(整理)二次函数、二次不等式练习题-
二次函数、二次不等式练习题
姓名：___________ 班级：___________成绩：___________
一、单选题
1．已知R 为实数集，集合}02|{2≥-=x x x A ，}1|{B >=x x ，则(?R A )∩B =（ ）
A.)1,0(
B. ]1,0(
C. )2,1(
D. ]2,1(
2．不等式()12303x x ?
?+-≤ ???
的解集为（ ） A. 2{ 3x x ≥或13x ?≤-?? B. 1233x x ??-≤≤???
? C. 2{ 3x x >或13x ?<-??
D. 1233x x ??-<
范围是（ ）
4．A. (][),31,-∞-?+∞ B. (][),13,-∞?+∞ C. []1,3- D. []3,1-
4．不等式220ax bx ++>的解集是11,23??- ??
?，则a b +的值是（） A. 14- B. 10- C. 14 D. 10
5．已知关于x 的不等式01442
>++ax ax 的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A. ]1,0[ B. ）1,0[ C. ）（1,0 D. f
]1,0（ 6．已知关于x 的不等式2320ax x -+≤的解集为{|1}x x b ≤≤.则实数a b +的值为（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
7．已知关于x 的不等式24410ax ax ++>的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ）
A. []0,1
B. [)0,1
C. ()0,1
D. (]0,1
8．若函数762--=x x y ，则它在]4,2[-上的最大值、最小值分别是( )
A. 9，－15
B. 12，－15
C. 9，－16
D. 9，－12
9．函数142+--=x x y ,]2,3[-∈x 的值域（ ）
A. (-∞,5)
B. [5，+∞)
C. [-11，5]
D. [4，5]
10．函数()21122
y x =-++的顶点坐标是 （ ） A. (1，2) B. (1，－2) C. (－1，2) D. (－1，－2) 11．已知函数]5,[,4)(2m x x x x f ∈+-=的值域是]4,5[-，则实数m 的取值范围是
A. (?∞,?1)
B. (?1,2]
C. [?1,2]
D. [2,5]
12．若函数()225f x x ax =-+在区间[
)1,+∞上单调递增，则a 的取值范围是（） A. (],2-∞ B. [)2,+∞ C. [)4,+∞ D. (]
,4-∞
13．3)(2++-=a x y 的最大值为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
14.若方程()2250x m x m ++++=只有负根，则m 的取值范围是（ ） A. 4m ≥ B. 54m -<≤- C. 54m -≤≤- D. 52m -<<-
15．若()()2212f x x a x =--+在(]
,5-∞上是减函数，则a 的取值范围是（） A. 6a > B. 6a ≥ C. 6a < D. 6a ≤
16．函数)0(4)(2>+-=m mx x x f 在]0,(-∞上的最小值是( )
A. 4
B. －4
C. 与m 的取值有关
D. 不存在
二、填空题
17．不等式2320x x --<的解集为__________．
18．函数23)(2++=x x x f 在区间]5,5[-上的最大值为______ ．
19．已知关于x 的不等式20x a x b
-++>，(),a b R ∈的解集为{}|13,A x x x R =-<<∈．则a b +=__________．
20．若0)1(3)1()1(2<-+--+m x m x m 对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是_______．
21．若关于x 的不等式()()110mx x --<的解集为()(),21,-∞-?+∞，则实数m =__________.
22．关于x 不等式02>++b x ax 的解集为}2131|{<<-
x x ，则=+b a _________ 23．函数()223f x x x =-++，()2,0x ∈-的值域为__________．
24．已知函数()2
f x x mx a m =-+-对任意的实数m 恒有零点，则实数a 的取值范围是_______.
25．若函数22-+=x mx y 没有零点，则实数m 的取值范围是________.
26．函数()21f x x mx =+-在[]
1,3-上是单调函数，则实数m 的取值范围是____. 27．函数()225f x x x =-+在区间[]
0,1t +上的最大值为5，最小值为4，则t 的取值范围为__________．
28．当20≤≤x 时，x x a 22+-<恒成立，则实数a 的取值范围是________．
29．若函数962++-=x x y 在区间],[b a )3(<
三、解答题
30．（1）关于x 的方程2220x m x --=的两个实根中，一个比1大，一个比1-小，求m 的取值范围；
（2）关于x 的不等式210ax ax -+>对x R ∈恒成立，求a 的取值范围.
