巧用三角函数解物理题(一题多解)
巧用三角函数解物理题
数学是自然科学的皇后与奴仆。数学中的许多知识在物理解题中都有非常广泛的应用，如三角函数知识在解力、热、光学题，特别是竞赛题时，有着十分独特的作用。平时解题时，若能注意引导学生充分利用三角函数知识解决相关物理题，不仅会简化解题过程，而且对增强学生逻辑思维能力，提高解题速度，都大有裨益。
一、三角函数与追击中的最值问题
例1.如右图所示，某人站在距公路40m 的A 处，发现公路上有一汽车从B 处以
的速度沿公路匀速行驶，已知AB 相距100m ，问此人最少要以多大的速度沿什么
方向奔跑才能与汽车相遇？
解析：本题在审题时切莫以为只要人奔跑的速度最小，跑的路程就应最短，得
出应沿与公路垂直的方向，即AO 方向奔跑的错误结论来。因为速度的大小，不
单纯地取决于路程的长短，还受到通过该路程所能用的时间的限制。
解法一：设人应沿与AB 成θ角的方向奔跑，经时间t 与汽车在C 处相遇（如右
图），则：
s BC v t s AC v t 车人人，====0.过B 点作BD ⊥AC ，垂足为D.
因为△BCD ∽△ACO,所以B D B C A O A C
=.又因为BD AB =sin θ,所以0sin v t AB BC AO AC v t θ==人,即04/sin sin v AO v m s AB θθ
==人·. 显然要v 人最小，sin θ要最大，sin θθ==?190，，此时，v m s 人min /=4。
即此人最少以4m/s 的速度沿垂直于AB 的方向奔跑，才能与汽车相遇。
解法二：设人以速度v 朝某一方向奔跑经过t 时间与汽车相遇
在C 点，如右图所示。根据题意，得010BC v t t ==，根据勾股
定理
得OB ==
，
1010(OC BC OB t t =-=-=，勾股定理
222OC OA AC +=
，222210(40()t vt +=，简化为关于t 的
一元二次方
程22(100)100000t v --+=，存在解
则
2224(100)1000040000(84100)v v ?=--?=-+，2160v -≥，即4/v m s ≥，当以最小速度min 4/v m s =运动时，此时对应
的t ===
，
40cos 4θ=
====，即与OA
成偏右arc θ=二、三角函数与杠杆中的最值问题
例2.如右下图所示，一根4m 长的木杆下端用铰链固定在地面上，杆顶有一根绳子水平向左拉，拉力恒为T ，杆的右边用一根铁丝欲将杆竖直固定在地面上，铁丝长为4m ，为了使铁丝上的拉力最小，其上端A 应固定在杆上离地面多高的地方？
解析：由于木杆上端所受水平向左的拉力T 一定，其力臂长也为定值（等于CD 的长），故影响铁丝上拉力F 变化的原因只有一个，就是其力臂DE 的长短，而DE 长短的变化又是受AB
倾斜程度控制的，
AB 的倾斜程度我们可用AB 与地面间的夹角θ的大小来衡量。
因为DE DB DB AB ==sin cos θθ，
所以DE AB m m ===sin cos sin cos sin θθθθθ422··
又由杠杆平衡条件得：T CD F DE ··=
T m F m F T ···，42222==sin sin θθ
当sin 2θ取最大值1，即θ=?45时，F 最小，这时
AD AB m m ==?=··sin sin θ44522
三、三角函数与杠杆（非共点力）平衡中的不定值问题
例3.如右图右，O 是杠杆OA 的支点，B 是OA 的中点，今在B 点挂一重物G ，若要在A
点用不大于G 的拉力使杠杆保持水平平衡，则拉力与水平面间的夹角变化范围多大？
解析：欲用不大于G 的拉力，使杠杆处于水平平衡状态，根据杠杆平衡条件，就要F
的力臂OC 不小于重物G 的力臂OB （如右图）。
因为OC OA OB OA ==·，sin θ12，要使OC OB ≥，就要sin θ≥12
，所以θ的变化范围为30150?≤≤?θ。
四、三角函数与光的反射问题
例4.有一种液面微变监视器，基本结构原理如图6所示，光束发射器始终以
一定角度向被监视的液面发射一束细光，光束经液面反射，其反射光线被水平放臵的平面光电转换器接收，光电转换器将光信号转换为电信号并通过显示器显示出来。若反射到光电转换器接收平面上的光点从S 1点移向S 2点，则表明被监视液面 （选填“上升”或“下降”）；当液同上升高度一定时，接收平面上的光点S 1和S 2之间的距离与接收平面到液面的距离有没有关系？ （选填“有”或“没有”）
解析：当入射光线方向不变，即入射角不变时，入射光线的入射点会随液
面的升降而改变，从而引起反射光线左右平移。当液面上升（或下降）时，
入射点就沿着入射光线的方向向左（或右）移，反射光线也跟着向左（或右）
平移，这样就导致光电屏上的光点左（或右）移。由题设不难推知液面是上
升的。
设：第一次反射光线O S 11与新液面交于点M ，第一次反射所作的法线与新
液面交于点N ，液面上升的高度为?h ，则O N O M 12⊥且O N h 1=?（如右下图）.
