种异常复杂的结构体系，使得决策问题变得非常复杂。 国外一般认为，多目标优化问题最早是在19世纪末由意大利经济学家帕累托（V.Pareto）从政治经济学的角度提出来的，他把许多本质上不可比较的目标，设法变换成一个单一的最优目标来进行求解。到了20世纪40年代，冯诺曼等人由从对策论的角度提出在彼此有矛盾的多个决策人之间如何进行多目标决策问题。1950年代初，考普曼（T.C.koopmans）从生产和分配的活动分析中提出多目标最优化问题，并引入了帕累托最优的概念。1960年代初，菜恩思（F.Charnes）和考柏（J.Cooper）提出了目标规划方法来解决多目标决策问题。目标规划是线性规划的修正和发展，这一方法不只是对一些目标求得最优，而是尽量使求得的最优解与原定的目标值之间的偏差为最小。1970年代中期，甘尼（R.L.Keeney）和拉发用比较完整的描述多属性效用理论来求解多目标决策问题。1970年代末，萨蒂（A.L.Saaty）提出了影响广泛的AHP(the analytical hierarchy process)法，并在1980年代初纂写了有关AHP 法的专著。自1970年代以来，有关研究和讨论多目标决策的方法也随之出现。 总之，多目标决策问题正愈来愈多的受到人们的重视，尤其是在经济、管理、系统工程、控制论和运筹学等领域中得到了更多的研究和关注。 13.1 基本概念 多目标决策和单目标决策的根本区别在于目标的数量。单目标决策，只要比较各待选方案的期望效用值哪个最大即可，而多目标问题就不如此简单了。 例13.1房屋设计 某单位计划建造一栋家属楼，在已经确定地址及总建筑面积的前提下，作出了三个设计方案，现要求根据以下5个目标综合选出最佳的设计方案：1）低造价（每平方米造价不低于500元，不高于700元）； 2）抗震性能（抗震能力不低于里氏5级不高于7级）； 3）建造时间（越快越好）； 4）结构合理（单元划分、生活设施及使用面积比例等）； 5）造型美观（评价越高越好） 这三个方案的具体评价表如下。
第十七章多标决策法
第十七章 多目标决策法 基本内容 一、多目标决策概述 多目标决策:统计决策中的目标通常不会只有一个，而是有多个目标，具有多个目标的决策问题的决策即称为多目标决策。多目标决策的方法有多属性效用理论、字典序数法、多目标规划、层次分析、优劣系数法、模糊决策法等。 多目标决策的特点： 1、目标之间的不可公度性，即众多目标之间没有一个统一标准。 2、目标之间的矛盾性。某一目标的完善往往会损害其他目标的实现。 常用的多目标决策的目标体系分类：单层目标体系；树形多层目标体系；非树形多层目标体系。 多目标决策遵循的原则： 1、在满足决策需要的前提下，尽量减少目标个数。 2、分析各目标重要性大小，分别赋予不同权数。 二、层次分析法 层次分析法，简称AHP 法，是用于处理有限个方案的多目标决策方法。 （一）层次分析的基本原理 层次分析法的基本思想：是把复杂问题分解为若干层次，在最低层次通过两两对比得出各因素的权重，通过由低到高的层层分析计算，最后计算出各方案对总目标的权数，权数最大的方案即为最优方案。 层次分析法的基本假设：层次之间存在递进结构，即从高到低或从低到高递进。 （二）层次分析法的步骤 1、明确问题，搞清楚涉及的因素以及因素相互之间的关系。 2、建立层次结构模型。将决策问题层次化，划分为总目标层、分目标层和方案层。 2、通过对各层元素的重要性进行两两比较，构造判断矩阵。 3、由各层判断矩阵确定各层权重。用特征向量法中的和积法求解判断矩阵的最大特征值和归一化后的特征向量。 4、对各层判断矩阵的一致性进行检验。一致性检验通过后，按归一化处理过的特征向量作为某一层次对上一层次某因素相对重要的排序加权值。否则，对判断矩阵进行调整。 5、层次加权得出各方案关于总目标的权重，最大权重的方案为最优方案。 （三）判断矩阵 以每两个方案（或子目标）的相对重要性为元素的矩阵称为判断矩阵。判断矩阵是层次分析法的核心。 判断矩阵的元素ij a 具有三条性质： （1）1=ii a （2）ji ij a a /1= （3）kj ik ij a a a ?= 判断矩阵的元素ij a 可以利用决策者的知识和经验估计出来。由于决策者的估计并不精确，因此第三条性质不一定成立。 （四）由判断矩阵确定权重 可用特征向量法中的和积法对判断矩阵求最大特征值及所对应的特征向量。特征向量经
第十七章 多目标决策法
