江苏省高考中不等式问题的解决方案(PDF版)
高考中不等式问题的解决方法
前言：近年来，不等式问题正越来越多的出现在调研题和高考试题中，而且大多出现在江苏高考的填空压轴题中，是高考考察的重点和难点。由于一元二次不等式和基本不等式是江苏高考的八个C 级考点中的两个，重要性不言而喻。本次讲座从一些不同的角度对高考和模考中的一些常见题型发表一些拙见，希望各位老师批评与指正。
一、一般常用几种方法介绍
（一）配凑技巧1.从系数上调节【例】已知3
2
0<
1)2323()2(332≤ ?=-+≤-=y x x x x y 所以函数)32(x x y -=的最大值为31，取=时，3 1 = x 【评注】本题是“积”的形式，要求函数的最大值，“和必为定值”，要想使“和”为定值，只需把函数当中的“x ”变为“x 3” ，但在配凑时要注意运用均值不等式的单个条件即：“一正、二定、三相等”。【例】 已知z y x ,,是实数满足12 22=++z y x ，求证：2 2 ≤ +yz xy 【证明】2 2)(22122122121122222222 ≤+?+=+≥+++ =yz xy yz xy z y y x z y y x 取“=”时z y x == 2 2 【例】设y x ,为实数，若142 2=++xy y x ，则y x +2的最大值是________ 【解析】122 3 )2(13)2(142 222=??- +??=-+?=++y x y x xy y x xy y x 则有[] 5 102251024)2(1)2(32222 ≤ +≤-?+≤-+=?y x y x y x y x 取=时77,7722= = ?=y x y x ，则最大值为5 10 2【评注】本题是求和的最大值，可以转化为和定积最大的思想，将和化为积的形式。 2.从“项”上调节 【例】求函数321 222 +++ +=x x x x y 的最小值 【解析】33 213222 -+++++=x x x x y 设, 2,322≥++=t x x t 则有,3)14(4331-++= -+=t t t t t y 由2 3432≥?≥t t 所以21314223-=-?+≥ t t y ，当且仅当2=t 且t t 1 4=是取“=”号由12322 -=?=++x x x ，故所求函数的最小值为2 1 - 【评注】本题以“和”的形式给出，要求其最小值必须“积”为定值，且满足“一正二定三相等”三个条件。极大此题是要注意配凑之后之后等号不能取，一般老师大多用“对勾函数”去解决，单此处本人给的是巧妙的凑系数。 3.从“次数”上调节 【例】求函数[] 2,2),2(2 -∈-=x x x y 的值域。 【解析】27 64 )3222()2)(2(2232222 2 2 2 = -+-+≤--=x x x x x x y 当且仅当36222 2± =?-=x x x 时取等号，有9 6 4964≤≤-y 所以原函数的值域为[] 9 64,964- 【评注】本题不能直接运用基本不等式，原因有（1）“正”不满足即x 的符号不确定；（2）本题是“积”的形式，要想运用基本不等式“和”必为定值，经过观察函数式的特点，两边平方再把灯饰两边乘以2即可。 【例】设y x ,为实数，若142 2=++xy y x ，则y x +2的最大值是________ 【解析】5 8 4314314444)2()2(2222222222 = ++≤+++=++++=+++=+xy xy xy xy y x xy xy y x xy y x xy y x y x y x 5 10 225102≤+≤- ∴y x 取=时77,7722= = ?=y x y x ，则最大值为5 10 2【评注】此题主要是平方凑成齐次式，之后利用基本不等式，此题是【例1】的一题多解的形式。 4.消元与变元 【例】设,0>>b a 求) (1 2 b a b a -+ 的最小值 【解析】思路1：消去b 4 4 24)2 (1)(12222222=?≥+=-++≥-+ a a a a b a b a b a b a 符合等号两次成立的条件为2 2,2= = b a 思路2：变元把2 a 中的a 换成b a b -+4) (1 )(4)(1))(2()(1)()(1222≥-+-≥-+-≥-+-+=-+ b a b b a b b a b b a b b a b b a b b a b a 符合等号两 次成立的条件为2 2 ,2= = b a 【评注】本题有两个变量，无法直接运用基本不等式，可考虑消掉一个变量。思路1和思路2在解题的过程中实际上都两次运用均值不等式，要注意等号的连续性，即每个思路中的两个等号必须同时成立。 5.从“结构特征”上调节【例】若),0(,+∞∈y x ，求22)21 ()21(x y y x +++ 的最小值【解析】4211)()41()41()21()21(222222=++≥+++++=+++ x y y x y y x x x y y x 当且仅当2 2 = =y x 取等号，所以所求代数式的最小值为4【评注】本题给定式子表面上不符合基本不等式的结构，但是把式子稍加变形就是我们熟悉的基本不等式的额模型了，所以在“结构特征”上我们要善于观察代数式的特点。 【例】已知非负实数c b a ,,满足ab c b a c -≥++2)(，求c b a 32++的最小值【解析】由2))((2)(≥++?-≥++c b c a ab c b a c 则有4 )(2)(2)(2)(32≥+?+≥+++=++c b c a c b c a c b a 取等号的条件是) (2)(c b c a +=+【例】已知b a ,为正实数，且2=+b a ，则1 22 2++ +b b a a 的最小值为__________【解析】 [],3 2 221))1(213(311)1()112(31111 2211)1(21222+≥+++ ++=+++++=+++=-+++++=+++a b b a b a b a b a b b a a b b a a 取""=时 423,2361)1(2-=-=?+=+b a b a a b ，故原式的最小值是3 2 22+（二）判别式法 【例】设1025=+y x ，求证：0332 2 >+-+xy y x 【证明】由x y y x 2 5 51025- =?=+，带代数式，则有不等式左边= 3)255(3)255(22+--- +x x x x ，整理后得原式=28404 592+-x x 0 5228459 4)40(2<-=??--=?所以，对于任意实数x ，不等式0332 2 >+-+xy y x 均成立 【评注】此题是道证明题，方法有多种，本处给出了判别式的方法，但是还有配方等方法。