因为S S O M O S MS 122221////，，所以四边形O MS S 212为平行四边形，S S O M 122=，不难证得Rt O NO Rt O NM ??121?，所以O N MN 2=. 在Rt O NO ?12中，O N O N 21=tan α, 所以S S O M O N h 122222===?·tan α,说明接收平面上光点S S 12之间的距离只跟液面升降的高度?h 有关，而与接收平面到液面的距离无关。
五、三角函数与共点力分解与合成中的极值问题
例5.如右图所示，在竖直平面内的直角坐标系中，一个质量为m 的质
点在外力F 的作用下从坐标原点O 由静止沿直线ON 斜向下运动，直线
ON 与y 轴负方向成θ角(θ＜错误！未指定书签。)，则F 的大小至少为 ；若=F m g t a
n θ，则质点的机械能大小的变化情况
是 ．[2008年高考〃上海物理卷]
解法一：该质点在重力和外力F 的作用下从静止开始做直线运动，说明质点做匀加速直线运动，如右图所示，当F 的方向为a 方向(垂直于ON )时，F 最小为mgtan θ；若=F mgtan θ，即F 可能为b 方向或c 方向，故除重力外的力F 对质点可能做正功，也可能做负功，所以质点的机械能增加、减少都有可能．
解法二：根据正弦定理或拉米定理，得sin sin G F αθ
=，可得sin sin G F θα=，当2πα=时，sin α有最大值，此时F 最小为mgsin θ。
[答案]mgsin θ，增加、减少都有可能。
一道三角函数题的多种解法
一道三角函数题的多种解法 林秋林 摘要：三角函数的求值问题是三角函数中的一个最基本内容，公式和方法选择的不同会直接导致运算量的差异.笔者针对学生反映问题较多的一道典型习题总结了多种解法，希望使学生能彻底掌握这一基础内容的同时能对数学产生更浓厚的兴趣. 关键词：三角函数 二倍角公式 万能公式 方程 任何一个发现都是基于平时的积累．虽然高中数学习题千差万别，多如牛毛，但高中阶段的数学知识毕竟是有限的．根据某一道题的解题依据或解题方法进行归类整理，会有助于加深学生对习题的理解与掌握．笔者在讲授完人教版必修四的三角函数这部分内容后，给学生留了这么一道习题： 已知α是某三角形的一个内角，满足13 17cos sin = -αα． （1）判断该三角形是锐角三角形还是钝角三角形？ （2）求αtan 的值． 这道题是三角函数内容中的一道典型题，该题本身不难，但学生的普遍反映是计算太麻烦了，想不到更好的方法．于是笔者认真总结了一些解法，希望能让学生从中受益．三角函数是高中数学的一块重点内容，它蕴含着丰富的数学思想方法．灵活地借助数学思想方法解题，往往可以避免复杂的运算，优化解题过程，降低解题难度，加快解题速度．在教学中应加以归纳和训练，这样会有助于提高学生的数学素养和思维能力，增强学生分析问题以及解决问题的能力．本文就通过上述例题介绍解三角函数题时常用的一些数学思想及方法． 对于问题（1），我们可以有两种选择： 第一是直接将 13 17cos sin =-αα两边同时平方，可得 169 289 cos cos sin 2sin 22=+-αααα，即有169 289 c o s s i n 21=-αα，可有169 60 cos sin - =αα．由于),0(πα∈，故只能0cos <α，即α是钝角，该三角形是钝角三角形． 第二是采用逆向思维，若]2 , 0(π α∈，则13 17 1cos sin < ≤-αα，与题意不符，故只能],2 (ππ α∈，即该三角形是钝角三角形． 对于问题（2），我们有如下方法可供选择． 思路一：从三角函数定义出发．可设点),(y x P 是角α终边上的一点，令 22y x r += ．则r x = αcos ，r y =αsin ，x y =αtan ．依题意可得13 17 =-r x r y ．两边同时平方可整理得060169602 2 =++x xy y ，即为0)125)(512(=++x y x y ，于是 x y 125- =或者x y 512-=，即125tan -=α或5 12 tan -=α．
高中数学每日一题【数列综合】
江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷 （江西师大附中使用）高三理科数学分析 一、整体解读 试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。 1．回归教材，注重基础 试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。 2．适当设置题目难度与区分度 选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。 3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察 在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。 二、亮点试题分析 1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC → → =，则A BA C →→ ?的最小值为（ ） A ．1 4- B ．12- C ．34- D ．1-
最新最新初三中考物理大题冲刺练习：每日两道综合题(附答案)