第十七章多目标决策法 基本内容 一、多目标决策概述 多目标决策:统计决策中的目标通常不会只有一个，而是有多个目标，具有多个目标的决策问题的决策即称为多目标决策。多目标决策的方法有多属性效用理论、字典序数法、多目标规划、层次分析、优劣系数法、模糊决策法等。 多目标决策的特点： 1、目标之间的不可公度性，即众多目标之间没有一个统一标准。 2、目标之间的矛盾性。某一目标的完善往往会损害其他目标的实现。 常用的多目标决策的目标体系分类：单层目标体系；树形多层目标体系；非树形多层目标体系。 多目标决策遵循的原则： 1、在满足决策需要的前提下，尽量减少目标个数。 2、分析各目标重要性大小，分别赋予不同权数。 二、层次分析法 层次分析法，简称AHP法，是用于处理有限个方案的多目标决策方法。 （一）层次分析的基本原理 层次分析法的基本思想：是把复杂问题分解为若干层次，在最低层次通过两两对比得出各因素的权重，通过由低到高的层层分析计算，最后计算出各方案对总目标的权数，权数最大的方案即为最优方案。 层次分析法的基本假设：层次之间存在递进结构，即从高到低或从低到高递进。 （二）层次分析法的步骤 1、明确问题，搞清楚涉及的因素以及因素相互之间的关系。 2、建立层次结构模型。将决策问题层次化，划分为总目标层、分目标层和方案层。 2、通过对各层元素的重要性进行两两比较，构造判断矩阵。 3、由各层判断矩阵确定各层权重。用特征向量法中的和积法求解判断矩阵的最大特征值和归一化后的特征向量。 4、对各层判断矩阵的一致性进行检验。一致性检验通过后，按归一化处理过的特征向量作为某一层次对上一层次某因素相对重要的排序加权值。否则，对判断矩阵进行调整。
多目标决策方法
多目标决策方法 一．多目标决策方法简介 1．多目标决策问题及特点 （１） 案例 个人：购物；买房；择业．．．．．． 集体或社会：商场，医院选址；水库高度选择．．．．．． （２） 要素 行动方案集合X;目标和属性；偏好结构和决策规则 （3） 多目标决策有如下几个特点： 决策问题追求的优化目标多于一个；目标之间的不可公度性：指标量纲的不一致性； 目标之间的矛盾性； 定性指标与定量指标相混合：有些指标是明确的,可以定量表示出来,如：价格、时间、产量、成本、投资等。有些指标是模糊的、定性的,如人才选拔时候选人素质考察时往往会以：思想品德、学历、能力、工作作风、市场应变能力等个性指标作为决策依据。 2． 多目标决策问题的描述 )}(),(),({21x f x f x f DR n 0)(,0)(,0)(.21 x g x g x g T S p 决策空间：}0)({ x g x X i 目标空间 })({X x x f F 两个例子：
离散型；连续型 3．多目标决策问题的劣解与非劣解 非劣解的寻找连续型有时较难 4．多目标决策主要有以下几种方法： （１）化多为少法：化成只有二个或一个目标的问题； （２）直接求非劣解法：先求出一组非劣解，然后按事先确定好的评价标准从中找出一个满意的解。 （３）分层序列法：将所有目标按其重要性程度依次排序，先求出第一个最重要的目标的最优解，然后在保证前一目标最优解的前提下依次求下一目标的最优解，一直求到最后一个目标为止。（ （４）目标规划法：对于每一个目标都事先给定一个期望值，然后在满足系统一定约束条件下，找出与目标期望值最近的解。（５）重排序法：把原来的不好比较的非劣解通过其他办法使其排出优劣次序来。 （６）多属性效用法：各个目标均用表示效用程度大小的效用函数表示，通过效用函数构成多目标的综合效用函数，以此来评价各个可行方案的优劣。 （７）层次分析法：把目标体系结构予以展开，求得目标与决策方案的计量关系。 （８）多目标群决策和多目标模糊决策。 （９）字典序数法和多属性效用理论法等。
多目标优化的求解方法