参考答案
1．C
【解析】∵A = x |x 2?2x ≥0 = x |x ≤0或x ≥2 ,
∴?R A = x |0 ∴ ?R A ∩B = x |0 【解析】不等式()12303x x ? ?+-≤ ???，1100{ { 33 230230 x x x x +≥+≤-≤-≥或解得1133{ { 2233x x x x ≥- ≤-≥≤或 2133 x x ?≥≤-或 。 故答案为A 。 3．D 【解析】关于x 的不等式()2 110x k x k ---+≥对任意实数x 都成立， 则()()21410k k =-+-≥ ，解得31k -≤≤，故选D. 4．A 【解析】不等式220ax bx ++>的解集是11,23??- ??? ，说明11,23-是方程220ax bx ++=的两根，将12-与13分别代入方程220ax bx ++=，得到：280{ 3180 a b a b -+=++= 解得12 { 2 a b =-=- 所以a+b=-14 5．B 【解析】a =0时，符合题意，a ≠0时，关于x 的不等式4ax 2+4a x +1>0的解集为R ，只需 a >0Δ=16a 2?16a <0 ?0 【解析】关于x 的不等式ax 2-3x+2＞0的解集为{x|x ＜1，或x ＞b}， ∴1，b 是一元二次方程ax 2-3x+2=0的两个实数根，且a ＞0； ∴a-3+2=0， 解得a=1； 由方程x 2-3x+2=0，解得b=2．所以3a b += 故选B ． 7．B 【解析】0a =时，符合题意，0a ≠时，关于x 的不等式24410ax ax ++>的解集为R ，只需20{ 0116160 a a a a >?< 【解析】函数的对称轴为x ＝3， 所以当x ＝3时，函数取得最小值为－16， 当x ＝－2时，函数取得最大值为9，故选C. 9．C 【解析】∵()2 24125y x x x =--+=-++，函数图象的对称轴为2x =-， ∴当32x -<<-时，函数单调递增；当22x -<<时，函数单调递减。 ∴当2x =-时，函数有最大值，且最大值为max 5y =。 又当3x =-时，4y =；当2x =时，11y =-。 ∴min 11y =-。 故函数的值域为[]11,5-。选C 。 点睛：求二次函数在闭区间上最值的类型及解法 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论。 10．C 【解析】∵()()211121222 y x x ??=-++=---+?? ∴顶点坐标是(－1，2) 点睛：二次函数()2 y a bx c 0x a =++≠，的定点坐标为24ac 24b b a a ??-- ???，. 11．C 【解析】∵f （x ）=?x 2+4x =?（x ?2）2 +4， ∴当x =2时，f （2）=4， 由f （x ）=?x 2+4x =?5， 解得x =5或x =?1， ∴要使函数在[m ，5]的值域是[?5，4]， 则?1≤m ≤2 ， 故选C ． 12．D 【解析】由题意得，函数()f x 图象的对称轴为4a x = ， ∵函数()225f x x ax =-+在区间[)1,+∞上单调递增， ∴14 a ≤，解得4a ≤。 ∴实数a 的取值范围是(],4-∞。选D 。 13．B 【解析】∵()20x a -+≤， ∴()2 33x a -++≤，即函数y=-(x+a)2+3的最大值为3.选B 。 14．A 【解析】若方程()2 250x m x m ++++=只有负根， 则()()(450 {20 50 m m m m ?=-+≥-+>+<，解得4m ≥，故选A. 15．B 【解析】由函数()()2212f x x a x =--+的对称轴方程为() 2112a x a -==-， 函数()f x 在(] ,5-∞是减函数，所以15a -≥，解得6a ≥，故选B. 16．A 【解析】()22 24424m m f x x mx x ??=-+=-+- ?? ?,则()f x 在(],0-∞上是减函数,最小值为()04f =,故选A. 17．()(),31,-∞-?+∞ 【解析】2230x x +->，()()310x x +->，得3x <-或1x >， 所以解集为()(),31,-∞-?+∞。 18．42 【解析】函数是二次函数，对称轴是x =?32，根据二次函数的图像知道函数先减后增，离轴越远，函数值越大，故函数的最大值在x =5处取得，得到f (5)max =42. 故最后结果为42. 19．5 【解析】易知11x =-和23x =是20x ax b --=的两个根， ∵根据韦达定理可知1212{ x x a x x b +==-， ∴132a =-+=，12133b x x =-=?=， ∴5a b +=． 20．13,11? ?-∞- ??? 【解析】①当m ＝－1时，不等式的解集为x<3，不合题意； ②当m ≠－1时，解得m<－. 所以实数m 的取值范围是13,11? ?-∞- ??? . 点睛：二次函数在R 上恒大与0或恒小于0的问题只需考虑二次的判别式即可。 当判别式大于0时，二次函数图象与x 轴有两个交点； 当判别式等于0时，二次函数图象与x 轴只有一个交点； 当判别式小于0时，二次函数图象与x 轴无交点. 21．12 - 【解析】由题意可得0m < 令()()110mx x --=一根为1，一根为2- 210m ∴--= 12 m =- 22．-5 【解析】由题意易知：?13，12是方程ax 2+x +b =0的两根， ∴?13+12=?1a ，?13×12=b a 解得：a =?6，b =1 ∴a +b =?5 故答案为：-5 点睛：一元二次方程的根是相应的一元二次函数的零点，是相应的一元二次不等式解集的端点，在本题中，解集的端点值就成为了一元二次方程的根，利用根与系数的关系，即可得到关于a ，b 的方程组，从而得到a +b 的值. 23．()5,3- 【解析】函数()()222314f x x x x =-++=--+在()2,0-上为增函数， ∴当2x =-时，25f -=-（），当0x =时，03f =（） ． ∴函数()2 23f x x x =-++，()2,0x ∈-的值域为()5,3-． 24．