初三物理总复习 每日两道综合题 第一天 39小阳同学在科技月制作了一个多档位电热器模型。为了分析接入电 路的电阻对电热器电功率的影响，他将电表接入电路中，其电路如图24 所示。电源两端电压不变，R 1的阻值为20Ω，滑动变阻器的最大阻值为 R 2。当开关S 闭合，S 1、S 2 断开时，将滑动变阻器的滑片置于b 端，此时 电压表示数为U 1，R 3消耗的功率P 3为6.4W ；当开关S 、S 2闭合，S 1断开时，电流表的示数为I 1，电压表的示数为U 2；当开关S 、S 1、S 2都闭合时，将滑动变阻器的滑片置于中点，电流表的示数为I 2。已知I 1∶I 2=3∶7，U 1∶ U 2=2∶9。求： （1）R 2的阻值； （2）电源两端的电压； （3）当开关S 、S 1、S 2都闭合，将滑动变阻器的滑片置于b 端时，通电10s ，多档位电热器产生的总热量。 40．图25是一个建筑工地提升物体的装置示意图，其中AB 是一个以O 为支点的杠杆，且AO :OB =3:4，D 是一个系在杠杆B 端的配重物体，重为2580N 。人可以通过固定在杠杆A 端的滑轮组提升物体。有一质量为60kg 的工人站 在水平地面上，他对地面的压强p 0=1.2×104Pa 。他利用该装置匀速提升一块木材时，配重物体D 受到的支持力为N 1，工人对地面的压强p 1=0.8×104Pa ；他利用该装置匀速提升一块钢材时，配重物体D 受到的支持力为N 2，工人向下的拉力为F 2；已知N 1: N 2=7:6，提升木材时滑轮组的机械效率η=90%，每个滑轮质量都相等，绳重及滑轮与轴的摩擦不计，不计杆的重力，g 取10N/kg 。求： （1）工人提升木材时向下的拉力F 1； （2）工人提升钢材以0.3m/s 的速度匀速上升需要的功率。 A B O 图25 D 图24 S 2 A R 1 R 2 R 3 S S 1 V a b
例谈高中数学一题多解和一题多变的意义
例谈高中数学一题多解和一题多变的意义 杨水长 摘 要：高中数学教学中,用一题多解和一题多变的形式,可以使所学的知识得到活化，融会贯通，而且可以开阔思路，培养学生的发散思维和创新思维能力，从而达到提高学生的学习兴趣，学好数学的效果。 关键词：一题多变 一题多解 创新思维 数学效果 很大部分的高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、不好学、没兴趣.但由于高考“指挥棒”的作用，又只能硬着头皮学.如何才能学好数学？俗话说“熟能生巧”，很 多人认为要学好数学就是要多做.固然，多做题目可以 使学生提高成绩，但长期如此，恐怕也会使学生觉得数学越来越枯燥。 我觉得要使学生学好数学，首先要提高学生的学 习兴趣和数学思维能力。根据高考数学“源于课本， 高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可 以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取 一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。下面举例说明： 例题： 已知tanα=4 3 ,求sinα,cosα的值 分析：因为题中有sinα、cosα、tanα，考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题： 法一 根据同角三角函数关系式tanα= 4 3= α αcos sin ， 且sina2α + cos2α =1。 两式联立，得出：cos2α=2516,cosα= 5 4 或者 cosα= -54 ；而sinα=53或者sinα=-53 。 分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接求解就简洁些： 法二 tanα=4 3 ：α在第一、三象限 在第一象限时： cos2α = ααcos sin cos 2 2 2 5+=αtan 2 11+=2516 cosα=5 4 sinα=αcos 21-=5 3 而在第三象限时： cosa=- 5 4 sina=- 53 分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙： 法三 tanα= 43= αα cos sin ?4cos α= 3sin α ?4cos α= 3sin α= ± 3 4cos sin 2 2 2 2 ++α α ∴sinα=53，cosα= 54 或sinα=-53，cosα=-54 分析： 上面从代数法角度解此题，如果单独考虑sinα、cosα、tanα，可用定义来解此题。初中时，三角函数定义是从直角三角形引入的，因此我们可以尝试几何法来解之： 法四 当α为锐角时，由于tana=4 3,在直角△ABC 中，设α=A,a=3x,b=4x ，则勾股定理，得，c=5x sinA=AB BC = 53 ,cosA=AB AC =5 4
高三数学三角函数专题训练
高三数学三角函数专题训练 1.为得到函数πcos 23y x ?? =+ ?? ? 的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12 个长度单位 C ．向左平移 5π6 个长度单位 D ．向右平移 5π6 个长度单位 2.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则M N 的最大值为（ ） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ．2 3.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2倍（纵坐标不变），得到的图 象所表示的函数是( ) A .sin(2)3 y x π =-，x R ∈ B.sin( ) 2 6 x y π =+ ，x R ∈ C.s in (2)3 y x π =+，x R ∈ D.sin(2) 3 2y x π=+ ，x R ∈ 4.设5sin 7 a π=，2cos 7 b π=，2tan 7 c π=，则( ) A.c b a << B.a c b << C.a c b << D.b a c << 5.将函数sin(2)3 y x π =+ 的图象按向量α 平移后所得的图象关于点(,0) 12 π - 中 心对称，则向量α的坐标可能为（ ） A ．(,0)12π - B ．(,0)6 π - C ．( ,0)12 π D ．( ,0)6 π 6.函数2 ()sin 3sin cos f x x x x =+ 在区间 ,42ππ?? ???? 上的最大值是( ) A.1 B.13 2 + C. 3 2 D.1+ 3 7.若,5sin 2cos -=+a a 则a tan =( ) A.2 1 B. 2 C.2 1- D.2-