多目标优化的求解方法 多目标优化(MOP)就是数学规划的一个重要分支,就是多于一个的数值目标函数在给定区域上的最优化问题。 多目标优化问题的数学形式可以描述为如下: 多目标优化方法本质就是将多目标优化中的各分目标函数,经处理或数学变换,转变成一个单目标函数,然后采用单目标优化技术求解。目前主要有以下方法: （1）评价函数法。常用的方法有:线性加权与法、极大极小法、理想点法。评价函数法的实质就是通过构造评价函数式把多目标转化为单目标。 (2)交互规划法。不直接使用评价函数的表达式,而就是使决策者参与到求解过程,控制优化的进行过程,使分析与决策交替进行,这种方法称为交互规划法。常用的方法有:逐步宽容法、权衡比替代法,逐次线性加权与法等。 (3)分层求解法。按目标函数的重要程度进行排序,然后按这个排序依次进行单目标的优化求解,以最终得到的解作为多目标优化的最优解。 而这些主要就是通过算法来实现的, 一直以来很多专家学者采用不同算法解决多目标优化问题, 如多目标进化算法、多目标粒子群算法与蚁群算法、模拟退火算法及人工免疫系统等。 在工程应用、生产管理以及国防建设等实际问题中很多优化问题都就是多目标优化问题, 它的应用很广泛。 1)物资调运车辆路径问题 某部门要将几个仓库里的物资调拨到其她若干个销售点去, 在制定调拨计划时一般就要考虑两个目标, 即在运输过程中所要走的公里数最少与总的运输费用最低, 这就是含有两个目标的优化问题。利用首次适配递减算法与标准蚁群算法对救灾物资运输问题求解, 求得完成运输任务的最少时间, 将所得结果进行了比较。 2)设计 如工厂在设计某种新产品的生产工艺过程时, 通常都要求产量高、质量好、成本低、消耗少及利润高等, 这就就是一个含有五个目标的最优化问题; 国防部门在设计导弹时, 要考虑导弹的射程要远、精度要最高、重量要最轻以及消耗燃料要最省等,这就就是一个含有四个目标的最优化问题。Jo等人将遗传算法与有限元模拟软件结合
多目标决策方法20页word文档
多目标决策方法 一．多目标决策方法简介 1．多目标决策问题及特点 （１） 案例 个人：购物；买房；择业．．．．．． 集体或社会：商场，医院选址；水库高度选择．．．．．． （２） 要素 行动方案集合X;目标和属性；偏好结构和决策规则 （3） 多目标决策有如下几个特点： 决策问题追求的优化目标多于一个；目标之间的不可公度性：指标量纲的不一致性； 目标之间的矛盾性； 定性指标与定量指标相混合：有些指标是明确的,可以定量表示出来,如：价格、时间、产量、成本、投资等。有些指标是模糊的、定性的,如人才选拔时候选人素质考察时往往会以：思想品德、学历、能力、工作作风、市场应变能力等个性指标作为决策依据。 2． 多目标决策问题的描述 决策空间：}0)({≤=x g x X i 目标空间 })({X x x f F ∈= 两个例子： 离散型；连续型 3． 多目标决策问题的劣解与非劣解 非劣解的寻找连续型有时较难
4．多目标决策主要有以下几种方法： （１）化多为少法：化成只有二个或一个目标的问题； （２）直接求非劣解法：先求出一组非劣解，然后按事先确定好的评价标准从中找出一个满意的解。 （３）分层序列法：将所有目标按其重要性程度依次排序，先求出第一个最重要的目标的最优解，然后在保证前一目标最优解的前提下依次求下一目标的最优解，一直求到最后一个目标为止。（ （４）目标规划法：对于每一个目标都事先给定一个期望值，然后在满足系统一定约束条件下，找出与目标期望值最近的解。 （５）重排序法：把原来的不好比较的非劣解通过其他办法使其排出优劣次序来。 （６）多属性效用法：各个目标均用表示效用程度大小的效用函数表示，通过效用函数构成多目标的综合效用函数，以此来评价各个可行方案的优劣。 （７）层次分析法：把目标体系结构予以展开，求得目标与决策方案的计量关系。 （８）多目标群决策和多目标模糊决策。 （９）字典序数法和多属性效用理论法等。 二、几种常见方法简介及应用 1．加性加权法 （1）基本假设：1.属性描述用基数定量描述，且相互独立； 2.价值函数的形式是加性的。
多目标决策
单目标决策问题前三章已经进行了较为详细的探讨。从合理行为假设引出的效用函数，提供了对这 类问题进行合理分析的方法 和程序。 但在实际工作中所遇到的的决策分析问题， 却常常要考虑多个目标。 这些目标有的相互联系，有的相互制约，有的相互冲突，因而形成一种异常复杂的结构体系，使得决策 问题变得非常复杂。 总之，多目标决策问题正愈来愈多的受到人们的重视，尤其是在经济、管理、系统工程、控制论和 运筹学等领域中得到了更多 的研究和关注。 13.1基本概念 多目标决策和单目标决策的根本区别在于目标的数量。单目标决策，只要比较各待选方案的期望效 用值哪个最大即可，而多目 标问题就不如此简单了。 例13.1房屋设计 某单位计划建造一栋家属楼，在已经确定地址及总建筑面积的前提下，作出了三个设计方案，现要 求根据以下5个目标综合 选出最佳的设计方案： 低造价（每 平方米造价不低于 抗震性能 建造时间 结构合理 造型美观 这三个方案的具体评价表如下。 