但是总体上利用判别式法减小了计算量，体现了判别式方法的优势。 【例】设y x ,为实数，若142 2=++xy y x ，则y x +2的最大值是________【解析】设1)2()2(4222 2 =-+-+?-=?=+x m x x m x x m y m y x 化简得到0 1362 2 =-+-m mx x 因为x 为实数，则有?≥--=?0)1(2492 2 m m 5 10 25102≤≤- ∴m 所以最大值为 5 10 2【评注】此题是【例2】的一题多解之判别式方法，在教学过程中不等式的常见解决方法一定要给学生讲到，当一种思路出现问题的时候可以有其他的方法在限定时间的高考考试中才能取得成功。 【例】设R y x ∈,，且122=+y x ，求证：2 1a ax y +≤-【解析】 设m ax y ax y m +=?-=，将m ax y +=代入12 2=+y x 中，有 )1(2)1(0122222222=-+++?=-+++m amx x a m amx x a x 因为R y x ∈,，且012 ≠+a ，则上面方程有根，由方程判别式得到 2 2222210)1)(1(4)2(04a m m a am ac b +≤?≥-+-?≥-=?所以2 1a m +≤，即2 1a ax y +≤-【例】已知实数e d c b a ,,,,满足16,82 2222=++++=++++e d c b a e d c b a ，求实数e 的取值范围【解析】 由已知两个等式消去a 得到16 )8(2 2 2 2 2 =++++----e d c b e d c b 整理成关于b 的一元二次方程得到：016)8()8(222 2 2 2 2 =-+++---+----e d c e d c b e d c b 因为b 为实数，则有： [] 16)8(8)8(4222221≥-+++-------=?e d c e d c e d c 整理成关于c 的一元二次不等式有：0)16(2)8()8(232 2 2 2 ≤-----+---e d e d c e d c ，因为c 是实数，则有： [] )16(2)8(12)8(422222≥--------=?e d e d e d 整理成关于d 的一元二次不等式有： )16(3)8()8(24222≤---+--e e d e d 因为d 是实数，则有： [] )16(3)8(4)8(2223≥-----=?e e e 整理得到01652 ≤-e e ，解得5 160≤ ≤e （三）换元法 【例】已知,12 2 ≤+y x 求证：2 2 2y xy x -+的取值范围 【解析】设),20,10(,sin cos πθθθ ≤≤≤≤? ? ?==r r y r x 于是有[] 2 ,2)4 2sin(2)2sin 2(cos sin cos 2cos 2222222222-∈+=+=-+=-+π θθθθθθr r r r r y xy x 则所求代数式的取值范围为[] 2 ,2-【例】设y x ,为实数，若142 2=++xy y x ，则y x +2的最大值是________【解析】 1)2 1 ()215( 142222=++?=++y x x xy y x 设 )sin(1591cos 153sin 2cos 151sin cos 15221sin 215cos ?αααααα++=+=+??????? ?-==????????+==y x y x y x x ? 5 10 225102≤+≤- ∴y x 取=时77,7722= = ?=y x y x ，则最大值为5 10 2【例】若不等式 y x k y x +≤+2对于任意的正实数y x ,成立，求实数k 的取值范围。 【解析】令12=+y x ，则可设)2,0(,sin cos 2 122πθθθ∈?? ? ?? ==y x 则不等式可变形为 )sin(26 sin cos 22sin cos 2122?θθθθθ+=+≥?≤+k k 所以k 的取值范围为),2 6 ( +∞ 【例】若10< b x a -+ 12 2的最小值【解析】由11010<- ,0(,sin 2 π θθ∈=x ，所以有 2 222 222222222222222)(2tan cot )tan 1()cot 1(cos sin 1b a ab b a b a b a b a b a x b x a +=++≥+++=+++=+=-+θθθθθθ【例】求使关于x 的不等式k x x ≥-+-63有解得实数k 的最大值 【解析】令63,63≤≤-+-=x x x y ，则2 32923≤-≤- x 可令[]πθθ,0,cos 2 3 29∈=- x ，则有：)4 2sin(6)2sin 2(cos 3)cos 1(23)cos 1(2363πθθθθθ+=+=-++= -+-x x 由[]6)63(43,442 ,0max =-+-??? ? ???∈+ ? ∈x x πππ θ πθ所以6 =k 【例】若R x ∈，求函数3 24 ) 1()(x x x f +=的最大值【解析】令),2 ,2(,tan π πθθ- ∈=x 则有θθθθθθ2222 43 24cos 2sin sin 21cos sin )tan 1(tan )()(??==+==g x f 27 4 )3cos 2sin sin (213222=++≤θθθ所以函数的最大值为 27 4 【例】 已知,0>>y x 求) (4 2 y x y x -+ 的最小值 【解析】令)0(>=k kx y ，则有8 ) 1(4 )1(4)(4222 ≥-≥-+=-+ k k k k x x y x y x 当且仅当1,2,2 1 === y x k 时等号成立 【例】若R z y x ∈,,，求2 2244842z yz y yz xz xy x +-+--的最小值【解析] 2 2 22)2() 4)(2(44842z y z x y x z yz y yz xz xy x ---=+-+--令b z x a y x =-=-4,2，则原式2 4 244 )(222-+= +-=-= a b b a b ab a ab b a ab 若b a ,同号，则原式大于0 若b a ,异号，则原式1 22 4-=-?-≥ a b b a 所以原式的最小值为1 -二、常见经典题目的分析 【例1】在ABC ?中，,2,3?? ? ? ??∈ππB 求证：b c a 2≤+【证明】由余弦定理得到ac b a c c a ac b ac b c a ≥?≥+≥+?