初中数学图形的相似知识点总复习含答案

初中数学图形的相似知识点总复习含答案

一、选择题

1．如图，已知ABC ?和ABD ?都O e 是的内接三角形，AC 和BD 相交于点E ，则与ADE ?的相似的三角形是（ ）

A ．BCE ?

B ．AB

C ? C ．AB

D ? D ．AB

E ?

【答案】A

【解析】

【分析】 根据同弧和等弧所对的圆周角相等， 则AB 弧所对的圆周角BCE BDA ∠=∠，CEB ∠和DEA ∠是对顶角，所以ADE BCE ??∽．

【详解】

解：BCE BDA ∠=∠Q ，CEB DEA ∠=∠

ADE BCE ∴??∽，

故选：A ．

【点睛】

考查相似三角形的判定定理： 两角对应相等的两个三角形相似，关键就是牢记同弧所对的圆周角相等．

2．如图，已知////AB CD EF ，:3:5AD AF =，6BC =，CE 的长为（ ）

A ．2

B ．4

C ．3

D ．5

【答案】B

【解析】

【分析】 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．

【详解】

∵AD ：AF=3：5，

∴AD ：DF=3：2，

∵AB ∥CD ∥EF ， ∴AD BC DF CE =，即362CE

=， 解得，CE=4，

故选B ．

【点睛】 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．

3．如图，点E 是ABCD Y 的边AD 上一点，2DE AE =，连接BE ，交AC 边于点F ，下列结论中错误的是（ ）

A ．3BC AE =

B ．4A

C AF = C ．3BF EF =

D ．2BC D

E = 【答案】D

【解析】

【分析】 由平行四边形的性质和相似三角形的性质分别判断即可．

【详解】

解：∵在ABCD Y 中，//AD BC ，AD BC =，

∴AEF CBF V :V ,

∴AE AF EF CB CF BF

==, ∵2DE AE = ∴332BC DE AE =

=，选项A 正确，选项D 错误， ∴133

AF AE AE CF CB AE ===，即：3CF AF =， ∴4AC AF =，

∴选项B 正确，

∴133

EF AE AE BF CB AE ===，即：3BF EF =， ∴选项C 正确，

故选：D ．

【点睛】

此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，能熟练利用相似三角形

对应边成比例是解题关键．

4．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列结论正确的是（ ）

A ．AD DE D

B B

C = B ．BF EF BC AB = C ．AE EC FC DE =

D ．EF BF AB BC = 【答案】C

【解析】

【分析】 根据相似三角形的判定与性质逐项分析即可.由△ADE ∽△ABC ，可判断A 的正误；由△CEF ∽△CAB ，可判定B 错误；由△ADE ～△EFC ，可判定C 正确；由△CEF ∽△CAB ，可判定D 错误.

【详解】

解：如图所示：

∵DE ∥BC ，

∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，

∴△ADE ∽△ABC ，

∴

DE AD AD BC AB DB

=≠， ∴答案A 错舍去；

∵EF ∥AB ，

∴△CEF ∽△CAB ， CF EF BC A B B BF C

=≠ ∴答案B 舍去

∵∠ADE ＝∠B ，∠CFE ＝∠B ，

∴∠ADE ＝∠CFE ，

又∵∠AED ＝∠C ，

∴△ADE ～△EFC ，

∴

AE DE EC FC

=，C 正确； 又∵EF ∥AB ，

∴∠CEF ＝∠A ，∠CFE ＝∠B ，

∴△CEF ∽△CAB ， ∴EF CE

FC BF AB AC BC BC

==≠， ∴答案D 错舍去；

故选C ．

【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似是解题的关键．

5．如图，将ABC ?沿BC 边上的中线AD 平移到A B C '''?的位置．已知ABC ?的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若1AA '=，则A D '等于（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．32

【答案】B

【解析】 【分析】 由 S △ABC ＝16、S △A ′EF ＝9且 AD 为 BC 边的中线知 1922

A DE A EF S S '?'?=

=，182ABD ABC S S ??== ，根据△DA ′E ∽△DAB 知2A DE ABD

S A D AD S ??'??=' ??? ，据此求解可得． 【详解】

16ABC S ?=Q 、9A EF S ?'=，且AD 为BC 边的中线，

1922A DE A EF S S ??''∴=

=，182

ABD ABC S S ??==， Q 将ABC ?沿BC 边上的中线AD 平移得到A B C '''?，

//A E AB ∴'， DA E DAB '∴?~?，

则2A DE ABD S A D AD S ??'??=' ???，即22991816A D A D ??== '?+??