表13.1 三种房屋设计方案的目标值 具体目标 方案1 (A 1) 方案2 (A 2) 方案3 (A 3) 低造价（元/平方米） 500 700 600 抗震性能（里氏级） 6.5 5.5 6.5 建造时间（年） 2 1.5 1 结构合理（定性） 中 优 良 造型美观（定性） 良 优 中 由表中可见，可供选择的三个方案各有优缺点。某一个方案对其中一个目标来说是最优者，从另一 个目标角度来看就不见得是最优，可能是次优。比如从造价低这个具体目标出发，则方案 1较好；如从 合理美观的目标出发，方案 2就不错；但如果从牢固性看，显然方案 3最可靠等等。 1. 多目标决策问题的基本特点 例13.1就是一个多目标决策问题。类似的例子可以举出很多。多目标决策问题除了目标不至一个 这一明显的特点外，最显 着的有以下两点：目标间的不可公度性和目标间的矛盾性。 目标间的不可公度性 是指各个目标没有统一的度量标准，因而难以直接进行比较。例如房屋设计 问题中，造价的单位是元/平 方米，建造时间的单位是年，而结构、造型等则为定性指标。 500元，不高于 700元）； （抗震能力不低于里氏 5级不高于7级）； （越快越好）； （单元划分、生活设施及使用面积比例等） ； （评价越高越好） 1) 2) 3) 4) 5)
决策分析目录(1)
精心整理 决策理论和方法(章节目录) DecisionTheoryandTechnology 引言 第一章决策的基本概念 §1-1引论 一、决策与决策分析的定义 1.Decision 的本义:(牛津词典) 2.3.<4.< 5. 6.7.1.2.3.4.5.§1-2§1-3§1-4一、问题的复杂性： 二、微观经济学和决策论关于经济人的假定： 三、决策人和决策分析人的分工 §1-5分析方法和步骤 一、 决策树与抽奖 二、分析步骤 习题 进一步阅读的文献 第二章主观概率和先验分布
SubjectiveProbabilityandPriorDistribution §2-1基本概念 一、概率（probability） .频率L aplace在《概率的理论分析》(1812)中的定公理化定义 二、主观概率(subjectiveprobability,likelihood) 1.为什么引入主观概率 2.主观概率定义 三、概率的数学定义 四、主客观概率的比较 §2-2先验分布(Priordistribution)及其设定 1. 2. 3. 4. 5. §2-3 §2.4 二、 习题 §3—1 四、基数效用与序数效用(Cardinal&OrdinalUtility) §3.2效用函数的构造 一、离散型的概率分布 二、连续型后果集 §3.3风险与效用 一、效用函数包含的内容 1.对风险的态度 2.对后果的偏好强度 3.效用表示时间偏好 二、可测价值函数确定性后果偏好强度的量化
三、相对风险态度 四、风险酬金 五、钱的效用 §3.4损失、风险和贝叶斯风险 一、损失函数L 二、风险函数 三、贝叶斯风险 习题 进一步阅读的文献 第四章贝叶斯分析 §4.1 §4.1 一、 三、 六、 §4.2 四、E— §4.3 二、 §4.4 三、例 §4.5非正常先验与广义贝叶斯规则 一、非正常先验(ImproperPrior) 二、广义贝叶斯规则(GeneralBayeseanRule) §4.6一种具有部分先验信息的贝叶斯分析法 一、概述 二、分析步骤 三、几何意义 §4.7序贯决策 习题 进一步阅读的文献 第五章随机优势
多目标决策方法的大作业
多指标决策理论与方法作业 关于某单位基层组织办公场所搬迁方案的决策研究 姓名：张杨 学号：1671131 班级：控制工程16-04班
关于某单位基层组织办公场所搬迁方案的 决策研究 张杨 （东北大学信息科学与工程学院，辽宁沈阳 110000） 摘要：对于同一栋楼内不同部门的搬迁问题，我们不仅要考虑到搬迁的成本、搬迁后办公场所的利用率以及每个部门办公场所面积的公平性，更重要的是尽量将同一部门的办公场所集中。由于搬迁是一个多目标、多层次、多属性的复杂系统工程问题，通过层次分析法和模糊评价法对方案进行分析和优选。 关键词：搬迁；层次分析法；模糊评价法 1引言 同一栋楼内不同部门的搬迁是一项涉及成本、利用效率和工作便利性等多方面因素的复杂的系统工程，各个部门办公场所位置的选择，是同一栋楼内不同部门的搬迁问题重要环节。