(] ,1-∞- 【解析】由题意得()22 224m m f x x mx a m x a m ??=-+-=-+-- ???， ∵函数对任意的实数m 恒有零点， ∴2 04 m a m --≤对任意的实数m 恒成立， 即2 4 m a m ≤+对任意的实数m 恒成立。 又()22121144 m m m +=+-≥-， ∴1a ≤-。 ∴实数a 的取值范围是(],1-∞-。 答案：(],1-∞- 25．18 m <- 【解析】由题意函数22y mx x ＝＋－ 没有零点，0m ∴≠ ，且180m ?=+<，解得18m <- 即答案为18 m <- 26．][() ,62,-∞-?+∞ 【解析】函数()2 1f x x mx =+-为开口向上的抛物线，对称轴为2 m x =-. 所以函数()21f x x mx =+-在[]1,3-上是单调函数，则由12m -≤-或32 m -≥. 解得6m ≤-或2m ≥. 实数m 的取值范围是][(),62,-∞-?+∞. 27．[] 0,1 【解析】函数()225f x x x =-+对称轴是1，当11,0t t +≤≤时，函数的最大值是()05f =，最小值是()2 1440.f t t t +=+=?=故此时t=0.当11,0t t +>>时函数的最大值为 ()()01f f t +或，故只需要()15 1.f t t +≤?≤最小值是在轴处取得()1 4.f =故此时0 1.t <≤综上得到t 的取值范围为[]0,1. 故答案为[]0,1。 28．a<0 【解析】令f(x)＝－x 2＋2x ，则f(x)＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1. 又∵x∈[0,2]，∴f(x)min ＝f(0)＝f(2)＝0.∴a<0,故填a<0. 29． -20 【解析】y ＝－(x －3)2＋18，∵a ＝9，得b ＝0(b ＝6不合题意，舍去);－a 2＋6a ＋9＝－7，得a ＝－2(a ＝8不合题意，舍去). 故填-2;0. 30．（1）()1,1-；（2）[)0,4 【解析】试题分析：（1）关于x 的方程2220x m x --=的两个实根中，一个比1大，一个比1-小，等价于函数()222f x x m x =--与x 轴的交点一个在点()1,0-左边，一个在点 ()1,0右边，结合函数图象列不等式组求解即可； （2）当0a =时，显然对x R ∈成立，0a <不恒成立，0a >时，利用判别式小于零即可得结果. 试题解析：（1）由题意知，问题等价于函数()22 2f x x m x =--与x 轴的交点一个在点()1,0-左边，一个在 点()1,0右边，由()()221120 { 1120f m f m -=+-<=--<， 得21m <，即()1,1m ∈-. （2）当0a =时，原不等式为10>，显然对x R ∈成立， 当0a ≠时，20 { 40a a a ≠?=-<，则04a <<，综上，[)0,4a ∈. 《二次函数与一元二次方程、一元二次不等式》复习题汇编 【知识梳理】： 1.二次函数与一元二次方程关系非常密切，可以相互转化，若已知函数值，可以利用一元二次方程的知识求自变量的值。 2.从“形”的方面看，函数2 y ax bx c =++的图像与 轴交点的横坐标，即为方程 20ax bx c ++=的解；从“数”的方面看，当二次函数2y ax bx c =++的函数值为 时，相应的自变量的值即为方程2 0ax bx c ++=的解。 3.抛物线2 y ax bx c =++与x 轴有 个， 个， 个交点，相应的一元二次方程 20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，两个相等的实数根，没有实数根；反过来，如 果一元二次方程2 0ax bx c ++=有两个不相等的实数根，两个相等的实数根，没有实数 根，那么抛物线2 y ax bx c =++与x 轴有 个， 个， 个交点。 4.二次函数2 y ax bx c =++与一元二次方程2 的关系如下： 5.直线y=kx+b 与抛物线y ax bx c =++有0个、1个、2个交点，则由方程y ax bx c =++； y=kx+b 联立并消元后的一元二次方程分别满足24b ac -＜0、24b ac -=0、2 4b ac -＞0. 6.二次函数与一元二次不等式的关系也非常密切，当c bx ax ++2 ＞0时，则相应的二次函 数图象2y ax bx c =++上的点位于x 轴的上方；当c bx ax ++2 ＜0时，则相应的二次函 数图象2 y ax bx c =++上的点位于x 轴的下方。 7.抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴两交点为 ()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故12b x x a +=- 、12c x x a = ； ()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ?= -=-?? ? ??-=--= -= -=44422 212 212 2121【典型例题】 例1．已知函数()()()() 2 2 113513x x y x x ?--? =?--??≤＞，则使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 例2．已知函数12)3(2++-=x x k y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是 A.4 一元二次不等式练习 一、选择题 1．设集合S ＝{x |－5 5．不等式x(x－a＋1)>a的解集是{} x|x<－1或x>a，则( ) A．a≥1 B．a<－1 C．a>－1 D．a∈R 6．