'， 解得3A D '=或37

A D '=-（舍），

【点睛】

本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的

性质、相似三角形的判定与性质等知识点．

6．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE和CD相交于点F，且S△EFC＝3S△EFD，则S△ADE：S△ABC的值为（）

A．1：3 B．1：8 C．1：9 D．1：4

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，易证△DEF∽△CBF，同理可证△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积比是对应边比例的平方即可解答．

【详解】

∵S△EFC＝3S△DEF，

∴DF：FC＝1：3 （两个三角形等高，面积之比就是底边之比），

∵DE∥BC，

∴△DEF∽△CBF，

∴DE：BC＝DF：FC＝1：3

同理△ADE∽△ABC，

∴S△ADE：S△ABC＝1：9，

故选：C．

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比是对应边比例的平方．

7．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，

使点C落在C′的位置，C′D交AB于点Q，则BQ

AQ

的值为（）

A2B3C．

2

2

D

3

【答案】A 【解析】

根据折叠得到对应线段相等，对应角相等，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，可得出AD＝DC＝BD，AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，进而求出∠C、∠B的度

数，求出其他角的度数，可得AQ＝AC，将BQ

AQ

转化为

BQ

AC

，再由相似三角形和等腰直角

三角形的边角关系得出答案．

【详解】

解：如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E，∵∠ADC＝45°，

∴△ADE是等腰直角三角形，即AE＝DE＝

2

2

AD，

在Rt△ABC中，

∵∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，

∴AD＝CD＝BD，

由折叠得：AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，

∴∠CDC′＝45°+45°＝90°，

∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°＝∠C′AD，

∴∠B＝90°﹣∠C＝∠CAE＝22.5°，∠BQD＝90°﹣∠B＝∠C′QA＝67.5°，∴AC′＝AQ＝AC，

由△AEC∽△BDQ得：BQ

AC

＝

BD

AE

，

∴BQ

AQ

＝

BQ

AC

＝

AD

AE

＝

2AE

AE

＝2．

故选：A．

【点睛】

考查直角三角形的性质，折叠轴对称的性质，以及等腰三角形与相似三角形的性质和判定等知识，合理的转化是解决问题的关键．

8．如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，则△CEF面积的最小值是（）

A ．16

B ．15

C ．12

D ．11

【答案】B

【解析】

【分析】 过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，则△FEH ∽△EBA ，设AE=x ，可得出△CEF 面积与x 的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．

【详解】

解：过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，

∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，

∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA ，

∴△FEH ∽△EBA ，

∴ ,HF HE EF AE AB BE

== G Q 为BE 的中点，

1,2

FE GE BE ∴== ∴ 1,2

HF HE EF AE AB BE === 设AE=x ， ∵AB 8,4,AD ==

∴HF 1,4,2

x EH =

= ,DH AE x ∴== CEF DHFC CED EHF S S S S ???∴=+-

11111(8)8(4)422222x x x x =

++?--?? 2141644

x x x x =+--- 2116,4

x x =-+ ∴当12124

x -=-=? 时，△CEF 面积的最小值1421615.4=?-+=

故选：B．

【点睛】

本题通过构造K形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF面积与AE长度的函数关系式是解题的关键．

9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（）

A．3

2

B．

9

2

C

33

D．3

【答案】A

【解析】

【分析】

【详解】

解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∴△ACD∽△ABC，

∴AC：AB=AD：AC，

∵AC=3，AB=6，∴AD=3

2

．故选A．

考点：相似三角形的判定与性质．

10．如图，点A，B是双曲线

18

y

x

图象上的两点，连接AB，线段AB经过点O，点

C为双曲线

k

y

x

=在第二象限的分支上一点，当ABC

V满足AC

BC

=且:13:24

AC AB=时，k的值为（）．

A．

25

16

-B．

25

8

-C．

25

4

-D．25

-

【答案】B

【解析】

【分析】

如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．连接OC．首先证明△CFO∽△OEA，推出

2

()

COF

AOE

S OC

S OA

?

?

=，因为CA：AB＝13：24，AO＝OB，推出CA：OA＝13：12，推出CO：OA＝5：12，可得出2

()

COF

AOE

S OC

S OA

?

?

=＝

25

144

，因为S△AOE＝9，可得S△COF＝

25

16

，再根据反比例函数的几何意义即可解决问题．

【详解】

解：如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．连接OC．

∵A、B关于原点对称，

∴OA＝OB，

∵AC＝BC，OA＝OB，

∴OC⊥AB，

∴∠CFO＝∠COA＝∠AEO＝90°，

∴∠COF＋∠AOE＝90°，∠AOE＋∠EAO＝90°，

∴∠COF＝∠OAE，

∴△CFO∽△OEA，

∴2

()

COF

AOE

S OC

S OA

?

?