≥-+2 2 2 2 2 2 2 22 2222422)(b ac ac b ac c a c a ≤++≤++=+所以b c a 2≤+ 【例2】 已知正实数b a ,满足 3211=+b a ，则1 4 11-+ -b a 的最小值为___________解法一：基本不等式 51 411411,34113211--+-=-+-=-+-?=+b b a a b a b b a a b a 令 y b b x a a =-=-1,1，有34=+y x ，则原式4 7 5))(41(43541≥-++=-+=y x y x y x 取""=时 9,5998,944==?==?=b a y x y x x y ，即原式的最小值为4 7 解法二：柯西不等式 由柯西不等式得：b b a a a 16811)41 (14,1681)451(1)45(112 22≥+-=+≥+-两式相加得：8 27 3216811681168116261411= ?=+≥+-+-b a b a 即4716268271411=-≥-+-b a ，当且仅当9,5 9==b a 等号成立解法三：判别式法 ) 9,5 9 (,47:0144)54()315)(2(4)21(0 315)21()2(,23,32152)(:3 215 2143321411,23,03233211min 222222 2===≥-+=+---=?=++---???? ??+∞∈-++-=-++-=-++-=-+-?? ? ??+∞∈>-=?=+b a y so y y y y y y x y x x x x x x x f let b b b b b b b b a b b b a b a 2 1 = y 时不满足题意应舍去。解法四：换元法接解法三 ? ? ? ??+∞∈-++-=,23,32152)(:22x x x x x x f let 47 1002525257625257652252227,215:,32215222= -≥=+-=++-=- >=--+-- =?t t t t t y t t x let x x x y 真题：（2015年镇江高三期末）已知正数y x ,满足 ,111=+y x 则1 914-+ -y y x x 的最小值为 _____________【例3】（2015年南京二模12题)已知βα,均为锐角，且sin cos()sin α αββ += ，则tan α的最大值是 。 解法一：由题βαβαβαsin sin sin sin cos cos = -，化简可得β ββ ββββα2 22sin 2cos sin cos sin 1sin cos tan +=+=（此步骤的目的为化其次）β β α2tan 21tan tan += ∴t t t t t 211212tan +=+= =β42221=≤，当且仅当t t 21 =即 2 2 = t 时取等号。解法二：接解法一0tan tan tan tan 2tan 21tan tan 22 =--?+= ∴αββαβ β α将此方程看成以βtan 为主元的一元二次方程则有4 2)(tan 0tan 81max 2 = ?≥-=?αα三、如何构造数学模型证明不等式 1.构造函数模型【例】 证明不等式 )0(,221≠<-x x x x 证明：设) 0(,221)(≠--=x x x x f x 则)(2 21221)(x f x x x x x f x x =--=+--=--，所以)(x f 为偶函数当0)(021120?>x f x x x 根据偶函数的性质可知当0 )0(,2 21≠<-x x x x 2.构造对偶式模型 【例】对于一切大于1的自然数n ，求证：2 1 2)1211)...(511)(311(+>-+++ n n 【解析】 设,1 225634)1211)...(511)(311(-??????=-+ ++=n n n a n n n n b n 21 26745)211()611)(411(+? ?????=+???++=则有： 4 12312)2126745)(1225634(2121222 +>+=+?????-?????=>?+>-n n n n n n b a a n n n n n n n 即2 1 2+> n a n ，故原命题得证。3.构造平面图形 【例】已知,1)(2 x x f +=当b a ≠时，求证b a b f a f -<-)()( 【解析】构造直角三角形如上图所示，不妨设b a >则有 b a b a b a -<-<+-+2211故此题得证。 4.构造向量模型 【例】已知, ,,+∈R c b a 求证：2 222c b a b a c a c b c b a ++≥ +++++ 5.构造几何模型 【例】已知,1=+b a 求证：2 9)1()1(2 2 ≥ +++b a 【证明】构造点到直线的距离，即)1,1(--到直线01=-+y x 的距离 6.构造数列模型【例】 设1,0->≠x x ，则) (,1)1(N n nx x n ∈+≥+【证明】构造数列{}0)1()1(1.,1 2 11<+-=-?++= +++n n n n n n x nx a a x nx a t s a 则有{}n a 为单调递减数列，所以有1) 1(11=≤++a x nx n 即nx x n +≥+1)1( 2002-2003学年度高三数学高考专题复习（四） 不等式问题 1 高考不等式问题专题复习 一、不等式基础题 1、不等式x 2+1＞2x 的解集是 ( ) A.{x|x ≠1,x ∈R} B.{x|x ＞1,x ∈R} C.{x|x ≠-1 ,x ∈R } D. {x|x ≠0,x ∈R} (00年成人) 2、不等式|x+3|＞5的解集为 ( ) A.{x|x ＞2|} B.｛x|x ＜-8或x ＞2｝ C.{x|x ＞0} D.{x|x ＞3} (01年成人) 3、二次不等式x 2 -3x+2<0的解集为 ( ) A.{x ︱x ≠0} B.{x ︱1 3.4.2利用重要不等式、基本不等式证明问题 授课类型：专题课 一、课前复习（温故知新） 1、重要不等式：若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ ,（当且仅当b a =时取“=”） 变形： 若R b a ∈,，则2 22b a ab +≤,（当且仅当b a =时取“=”） 2．基本不等式：若*,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 （当且仅当b a =时取“=”） 变形： (1)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (2)若*,R b a ∈，则2 2??? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 二、专题演练（探究引领） 1．