初中物理中考模拟试题及答案
考生注意： 1．本学科试题卷共6页，四道大题，满分100分，考试时量90分钟。 2．第三大题要求写出必要的文字说明、公式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分。 各题中要求解答的物理量，必须写出数值和单位，只写数值而无单位的，不能得分。 3．本卷中取g=10N/kg。 一、选择题（本题共40分，每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．“呼麦”是蒙古族的一种高超演唱形式．演唱者运用技巧，使气息猛烈冲击声带，形成低音，在此基础上调节口腔共鸣，形成高音，实现罕见的一人同时唱出高音和低音的现象．下列说法正确的是（）A．“呼麦”中高音、低音指声音的响度B．“呼麦”中的声音是振动产生的 C．“呼麦”中高音是超声波、低音是次声波D．“呼麦”中高音和低音在空气中的传播速度不等 2．如图所示的四幅图中，用来研究通电直导线的周围存在磁场的实验装置是（） 3．下列说法中不正确的是（） A. 原子结构与太阳系十分相似 B. 利用超导体可以制成发热效率极高的发热丝 C. 不透明物体的颜色是由它反射的色光决定 D. 导线中电流的迅速变化会在空间激起电磁波 4．下列使用的工具中属于费力杠杆的是（） 5．以下涉及家庭电路中的一些做法，符合要求的是（） A．电冰箱和照明电灯是以串联方式接入电路的 B．洗衣机必须使用三孔插头 C．使用测电笔时，手应与笔尖金属电极接触 D．电路中应尽可能选择粗的熔丝 6．北京时间08年9月27日下午16时43分，中国“神七”载人飞船航天员翟志刚顺利出舱，实施中国首次空间出舱活动。出舱后翟志刚抬头仍然看到天上的一轮红日，但周围的其它景象应是（）A．一片黑暗，能看见星星，但不闪烁． B．一片黑暗，能看见星星，且星闪烁． C．一片明亮，无法看见星星． D．一片天蓝色，能看见地球和星星． 7．已知月球上无大气、无磁场，同一物体在月球上所受重力只相当于地球上的1/6。你认为下列情况在月球上可能发生的是（） A B C D
初中物理运动经典习题及详解答案
一、机械运动 一个物体相对于另一个物体的位置的改变，叫做机械运动。 在研究机械运动时，常选择一个假定不动的物体作为标准，这个物体叫做参照物。参照物的选取是任意的。但在实际选取参照物时，要使问题简便。研究地面上的物体的运动情况时，常选择地面或固定在地面上的物体为参照物。 二、参照物的选取及有关物体运动方向的判断 1、选取一定的参照物，判断另一物体运动情况时，我们应设身处地的去想，假如我站在参照物上去看被研究的物体，会有什么感觉，物体的运动情况也就容易判断 2、在选取平时看上去是运动的物体为参照物时，既要考虑到被研究物体与参照物间的速度大小关系，还应考虑到运动方向关系，以此做出正确判断。 三、速度是矢量 速度是表示物体运动快慢的物理量。物理量可以分为矢量和标量。凡是既要用大小又要用方向才能完全描述的物理量叫做矢量。只用大小就可以完全表示出来的物理量叫标量。 长度、面积、体积、质量、密度、时间等物理量是标量。速度、力、等物理量是矢量。 四、匀速直线运动 物体在一条直线上运动，如果在任何相等的时间内，通过的路程都相等，这种运动就叫做匀速直线运动。 物体在做匀速直线运动时，它所通过的路程跟所用时间的比是一个不随时间改变的量，这个比值的大小可以用来表示物体运动的快慢，我们把这个比值叫做 速度。用数学式表达是。速度的单位是米／秒，它是复合单位。 我们还可以利用图像来描述匀速直线运动。 一个物体做匀速直线运动时，它的速度不随时间变化。它通过的 路程跟时间成正比。表示速度随时间变化的图线叫做速度——时间图 像。表示路程随时间变化的图线叫做路程——时间图像。 1．速度——时间图像 横轴ot表示时间，纵轴ov表示速度。由于匀速直线运动的速度不随时间而改变，所以它的图线是一条平行于时间轴的直线。如图2—1中所示的MN。 根据速度——时间图像可以求出物体在某段时间内通过的路程。在时间轴上找出时间P，过该点作时间轴的垂线NP，它与速度图线MN交于N，所围的长方形面积恰好就是运动物体在这段时间内通过的路程。如图2—1中斜线所示的面积。这和由公式S=vt算出是相符的。 2．路程——时间图像 横轴ot表示时间，纵轴os表示路程。在匀速直线运动中，路程跟时间成正比，因此，路程——时间图像是一条过原点O的倾斜直线，如图2—2所示的OA直线。 由路程——时间图像可算出物体的运动速度，在图线上任取一点 B，由B点分别向时间轴、路程轴上做垂线，垂足分别为C、D，用D 点所对应的路程除以C点所对应的时间即可得到物体的运动速度。 根据路程——时间图像还可以由时间求路程，或由路程求时间。 还可以利用图像比较两个物体的速度大小。 五、变速直线运动 物体在一条直线上运动，如果在相等的时间内通过的路程并不相 等，这种运动就叫做变速直线运动。 为了粗略地描述做变速直线运动物体的运动快慢，我们引入了平均速度的概念。如果运动物体在时间t内通过的总路程为s，则物体在这段时间内的平均速度。 平均速度表示物体在某一段时间内或某段路程的运动快慢程度。 六、有关相对运动的问题 如果甲物体静止不动，乙物体以速度v向东运动，则以甲物体为参照物，乙物体以速度v 向东运动；以乙物体为参照物，甲物体以速度v向西运动。 如果甲物体以以速度v1向东运动，乙物体以速度v2向西运动，则以甲物体为参照物，乙物体以速度v1＋v2向西运动；以乙物体为参照物，甲物体以速度v1＋v2向东运动。
三角函数中的数形结合例题及其解法