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集为{} x|－3 一元二次不等式强化 222222222一、十字相乘法练习： 1、x +5x+6= 2、x -5x+6= 3、x +7x+12= 4、x -7x+6= 5、x -x-12= 6、x +x-12= 7、x +7x+12= 8、x -8x+12= 9、x -4x-12= 2222222 10、3x +5x-12= 11、3x +16x-12= 12、3x -37x+12= 13、2x +15x+7= 14、2x -7x-15= 15、2x +11x+12= 16、2x +2x-12= 二、一元二次不等式 22解一元二次不等式时 化为一般格式：ax +bx+c>0(a>0)或ax +bx+c<0(a>0)； 65045033200440(21)(5)(3)0x x x x m x x +-<-+<-+<+->-++->2222222练习： 1、解下列不等式： （1）3x -7x>10； （2）-2x ； （3）x ； （4）10x ； （5）-x ； （6）x x+m +m<0；（7） ； （8）(5-x)(3-x)<0； （9）(5+2x)(3-x)<0； （1x--40x+3 2(11)04x x >-<+0）； ； 2x 230 x (1)0. ax a a x a --<+--<222、(1)解关于的不等式x (2)解关于的不等式x 230ax bx c ++>22、（1）若不等式的解集是{x -3 一元二次不等式及其解法 1.一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式. 当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为. 2.一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式. (2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________. (3)一元二次不等式的解： (1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为 f（x） g（x） 的形式. (2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如： f（x） g（x） ＞0?f(x)g(x)＞0； f（x） g（x） ＜0 ?f(x)g(x)＜0； f（x） g（x） ≥0 ? ?? ? ??f（x）g（x）≥0， g（x）≠0； f（x） g（x） ≤0 ? ?? ? ??f（x）g（x）≤0， g（x）≠0. (2014·课标Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝( ) A.[－2，－1] B.[－1，2) C.[－1，1] D.[1，2) 解：∵A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}＝[－2，－1].故选A . 设f (x )＝x 2 ＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，则f (x )>0的解集为( ) A.{x |x ∈R } B.{x |x ≠1，x ∈R } C.{x |x ≥1} D.{x |x ≤1} 解：f (－1)＝1－b ＋1＝2－b ，f (3)＝9＋3b ＋1＝10＋3b ， 由f (－1)＝f (3)，得2－b ＝10＋3b ， 解出b ＝－2，代入原函数，f (x )>0即x 2 －2x ＋1>0，x 的取值围是x ≠1.故选B. 已知－12<1 x <2，则x 的取值围是( ) A.－2 一元二次不等式测试题及答案 一、选择题 1．如果不等式ax 2 +bx+c<0(a ≠0)的解集为空集，那么（ ） A ．a<0,Δ>0 B ．a<0,Δ≤0 C ．a>0,Δ≤0 D ．a>0,Δ≥0 2．不等式（x+2）(1－x)>0的解集是（ ） A ．｛ｘ｜ｘ＜－２或x>1｝ B ．｛ｘ｜x<－１或ｘ>２｝ C ．｛ｘ｜－2＜ｘ＜1｝ D ．｛ｘ｜－１＜ｘ＜２｝ 3．设f(x)=x 2 +bx+1，且f(－1)=f(3)，则f(x)>0的解集是（ ） A ．),3()1,(+∞?--∞ B ．R C ．｛ｘ｜ｘ≠1｝ D ．｛ｘ｜ｘ＝1｝ 4．不等式(x+5)(3－2x)≥6的解集为（ ） Ａ．｛ｘ｜x ≤－1或ｘ≥ 29｝ Ｂ． ｛ｘ｜－1≤ｘ≤29 ｝ Ｃ．｛ｘ｜x ≥1或ｘ≤－29｝ Ｄ． ｛ｘ｜－2 9 ≤ｘ≤1｝ 5．设一元二次不等式ax 2 +bx+1>0的解集为｛ｘ｜－1≤ｘ≤3 1｝，则ab 的值是（ ） Ａ．－6 Ｂ．－5 Ｃ．6 Ｄ．5 6．已知Ｍ＝｛ｘ｜ｘ2－2x －3>0｝，x ｜ｘ2 ＋ax+b ≤0｝，若M ∪N ＝R ，Ｍ∩Ｎ＝(3，]4，则a+b ＝（ ） Ａ．7 Ｂ．－1 Ｃ．1 Ｄ．－7 7．已知集合M ＝{x| x 2－3x －28≤0}, N={ x 2 －x －6>0}，则M ∩N 为（ ） Ａ．｛ｘ|－4≤x<－２或3＜ｘ≤7｝ B ．｛ｘ｜－4＜ｘ≤－2或3≤ｘ＜7｝ C ．｛ｘ｜ｘ≤－２或ｘ＞３｝ D ．｛ｘ｜ｘ＜－２或ｘ≥３｝ 8．已知集合M ＝｛ｘ| 3 x 0x 1≥（－） ｝，N ＝｛ｙ|ｙ＝3ｘ2 ＋1，ｘ∈Ｒ｝，则M ∩N ＝（ ） Ａ．? Ｂ． {ｘ|ｘ≥１} Ｃ．｛ｘ|ｘ＞１｝ Ｄ．{ｘ| ｘ≥1或ｘ＜０} 二．填空题 9、有三个关于x 的方程： ，已知其中至少 有一个方程有实根，则实数a 的取值范围为 10．若二次函数y=ax 2 +bx+c(x ∈R)的部分对应值如下表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 则不等式ax 2 +bx+c>0的解集是 。 11．若集合Ａ＝｛ｘ∈Ｒ｜ｘ2 －4ｘ＋3＜0},Ｂ＝｛ｘ∈Ｒ｜（ｘ－2）（ｘ－5）＜0｝，则Ａ∩Ｂ=_______________________________． 12．关于x 的方程x 2+ax+a 2 -1=0有一正根和一负根，则a 的取值范围是 ． 三．解答题： 13、①不等式（a 2 -1）x 2 -(a-1)x-1 <0的解集为R ，求a 的取值范围。②若a 2 －4 17 a+1<0的解集为A ，求使不等式x 2 +ax+1>2x+a 在A a ∈时恒成立的x 的取值范围． 