(1)已知c b a ,,为两两不相等的实数，证：ca bc ab c b a ++>++2 22；(2)证：a 4＋b 4＋c 4＋d 4≥4abcd. 2.正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc 3．已知a ，b ，c 均为正数．（Ⅰ）求证：a 2+b 2+（ ）2≥4；（Ⅱ）若a+4b+9c=1，求证：≥100． 三、笔记作业（巩固延伸） 1．若a ，b ，c ∈R +，且a+b+c=12，求证： ++≥9． 2．已知a ，b ＞0，且a+b=1，求证：（Ⅰ） +≥8；（Ⅱ）++≥8． 3．若a ，b ，c ，x ，y ，z ∈R ，且x 2+y 2+z 2=a 2+b 2+c 2=1，求证：ax+by+cz ≤1． 4．设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明：（Ⅰ） （Ⅱ）． 5.【选做】已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ??????---≥ ??????????? 6．【选做】已知a ，b 均为正数，且a+b=1，证明： （1）（ax+by ）2≤ax 2+by 2 （2）（a+）2+（b+）2≥ ． 7．【选做】已知a ，b ，c 均为正实数，且ab+bc+ca=1． 求证：（Ⅰ）a+b+c ≥ ；（Ⅱ）++≥（++）． 专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科） 一、考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络 其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1．有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起 例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1 x 1b D.x <1b －或x >1a 解析：－b <1x 1 a 答案：D 点评：注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2 ( )2 c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。 例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x ＜0时， 专题五 函数、导数、不等式的综合问题 1.已知函数f (x )＝ln x ＋k e x (k 为常数，e ＝ 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间； (3)设g (x )＝xf ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，证明：对任意x ＞0，g (x )＜1＋e －2 . 解 (1)由f (x )＝ ln x ＋k e x ， 得f ′(x )＝1－k x －xln x xe x ，x ∈(0，＋∞)， 由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． 所以f ′(1)＝0，因此k ＝1. (2)由(1)得f ′(x )＝ 1 xe x (1－x －xln x )，x ∈(0，＋∞)， 令h(x )＝1－x －xln x ，x ∈(0，＋∞)， 当x ∈(0,1)时，h(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，h(x )＜0. 又e x ＞0，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0； x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0. 因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)因为g(x )＝xf ′(x )， 所以g(x )＝1 e x (1－x －xln x )，x ∈(0，＋∞)， 由(2)得，h(x )＝1－x －xln x ， 求导得h′(x )＝－ln x －2＝－(ln x －ln e －2 )． 所以当x ∈(0，e －2 )时，h′(x )＞0，函数h(x )单调递增； 当x ∈(e －2 ，＋∞)时，h′(x )＜0，函数h(x )单调递减． 所以当x ∈(0，＋∞)时，h(x )≤h(e －2 )＝1＋e －2 . 又当x ∈(0，＋∞)时，0＜1 e x ＜1， 所以当x ∈(0，＋∞)时，1e x h(x )＜1＋e －2，即g(x )＜1＋e －2 . 综上所述结论成立． 第10讲不等式 不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用．在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明．不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。 一、知识整合 1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化．在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰． 2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．证明不等式的方法多样，内容丰富、技巧性较强．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的．6．不等式应用问题体现了一定的综合性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件．利用 高考数学不等式中最值问题全梳理 模块一、题型梳理 题型一 基本不等式与函数相结合的最值问题 例题1 若方程ln x m =有两个不等的实根1x 和2x ，则22 12x x +的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ． ) +∞ C ． ()2,+∞ D ．()0,1 【分析】由方程可得两个实数根的关系，再利用不等式求解范围. 