=，

∵CA：AB＝13：24，AO＝OB，

∴CA ：OA ＝13：12，

∴CO ：OA ＝5：12， ∴2()COF AOE S

OC S OA ??=＝25144

， ∵S △AOE ＝9，

∴S △COF ＝

2516， ∴||25216

k =， ∵k ＜0，

∴258

k =- 故选：B ．

【点睛】

本题主要考查反比例函数图象上的点的特征、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

11．如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确的是（ ）

A ．∠ABD=∠C

B ．∠ADB=∠AB

C C ．AB CB B

D CD = D ．AD AB AB AC

= 【答案】C

【解析】

【分析】 由∠A 是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A 与B 正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D 正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．

【详解】

∵∠A 是公共角，

∴当∠ABD=∠C 或∠ADB=∠ABC 时，△ADB ∽△ABC （有两角对应相等的三角形相似），故A 与B 正确，不符合题意要求；

当AB ：AD=AC ：AB 时，△ADB ∽△ABC （两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D 正确，不符合题意要求；

AB：BD=CB：AC时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误，符合题意要求，

故选C．

12．如图，将图形用放大镜放大，应该属于( )．

A．平移变换B．相似变换C．旋转变换D．对称变换

【答案】B

【解析】

【分析】

根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．

【详解】

解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．

故选：B．

【点睛】

本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．

13．要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已知甲三角形框架三边的长分别为50 cm、60 cm、80 cm，乙三角形框架的一边长为20 cm，则符合条件的乙三角形框架共有（）.

A．1种B．2种C．3种D．4种

【答案】C

【解析】

试题分析：根据相似图形的定义，可由三角形相似，那么它们边长的比相同，均为5：6：8，乙那个20cm的边可以当最短边，最长边和中间大小的边．

故选：C．

点睛：本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．

14．如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥AC于点F，则下列结论中错误的是（）

A．AF＝1

2 CF

B．∠DCF＝∠DFC

C．图中与△AEF相似的三角形共有5个

D．tan∠CAD＝

3 2

【答案】D 【解析】【分析】

由AE=1

2

AD=

1

2

BC，又AD∥BC，所以

1

2

AE AF

BC FC

==，故A正确，不符合题意；

过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=1

2

BC，得到

CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B正确，不符合题意；

根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意；

由△BAE∽△ADC，得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求tan∠CAD的值，故D错误，符合题意．

【详解】

解：A、∵AD∥BC，

∴△AEF∽△CBF，

∴AE

BC

＝

AF

FC

，

∵AE＝1

2

AD＝

1

2

BC，

∴AF

FC

＝

1

2

，故A正确，不符合题意；

B、过D作DM∥BE交AC于N，∵DE∥BM，BE∥DM，

∴四边形BMDE是平行四边形，

∴BM＝DE＝1

2 BC，

∴BM＝CM，

∴CN＝NF，

∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，

∴DN⊥CF，

∴DF＝DC，

∴∠DCF＝∠DFC，故B正确，不符合题意；

C、图中与△AEF相似的三角形有△ACD，△BAF，△CBF，△CAB，△ABE共有5个，故C正确，不符合题意．

D、设AD＝a，AB＝b由△BAE∽△ADC，有b

a

＝

2

a

．

∵tan∠CAD＝CD

AD

＝

b

a

＝

2

2

，故D错误，符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．

15．（2016山西省）宽与长的比是51

-

（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴

藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（）

A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH

【答案】D

【解析】

【分析】

先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．

【详解】

解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1

在直角三角形DCF中，22

125

DF+=

5FG ∴=

51CG ∴=-

512

CG CD -∴= ∴矩形DCGH 为黄金矩形

故选：D ．

【点睛】

本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是51-的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH 也为黄金矩形．

16．如图，正方形ABDC 中，AB ＝6，E 在CD 上，DE ＝2，将△ADE 沿AE 折叠至△AFE ，延长EF 交BC 于G ，连AG 、CF ，下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝CG ；③AG ∥CF ；④S ?FCG ＝3，其中正确的有（ ）．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】C

【解析】

【分析】 利用折叠性质和HL 定理证明Rt △ABG ≌Rt △AFG ，从而判断①；设BG=FG=x ，则CG=6-x ，GE=x+2，根据勾股定理列方程求解，从而判断②；由②求得△FGC 为等腰三角形，由此推

出1802FGC FCG -∠∠=o ，由①可得1802

FGC AGB -∠∠=o ,从而判断③；过点F 作FM ⊥CE ，用平行线分线段成比例定理求得FM 的长，然后求得△ECF 和△EGC 的面积，从而求出△FCG 的面积，判断④．