114、①已知不等式02>++c bx ax 的解集为)3,2(，求不等式02 <++a bx cx 的解集。 ②不等式ax 2+bx+c ＞0的解集为{x|α＜x ＜β}，其中0＞β＞α，求不等式cx 2+bx+a ＜0的解集。 115、已知A=，B=。 （1）若B A ，求a 的取值范围； （2）若A∩B 是单元素集合，求a 取值范围。 一元二次方程练习题 1. 解下列方程：（1）2(1) 9x -=； （2）2(21)3x +=； （3）2(61)250x --=． （4）281(2)16x -=． 2. 用直接开平方法解下列方程： （1）25(21) 180y -=； （2）21(31)644x +=； （3）26(2) 1x +=； （4）2()(00)ax c b b a -=≠，≥ 3. 填空 （1）28x x ++（ ）=（x + ）2．（2）223x x -+（ ）＝（x - ）2． （3）2b y y a -+（ ）＝（y - ）2． 4. 用适当的数（式）填空： 23x x -+ (x =- 2)；2x px -+ ＝(x - 2) 23223(x x x +-=+ 2)+ ． 5. 用配方法解方程． 23610x x --= 22540x x --= 6. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ． 7. 用适当的方法解方程（1）23(1) 12x +=； （2）2410y y ++=； （3）2884x x -=； （4）2310y y ++=． （5） ()9322=-x ； （6）162=-x x ； 一元二次不等式 2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程2 0(0)ax bx c a ++=>之间判别式ac b 42-=? 0>? 0=? 0a ）的图象 ()002>=++a c bx ax 的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax 1、把二次项的系数变为正的。（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正） 2、解对应的一元二次方程。（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根） 3、求解一元二次不等式。（根据一元二次方程的根及不等式的方向） 一、解下列一元二次不等式： 一元二次方程练习题 1、已知关于x 的方程0)1(222=+--k x k x 有两个实数根1x 、2x ⑴、求k 的取值范围； ⑵、若12121-?=+x x x x ，求k 的值。 、 2.、已知关于x 的一元二次方程 有两个实数根1x 与2x (1)求实数m 的取值范围； (2)若7)1)(1(21=--x x ，求m 的值。 } 3.已知)(11y x A ， ，)(22y x B ， 是反比例函数x y 2 -= 图象上的两点，且212-=-x x ，3 21=?x x ． （1）求21y y - 的值及点A 的坐标； （2）若－4＜y ≤ －1，直接写出x 的取值范围． 【 4.（本小题8分）已知关于x 的方程014)1(2 2=+++-k x k x 的两根是一个矩形的两邻边的长。 （1）k 为何值时，方程有两个实数根； （2）当矩形的对角线长为 时，求k 的值。 ； 5.已知关于x 的一元二次方程 . 】 （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）当Rt△ABC 的斜边长 ，且两直角边和是方程的两根时，求△ABC 的周长和面积. ~ 6.如果一元二次方程02=++c bx ax 的两根1x 、2x 均为正数，且满足1＜ 2 1x x ＜2（其中1x ＞2x ），那么称这个方程有“邻近根”． （1）判断方程03)13(2=++-x x 是否有“邻近根”，并说明理由； （2）已知关于x 的一元二次方程01)1(2 =---x m mx 有“邻近根”，求m 的取值范围． 。 7.设关于x 的一元二次方程0122=++px x 有两个实数根，一根大于1，另一根小于1，试求实数p 的范围． ￥ 8.某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，商店为适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可 二次函数、二次不等式练习题 姓名：___________ 班级：___________成绩：___________ 一、单选题 1．已知R 为实数集，集合}02|{2≥-=x x x A ，}1|{B >=x x ，则 （ ） A.)1,0( B. ]1,0( C. )2,1( D. ]2,1( 2．不等式()12303x x ? ?+-≤ ??? 的解集为（ ） A. 2{ 3 x x ≥或13x ?≤-?? B. 1233x x ??-≤≤???? C. 2{ 3 x x >或13x ?<-?? D. 1233x x ??-<的解集是11,23??- ??? ，则a b +的值是（ ） A. 14- B. 10- C. 14 D. 10 5．已知关于x 的不等式01442 >++ax ax 的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A. ]1,0[ B. ）1,0[ C. ）（1,0 D. f ]1,0（ 6．已知关于x 的不等式2320ax x -+≤的解集为{|1}x x b ≤≤.则实数a b +的值为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7．已知关于x 的不等式24410ax ax ++>的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A. []0,1 B. [)0,1 C. ()0,1 D. (]0,1 8．