影响各个部门办公场所位置选择的因素有很多，例如，原办公部门的位置、同一部门办公场所的集中性、部门内办公人员的数量等等。如果从单一的因素对搬迁的方案进行评价，有失公平性和客观性。因此，采用层次分析法对影响搬迁的因素确定权重值，然后通过模糊分析法对搬迁方案进行综合评价。 2建立模型 通过对同一栋楼内不同部门搬迁问题的分析，将以下四个方面作为部门搬迁方案的优选体系，同一部门办公场所的集中性、部门搬迁所需要的成本、楼内办公面积的利用率及不同部门办公面积的公平性，如表1。 1）同一部门办公场所的集中性首先，在进行搬迁之前有些部门的办公场所是分散的，有些部门的办公场所相对来说比较集中，显然办公人员都是希望同一部门的人员都在一起办公，方便大家的工作。那么在进行搬迁的时候，原来办公场所相对分散的部门会要求尽量将其办公场所聚集在一起，原来办公场所相对比较集中的部门也不愿意其被分散在楼内的各个位置，因此我们在制定不同部门搬迁方案的时候，需要尽量将同一部门的办公场所聚集在一起，而且要尽量将同一部门的办公场所放在同一楼层。
多目标决策简介
第十一章多目标决策 (Multi-objective Decision-making)主要参考文献 68, 111 §11.1 序言 MA：评估与排序 MCDP MO：数学规划 一、问题的数学表达 N个决策变量x ?= {x 1 ,x 2 ,…, x N } n个目标函数f ?(x ? ) = (f 1 (x ? ),f 2 (x ? ),…, f n (x ? )) m个约束条件x ?即: g k (x ? ) 0 k=1,…,m x ? (1) 不失一般性，MODP可表示成： P1 Max {f 1(x ? ),f 2 (x ? ),…, f n (x ? )} s.t. x ? 这是向量优化问题，要在可行域X中找一x S ? ，使各目标值达到极大。 通常x S ?并不存在，只能找出一集非劣解x ? * (2) 若能找到价值函数v(f1(x?),f2(x?),…, f n(x?)) 则MODP 可表示成： P2 Max v (f 1(x ? ),f 2 (x ? ),…, f n (x ? )) s.t. x ? 这是纯量优化问题，困难在于v如何确定。二、最佳调和解(Best Compromise Solution) P3 DR (f 1(x ? ),f 2 (x ? ),…, f n (x ? )) s.t. x ? 即根据适当的Decision Rule在X中寻找BCS x c ?
常用的Decision Rule: max V maxEU min d p (f ? -?f ? ) 求BCS必须引入决策人的偏好 三、决策人偏好信息的获取方式 1.在优化之前，事先一次提供全部偏好信息 如：效用函数法，字典式法，满意决策，目的规则 2.在优化过程中：逐步索取偏好信息 如：STEM SEMOP Geoffrion, SWT 3.在优化之后：事后索取偏好，由决策人在非劣解集中选择i，算法复杂，决策人难理解， ii,计算量大， iii,决策人不易判断各种方式的利弊比较 黄庆来[111]的分类表: §11.2 目的规划法 适用场合： 决策人愿意并且能用 优先级P (Preemptive priority) 权W (Weight)
第17章 层次分析法详解
第17章 层次分析法 本章主要针对一些目标（因素）结构复杂且缺乏必要的数据的决策问题，介绍了一种比较有效的决策方法，即层次分析法。它可以将决策者的经验判断给予量化，从而将一些定性决策问题定量化。书中介绍了层次分析法的基本原理及具体的实现步骤，并结合实例利用MATLAB 软件给予实现。 17.1 引例 旅游方案的决策问题 人们在日常生活中常常会碰到许多事情需要做出决策：例如某人计划去旅游，可供选择的目的地有：（1）苏州；（2）北京；（3）桂林。在选择旅游目的地时，须考虑到景色、费用、居住条件、饮食条件、旅途费用等因素，在综合考虑了这些因素后，选择一种对此人最为合理的决策方案。 在上述决策问题中，可供选择的方案有三种，即：（1）苏州；（2）北京；（3）桂林。要选择一种最为合理的方案，须对这三种方案的优劣性进行综合评价，排队后，才能做出决策。 对这类复杂的决策问题，一般可按如下步骤进行处理： （1）先对问题所涉及的因素进行分类，然后构造一个各因素之间相互联结的层次结构模型。因素分类包括：（一）为目标类,即选择合适的旅游景点；（二）为准则类，这是衡量目标能否实现的标准，即景色、费用、居住条件、饮食条件、旅途费用等因素；（三）为措施类，是指实现目标的方案、方法、手段等，即指苏州、北京、桂林三个旅游目的地。 （2）按目标到措施自上而下地将各类因素之间的直接影响关系排列于不同层次，并构成一层次结构图，如图17-1所示。 （3）依据上面的层次结构图，由决策者的经验给出每一层的各因素的相对 图17-1 选择旅游地的层次结构 目标层A 准则层C 方案层P