【解析】因为 ln x m =两个不等的实根是1x 和2x ，不妨令()()120,1,1,x x ∈∈+∞， 12,Inx m Inx m =-= 故可得()120In x x =，解得211x x = ，则22 12x x + =212112x x +>=，故选：C. 【小结】本题考查对数函数的性质，涉及均值不等式的使用，属基础题. 例题2 22 91 sin cos αα +的最小值为（ ） A ．2 B ．16 C ．8 D ．12 【分析】利用22sin cos 1αα+=将22 91sin cos αα +变为积为定值的形式后，根据基本不等式可求得最小值. 【解析】∵22sin cos 1αα+=，∵ ()22 2222 9191sin cos sin cos sin cos αααααα?? +=++ ??? 2222 sin 9cos 1010616cos sin αααα=+++=，当且仅当23sin 4α=，2 1cos 4α=时“=”成立，故2291 sin cos αα +的最小值为16. 【小结】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，解题关键是变形为积为定值，才能用基本不等式求最值，属于基础题. 例题3 已知函数y ＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋y n －4＝0(m >0，n >0)上，则 m ＋n 的最小值为________． 【解析】由题意可知函数y ＝log a x ＋1的图象恒过定点A (1,1)，∵点A 在直线x m ＋y n －4＝0上，∵1m ＋1 n ＝4，∵m >0，n >0，∵m ＋n ＝14(m ＋n )????1m ＋1n ＝14????2＋n m ＋m n ≥14? ?? ?? 2＋2 n m ·m n ＝1，当且仅当m ＝n ＝12时等号成立，∵m ＋n 的最小值为1. 题型二 基本不等式与线性规划相结合的最值问题 例题4 已知,x y 满足约束条件230 23400x y x y y -+≥?? -+≤??≥? ，若目标函数2z mx ny =+-的最大值为1（其中 0,0m n >>），则 11 2m n +的最小值为（ ） A ．3 B ．1 C ．2 D ． 32 【分析】画出可行域，根据目标函数z 最大值求,m n 关系式23m n +=，再利用不等式求得112m n +最小值. 【解析】画出可行域如下图所示，由于0,0m n >>，所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数，故目标函数在点()1,2A 处取得最大值，即221m n +-=，所以23m n +=. ()11111151519322323232322n m m n m n m n m n ?????+=?+?+=?++≥?+=?= ? ? ?????，当且仅当,1n m m n m n ===时等号成立，所以112m n +的最小值为32 .故选：D 专题三：高考文科数学不等式问题的题型与方法（文科） 一、考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络 其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只需了解，不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1．有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起 例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1 x 1b D.x <1b －或x >1a 解析：－b <1x 1 a 答案：D 点评：注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2 ( )2 c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。 例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜-1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x<0时， 高考不等式经典题型研学总结 研学背景：作为一名高中生高考是我们必经的阶段，也是人生的重要一步。我们有必要为此作准备。由于我们对数学的不 等式比较有兴趣，因此确定了这样的研究性学习专题。 研学目的：我们想通过这次的研学，接触更多的高考不等式题型，学习更多有关不等式的知识。提高我们的数学水平，分 析未来高考不等式的命题趋势，为将来的高考打好基 础。 研学小组成员：指导老师：杨志明 组员：马是哲刘思源俞泽坤吴逸飞李业铿1、高考与不等式 纵观近年来的高考试题，有关不等式的试题占的分值相当大，约占总分的12%，已经成为高考必考的热点内容，不仅考查不等式的基本知识，基本技能，而且注重考查学生的运算能力，逻辑思维能力，以及分析问题和解决问题的能力．选择题和填空题主要考查不等式的性质、比较大小和解简单不等式，有时还可能与函数、方程等内容相结合的小综合．解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为载体的综合题。单独考不等式的考题占分不多，但涉及不等式的知识、方法、技巧的问题往往占有较大的比例，其中不等式常常与下列知识相结合考查： ①不等式的性质的考查常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查相结合，一般 多以选择题的形式出现，有时也与充要条件、函数单调性等知识结合，且试题难度不大； ②解不等式的试题主要在解答中出现，常常是解含参不等式较多，且多与二次函数、指数、对数、可能还会出现导数相结合命题； ③证明不等式是理科考查的重点，经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何，甚至还可能与平面向量等结合起来考查． 2、 命题趋势及典型例题解释 （1）不等式的性质考查会与函数性质相结合起来，一般多以选择题出现，填空题 出现，也有可能与充要条件、逻辑知识结合起来． 例1：设命题甲：x 和y 满足2403 x y xy <+c .设 :P 函数x c y =在R 上单调递减. :Q 不等式1|2|>-+c x x 的解集为R . 如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围. ［思路］ 此题虽是一道在老教材之下的高考试题，但揭示了“解不等式”一类高考试题的命题方向.