若函数762--=x x y ，则它在]4,2[-上的最大值、最小值分别是( ) A. 9，－15 B. 12，－15 C. 9，－16 D. 9，－12 9．函数142+--=x x y ,]2,3[-∈x 的值域（ ） A. (-∞,5) B. [5，+∞) C. [-11，5] D. [4，5] 10．函数()21122 y x =-++的顶点坐标是 （ ） A. (1，2) B. (1，－2) C. (－1，2) D. (－1，－2) 11．已知函数]5,[,4)(2m x x x x f ∈+-=的值域是]4,5[-，则实数m 的取值范围是 A. B. C. D. 12．若函数()225f x x ax =-+在区间[)1,+∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A. (],2-∞ B. [)2,+∞ C. [)4,+∞ D. (],4-∞ 13．3)(2++-=a x y 的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 14.若方程()2 250x m x m ++++=只有负根，则m 的取值范围是（ ） A. 4m ≥ B. 54m -<≤- C. 54m -≤≤- D. 52m -<<- 15．若()()2212f x x a x =--+在(] ,5-∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A. 6a > B. 6a ≥ C. 6a < D. 6a ≤ 16．函数)0(4)(2 >+-=m mx x x f 在]0,(-∞上的最小值是( ) A. 4 B. －4 C. 与m 的取值有关 D. 不存在 二、填空题 一元二次不等式及其解法 1．形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式． 2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>判别式ac b 42-=? 0>? 0=? 0a ）的图象 ()002>=++a c bx ax 的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax 1、把二次项的系数变为正的。（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正） 2、解对应的一元二次方程。（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根） 3、求解一元二次不等式。（根据一元二次方程的根及不等式的方向） 不等式的解法---穿根法 一．方法:先因式分解,再使用穿根法. 注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立. 例1:解不等式 (1) (x+4)(x+5)2 (2-x)3 <0 x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1 解: (1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图 不等式解集为{x ∣x>2或x<-4且x ≠5}. (2) 变形为 (2x-1)(x-1) (3x-1)(x-2) ≥0 根据穿根法如图 不等式解集为 {x |x< 1 3 或 1 2 ≤x ≤1或x>2}. 2 -4 -5 2 2 1 1 3 1 含参数一元二次不等式练习题st 含参数一元二次不等式练习题 一、选择题： 1．(2011·福建高考)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 2．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(4,5) B ．(－3，－2)∪(4,5) C ．(4,5] D ．[－3，－2)∪(4,5] 3．若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ． ? ?????－∞，－1311 B ．(－∞，－1) C. (1，＋∞) D .? ?????－∞，－1311∪(1，＋∞) 4．(2012·长沙模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1， 实数a 的取值范围是________． 10．(2012·九江模拟)若关于x 的不等式x 2－ax －a >0的解集为(－∞，＋∞)，则实数a 的取值范围是________；若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 11．(2012·陕西师大附中模拟)若函数f (x )＝??? x ＋5，x ＜3，2x －m ，x ≥3， 且f (f (3))＞6，则m 的取值范围为________． 12．若关于x 的不等式x 2＋12x －? ?????12n ≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实数λ的取值范围是________． 13．(2012·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________． 三，解答题 14.解下列不等式： (1)x 2－2ax －3a 2＜0(a ＜0)． (2)x 2－4ax －5a 2＞0(a ≠0)． (3)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)． 一元二次方程根与系数的关系 一、选择题 1. （2011?南通）若3是关于方程x 2－5x ＋c ＝0的一个根，则这个方程的另一个根是（ ） A 、﹣2 B 、2 C 、﹣5 D 、5 分析：由根与系数的关系，即3加另一个根等于5，计算得． 解答：解：由根与系数的关系，设另一个根为x ，则3+x=5，即x=2．故选B ． 点评：本题考查了根与系数的关系，从两根之和出发计算得． 