三角函数中的数形结合例题及其解法 在三角函数中，利用数形结合的思想解决一些问题可以带来极大的方便，也容易理解，使一些抽象的问题形象化。 【例1】函数f（x）=sinx+2sinx，x∈［０，２π］的图象与直线y=k有且仅有２个不同的交点，则k的取值范围是. 【分析】本题根据函数解析式，画出图象，可以直观而简明地得出答案，在有时间限制的高考中就能大大地节约时间，提高考试的效率. 解：函数f（x）＝由图象可知：1 解：函数f（x）定义在（－３，３）上，且是奇函数，根据奇函数图象性质可知，f（x）在（－３，０）上的图象如图所示，若使f（x）cosx<0，只需f（x）与cosx异号，即图象须分别分布在x轴上下侧，由图 可知，有三部分区间符合条件要求，即（－，－１）∪（０，１）∪（，３），故选B. 【点评】已知函数的一部分图象，根据函数的性质可得到函数的另一部分图象，利用数形结合的思想，可以先画出完整的函数图象，再研究有关问题. 另外，单位圆在求值域、定义域等问题中也有广泛应用。用单位圆理解问题十分实用，是三角函数中必须掌握的。在此就不多举例了。 数形结合在三角函数中有广泛的应用，也会带来出其不意的效果，在上面的例题中可见一斑。所以一定要充分掌握，提高解题速度。 51.三角函数的诱导公式 高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆ 【典例】 已知π1sin 123α??- = ?? ?，则5πcos 12α? ?+ ?? ?的值等于 A ． 1 3 B ． 2 3 C ．13 - D ．22 【练习】 1．cos （52π 3 - ）等于 A ．3 B ．12 - C ． 12 D ． 32 2．若π4sin 65??-= ???α，则πcos 3?? + ??? α等于 A ． 4 5 B ．4 5- C ．35 D ．3 5 - 3．已知πtan()5a =-，7πtan()5b =，π sin()5 c =-，则有 A ．a b c >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ．b c a >> 【参考答案】C 【试题解析】 5ππππ1cos cos sin 12122123ααα??????? ?+=-+=--=- ? ? ???????????，故选C ． 【解题必备】（1）在应用诱导公式求三角函数值时，除了要掌握应用诱导公式的原则：“负化正”、“大化小”、 “小化锐”外，还需善于观察，寻找角的关系，如5πππ12122αα? ???+--= ? ? ? ???，π7ππ12122αα????-+-= ? ?????， 7π5ππ1212αα???? -++= ? ????? ，这样可以沟通已知角与待求值角之间的关系． （2）六组诱导公式 角 函数 2k π＋α（k ∈Z ) π＋α ?α π?α 2 π ?α 2 π ＋α 正弦 sin α ?sin α ?sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α ?cos α cos α ?cos α sin α ?sin α 正切 tan α tan α ?tan α ?tan α —— —— 对于角“ 2 α±”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当 α为锐角时原函数值的符号”. （3）使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似πk α±的形式时，需要对k 的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负． （4）巧用相关角的关系能简化解题的过程： 常见的互余关系有 π3α-与π6α+，π3α+与π6α-，π4α+与π 4α-等； 常见的互补关系有π3θ+与2π3θ-，π4θ+与3π 4 θ-等. 1．【答案】B 【解析】cos （52π3- ）＝cos （﹣17ππ3-）＝cos （17ππ3+）＝cos （ππ 3+）＝﹣cos π312=-． 2．【答案】A 【解析】因为π4sin 65??-= ???α，则πcos 3??+= ???αsin （ππ23--α）π4 sin 65??=-= ???α，故 3．【答案】D 【解析】π πtan()tan 0,5 5a =-=-<7π22 tan()tan(ππ)tan π0,555b ==+=> ππsin()sin 055c =-=-<，πtan 151,ππsin cos 55 a c -==>-而0c a c 2021届中考物理每日一题 1．斜面被广泛应用于日常生活中，如图（a）所示。某小组同学为了比较使用斜面提升物体拉力所做功W与不用斜面直接提升物体拉力所做功W2的关系，选取了倾角和斜坡长度相同但材料不同的斜面、重为2牛的物块、测力计等器材进行实验，已知斜面粗糙程度甲＞乙＞丙。他们用平行于斜面的力将物块从底部匀速上拉至斜面顶端，如图（b）所示。 通过计算得到了在不同斜面上拉力所做功W1分别如表所示。 序号斜面W1（焦） 1甲 3.10 2乙 2.90 3丙 2.25 （1）分析实验序号1或2或3的数据及相关条件，可以得出初步结论：使用粗糙斜面提升物体拉力所做功W1大于不用斜面直接提升物体拉力所做功W2 （2）分析实验序号1和2和3的数据及相关条件，可以得出初步结论：斜面越光滑使用斜面提升物体拉力所做功W1所越接近于不用斜面直接提升物体拉力所做功W2 （3）请在前面实验结论的基础上，进行合理的推理，可得出：若斜面很光滑，摩擦力为零时，使用斜面提升物体拉力所做功W1等于不用斜面直接提升物体拉力所做功W2。 【分析】（1）从实验结果可以直接判断利用斜面做功多少与不用斜面直接对物体做功多少的关系； （2）综合分析实验序号1和2和3相关数据，得出结论； （3）根据（2）的结论推导出斜面的摩擦力为零的结论。 【解答】解：（1）不用斜面时做的功为：W2＝Gh＝2N×1m＝2J＜W1，所以使用粗糙斜面提升物体拉力所做功W1大于不用斜面直接提升物体拉力所做功W2 （2）因为斜面粗糙程度甲＞乙＞丙，由表格数据知W甲＞W乙＞W丙，所以可以得出斜 面越光滑，使用斜面提升物体拉力所做功W1所越接近于不用斜面直接提升物体拉力所做功W2； （3）根据“斜面越光滑，使用斜面提升物体拉力所做功W1所越接近于不用斜面直接提升物体拉力所做功W2”知，若斜面很光滑，摩擦力为零时，使用斜面提升物体拉力所做功W1等于不用斜面直接提升物体拉力所做功W2。 