在新教材中，绝对值不等式的解法和二次不等式的解法与集合运算、命题判断都有一定联系，属于对于学生提出的基本要求内容的范畴，本题将这几部分知识内容有机地结合在一起，在考查学生基础知识、基本方法掌握的同时，考查了学生命题转换，分类讨论等能力，在不同的方法下有不同的运算量，较好地体现出了“多考一点想，少考一点算”的命题原则. ［破解］:函数x c y =在R 上单调递减10<-+c x x 的解集为R ? 高考中不等式问题的解决方法 前言：近年来，不等式问题正越来越多的出现在调研题和高考试题中，而且大多出现在江苏高考的填空压轴题中，是高考考察的重点和难点。由于一元二次不等式和基本不等式是江苏高考的八个C 级考点中的两个，重要性不言而喻。本次讲座从一些不同的角度对高考和模考中的一些常见题型发表一些拙见，希望各位老师批评与指正。 一、一般常用几种方法介绍 （一）配凑技巧1.从系数上调节【例】已知3 2 0< 【例】设y x ,为实数，若142 2=++xy y x ，则y x +2的最大值是________ 【解析】122 3 )2(13)2(142 222=??- +??=-+?=++y x y x xy y x xy y x 则有[] 5 102251024)2(1)2(32222 ≤ +≤-?+≤-+=?y x y x y x y x 取=时77,7722= = ?=y x y x ，则最大值为5 10 2【评注】本题是求和的最大值，可以转化为和定积最大的思想，将和化为积的形式。 2.从“项”上调节 【例】求函数321 222 +++ +=x x x x y 的最小值 【解析】33 213222 -+++++=x x x x y 设, 2,322≥++=t x x t 则有,3)14(4331-++= -+=t t t t t y 由2 3432≥?≥t t 所以21314223-=-?+≥ t t y ，当且仅当2=t 且t t 1 4=是取“=”号由12322 -=?=++x x x ，故所求函数的最小值为2 1 - 【评注】本题以“和”的形式给出，要求其最小值必须“积”为定值，且满足“一正二定三相等”三个条件。极大此题是要注意配凑之后之后等号不能取，一般老师大多用“对勾函数”去解决，单此处本人给的是巧妙的凑系数。 导数中的不等式问题的解题策略 导数的综合问题是高考数学的压轴题之一，其包含信息量大，计算繁琐，对学生的思维能力要求较高，令很多同学望而生畏，造成严重失分。而利用导数解决不等式问题更是压轴题中的压轴题，很多同学直接选择放弃，其实导数中的不等式问题并不像很多同学想象的那样，只是我们缺少对它的研究才觉得它高不可攀，下面我们通过具体的实例来分析导数中的不等式问题，解密其隐藏的规律轻松解决导数中的不等式问题。 1.承上启下型 在解决导数问题中的不等式时，经常会出现这样一类问题，其证明需要应用到前一问的结论。 由前一问的结论得到一个不等式，再根据其与要证明的不等式的关系进行证明，这类题 在证明的过程中也经常应用到一些常见的结论，如：ln(1),1x x x e x +≤≥+等。 例 1.已知(),P x y 为函数1ln y x =+图象上一点,O 为坐标原点,记直线OP 的斜率 ()k f x =. (I)若函数()f x 在区间1,3m m ? ?+ ??? ()0m >上存在极值,求实数m 的取值范围; (II)当 1x ≥时,不等式()1 t f x x ≥+恒成立,求实数t 的取值范围; (III)求证()()()2 2 * 1!1n n n e n N -+>+∈????g . 分析：本题考查了函数的极值、恒成立问题及不等式的证明。(I)由极值的定义其极值点，极值点在1,3m m ?? + ?? ? 内，从而确定m 的范围。(II)分离参数t ，利用导数求最值。(III)利用第(II)问的结论结合所要证明的不等式的特点进行适当的放缩求解。 解:(Ⅰ)由题意()1ln x k f x x +==,0x > 所以()2 1ln ln x x f x x x '+? ?'==- ??? 当01x <<时,()0f x '>;当1x >时,()0f x '<. 所以()f x 在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减. 故()f x 在1x =处取得极大值 因为函数()f x 在区间 1,3m m ? ?+ ? ??(其中0m >)上存在极值, 所以01 113m m <?? 得213m <<. 即实数m 的取值范围是213?? ??? ， 高考数学不等式题型及解题方法总结 在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中。诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究,高中物理，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。 知识整合 1。解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化。在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一。通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰。 “师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习 者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。 2。整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法。方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用。 这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。要求学生抽空抄录并且阅读成诵。其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?3。在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较 专题三 不等式及线性规划问题 1．若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式恒成立的是( )． A ．