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指数函数

指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨． 1．比较大小

例 1 已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，则()x f b 与()x

f c 的大小关系是_____．

分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x

x

b c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =．

∴函数()f x 在(]1-，

∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则3

21x

x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥；

若0x <，则321x

x

<<，∴(3)(2)x x

f f >． 综上可得(3)(2)x

x

f f ≥，即()()x

x

f c f b ≥．

评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2

321(25)

(25)x

x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________．

分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2

2

25(1)441a a a ++=++>≥，

∴函数2(25)x

y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得14x >

．∴x 的取值范围是14??

+ ???

，∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题

例3 求函数y =

解：由题意可得2

16

0x --≥，即261x -≤，

∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-，

∞．

令2

6

x t -=，则y =

又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2

061x -<≤，即01t <≤．

∴011t -<≤，即01y <≤．

∴函数的值域是[)01，

． 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响． 4．最值问题 例4 函数221(01)x

x y a

a a a =+->≠且在区间[11]-，上有最大值14，则a 的值是_______．

分析：令x

t a =可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围． 解：令x

t a =，则0t >，函数221x

x y a

a =+-可化为2(1)2y t =+-，其对称轴为1t =-．

∴当1a >时，∵[]11x ∈-，，

∴

1x a a a ≤≤，即1

t a a

≤≤． ∴当t a =时，2

max (1)214y a =+-=． 解得3a =或5a =-（舍去）；

当01a <<时，∵[]11x ∈-，，

∴1x a a a ≤≤

，即1

a t a

≤≤， ∴ 1t a =时，2

max 11214y a ??

=+-= ???

，

解得13a =

或15a =-（舍去），∴a 的值是3或13

． 评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等． 5．解指数方程 例5 解方程2

23

380x x +--=．

解：原方程可化为2

9(3)80390x x

?-?-=，令3(0)x

t t =>，上述方程可化为2

98090t t --=，解得9t =或

19

t =-（舍去）

，∴39x

=，∴2x =，经检验原方程的解是2x =．

评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 6．图象变换及应用问题

例6 为了得到函数935x

y =?+的图象，可以把函数3x

y =的图象（ ）． A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度 分析：注意先将函数935x y =?+转化为2

35x t +=+，再利用图象的平移规律进行判断．

解：∵2

9353

5x

x y +=?+=+，∴把函数3x y =的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可

得到函数935x

y =?+的图象，故选（C ）．

评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等． 习题

1、比较下列各组数的大小：

（1）若 ，比较 与 ； （2）若 ，比较 与 ； （3）若 ，比较

与 ；

（4）若 ，且 ，比较a 与b ； （5）若

，且

，比较a 与b ．

分析：设 均为正数，则 ，即比较两个正数的大小，可比较它们的商与1的大小．掌握指

数函数的图象规律，还要掌握底的变化对图象形状的影响．这主要有两方面：其一是对

；

对 ．用语言叙述即在y 轴右侧，底越大其图象越远离x 轴；在y 轴左侧，底越大，其图象越接近x 轴．这部分内容即本题（2），（3）所说的内容．其二是当底均大于1时，底越大，其图象越接近y 轴；当底均小于1时，底越小，其图象越接近y 轴．一个便于记忆的方法是：若以离1远者为底，则其图象接近y 轴．当然这是指底数均大于1或均小于1．这部分内容即本题（4）与（5）．

解：（1）由 ，故 ，此时函数 为减函数．由 ，故 ．

（2）由 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．

（3）由 ，因 ，故

．又 ，故 ．从而 ．

(

分析:首先可以根据指数函数单调性,确定

,在

轴右侧令

,对应的函

数值由小到大依次为 ,故应选 .

小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识. 求最值

3 求下列函数的定义域与值域.

(1)y ＝2

3

1-x ; (2)y ＝4x +2x+1

+1.

解：(1)∵x-3≠0，∴y ＝2

3

1-x 的定义域为｛x ｜x ∈R 且x ≠3｝.又∵3

1

-x ≠0，∴231

-x ≠1，

∴y ＝23

1-x 的值域为｛y ｜y>0且y ≠1｝.