故答案为：（1）大于；（2）斜面越光滑；（3）若斜面很光滑，摩擦力为零时，使用斜面提升物体拉力所做功W1等于不用斜面直接提升物体拉力所做功W2。 【点评】此题考查了利用斜面不能省功的实验探究，根据表格数据得出结论是关键。 浅谈一题多解在初中物理课堂教学中的作用 吴爽1、2费金有1 （1、吉林师范大学，吉林四平 136000；2、榆树市太安乡中学，吉林榆树130400） 摘要：本文主要通过物理课堂教学中习题讲解，举例简要说明了“一题多解”在中学物理课堂教学中的作用表现在各个方面，不仅有利于教师的“教”，还有助于学生的“学”，现代教育理念强调“自主探究”，一题多解有利于教师在教学中调动学生的积极性，还有利于学生物理思维的培养，有助于学生对课本知识以及基础知识的理解与综合运用。 关键词：一题多解、初中物理、作用 前言：随着现代教育技术的发展，智慧教育逐渐与物理课堂教学融合，在初中物理课堂教学中，现代教育技术的应用极大的提高了学生们的积极性，但网络教学与课堂教学的融合出现了弊端，主要体现在物理课堂中，现代教育技术的应用使学生们听课像看电影一样，形成了“走马观花”式的学习模式，虽然提高了学生课堂的积极性但也出现了弊端，使学生在课堂上听懂但学不会，基础知识相对薄弱，而“一题多解”恰好能弥补学生们基础知识薄弱的弱点，据中国知网数据显示，在物理课堂教学中，“一题多解”已成为一种主要的研究趋势，而本文就是以自己物理课堂教学实例来展示“一题多解”在物理课堂教学中的作用。 第一初中物理课堂上，“一题多解”不仅有利于调动学生学习的积极性，还能使课堂成为同学们争辩、探究、合作、交流的场所。 例如在密度的学习中会出现判断铁球空心实心问题中，在我的课堂教学中便巧妙的运用了“一题多解”;在课堂上启发学生自己思考然后将不同学生的解法呈现在大屏幕上，让学生进行交流，比如在下面的习题中。 例1有一个铁球，体积为50cm3,质量是312g,问这个铁球是实心的还是空心的？（铁球的密度是7.8×103kg/m3） 同学甲的解法便是利用密度比较的方法。解：铁球的质量、体积和密度分别用m1、V1 、ρ1，铁的密度为ρ，则铁球的密度为ρ1 ＝错误！未找到引用源。＝错 中考数学每日一练：特殊角的三角函数值练习题及答案_2020年解答题版答案答案答案答案2020年中考数学：图形的变换_锐角三角函数_特殊角的三角函数值练习题 ~~第1题~~(2020郑州.中考模拟) 先化简，再求值： ÷（ ﹣x+1），其中x=sin30°+2+ ． 考点： 实数的运算;利用分式运算化简求值;特殊角的三角函数值; ~~第2题~~ (2020长兴.中考模拟) 将一副直角三角尺如图放置，A ，E ，C 在一条直线上，边AB 与DE 交于点F ，已知∠B=60°，∠D =45° ，AD=AC= ，求DF 的长. 考点： 平行线分线段成比例;特殊角的三角函数值;~~第3题~~ (2019太原.中考模拟) 清代诗人高鼎的诗句“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”描绘出一幅充满生机的春天景象。小明制作了一个风筝，如图1所示，AB 是风筝的主轴，在主轴AB 上的D 、E 两处分别固定一根系绳，这两根系绳在C 点处打结并与风筝线连接。如图2，根据试飞，将系绳拉直后，当∠CDE ＝75°，∠CED ＝60°时，放飞效果佳。已知D 、 E 两点之间的 距离为20cm ，求两根系绳CD 、CE 的长。（结果保留整数，不计打结长度。参考数据： ） 考点： 等腰直角三角形;特殊角的三角函数值;~~ 第4题~~ (2019徐汇.中考模拟) 计算： ．考点： 特殊角的三角函数值;~~第5题~~ (2019.中考模拟) 在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A （1，0），点 B （0， ），把△ABO 绕点O 顺时针旋转，得A′ B′O ，记旋转角为α. （Ⅰ）如图①，当α＝30°时，求点B′的坐标； （Ⅱ）设直线AA′与直线BB′相交于点M. ①如图②，当α＝90°时，求点M 的坐标； ②点C （﹣1，0），求线段CM 长度的最小值.（直接写出结果即可）﹣1 10月29日 1、有五位同学，使用同一把刻度尺测量同一个物体的长度，他们测量的结果分别是：①187.6㎜；②187.5㎜；③187.8㎜；④189.6㎜；⑤187.7㎜．则下列说法中正确的有（） A．测得这个物体的长度应为188.0㎜ B．测得这个物体的长度应为188.7㎜ C．这五次测量结果中误差最小的是第③次 D．这五次测量结果中误差最小的是第⑤次 2、某同学用分度值为1毫米的刻度尺测量某一物体的长度，下列四个数据中正确的是（） A：1.8分米 B：18.2厘米C：182.3毫米D：182.34毫米3、（2010.北京改编题）小明同学测某物体长度时，情景如图，则物体长度 _______cm． 10月29日答案 1、D 由此题中数据看，所用刻度尺最小分度为mm，小数点后应估读一位．有四个同学读数精确到187mm，可知物体实际长度应187mm到188mm 间，则第四个读数189.6㎜错误．其它四个读数分别为：①187.6㎜；②187.5㎜；③187.8㎜；⑤187.7㎜，它们的平均数为187.65mm，在这里只能估读一位，则物体的长度应为187.7mm．综上所述，应选D．2、C 该刻度尺的分度值为1毫米，所以在读数的时候要读到分度值的下一位也就是0.1毫米（这是估读的那一部分），A选项估读到0.1分米；B选 项估读到0.1厘米；C选项是0.1毫米，符合题；而D选项估读到0.01毫米。在做这类题目的时候，只需要看倒数第二个数字是不是分度值就可以了。 3、1.73~1.78 考察刻度尺的读数问题，使用刻度尺测量物体长度时，一定要估读到分度值的下一位，同时注意是否从0刻度线量起 由图知，刻度尺的分度值是1mm，物体的长度为L=2.76cm-1.00cm=1.76cm． 