2. （2011南昌，9，3分）已知x =1是方程x 2+bx ﹣2=0的一个根，则方程的另一个根是（ ） A.1 B.2 C.﹣2 D.﹣1 分析：根据根与系数的关系得出x 1x 2= a c =﹣2，即可得出另一根的值． 解答：解：∵x =1是方程x 2+bx ﹣2=0的一个根，∴x 1x 2==﹣2，∴1×x 2=﹣2，则方程的另一个根是：﹣2，故选C ． 点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键． 3. （2011湖北荆州，9，3分）关于x 的方程ax 2－（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1、x 2，且有x 1－x 1x 2+x 2=1－a ，则a 的值是（ ） A 、1 B 、－1 C 、1或－1 D 、2 分析：根据根与系数的关系得出x 1+x 2=－ ba ，x 1x 2= ca ，整理原式即可得出关于a 的方程求出即可． 解答：解：依题意△＞0，即（3a+1）2－8a （a+1）＞0， 即a 2－2a+1＞0，（a －1）2＞0，a≠1， ∵关于x 的方程ax 2－（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1、x 2，且有x 1－x 1x 2+x 2=1－a ， ∴x 1－x 1x 2+x 2=1－a ， ∴x 1+x 2－x 1x 2=1－a ， ∴ 3a+1a － 2a+2a=1－a ， 高一数学《一元二次不等式解法》测试题 班级 姓名 一、选择题： 1．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)的解集是R ，则( ) A ．a ＜0，Δ＞0 B ．a ＜0，Δ＜0 C ．a ＞0，Δ＜0 D ．a ＞0，Δ＞0 2．不等式2x 2＋mx ＋n >0的解集是{x |x ＞3或x ＜－2}，则二次函数y ＝2x 2＋mx ＋n 的表达 式是( ) A ．y ＝2x 2＋2x ＋12 B ．y ＝2x 2－2x ＋12 C ．y ＝2x 2＋2x －12 D ．y ＝2x 2－2x －12 3．如果A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝?，则实数a 的集合为( ) A ．{a |0＜a ＜4} B ．{a |0≤a ＜4} C ．{a |0＜a ≤4} D ．{a |0≤a ≤4} 4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解 集为( ) A ．{x |x <－1或x >2} B ．{x |x ≤－1或x ≥2} C ．{x |－1 一元二次方程测试 姓名学号 一、选择题(每题 3 分,共 30 分)： 1.下列方程中不一定是一元二次方程的是 ( ) A.(a-3)x 2 =8 (a ≠3) B.ax 2+bx+c=0 C.(x+3)(x-2)=x+5 D. 3x2 3 x 2 0 57 2 下列方程中 , 常数项为零的是 ( ) A.x 2+x=1 B.2x 2 -x-12=12 ； C.2(x 2-1)=3(x-1) D.2(x 2+1)=x+2 3. 一元二次方程2x2 -3x+1=0 化为 (x+a) 2=b 的形式 , 正确的是( ) 2 2 1 ;C. 2 1 ; A. x 3 16; B. 2 x 3 x 3 2 4 16 4 16 D.以上都不对 4. 关于x的一元二次方程 a 1 x2 x a2 1 0 的一个根是 0，则 a 值为（） A、 1 B 、 1 C 、1或 1 D 、1 2 5.已知三角形两边长分别为2 和 9, 第三边的长为二次方程 x2-14x+48=0 的一根 , 则这个三角形的周长为 ( ) A.11 B.17 C.17或19 D.19 6.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 2x2 8x 7 0 的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（） A、 3 B 、3 C 、6 D 、9 7. 使分式 x 2 5x 6 的值等于零的 x 是( ) x 1 A.6 B.-1 或 6 C.-1 D.-6 8.若关于 y 的一元二次方程 ky2-4y-3=3y+4 有实根 , 则 k 的取值 范围是 ( ) A.k>- 7 B.k ≥ - 7 且 k ≠ 0 C.k ≥ - 7 D.k> 7 4 4 4 且 k≠ 0 4 9. 已知方程x2 x 2 ，则下列说中，正确的是（） （A）方程两根和是 1 （B）方程两根积是 2 （C）方程两根和是 1 （D）方程两根积比两根和大2 10.某超市一月份的营业额为200 万元, 已知第一季度的总营业 额共 1000 万元 , 如果平均每月增长率为 x, 则由题意列方程应 为( ) A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000 C.200+200×3x=1000 D.200[1+(1+x)+ (1+x) 2]=1000 1 一元二次不等式及其解法练习 班级： 姓名： 座号： 1 比较大小： （1）2 6+ （2）2 21)-； （3 ； （4）当0a b >>时，12log a _______12 log b . 2. 用不等号“>”或“<”填空： （1）,____a b c d a c b d >><>? （4）2211 0___a b a b >>?. 3. 已知0x a <<，则一定成立的不等式是（ ）. A ．220x a << B ．22x ax a >> C ．20x ax << D ．22x a ax >> 4. 如果a b >，有下列不等式：①22a b >，②11 a b <，③33a b >，④lg lg a b >， 其中成立的是 . 5. 设0a <，10b -<<，则2,,a ab ab 三者的大小关系为 . 6.比较(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-的大小. 7. 