(2)y ＝4x

+2x+1

+1的定义域为R.∵2x

>0,∴y ＝4x

+2x+1

+1＝(2x )2

+2·2x

+1＝(2x

+1)2

>1. ∴y ＝4x

+2x+1

+1的值域为｛y ｜y>1｝.

4 已知-1≤x ≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1

-9x

的最大值和最小值 解：设t=3x

,因为-1≤x ≤2，所以93

1

≤≤t ，且f(x)=g(t)=-(t-3)2

+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。 5、设

，求函数

的最大值和最小值．

分析：注意到 ，设 ，则原来的函数成为 ，利用闭区间

上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值． 解：设

，由

知，

，函数成为 ， ，对称轴 ，故函

数最小值为 ，因端点 较 距对称轴 远，故函数的最大值为

．

6（9分）已知函数

)1(122>-+=a a a y x x 在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值.

．解：

)1(122>-+=a a a y x x ， 换元为)1

(122a t a

t t y <<-+=，对称轴为1-=t .

当1>a ，a t =，即x =1时取最大值，略

解得 a =3 (a = －5舍去)

7．已知函数 （

且

） （1）求 的最小值； （2）若

，求

的

取值范

围．

．解：（1） ， 当

即 时， 有最小值为

（2） ，解得

当 时，

；

当

时，

．

8（10分）（1）已知

m x f x +-=

1

32

)(是奇函数，求常数m 的值；

（2）画出函数

|13|-=x y 的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3Ｘ－１｜＝k 无

解？有一解？有两解？

解： （1）常数m =1

（2）当k <0时，直线y =k 与函数

|13|-=x y 的图象无交点,即方程无解;

当k =0或k ≥1时, 直线y =k 与函数

|13|-=x

y 的图象有唯一的交点，所以方程有一解; 当0

|13|-=x y 的图象有两个不同交点，所以方程有两解。

9．若函数 是奇函数，求 的值． ．解：

为奇函数，

，

即 ，

则

，

10. 已知9x

-10.3x

+9≤0，求函数y=（

4

1

）x-1

-4·（

2

1

）x

+2的最大值和最小值

解：由已知得（3x

）2

-10·3x

+9≤0 得（3x

-9）（3x

-1）≤0

∴1≤3x

≤9 故0≤x ≤2

而y=(

41)x-1

-4·(21)x

+2= 4·（21）2x

-4·（21

）x

+2 令t=（21）x

（14

1

≤≤t ）

则y=f （t ）=4t 2

-4t+2=4（t-2

1

）2

+1

当t=2

1

即x=1时，y min

=1

当t=1即x=0时，y max =2

11．已知 ，求函数 的值域．

解：由 得 ，即 ，解之得 ，于是

，即 ，故所求函数的值域为

12. (9分)求函数

2

222

++-=x x y 的定义域，值域和单调区间

定义域为R 值域（0，8〕。（3）在（-∞， 1〕上是增函数 在〔1，+∞）上是减函数。 13 求函数y ＝2

3231+-??

?

??x x 的单调区间.

分析 这是复合函数求单调区间的问题

可设y ＝u

?

?

? ??31,u ＝x 2

-3x+2，其中y ＝u

?

?

?

??31为减函数

∴u ＝x 2-3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减→增) u ＝x 2

-3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减)

解：设y ＝u

?

?

?

??31,u ＝x 2

-3x+2,y 关于u 递减，

当x ∈(-∞，

2

3

)时，u 为减函数， ∴y 关于x 为增函数；当x ∈［2

3

，+∞)时，u 为增函数，y 关于x 为减函数.

14 已知函数f(x)＝1

1

+-x x a a (a>0且a ≠1).

(1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性. 解：(1)易得f(x)的定义域为｛x ｜x ∈R ｝.

设y ＝1

1+-x x a a ,解得a x

＝-11-+y y ①∵a x

>0当且仅当-11-+y y >0时，方程①有解.解-11-+y y >0得-1

∴f(x)的值域为｛y ｜-1＜y ＜1}.

(2)∵f(-x)＝11+---x x a a ＝

x

x

a a +-11＝-f(x)且定义域为R ，∴f(x)是奇函数.