重要性的权数，从而得到一些判断矩阵，然后将其不断修正，直至其通过一致性检验。 （4）进行组合权重计算，计算出措施层各方案的相对权数。从而确定出各方案的优劣次序，以便供决策者决策。 上面便是层次分析法的一般步骤，它可以较为有效地处理一些决策问题。 17.2 层次分析法的基本原理 人们在处理上述决策问题的时候，要考虑的因素有多有少，有大有小，但有一个共同的特点是它们通常都涉及到经济、社会、人文等方面的因素，在作比较、判断、评价、决策时，这些因素的重要性、影响力或优先程度往往难以量化。人的主观选择会起着相当主要的作用，这就给用一般的数学方法解决问题带来本质上的困难。 T ．L ．Saaty 等人在七十年代提出了一种能有效地处理这样一类问题的实用方法，称为层次分析法(Analytic Hierarchy Process ，简称AHP 法)，这是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法。它可以将决策者的经验判断给予量化，能将一些半定性、半定量问题转化为定量计算问题，从而可以使人们的思维过程层次化，逐层比较多种关联因素，为分析、决策、预测或控制事物的发展提供定量的依据，这对于处理一些目标（因素）结构复杂且缺乏必要的数据的决策问题尤为实用。下面结合一些实际问题对其基本原理给予介绍。 设有n 件物体n A A A ,...,,21；它们的重量分别为n w w w ,...,,21。若将它们两两地比较重量，其比值可构成n n ?矩阵A 。 ??? ? ?????? ??=n n n n n n w w w w w w w w w w w w w w w w w w A ... ......... ... 2 1 2221 212111 将重量向量 T n w w w W ),...,,(21= 右乘矩阵A ，可得
武大数学建模培训：多目标决策模型：层次分析法(AHP)、代数模型、离散
层次分析法建模 层次分析法（AHP－Analytic Hierachy process）---- 多目标决策方法 70 年代由美国运筹学家T·L·Satty提出的，是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法论。吸收利用行为科学的特点，是将决策者的经验判断给予量化，对目标（因素）结构复杂而且缺乏必要的数据情况下，採用此方法较为实用，是一种系统科学中，常用的一种系统分析方法，因而成为系统分析的数学工具之一。 传统的常用的研究自然科学和社会科学的方法有： 机理分析方法：利用经典的数学工具分析观察的因果关系； 统计分析方法：利用大量观测数据寻求统计规律，用随机数学方法描述（自然现象、社会现象）现象的规律。 基本内容：（1）多目标决策问题举例AHP建模方法 （2）AHP建模方法基本步骤 （3）AHP建模方法基本算法 （3）AHP建模方法理论算法应用的若干问题。 参考书： 1、姜启源，数学模型（第二版，第9章；第三版，第8章），高等教育出版社 2、程理民等，运筹学模型与方法教程，（第10章），清华大学出版社 3、《运筹学》编写组，运筹学（修订版），第11章，第7节，清华大学出版社 一、问题举例： A．大学毕业生就业选择问题 获得大学毕业学位的毕业生，“双向选择”时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如： ①能发挥自己的才干为国家作出较好贡献（即工作岗位适合发挥专长）； ②工作收入较好（待遇好）； ③生活环境好（大城市、气候等工作条件等）； ④单位名声好（声誉-Reputation）； ⑤工作环境好（人际关系和谐等） ⑥发展晋升（promote, promotion）机会多（如新单位或单位发展有后劲）等。 问题：现在有多个用人单位可供他选择，因此，他面临多种选择和决策，问题是他将如何作出决策和选择？——或者说他将用什么方法将可供选择的工作单位排序？ Ｂ.假期旅游地点选择工作选择 贡献收入发展声誉工作环境生活环境 可供选择的单位P1’P2 ‘----- P n