若2()31f x x x =-+，2()21g x x x =+-，则()f x 与()g x 的大小关系为（ ）. A ．()()f x g x > B ．()()f x g x = C ．()()f x g x < D ．随x 值变化而变化 8.（1）已知1260,1536,a a b a b b <<<<-求及的取值范围. （2）已知41,145a b a b -≤-≤--≤-≤，求9a b -的取值范围. 9. 已知22 ππ αβ-≤<≤，则2αβ-的范围是（ ）. A ．(,0)2 π - B ．[,0]2π - C ．(,0]2π- D ．[,0)2 π - 10.求下列不等式的解集. （1）2230x x +->； （2）2230x x -+-> （3）2230x x -+-≤. 一元二次不等式练习 一、选择题 1．设集合S ＝{x |－5 二、填空题 8．若不等式2x2－3x＋a<0的解集为(m,1)，则实数m的值为________． 9．若关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式ax＋b x－2 >0的解集是 ________． 10．若关于x的方程9x＋(4＋a)3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围是________． 三、解答题 11．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)． . 12．设函数f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围； (2)若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围． 一元二次不等式练习题含 答案 Last revision on 21 December 2020 一元二次不等式练习 一、选择题 1．设集合S ＝{x |－5 一元二次不等式 知 识 梳 理 １.三个“二次”间的关系 判别式 Δ=b 2 -４ac Δ>0 Δ＝０ Δ＜０ 二次函数 ｙ＝ax 2+bx ＋c (a >0)的图象 一元二次方程 ax 2 ＋b ｘ+c ＝0 (ａ>0)的根 有两相异实根 x 1,x 2(x 1 含参不等式 例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a 1(x a)(x )01 a [ ] A a x B x a ．＜＜ ．＜＜1 1a a C x a D x x a ．＞或＜．＜或＞x a a 1 1 例２ 解关于ｘ的不等式 (x －2)(ax-２)>0 例3 若ax 2+bx-1＜0的解集为{x|-１＜x ＜2｝,则a=_＿___＿__，b=＿_______. 例 4 关于ｘ的不等式ｘ2-２ａx －8ａ2<0(ａ>0)的解集为(x1,x ２）,且 x2-x1=15,则a=( ) A.＼f(5，2） B.7 2 C.错误! Ｄ.错误! 练习 解关于ｘ的不等式kx2－2x+ｋ<0(ｋ∈R)． 解关于ｘ的不等式:ａｘ2－2≥2x-ax(ａ∈R)． . 考点三不等式恒成立问题 【例3】设函数f(x)＝ｍx２－ｍx－1. (1)若对于一切实数x，f(x）＜0恒成立,求m的取值范围； (２)若对于x∈［1,3]，f(x）＜－m+5恒成立,求ｍ的取值范围． 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 一元二次方程测试题 一、填空题:（每题2分共50分） 1.一元二次方程(1－3x )(x +3)=2x 2 +1 化为一般形式为： ，二次项系数 为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。 2.若m 是方程x 2 +x －1＝0的一个根，试求代数式m 3 +2m 2 +2013的值为 。 3.方程 ()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 4.关于x 的一元二次方程()0422 2=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 5.若代数式5242 --x x 与122 +x 的值互为相反数，则x 的值是 。 6.已知322-+y y 的值为2，则1242 ++y y 的值为 。 7.若方程()112 =?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 8.已知关于x 的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程 必有一根为 。 9.已知关于x 的一元二次方程x 2 +bx+b ﹣1=0有两个相等的实数根，则b 的值是 。 10.设x 1，x 2是方程x 2 ﹣x ﹣2013=0的两实数根，则 = 。 11.已知x=﹣2是方程x 2 +mx ﹣6=0的一个根，则方程的另一个根是 。 12.若 ，且一元二次方程kx 2 +ax+b=0有两个实数根，则k 的取值范 围是 。 13.设m 、n 是一元二次方程x 2 ＋3x －7＝0的两个根，则m 2 ＋4m ＋n ＝ 。 14.一元二次方程（a+1）x 2 -ax+a 2 -1=0的一个根为0，则a= 。 15.若关于x 的方程x 2 +（a ﹣1）x+a 2 =0的两根互为倒数，则a = 。 16.关于x 的两个方程x 2 ﹣x ﹣2=0与有一个解相同，则a = 。 17.已知关于x 的方程x 2 ﹣（a+b ）x+ab ﹣1=0，x 1、x 2是此方程的两个实数根，现 给出三个结论：①x 1≠x 2；②x 1x 2＜ab ；③．则正确结论的序号 是 ．（填上你认为正确结论的所有序号） 18.a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项，且满足1-a +(b －2)2 +|a+b+c|=0，《二次函数与一元二次方程、一元二次不等式》复习题汇编
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