a 2＋b 2＞2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b ＞2ab D.b a ＋a b ≥2 答案：D [对于A ：当a ＝b ＝1时满足ab ＞0，但a 2＋b 2＝2ab ，所以A 错；对于B 、C ：当a ＝b ＝－1时满足ab ＞0，但a ＋b ＜0，1a ＋1b ＜0，而2ab ＞0，2 ab ＞0，显然B 、C 不对； 对于D ：当ab ＞0时，由基本不等式可得b a ＋a b ≥2 b a ·a b ＝2.] 2．若x ∈[0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是( )． A ．e x ≤1＋x ＋x 2 B. 11＋x ≤1－12x ＋1 4x 2 C ．cos x ≥1－1 2 x 2 D ．ln(1＋x )≥x －1 8 x 2 答案：C [正确命题要证明，错误命题只需举一个反例即可．如A ，因为e 3＞1＋3＋32，故A 不恒成立；同理，当x ＝13时，11＋x ＞1－12x ＋1 4 x 2，故B 不恒成立；因为????cos x ＋12x 2－1′＝－sin x ＋x ≥0(x ∈[0，＋∞))，且x ＝0时，y ＝cos x ＋12x 2－1＝0，所以y ＝cos x ＋1 2x 2－1≥0 恒成立，所以C 对；当x ＝4时，ln(1＋x )＜x －1 8 x 2，故D 不恒成立．] 3．设变量x ，y 满足约束条件? ? x ＋2y ≥2， 2x ＋y ≤4， 4x －y ≥－1， 则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )． A .????－3 2，6 B.????－3 2，－1 C ．[－1,6] D.? ???－6，32 答案：A [ 作出不等式组所表示的区域如图，由z ＝3x －y 得，y ＝3x －z ，平移直线y ＝3x ，由图象可知当直线经过点E (2，0)时，直线y ＝3x －z 的截距最小，此时z 最大为z ＝3×2－0＝6， 当直线经过C 点时，直线y ＝3x －z 的截距最大，此时z 最小，由????? 4x －y ＝－1， 2x ＋y ＝4， 解得 ? ???? x ＝12，y ＝3，此时z ＝3x －y ＝32－3＝－3 2 ，所以z ＝3x －y 的取值范围是????－32，6.] 4．若x ，y 满足约束条件? ? x ≥0， x ＋2y ≥3， 2x ＋y ≤3， 则x －y 的取值范围是________． 解析 有关不等式的一些方法与技巧 不等式问题中涉及的方法与技巧很多，这几年高考中对不等式的要求有所降低。但我们对一些较常见的方法与技巧也必须要有一定的了解。下面通过几个具体的例题，来说明一下，希望对学生解题能力的培养与方法的提升有所帮助。 一、配凑系数的技巧 例1设x 、ｙ、ｚ都是正数，则 2 222z y x yz xy +++的最大值为（ ）。 Ａ、１ Ｂ、２ Ｃ、 25 Ｄ、5 52 分析：在我们用均值不等式时，经常会用到配凑系数来求最值。显然如果我们直接处理 2 524222 222222z y x z y y x yz xy ++=+++≤+，显然与分母的比值不是常数。我们很希 望通过利用均值不等式将分子中2 y 的系数调整为1，如何实现这个目标呢？我们注意到xy 的系数为1，而yz 2的系数为2。联想到三角函数中的化一公式（或称辅助角公式），)sin(cos sin 22?++=+x B A x B x A ， （其中)tan ,0A B AB =≠?。我们不妨可以借鉴这里所使用的方法来处理，从而对y 的系数进行调整。提出52122=+来，这样 yz xy 2+)2(5)25425(5)5 25( 52222 22 2z y x z y x y z y x y ++=+++≤+=。这样y 2的系数调整成1，分子与分母的比值为常数2 5 。也实现了我们的最初目的。这里我们处理的手段就是配凑系数。 解法略。 二、常值代换的技巧. 例2、已知y x y x y x +=+>>则且 ,19 1,0,0的最小值为 。 分析:有些不等式问题中在求最值和范围时要利用常数“1”的代换技巧 解：19 1,0,0=+>>y x y x 且 Θ， 169210910))(91(=?+≥++=++=+∴y x x y y x x y y x y x y x , 当且仅当 号等时取即""12,49===y x y x x y .故最小值为16. 知识点 大纲版课标版 了 解 理 解 掌 握 了 解 理 解 掌 握 解一元二次不等式√√ 从实际情景中抽象出一些 简单的二元线性规划问题 √√ 基本不等式的证明过程√√ 说明：（1）绝对值不等式在选修4-5中出现，文理科均作要求。（2）大纲比较关注不等式的解法、证明和变形技巧。标准则强调不等式的几何意义、现实背景和实际应用，把不等式作为刻画现实世界不等关系的数学模型。（3）标准中解不等式仅限于一元二次不等式。简单分式不等式的求解，在标准及相应的考纲中没有提及，教材中略有所涉及。（4）标准中，不等式的证明要求比大纲大大降低。（5）不等式的性质，在标准及相应的考纲中没有提及，教材中略有所涉及。 11．不等式考纲原文： （1）不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景. （2）一元二次不等式 ①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. ②通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. ③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图. （3）二元一次不等式组与简单线性规划问题 ①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. ②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组. ③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决. （4）基本不等式： ①了解基本不等式的证明过程. ②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 考纲解读： 1.不等式的考查主要以中档题为主，以选填题为主； 2.不等式的性质常与简易逻辑结合考查； 3.不等式的解法主要以一元二次不等式为主，兼顾其它（如简单的分式不等式、绝 对值不等式、指对数不等式、与分段函数有关的不等式等），常与集合（选填题）、导数（解答题中对参数的分类讨论）结合； 4.