多目标决策问题
第十五章多標準決策問題本章內容： 15.1 目標規劃:建立模式及圖解法 15.2 目標規劃:解更複雜的問題 15.3 計分模式 15.4 層級分析法 15.5 用AHP建立優先權 15.6 用AHP建立整體優先順序
線性規劃的基本假設： 1.可加性(Additivity)：目標函數或限制式變數之衡量單位必須相同，如此才能相加減 2.比例性(Proportionality)：就限制式而言，每單位產出所需之資源投入數均為固定，一定倍數的投入可以得到相同倍數的產出 3.確定性(Determinitic)：目標函數係數及限制條件中之技術系數以及擁有資源數量等均為已知且確定的數字，而不含
任何機率分配 4.可分割性(Divisibility)：線性規劃模型解答不一定是整數，可以是任意實數 ▓15.1 目標規劃：建立模型及圖解法 例： 尼可投資顧問公司考慮某顧客有80,000元要投資，投資組合限於以下兩種股票： 美國石油$25 $3 0.50
休伯不動產 50 5 0.25 這個顧客第一目標是風險最高水準為700，第二目標是要年回收至少9,000元，試以目標規劃找出最接近滿足所有目標的投資組合。 根據優先順序的說明，本例題“目標”可表示如下：主要目標（優先等級1） 目標1：找一個投資組合，它的風險在700以下。 次要目標（優先等級2） 目標2：找一個投資組合，它所提供的年回收至少9,000元。 建立限制式及目標方程式 1.先決定決策變數 X1＝購買美國石油股的數目 X2＝購買休柏不動產股的數目
2.建立限制條件 25X 1＋50X 2≦80,000（可用資金） 3.建立目標方程式 （1）目標1之目標方程式(組合風險)： 風險指標可小於等於或大於目標值700，目標方程式如下： 0.5X 1＋0.25X 2－d 1+ ＋d 1- ＝700 d 1+ ＝組合風險指標超過目標值700的部份 d 1- ＝組合風險指標少於目標值700 的部份 （2）目標2之目標方程式(年回收)： 年收入指標可大於等於或小於目標值9000，目標方程式如下： 9000532221=+-+- +d d x x
(决策管理)决策分析内容
决策理论和方法(章节目录) Decision Theory and Technology 引言 第一章决策的基本概念 §1-1引论 一、决策与决策分析的定义 1. Decision的本义:(牛津词典) 2.苏联大百科全书 3.<现代科学技术辞典> 4. <美国大百科全书>的“Decision Theory”条： 5.美国现代经济词典 6.哈佛管理丛书： 7.决策的政治含义 二、发展简史 三、地位(与其他学科的关系) 1.是运筹学的一支 2. 控制论的延伸 3.管理科学的重要组成部分 4.系统工程中的重要部分 5.是社会科学与自然科学的交叉，典型的软科学 §1-2决策问题的基本特点与要素 一、特点 二、要素 §1-3决策问题的分类 一、按容易区分的因素划分 二、按涉及面的宽窄 三、个人事务决策与公务决策 §1-4 决策人与决策分析人 一、问题的复杂性： 二、微观经济学和决策论关于经济人的假定： 三、决策人和决策分析人的分工 §1-5 分析方法和步骤
一、决策树与抽奖 二、分析步骤 习题 进一步阅读的文献 第二章主观概率和先验分布 Subjective Probability and Prior Distribution §2-1 基本概念 一、概率（probability） . 频率Laplace在《概率的理论分析》(1812)中的定公理化定义 二、主观概率(subjective probability, likelihood) 1. 为什么引入主观概率 2.主观概率定义 三、概率的数学定义 四、主客观概率的比较 §2-2 先验分布(Prior distribution)及其设定 一、设定先验分布时的几点假设 二、离散型随机变量先验分布的设定 三、连续型RV的先验分布的设定 1.直方图法 2.相对似然率法 3.区间对分法 4.与给定形式的分布函数相匹配 5. 概率盘法(dart) §2-3 无信息先验分布 一、为什么要研究无信息先验 二、如何设定无信息先验分布 §2.4 利用过去的数据设定先验分布 一、有θ的统计数据 二、状态θ不能直接观察时 习题 进一步阅读的文献