【详解】

解：在正方形ABCD 中，由折叠性质可知DE=EF=2，AF=AD=AB=BC=CD=6，∠B=∠D=∠AFG=∠BCD=90°

又∵AG=AG

∴Rt △ABG ≌Rt △AFG ，故①正确；

由Rt △ABG ≌Rt △AFG

∴设BG=FG=x ，则CG=6-x ，GE=GF+EF=x+2，CE=CD-DE=4

∴在Rt △EGC 中，222

(6)4(2)x x -+=+

解得：x=3

∴BG ＝3，CG=6-3=3

∴BG ＝CG ，故②正确；

又BG ＝CG ， ∴1802FGC FCG -∠∠=o 又∵Rt △ABG ≌Rt △AFG

∴1802FGC AGB -∠∠=o ∴∠FCG=∠AGB

∴AG ∥CF ，故③正确； 过点F 作FM ⊥CE ，

∴FM ∥CG

∴△EFM ∽△EGC

∴FM EF GC EG =即235

FM = 解得65FM =

∴S ?FCG ＝116344 3.6225ECG ECF S S -=

??-??=V V ，故④错误 正确的共3个

故选：C ．

【点睛】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．

17．如图，Rt ABO ?中，90AOB ∠=?，3AO BO =，点B 在反比例函数2y x =

的图象上，OA 交反比例函数()0k y k x

=≠的图象于点C ，且2OC CA =，则k 的值为（ ）

A ．2-

B ．4-

C ．6-

D ．8-

【答案】D

【解析】

【分析】 过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴，利用AA 定理和平行证得△COE ∽△OBF ∽△AOD ，然后根据相似三角形的性质求得21()9BOF OAD S OB S OA ==V V ，24()9COE AOD S OC S OA ==V V ，根据反比例函数比例系数的几何意义求得212

BOF S ==V ，从而求得4COE S =V ，从而求得k 的值．

【详解】

解：过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴

∴CE ∥AD ，∠CEO=∠BFO=90°

∵90AOB ∠=?

∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90°

∴∠ECO=∠FOB

∴△COE ∽△OBF ∽△AOD

又∵3AO BO =，2OC CA = ∴13OB OA =，23

OC OA = ∴21()9BOF OAD S OB S OA ==V V ，24()9

COE AOD S OC S OA ==V V ∴4COE BOF

S S =V V ∵点B 在反比例函数2y x =

的图象上 ∴212

BOF S ==V ∴4COE S =V

∴42

k ，解得k=±8 又∵反比例函数位于第二象限，

∴k=-8

故选：D ．

【点睛】

本题考查反比例函数的性质和相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线证明三角形相似，利用数形结合思想解题是关键．

18．下列图形中，一定相似的是（ ）

A ．两个正方形

B ．两个菱形

C ．两个直角三角形

D ．两个等腰三角形

【答案】A

【解析】

【分析】

根据相似形的对应边成比例，对应角相等，结合正方形，菱形，直角三角形，等腰三角形的性质与特点对各选项分析判断后利用排除法．

【详解】

A 、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项正确；

B 、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；

C 、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；

D 、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误．

故选A ．

【点睛】

本题主要考查了相似图形的定义，比较简单，要从边与角两方面考虑．

19．如图，已知△ABC ，D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件中，不能确定△ADE ∽△ACB 的是（ ）

A．∠AED＝∠B B．∠BDE+∠C＝180°

C．AD?BC＝AC?DE D．AD?AB＝AE?AC

【答案】C

【解析】

【分析】

A、根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；

B：根据题意可得到∠ADE=∠C，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；

C、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；

D、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可．

【详解】

解：A、由∠AED=∠B，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；

B、由∠BDE+∠C=180°，∠ADE+∠BDE=180°，得∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；

C、由AD?BC=AC?DE，得不能判断△ADE∽△ACB,必须两组对应边的比相等且夹角

对应相等的两个三角形相似.

D、由AD?AB=AE?AC得，∠A=∠A，故能确定△ADE∽△ACB，

故选：C．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定：

两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似（注意，一定是夹角）；

有两组角对应相等的两个三角形相似．

20．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿折线AC －CB运动，到点B停止．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD的长y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图2所示．当点P运动5秒时，PD的长是（）

A．1.5cm B．1.2cm C．1.8cm D．2cm

【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】

由图2知，点P 在AC 、CB 上的运动时间时间分别是3秒和4秒，

∵点P 的运动速度是每秒1cm ，

∴AC=3，BC=4．

∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，

∴根据勾股定理得：AB=5．

如图，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则易得△ABC ∽△ACH ． ∴CH AC BC AB =，即AC BC 3412CH CH AB 55

??=?==． ∴如图，点E （3，

125

），F （7，0）． 设直线EF 的解析式为y kx b =+，则 123k b {507k b

=+=+， 解得：3k 5{21b 5

=-=． ∴直线EF 的解析式为321y x 55

=-+． ∴当x 5=时，()3

216PD y 5 1.2cm 555==-?+

==． 故选B ．