注意：在初中阶段，关于物理器械的读数问题，只有刻度尺需要估读，其他不需要估读！ 10月30日题目 1、（2010漯河）某人在医院做了一次心电图，结果如图所示．如果心电图仪卷动纸带的速度为1.5m/min，图中方格纸每小格长1mm，则此人的心率为（） A．80次/min B.60次/min C.120次/min D.70次/min 2、（2010.武汉改编题）下列估测符合实际的是（） A．人的心脏正常跳动一次的时间约为3s B．成年人的步行速度约为1.1m/s 初中物理电功率技巧(很有用)及练习题 一、电功率选择题 1．如图的电路，电源电压保持不变，R为定值电阻。下列说法正确的是（） A. 开关闭合前，电压表和电流表均无示数 B. 开关闭合后，滑片P向右移动的过程中，电压表的示数变小 C. 开关闭合后，滑片P向右移动的过程中，R的功率变大 D. 开关闭合后，滑片P向右移动的过程中，电压表与电流表示数的比值变小 【答案】 B 【解析】【解答】解：（1）开关闭合前，电路处于开路状态，则电流表没有示数；但电压表的两个接线柱通过变阻器与电源的正负极相连通，此时电压表测量电源电压，所以电压表有示数；A不符合题意；（2）开关闭合后，定值电阻R与滑动变阻器串联，电流表A测电路中的电流，电压表测定值电阻R两端的电压； 滑片P向右移动的过程中，变阻器接入电路中的电阻变大，总电阻变大， 由I= 可知，电路中的电流变小； 根据U=IR可知，定值电阻R两端的电压变小，即电压表的示数变小，B符合题意； 定值电阻两端的电压减小，电路中电流减小了，根据P=UI知，R的功率变小，C不符合题意； 由欧姆定律可知，电压表与电流表示数的比值为定值电阻的阻值，所以，电压表与电流表示数的比值不变，D不符合题意。 故答案为：B 【分析】结合电路图，理清元件的连接方式及电表的测量对象，根据滑片的移动可知接入电路中电阻的变化，根据欧姆定律、串联电路的特点即可分别判断；根据定值电阻两端的电压和电路的电流的变化，根据P=UI判断出R功率的变化；电压表与电流表示数的比值为定值电阻的阻值. 2．有两只灯泡L1、L2，分别标有“220V（100W”和“220V（40W”的字样。若不考虑温度对灯丝电阻的影响，下列说法中正确的是（） A. 两灯正常发光时，L1的电阻较大 B. 两灯并联接入220V的电路，L1、L2消耗功率之比是2:5 C. 两灯串联接入220V的电路，L1消耗的功率小于25W D. 两灯串联接入220V的电路，两灯泡消耗总功率大于40W小于100W 【答案】 C 中考数学每日一练：锐角三角函数的定义练习题及答案_2020年压轴题版答案答案答案2020年中考数学：图形的变换_锐角三角函数_锐角三角函数的定义练习题 ~~第1题~~ (2020青浦.中考模拟) 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ， BC=BD=10，CD=4，AD=6．点P 是线段BD 上的动点，点E 、Q 分别是线段 DA 、BD 上的点，且DE=DQ=BP ， 联结EP 、EQ ． （1） 求证：EQ ∥DC ； （2） 如果△EPQ 是以EQ 为腰的等腰三角形，求线段BP 的长； （3） 当BP=m （0 W0812尖子班每日一练 一．选择题（共5小题） 1．某人上午8：00从起点出发，途经三个不同的路段，先是上坡路，然后是较平直的路，最后是一段下坡路，三路段的长度均相同，在三个路段上的平均行驶速度之比为1：2：3，此人中午12：00正好到达终点。则上午10：00时他行进在（） A．上坡路段B．平直路段C．下坡路段D．无法判断 【分析】已知三个路段长度相同，已知平均速度之比，根据公式S=Vt可求所用时间之比，进一步求出每一段所用的时间，从而判断出上午10：00时他行进的路段。 【解答】解：通过的路程相等：S=V1t1=V2t2=V3t3；又因为V1：V2：V3=1：2：3；所以时间之比为6：3：2； 全程所需时间为t=12：00﹣8：00=4h； 所以在上坡路上行驶的时间为t1==≈2.2h＞2h； 则上午10：00时他行进在上坡路上。 故选：A。 【点评】本题考查时间的计算，关键是公式及其变形的灵活运用，难点是判断出各段路所用的时间。 2．地球距离月球约3×108米，人类发射的月球探测器能够在自动导航系统的控制下在月球上行走，且每隔5秒向地球发射一次信号。某时刻，地面控制中心数据显示探测器前方相距32米处存在障碍物，经过5秒，控制中心数据显示探测器距离障碍物22米；再经过5秒，控制中心得到探测器上刹车装置出现故障的信息。为避免探测器撞击障碍物，科学家决定对探测器进行人工刹车遥控操作，科学家输入命令需要3秒。已知电磁波传播速度为3×108米/秒，则探测器收到地面刹车指令时，探测器（）A．已经撞到障碍物 B．距离障碍物2米 C．距离障碍物4米 D．距离障碍物6米 【分析】（1）已知地球到月球的距离和电磁波传播速度，根据公式t=可求电磁波从月球传到地球所需的时间； （2）已知月球探测器前后两次距离障碍物的距离和经过的时间，根据公式V=可求出月球探测器行进的速度； （3）求出从探测器发现故障到探测器接收到命令所需时间；然后由公式s=vt求出在此时间内探测器前进的距离；最后根据公式求出探测器距离障碍物的距离。 初中物理题型解题技巧 物理试卷结构（共五大题型） 一、选择题： 二、填空题： 三、作图题： 四、探究与实验题： 五、简答计算题： 【选择题】 物理选择题的特点是概念性强、针对性强，具有一定的多样性、迷惑性。选择题能考查学生在学习活动中的记忆与理解、判断与推理、分析与比较、鉴别与评估等多种能力，所以它是考查学生学习掌握知识和运用知识能力的常用方法。 选择题的题型一般有： 概念辨析类、规律理解类、联系实际类、求比值类、图像分析类、电路故障类、对物理方法的理解类、估值类等。 概念辨析 所谓的概念辨析法是指用物理概念作为标准去分析题目所给的条件和提出的问题，辨别正误，从而判断获取正确结果的解题方法。 解答这类题主要对物理概念要准确记忆和正确理解，对相关的不同概念的区分及对某些重要概念的内涵要分析到位。 