《多目标决策理论及方法》读书报告
1.多目标决策方法概述 1.1 多目标决策理论发展 综合评价是多目标决策理论研究的重要内容，由于其在工程系统和社会、经济、管理等各个领域的普遍存在性，因而在社会经济的各个领域得到极为广泛的应用，如投资决策、项目评估、方案选优、工厂选址、、产业部门发展排序、经济效益综合评价等等。 多目标决策问题是对具有多个目标的有限方案进行排序与优选的问题。人们常常要对有限个方案集的备选方案进行综合评价，比如在水利水电工程建设的过程中，要进行施工导流，由于导流方案直接影响着施工导流工程的规模、主体工程施工安全、施工总工期及工程投资，因此，要考虑工程所在河段的地形、地质条件、河流水文特性等自然因素和主体工程枢纽布置特点、施工导流方式选择要求、施工工期限制条件、施工技术力量、施工设备及物资、资金等等众多工程因素，确定一个合理的导流方案。可见，多目标决策作为一个工具在解决工程技术经济管理、军事和系统工程等众多方面的问题也越来越显示出它的强大生命力。但是多目标决策作为一门学科，还是在近五十多年来才真正形成为一门完整独立的的科学体系。最早是在1896年，V.Pareto 提出的向量优化的概念涉及到了多目标概念，他从经济学的角度把本质上不可比较的多个目标化成单个目标进行优化求解，即现在使用的Pareto最优概念。直到1944年，多目标决策的理论和方法才逐步发展起来，J. v. Neumaee和0.Morgenstem 从对策论角度提出了彼此矛盾情况下的多目标决策问题，标志着近代意义上多目标决策的诞生。1951年，美国经济学家Koopmans从有限资源的合理分配与使用问题中提出了多目标决策问题，首次使用了有效向量的概念，这就是现代多目标决策非劣解概念。1961年Chames 和CooPer引入了目的规划法，其准则是使目标值和实际值两者之差的绝对值达到最小。1964年，Aumann对多目标决策问题提出了效用函数的概念。1968年，多目标学科自学者Johnson 系统地提出了多目标决策模型的研究报告以后开始迅速发展。到了二十世纪七十年代，1972年第一次多目标决策会议在美国South Carolina大学召开，会议出版的论文集成为多目标决策研究的经典文献；1976年，R. L. Keeny和H. Raifats对发展多属性效用理论做了很大贡献；与此同时，美国学者Satty提出了著名的层次分析(AHP)法，多目标决策技术的发
第十章 线性规划建模
第十章线性规划建模 §10.1 线性规划 引例（生产规划问题）：某厂利用a、b、c三种原料生产A、B、C三种产品，已知生产每种产品在消耗原料方面的各项技术条件和单位产品的利润，以及可利用的各种原料的量（具体数据如下表），试制订适当的生产规划使得该厂的总的利 ●以、、分别表示生产A、B、C三种产品的量，称之为决策变量。 ●目标函数：利润最大化、成本最小化，表现为决策变量的一个函数； ●约束条件：资源、工期等，表现为决策变量的一些等式或不等式。 1．线性规划问题：在满足由一些线性等式或不等式组成的约束条件下，求决策变量的一组具体取值，使得一个线性目标函数实现最优（大或小） 化。 ●决策变量、、；
●、、（，）均为常数； ●整数规划：决策变量限取整数值的最优化问题； ●非线性规划：目标函数或存在约束条件函数是决策变量的非线性函数的 最优化问题 2．线性规划方法建模：决策变量的提取，目标函数的合理构造，约束条件的理清。 例（纸张的切割问题）：设有60个单位长的标准玻璃纸，现需将其裁剪为三种小规格（28，20，15）的纸张，市场对三种小规格玻璃纸的需求量（30，60，80）卷，问题：用尽可能少的标准玻璃纸，通过适当的裁剪方式以满足市场的需求。 1．线性规划的标准型：称如下形式的线性规划问题为具有标准型的线性规划 ●称矩阵为以上具有标准型的线性规划问题的单纯形表，其中 ，， ●若记，则以上具有标准型的线性规划问题可记为 2．所有线性规划问题可以标准型化：
（1）; （2）且； （3）且； （4）等价于以取代，则， 等价于以取代，则； （5），即无取值限制,这等价于以取代，且附加条件 ； 称（2）、（3）中的分别为剩余、松弛变量. 5．线性规划的典型形 所有线性规划问题均可以典型形化： （1）； （2）且 6．线性规划的几何特征 设满足线性规划问题全部约束条件，则称之为此线性规划问题的一个可行解；称由所有可行解组成的集合为该线性规划问题的可行域，用表示；