线性规划问题难度不大； 5.基本不等式求最值是重点，要加强训练； 6.不等式的恒成立也应当重视。 题型示例： 高考-不等式专题的三大考点 不等式专题的几个常考点 考点一 用均值不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的均值不等式 ① ， 、)(2 22 22 2 R b a b a ab ab b a ∈+≤?≥+当且仅当a = b 时，“=”号 成立； ② ， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号 成立； ③ ， 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④ ) (333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链： b a 112 +2a b ab +≤≤≤2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+>、图象及性质 (1)函数 ()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： x a b ab 2-ab 2a b - o y (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质： ①值域：) ,2[]2,(+∞--∞ab ab Y ； ②单调递增区间：(,b a -∞- ，[ ,)b a +∞；单调递减区间： (0, ]b a ，[,0)b a - . 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1) 2(1) y x x x =+>-的最小值。 注意：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①2 3(32)(0)2 y x x x =-<< 注意：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ，求4()f x x x =+)10(≤ 本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考 6.7 不等式的综合问题 ●知识梳理 1.方程与不等式、函数与不等式、解析几何与不等式的综合问题. 2.解决上述问题的关键是找出综合题的各部分知识点及解法，充分利用数学思想和数学方法求解. ●点击双基 1.（2004年湖北，5）若 a 1＜b 1＜0，则下列不等式中，正确的不等式有 ①a +b ＜ab ②|a |＞|b | ③a ＜b ④a b + b a ＞2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析：∵a 1＜ b 1＜0，∴b ＜a ＜0. ∴?? ? ??>><+.||||00a b ab b a ，，故①正确，②③错误. ∵a 、b 同号且a ≠b ，∴ a b 、 b a 均为正. ∴a b +b a ＞2 b a a b ? =2. 故④正确.∴正确的不等式有2个. 答案：B 2.（2004年福建，11）（理）定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=f （x +2），当x ∈［3，5］时，f （x ）=2－|x －4|，则 A.f （sin 6 π）＜f （cos 6 π） B.f （sin1）＞f （cos1） C.f （cos 3 π2）＜f （sin 3 π2） D.f （cos2）＞f （sin2） 解析：由f （x ）=f （x +2），知T =2， 又∵x ∈［3，5］时，f （x ）=2－|x －4|，可知当3≤x ≤4时，f （x ）=－2+x . 当4＜x ≤5时，f （x ）=6－x . 其图象如下图.故在（－1，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数 . 又由|cos2|＜|sin2|， ∴f （cos2）＞f （sin2）. 答案：D （文）定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x ）=f （x +2），当x ∈［3，4］时，f （x ）= x －2，则 A.f （sin 2 1）＜f （cos 2 1） B.f （sin 3 π）＞f （cos 3 π） C.f （sin1）＜f （cos1） D.f （sin 2 3）＞f （cos 2 3） 解析：仿理科分析. 答案：C 3.设M =a +2 1-a （2＜a ＜3），N =log 2 1（x 2+ 16 1）（x ∈R ），那么M 、N 的大小关系是 A.M ＞N B.M =N C.M ＜N D.不能确定 解析：由2＜a ＜3，M =a + 21-a =（a －2）+ 2 1 -a +2＞2+2=4（注意a ≠1，a ≠3）， N =log 2 1（x 2 + 16 1）≤log 2 116 1 =4＜M . 答案：A 4.对于0≤m ≤4的m ，不等式x 2+mx ＞4x +m －3恒成立，则x 的取值范围是____________. 解析：转化为m （x －1）+x 2 －4x +3＞0在0≤m ≤4时恒成立. 令f （m ）=m （x －1）+x 2－4x +3. 则???>-<>->+-????>>.1131010 3404002 2 x x x x x x x f f 或，或）（，）（ ∴x ＜－1或x ＞3. 答案：x ＞3或x ＜－1 ●典例剖析 【例1】 已知f （x ）=log a 1 1-+x x （a ＞0，a ≠1）. （1）判断f （x ）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明； （2）当x ∈（r ，a －2）时，f （x ）的值域为（1，+∞），求a 与r 的值； （3）若f （x ）≥log a 2x ，求x 的取值范围. 剖析：单调性只要用定义证明，可先比较真数的大小再证.函数值域可利用函数的单调性确定端点后再比较，化为方程组求解.对数型不等式要化成同底后分a ＞1与0＜a ＜1求解，同时要注意定义域. 解：（1）任取1＜x 1＜x 2，则 f （x 2）－f （x 1）=log a 1 122-+x x －log a 1 111-+x x高考不等式问题专题复习
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