规律理解 主要考查对物理过程中物理规律的辨别能力。 解答的关键是对题干中描述的物理过程做出正确的判断与分析，然后找准其对应的物理规律，再利用物理规律对选项的内容逐一进行分析，最后做出选择。 联系实际 这类题主要考查物理规律、原理在生产、生活中的应用。 解答的关键是对生产、生活或事例的分析，要能透过现象看本质，在剖析事例或现象的过程中，找到与物理原理的联系，进而做出解答。 求比值类（比例法、数据代人法） （）比例法：利用数学的比例式来解决物理问题的方法称之为比例法。 用比例法解题可以省略反复套用公式而带来计算的烦琐，对物理量的单位也没有统一的要求，只要相比的同一物理量的单位相同就可以了。运用这种方法既能通过计算定量得出结果，也能经过分析定性比较大小。 运用比例法的一般步骤是： 了解题意，选择相应的物理公式。 依据题目描述的物理现象找出保持不变或者相等的物理量。 用不变的（或相等）的量为纽带，将公式联立成比例式。 （）数据代入法：根据题目给定的数据，给未知的某个物理量假定一个恰当的值代入题中，然后进行计算。 图像分析 在物理学中，常采用数学中的函数图像，将物理量之间的关系表示出来。因此图像实际上反映了物理过程（如熔化图线等）和物理量的关系（如电阻的伏安特性曲线等）。运用图像知识来解物理试题的方法，叫图像法。 运用此方法时应做到： 识别或认定图像横坐标和纵坐标所表示的物理量，弄清情景所描述的物理过程及其有关的因 初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型习题 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 5、30°、45°、60°特殊角的三角函数值(重要) 6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大， 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) A 90B 90∠-?=∠?=∠+∠得由B A 邻边 A 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 仰角 铅垂线 水平线 视线 视线 俯角 (2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即 h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5 i=等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α ==。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。 例1：已知在Rt ABC △中， 3 90sin 5 C A ∠== °，，则tan B的值为（） A． 4 3 B． 4 5 C． 5 4 D． 3 4 【解析】本题考查三角函数的定义和勾股定理，在RTΔABC中，∠C=90°，则sin a A c =，tan b B a = 和222 a b c +=；由 3 sin 5 A=知，如果设3 a x =，则5 c x =，结合222 a b c +=得4 b x =；∴ 44 tan 33 b x B a x ===，所以选A． 例2：10 4cos30sin60(2)(20092008) - ??+--=______． 【解析】本题考查特殊角的三角函数值．零指数幂．负整数指数幂的有关运算， 10 4cos30sin60(2)20092008) - ??+--= 3313 41 2222 ?? ??+--= ? ??， 故填 3 2． : i h l = h l α 初中物理做题方法总结 一、概念——学习物理的基础 物理概念和术语是学习物理学的基础，只有熟练掌握才能抓住问题的实质和关键。学习物理概念的方法有五种： 1、分类法 对所学概念进行分类，找出它们的相同点和不同点，初中物理学的概念可分为四小类①概念的物理量是几个物理量的积，例如：功、热量；②概念是几个物理量的比值，如：速度、密度、压强、功率、效率；③概念反应物质的属性，例如：密度、比热、燃烧值、熔点、沸点、电阻率、摩擦系数等；④概念没有定义式，只是描述性的，如力、沸点、温度。 2、对比法 对于反映两个互为可逆的物理量可用这种方法进行学习，例如：熔解与凝固、汽化与液化、升华与凝华、有用功与额外功。 3、比较法 对于概念中有相同字眼的相似相关概念利用相比较学习的方法可以找出相同点和不同点，建立内在联系。例如“重力”与“压力”、“压力与压强”、“功与功率”、“功率与效率”“虚 像与实像”、“放大与变大”等。 4、归类法 把相关联的概念进行分组比较便于形成知识系统。例如：①力、重力、压力、浮力、平衡力、作用力与反作用力。 ②速度、效率、功率、压强。③杠杆、支点、动力、阻力、动力臂、阻力臂、力的作用线。④熔解、液化、蒸发、沸腾、汽化、液化、升华、凝华。⑤串联、并联、混联。⑥通路、短路、断路。⑦能、机械能、功能、势能。 5、要点法 抓住概念中关键字眼进行学习，例如“重力”由于地球的吸引而受到的竖直向上的力叫重力，这个概念中“地球的吸引”“竖直向下”就是关键字眼，值得反复回味和理解。 二、公式——学习物理的钥匙 每一个公式都有一定的适用范围，不能乱用，每一个字母都有着特定含义，需要理解，例如p=f/s中“s”指两物全接触的公共面积，这个公式既适用于固体，也可适用于液体和气体，而p=ρ物gh来说适用范围就更小，只适用规则固体物体放在水平面上产生的压强。我们面对每一个公式不能机械记忆其等量关系，广州中考助手物理老师建议应从以下五个方面进行扩展，这样才能形成知识体系，提升学习物理的效率。 1、根据公式想物理概念，对于ρ=m/v，v=s/t，p=f/s，51.三角函数的诱导公式(新高三每日一题系列)
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