(3)f(x)＝12)1(+-+x x a a ＝1-1

2

+x

a . 1°当a>1时，∵a x

+1为增函数，且a x

+1>0.

∴12+x a 为减函数，从而f(x)＝1-12

+x a ＝1

1+-x x a a 为增函数.2°当0

数.

15、已知函数f （x ）=a －

1

22

+x （a ∈R ），

（1） 求证：对任何a ∈R ，f （x ）为增函数． （2） 若f （x ）为奇函数时，求a 的值。 （1）证明：设x 1＜x 2

f （x 2

）－f （x 1

）=)

21)(21()

22(22112x x x x ++-＞0

故对任何a ∈R ，f （x ）为增函数． （2）

x R ∈，又f （x ）为奇函数

(0)0f ∴= 得到10a -=。即1a =

16、定义在R 上的奇函数)(x f 有最小正周期为2，且)1,0(∈x 时，1

42)(+=

x x x f

（1）求)(x f 在[－1，1]上的解析式；（2）判断)(x f 在（0，1）上的单调性； （3）当λ为何值时，方程)(x f =λ在]1,1[-∈x 上有实数解. 解（1）∵x ∈R 上的奇函数 ∴

0)0(=f

又∵2为最小正周期 ∴0)1()1()12()1(=-=-=-=f f f f

设x ∈（－1，0），则－x ∈（0，1），)(1

421

42

)(x f x f

x x x x

-=+=

+=---

∴1

42)(+-=x

x x f

（2）设0

)

14)(14()

22()22()()(21122212221++-+-=

-++x x x x x x x x x x f x f

=0)

14)(14()21)(22(212121>++--+x x x x x x ∴在（0，1）上为减函数。

（3）∵)(x f 在（0，1）上为减函数。

∴)0()()1(f x f f << 即)2

1,52()(∈x f 同理)(x f 在（－1，0）时，)5

2,21()(--∈x f 又0)1()0()1(===-f f f ∴当)2

1

,52()52,21(?--

∈λ或0=λ时 λ=)(x f 在[－1，1]内有实数解。

函数y ＝a

｜x ｜

(a>1)的图像是( )

分析 本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像，以及数形结合思想和分类讨论思想. 解法1：(分类讨论)：

去绝对值，可得y ＝???

??<≥).0()1(),0(x a

x a x

x

又a>1，由指数函数图像易知，应选B. 解法2：因为y ＝a

｜x ｜

是偶函数，又a>1，所以当x ≥0时，y ＝a x 是增函数；x ＜0时，y ＝a -x

是减函数.

?????

????∈+∈∈+-=(0,1)

x

1

42{-1,0,1}

x 0 (-1,0)

x 1

42)(x

x x x

x f

∴应选B.

学习指数函数定义的两个注意点

指数函数施我们学习的基本函数之一，对于指数函数的学习，概念非常重要，因此一定要弄懂指数函数的定义。 指数函数的定义： 函数

)10(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R 。

注意点1：为什么要规定01a a >≠且呢？ ①若0a

=，则当0x >时，0x a =；当当0x <时，x a 无意义.

②若0a <，则对于x 的某些数值，可使x

a 无意义. 如x

)2(-，这时对于14x =

，1

2

x =，…等等，在实数范围内函数值不存在.

③若1a =，则对于任何x R ∈，1x

a

=，是一个常量，没有研究的必要性.

为了避免上述各种情况，所以规定01a a >≠且。在规定以后，对于任何x R ∈，x

a 都有意义，且0x

a >. 因

此指数函数的定义域是R ，值域是(0,)+∞ 。

注意点2：函数x y

32?=是指数函数吗？

指数函数的解析式

x y a =中，x a 的系数是1.

有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如

x y a k =+ (01a a >≠且，k Z ∈)；有些函数看起来不像指数

函数，实际上却是，如x

y a -= (01a a >≠且)，因为它可以化为1x

y a ??

= ?

??

，其中

10a >，且1

1a

≠。 以上两点在学习中经常会碰到，希望大家在学习中能引起注意，真正理解指数函数的定义。